沈阳二中高三下学期第一次模拟(理)

沈阳二中2015－2016学年度下学期第一次模拟考试

高三（16届）数学（理）试题

命题人：高三数学组 审校人：高三数学组

本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷答题无效，考试结束后，将答题卡交回.

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．

A

．[

B ．[-

C ．∅

D ．(

-

2. 设i 是虚数单位，若复数i

a --

417

（R a ∈）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．－4 B ．－1 C ．4 D ．1

3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查，y 与x

具有相关关系，回归方程ˆy ＝0.66x +1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消

费额占人均工资收入的百分比约为（ ）

A ．83%

B ．72%

C ．67%

D ．66% 4.下列叙述中正确的是（ ）

A ．若,,a b c R ∈，则“2

0ax bx c ++≥”的充分条件是“2

40b ac -≤” B ．若,,a b c R ∈，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”

C ．命题“对任意x R ∈，有2

0x ≥”的否定是“存在x R ∈，有2

0x ≥” D ．l 是一条直线，,αβ是两个平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ

5.

6

-的展开式中，x 3

的系数等于（ ）

A ．－15

B ．15

C ．20

D ．－20 6．偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+≠>≤≤的图象向右平移4

π

个单位得到的图象关于原点对称，

则ω的值可以为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中， 最长的棱的长度

是（ ）

A ．24

B ．52

C ．6

D ．34 8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )=1

(21)x

t dt +⎰

的图象上，则数列

{a n }的通项公式为（ ）

A ．2n a n =

B ．2

2n a n n =+- C ．

0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ D ．0,1

2,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩

9．已知一次函数()1f x ax =-满足[1,2]a ∈-且0a ≠，那么对于a ，使得()0f x ≤在[0,1]x ∈上恒成立的概率为（ ） A ．

34 B ．23 C ．12 D ． 13

10．点S 、A 、B 、C 在半径为2的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为

2

1

，3===CA BC AB ，则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．2

1 11．已知函数()32

1132

f x x ax bx c =+++在1x 处取得极大值，

在2x 处取得极小值，满足()()121,0,0,1x x ∈-∈，则

24

2

a b a +++的取值范围是（ ）

A ．（0，2）

B ．（1，3）

C ．[0，3]

D ．[1，3]

12．过点)2,0(b 的直线l 与双曲线)0,(1:22

22>=-b a b

y a x C 的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C 的右

支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．(]2,1

B ．()+∞,2

C ．()2,1

D ．()

2,1

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须作

答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上． 13．抛物线2

8y x =的准线方程是 ．

14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限 增加时，多

边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 ．

（参考数据：2588.015sin =︒，1305.05.7sin =︒）

15．已知两个非零平面向量b a ,满足：对任意R ∈λ

4，则=⋅b a .

16．已知等比数列{a n }中a 2=1，则其前3项的和S 3的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置． 17．（本小题满分12分） △ABC

中，sin

2ABC ∠=

，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，

BD = （Ⅰ）求BC 的长；

（Ⅱ）求△DBC 的面积． 18．（本小题满分12分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X

表示．

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形， AA 1⊥平面ABC ，点E 是AB 的中点，CE ∥平面A 1BD ．

（Ⅰ）求证：点D 是CC 1的中点；

（Ⅱ）若A 1D ⊥BD ，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>

，点()0,1P 在短轴CD ，且 1-=⋅.

（I ）求椭圆E 的方程；

（II ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A,B 两点．

（i ）若AP PB 2

1

=

，求直线l 的方程； （ii ）在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB

PB

=

恒成立，若存在，求出点Q 的坐标，

若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）

已知函数2

1()(22)(21)ln 2

f x x a x a x =

-+++． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点（2，f (2)）处的切线的斜率小于0，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）对任意的35[,]22

a ∈，1212,[1,2]()x x x x ∈≠，恒有1212

11

|()()||

|f x f x x x λ-<-，求正数λ的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点,C D ，4AC =，

BOD A ∠=∠，OB 与圆O 相交于点E .

（Ⅰ）求BD 长；

（Ⅱ）当CE OD ⊥时，求证：AO AD =. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为4

π

θ=

，

曲线C

的参数方程为sin x y θθ

⎧=⎪⎨=⎪⎩.（θ为参数）

（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若8

||||3

MA MB ⋅=

， 求点M 轨迹的直角坐标方程.

24．（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲

（Ⅰ）设不等式－2<|x －1|－|x +2|<0的解集为M .a ,b ∈M .证明：

111

364

a b +<； （Ⅱ）若函数f (x )=|2x +1|+|2x －3|，关于x 的不等式f (x )－log 2(a 2－3a )>2恒成立，求实数a 的取值范围．

D

C