中考数学试题分项版解析汇编第期专题函数的图像与性质含解析.doc

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专题06 函数的图像与性质
一、选择题
1.(2017浙江衢州市第8题)如图,在直角坐标系中,点A 在函数)0(4>=
x x y 的图象上,AB ⊥x 轴于点B ,AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ,与函数)0(4>=
x x
y 的图象交于点D 。

连结AC ,CB ,BD ,DA ,则四边形ACBD 的面积等于( )
A. 2
B. 32
C. 4
D. 34
【答案】C .
考点:反比例函数系数k 的几何意义.
2.(2017山东德州第7题)下列函数中,对于任意实数1x ,2x ,当1x >2x 时,满足1y <2y 的是( )
A .y=-3x+2
B .y=2x+1
C .y=2x 2+1
D .1=-x
y 【答案】A
【解析】
试题分析:A .y=-3x+2 ,k=-3,y 与x 变化相反,正确;
B .y=2x+1 ,k =2,y 与x 变化一致,错误;
C .y=2x 2+1 ,在对称轴左边,y 与x 变化相反,在对称轴右边,y 与x 变化一致,错误;
D .1=-
x y ,在每个象限,y 与x 变化一致,错误; 故选A.
考点:函数的增减性
3. (2017山东德州第9题)公式KP L L +=0表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 0L 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示,K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度,用厘米(cm)表示。

下面给出的四个公式中,表明这是一个短而硬的弹簧的是( )
A .L=10+0.5P
B .L=10+5P
C .L=80+0.5P
D .L=80+5P
【答案】A
【解析】
试题分析:A 和B 中,L 0=10,表示弹簧短;A 和C 中,K=0.5,表示弹簧硬;
故选A
考点:一次函数的应用
4.(2017浙江宁波第10题)抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】A
【解析】
试题解析:2222y x x m =-++
=(x-1)2+m 2+1
∴顶点坐标为(1,m 2+1)
∵m 2≥0
∴m 2+1≥1
∴抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在第一象限.
故选A.
考点:二次函数的图象.
5.(2017甘肃庆阳第7题)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b 的图象如图所示,观察图象可得( )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
【答案】A
考点:一次函数图象与系数的关系.
6. (2017甘肃庆阳第10题)如图①,在边长为4的正方形ABCD中,点P以每秒2cm的速度从点A出发,沿AB→BC的路径运动,到点C停止.过点P作PQ∥BD,PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时,PQ的长是()
A.B.C.D.
【答案】B.
【解析】
试题解析:点P运动2.5秒时P点运动了5cm,
CP=8-5=3cm,
由勾股定理,得

