新人教版必修二高中数学4.2.1直线与圆的位置关系(第2课时)教案
人教A版高中数学必修2 4.2.1直线与圆的位置关系(教学设计)
人教A版高中数学必修2课题：4.2.1直线与圆的位置关系【教材分析】《直线、圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容。
它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用解析法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆和圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。
【学生学情分析】在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。
本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。
通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。
【教学目标】（一）知识与技能：理解直线与圆三种位置关系；能根据直线、圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆位置关系；掌握直线和圆的位置关系判定的应用，会求弦长.（二）方法与过程：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式；强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．（三）情感态度与价值观：让学生亲生经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯.【教学重点与难点】重点：直线与圆的位置关系的判断方法.难点：灵活的运用“数形结合”解决直线和圆相关的问题．【课型】新课【课时安排】1节课【教法、学法指导、教学手段】教法“引导-探究”教学法、“命名”教学法、“题组”教学法；学法：观察发现、自主探究、合作交流、变式学习、归纳总结、应用提高;教学手段：多媒体教学【教学准备】学生学情，课件、教学设计，学生课堂练习题；彩色粉笔，翻页笔。
间的位置关系呢？方法一：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的方法二，由直线l(–问题6过点M【板书设计】有两个公共点直线和圆相交有惟一公共点直线和圆相切直线和圆相离。
【教案】高中数学必修2人教A教案《4.2.1直线与圆的位置关系》
4.2.1 直线与圆的位置关系（一）教学目标 1．知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. （二）过程与方法设直线l ：ax + by + c = 0，圆C ：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当d ＞r 时，直线l 与圆C 相离； （2）当d ＝r 时，直线l 与圆C 相切； （3）当d ＜r 时，直线l 与圆C 相交； 3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系. （三）教学过程设想 教学环节 教学内容师生互动设计意图复习引1．初中学过的师；让学生之间进行启入平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.生：看图，并说出自己的看法.发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课.概念形成2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？三种（1）直线与圆相交，有两个公共点.（2）直线与圆相切，只有一个公共点.（3）直线与圆相离，没有公共点.师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系.得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类.概念深化3．在初中，我们怎样判断直线与师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置使学生回圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？关系的思想过程.生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程.忆初中的数学知识，培养抽象概括能力.4．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？方法一：利用圆心到直线的距离d.方法二：利用直线与圆的交点个数.师：引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法.生：利用图形，寻找两种方法的数学思想.抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.应用举例5．你能用两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？例 1 如图，师：指导学生阅读教科书上的例1.生：仔细阅读教科书上的例1，并完成教科书第140页的练习题2.例 1 解法一：由直线l与圆的方程，得体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关①②已知直线l：3x +y– 6 = 0和圆心为C的圆x2 + y2–2y– 4 = 0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.分析：方法一：由直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.22360240x yx y y+-=⎧⎨+--=⎩消去y，得x2– 3x+ 2 = 0，因为△= (–3)2–4×1×2= 1＞0所以，直线l与圆相交，有两个公共点.解法二：圆x2 + y2–2y–4 = 0可化为x2+(y– 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为5，点C (0，1)到直线l的距离d =22|3016|51031⨯+-=+＜5.所以，直线l与圆相交，有两个公共点.由x2–3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.把x1=2代入方程①，得y1= 0；把x2=1代入方程①，注量与量之间的关系.使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？例 2 已知过点M (–3，–3)的直线l被圆x2+ y2 + 4y–21 = 0所截得的弦长为45，求直线l的方程. 得y2= 0；所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A(2，0)，B(1，3).生：阅读例1.师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.生：交流自己总结的步骤.师：展示解题步骤.例2 解：将圆的方程写成标准形式，得x2 + (y2 + 2)2 =25，所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5. 如图，因为直线l的距离为45，所以弦心距为22455()52-=，即圆心到所求直线l 的距离为5.因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l 的方程为y + 3 = k (x + 3)，即k x – y + 3k –3 = 0.根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离d =2|233|1k k +-+.