2024年高中数学学业水平考试分类汇编专题09概率

专题09概率
考点一：古典概型
1．（2023·北京）某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（）
A ．
1
2B ．
14
C ．
18
D ．
116
【答案】A
【分析】根据古典概型概率公式计算.
【详解】验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种，所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为1
2.故选：A
2．（2023·河北）某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（）
A ．
35
B ．
1
2
C ．
13
D ．
310
【答案】D
【分析】列举出所有的基本事件，得到基本事件的总数，找出满足条件的事件数，由概率公式求解即可.【详解】设国外的2个城市和国内的3个城市分别为：12123,,,,A A B B B ，则随机选取2个城市的基本事件为：()()()()()1211121321,,,,,,,,,A A A B A B A B A B ，
()()()()()2223121323,,,,,,,,,A B A B B B B B B B 共10种，
选出的2个城市都在国内的情况为：()()()121323,,,,,B B B B B B 共3种，故所求概率3
10
P =.故选：D.
3．（2023·江苏）从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（）
A ．
14
B ．
13
C ．
23
D ．
34
【答案】D
【分析】列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可
【详解】从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，
甲被选中共有3种情况，故对应的概率为3 4
故选：D
4．（2023春·福建）“敬骅号”列车一排共有A、B、C、D、F五个座位，其中A和F座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A或F座的概率为（）
A．1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用古典概率求解作答.
【详解】小曾购票的不同结果有5个，它们等可能，而小曾选到A或F座的结果有2个，
所以购票时选到A或F座的概率为2 5 .
故选：B
5．（2023春·湖南）某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（）
A．1
6
B．
1
4
C．
1
3
D．1
2
【答案】D
【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率
是1
2
，
故选：D
6．（2023·云南）单项选择题是标准化考试中常用的题型，是从A､B､C､D四个选项中选择一个正确答案.假设考生有一个单项选择题不会做，他随机选择一个答案，答对的概率是（）
A．1B．1
3
C．1
2
D．
1
4
【答案】D
【分析】由古典概型的概率公式求解.
【详解】该考生选择的答案可以为：A，B，C，D，其中正确答案只有一个，故答对的概率是1 4 .
故选：D
7．（2022春·天津）从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女生的概率为（）
A．3
5
B．1
2
C．
3
10
D．
1
10
【答案】D
【分析】根据题意直接计算概率即可.
【详解】从2名女生和3名男生中任选2人参加社区服务，记女生分别为,a b，男生分别为1,2,3，
则所有可能情况为,1,2,3,1,2,3,12,13,23
ab a a a b b b，
总共有10种方案，
选中的2人都是女生，有1种方案，
则所求概率为1 10 .
故选：D
8．（2022春·浙江）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）
A．1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】C
【分析】根据古典概型直接求得即可.
【详解】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，
所以摸到黄球的概率为3 5 .
故选：C.
9．（2022秋·福建）随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（）
A．1
6
B．
1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】C
【分析】分别求出点数向上的结果数和向上的点数为奇数的结果数，由古典概率可得答案.
【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种
所以出现向上的点数为奇数的概率是31 62
故选：C
10．（2022春·贵州）同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（）
A．1
4
B．1
2
C．2
3
D．
3
4
【答案】A
【分析】根据题意将所有的实验情况一一列举出来，再将符合题意的情况一一列举，根据古典概型，可得答案.
【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正），
根据古典概型，概率为
1
4 p=，
故选：A.
11．（2021春·天津）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸出红球的概率为（）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．
5
6
【答案】A
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】记1个白球为A，2个红球分别为a、b，
现从中不放回地依次随机摸出2个球，则可能结果有Aa、Ab、aA、ab、bA、ba共6个，其中两次都摸出红球的有ab、ba，
所以所求概率
21
63 P==.
故选：A
12．（2021春·福建）从甲、乙、丙三位同学中，任选两位同学参加数学竞赛，则甲同学被选中的概率是（）
A．2
3B．1
2
C．
1
3
D．
1
6
【答案】A
【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】从甲、乙、丙三位同学中，任选两位同学参加数学竞赛，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种，
其中，事件“甲同学被选中”所包含的基本事件有：甲乙、甲丙，共2种，
故所求概率为
2
3 P=.
故选：A.