故选B .
考点:动点函数图象问题.
7.(2017广西贵港第10题)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式是
( )
A .()211y x =-+
B .()211y x =++
C.()2211y x =-+ D .()2
211y x =++
【答案】C
【解析】
试题解析:由图象,得y=2x 2﹣2,
由平移规律,得y=2(x ﹣1)2+1,
故选:C .
考点:二次函数图象与几何变换.
8.(2017贵州安顺第10题)二次函数y=ax 2+bx+c (≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2<0;②3b+2c <0;③4a+c <2b ;④m (am+b )+b <a (m ≠1),其中结论正确的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】B .
【解析】
试题解析:∵图象与x 轴有两个交点,
∴方程ax 2
+bx+c=0有两个不相等的实数根,
∴b 2﹣4ac >0,
∴4ac ﹣b 2<0,
①正确; ∵﹣2b a
=﹣1, ∴b=2a ,
∵a+b+c <0, ∴12
b+b+c <0,3b+2c <0, ∴②是正确;
∵当x=﹣2时,y >0,
∴4a ﹣2b+c >0,
∴4a+c >2b ,
③错误;
∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值,
∴a ﹣b+c >am 2+bm+c (m ≠﹣1).
∴m (am+b )<a ﹣b .故④错误
∴正确的有①②两个,
故选B .
考点:二次函数图象与系数的关系.
9.(2017湖南怀化第8题)一次函数2y x m =-+的图象经过点()2,3P -,且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,则AOB △的面积是( ) A.12 B.14 C.4 D.8
【答案】B.
【解析】
试题解析:∵一次函数y=﹣2x+m 的图象经过点P (﹣2,3),
∴3=4+m ,
解得m=﹣1,
∴y=﹣2x ﹣1,
∵当x=0时,y=﹣1,
∴与y 轴交点B (0,﹣1),
∵当y=0时,x=﹣12
, ∴与x 轴交点A (﹣
12,0), ∴△AOB 的面积:V
12×1×12=14
. 故选B . 考点:一次函数图象上点的坐标特征.
10.(2017湖南怀化第10题)如图,A ,B 两点在反比例函数1k y x =的图象上,C ,D 两点在反比例函数2
k y x
=的图象上,AC y ^轴于点E ,BD y ^轴于点F ,2AC =,1BD =,3EF =,则12k k -的值是( )
A.6
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【解析】
试题解析:连接OA 、OC 、OD 、OB ,如图:
由反比例函数的性质可知S △AOE =S △BOF =
12|k 1|=12k 1,S △COE =S △DOF =12|k 2|=﹣12
k 2, ∵S △AOC =S △AOE +S △COE ,
∴12AC•OE=12×2OE=OE=12
(k 1﹣k 2)…①, ∵S △BOD =S △DOF +S △BOF , ∴12BD•OF=12×(EF ﹣OE )=12×(3﹣OE )=32﹣12OE=12
(k 1﹣k 2)…②, 由①②两式解得OE=1,
则k 1﹣k 2=2.
故选D .
考点:反比例函数图象上点的坐标特征.
11.(2017江苏无锡第2题)函数=
2-x y x
中自变量x 的取值范围是( ) A .x≠2 B .x≥2 C .x≤2 D .x >2
【答案】A .
考点:函数自变量的取值范围.
12.(2017江苏盐城第6题)如图,将函数y=12
(x-2)2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A (1,m ),B (4,n )平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( )
A .y =12 (x −2)2−2
B .y =12 (x −2)2+7
C .y =12 (x −2)2−5
D .y =12
(x −2)2+4 【答案】D .
【解析】
试题解析:∵函数y=12
(x-2)2+1的图象过点A (1,m ),B (4,n ), ∴m=12(1-2)2+1=112,n=12
(4-2)2+1=3, ∴A (1,112
),B (4,3), 过A 作AC ∥x 轴,交B′B 的延长线于点C ,则C (4,1
12), ∴AC=4-1=3,
∵曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),
∴AC•AA′=3AA′=9,
∴AA′=3,
即将函数y=12
(x-2)2+1的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象, ∴新图象的函数表达式是y=
12(x-2)2+4. 故选D .
考点:二次函数图象与几何变换.
13.(2017甘肃兰州第11题)如图,反比例函数()0k y x x =
<与一次函数4y x =+的图像交于A 、B 两点的横坐标分别为3-、1-,则关于x 的不等式()40k x x x
<+<的解集为( )
A.3x <-
B.31x -<<-
C.10x -<<
D.3x <-或10x -<<
【答案】B
【解析】 试题解析:∵反比例函数()0k y x x
=<与一次函数y=x+4的图象交于A 点的横坐标为﹣3, ∴点A 的纵坐标y=﹣3+4=1,
∴k=xy=﹣3,
∴关于x 的不等式()40k x x x <+<的解集即不等式﹣3x
<x+4(x <0)的解集, 观察图象可知,当﹣3<x <﹣1时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,
∴关于x 的不等式
()40k x x x <+<的解集为:﹣3<x <﹣1. 故选B .
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
14.(2017甘肃兰州第15题)如图1,在矩形ABCD 中,动点E 从A 出发,沿A B B C →方向运动,当点E 到达点C 时停止运动,过点E 做FE AE ^,交CD 于F 点,设点E 运动路程为x ,FC y =,如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象,当点E 在BC 上运动时,FC 的最大长度是
25
,则矩形ABCD 的面积是( )
图1 图2 A.235 B.5 C.6 D.254
【答案】B
【解析】
试题解析:若点E 在BC 上时,如图
∵∠EFC+∠AEB=90°,∠FEC+∠EFC=90°,
∴∠CFE=∠AEB ,
∵在△CFE 和△BEA 中,CFE AEB C B ⎧∠=∠⎨
∠=∠⎩, ∴△CFE ∽△BEA ,
由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时,CF 有最大值,此时CF CE BE AB
= BE=CE=x ﹣52 ,即525
522x y x -=-,
∴y=22
5(x )52-,当y=25时,代入方程式解得:x 1=32(舍去),x 2=72
, ∴BE=CE=1,∴BC=2,AB=52
, ∴矩形ABCD 的面积为2×
52=5; 故选B .
考点:动点问题的函数图象.
15.(2017贵州黔东南州第9题)如图,抛物线y=ax 2
+bx+c (a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,给出下列结论: ①b 2=4ac ;②abc >0;③a >c ;④4a ﹣2b+c >0,其中正确的个数有( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
【答案】C .
【解析】
试题解析:①∵抛物线与x 轴有2个交点,
∴△=b 2﹣4ac >0,
所以①错误;
②∵抛物线开口向上,
∴a >0,
∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧,
∴a 、b 同号,
∴b >0,
∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方,
∴c >0,