因此，2|233|51k k +-=+， 即|3k –1|=255k +，两边平方，并整理得到2k 2 –3k –2 = 0， 解得k =12，或k =2.所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为y + 3 =12(x + 3)，或y+ 3 = 2(x+ 3).即x +2y = 0，或2x –y + 3 = 0.7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？8．通过例2的学习，你发现了什么？半弦、弦心距、半径构成勾股弦关系.师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题.生：阅读教科书上的例2，并完成137页的练习题.师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法.生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法.进一步深化“数形结合”的数学思想.明确弦长的运算方法.9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4.师：引导学生完成练习题.生：互相讨论、交流，完成练习题.巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系.归纳总结10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？师生共同回顾回顾、反思、总结形成知识体系课外作业布置作业：见习题4.2 第一课时学生独立完成巩固所学知识备选例题例1 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时，（1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b 的距离为||2b d =，圆的半径2r =.（1）当d ＜r ，即–2＜b ＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；（2）当d = r ，即b = 2±时，直线与圆相切，有一个公共点；（3）当d ＞r ，即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆相离， 无公共点. 解法2：联立两个方程得方程组222x y y x b ⎧+=⎨=+⎩.消去y 2得2x 2 + 2bx + b 2 – 2 = 0，∆=16 – 4b 2.（1）当∆＞0，即–2 ＜b ＜2时，直线与圆有两个公共点； （2）当∆＝0，即2b =±时，直线与圆有一个公共点； （3）当∆＜0即b ＞2或b ＜–2时，直线与圆无公共点.例2 直线m 经过点P (5，5)且和圆C ：x 2 + y 2 = 25相交，截得弦长l 为45，求m 的方程.【解析】设圆心到直线m 的距离为 d ，由于圆的半径r = 5，弦长的一半252l=， 所以由勾股定理，得：225(25)5d =-=，所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0. 由2|55|51k k-=+ ，得12k =或k = 2.所以直线m 的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.例3 已知圆C ：x 2 + y 2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l ， 使l 被圆C 截得弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点.【解析】假设存在且设l 为：y = x + m ，圆C 化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).解方程组2(1)y x m y x =+⎧⎨+=--⎩得AB 的中点N 的坐标11(,)22m m N +--，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN | = |ON |. 又22(3)||||||92m AN CA CN +=-=-，2211||()()22m m ON +-=-+所以22(3)(1)19()222m m m ++--=+解得m = 1或m = –4.所以存在直线l ，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0， 并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的.。
《直线与圆的位置关系》第二课时教学设计
24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）一、教与学目标1、探索切线的性质与判定。
2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。
二、教与学重点和难点重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。
难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。
三、教与学方法自主探究，合作交流四、教与学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系包括：、、。
2.直线与圆的位置关系的区别方法包括种：（a）根据________________的个数来判断；（b）根据_______ __的关系来判断。
若d r,则直线与圆相交；若d r,则直线与圆相切；若d r,则直线与圆相离。
下面，我们重点研究直线和圆相切的情况，观看课件问题导入。
（二）探究新知探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3、学以致用[例1]已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
思路分析：如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边，AB上的中线.∴AB⊥OC又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.[例2]已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
思考：例1与例2的证法有何不同?探究二探索直线与圆相切的性质1、如图，直线ｌ与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线ｌ与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？一定垂直。
直线与圆的位置关系(第2课时) 教案 说课稿 课件 教学反思
24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时）【教学任务分析】
【教学环节安排】
【当堂达标自测题】
一、填空题
1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．
2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．
3．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是二、选择题
4．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
6．下列直线是圆的切线的是（）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线
三、解答题
7.如图24.2.2.2-7，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．
图24.2.2.2-7
