抛物线与图形的面积
与抛物线_同行_的图形面积问题_刘娟
的中点（ x0 ，y0 ） ，若设直线 AB 的方程为 y = kx
+ b，则应用x1
+ 2
x2
=
xP 表示 P 为线段 AB 的中
点较好； 若设直线 AB 的方程为 x = my + n，则
应用y1
+ y2 2
=
yP 表示 P 为线段 AB 的中点较
好． 至于直线 AB 方程的其他形式，同理也有类
B（ x2 ，y2 ） ，则 |
BF |
=
x2
+
p 2
= 2，可得 x2 =
2－ p 2
=
3 2
．
设
F
到直线
AB
的距离为
d，则
SBCF = S ACF
1 2
d·|
BC |
1 d·| AC | 2
= | BC | ． | AC |
过点 A、B 分别引准线的垂线 AP、BQ，则
AP
∥
BQ，||
BC AC
+ 1，| AB | = 槡1 + t2 | x1 － x2 | = 2（ t2 + 1） ．
设 d1 、d2 分别为点 D、E 到 直 线 AB 的 距
离，则 d1
=
槡t2 + 1 ，d2
=
2 ，四 边 形 槡t2 + 1
ADBE 的面积
S=
1 2
| AB |
（ d1 + d2 ）
= （ t2 + 3） 槡t2 + 1 ．
相切，且 切 点 为 线 段 AB 的 中 点，求 四 边 形 ADBE 的面积．
( ) 解 （ 1） 直线 AB 过定点 0，12 ． （ 过程略）
所有的面积公式
所有的面积公式数学中，面积公式可以让我们计算出它的具体面积。
下面是店铺给大家整理的所有的面积公式，供大家参阅!梯形面积公式S=(a+b)×h÷2{梯形面积=(上底+下底)×高÷2}球体(正球)表面积公式S=4πr^2{球体(正球)表面积=圆周率×半径×半径×4}坐标公式1：△ABC，三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.2:空间△ABC，三顶点的坐标分别为A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面积为S，则S^2=(a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.圆公式/面积公式设圆半径为：r, 面积为：S .则面积S= π·r^2 ; π 表示圆周率即圆面积等于圆周率乘以圆半径的平方扇形面积公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：C=2R+nπR÷180=2×1+135×3.14×1÷180=2+2.355=4.355(cm)=43.55(mm)扇形的面积：S=nπR^2÷360=135×3.14×1×1÷360=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)扇形还有另一个面积公式面积公式其中l为弧长，R为半径扇环面积公式面积公式图册圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方-圆周率X小半径的平方\圆周率X(大半径的平方-小半径的平方)用字母表示：S内+S外(πR方)S外—S内=∏(R方-r方)还有第二种方法：S=π[(R-r)×(R+r)]R=大圆半径r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径还有一种方法：已知圆环的外直径为D，圆环厚度(即外内半径之差)为d。
抛物线与图形面积专题精编
抛物线与图形面积专题精编【例1】、已知直线42+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点，抛物线c bx x y ++=221-进过点A 、D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且3:1:=ΔΔOMD AOM S S ，求点M 的坐标；（3）如果点C （2，y ）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨： 对于（2），将面积比转化为线段比，因点M 在直线AD 上，等腰△BCP 的底腰不定，故应全面讨论．【例2】 如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第一象限，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨： 对于（2），Q 点必在平行于BC 的直线上，从等积变形切入．归纳总结： “等（同）底、等（同）高、等面积”这三个论断，以其中任意两个为条件，可推得第三个结论．灵活运用这些关系式，常与中点、平行线、梯形、平行四边形相关联．面积比转化为线段比，常与相似三角形联系在一起．【例4】 如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21Δ=，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解决下列问题：如图②，已知抛物线经过A （-4,0）、B （0，-4）、C （2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，其横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．图① 图②点拨与解析： 对于（2），分割图形，或作MD ⊥x 轴交AB 于D ，直接运用抛物线上计算三角形面积的公式．（1）2142y x x =+-； （2）直线AB 的解析式为：4y x =--，()()2242440S m m m m =--=-++-<<，∴当2m =-时，max 4S =．总结： 例3通过阅读理解创造一类求图形面积的新方法，铅垂高可用动点的横坐标表示，从而把三角形面积与动点的横坐标联系起来．类比迁移，我们可用例3的模型贯通这一类问题．针对训练：1、如图，二次函数m x x y ++=2-2的图象与x 轴的一个交点为A （3,0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求二次函数解析式；（2）该二次函数图象上有一点D （x ，y ），使ABC ABD S S ΔΔ=，求点D 的坐标．2、如图，抛物线k x y ++=21）（与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-3）．（1）求抛物线的对称轴及k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得P A +PC 的值最小，求此时点P 的坐标；（3）点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ②当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标．3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与一直线相交于A （-1,0）、C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN +MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，点E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF //BD 交抛物线于点F ，以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形能够为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一动点，求△APC 面积的最大值．4、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0）、B（0，-4）、C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．本节总结：面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素—边与角．由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式，解这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积变形、等比转化．。
抛物线的面积公式
抛物线面积计算公式：S=x^2（1）y。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹，包含两个方面的问题，凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）。
另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。
抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析
抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。
它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。
抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。
在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。
我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。
通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。
同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。