∴abc >0,
所以②正确;
③∵x=﹣1时,y <0,
即a ﹣b+c <0,
∵对称轴为直线x=﹣1, ∴﹣2b
a =﹣1,
∴b=2a ,
∴a ﹣2a+c <0,即a >c ,
所以③正确;
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等,即x=﹣2时,y >0,
∴4a ﹣2b+c >0,
所以④正确.
所以本题正确的有:②③④,三个,
故选C .
考点:二次函数图象与系数的关系.
16.(2017山东烟台第11题)二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴是直线1=x ,下列结论:
①0<ab ;②ac b 42>;③0<++c b a ;④03<+c a .
其中正确的是( )
A .①④
B .②④ C. ①②③ D .①②③④
【答案】C .
【解析】
试题解析:∵抛物线开口向上,
∴a >0,
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
2b a =1, ∴b=﹣2a <0,
∴ab <0,所以①正确;
∵抛物线与x 轴有2个交点,
∴△=b 2
﹣4ac >0,所以②正确;
∵x=1时,y <0,
∴a+b+c <0,
而c <0,
∴a+b+2c <0,所以③正确;
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
2b a
=1, ∴b=﹣2a ,
而x=﹣1时,y >0,即a ﹣b+c >0,
∴a+2a+c >0,所以④错误.
故选C .
考点:二次函数图象与系数的关系.
17.(2017四川泸州第8题)下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是( ) A .
B .
C .
D .
【答案】C.
考点:函数的概念.
18.(2017四川泸州第12题)已知抛物线y=x 2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F (0,2)的
距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为,3),P 是抛物线y=
14
x 2+1上一个动点,则△PMF 周长的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C.
【解析】
试题解析:过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=1
4
x2+1于点P,此时△PMF周长最小值,
∵F(0,2)、M(3),
∴ME=3,,
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.
故选C.
考点:1.二次函数的性质;2.三角形三边关系.
19.(2017四川宜宾第8题)如图,抛物线y1=1
2
(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1,3),过点A
作x轴的平行线,分别交两条抛物线于B、C两点,且D、E分别为顶点.则下列结论:
①a=2
3
;②AC=AE;③△ABD是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2
其中正确结论的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.
【解析】
试题解析:∵抛物线y1=1
2
(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1,3),
∴3=a(1﹣4)2﹣3,
解得:a=2
3
,故①正确;
∵E是抛物线的顶点,
∴AE=EC,
∴无法得出AC=AE,故②错误;
当y=3时,3=1
2
(x+1)2+1,
解得:x1=1,x2=﹣3,
故B(﹣3,3),D(﹣1,1),
则AB=4,
∴AD2+BD2=AB2,
∴③△ABD是等腰直角三角形,正确;
∵1
2
(x+1)2+1=
2
3
(x﹣4)2﹣3时,
解得:x1=1,x2=37,
∴当37>x >1时,y 1>y 2,故④错误.
故选B .
考点:二次函数的图象与性质.
20.(2017四川自贡第12题)一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=
2k x
(k 1•k 2≠0)的图象如图所示,若y 1>y 2,则x 的取值范围是( )
A .﹣2<x <0或x >1
B .﹣2<x <1
C .x <﹣2或x >1
D .x <﹣2或0<x <1 【答案】D.
【解析】
试题解析:如图所示:
若y 1>y 2,则x 的取值范围是:x <﹣2或0<x <1.
故选D .
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
21. (2017江苏徐州第7题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数()0y kx b k =+≠与()0m y m x =
≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --,则不等式m kx b x
+>的解集为 ( )
A .6x <-
B .60x -<<或2x >
C. 2x > D .6x <-或02x <<
【答案】B .
【解析】
试题解析:不等式kx+b >
m x
的解集为:-6<x <0或x >2, 故选B . 考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
22. (2017江苏徐州第8题)若函数2
2y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点,则b 的取值范围是( )
A .1b <且0b ≠
B .1b > C.01b << D .1b <
【答案】A .
【解析】
试题解析:∵函数y=x 2-2x+b 的图象与坐标轴有三个交点,
∴()22400=b >b --≠⎧⎪⎨⎪⎩,
解得b <1且b≠0.
故选A .
考点:抛物线与x 轴的交点.
23.(2017浙江嘉兴第10题)下列关于函数2610y x x =-+的四个命题:①当0x =时,y 有最小值10;②n 为任意实数,3x n =+时的函数值大于3x n =-时的函数值;③若3n >,且n 是整数,当1n x n ≤≤+时,y 的整数值有(24)n -个;④若函数图象过点0(,)a y 和0(,1)b y +,其中0a >,0b >,则a b <.其中真命题的序号是( )
A .①
B .②
C .③
D .④
【答案】C .
【解析】
试题解析:∵y=x 2-6x+10=(x-3)2+1,
∴当x=3时,y 有最小值1,故①错误;
当x=3+n 时,y=(3+n )2-6(3+n )+10,
当x=3-n 时,y=(n-3)2-6(n-3)+10,
∵(3+n )2-6(3+n )+10-[(n-3)2-6(n-3)+10]=0,
∴n 为任意实数,x=3+n 时的函数值等于x=3-n 时的函数值,故②错误;
∵抛物线y=x 2-6x+10的对称轴为x=3,a=1>0,
∴当x >3时,y 随x 的增大而增大,
当x=n+1时,y=(n+1)2-6(n+1)+10,
当x=n 时,y=n 2-6n+10,
(n+1)2-6(n+1)+10-[n 2-6n+10]=2n-4,
∵n 是整数,
∴2n -4是整数,故③正确;
∵抛物线y=x 2-6x+10的对称轴为x=3,1>0,
∴当x >3时,y 随x 的增大而增大,x <0时,y 随x 的增大而减小,
∵y 0+1>y 0,∴当0<a <3,0<b <3时,a >b ,当a >3,b >3时,a <b ,当0<a <3,b >3时,a ,b 的大小不确定,故④错误;
故选C .
考点:二次函数的性质.
二、填空题
1.(2017浙江衢州第15题)如图,在直角坐标系中,⊙A 的圆心A 的坐标为(-1,0),半径为1,点P 为直线34
3+-=x y 上的动点,过点P 作⊙A 的切线,切点为Q ,则切线长PQ 的最小值是__________
【答案】
【解析】
试题解析:连接AP ,PQ ,
当AP 最小时,PQ 最小,
∴当AP ⊥直线y=﹣34
x+3时,PQ 最小, ∵A 的坐标为(﹣1,0),y=﹣34
x+3可化为3x+4y ﹣12=0, ∴
|3(1)4012|
=3, ∴

