2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第八章_平面解析几何》8-5(有解析)
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第8章 平面解析
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系————————————————————————————————1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B3．(2017·合肥调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．25555．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．4π的位置关系是( )【导学号：31222298】A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________．(1)A(2)x＋2y－5＝01.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．(1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.(1)B(2)4(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离B1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．4心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．图841圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.4分因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22， 所以25＝m ＋25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切． (1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.12分1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B2．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11C3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )A．－2 B．－4C．－6 D．－8B4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20A5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A．1013 B．921C．1023 D．911C．二、填空题6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x＋y－3＝07．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.28．(2017·安徽十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx －y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________．－33三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． (1)由于过点A 的圆的切线只有一条， 则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0.5分 (2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ， 则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．2 3D2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.323．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】(1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分 ∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).5分 (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.8分 在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，10分 故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.12分。
【高考一轮复习】2018年大一轮数学(文)(人教)课时规范训练：《第八章 平面解析几何》8-6 Word版含解析
课时规范训练A 组 基础演练1．已知F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝( ) A ．6 B ．4 C ．2D ．1解析：选A.由题意令|PF 2|－|PF 1|＝2a ，由双曲线方程可以求出|PF 1|＝4，a ＝1，所以|PF 2|＝4＋2＝6.2．双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m ＞12 B ．m ≥1 C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C.∵双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率e ＝1＋m ， 又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.4．已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±24xC ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x解析：选D.依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，－c ＝－5，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝25，b ＝5，∴双曲线方程为x 220－y 25＝1.故选A.6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b ＞0，所以b ＝ 3. 答案： 37．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于________．解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －yb ＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b2＝bc c ＝3，故b ＝3，结合c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4. 答案：48．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)．求双曲线C 的方程． 解：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1，知右顶点(a,0)，不妨设双曲线C 的一条渐近线为y ＝b a x . 将x ＝a 代入上式，得交点A (a ，b )， 记双曲线C 的右焦点为F ，则F (c,0)， 依题意，|OF |＝|F A |＝4，∴⎩⎨⎧ (4－a )2＋b 2＝4，a 2＋b 2＝c 2＝16解之得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2 3. 故双曲线C 的标准方程为x 24－y 212＝1.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM→＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝3，结合c 2＝a 2＋b 2＝b 2＋12， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．B 组 能力突破1．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0解析：选A.由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.2．若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D.因为0<k <5，所以两曲线都表示双曲线，在x 216－y 25－k ＝1中a 2＝16，b 2＝5－k ；在x 216－k －y 25＝1中a 2＝16－k ，b 2＝5.由c 2＝a 2＋b 2知两双曲线的焦距相等，故选D.3．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2D ．3解析：选B.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 4．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°， 由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°， ∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a2a ＝ 3. 答案： 35．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m2＝9－12＋3＝0，∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．(3)S△F1MF2＝12×43×|m|＝6.。
2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第八章 平面解析几何》8-3 Word版含解析