最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。
本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。
【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。
同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。
（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。
然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。
最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。
（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。
同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。
通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
两抛物线所围成的曲面面积公式及应用
小值、 如图２ 示 ： 所
ｆ 得到了一个简洁的计算公式 ． 『 Ｊ ．
１ 两抛物线所围成的 曲面面积公式 已知 两抛物线 Ｌ Ｙ ＝Ⅱ ＋６ 十 ｌ Ｌ ： ２＝Ｏ Ｘ ＋６ＸＦ２ Ｉ ｌ ｌ ｃ ！Ｙ ２－ ２ Ｃ 所 嘲成的曲面面积为Ｓ 如图ｌ 示： 所
式 ，写成 Ｌ ： ：／ 、 ＋ｎ 上， ｆ
－
Ｓ ｒ ） ｙｄ： ： 。 （一： ＋ 。ｃ】 ＝ ：Ｉ Ｏｘ ｒｆ一 ） ６ ６ （一： （— ・ Ｉ ｎ ＋ ） ｃ ） Ⅱ ｄ
（： ） ａ －ａ） ！＋ Ｘ ＋Ｘ） 一 ［ ｔ （ ， （ ２ ２ １＋ｌ（ ｂ
20080730f楼48页通过开发南阳黄牛皮革的艺术与资源开发以提高南阳的特开发黄牛皮原料的优点为导向用精彩的艺术手法先进的工艺技色经济为宗旨特别是南阳黄牛皮的特性注意把原料艺术加工与术
３ ９
红 种 ｊ ２０ ￣第１期 Ｉ ０ ８５ １ 走
学 术 研 讨
两 抛 物 线所 围成 的 曲面 面 积公 式 及 应 用
参 考文献
目前 ，我市关 于南阳黄牛皮革的研 究处于初级阶段 ，人ｆ公 认的 『 Ｊ 成果不多，关于对 南阳皮革艺术价值的研宄未曾试过 、如果本课题研 究成功 ， 具有理 沦参考的价值 将
Байду номын сангаас
我仃着重研宄挖掘 南阳特色资源 ，不断引进 、吸收和创新，以全 Ｊ 新的艺术 没汁 念 ，运用到具体的实际操作之中 ，使皮革行 业和皮革 艺术制品市场的繁荣上升为新的高度 ，具有很强的理 沦指导意义 ，
＝
一
Ｌ ：
＝
ｖ！
与函数图象有关面积的求法
与函数图象有关面积的求法求解与函数图象有关的图形面积问题，在各类考试中常常出现，许多同学难以入手，实际上，求解这类问题的关键是画出图形后，设法将图形转化为三角形，再求出三角形的底和高。
现分类例析如下。
一、直线与坐标轴围成的面积例1 设直线1x y :l 1-=交x 轴于A ，交y 轴于D ，直线27x 21y :l 2+-=交y 轴于B ，且21l l 与交于C.求ABC ∆的面积S.解:画出略图.可见.S S S ABC ABD BCD ∆∆-=∆的面积只要求出底边长和高(点C 、A 的横坐标).在⎪⎩⎪⎨⎧+-=-==-=+-=-=,27x 21y ,1x y ).0,1(A ,0y ）；27，0），B（1，0D （,0x ，27x 21y ,1x y 再联立得令得分别令中得C(3,2).291)1(27213)1(2721x DB 21x DB 21S Ac =⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯=⨯-⨯=所以 二、直线与双曲线例2 设直线y=-x+5与双曲线x4y =交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积。
解：画出示意图，直接求OAB ∆的底边AB 长和相应的高，比较困难。
现割补法进行转化，记直线交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，则所求面积.S S S S OBD OCA OCD ∆∆∆--=在y=-x+5中，分别令y=0,x=0,得C （5，0），D （0，5）。
又由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,x 4y ,5x y 得A （4，1），B （1，4） 从而.215152115215521S =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=三、直线与抛物线例3 已知抛物线m x 2x y 2++-=交x 轴于两点10x x ,＜x x ),0,x (B ),0,x (A 22122121=+且. 又点P （4，n ）在该抛物线上，设抛物线的顶点是C ，求ACP ∆的面积S 。
分析：将ACP ∆分成两个APD ACD 、∆∆，需求底边AD 的长及相应的高，即点C 、点P 的纵坐标。
第五课时 抛物线与几何图形面积 教学设计
通过学生的思考，学生上台展示，教师的讲解与总结，让学生掌握利用函数知识解决面积问题的方法
独立思考和体验，自我辩正，形成能力
本节课活动过程中的心得和体会，不断积累学习的经验，通过作业，了解学生学习的情况。
教学过程设计
问题与情境
出示第一张幻灯片，师生课前情感交流
教师出示第二张幻灯片，展示课前热身2个小题
2个小题由学生在2分钟时间内解决，由学生回答结果，教师给予评价
教师留时间给学生思考，可由学生举手讲解
教师出示例1的幻灯片，留时间给学生思考，然后由学生举手上台讲解，教师给予点评与总结
教师出示例2的幻灯片，同样留足够时间给学生思考，可由小组合作讨论，最后派代表举手发言，上台讲解，教师作出评价与总结
第五课时抛物线与几何图形面积教学设计
教
学
目
标
基础性目标
通过对动点的观察，掌握建立图形面积的函数关系式的方法，会求图形面积的最值。
发展性目标
培养学生分析问题，综合运用函数知识解决面积问题的能力。
融通性目标
通过师生合作，生生合作，让学生体会数学学习的乐趣，
改变中等生对压轴题的看法，通过与其他同学交流、活动，初步形成参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【活动4】自我挑战
如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数 的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
教师带领学生一起分析，教师讲解压轴题的板书格式，学生领会
抛物线内接三角形面积公式
抛物线内接三角形面积公式
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如果把抛物线的顶点设为坐标原点 (0,0)，那么抛物线的顶点
坐标为 (h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)。
接下来，我们设抛物线上任意一点的坐标为 (x, ax^2 + bx + c)。
我们知道，任意抛物线上的一点到抛物线顶点的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √((x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2)
现在我们要求抛物线上的三个点坐标 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,
y3)，使得这个三角形与抛物线相内切。
由于内切三角形的性质，三个点到抛物线顶点的距离都是相同的。
因此我们可以将这个距离简化为：
d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2)
根据欧几里得距离公式，这个内切三角形的面积可以通过海伦公式计算：
s = √(p(p-d1)(p-d2)(p-d3))
其中 p = (d1 + d2 + d3)/2 是三个边长的半周长。
我们可以进一步简化这个面积公式，将三个边长用 d 表示：s = √(3d^2(d-p))
其中d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2) 是三个边长的距离，p = (3d)/2 是三个边长的半周长。
这就是抛物线内接三角形的面积公式。
抛物线积分公式
抛物线积分公式抛物线积分公式，这可是数学里一个挺有意思的家伙！咱先来说说抛物线这玩意儿。
想象一下，你往空中扔个球，它划过的那个轨迹，有点像抛物线，对吧？其实在数学的世界里，抛物线有着很严谨的定义和表现形式。
说到抛物线积分公式，这就像是打开了一扇通往更深入数学知识的大门。
它可不是随随便便就能理解的，得下点功夫。
我记得有一次，我在课堂上讲抛物线积分公式，有个学生瞪着大眼睛，一脸的迷茫。
我就问他：“咋啦，没听懂？”他挠挠头说：“老师，这感觉太抽象了，根本不知道怎么用。
”我想了想，拿起一支粉笔，在黑板上画了一个大大的抛物线，然后说：“同学们，咱们就把这个抛物线想象成一个滑梯，积分呢，就是计算这个滑梯表面的面积。
”这一下，好多同学好像有点感觉了。
那这个抛物线积分公式到底是啥呢？简单来说，就是用来计算抛物线与坐标轴所围成的图形面积的一个工具。
比如说，给你一个抛物线的方程，然后让你求出它在某个区间内与 x 轴所围成的面积，这时候抛物线积分公式就派上用场啦。
咱们来举个例子瞅瞅。
假设抛物线的方程是 y = x²，我们要计算它在区间 [0, 2] 与 x 轴围成的面积。
这时候，我们就可以用抛物线积分公式来算。
经过一番计算，就能得出这个面积的值。
在实际应用中，抛物线积分公式的用处可大了。
比如在物理学中，计算物体的运动轨迹所经过的面积；在工程学里，计算一些弯曲结构的面积或者体积等等。
