算法案例1——辗转相除法与更相减损术

完整的过程
8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333
例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数 思考：从上面的两个例子中可以看出计 算的规律是什么？
新知探究
1.问题提出：当两个数公有的质因数较大时，用 原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？ 点拨：辗转相除法, 又名“欧几 里德算法”（Euclidean algorithm） 乃求两数之最大公因数算法。它是 已知最古老的算法, 其可追溯至公元 前300年，它首次出现于欧几里德的
《几何原本》中。
1813=333×5+148 333=148×2+37
148=37×4+0
S1：用大数除以小数
显然37是148和37的最大公约数， S2：除数变成被除数，余数变成除数 也就是8251和6105的最大公约 S3：重复S1，直到余数为0 数
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一 个循环结构。
否
结束
(3)、程序
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
例2：用更相减损术求下列两数的最大公约数并说出运 算次数 （1）98，196 （2）72，168 （3）153，119 （4）779，209 98 24 17 19 1次 4次 5次 8次
翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数． 若是，用2约简；若不是，执行第二步． 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与 所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所 得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约 数．
定义：
二、更相减损术
所谓更相减损术，就是对于给定的两个 数，用较大的数减去较小的数，然后将差和 较小的数构成新的一对数，再用较大的数减 去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较 小的数（减数）相等，此时相等的两数便为 原来两个数的最大公约数。
梳理提升
比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除
法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数
上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字
大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果 是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与 差相等而得到。
333=148×2+37
148=37×4+0
(2)、程序框图：
开始 输入m,n r=m MOD n m=n n=r r=0? 是 输出m 结束 否
(3)、程序语言：
INPUT “m,n=“;m,n DO m MOD n r=__________ m=__________ n r n= __________ r=0 LOOP UNTIL ________ PRINT m END
辗转相除法和更相减损术
求两个数的最大公约数
〖学习目标〗
1知识与能力：理解辗转相除法和更相减损术中蕴含 的数学原理，并能根据原理进行算法分析；基本 能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程 序框图并写出算法程序。 2过程与方法：比较辗转相除法与更相减损术中蕴含 的区别，并能领会数学算法和计算机处理的结合， 初步掌握数学算法转化成计算机语言。 3情感态度价值观：通过阅读古代数学中的算法案例， 体会古代数学对世界数学的贡献，进一步体会算 法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的 能力，提高逻辑思维能力．
例1：用辗转相除法求下列两数的最大公约数并说出 运算次数 （1）98，196 （2）72，168 （3）153，119 （4）779，209 98 24 17 19 1次 2次 3次 5次
跟踪训练
2.问题提出：除了用上述算法求两个数的 最公约数之外还有没有别的算法？ 点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是 我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记 载的．更相减损术求最大公约数的步骤如 下：可半者半之，不可半者，副置分母分 子之数，以少减多，更相减损，求其等也 . ， 以等数约之．
例：求下面两个正整数的最大公约数：
（1）求25和35的最大公约数 （2）求18和30的最大公约数
（ 1） 5
25
5
35
7
（ 2） 2
3பைடு நூலகம்
18 9
3
30 15 5
所以，25和35的最大公约数为5
所以，18和30的最大公约数为6
例：如何算出8251和6105的最大公约数？ 思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？
(1)自然语言法：
第一步：输入两个正整数m,n(m>n).
m=n×q＋r
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
第二步：计算m除以n所得的余数r.
第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约 数等于m,否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.
2146=1813×1+333 1813=333×5+148
2、方法： 例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7
思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个 正整数的最大公约数吗？
(1)、算法步骤 第一步：输入两个正整数a,b(a>b); 第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转 到第五步； 第三步：把a-b的差赋予r; 第四步：如果b>r, 那么把b赋给a,把r赋给b;否 则把r赋给a，执行第二步；
第五步：输出最大公约数b.
(2)、程序框图
开始
输入a,b a≠b? 是 r=a-b a=r 否 r<b? 是 a=b b=r 输出b
一、辗转相除法（欧几里得算法） 1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个 数，用较大的数除以较小的数。若余数不为 零，则将余数变为被除数，余数变成除数， 继续上面的除法，则这时较小的数（除数） 就是原来两个数的最大公约数。
2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例） 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商 和余数 8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的 公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出 6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813 的最大公约数。
〖重点难点〗
• 重点：理解辗转相除法与更相减损术求最 大公约数的方法． • 难点：把辗转相除法与更相减损术的方法 转换成程序框图与程序语言．
1. 回顾算法的三种表述：
自然语言 程序框图 （三种逻辑结构） 程序语言 （五种基本语句） 2. 思考：
小学学过的求两个数的最大公约数的方法？
先用两个数公有的质因数连续去除，一 直除到所得的商是互质数为止，然后把所有 的除数连乘起来.
跟踪训练
例1：用辗转相除法求下列两数的最大公约数并说出 运算次数 （1）98，196 （2）72，168 （3）153，119 （4）779，209 98 24 17 19 1次 2次 3次 5次
跟踪训练
例3： 求325，130，270三个数的最大公约数.
1. 用辗转相除法求295和85的最大公约数时,需要做出 除法的次数是 ( ) A 1. B 2. C 3. D 4 2. 用辗转相除法求567和405的最大公约数是 ( ) A 81 B 7 C 5. D 35 3. 求98,196的最大公约数__________________。 4. 用辗转相除法求1443和999的最大公约数_______。 5.用辗转相除法求168,56,264的最大公约数是_____。