湖北省武汉华中师范大学第一附属中学2015届高三5月适应性考试数学理试题

华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学（理科）试题命题人：吴巨龙 尹友军 审题人：殷希群 2015.5.25本试题卷共4页，共22题，共中15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{, }A a b =，集合{}23, log (3)B a =+，若{0}A B =, 则A B 等于A ．{}1,0,3-B ．{}2,0,3-C ．{}0,3,4D ．{}1,0,32．下列说法中不正确．．．的是 A ．随机变量2(3,)N ξσ，若(6)0.3P ξ>=，则(03)0.2P ξ<<=．B ．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变．C ．对命题p ：0x ∃∈R ，使得20010x x -+<，则p ⌝：R ∈∀x ，有210x x -+>．D ．命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =，则ABC ∆为等腰三角形”的逆否命题为真命题． 3．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{}n a ，已知212a a =，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为A ．20B ．40C ．30D ．无法确定4．把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为 A ．96 B ．240 C ．48 D ．40 5．一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角 形，则这个几何体的体积为 A ．B C ． D ．6．如图，正方形OABC 的边长为1，记曲线2y x =和直线14y =，1,0x x ==所围成的图形（阴影部分）为Ω，若向正方形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为A ．14 B ．13C ．23D ．257．已知a ，b 是平面内夹角为90︒的两个单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c 的最大值为A ．1BCD ．28．设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 A ．[1,2]- B ．[2,1]- C ．[3,2]-- D ．[3,1]-9．已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线22y px =(0)p >的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，ABO ∆p 的值为AB． C ．2D10．已知函数()11f x mx x x =--+，则关于函数()y f x =的零点情况，下列说法中正确的是 A．当13m -<≤-+()y f x =有且仅有一个零点．B．当3m =-+1m ≤-或1m ≥或0m =时，函数()y f x =有两个零点． C．当30m -+<<或01m <<时，()y f x =有三个零点． D ．函数()y f x =最多可能有四个零点．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11－14题）11．已知复数31i z i=+，则z 的虚部是 ． 12．定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则 55(cos )(sin )1212ππ*的值为 ． 13．已知函数()|2|f x x =-，若0b ≠，且,a b R ∈时，都有不等式|||2|||()a b a b b f x ++-≥⋅成立，则实数x 的取值范围是 ．14．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的第12题图第6题图一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当3n ≥时，第*()n n N ∈行空心．．圆点个数n a 与第1n -行及第2n -行空心．．圆点个数12n n a a --，的关系式为 ；第12行的实心．．圆点的个数是 ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点,B C ， 点D 在线段BC 上，且2DC BD =，BAD PAB ∠=∠，PA = 4PB =，则线段AB 的长为 . 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标平面内，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩（0r >，α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 、B 的极坐标分别为2(2,)3π、(2,)π，若直线AB 和曲线C 只有一个公共点，则r = ．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x m m R =-+∈，将()y f x =的图像向左平移4π个单位后得到()y g x =的图像，且()y g x =在区间[0,]4π（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若3()14g B =，且2a c +=，求ABC ∆的周长l 的取值范围．18．（本小题满分12分）现有4名学生参加演讲比赛，有A 、B 两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择A 题目，掷出其他的数则选择B 题目． （Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择B 题目的概率； （Ⅱ）用X 、Y 分别表示这4个人中选择A 、B 题目的人数，记X Y ξ=⋅，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ． 19．