学习抛物线积分公式可不能死记硬背，得理解它背后的原理。
就像搭积木一样，一块一块弄清楚了，才能搭出漂亮的城堡。
对于那些觉得这个公式难的同学，别着急。
多做几道练习题，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门了。
总之，抛物线积分公式虽然有点复杂，但只要用心去学，就能发现它的魅力和用处。
就像解开一道谜题，当你找到答案的时候，那种成就感可是满满的！希望大家都能和抛物线积分公式成为好朋友，在数学的海洋里畅游无阻！。
高考必考数学重点公式
高考必考数学重点公式高中数学基本公式大全有了此书,高分无忧一、基本公式必考公式1、抛物线：y = ax + bx + c1就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c2a > 0时开口向上 ,a < 0时开口向下 ,c = 0时抛物线经过原点 ,b = 0时抛物线对称轴为y轴;3还有顶点式y = ax+h + k4就是y等于a乘以x+h的平方+k5-h是顶点坐标的x ,k是顶点坐标的y6一般用于求最大值与最小值7抛物线标准方程:y^2=2px ,它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为p/2,0 准线方程为x=-p/29由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py2、圆：体积=4/3pir^31 面积=pir^22周长=2pir3圆的标准方程 x-a2+y-b2=r2 注：a,b是圆心坐标4圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>03、椭圆周长计算公式1椭圆周长公式：L=2πb+4a-b2椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长2πb加上四倍的该椭圆长半轴长a与短半轴长b的差;3椭圆面积计算公式：椭圆面积公式： S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率π乘该椭圆长半轴长a与短半轴长b的乘积;以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来;常数为体,公式为用;椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径短半径PAI高4、三角函数：1两角和公式sinA+B=sinAcosB+cosAsinB sinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinB cosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanB tanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanBcotA+B=cotAcotB-1/cotB+cotA cotA-B=cotAcotB+1/cotB-cotA2倍角公式tan2A=2tanA/1-tan2A cot2A=cot2A-1/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sinα+2π/n+sinα+2π2/n+sinα+2π3/n+……+sinα+2πn-1/n=0 cosα+cosα+2π/n+cosα+2π2/n+cosα+2π3/n+……+cosα+2πn-1/n=0 以及sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=03半角公式sinA/2=√1-cosA/2 sinA/2=-√1-cosA/2cosA/2=√1+cosA/2 cosA/2=-√1+cosA/2tanA/2=√1-cosA/1+cosA tanA/2=-√1-cosA/1+cosAcotA/2=√1+cosA/1-cosA cotA/2=-√1+cosA/1-cosA4和差化积2sinAcosB=sinA+B+sinA-B 2cosAsinB=sinA+B-sinA-B2cosAcosB=cosA+B-sinA-B -2sinAsinB=cosA+B-cosA-BsinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2 cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB tanA-tanB=sinA-B/cosAcosBcotA+cotBsinA+B/sinAsinB -cotA+cotBsinA+B/sinAsinB5某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=nn+1/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+2n-1=n22+4+6+8+10+12+14+…+2n=nn+11^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=nn+12n+1/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=nn+1/2^212+23+34+45+56+67+…+nn+1=nn+1n+2/36正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径7余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角8乘法与因式分 a2-b2=a+ba-b a3+b3=a+ba2-ab+b2 a3-b3=a-ba2+ab+b29三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|5、一元二次方程1一元二次方程的解-b+√b2-4ac/2a -b-√b2-4ac/2a2根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1x2=c/a 注：韦达定理3判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 , b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根 ,b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根二、公式表达式1、圆的标准方程 x-a2+y-b2=r2 注：a,b是圆心坐标2、圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>03、抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py4、直棱柱侧面积 S=ch 斜棱柱侧面积 S=c'h5、正棱锥侧面积 S=1/2ch' 正棱台侧面积 S=1/2c+c'h'6、圆台侧面积 S=1/2c+c'l=piR+rl 球的表面积 S=4pir27、圆柱侧面积 S=ch=2pih 圆锥侧面积 S=1/2cl=pirl8、弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2lr9、锥体体积公式 V=1/3SH 圆锥体体积公式 V=1/3pir2h10、斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积, L是侧棱长11、柱体体积公式 V=sh 圆柱体 V=pir2h12、图形周长面积体积公式13、长方形的周长=长+宽×214、正方形的周长=边长×415、长方形的面积=长×宽16、正方形的面积=边长×边长17、三角形的面积已知三角形底a,高h,则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√pp - ap - bp - c 海伦公式p=a+b+c/2 和：a+b+ca+b-c1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r则三角形面积=a+b+cr/2设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4c^2a^2-c^2+a^2-b^2/2^2} “三斜求积”南宋秦九韶18、 | a b 1 |S△=1/2 | c d 1 || e f 1 || a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内Aa,b,Bc,d, Ce,f,这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小19、秦九韶三角形中线面积公式:S=√Ma+Mb+McMb+Mc-MaMc+Ma-MbMa+Mb-Mc/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.20、平行四边形的面积=底×高21、梯形的面积=上底+下底×高÷222、直径=半径×2 半径=直径÷223、圆的周长=圆周率×直径=24、圆周率×半径×225、圆的面积=圆周率×半径×半径26、长方体的表面积=长×宽+长×高＋宽×高×227、长方体的体积 =长×宽×高28、正方体的表面积=棱长×棱长×629、正方体的体积=棱长×棱长×棱长30、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高31、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积32、圆柱的体积=底面积×高33、圆锥的体积=底面积×高÷334、长方体正方体、圆柱体的体积=底面积×高三、平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2a+bS＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝a+b+c/2 