13．（2021秋·福建）根据防疫要求，需从2名男医生和1名女医生中任选2名参加社区防控服务，则选中的2名都是男医生的概率为（）
A．1
6
B．
1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】B
【分析】利用列举法即可求解.
【详解】解：将2名男医生记为1a，2a，1名女医生记为b
从2名男医生和1名女医生中任选2名参加社区防控服务，所有可能情况有：()
12
,a a，()1,a b，()2,a b共3种
选中的2名都是男医生的情况为：()
12
,a a，共1种
所以选中的2名都是男医生的概率为：1 3 .
故选：B.
14．（2021秋·河南）同时掷两个均匀骰子，向上的点数之和是7的概率是（）
A．1
3
B．
1
4
C．
1
6
D．
1
12
【答案】C
【分析】求出同时掷两个均匀骰子出现的所有基本事件数，及点数和为7的所有基本事件数，然后可计算概率．
【详解】同时掷两个均匀骰子，基本事件有6636
⨯=种，其中点数和为7的有16,25,34,43,52,61共6种，所
以概率为
61
366 P==．
故选：C．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数．可用列举法．
15．（2021·湖北）中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（）
A．1
10
B．
1
5
C．
3
10
D．
2
5
【答案】B
【分析】先求出3，5，7，11，13这5个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．
【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有2510
C=钟可能，
其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，
所以概率
21
105 P==.
故选：B.
16．（2021秋·广东）连续抛掷两枚骰子，向上点数之和为6的概率为（）
A．1
12
B．
1
11
C．
5
36
D．
1
6
【答案】C
【分析】基本事件总数6636
n=⨯=，利用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率．
【详解】解：连续抛掷两枚骰子，
基本事件总数6636
n=⨯=，
向上的点数之和为6包含的基本事件有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5个，
∴向上的点数之和为6的概率是
5
36 P=．
故选：C．
17．（2023·山西）从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是．
【答案】1 6
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数基本事件为：12，13，14，23，24，34，共6个，
其中两个数都是偶数的有：24，共1个，
所以两个数都是偶数的概率是
1
6 P=，
故答案为：1 6
18．（2023春·新疆）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则恰好出现一次6点的概率是．
【答案】5 18
【分析】由古典概型的概率公式计算即可.
【详解】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，两次骰子的点数的样本点共有6636
⨯=个，恰好出现一次6点的样本点有155110
⨯+⨯=个，
故所求概率
105
3618 P==.
故答案为：5 18
19．（2022秋·广东）从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为．
【答案】2 3
【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加活动，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种情况，
其中“甲、乙两人中恰有一人被选中”所包含的基本事件为：甲丙、乙丙，共2种情况，
故所求事件的概率为
2=
3 P.
故答案为：
23
.20．（2021秋·贵州）从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数是偶数的概率为.
【答案】
25
【分析】根据古典概型直接得解.