课时规范训练A 组 基础演练1．圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心与半径分别为( ) A ．(－2,4)，5 B ．(2，－4)，5 C ．(－2,4)，15D ．(2，－4)，15解析：选B.圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜－2或a ＞23B ．－23＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23解析：选D.由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜23.3．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是( ) A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内D ．不确定解析：选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ， 因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0， 即(0＋a )2＋(0＋1)2＞2a ，所以原点在圆外．4．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B.直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 5．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A.设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 (0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2， 故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意可得圆心(－1,0)，圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2， 所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝27．已知点P (2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为________．解析：因为点P 关于直线x ＋y －1＝0的对称点也在圆上，∴该直线过圆心，即圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1满足方程x ＋y －1＝0，因此－a 2＋1－1＝0，解得a ＝0，所以圆心坐标为(0,1)． 答案：(0,1)8．如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________．解析：由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)， 当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大， |OC |＝22＋(－3)2＝13. 答案：139．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R ，若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程． 解：法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )， 因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1. 解得m ＝2，即点P 坐标为(0,2)，圆的半径r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2， 依题意，所求圆与直线l ：y ＝x ＋m 相切于点P (0，m )，则⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解：(1)由C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得 (x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤2 2. 可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.B 组 能力突破1．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( )A ．k <－35或k >35 B ．－35<k <35 C ．－34<k <34D ．k <－34或k >34解析：选A.解方程组⎩⎨⎧x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0得交点坐标为(－4k ，－3k )．由题意知(－4k )2＋(－3k )2>9，解得k >35或k <－35，故选A. 2．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A.设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π解析：选B.设P (x ，y )，由题意知有(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π.4．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为________． 解析：∵圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，∴圆心C (1,1)，半径r 为1. 根据题意得，当圆心与点P 的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长|P A |，|PB |最小，则此时四边形面积最小．又圆心到直线的距离为d ＝3，∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝2 2. ∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2. 答案：2 25．已知定点M (－3,4)，设动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，点O 是坐标原点，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹． 解：∵四边形MONP 为平行四边形， ∴OP →＝OM →＋ON →，设点P (x ，y )，点N (x 0，y 0)，则ON→＝OP →－OM →＝(x ，y )－(－3,4)＝(x ＋3，y －4)． 又点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动， ∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.又当OM 与ON 共线时，O 、M 、N 、P 构不成平行四边形．故动点P 的轨迹是圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4且除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.。
2018届高考数学(文)大一轮复习课时分层训练第8章平面解析几何第5节课时分层训练49Word版含答案
课时分层训练(四十九) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) 【导学号：31222312】A ．4B ．3C ．2D ．5A2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )【导学号：31222313】A.13B.33C.22D.12B3．(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )【导学号：31222314】A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 D4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 A 二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________．4417．(2017·湖南长沙一中月考)如图853，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图853x 28＋y 22＝1 8．(2016·江苏高考)如图854，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.图85463三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．【导学号：31222315】(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.8分 ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.12分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.5分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).10分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2 D ．4C2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【导学号：31222316】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 3．(2017·西安调研)如图855，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. 图855(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.9分从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.12分。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第八章