（本小题满分12分）第15题图PDCBA∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙第1行 第2行 第3行 第5行 第6行第4行第14题图在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，D E 、分别是边AB 、BC 的中点，将BDE ∆沿DE 翻折，得到四棱锥B ADEC -，且F 为棱BC中点，BA =（Ⅰ）求证：EF ⊥平面BAC ；（Ⅱ）在线段AD 上是否存在一点Q ，使得//AF 平面BEQ ？若存在，求二面角Q BE A --的余弦值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立，求实数λ的取值范围． 21．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -．（Ⅰ）设椭圆M与函数y =P，若函数y =P 处的切线过椭圆的左焦点1F ，求椭圆的离心率；（Ⅱ）设过点1F 且斜率不为零的直线l 交椭圆于A B 、两点，连结AO （O 为坐标原点）并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ∆的面积的最大值()S a ．22．（本小题满分14分）已知函数()ln(1)(0)f x x x =+>．（Ⅰ）证明：()1xf x x <+； （Ⅱ）比较20132015与20142014的大小；（Ⅲ）给定正整数(2015)n n >，n 个正实数1x ，2x ，…，n x 满足121n x x x +++=，证明：222201512121()()1112016n n n x x x x x x +++>+++A C D E BF Q华中师大一附中2015届高三年级5月适应性考试数学（理） 答案及评分标准华中师大一附中高三年级数学组提供2015.5一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCAADABBBC二、填空题：（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）11．12-12．12 13．[1,5]- 14．12n n n a a a --=+；8915． 16三、解答题：（本大题共6小题，共75分）17．解：（Ⅰ）由题设得()sin 2cos 21)14f x x x m x m π=--+=--+，())]1)1444g x x m x m πππ∴=+--+=+-+，因为当[0,]4x π∈时，32[,]444x πππ+∈，所以由已知得242x ππ+=，即8x π=时，max ()1g x m -所以1m =； ………6分 （Ⅱ）由已知33()sin()1424g B B π=+=，因为三角形中33022B π<<，所以374244B πππ<+<，所以33244B ππ+=，即3B π=，又因为2a c +=，由余弦定理得：222222223()2cos ()3()14a cb ac ac B a c ac a c ac a c +=+-=+-=+-≥+-=，当且仅当1a c ==时等号成立， 又2b a c <+=，12b ∴≤<，所以ABC ∆的周长[3,4)l a b c =++∈ ，故△ABC 的周长l 的取值范围是[3,4)． ………12分18．解：由题意知，这4个人中每个人选择A 题目的概率为13，选择B 题目的概率为23， 记“这4个人中恰有i 人选择A 题目”为事件i A （0,1,2,3,4i =），4412()()()33i ii i P A C -∴=⋅，（Ⅰ）这4人中恰有一人选择B 题目的概率为3334128()()()3381P A C =⋅= ………4分 （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，3，4，且044404442116117(0)()()()()33818181P P A P A C C ξ==+=+=+=，13331344121232840(3)()()()()()()3333818181P P A P A C C ξ==+=⋅+⋅=+=，222241224(4)()()()3381P P A C ξ===⋅=，ξ∴的分布列是ξ0 3 4P1781 4081 2481所以1740248()0348181813E ξ=⨯+⨯+⨯= ………12分 19．解：（Ⅰ）证明：取AB 中点H ，连结DH 、HF ， 因为在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==， D E 、分别是边AB 、BC 的中点，所以1AD BD ==，又因为翻折后AB =，所以翻折后AD BD ⊥，且ADB ∆ 为等腰直角三角形，所以DH AB ⊥，因为翻折后DE AD ⊥，DE BD ⊥，且ADBD D =， DE ∴⊥平面ADB ，因为//DE AC ，AC ∴⊥平面ADB ， AC DH ∴⊥，又AB AC A =，DH ∴⊥平面ABC ， 又//HF AC ，//DE AC ，且12HF AC DE ==，DEFH ∴是平行四边形，//EF DH ∴，EF ∴⊥平面ABC ； ………5分（Ⅱ）以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D xyz -．则(0,1,0)A ，(0,0,1)B ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，11(1,,)22F ，设(0, , 0)Q t （01t ≤≤）， 则(0,,1)BQ t =-，(1,,0)EQ t =-，11(1,,)22AF =-，设平面BQE 的法向量为(,,)n x y z =， 则由0n BQ ⋅=，且0n EQ ⋅=，得00yt z x ty -=⎧⎨-+=⎩，取1y =，则(,1,)n t t =，要使//AF 平面BEQ ，则须1111(,1,)(1,,)02222n AF t t t t ⋅=⋅-=-+=，所以13t =，即线段AD 上存在一点1(0,,0)3Q ，使得//AF 平面BEQ ， ………9分 设平面BAE 的法向量为1111(,,)n x y z =， 则由10n AB ⋅=，且10n AE ⋅=，得11110y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取11y =，则1(1,1,1)n =，11113cos ,33nn ++∴<>=== 因为二面角Q BE A --， 即线段AD 上存在一点Q（点Q 是线段AD 上的靠近点D 的一个三等分点），使得//AF 平面BEQ ，此时二面角Q BE A -- …………12分 20．