【详解】由已知1，2，3，4，5这五个数中，偶数为2，4，所以偶数的概率为25
，故答案为：
25
.21．（2023春·新疆）从3名男生,,a b c 和2名女生,x y 中随机选出2人参加社区志愿者活动，每人被选到的可能性相同．
(1)写出试验的样本空间；
(2)设M 为事件“选出的2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M 发生的概率．【答案】(1)答案见解析(2)
35
【分析】（1）根据题意由试验结果可直接列出试验的样本空间；（2）由事件M 所占基本事件个数和古典概型计算公式求解即可.【详解】（1）试验的样本空间为:
{}(,)()()()()()()(),()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a x a y b c b x b y c x c y x y Ω=，共10种结果．
（2）选出的2人中恰有1名男生和1名女生的所有结果为(,)a x ，(,)a y ，(,)b x ，(,)b y ，(,)c x ，(,)c y 共6种，
因此事件M 发生的概率为63()105
P M =
=.22．（2022春·辽宁）为形成节能减排的社会共识，促进资源节约型．环境友好型社会的建设，某市计划实行阶梯电价．调查发现确定阶梯电价的临界点是市民关注的热点问题．现从关注此问题的市民中随机选出200人，将这200人按年龄分组，第一组[)15,25，第二组[)25,35，第三组[)35,45，第四组[)45,55，第五组[)55,65．作出频率分布直方图，如图所示．
(1)求图中a 的值；
(2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估计全市关注此问题的市民年龄的平均数；(3)现在要从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求从第二组中恰好抽到2人的概率．【答案】(1)0.035(2)41.5岁(3)
310
【分析】（1）由频率分布直方图即可求出a 的值
（2）由图得出同组中的每个数据所在组区间的中点值，即可求出全市关注此问题的市民年龄的平均数.（3）求出第一组和第二组分层抽样的人数，再列出从这5人中随机抽取2人进行问卷调查的所有可能方法，得出第二组中恰好抽到2人的方法总数，即可求出从第二组中恰好抽到2人的概率.【详解】（1）由题意及图得，组距=10，
()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，
解得：0.035a =.
（2）由题意，（1）及图得，组距=10，0.035
a =平均数为：()10200.01300.015400.035500.030600.0141.5⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴全市关注此问题的市民年龄的平均数为41.5岁.（3）由题意，（1）（2）及图得，组距=10，0.035a =，第一组人数：2000.0101020⨯⨯=，第二组人数：2000.0151030⨯⨯=，
从第一组和第二组中用分层抽样的方法抽取5人，∴第一组抽取：20
522030
⨯=+，
第二组抽取：30
532030
⨯
=+，
从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，设这五人分别为：12123,,,,a a b b b ，
则共有下列10种抽取方法：
()()()()()()()()()()12111213222231212133,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b ，
其中从第二组中恰好抽到2人的为3种，()()()121323,,,,,b b b b b b ，∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：310
P =，∴从第二组中恰好抽到2人的概率为：
310
.23．（2021秋·吉林）一个盒子中装有5支圆珠笔，其中3支为一等品（记为1A ，2A ，3A ），2支为二等品（记为1B ，2B ），从中随机抽取2支进行检测.(1)写出这个试验的样本空间Ω；
(2)求抽取的2支圆珠笔都是一等品的概率.
【答案】(1)()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .(2)
310
【分析】（1）直接写出样本空间即可；
（2）计算2支圆珠笔都是一等品的样本数，得到概率.
【详解】（1）试验的样本空间Ω为：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，
()31,A B ，()32,A B ，()12,B B .
（2）抽取的2支圆珠笔都是一等品有()12,A A ，()13,A A ，()23,A A 3种情况，故概率310
p =
.24．（2021秋·青海）如图所示的茎叶图记录了甲､乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．
(1)如果7X =，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数；
(2)如果8X =，分别从甲､乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为17的概率．
【答案】(1)7.75(2)
14
【分析】（1）根据题意，当7X =时，乙组数据分别为7，7，8，9，由平均数的计算公式计算可得答案；（2）由列举法列出全部基本事件，即可分析“从甲、乙两组中随机选取一名同学”和事件C 包含的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【详解】（1）根据题意，当7X =时，乙组数据分别为7，7，8，9，计算这组数据的平均数为1(7789)7.754
x =⨯+++=，
（2）根据题意，记甲组四名同学为1A ，2A ，3A ，4A ，他们单位时间内引体向上次数依次为8，8，10，10，乙组四名同学为1B ，2B ，3B ，4B ，他们单位时间内引体向上次数依次为8，7，8，9；记“选出的两名同学单位时间内引体向上次数和为17”为事件C ，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有4416⨯=个，
依次为1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，1(A ，3)B ，1(A ，4)B ，2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，2(A ，3)B ，2(A ，4)B ，3(A ，1)B ，