8．5 空间中的垂直关系1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说______________________，记作______．直线l叫做______________，平面α叫做______________．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的_________都垂直，则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．3．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．4．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作______________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．5．平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角2．(1)直线l与平面α互相垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足距离(2)两条相交直线(3)平行3．锐角4．(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱5．(1)直二面角(2)垂线(3)交线(2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若l⊥m，m⊥平面α，则l∥α或l⊂α；若l∥α，m⊥平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选B.(2015·浙江)设α，β是两个不同的平面，l，．4个C．5个作平面A1B1C1D1，ABCD点，易知P也是EF设正方体的棱长为a，则PA1＝PC1＝a，PA＝PC＝63a，.ABCDA′B′C′D′中，过对角线AA′于E，交CC′于′E一定是平行四边形；的体积不变；1；⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．BC1平行于直线1⊄平面AD1C，所以直线C，点P到平面AD所以体积不变，故①正确；，可得平面AD1C∥平面A点时，△DBC1为等边三角形，所，故③不正确；AD1⊥DB1，又AC∩ABCD1⊥BD；1∥平面A1BD.因为D1D⊥面ABCD，且BD⊂2AD，°，，由余弦定理得cos60°＝3AD2，2＝AB2..D1D＝D，所以BD⊥面ADDADD1A1, 所以AA1⊥BD.，A1C1，设AC∩BD＝E，连接ABCD为平行四边形，所以由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1C；由题意知E为B1C的中点，又又因为DE⊄平面∥平面AA1C1C.A1B1C1是直三棱柱，平面ABC，所以BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1.又因为BC＝CC1，所以矩形B1C＝C，所以，所以BC1⊥AB1.线面垂直问题四棱锥PABCD中，AD AD上，且CE∥⊥平面PAD；BC的中点，连接，所以A1E⊥AE.，所以AE⊥BC，所以1C1，BC的中点，得1B，DE＝A1A，AED为平行四边形，A1BC，所以A1D⊥平面类型三面面垂直问题如图所示，在长方体ABCDAD是棱CC1的中点．1M和C1D1所成的角的正切值；ABM⊥平面A1B1M.∥B1A1，所以∠所成的角，因为A1B1⊥平面B1C21＋MC21＝MB1＝ 2.⊥平面BCC1B1，2，又BM＝BC，从而BM⊥B1M.②，由①②得BM⊥平面，所以平面ABM∥平面A1C1F；⊥平面A1C1F.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为D，E分别为AB ，于是DE∥A1C1.，A1C1⊂平面A1C∥平面A1C1F.ABCA1B1C1中，A1A1B1C1，所以A1A⊥⊂平面ABB1A1，A1C1⊥平面ABB1A1ABB1A1，所以A1C11⊂平面A1C1F，A1D⊥平面A1C1F.平面B1DE，所以平面角线AC与⊥HD′；，AC＝6，AE＝54，OD′＝的体积．证明：由已知得，AC⊥BD，得AEAD＝CFCD，故AC∥EF.HD，EF⊥HD′，所以AC得OHDO＝AEAD＝14.＝6得DO＝BO＝AB2-AOD′H＝DH＝3.OH2＝(22)2＋12＝9＝DHD′，又AC⊥BD，BD∩⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.图1 图2 (1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a, 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，所以BE ⊥平面A 1OC CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由题设知平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)，A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高． 由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE S ＝BC ·AB ＝a 2.故四棱锥A 1BCDE 的体积为＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3， V ＝362，故a ＝6.．线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒求(算)三步曲．，AO，EO，FO，易知PA，⊥平面PEF，从而PA⊥EF，因为，又PA∩PO＝P，所以EF同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以·安徽)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是垂直于同一平面，则α平行于同一平面，则m与不平行．．．，则在α内不存在．．．不平行．．．．．．，则m与n不可能垂直于同一个平面的两个平面可能相交B．直线D．△AC，BA⊥AC，BA∩BC所成的角为45° VAC ⊥平面VBC∥AC ，又直线AC A 错误；注意到AC °，B 错误；注意到直线与平面VAC 不垂直，因此BC ⊥平面VAC .又VAC ，D 正确．故选在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，为直角的等腰直角三角形，C 1的中点，点F 在线段⊥平面B 1DF .1A 1，所以B 1D ，只要CF ⊥DF ＝∠ACF ，∠＝3a -x . FA 1D ，得AC A 1F ＝FG ⊥平面FEE 1；E 1G 与EA 所成角的正弦值．解：如图所示，连接EE 1，EB .E 1G ＝2，FE 1＝FG ＝E 1G 2， CC 1D 1D ， ，所以FG ⊥平面FEE ，即为异面直线E 1G 与EA AB ＝2，BE ＝2，所以内找一点M ，使得直线PAB ⊥平面PBD .的中点M (M ∈平面为所求的一个点，理由如下：BC ＝12AD ，所以BC ∥AMCB 是平行四边形，从而，CM ⊄平面PAB ，所以的中点N ，则所找的点可以是直线证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ＝12AD ，所以直线ABCD . 连接BM ， BC ＝12AD ，，且BC ＝MD ， BCDM 是平行四边形．⊥平面PAC ； PAB ⊥平面PAC ；的中点，在棱PB 上是否存在点？说明理由．因为PC ⊥平面ABCD ，所以DC ⊥平面PAC (1)知DC ⊥平面PAC . ，所以AB ⊥平面PAC .平面PAB ，所以平面PAB 上存在点F ，使得PA ∥平面，连接EF ，CE ，CF 的中点，所以EF ∥PA CEF ，EF ⊂平面CEF ·安徽)如图，三棱锥ABC ，AB ＝1，AC ＝2，∠ABC 的体积；证明：在线段PC 上存在点M ，使得由题设AB ＝1，AC ＝2，∠·AB ·AC ·sin60°＝ABC ，可知PA 是三棱锥又PA ＝1，所以三棱锥P ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA ，交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，又MN ∥PA ，所以MN ⊥AC .又BN ⊥AC ，BN ∩MN ＝N ，BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，所以AC ⊥平面MBN .又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC＝AC -AN ＝32.由MN ∥PA ，得PM MC ＝AN NC ＝13.。
2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第八章 平面解析几何》8-8
答案：D
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数学
x2 y2 (2)双曲线 C： 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 a b F，且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左，右两支都相交的充要 条件是( b A．k>－a b b C．k>a或 k<－a ) b B．k<a b b D．－a<k<a
Ax＋By＋C＝0， 即 Fx，y＝0，
消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
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(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 C 相交 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C 相切 ； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 C 相离 ． (2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双 曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；若 C 为抛物线，则直线 l 与 抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 ．
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x2 y2 (5)直线 y＝kx＋1 与椭圆 5 ＋ 9 ＝1 恒有两个公共点．(√) (6)过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.(√) x2 y2 2b2 (7)过椭圆a2＋b2＝1 的焦点的弦中，最短的弦长为 a .(√) (8)与双曲线只有一个交点的直线为其切线．(×) (9)过点(0,1)作直线，使它与 y2＝4x 仅有一个公共点的直线只有 2 条．(×) x2 y2 (10)直线 y＝kx＋1 与椭圆 9 ＋ 4 ＝1， 相离， 相切， 相交随 k 而变． (×)
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2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第八章 平面解析几何》8-3
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(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将 P、Q 两点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20， 3D－E＋F＝－10.
① ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③ 设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得 D＝－2，E＝－4， F＝－8，或 D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y2－6x－8y＝0.
2 2 2
a 表示圆心为－2，－a，
(8)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(√) (9)方程 x2＋y2＋2x－2y＋2＝0 表示圆心为(－1,1)的圆．(×) (10)圆 x2－4x＋y2＋2y＋1＝0 上的点到(2,1)的最长距离为 4.(√)
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考点一 求圆的方程 1.直接法求圆的方程 命题点 2.待定系数法求圆的标准方程 3.待定系数法求圆的一般方程
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法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 2a－b－3＝0， 2 2 2 5 － a ＋ 2 － b ＝ r ， 则 3－a2＋－2－b2＝r2， a＝2， 解得b＝1， r＝ 10， 故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
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(3)x2＋y2 是圆上点与原点的距离的平方，故连接 OC， 与圆交于 B 点，并延长交圆于 C′，则 (x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋ 3)2＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－ 3)2＝7－4 3.
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2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第8章 平面解析
第二节 两条直线的位置关系———————————————————————————————— 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离d ＝x 2－x 12＋y 2－y 121．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(5)若点P ，Q 分别是两条平行线l 1，l 2上的任意一点，则P ，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离．( )(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1C3．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． (2，－2)4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 25．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2(1)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·青岛模拟)过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0(1)A (2)A1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8Al的方程为________．(2)过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程. 【导学号：31222289】(1)x ＋3y －5＝0或x ＝－1(2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，则直线l 与l 2的交点B (6－x 0，－y 0)，2分由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，6－x 0－y 0＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝113，y 0＝163，6分即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，从而直线l 的斜率k ＝163－0113－3＝8，10分 直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.12分1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．①过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即直线l 的方程为x ＝1.4分②设过点A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －，得x ＝k ＋7k ＋2且y ＝4k －2k ＋2(k ≠－2，否则l 与l 1平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.8分又A (1，－1)，且|AB |＝5， 所以⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34.10分因此y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.12分________． (2)光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程是________．(1)y ＝2x －3 (2)10x －3y ＋8＝0在题(1)中“将结论”改为“求点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点”，则结果如何？设点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为A ′(a ，b )，2分 则AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2，1＋b 2，4分所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2＝2×1＋a2＋1，b －1a －1×2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－35，b ＝95，10分故点A (1,1)关于直线y ＝2x ＋1的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，95.12分 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x －y ＝0对称”，则结果如何？ 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0,1)，B (1,3)，则点A 关于直线x －y ＝0的对称点为M (1,0)，点B 关于直线x －y ＝0的对称点为N (3,1)，6分∴根据两点式，得所求直线的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.12分1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．(2017·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0B1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．课时分层训练(四十六)两条直线的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )A．－2 B．－7C．3 D．1C2．(2016·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )A．1 B．2C. 2 D．2 2C3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于( ) A．－1 B．0C．1 D．2C4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( )A．(－2,1) B．(2,1)C．(1，－2) D．(1,2)A5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )【导学号：31222290】A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)B二、填空题6．(2017·深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．【导学号：31222291】(0,3)7．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为________．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0三、解答题9．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x －5y＋6＝0的直线l的方程．【导学号：31222292】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2).5分∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，8分则直线l 的方程为y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.12分10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，2分∴直线l 恒过定点(－2,3).5分(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大.7分又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.10分故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2015·广东高考)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 D2．(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为________．103．若m ＞0，n ＞0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，求1m ＋1n的最小值．易知点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为M (1－n,1＋m ).3分又点M (1－n,1＋m )在直线x －y ＋2＝0上， ∴1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.6分 于是1m ＋1n ＝12(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥1＋12·2n m ·mn＝2，10分 当且仅当m ＝n ＝1时，上式等号成立． 因此1m ＋1n的最小值为2.12分。
2018届高考数学文大一轮复习教师用书：第8章 平面解析