考点:1.切线的性质;2.一次函数的性质.
2.(2017浙江宁波第17题)已知ABC △的三个顶点为()1,1A -,()1,3B -,()3,3C --,将ABC △向右平移()0m m >个单位后,ABC △某一边的中点恰好落在反比例函数3y x =
的图象上,则m 的值为 . 【答案】m=4或m=0.5.
【解析】
考点:1.反比例函数图象上点的坐标特征;2.坐标与图形变化-平移.
3.(2017重庆A 卷第17题)A 、B 两地之间的路程为2380米,甲、乙两人分别从A 、B 两地出发,相向而行,已知甲先出发5分钟后,乙才出发,他们两人在A 、B 之间的C 地相遇,相遇后,甲立即返回A 地,乙
继续向A 地前行.甲到达A 地时停止行走,乙到达A 地时也停止行走,在整个行走过程中,甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走,甲、乙两人相距的路程y (米)与甲出发的时间x (分钟)之间的关系如图所示,则乙到达A 地时,甲与A 地相距的路程是 米.
【答案】180.
【解析】
试题解析:由题意可得,
甲的速度为:(2380﹣2080)÷5=60米/分,
乙的速度为:(2080﹣910)÷(14﹣5)﹣60=70米/分,
则乙从B 到A 地用的时间为:2380÷70=34分钟,
他们相遇的时间为:2080÷(60+70)=16分钟,
∴甲从开始到停止用的时间为:(16+5)×2=42分钟,
∴乙到达A 地时,甲与A 地相距的路程是:60×(42﹣34﹣5)=60×3=180米.
考点:一次函数的应用.
4.(2017广西贵港第18题)如图,过()2,1C 作AC x 轴,BC y 轴,点,A B 都在直线6y x =-+上,若双曲线()0k y x x
=>与ABC ∆总有公共点,则k 的取值范围是 .
【答案】2≤k ≤9
【解析】
试题解析:当反比例函数的图象过C 点时,把C 的坐标代入得:k=2×1=2;
把y=﹣x+6代入y=
k x 得:﹣x+6=k x
, x 2﹣6x+k=0, △=(﹣6)2﹣4k=36﹣4k ,
∵反比例函数y=
k x
的图象与△ABC 有公共点, ∴36﹣4k ≥0,
k ≤9,
即k 的范围是2≤k ≤9
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
5.(2017贵州安顺第12题)在函数y =
x 的取值范围 . 【答案】x ≥1且x ≠2.
【解析】 试题解析:根据题意得:x-1≥0且x-2≠0,
解得:x ≥1且x ≠2.
考点:函数自变量的取值范围.
6.(2017湖北武汉第16题)已知关于x 的二次函数y=ax 2+(a 2
-1)x-a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m,0),若2<m<3,则a 的取值范围是 .
【答案】-3<a<-2,
13<a<12
. 【解析】
试题解析:把(m ,0)代入y=ax 2+(a 2-1)x-a 得,am 2+(a 2-1)m-a=0
解得:m=222(--1)(--1)(+1)22a a a a a ±±= ∵2<m<3
解得:-3<a<-2,13<a<12
. 考点:二次函数的图象.
7.(2017江苏无锡第15题)若反比例函数y=k
x
的图象经过点(﹣1,﹣2),则k的值为.
【答案】2.
【解析】
试题解析:把点(﹣1,﹣2)代入解析式可得k=2.考点:待定系数法求反比例函数解析式.
8.(2017江苏盐城第16题)如图,曲线l是由函数y=6
x
在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°
得到的,过点A(,B(的直线与曲线l相交于点M、N,则△OMN的面积为.
【答案】8.
【解析】
试题解析:∵A(B(),
∴OA⊥OB,
建立如图新的坐标系(OB为x′轴,OA为y′轴.
在新的坐标系中,A(0,8),B(4,0),
∴直线AB解析式为y′=-2x′+8,
由286y =x y =x '-'+''
⎧⎪⎨⎪⎩,解得 16x =y =''⎧⎨⎩或32x =y =''⎧⎨⎩, ∴M (1.6),N (3,2),
∴S △OMN =S △OBM -S △OBN =12•4•6-12
•4•2=8 考点:坐标与图形变化-旋转;反比例函数系数k 的几何意义.
9.(2017甘肃兰州第16题)若反比例函数k y x
=
的图象过点()1,2-,则k = . 【答案】-2
【解析】
试题解析:∵图象经过点(﹣1,2),
∴k=xy=﹣1×2=﹣2.
考点:待定系数法求反比例函数解析式.
10. (2017甘肃兰州第18题)如图,若抛物线2y ax bx c =++上的()4,0P ,Q 两点关于它的对称轴1x =对称,则Q 点的坐标为
.
【答案】(﹣2,0).
【解析】
试题解析:∵抛物线y=ax 2
+bx+c 上的P (4,0),Q 两点关于它的对称轴x=1对称,
∴P ,Q 两点到对称轴x=1的距离相等,
∴Q 点的坐标为:(﹣2,0).
考点:二次函数的性质. 11.(2017贵州黔东南州第15题)如图,已知点A ,B 分别在反比例函数y 1=-2x 和y 2=x
k 的图象上,若点A
是线段OB 的中点,则k 的值为 .
【答案】-8
【解析】
试题解析:设A (a ,b ),则B (2a ,2b ),
∵点A 在反比例函数y 1=﹣
2x 的图象上, ∴ab=﹣2;
∵B 点在反比例函数y 2=
x k 的图象上, ∴k=2a•2b=4ab=﹣8.
考点:反比例函数图象上点的坐标特征.
12.(2017山东烟台第17题)如图,直线2+=x y 与反比例函数x
k y =的图象在第一象限交于点P ,若10=OP ,则k 的值为 .
【答案】3
【解析】
试题解析:设点P (m ,m+2),
∵,
=
解得m 1=1,m 2=﹣3(不合题意舍去),
∴点P (1,3),
∴3=1
k , 解得k=3.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
13.(2017新疆建设兵团第11题)如图,它是反比例函数y=
5m x
-图象的一支,根据图象可知常数m 的取值范围是 .
【答案】m >5
【解析】
试题解析:由图象可知,
反比例函数y=5m x
-图象在第一象限, ∴m ﹣5>0,得m >5
考点:反比例函数的性质.
14.(2017江苏徐州第12题)反比倒函数k y x =
的图象经过点()2,1M -,则k = . 【答案】-2.
【解析】
试题解析:∵反比例函数y=k x
的图象经过点M (-2,1),
∴1=-2
k ,解得k=-2. 考点:反比例函数图象上点的坐标特征.
三、解答题
1.(2017浙江衢州第21题)“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游。