解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，所以736a =-， 即72a =-，又因为公差1d =-，所以7(7)275n a a n d n n =+-=--+=-，21()(45)92222n n n a a n n n n S ++-===-； ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知{}n a 的前4项为4，3，2，1，所以等比数列{}n b 的前3项为4，2，1，114()2n n b -∴=⋅，114(5)()2n n n a b n -∴=-⋅，02111114[4()3()(6)()(5)()]2222n n n T n n --∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅21111114[4()3()(6)()(5)()]22222n n n T n n -∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅， 21111114[4[()()()]4(5)()22222n nn T n -∴=-+++--⋅1112[1()]112164(5)()12(26)()12212n n n n n ---=---⋅=+-⋅-1124(412)()2n n T n -∴=+-⋅， ………8分11214124(1)12204222n n n n n n n nT T --------∴-=-=，12345T T T T T ∴<<<=，且56T T >>，所以*n N ∈时，max 4549()2n T T T ===， ………10分 又因为2922n n n S =-，所以*n N ∈时，max 45()10n S S S ===， 因为存在*m N ∈，使得对任意*n N ∈，总有n m S T λ<+成立， 所以max max ()()n m S T λ<+，所以49102λ<+， 所以实数λ的取值范围为29(,)2-+∞ ………12分 21．解（Ⅰ）由题意，点1F 为(1,0)-，设(P t，则1PF k =又1||PF x t x t k =='===1t =+，解得1t =，即(1,1)P ， 设椭圆M 的右焦点为2(1,0)F，则122||||1a PF PF =+=，即a =又半焦距1c =，所以椭圆M的离心率为c e a == ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以221a b -=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由方程组222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：2222222()2(1)0a b m y b my b a +-+-=，222412122222222222(1)b mb a b y y y y a b m a b m a b m-∴+===-+++， ……… 7分 连结OB ，由||||OA OC =知2ABC AOB S S ∆∆=，112||||ABCS OF y y ∆∴=⋅-== ……… 9分t =，则221(1)m t t =-≥，2222222222221(1)1ABCab t ab t ab S a b t b t b t t∆∴===+-++， ①若11b ≥，即1a <≤212b t b t+≥=1t b =，即m =max ()()ABC S a S ∆== ……… 10分 ②若101b <<，即a >21()f t b t t =+，则1t ≥时，2222211()0b t f t b t t -'=-=>， 所以()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =， 即0m =时，2max2(1)()()ABC a S a S a∆-==； ……… 12分综上可知：2()2(1),a S a a a a ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩………13分22．解：（Ⅰ）证明：令()()ln(1)(0)11x xh x f x x x x x=-=+->++， 则0x >时，2211()01(1)(1)xh x x x x '=-=>+++， 所以()h x 在(0,)+∞上是增函数，所以0x >时，()(0)0h x h >=， 所以0x >时，ln(1)1x x x +>+，即()1xf x x<+； ………4分 （Ⅱ）令ln(1)()(0)x g x x x +=>，则2(1)ln(1)()(1)x x x g x x x -++'=+，由（Ⅰ）知0x >时，(1)ln(1)0x x x -++<，所以0x >时，()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上是减函数，20142013>，ln(12014)ln(12013)20142013++∴<，即2013ln 20152014ln 2014<，所以2013201420152014<； ………9分（Ⅲ）证明：由121n x x x +++=及柯西不等式得：2221212()(1)111n nx x x n x x x +++++++ 222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x xx x x =++++++++++++221n x x ≥++212()1n x x x =+++=，所以222111111111n n x x x x x x n+++≥++++， 所以2222015201511111()()1111n n x x x x x x n+++≥++++， 又由（Ⅱ）知0n m >>时，ln(1)ln(1)n m n m++<，因而(1)(1)m nn m +<+， 所以2015n >时，2015(1)(12015)n n +<+，即2015(1)2016n n +<，所以201511()()12016nn >+， 所以222201512121()()1112016n n n x x x x x x +++>+++． ………14分。