S＝ah/2＝ab/2sinC＝ss-as-bs-c1/2＝a2sinBsinC/2sinA1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理sas 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 asa有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论aas 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理sss 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理hl 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等等角对等边35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于n-2×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即s=a×b÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l=a+b ÷2 s=l×h83 1比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 2合比性质如果a／b=c／d,那么a±b／b=c±d／d85 3等比性质如果a／b=c／d=…=m／nb+d+…+n≠0,那么 a+c+…+m／b+d+…+n=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似asa92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似sas94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似sss95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆;110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线l和⊙o相交 d＜r②直线l和⊙o相切 d=r③直线l和⊙o相离 d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上135①两圆外离 d＞r+r ②两圆外切 d=r+r③两圆相交 r-r＜d＜r+rr＞r④两圆内切 d=r-rr＞r ⑤两圆内含d＜r-rr＞r136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成nn≥3:⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于n-2×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×n-2180°／n=360°化为n-2k-2=4144弧长计算公式：l=nπr／180145扇形面积公式：s扇形=nπr2／360=lr／2146内公切线长= d-r-r 外公切线长= d-r+r147等腰三角形的两个底脚相等148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 149如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等150三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略
图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。
.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在 性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段， 并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的 解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既 要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和 数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多 方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很 好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问 题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围 绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精 心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以 帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得 以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同 方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决 问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提 高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质 之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初 三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结 合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高 频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积 及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公 式（底乘髙的一半）来求,在平面 直角坐标系中求斜三角形的面 积用这个公式难度大，那如何求 呢？那就需要运用转化的方法 把斜三角形分割成底与高分别 与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分 割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜 三角形的面积不仅可以运用分 割法，也可以转换思路，用补形 的方法把不规则图形转化成规 则图形，将斜三角形面积转化 成矩形面积减去三角形的面 积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (： 一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点 ，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点 所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的 面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我 们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点 由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需 使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化 思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点 作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设 出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确 角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是 变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基 础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ， 利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用 公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教 学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、 数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念， 是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度 学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引 领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并 在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的 过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在 学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价 值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层 面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。