[来
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为x 小时,租用甲公司的车所需费用为1y 元,租用乙公司的车所需费用为2y 元,分别求出1y ,2y 关于x 的函数表达式;
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。

【答案】(1)y 1=15x+80(x≥0);y 2=30x (x≥0);(2)当租车时间为163
小时,选择甲乙公司一样合算;当租车时间小于
163小时,选择乙公司合算;当租车时间大于163
小时,选择甲公司合算. 【解析】 试题分析:(1)根据函数图象中的信息,分别运用待定系数法求得y 1,y 2关于x 的函数表达式即可;
(2)当y 1=y 2时,15x+80=30x ,当y >y 2时,15x+80>30x ,当y 1<y 2时,15x+80<30x ,分别求解即可. 试题解析: (1)设y 1=k 1x+80,
把点(1,95)代入,可得
95=k 1+80,
解得k 1=15,
∴y 1=15x+80(x≥0);
设y 2=k 2x ,
把(1,30)代入,可得
30=k 2,即k 2=30,
∴y 2=30x (x≥0);
(2)当y 1=y 2时,15x+80=30x ,
解得x=163
; 当y 1>y 2时,15x+80>30x ,
解得x <163
; 当y 1<y 2时,15x+80>30x ,
解得x >163
; ∴当租车时间为
163小时,选择甲乙公司一样合算;当租车时间小于163小时,选择乙公司合算;当租车时间大于163
小时,选择甲公司合算. 考点:1.用待定系数法求一次函数关系式;2.一次函数的应用.
2. (2017浙江衢州第22题)定义:如图1,抛物线)0(2
≠++=a c bc ax y 与x 轴交于A ,B 两点,点P 在抛物线上(点P 与A ,B 两点不重合),如果△ABP 的三边满足222AB BP AP =+,则称点P 为抛物线)0(2≠++=a c bc ax y 的勾股点。

(1)直接写出抛物线12
+-=x y 的勾股点的坐标;
(2)如图2,已知抛物线C :)0(2≠+=a bx ax y 与x 轴交于A ,B 两点,点P (1,3)是抛物线C 的勾股点,求抛物线C 的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,点Q 在抛物线C 上,求满足条件ABP ABQ S S ∆∆=的点Q (异于点P )的坐标
【答案】(1)(0,1);(2)y=

3
x2
+
3
x;(3)(3
)或(
2

【解析】
试题分析:(1)根据抛物线勾股点的定义即可求解;
(2)作PG⊥x轴,由P点坐标求得AG=1、
PA=2,由tan∠
PAB=
PG
AG
=
得AB=4,即B(4,0),运用待定系数法即可求解;
(3)由SΔABQ=SΔABP且两三角形同底,可知点Q到x
.
试题解析:(1)抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为(0,1);(2)抛物线y=ax2+bx过原点,即点A(0,0),
如图,作PG⊥x轴于点G,
∵点P的坐标为(1