第五节椭圆————————————————————————————————1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( ) (1)³ (2)√ (3)³ (4)√2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 D3．(2015²广东高考)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9B4．(2016²全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 B5．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是__________．3(1)如图851所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )【导学号：31222310】A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．图851(1)A (2)x 2＋32y 2＝11.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|²|PF 2|的整体代换．2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式．(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.(2)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．(1)3 (2)x 24＋y 23＝1(2016²全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．(2015²福建高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 A☞角度1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为c2. 【导学号：31222311】(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图852，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图852(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca，3分 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.5分(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.8分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k ＋1 1＋4k 2，x 1x 2＝4 2k ＋1 2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k 2k ＋1 1＋4k ＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.10分 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝10 b 2－2 . 由|AB |＝10，得10 b 2－2 ＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.12分☞角度2 由位置关系研究直线的性质(2015²全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.3分 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).7分 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.9分 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ²x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ²k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.12分1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 1＋k 2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[ y 1＋y 2 2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，常用方法： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝c a求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．1．判断两种标准方程的方法是比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽视而导致求最值错误的原因．3．椭圆上任意一点M 到焦点F 的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .课时分层训练(四十九) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) 【导学号：31222312】A ．4B ．3C ．2D ．5A2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )【导学号：31222313】A.13B.33C.22D.12B3．(2016²盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )【导学号：31222314】A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 D4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 A二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________．4417．(2017²湖南长沙一中月考)如图853，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图853x 28＋y 22＝1 8．(2016²江苏高考)如图854，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.图85463三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．【导学号：31222315】(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.8分 ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.12分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.5分 (2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →²NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).10分 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →²NM →＝0，故MN ⊥AB .12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟) 1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为 ( )A.34B ．1C ．2D ．4C 2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________. 【导学号：31222316】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 3．(2017²西安调研)如图855，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图855(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.3分所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.5分 (2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k k －1 1＋2k 2，x 1x 2＝2k k －2 1＋2k2.9分 从而直线AP ，AQ 的斜率之和 k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －1 2k k －2＝2k －2(k －1)＝2. 所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.12分。
2018年大一轮数学文高考复习人教课件：第八章 平面解
解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即 为 B，F 两点间的距离， ∴ |PB|＋ |PF|≥|BF|＝ 42＋22＝ 16＋4＝2 5.即 |PB|＋ |PF|的最小 值为 2 5.
2．若将本例(3)中的条件改为：已知抛物线方程为 y2＝4x，直线 l 的方程为 x－y＋5＝0， 在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1， 到直线 l 的距离为 d2，求 d1＋d2 的最小值．
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第7课时 抛物线
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离 相等 的点 的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的 焦点 ，直线 l 叫做抛物 线的
准线
．
2．抛物线的标准方程及其简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线 段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2 ＝－ 2ay(a ＞ 0) 的通径长为 2a.(√) (6)方程 y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线， 且其焦
a 点坐标是4，0，准线方程是
a x＝－ .(×) 4
p F2，0的弦， 若
(7)抛物线 y2＝2x 的对称轴是 y 轴．(×) (8)AB 为抛物线 y ＝2px(p＞0)的过焦点
2
A(x1， y1)，
p2 B(x2，y2)，则 x1x2＝ 4 ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(√)
(9)点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋6＝0 的距离小 2，则 M 点的轨迹是抛物线，其方程为 x2＝16y.(×) (10)抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之比就是抛物 线的离心率．(√)
2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第八章 平面