3(A ，2)B ，3(A ，3)B ，3(A ，4)B ，4(A ，1)B ，4(A ，2)B ，4(A ，3)B ，4(A ，4)B ，
而C 中的结果有4个，依次为1(A ，4)B ，2(A ，4)B ，3(A ，2)B ，4(A ，2)B ，故41
()164P C =
=，即要求事件的概率为14
．考点二：概率基本性质
1．（2023·江苏）甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（
）
A ．0.09
B ．0.42
C ．0.51
D ．0.6
【答案】C
【分析】甲乙都不能译出密码得概率为1049
P =.，密码被破译的概率为11P -，得到答案.【详解】甲乙都不能译出密码得概率为()()110.310.30.49P =-⨯-=，故密码被破译的概率为110.51P -=.故选：C
2．（2023春·新疆）甲、乙两人进行射击比赛，若甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.3，甲、乙射击是否中靶相互独立，则至少有一人中靶的概率为（）
A ．0.9
B ．0.72
C ．0.28
D ．0.18
【答案】B
【分析】利用相互独立事件，以及对立事件概率公式，即可求解.【详解】至少有一人中靶的对立事件为没有人中靶，则两人没有人中靶的概率为0.40.70.28P =⨯=,所以至少有一人中靶的概率10.280.72P =-=.故选：B
3．（2021春·天津）某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为(
)
A ．0.95
B ．0.7
C ．0.35
D ．0.05
【答案】D
【详解】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.故答案为D ．
4．（多选）（2022春·浙江）从甲袋中摸出一个红球的概率是13
，从乙袋中摸出一个红球的概率是1
2，从
两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（
）
A ．2个球都是红球的概率为
1
6B ．2个球不都是红球的概率为13
C ．至少有1个红球的概率为
23
D ．2个球中恰有1个红球的概率为1
2【答案】ACD
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件1A ，从“乙袋中摸出一个红球”为事件2A ，则()113P A =，()21
2
P A =，
对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111
326
⨯=，故A 选项正确，
对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15
166
-
=，故B 选项错误，对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为()()
12212
11323
P A P A -=-⨯=，故C 选项正确，
对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1211
232
132⨯+⨯=，故D 选项正确．
故选：ACD ．
5．（2023春·湖南）自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A 市2022年农产品网络零售量占比扇形图.
(1)请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；
(2)从A 市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率；
(3)已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.
【答案】(1)2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大(2)25
(3)0.84
【分析】（1）由统计图描述变化趋势，（2）由古典概型与互斥事件的概念求解，
（3）由对立事件的概念与独立事件的乘法公式求解
【详解】（1）由图可知2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大（2）由题意得扇形图中茶叶的占比为114%11%5%30%22%18%-----=,
故从A 市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率为218%22%40%5
+==
（3）记任意两天中至少有一天零售额超过1万元为事件A ，则A 为两天零售额都没有超过1万元，()1()10.40.40.84
P A P A =-=-⨯=考点三：事件的相互独立性
1．（2023·河北）某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（）
A ．0.784
B ．0.864
C ．0.928
D ．0.993
【答案】C
【分析】利用相互独立事件的概率公式，求出3人都进球和3人中恰有2人进球的概率即可计算求解.【详解】由题意知：由相互独立事件的概率公式得，3人都进球的概率为0.90.80.80.576⨯⨯=，
3人中恰有2人进球的概率0.90.80.20.90.80.20.10.80.80.352⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故至少进2球的概率为0.5760.3520.928+=，
故选：C .
2．（2022·北京）某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（
）A ．0.24B ．0.14
C ．0.06
D ．0.01
【答案】C
【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案.【详解】依题意，两地都降雨的概率为0.20.30.06⨯=.故选：C
3．（2022春·天津）甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是11
,34
,则两人都成功破译的
概率是（
）
A ．
112
B ．
1
2
C ．
712
D ．
1112
【答案】A
【分析】根据独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】根据已知条件,甲、乙能破译的概率分别是1
3
,
所以两人都成功破译的概率是111
3412
⨯=.