∴AG=1、
=,
∵tan∠
PAB=
PG
AG
=
∴∠PAG=60°,
在Rt△PAB中,AB=
2
4
1
cos
2
PA
PAB
==


∴点B 坐标为(4,0),
设y=ax (x ﹣4),
将点P (1a=﹣3

∴y=﹣3x (x ﹣4)=﹣3
x 2+3x ;
(3)①当点Q 在x 轴上方时,由S △ABQ =S △ABP 知点Q ,
则有﹣3
x 2+3 解得:x 1=3,x 2=1(不符合题意,舍去),
∴点Q 的坐标为(3;
②当点Q 在x 轴下方时,由S △ABQ =S △ABP 知点Q
则有﹣3
x 2+3x =
解得:x 1x 2=2,
∴点Q 的坐标为()或(2;
综上,满足条件的点Q 有3个:(32.
考点:1.抛物线与x 轴的交点;2.待定系数法求二次函数表达式.
3.(2017山东德州第22题)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.
(1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;
(2)求出水柱的最大高度是多少?
【答案】(1)y=-224+x 233x +(0≤x≤3);(2)抛物线水柱的最大高度为83
m.
试题解析:(1)如图,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地点所在直线为x 轴,水管所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系
.
由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)2
+h(0≤x≤3)
抛物线过点(0,2)和(3,0),代入抛物线解析式得: 4+h=0a+h=2a ⎧⎨⎩ 解得:2=-38
h 3
a ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以,抛物线的解析式为:y=-23(x-1)2+83
(0≤x≤3), 化为一般形式为:y=-224+x 233
x +(0≤x≤3) (2)由(1)知抛物线的解析式为y=-
23(x-1)2+83(0≤x≤3), 当x=1时,y=83
,
所以,抛物线水柱的最大高度为83
m. 考点:平面直角坐标系,求二次函数解析式及二次函数的最值问题
4. (2017山东德州第24题)有这样一个问题:探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数1=k y x 与=(k 0)k
y x ≠的图象性质.小明根据学习函数的经验,对函数1=k y x 与=k y x
,当k>0时=(k 0)k y x
≠的图象性质进行了探究,下面是小明的探究过程: (1)如图所示,设函数1=
k y x 与=k y x 图像的交点为A,B.已知A 的坐标为(-k ,-1),则B 点的坐标为 .
(2)若P 点为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点.
①设直线PA 交x 轴于点M ,直线PB 交x 轴于点N.求证:PM=PN.
证明过程如下:设P(m ,k m
),直线PA 的解析式为y=ax+b(a≠0). 则-+=-1+=ka b k ma b m ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得a b ⎧=⎨=⎩
所以,直线PA 的解析式为 .
请把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明.
②当P 点坐标为(1,k)(k≠1)时,判断ΔPAB 的形状,并用k 表示出ΔPAB 的面积.
【答案】(1)(k ,1);(2)①证明见解析;②ΔPAB 为直角三角形.21-k 或2
-1k .
【解析】
试题解析:(1)B 点的坐标为(k ,1)
(2)①证明过程如下:设P(m ,k m
),直线PA 的解析式为y=ax+b(a≠0). 则-+=-1+=ka b k ma b m ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得11m
a m k
b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以,直线PA 的解析式为1=
1k y x m m
+-. 令y=0,得x=m-k
∴M 点的坐标为(m-k ,0)
过点P 作PH ⊥x 轴于H
∴点H 的坐标为(m ,0)
∴MH=x H -x M =m-(m-k)=k.
同理可得:HN=k
∴PM=PN
②由①知,在ΔPMN 中,PM=PN
∴ΔPMN 为等腰三角形,且MH=HN=k
当P 点坐标为(1,k )时,PH=k
∴MH=HN=PH
∴∠PMH=∠MPH=45°,∠PNH=∠NPH=45°
∴∠MPN=90°,即∠APB=90°
∴ΔPAB 为直角三角形.
当k>1时,如图1,PAB PMN OBN OAM S S S S =-+ =111||222B A MN PH ON y OM y -+ =
1112(1)1(1)1222k k k k ⨯⨯-+⨯+-⨯ 21k =-
当0<k<1时,如图2,
PAB OBN PMN OAM S S S S =-+=211y ||22
B A ON k OM y -+ =211(1)1(1)122
k k k +-+- =21k -
考点:反比例函数的性质,一次函数的性质,平面直角坐标系中三角形及四边形面积问题,分类讨论思想
5.(2017浙江宁波第22题)如图,正比例函数13y x =-的图象与反比例函数2k y x
=
的图象交于A 、B 两点.点C 在x 轴负半轴上,AC AO =,ACO △的面积为12.
(1)求k 的值;
(2)根据图象,当12y y >时,写出x 的取值范围.
【答案】(1)-12;(2)x<-2或0<x<2.
【解析】
试题分析:(1)过点A 作AD ⊥OC ,根据ΔACO 的面积为12,可求k 的值;
(2)联立方程组,求解得到交点坐标,从而可求出x 的取值范围.
试题分析:(1)如图,过点A 作AD ⊥OC 于点D ,
又∵AC =AO
CD=DO
∴S ΔADO =12