课时规范训练 A 组 基础演练1．已知F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝( ) A ．6 B ．4 C ．2D ．1解析：选 A.由题意令|PF 2|－|PF 1|＝2a ，由双曲线方程可以求出|PF 1|＝4，a ＝1，所以|PF 2|＝4＋2＝6.2．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ． m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2解析：选C.∵双曲线x 2－y 2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.3．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.4．已知F 1，F 2为双曲线Ax 2－By 2＝1的焦点，其顶点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( ) A ．y ＝±22x B ．y ＝±24x C ．y ＝±xD ．y ＝±22x 或y ＝±24x 解析：选D.依题意c ＝3a ，∴c 2＝9a 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴b 2a 2＝8，b a ＝22，a b ＝24.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：x ＋2y ＋5＝0，双曲线的一个焦点在直线l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12，－c ＝－5，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝25，b ＝5，∴双曲线方程为x 220－y 25＝1.故选A.6．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b ＞0，所以b ＝ 3. 答案： 37．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于________．解析：双曲线的一条渐近线方程为x a －y b＝0，即bx －ay ＝0，焦点(c,0)到该渐近线的距离为bc a 2＋b 2＝bc c＝3，故b ＝3，结合c a ＝2，c 2＝a 2＋b 2得c ＝2，则双曲线C 的焦距为2c ＝4. 答案：48．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)．求双曲线C 的方程．解：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1，知右顶点(a,0)，不妨设双曲线C 的一条渐近线为y ＝bax .将x ＝a 代入上式，得交点A (a ，b )， 记双曲线C 的右焦点为F ，则F (c,0)， 依题意，|OF |＝|FA |＝4，∴⎩⎨⎧4－a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2＝c 2＝16解之得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2 3.故双曲线C 的标准方程为x 24－y 212＝1.10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解：(1)由题意知a ＝23， ∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0.∴|bc |b 2＋12＝3，结合c 2＝a 2＋b 2＝b 2＋12， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．B 组 能力突破1．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 B ．x 2＋y 2－10x －9＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0解析：选A.由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0. 2．已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解析：选D.双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ， 双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，且C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( ) A.102B. 5C.52D ．5解析：选D.由双曲线的定义可得2a ＝||PF 2→|－|PF 1→||＝1，所以a ＝12；因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以(2c )2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝25，解得c ＝52.所以此双曲线的离心率为e ＝c a ＝5，故D 正确．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22×83a ×23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.答案：535．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B . (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－＞0，－2k k 2－2＞0，2k 2－2＞0.解得k 的取值范围是－2＜k ＜－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)． 则由FA ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练《第八章 平面解析几何》8-7 Word版含解析
课时规范训练组基础演练．抛物线＝－的焦点坐标是( )解析：选.把原方程先化为标准方程＝－，则＝，∴＝，即焦点坐标为，故选.．过抛物线＝(>)的焦点作直线交抛物线于(，)，(，)两点，若＋＝，＝，则抛物线的方程是( )．＝．＝．＝．＝解析：选.由抛物线的定义知＝＋＋＝，又＋＝，所以＝，即抛物线的方程是＝.故选.．已知是抛物线＝的焦点，，是该抛物线上的两点，＋＝，则线段的中点到轴的距离为( )．解析：选.∵＋＝＋＋＝，∴＋＝.∴线段的中点到轴的距离为＝.．已知点(－)在抛物线：＝的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为( )．－．－．－．－解析：选.∵点(－)在抛物线的准线上，∴＝，∴抛物线的焦点的坐标为()．又(－)，根据斜率公式得＝＝－.．抛物线＝上两点(，)，(，)关于直线＝＋对称．若＝－，则的值是( )．．．．解析：选.由＝－，＝＋＝－，以及＝，＝可得－＝－＝(－)，＋＝－，＝(＋)－(＋)＝(＋)＋＝(＋)－＋＝×＋＋＝，故选.．若点到直线＝－的距离比它到点()的距离小，则点的轨迹方程是．解析：由题意可知点到直线＝－的距离等于它到点()的距离，故点的轨迹是以点()为焦点，以＝－为准线的抛物线，且＝，所以其标准方程为＝.答案：＝．已知过抛物线＝的焦点的直线交该抛物线于、两点，＝，则＝.解析：设(，)，由抛物线定义知＋＝，∴＝，则直线⊥轴，∴＝＝.答案：．若抛物线＝过点，则点到此抛物线的焦点的距离为．解析：由题意可知，点在抛物线＝上，所以＝，解得＝，得＝.由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，所以点到抛物线的焦点的距离为＋＝＋＝.答案：．设抛物线＝(＞)的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上，且∥轴．证明：直线经过原点.证明：法一：设：＝＋，代入＝，得－－＝.由根与系数的关系，得＝－，即＝－.∵∥轴，且在准线＝－上，∴.则＝＝＝＝·＝＝.∴直线经过原点.法二：如图，设准线与轴的交点为，过作⊥，垂足为.。
2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第八章 平面
课时规范训练 A 组 基础演练1．方程x 2－y 2＝0对应的图象是( )解析：选C.x 2－y 2＝0，即x ＋y ＝0，x －y ＝0，对应的是两条直线．2．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选B.点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y ＞0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件． 3．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆．4．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)解析：选D.设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22，y ＝y2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2.即y 2＝12(x －1)．5．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：选A.把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是________．解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0，∴动点C的轨迹方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x7．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是__________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．即轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)8．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－1，OM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝19．已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状． 解：设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)， 整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m ＞0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线； 当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．10．已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，点B 是圆F ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程． 解：如图，连接PA ，依题意可知|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2＞1.∴P 点轨迹为以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点，长半轴长为1的椭圆．其方程可设为x 21＋y 2b2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝1－14＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.B 组 能力突破1．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1) 2＋y 2＝2解析：选D.如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，PM ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴P 点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 解析：选C.如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF|＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 3．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a ＞b ＞0)表示的曲线大致是( )解析：选D.a ＞b ＞0得1b 2＞1a2＞0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－abx 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.4．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13AB ，点P 在平面ABCD上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是________．