平方差公式几何证明6种
平方差公式几何证明6种a²-b²=(a+b)(a-b)下面将给出六种几何证明平方差公式的方法。
1.长方形法证明：考虑一个长方形，其中长为a+b，宽为a-b。
将这个长方形分割成两个正方形，一个边长为a，另一个边长为b。
则长方形的面积可以表示为(a+b)(a-b)。
另一方面，根据长方形的面积公式，面积也可以表示为a²-b²。
因此，我们得到了平方差公式。
2.根据勾股定理证明：考虑一个直角三角形，其中一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。
根据勾股定理，斜边的长度为√(a²+b²)。
另一方面，根据勾股定理的另一个形式，斜边的长度也可以表示为√((a+b)(a-b))。
因此，我们可以得到平方差公式。
3.齐次坐标法证明：考虑一个平面上的点P(a,a²)和Q(b,b²)。
连接P和Q，得到线段PQ。
根据两点间距离公式，PQ的长度为√((a-b)²+(a²-b²)²)。
另一方面，根据斜率公式，PQ的斜率为(a²-b²)/(a-b)=a+b。
因此，我们可以得到平方差公式。
4.几何平均法证明：考虑一个边长为a的正方形，以及一个边长为b的正方形。
边长分别为a和b的两个正方形的面积分别为a²和b²。
将这两个正方形共边放置在一起，形成一个边长为a+b，面积为(a+b)²的正方形。
然后，将边长为b的正方形从这个大正方形中去掉，留下一个边长为a，面积为(a+b)(a-b)的长方形。
另一方面，我们可以推导出，这个留下的长方形的面积也可以表示为a²-b²。
因此，我们得到了平方差公式。
5.抛物线法证明：考虑一个抛物线y=x²。
选择两个点P(a,a²)和Q(b,b²)，其中a>b，并且Q在P的右侧。
连接P和Q，并延长到抛物线上的点R，使得PQ平行于x轴。
初三数学试题 抛物线与三角形面积
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟初三数学试题抛物线与三角形面积初三数学试题抛物线与三角形面积抛物线与三角形面积抛物线与三角形面积问题涉及代数、几何知识，有一定难度。
本文通过举例来谈这类题的解法。
一、顶点在抛物线y=ax2+bx+c 的三角形面积的一般情况有：(1)、以抛物线与x 轴的两交点和抛物线的顶点为顶点的三角形，其底边的长是抛物线与x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值。
其面积为：SΔ= |x1-x2|•| |= • •| |(2)、以抛物线与x 轴、y 轴的三个交点为顶点的三角形。
其底边的长是抛物线与x 轴两交点间的距离，高的长是抛物线与y 轴上的截距(原点与y 轴交点构成的线段长)的绝对值。
其面积为：SΔ= •|x1-x2|•|c|= • •|c|(3)、三角形三个顶点在抛物线其他位置时，应根据图形的具体特征，灵活运用几何和代数的有关知识。
二、 1.求内接于抛物线的三角形面积。
例1.已知抛物线的顶点C(2，)，它与x 轴两交点A、B 的横坐标是方程x2-4x+3=0 的两根，求ΔABC 的面积。
解：由方程x2-4x+3=0，得x1=1, x2=3,∴ AB=|x2-x1|=|3-1|=2.∴ SΔABC= 乘以2 乘以= .例2.已知二次函数y= x2+3x+2 的图像与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于今天的努力是为了明天的幸福。
专题二十三抛物线与面积问题
专题二十三 抛物线与面积问题知识聚焦面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角．由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线相结合的常见形式之一．解这类问题常用到以下与面积相关的知识：(1)图形的割补； (2)等积变形； (3)等比转化． 例题导航【例1】若抛物线142-+-=m mx x y 经过原点0，与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D.2点拨：由于二次函数142-+-=m mx x y 的图象经过原点，则可得m 的值，然后求出A 、B 两点的坐标，进而求出△OAB 的面积．解答：二次函数142-+-=m mx x y 的图象经过原点，则∴==-,1,01m m 二次函数的解析式为.42x x y -=又抛物线与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则A(4，0)、B(2，-4)，OAB ∆∴的面积.84421||21=⨯⨯=⋅=B y OA S 故选B 点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，以及二次函数图象上点的坐标特征和由点的坐标求面积的方法， 【例2】如图，抛物线2)2(21:21--=x y C 与x 轴分别交于0、A 两点，将抛物线1C 向上平移得到,2C 过点A 作x AB ⊥轴交抛物线2C 于点B ，如果由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线2C 的函数解析式为 ( )4)2(21.2+-=x y A 3)2(21.2+-=x y B 2)2(21.2+-=x y C 1)2(21.2+-=x y D 点拨：根据题意可推知由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO 的面积．然后根据抛物线1C 的解析式求得0、A 两点的坐标，从而求得OA 的长度．最后由矩形的面积公式求得AB 的长度，即求得2C 是由抛物线1C 向上平移多少个单位得到的，解答：如图，连接2,C BC Θ是由抛物线1C 向上平移得到的，∴由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就等于矩形ABCO 的面积．Θ抛物线1C 的解析式是--=2)2(21x y ∴,2抛物线1C 与x 轴分别交于)0,4(、)0,0(A O 两点．2.4.16.4C AB AB OA OA ∴=∴=⋅=∴Θ是由抛物线1C 向上平移4个单位得到的，2C ∴的解析式为,42)2(212+--=x y 即+-=2)2(21x y 2．故选C ．点评：本题主要考查了二次函数的解析式的求法．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标求出线段的长度，从而得出线段之间的关系．【例3】 （2013．泸州）如图①，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为(1，),3-已知抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 经过三点A 、B 、O(O 为原点)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时点P 的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由（结果均保留根号）．点拨：(1)直接将A 、O 、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；(2)Θ点A 、0关于对称轴对称，连接AB 交对称轴于点C ，点C 即为所求，求直线AB 的函数解析式，再根据点C 的横坐标值，求纵坐标；(3)设><<-y x y x P ,02)(,(0)，用割补法可表示△PAB 的面积，根据面积的表达式再求取最大值时x 的值．解答：(1)将)0,0(、)3,1(、)0,2(O B A --三点的坐标代人),0(2=/++=a c bx ax y 可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=++=+-,0,3,024c c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=.0,332,33c b a 故所求抛物线的函数解析式为.332332x x y --= (2)存在．如图②，=--=x x y 332332Θ∴++-,33)1(332x 抛物线的对称轴为直线=x Θ.1-点C 在对称轴直线1-=x 上，△BOC 的周长∴=++=,2,OB CO BC OB 要使△BOC 的周长最小，必须使CO BC +最小．Θ 点0与点A 关于直线1-=x 对称，BOC CA CO ∆=∴,的周长+=OB ∴++=+,CA BC OB CO BC 当B C A 、、三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，+BC CA 最小，此时△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为,t kx y +=则有⎩⎨⎧-=+=+-.3,02t kt k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-=∴-=332,33t k 直线AB 的解析式为--=x y 33⋅332当1-=x 时，∴-=,33y 所求点C 的坐标为⋅--)33,1((3)设),0,02)(,(><<-y x y x P 则=y .