故选:A.
4．（2022·湖南）甲地下雨的概率为0.5，乙地下雨的概率为0.4，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（
）
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.6
D ．0.8
【答案】A
【分析】根据独立事件的概率公式即可求解.
【详解】解：记“甲地下雨”为事件A ，则()0.5P A =，记“乙地下雨”为事件B ，则()0.4P B =，
两地同时下雨的概率为()()()0.50.40.2P AB P A P B ==⨯=.故选：A.
5．（2022春·浙江）甲､乙两人进行羽毛球单打比赛，假定甲每局获胜的概率都是3
4
，且每局比赛结果互不影响，则在三局两胜制的比赛中，甲获胜的概率为．
【答案】
2732
【分析】根据比分为2:0与2:1分类讨论后相加
【详解】甲2:0获胜的概率为1339
4416
p =⨯=，
甲2:1获胜时，第三局必为甲胜，23139
244432
p =⨯⨯⨯=，
故122732
p p p =+=，故答案为：
2732
6．（2023·山西）某人参与一种答题游戏，需要解答,,A B C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p ，p ，1
2，且各题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为29
．(1)求p 的值；
(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率．【答案】(1)23
p =(2)
23
【分析】（1）记解答,,A B C 三道题正确分别为事件,,D E F ，则2
()()()()9
P DEF P D P E P F ==，从而可求出p 的值；
（2）记事件G 为至少答对2道题，则()()()()()P G P DE F P DEF P DEF P DEF =+++，然后利用独立事件的概率公式求解即可.
【详解】（1）记解答,,A B C 三道题正确分别为事件,,D E F ，则1()(),()2
P D P E p P F ===,因为各题答对与否互不影响，且全部答对的概率为2
9
，所以212()()()()29P DEF P D P E P F p ==
=，解得23
p =
（2）记事件G 为至少答对2道题，则由题意得()()()()()P G P DE F P DEF P DEF P DEF =+++221221221221111332332332332⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112299993
=
+++=所以他获奖的概率为
23
7．（2023春·浙江）浙江某公司有甲乙两个研发小组，它们开发一种芯片需要两道工序，第一道工序成功
的概率分别为15和35
.第二道工序成功的概率分别为1
2和23.根据生产需要现安排甲小组开发芯片A ，乙小组
开发芯片B ，假设甲、乙两个小组的开发相互独立.(1)求两种芯片都开发成功的概率；
(2)政府为了提高该公司研发的积极性，决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元，求该公司获得政府奖励的概率.【答案】(1)125
(2)2350
【分析】（1）分别计算甲乙小组研发成功的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率求解；（2）根据对立事件，计算甲乙小组同时研发不成功的概率，即可得解.
【详解】（1）甲小组研发芯片A 成功的概率为11115210
p =⨯=
，乙小组研发芯片B 成功的概率为2322
535p =⨯=，由于甲、乙两个小组的开发相互独立,
所以,A B 两种芯片开发都成功的概率12121
10525
P p p =⋅=
⨯=.（2）该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功，根据对立事件可知获奖的概率：
121293231(1)(1)1(1)(1)110
510550P p p =---=--
-=-⨯=.
8．（2023·云南）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为12
,23
.
(1)求甲､乙都成功破译密码的概率；(2)求至少有一人成功破译密码的概率.【答案】(1)1
3；
(2)56
.【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式计算作答.（2）利用对立事件及相互独立事件的乘法公式计算作答.
【详解】（1）令甲破译密码成功的事件为A ，乙破译密码成功的事件为B ，则12
(),()23
P A P B ==，A ，B 相互独立，
甲、乙都成功破译密码的事件为AB ，因此121()()233
()P P AB P A B ⨯===，所以甲、乙都成功破译密码的概率1
3
.
（2）至少有一人成功破译密码的事件M ，其对立事件M AB =，
则
121 ()()()(1)(1)
236 P M P A P B
==--=，
所以至少有一人成功破译密码的概率
5 ()1()
6 P M P M
=-=.。