解析：过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连接PH 、PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由|PH |2－|PM |2＝1，得x 2＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋y 2＝1，化简得y 2＝23x －19.答案：y 2＝23x －195．已知O 为坐标原点，P 为圆x 2＋y 2＝20上的动点，过P 作直线l 垂直x 轴于点Q ，点M 满足QP →＝2QM →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝x ＋m (m ≠0)与曲线C 交于A ，B 两点，求三角形OAB 面积的最大值． 解：(1)设点P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则Q (x 0,0)，由QP →＝ 2 QM →，得0＝2(x －x 0)，y 0＝2(y －0)，即x ＝x 0，y 0＝2y ，∵x 20＋y 20＝20，∴x 2＋2y 2＝20.(2)将曲线C 与直线l 联立得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝20，y ＝x ＋m ，消去y 得：3x 2＋4mx ＋2m 2－20＝0. ∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴Δ＝16m 2－4×3×(2m 2－20)>0. 又∵m ≠0，∴0<m 2<30， x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－203.∵点O 到直线AB ：x －y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2，|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2[ x 1＋x 2 2－4x 1x 2] ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫16m 29－4×2m 2－203＝ 16930－m 2， ∴S △OAB ＝12169 30－m 2×|m |2， S △OAB ＝23 m 2 30－m 2 ≤23×m 2＋ 30－m 22＝52，当且仅当m 2＝30－m 2，即m 2＝15时取等号． ∴三角形OAB 面积的最大值为5 2.。
2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第八章 平面解析几何》8-5
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考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练
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数学
第5课时
椭
圆
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数学
1．椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 和 等于常数 2a(2a＞|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间 的距离叫做椭圆的 焦距 ．
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顶点 轴
长轴顶点(±a,0)
短轴顶点(0，±b)
长轴顶点(0，±a)
短轴顶点(±b,0)
长轴长 2a ，短轴长 2b
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数学
焦点 焦距 离心率 a，b，c 的关系
(± c,0)
(0，± c)
|F1F2|＝2c
c e＝a∈ (0,1) c2＝a2－b2
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数学
3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆．(×) (2)动点 P 到两定点 A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P 的 轨迹是椭圆．(×) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．(×) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(√) (5)方程 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(√)
N(2,0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是 ( ) B．椭圆 D．抛物线
A．圆 C．双曲线
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数学
解析：点 P 在线段 AN 的垂直平分线上， 故|PA|＝|PN|.又 AM 是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6＞|MN|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是椭圆．
2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)课时规范训练：《第八章_平面解析几何》8-5(有解析)
课时规范训练A 组 基础演练1．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) A ．9 B ．1C ．1或9D ．以上都不对解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1解析：选D.右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1. 又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．5解析：选A.由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2×5－6＝4.4．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析：选C.由⎩⎨⎧10－m ＞0m －2＞0，得2＜m ＜10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.5．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1D.x 25＋y 220＝1解析：选C.依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋22b2＝1，a 2－b 2＝15，由此解得a 2＝20，b 2＝5，因此所求的椭圆方程是x 220＋y25＝1，选C.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．解析：设椭圆左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF ，不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c ，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.答案：227．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|， |PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为 10＋|MF 2|＝10＋ (6－3)2＋42＝15.答案：158．椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca ＝3－1. 答案：3－19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段AB 的中点为M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜23， ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解：(1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15， ∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409， ∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029.(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4， 且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)， 即6x －5y －28＝0.B 组 能力突破1．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选C.∵满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 在圆x 2＋y 2＝c 2上，∴圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆内部，即c ＜b ， ∴c 2＜b 2＝a 2－c 2,2c 2＜a 2， ∴e 2＜12，即e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.2．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22D.32解析：选C.由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba ，由于OP ∥AB ， ∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a ，把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C. 3.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝1解析：选B.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＋∠FPO ＋∠OPF ′＝180°，知∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理得，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －(－c )＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝ca ，0＜e＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：335．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知e ＝c a ＝22，b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.。
2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练：《第八章 平面解析几何》8-2含解析