①332332x x --如图③，过点P作y PQ ⊥轴于点x PG Q ⊥,轴于点G ，过点A 作PQ AF ⊥于点F,过点B 作PQ BE ⊥于点E ，则⋅=-=y PG x PQ ,由题意，得=--=∆∆∆BEP AFP AFEB PAB s s s s 梯形=⋅-⋅-⋅+BE PE FP AF FE BE AF 2121)(21--+⋅-+++1（21)2(21)21)(3(21x y y y .②32323)3)(++=+x y y x 将①代人,②得=++-⋅-=∆323)33233(,232x x x s PAB ∴⋅++-=+--839)21(233232322x x x 当21-=x 时，△PAB 的面积最大，最大值为,839此时∴=⨯+⨯-=,43213324133y 点P 的坐标为⋅-)43,21( 点评：本题考查了坐标系中点的坐标求法、抛物线解析式的求法以及根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最；大值等问题．解答本题第(3)问也可以将直线AB 向；上平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P 的坐标．【例4】 （2013．三明）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （-6，0）、B(4，0)、C(O ，8)，把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线=y c ax ax +-102经过点C ，顶点M 在直线BC 上．(1)证明四边形ABDC 是菱形，并求点D 的坐标； (2)求抛物线的对称轴和函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨：(1)根据两点之间的距离公式、勾股定理和翻折的性质可得,AC CD BD AB ===根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标；(2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为),,5(n 直线BC 的解析式为,b kx y +=根据待定系数法可求得点M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数解析式；(3)分点P 在CD 的上面和点P 在CD 的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标．解答：(1)),8,0(),0,4(),0,6(C B A -Θ、=∴=+==+=∴AB AC AB .1086,104622AC ．由翻折可得==∴==BD AB CD AC BD AB ,,∴=.AC CD 四边形ABDC 是菱形．.//AB CD ∴∴),8,0(C Θ点D的坐标是(10，8).∴+-=,10)2(2c ax ax y Θ对称轴为直线.5210=--=aax 设点M 的坐标为),,5(n 直线BC 的解析式为∴+=,b kx y ⎩⎨⎧==+.8,04b b k 解得Θ.82.8,2+-=∴⎩⎨⎧=-=x y b k 点M 在直线=y 82+-x 上，.2852-=+⨯-=∴n 又Θ抛物线c ax ax y +-=102经过点C 和点M ，⎩⎨⎧-=+-=∴.25025,8c a a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=∴=.8,52c a 抛物线的函数解析式为.84522+-=x x y (3)存在，△PBD 与△PCD 的面积相等时，点P 的坐标为).38,5(),829,45(21-P P 点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的应用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的应用．【例5】 （2012．呼和浩特）如图①，抛物线)0(2<++=a c bx ax y 与双曲线xky =相交于点A 、B ，且抛物线经过坐标原点，点A 的坐标为（-2，2），点B 在第四象限内，过点B 作直线x BC //轴，点C 为直线BC 与抛物线的另一交点，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E ．(1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨：(1)将点A 的坐标代入双曲线方程即可得出k 的值，设点B 的坐标为),0)(4,(>-m m m 根据双曲线方程可得出m 的值，然后分别求出A 、B 、0的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；(2)如图②，根据点B 的坐标，结合抛物线方程可求出点C 的坐标，进而可得出△ABC 的面积，先求出直线AB 的解析式，然后求出点F 的坐标及EF 的长，进而根据BEF AEF ABE S s s ∆∆∆+=可得出答案；(3)先确定符合题意的△ABD 的面积，进而可得出当点D 与点C 重合时，满足条件；当点D 不与点C 重合时，过点C 作AB 的平行线CD ，则可求出 其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D 的坐标．解答：(1)Θ点,2(-A 2)在双曲线xky =上，=∴k ∴-.4双曲线的解析式为Θ⋅-=xy 4BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴距离的4倍，∴可设点B 的坐标为),0)(4,(>-m m m 代人双曲线解析式得∴=.1m 抛物线<++=a c bx ax y (20)过点).0,0(、)4,1(、)2,2(O B A --⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+-∴.0,4,224c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.0.,3,1c b a 抛物线的解析式为.32x x y --=Θ)2(抛物线的解析式为∴--=,32x x y 顶点),49,23(-E 对称轴为直线,1(23B x Θ-=,43),42-=--∴-x x 解得Θ.4,121-==x x 点C 的横坐标小于+=∴--∴∆4().4,4(,0ABC S C .1521)24()1=⨯+⨯由A 、B 两点坐标为)2,2(-(1，-4)可求得直线AB 的解析式为.22--=x y 如图②，设抛物线的对称轴与AB 交于点F ，连接AE 、BE ，则点F 的坐标为=-=∴⋅-149)1,23(EF ⨯⨯=+=∴⋅∆∆∆EF S S S BEF AEF ABE 2145=+⨯⨯+-|)||(|21|)||(|横横横横E B EF E A ⋅=⨯⨯=+⨯⨯81534521|)||(|4521横横B A ∴=∴=∆∆.158,815)3(ABE ABE S s Θ当点D 与点C 重合时，显然满足条件；当点D 与点C 不重合时，过点C 作AB 的平行线CD ，其对应的一次函数的解析式为,122--=x y 令--=--2122x x .0)4)(3(.012,32=+-∴=-+∴x x x x x 解得4,321-==x x （舍去）．当3=x 时，,18-=y 故存在另一点D （3，-18）满足条件．综上所述，点D 的坐标为（3，-18）或(-4，-4)．点评：此题属于二次函数的综合题，第(1)问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第(2)问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，求解第(3)问的关键是不要漏解．此类综合题目难度较大，注意逐步分析． 培优训练能力达标1．已知二次函数122-+-=m mx x y 的图象经过原点，与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为( )23.A B ．2 C ．121.D2．抛物线542--=x x y 与x 轴交于点A 、B ，点P 在抛物线上，若△PAB 的面积为27，则满足条件的点P 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，抛物线56:21+-=x x y C 与x 轴分别交于A 、B 两点，顶点为M ：将抛物线1C 沿x 轴翻折后再向左平移得到抛物线.2C 若抛物线2C 过点B ，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为N ，则四边形AMCN 的面积为( ) A ．32 B ．16 C ．50 D ．404．（2013．河南）如图，抛物线的顶点为P （-2，2），与y 轴交于点A(O ，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点),2,2(-'P 点A 的对应点为,A '则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．5．（2013．成都）在平面直角坐标系xOy 中，直线k kx y <=为常数）与抛物线2312-=x y 交于A 、B 两点，且点A 在y 轴左侧，点P 的坐标为(0，-4)，连接PA 、PB.有以下说法：.2PA PO =①②;PB 当0>k 时，))((BO PB AO PA -+的值随k 的增大而增大；③当33-=k 时，.2BO BP =PAB BA ∆④;面积的最小值为.64其中，正确的是 （填序号）．6．（2013．佛山）如图①，抛物线+=2ax y ,C bx +经过点).3,4(、)0,3(、)3,0(C B A ⋅ (1)求抛物线的函数解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图②中的阴影部分）．7．（2013．