【小初高学习】全国版2019版高考数学一轮复习第9章统计统计案例第3讲变量相关关系与统计案例增分练

第3讲 变量相关关系与统计案例板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·湖北模拟]已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 答案 C解析 因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^，故x 与z 负相关．2．[2018·桂林模拟]根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0答案 B解析 由表中数据画出散点图，如图，由散点图可知b <0，a >0.3．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢键子运动，计算得到统计量K 2的观测值k ≈4.892，参照附表，得到的正确结论是( )A B ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析 因为K 2的观测值k ≈4.892>3.841，所以有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．4．[2018·洛阳模拟]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x 轴、y 轴的单位长度相同)，用回归直线方程y ^＝bx ＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )A ．线性相关关系较强，b 的值为1.25B ．线性相关关系较强，b 的值为0.83C ．线性相关关系较强，b 的值为－0.87D ．线性相关关系较弱，无研究价值 答案 B解析 由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y ＝x 的斜率要小一些，综上可知应选B.5．某产品的广告费用x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 答案 B解析 x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42.因为回归直线过点(x ，y )，所以42＝9.4×3.5＋a ^，解得a ^＝9.1.故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.所以当x ＝6时，y ^＝6×9.4＋9.1＝65.5.6．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：已知P (k ＝－223×27×20×30≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．答案 95%解析 由题意知，k ＝－223×27×20×30≈4.844，因为 5.024>4.844>3.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．7．[2018·沧州七校联考]某单位为了制定节能减排的计划，随机统计了某4天的用电量y (单位：度)与当天气温x (单位：℃)，并制作了对照表(如表所示)．由表中数据，得线性回归方程y ^＝－2x ＋a ^，当某天的气温为－5 ℃时，预测当天的用电量约为________度．答案 解析 气温的平均值x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，用电量的平均值y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40，因为回归直线必经过点(x －，y －)，将其代入线性回归方程得40＝－2×10＋a ^，解得a ^＝60，故回归方程为y ^＝－2x ＋60.当x ＝－5时，y ^＝(－2)×(－5)＋60＝70，所以当某天的气温为－5 ℃时，预测当天的用电量约为70度．8．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝5x －5；④y ＝32x .则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．答案 ③解析 由题意知x －＝4，y －＝6，∴b ^＝∑5i ＝1x i －x－y i －y－∑5i ＝1x i －x－2＝85，∴a ^＝y －－b ^x －＝－25，∴y ^＝85x －25，∴填③. 9．由某种设备的使用年限x i (年)与所支出的维修费y i (万元)的数据资料算得如下结果，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112，∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25.(1)求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)①判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；②当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少． 解 (1)∵∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25，∴x ＝15∑i ＝15x i ＝4，y ＝15∑i ＝15y i ＝5，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112－5×4×590－5×42＝1.2， a ^＝y －b ^x ＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程为y ^＝1.2x ＋0.2.(2)①由(1)知b ^＝1.2>0，∴变量x 与y 之间是正相关．②由(1)知，当x ＝8时，y ^＝9.8，即使用年限为8年时，支出的维修费约是9.8万元． 10．[2018·聊城模拟]在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并计算所抽取样本的平均值x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋cb ＋dx －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.(2)2×2列联表如下：因为K 2＝40×160×50×150＝6≈4.167>3.841， 所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．[B 级 知能提升]1．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6.则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12 答案 B解析 依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18.2．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为7，则下列说法正确的是( )参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d附表：B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 答案 C解析 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A ，B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝－255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C 正确．3．[2018·赣州模拟]在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)都在曲线y ＝bx 2－13附近波动．经计算∑6i ＝1x i ＝11，∑6i ＝1y i＝13，∑6i ＝1x 2i ＝21，则实数b 的值为________． 答案 57解析 令t ＝x 2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y ＝bt －13，此时t ＝∑6i ＝1x 2i6＝72，y ＝∑6i ＝1y i 6＝136，代入y ＝bt －13，得136＝b ×72－13，解得b ＝57. 4．某校开展“翻转合作学习法”教学试验，经过一年的实践后，对“翻转班”和“对照班”的220名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120分为“成绩优秀”，120分以下为“成绩一般”统计，得到如下的2×2列联表：与翻转合作学习法”有关；(2)为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样的方法抽出6名学生，再从这6名学生中抽出3名交流学习方法，求至少抽到一名“对照班”学生的概率．附：K 2＝n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d解 (1)K 2＝60×160×110×110＝6≈9.167<10.828， ∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为“成绩优秀与翻转合作学习法”有关．(2)设从“翻转班”中抽取x 人，从“对照班”中抽取y 人，由分层抽样的定义可知660＝x 40＝y20，解得x ＝4，y ＝2. 在这6名学生中，设“对照班”的2名学生分别为A 1，A 2，“翻转班”的4名学生分别为B 1，B 2，B 3，B 4.则所有的抽样情况如下，{A 1，A 2，B 1}，{A 1，A 2，B 2}，{A 1，A 2，B 3}，{A 1，A 2，B 4}， {A 1，B 1，B 2}，{A 1，B 1，B 3}，{A 1，B 1，B 4}，{A 1，B 2，B 3}， {A 1，B 2，B 4}，{A 1，B 3，B 4}，{A 2，B 1，B 2}，{A 2，B 1，B 3}， {A 2，B 1，B 4}，{A 2，B 2，B 3}，{A 2，B 2，B 4}，{A 2，B 3，B 4}， {B 1，B 2，B 3}，{B 1，B 2，B 4}，{B 1，B 3，B 4}，{B 2，B 3，B 4}， 共20种．其中至少有一名“对照班”学生的情况有16种．记事件A 为至少抽到一名“对照班”学生交流学习方法，则P (A )＝1620＝45＝0.8.5．[2018·太原模拟]假设关于某种设备的使用年限x (年)与所支出的维修费用y (万元)有如以下的统计数据：已知∑i ＝1x 2i ＝90，∑i ＝1y 2i ＝140.8，∑i ＝1x i y i ＝112.3，79≈8.9，2≈1.4. (1)求x －，y －；(2)对x ，y 进行线性相关性检验；(3)如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程； (4)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ 解 (1)x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.(2)因为∑5i ＝1x i y i －5x －y －＝112.3－5×4×5＝12.3， ∑5i ＝1x 2i －5x －2＝90－5×16＝10， ∑5i ＝1y 2i －5y －2＝140.8－125＝15.8， 所以r ＝12.310×15.8＝12.3158≈0.987.因为0.987>0.75，所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系．(3)因为b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝12.310＝1.23，a ^＝y －－b ^x －＝5－1.23×4＝0.08，所以所求的回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(4)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．。