S ΔACO =6 ∴k=-12
(2)由(1)得:y=12
-x 联立,得12y x 3x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
解得:112y 6x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩,22x 26
y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
故,当12y y >时,x 的取值范围是x<-2或0<x<2.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
6.(2017浙江宁波第25题)如图,抛物线21144
y x x c =++与x 轴的负半轴交于点A ,与y 轴交于点B ,连结AB ,点156,2C 骣琪琪桫
在抛物线上,直线AC 与y 轴交于点D . (1)求c 的值及直线AC 的函数表达式;
(2)点P 在x 轴正半轴上,点Q 在y 轴正半轴上,连结PQ 与直线AC 交于点M ,连结MO 并延长交AB 于点N ,若M 为PQ 的中点.
①求证:APM AON △∽△;
②设点M 的横坐标为m ,求AN 的长(用含m 的代数式表示).
【答案】(1)c=-3; 直线AC 的表达式为:y=
34x+3;(2)①证明见解析;②52024m m ++ 【解析】
试题分析:(1)把点C(6,
152)代入21144y x x c =++中可求出c 的值;令y=0,可得A 点坐标,从而可确定AC 的解析式;
(2)①分别求出tan ∠OAB=tan ∠OAD=34
,得∠OAB=tan ∠OAD ,再由M 就PQ 的中点,得OM=MP ,所以可证得∠APM=∠AON ,即可证明APM AON △∽△;
②过M 点作ME ⊥x 轴,垂足为E ,分别用含有m 的代数式表示出AE 和AM 的长,然后利用APM AON △∽△即可求解.
试题分析:(1)把点C(6,
152
)代入21144y x x c =++ 解得:c=-3 ∴211344
y x x =+- 当y=0时,2113=044
x x +- 解得:x 1=-4,x 2=3
∴A (-4,0)
设直线AC 的表达式为:y=kx+b(k ≠0)
把A (-4,0),C(6,152)代入得0=-4+b 15=6+2
k k b ⎧⎪⎨⎪⎩
解得:k=3
4
,b=3
∴直线AC的表达式为:y=3
4
x+3
(2)①在RtΔAOB中,tan∠OAB=
3
4 OB
OA
=
在RtΔAOD中,tan∠OAD=
3
4 OD
OA
=
∴∠OAB=∠OAD
∵在RtΔPOQ中,M为PQ的中点∴OM=MP
∴∠MOP=∠MPO
∵∠MPO=∠AON
∴∠APM=∠AON
∴ΔAPM∽ΔAON
②如图,过点M作ME⊥x轴于点E
又∵OM=MP
∴OE=EP
∵点M横坐标为m
∴AE=m+4 AP=2m+4
∵tan∠OAD=3 4
∴cos∠EAM=cos∠OAD=4 5
∴AM=5
4
AE=
5(4)
4
m+
∵ΔAPM∽ΔAON
∴AM AP AN AO
=
∴AN=
520
24 AM AO m
AP m
+
=
+
考点:二次函数综合题.
7.(2017重庆A卷第22题)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数
y=k
x
(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,
BM=OM,A的纵坐标为4.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接MC,求四边形MBOC的面积.
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=4
x
,一次函数的解析式为y=2x+2;(2)4.
【解析】
试题分析:(1)根据题意可得B的坐标,从而可求得反比例函数的解析式,进行求得点A的坐标,从而可求得一次函数的解析式;
(2)根据(1)中的函数关系式可以求得点C ,点M ,点B ,点O 的坐标,从而可求得四边形MBOC 的面积. 试题解析:(1)由题意可得,
BM=OM ,
∴BM=OM=2,
∴点B 的坐标为(﹣2,﹣2),
设反比例函数的解析式为y=k x
, 则﹣2=-2k
,得k=4,
∴反比例函数的解析式为y=
4x , ∵点A 的纵坐标是4,
∴4=4x
,得x=1, ∴点A 的坐标为(1,4),
∵一次函数y=mx+n (m ≠0)的图象过点A (1,4)、点B (﹣2,﹣2),
∴4
22m n m b ⎧+=⎨-+=-⎩,得22
m n ⎧=⎨=⎩,
即一次函数的解析式为y=2x+2;
(2)∵y=2x+2与y 轴交与点C ,
∴点C 的坐标为(0,2),
∵点B (﹣2,﹣2),点M (﹣2,0),点O (0,0),
∴OM=2,OC=2,MB=2,
∴四边形MBOC 的面积是:22222222
OM OC
OM MB
⨯⨯⨯⨯+=+=4. 考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
8.(2017甘肃庆阳第25题)已知一次函数y=k 1x+b 与反比例函数y=
2k x 的图象交于第一象限内的P (12
,8),Q (4,m )两点,与x 轴交于A 点.
(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)写出点P关于原点的对称点P'的坐标;(3)求∠P'AO的正弦值.
【答案】(1) 反比例函数的表达式为y=4
x
,一次函数的表达式为y=﹣2x+9;(2) (-
1
2
,﹣8);(3)
.【解析】
试题分析:(1)根据P(1
2
,8),可得反比例函数解析式,根据P(
1
2
,8),Q(4,1)两点可得一次函
数解析式;
(2)根据中心对称的性质,可得点P关于原点的对称点P'的坐标;
(3)过点P′作P′D⊥x轴,垂足为D,构造直角三角形,依据P'D以及AP'的长,即可得到∠P'AO的正弦值.
试题解析:(1)∵点P在反比例函数的图象上,
∴把点P(1
2
,8)代入y=2
k
x
可得:k2=4,
∴反比例函数的表达式为y=4
x