绥化）如图，抛物线))(2(1a x x ay +-=)0(>a 与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．(1)若抛物线过点),2,2(--M 求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，解答下面的问题：①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使EH CH +的值最小，直接写出点H 的坐标，8．(2013．白银)如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数1)12(2++-+=k x k x y 的图象与x 轴相交于0、A 两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；(3)对于(2)中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使?90ο=∠POB 若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由.拓展提升9．顶点为P 的抛物线322+-=x x y 与y 轴相交于点A ，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P 旋转o 180得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y 轴相交于点B ，则△PAB 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．610．如图，抛物线x x y C 2:21+-=与x 轴分别交于A 、0两点，顶点为M.将抛物线1C 关于y 轴对称到抛物线C 2，则抛物线2C 过点0，与x 轴的另一个交点为B ，顶点为N ，连接AM 、MN 、NB ，则四边形AMNB 的面积为( )A.3 B ．6 C ．8 D ．1011．(2012．衡阳)如图，A 、B 两点的坐标分别是(8，0)、(O ，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO(O 为坐标原点)方向向点0匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ ，若设运动时间为)3100(<<t t 秒．解答如下问题： (1)当t 为何值时，?//BO PQ (2)设△AQP 的面积为S ．①求S 与t 之间的函数解析式，并求出S 的最大值；②若我们规定：点P 、Q 的坐标分别为,(1x ),,(、)221y x y 则新坐标),(1212y y x x --称为 “向量PQ”的坐标当S 取最大值时，求“向量PQ ”的坐标.12．（2013．兰州）如图，在平面直角坐标，系xOy 中，A 、B 为x 轴上的两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分1C 与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为),23,0(-点M 是抛物线)0(32:22<--=m m mx mx y C 的顶点． (1)求A 、B 两点的坐标；(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．魔法赛场【例】 (2013．鄂州)在平面直角坐标系中，已知),1,5(),2,3(11-N M 线段11N M 平移至线段MN 处（注：1M 与1,N M 与N 分别为对应点）．(1)若),5,2(-M 请直接写出点N 的坐标； (2)在(1)的条件下，点N 在抛物线+=261x y k x +332上，求该抛物线对应的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若抛物线顶点为B ，与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 的中点，点),0(m C 是y 轴负半轴上一动点，线段EC 与线段BO 相交于点F ，且,3:2:=OF OC 求m 的值；(4)在(3)的条件下，动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少时），将△ABP 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的△ABP 面积的?41求此时BP 的长度．点拨：(1)根据点1M 移动到点M 时坐标的变化情况，将点1N 的坐标进行相应变化，即可求出点)2(;N 将点N 的坐标代入函数的解析式即可求得k 值；(3)配方后确定点E A B 、、的坐标，根据:CO ,3:2=OF 用m 表示出线段CO 、FO 和BF 的长，利用ABC BFC EBF BEC s S S S ∆∆∆∆=+=21得到有关m 的方程，求得m 的值即可；(4)分、APE BPE ∠>∠APE BPE APE BPE ∠<∠∠=∠、三种情况分类讨论即可，解答：(1)由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，由点1M 到点M 可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，故点N 的坐标为（5-5，-1+3），即点N 的坐标为(0，2)．)2,0()2(N Θ在抛物线k x x y ++=332612上，∴=∴.2k 抛物线的解析式为.233261++±=x y,)32(61233261)3(22+=++=x x x y Θ).1,3(),2,0(),0,32(--∴E A B 如图②，=-=∴=FO m CO m C OF CO ,),,0(,3:2:Θ=+=+=-∆∆∆BFC EBF BEC S S S m BF m Θ.2332,23⨯⨯=+-+∴∆2121)1)(2332.(21,21m m S ABC ).2(32m -整理，得1,02-=∴=+m m m 或=m .1,0.0-=∴<m m Θ(4)在Rt△ABO 中，===∠322tan BO AO ABO .42,30,33===∠∴AO AB ABO O ①当>∠BPE APE ∠时，则对折后如图③，1A 为对折后A 的对应点，△EHP 是重叠部分，连接E B A Θ.1为AB 的中点，=⋅==∴∆∆∆∆EHP ABP BEP AEP s S s s Θ21⋅===∴∆∆∆∆∆ABP BHP EHP n A ABP s S s S S 41,411∴===∴.1,1HB EH HP H A四边形BPE A 1为平行四边形．,2211====∴AB E E A BP 即=BP 2；②当APE BPE ∠=∠时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意；③当<∠BPE APE ∠时．则对折后如图④，1A 为对折后A 的对应点，△EHP 是重叠部分，E Θ为AB 中点，,4121ABP EHP ABP BEP AEP s s S s s ∆∆∆∆∆=⋅==∴Θ=∴⋅===∴∆∆∆∆BH S S S s ABP HP A EHP EBH 411,121,1===AE HA EH HP 又,2.21=∴AP AP 此时P 点与0点重合，=∴BP .32综上所述，2=BP 或.32点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定、图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． （2013．徐州）如图，二次函数-+=bx x y 22123的图象与x 轴交于点A （-3，O ）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E. (1)请直接写出点D 的坐标：(2)当点P 在线段AO （点P 不与A 、0重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P ，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由，。
二次函数与面积问题
二次函数与面积问题二次函数是中学数学中一个重要的概念，其应用不仅仅限于代数学习中的求解，还包括了实际生活中的丰富应用。
其中，面积问题是二次函数应用的一个重要方面。
在本文中，我们将重点探讨二次函数与面积问题的应用。
一、二次函数基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是已知常数，一个非零实数。
2. 二次函数图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或者向下的抛物线，其对称轴在 $x$ 轴上的直线，称为二次函数的轴，其方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。
如果 $a>0$，则抛物线开口向上，如果 $a<0$，则抛物线开口向下。
当 $a\neq0$ 时，函数值的范围为 $(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a})$ 或者 $(\frac{4ac-b^2}{4a},\infty)$。
3. 二次函数的变形二次函数除了基本形式 $y=ax^2+bx+c$，还有一些基于基本形式的变形，如 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h,k$ 是常数。
变形后的形式可以更方便地求解问题，但需要熟练运用基本变形公式。
二、二次函数与面积问题1. 抛物线下面积抛物线下面积的计算通常可以通过解析式的积分得出，但是如果需要精确解往往较为困难，尤其是在没有高深数学知识支持的情况下。