课时规范训练A组基础演练1．直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是() A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0解析：选A.由题意可得直线l的斜率k＝－3 2，∴l：y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于()A．3 B．1C．－1 D．3或－1解析：选C.由题意知，l1∥l2⇔1a－2＝a3≠62a，即a＝－1.故选C.3．已知直线l的倾斜角为34π，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于() A．－4 B．－2C．0 D．2解析：选B.∵直线l的斜率为－1，∴直线l1的斜率为1，∴k AB＝2－(－1)3－a＝1，解得a＝0.∵l1∥l2，∴－2b＝1，解得b＝－2，∴a＋b＝－2.4．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为()A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析：选D.设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A.由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得A 正确． 6．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程是________． 解析：由题意知，所求直线与OA 垂直， 因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12.所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．过点(3,1)，且过直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3交点的直线方程为________． 解析：法一：由⎩⎨⎧ y ＝2x x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，即两直线交点为(1,2)，依题意，由两点式方程得y －12－1＝x －31－3，即x ＋2y －5＝0.法二：设所求直线方程为x ＋y －3＋λ(2x －y )＝0. 把点(3,1)代入得λ＝－15，故所求直线方程为 x ＋y －3－15(2x －y )＝0，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝08．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，则边BC 的垂直平分线DE 的方程为________．解析：设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2. 答案：y ＝2x ＋29．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在直线的方程．解：作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故B C 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程． 解：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.B 组1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．6个解析：选 C.三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个． 2．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010解析：选A.由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1·[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．2 2D ．2 3解析：选B.由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.4．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，则点C 的坐标为________．解析：把A ，B 两点的坐标分别代入y ＝2x ，可知A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线所在的直线，设点A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22， 由⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 的平分线所在的直线， ∴点A ′在直线BC 上， ∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0， 由⎩⎨⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4， ∴C (2,4)． 答案：(2,4)5．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解：过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。
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课时规范训练A 组 基础演练1．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( ) A ．9 B ．1C ．1或9D ．以上都不对解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1解析：选D.右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1. 又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．5解析：选A.由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2×5－6＝4.4．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧10－m ＞0m －2＞0，得2＜m ＜10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.5．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1D.x 25＋y 220＝1解析：选C.依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎨⎧22a 2＋22b 2＝1，a 2－b 2＝15，由此解得a 2＝20，b 2＝5，因此所求的椭圆方程是x 220＋y25＝1，选C.6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是____________．解析：设椭圆左焦点为F 1，由F 关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |，又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF ，不妨设|QF 1|＝ck ，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c ，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.答案：227．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|， |PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为 10＋|MF 2|＝10＋ (6－3)2＋42＝15.答案：158．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2， 所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝ca ＝3－1. 答案：3－19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m .消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2＞0，∴－23＜m ＜23， ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m 3， ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． 解：(1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15， ∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029.(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4， 且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)， 即6x －5y －28＝0.B 组 能力突破1．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：选C.∵满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 在圆x 2＋y 2＝c 2上，∴圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆内部，即c ＜b ， ∴c 2＜b 2＝a 2－c 2,2c 2＜a 2， ∴e 2＜12，即e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.2．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24B.12C.22D.32解析：选C.由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba ，由于OP ∥AB ， ∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bc a ，把P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，bc a 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a 2b 2＝1，而⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22.选C.3.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |，且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 236＋y 216＝1 C.x 230＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝1解析：选B.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连接PF ′，如图所示．因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＋∠FPO ＋∠OPF ′＝180°，知∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理得，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆的方程为x 236＋y216＝1.4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 解析：由题意知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －(－c )＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a ，0＜e ＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：335．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知e ＝c a ＝22，b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.。