∴Q (4,1).
把P(1
2
,8),Q (4,1)分别代入y=k1x+b中,
得11
1
8=214k b k b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩, 解得129
k b ⎧=-⎨
=⎩,
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9; (2)点P 关于原点的对称点P'的坐标为(-1
2
,﹣8); (3)过点P′作P′D⊥x 轴,垂足为D . ∵P′(-
1
2
,﹣8), ∴OD=
1
2
,P′D=8, ∵点A 在y=﹣2x+9的图象上, ∴点A (
92,0),即OA=92
, ∴DA=5,
=
∴sin
∠P′AD=
889
P D
P A
'==
', ∴sin ∠P′AO=
89

考点:反比例函数与一次函数的交点问题;勾股定理;解直角三角形.
9.(2017甘肃庆阳第28题)如图,已知二次函数y=ax 2
+bx+4的图象与x 轴交于点B (-2,0),点C (8,0),与y 轴交于点A .
(1)求二次函数y=ax 2
+bx+4的表达式;
(2)连接AC ,AB ,若点N 在线段BC 上运动(不与点B ,C 重合),过点N 作NM ∥AC ,交AB 于点M ,当△AMN 面积最大时,求N 点的坐标;
(3)连接OM ,在(2)的结论下,求OM 与AC 的数量关系.
【答案】(1)y=﹣14x 2+32x+4;(2)N (3,0);(3)OM=1
4
AC . 【解析】
试题解析:(1)将点B ,点C 的坐标分别代入y=ax 2
+bx+4可得
424064840
a b a b ⎧-+=⎨
++=⎩,
解得1432
a b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩, ∴二次函数的表达式为y=﹣
14x 2+3
2
x+4; (2)设点N 的坐标为(n ,0)(﹣2<n <8), 则BN=n+2,CN=8﹣n . ∵B (﹣2,0),C (8,0), ∴BC=10, 在y=﹣
14x 2+3
2
x+4中,令x=0,可解得y=4, ∴点A (0,4),OA=4, ∴S △ABN =
12BN•OA=1
2
(n+2)×4=2(n+2), ∵MN ∥AC , ∴
810
AM NC n AB BC -== ∴
810
AMN ABN
S AM n
S
AB -=
=
, ∴38n
11
(8)(2)(n 3)510
55
AMN
ABN
S
S n n -=
=
-+=--+ ∵﹣
1
5
<0, ∴当n=3时,即N (3,0)时,△AMN 的面积最大; (3)当N (3,0)时,N 为BC 边中点, ∵MN ∥AC , ∴M 为AB 边中点, ∴OM=
1
2
AB ,
∵=
==
=
∴AB=
1
2AC , ∴OM=
1
4
AC . 考点:二次函数综合题.
10.(2017广西贵港第21题)如图,一次函数24y x =- 的图象与反比例函数k
y x
= 的图象交于,A B 两点,且点A 的横坐标为3 .
(1)求反比例函数的解析式; (2)求点B 的坐标.
【答案】(1)反比例函数的解析式是y=6
x
;(2)(﹣1,﹣6). 【解析】
试题分析:(1)把x=3代入一次函数解析式求得A 的坐标,利用待定系数法求得反比例函数解析式; (2)解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B 的坐标. 试题解析:(1)把x=3代入y=2x ﹣4得y=6﹣4=2, 则A 的坐标是(3,2). 把(3,2)代入y=
k
x
得k=6, 则反比例函数的解析式是y=
6x
; (2)根据题意得2x ﹣4=6x
, 解得x=3或﹣1,
把x=﹣1代入y=2x ﹣4得y=﹣6,则B 的坐标是(﹣1,﹣6). 考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
11. (2017广西贵港第25题)如图,抛物线()()13y a x x =--与x 轴交于 ,A B 两点,与y 轴的正半轴交于点C ,其顶点为D .
(1)写出,C D 两点的坐标(用含a 的式子表示); (2)设:BCD ABD S S k ∆= ,求k 的值;
(3)当BCD ∆是直角三角形时,求对应抛物线的解析式.
【答案】(1)C (0,3a ),D (2,﹣a );(2)3;(3)y=x 2
﹣4x+3或2
﹣.
【解析】
试题分析:(1)令x=0可求得C 点坐标,化为顶点式可求得D 点坐标;
(2)令y=0可求得A 、B 的坐标,结合D 点坐标可求得△ABD 的面积,设直线CD 交x 轴于点E ,由C 、D 坐标,利用待定系数法可求得直线CD 的解析式,则可求得E 点坐标,从而可表示出△BCD 的面积,可求得k 的值;
(3)由B 、C 、D 的坐标,可表示出BC 2、BD 2和CD 2
,分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况,分别利用勾股定理可得到关于a 的方程,可求得a 的值,则可求得抛物线的解析式. 试题解析:(1)在y=a (x ﹣1)(x ﹣3),令x=0可得y=3a , ∴C (0,3a ),
∵y=a (x ﹣1)(x ﹣3)=a (x 2﹣4x+3)=a (x ﹣2)2
﹣a , ∴D (2,﹣a );
(2)在y=a (x ﹣1)(x ﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3, ∴A (1,0),B (3,0), ∴AB=3﹣1=2,
∴S △ABD =
1
2
×2×a=a , 如图,设直线CD 交x 轴于点E ,设直线CD 解析式为y=kx+b ,
把C 、D 的坐标代入可得32b a k b a
⎧=⎨
+=-⎩,解得23k a b a
⎧=-⎨
=⎩,
∴直线CD 解析式为y=﹣2ax+3a ,令y=0可解得x=
32
, ∴E (
3
2,0), ∴BE=3﹣
32=32
∴S △BCD =S △BEC +S △BED =
12×3
2
×(3a+a )=3a , ∴S △BCD :S △ABD =(3a ):a=3, ∴k=3;
(3)∵B (3,0),C (0,3a ),D (2,﹣a ),
∴BC 2
=32
+(3a )2
=9+9a 2
,CD 2
=22
+(﹣a ﹣3a )2
=4+16a 2
,BD 2
=(3﹣2)2
+a 2
=1+a 2
, ∵∠BCD <∠BCO <90°,
∴△BCD 为直角三角形时,只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况,
①当∠CBD=90°时,则有BC 2
+BD 2
=CD 2
,即9+9a 2
+1+a 2
=4+16a 2
,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此时抛物线解析式为y=x 2
﹣4x+3;
②当∠CDB=90°时,则有CD 2
+BD 2
=BC 2
,即4+16a 2
+1+a 2
=9+9a 2
,解得a=﹣
2(舍去)或a=2
,此时抛物
线解析式为y=
2
x 2
﹣x+2;
综上可知当△BCD 是直角三角形时,抛物线的解析式为y=x 2
﹣4x+3或y=2
x 2
﹣2.
考点:二次函数综合题.
12.(2017贵州安顺第22题)已知反比例函数y 1=k
x
的图象与一次函数y 2=ax+b 的图象交于点A (1,4)和点B (m ,﹣2).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.
【答案】(1)反比例函数解析式为y 1=
4
x
,一次函数解析式为y 2=2x+2;(2)﹣2<x <0或x >1.
试题解析:(1)∵A (1,4)在反比例函数图象上, ∴把A (1,4)代入反比例函数y 1=
k
x
得:4= 1k 1,解得k 1=4,
∴反比例函数解析式为y 1=
4
x
, 又B (m ,﹣2)在反比例函数图象上,。

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