在使用二次函数计算抛物线下面积时，可以先求出对应的定积分，即：$$\int_{x_1}^{x_2}ax^2+bx+c\mathrm{d}x=\frac{a} {3}(x_2^3-x_1^3)+\frac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)$$该式是利用积分的基本公式计算得出的，它可以方便地求解出抛物线在一个给定区间内的面积。
2. 平面图形面积二次函数还可用于计算平面图形的面积。
例如，一个半径为 $r$ 的圆的面积可以表示为 $A=\pi r^2$。
专题01 抛物线中的三角形面积问题-高中数学破题致胜微方法(抛物线中的面积、角度及参数范围问题)
专题01 抛物线中的三角形面积问题本内容主要研究抛物线中的面积问题.直线和抛物线相交，围成的平面图形种类很多，尤其以三角形最为常见，三角形面积的计算是重点，其他平面图形的面积可以转化为三角形面积的计算.直线和抛物线相交时联立方程，利用弦长公式，或者点线距公式，结合韦达定理解决问题.先看例题：例：已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C的准线上一点,则△ABP 的面积为( )A.18B.24C.36D.48解：由题意可知,|AB |是该抛物线的通径,即|AB |=2p =12,且准线上的点到AB 的距离即为焦准距,即为p =6,所以△ABP 的面积为1126362⨯⨯=. 所以本题选C整理：三角形面积（1）过x 轴上一定点H 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- （2）过y 轴上一定点H 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- （3）弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注意：要着正确的画出图形，进而求解.再看两个例题，加深印象例：在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面积为________. 解：据题意可知直线AB 方程为3(1)y x =-,与抛物线方程联立消元得243403y y --=, 解得23A y =,故11||123322AOF A S OF y =⨯=⨯⨯=△.再看一个例题：例：已知抛物线y＝ax2－1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________.解；本小题主要考查抛物线的方程及有关性质.由题意知a＞0,C(0,－1),原方程变形为21 (1)x ya=+,所以1||4OCa=,即14a=,则||4ABa==,所以14122ABCS=⨯⨯=△.总结：1.根据直线和抛物线的位置关系，如果弦任意，选择公式12S∆=弦长×点线距.2.根据直线和抛物线的位置关系，如果直线过x轴上一定点H，设直线方程x my t=+，代入抛物线方程计算弦长.3.根据直线和抛物线的位置关系，如果直线过y轴上一定点H，设直线方程y kx m=+，代入抛物线方程计算弦长.练习：1. O 为坐标原点,F 为抛物线C :2y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =则△POF的面积为( )A.2B.C.D.42. 连接抛物线x 2=4y 的焦点F 与点M (1,0)所得的线段与抛物线交于点A ,设点O 为坐标原点,则三角形OAM 的面积为( )A.1-B.32-C.1D.32+3. 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )A.y 2=±4xB.y 2=±8xC.y 2=4xD.y 2=8x。
面积问题一元二次方程公式
面积问题一元二次方程公式摘要：1.一元二次方程面积问题背景介绍2.一元二次方程面积问题公式推导3.实例解析一元二次方程面积问题4.解题步骤与技巧总结正文：一、一元二次方程面积问题背景介绍在数学领域，一元二次方程是常见的代数方程之一。
其在实际生活中的应用广泛，特别是在几何领域。
一元二次方程面积问题是指，给定一个一元二次方程，如何求解其对应的图形面积。
这个问题在数学建模、工程技术等领域具有重要意义。
二、一元二次方程面积问题公式推导为了解决一元二次方程面积问题，我们需要先了解一元二次方程的一般形式：ax + bx + c = 0根据求根公式，我们可以得到方程的两根：x1, x2 = (-b ± √(b - 4ac)) / 2a我们知道，一元二次方程的图形是一个抛物线。
抛物线的面积可以通过以下公式计算：面积= 1/2 × 抛物线顶点横坐标× 抛物线长度而抛物线长度可以通过以下公式求得：抛物线长度= 2 × √(a + b) / a将求根公式和抛物线长度公式代入面积公式，我们可以得到一元二次方程面积问题的公式：面积= 1/2 × (-b ± √(b - 4ac)) × √(a + b) / a三、实例解析一元二次方程面积问题例如，给定一元二次方程：y = x - 2x - 3我们可以先求解方程的根：x1 = 3，x2 = -1然后，计算抛物线顶点横坐标：顶点横坐标= -b / (2a) = -(-2) / (2 × 1) = 1接下来，计算抛物线长度：抛物线长度= 2 × √(a + b) / a = 2 × √((1) + (-2)) / 1 = 2 × √(1 + 4) = 2 × √5最后，代入面积公式计算面积：面积= 1/2 × (3 + √5) × √(1 + 4) / 1 = 1/2 × (3 + √5) × √5四、解题步骤与技巧总结1.熟练掌握一元二次方程的求根公式；2.了解抛物线的性质，熟练运用抛物线长度和顶点横坐标的计算公式；3.将求得的顶点横坐标、抛物线长度代入面积公式进行计算；4.注意在计算过程中使用正确的数值和符号。
阿基米德抛物线弓形面积公式推导
阿基米德抛物线弓形面积公式推导示例文章篇一：哎呀，同学们，你们知道阿基米德抛物线弓形面积公式吗？这可真是个超级有趣又有点难搞的东西呢！有一天，在数学课上，老师突然就提到了这个阿基米德抛物线弓形面积公式。
我当时就懵了，啥是抛物线弓形啊？这名字听起来就怪怪的。
老师在黑板上画了一个弯弯的线，说：“这就是抛物线。
”然后又画了一个被抛物线包起来的形状，说：“这就是抛物线弓形。
”我看着那个图形，心里想：这咋算面积啊？难道要一块一块量吗？那得多麻烦呀！老师开始讲推导过程啦，他说：“咱们先把这个弓形分成好多小块。
”我就赶紧盯着黑板，眼睛都不敢眨一下。
老师接着说：“就像切蛋糕一样，把它切成一小块一小块的。
”我心里嘀咕：切蛋糕我懂，可这能一样吗？然后老师就开始写一堆算式，什么积分啦，极限啦，我看着那些符号，脑袋都大了！我忍不住问旁边的同学：“你能看懂不？”同学摇摇头说：“我也迷糊着呢！”老师看到我们一脸迷茫，笑着说：“别着急，咱们慢慢来。
”他又仔细地讲了一遍，还举了个例子，说：“假如这是一个操场，咱们要算它的面积，是不是得把它分成一小块一小块的，然后加起来呀？”我一听，好像有点明白了。
经过老师一遍又一遍地讲解，我终于有点懂了。
原来通过巧妙地分割和计算，就能得出这个神奇的公式。
我不禁感叹：数学可真是奇妙啊！最后我想说，虽然推导这个公式的过程有点难，但是只要我们认真听，仔细想，也能搞明白的！数学虽然有时候会让我们头疼，但当我们解开难题的时候，那种成就感可太棒啦！示例文章篇二：哎呀呀，亲爱的小伙伴们，你们知道阿基米德抛物线弓形面积公式吗？这可太神奇啦！老师在课堂上讲这个的时候，我一开始那是一头雾水，完全搞不明白。
就好像走进了一个黑漆漆的迷宫，找不到出口在哪里。
我瞪大眼睛看着黑板上那些复杂的图形和符号，心里直犯嘀咕：“这都是啥呀？” 老师却在讲台上讲得津津有味，还不停地问我们：“懂了吗？” 我瞅瞅旁边的同学，大家都是一脸懵。
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抛物线与图形的面积
直角坐标系中图形面积的方法：割补法，平移等积转化法和相似法等
1.直角坐标系中有点A（-1，0）B（3，0）G（2，-3）P（m，n）（1）若四边形ABGP的面积为S，用含m、n的式子表示S
2.如果直接给出P（m，m2-2m-3），求出S与m的函数关系式，你将用
什么方法整理关系式？
（2）画出直线AG，P在AG下方，若△APG的面积为y,用含m的式子表示y.
2、如图抛物线y= x2-2x-3与x轴交于A、B两点，点G（2，n）是抛物线上点。
（1）点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当△APG的面积最大时，求点P的坐标。
（抛物线与y轴交于点C，）（3）将点P运动到与抛物线与y轴的交点时，
请在抛物线上找一点K，使△AGC的面积与△AGK的面积相等。
法1：在抛物线BG上找一点K（m，m2-2m-3），写出AG的解析式，用（2）的方法在AG上找一点D，求△AGK的面积。
使△AGK的面积等于△AGC的面积（当m=0，求△AGC的面积）
法2：①将AG平移，在y轴上找C的平移点求直线解析式求交点。
②通过将△AGC关于直线AG的轴对的图形△AGH.由45度找C的对称点H，过H作直线AG的平行线。
（4）点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当△APG的面积最大时，求点P的坐标。
（通过平行移的方法）
通过平行移的方法，求出直线与抛物线有一个交点时△=0，求出直线的解析式中的b的值。
3抛物线与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B，坐标分别为A（4，0）B（-1，0）。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）在抛物线上找一点M，使△ABC的面积等于△AGM的面积。
（3）点Q是线段AO上的动点，过点QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。
法1：求EQ的解析式（用含m的式子表示），再用1题中（2）方法解题。
法2：用面积比等于相似的平方。