8．如图24.2.2.2-8，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
图24.2.2.2-8。
2019-2020学年高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系教案 新人教版必修2.doc
2019-2020学年高中数学 4.2.1直线与圆的位置关系教案 新人教版必修2一、教学目标 1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(ED --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、教学设想 问 题设计意图 师生活动1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课． 生：看图，并说出自己的看法．2．直线与圆的位置关系有哪几种呢？ 得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类． 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想． 问 题 设计意图 师生活动生：观察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系． 3．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？使学生回忆初中的数学知识，培养抽象概括能力． 师：引导学生回忆初中判断直线与圆的位置关系的思想过程．生：回忆直线与圆的位置关系的判断过程．4．你能说出判断直线与圆的位置抽象判断直线与师：引导学生从几何的角度说明判关系的两种方法吗？圆的位置关系的思路与方法．断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法．生：利用图形，寻找两种方法的数学思想．5．你能两种判断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗？体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系．师：指导学生阅读教科书上的例1．生：新闻记者教科书上的例1，并完成教科书第136页的练习题2．6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤]生：阅读例1．师；分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间．生：交流自己总结的步骤．师：展示解题步骤．7．通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗？进一步深化“数形结合”的数学思想．师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题．生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题．问题设计意图师生活动8．通过例2的学习，你发现了什么？明确弦长的运算方法．师：引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法．生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法．9．完成教科书第136页的练习题1、2、3、4．巩固所学过的知识，进一步理解和掌握直线与圆的位置关系．师：引导学生完成练习题．生：互相讨论、交流，完成练习题．10．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？（3）如何求出直线与圆的相交弦长？作业：习题4．2A组：1、3．。
人教版高中数学必修二教案：4.2.1+直线与圆的位置关系
4.2.1《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学目标：1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
二、教学重点、难点：重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解三、教学方法探究式教学法四、教学用具：多媒体、实物投影仪五、学情分析通过初中的学习，直线与圆的位置关系已有感性认识，学生已经知道直线与圆有三种位置关系，并且从直线与圆的直观感受上，学生已经懂得“利用直线与圆的交点的个数及圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较”来研究直线与圆的位置关系。
在初中学习时，直线与圆的位置关系是以结论性的形式呈现；高中要求学生能够利用直线与圆的方程，定量来进行判断，解决问题的主要方法是解析法,而解析法的思想方法学生不熟悉。
本节课，学生将进一步挖掘直线与圆的位置关系中的“数”的关系，学会根据直线与圆的方程表示利用坐标法研究它们的位置关系。
六、教学过程复习提问：1、点与圆有几种位置关系？2、若将点改成直线，那么直线与圆的位置关系又如何呢？.Oab1、直线与圆的位置关系：观察右边的三个图形：直线与圆分别有多少个公共点？ 练习：1、如图1，直线与圆_______公共点，那么这条直线与圆_________。
2、如图2，直线与圆有______公共点时，那么直线与圆________。
此时，这条直线叫做圆的_______，这个公共点叫做_______。
3、如图3，直线与圆有_______公共点时，那么直线与圆________。
此时，这条直线叫做________。
二、学生动手画出圆心到直线的距离d 与半径r 比较，得出结论：1、当d>r 时，直线与圆相离；2、当d=r 时，直线与圆相切；3、当d<r 时，直线与圆相交 。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》教案2
《直线与圆的位置关系》教案教学目标1. 了解直线和圆的位置关系，能判断直线和圆的位置关系；掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题．2. 理解直线和圆的三种位置关系，感受直线和圆的位置与它们的方程之间代数与几何之间的转化关系；体验通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小及通过方程组的解的个数判断直线与圆的位置关系，能用直线和圆的方程解决一些条件下圆的切线问题；领会数形结合的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力.3. 通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度.教学重点难点1．重点：（1）能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系．（2）能用直线与圆的方程解决一些简单的问题.2．难点：直线与圆的方程的应用．教法与学法1．教法选择：创设情境，激发兴趣——讨论归纳，得出新知——尝试练习，感知新知——典例分析，应用新知——归纳方法，知识升华——课堂练习、体验成功——师生归纳，形成体系——分层作业，拓展提高．2．学法指导：（1）让学生从代数和几何两个角度来解决直线与圆的位置关系问题，并体会几何法的优越性．（2）在用代数法解决直线与圆的位置关系时，要能够明确运算方向，把握关键步骤，正确的处理较为复杂数据.教学过程：一、创设情境激发兴趣讨论归纳得出新知直线与圆的位置关系的探究（一）除了利用公共点个数判断直线与圆的位置关系，还有其他的方法吗？教师引导学生观察图形，由学生归纳得到.1.（动手操作）利用公共点个数判断直线4340x y+=和圆22100x y+=的的位置关系.学生通过观察，从两直线的交点坐标的求解是联立方程组得到的这一思想出发，可初步得到求直线与圆的交点的坐标也可转化为求224340100x yx y+=⎧⎨+=⎩的解.在引导学生解决问题的同时，诱导学生对于方程组的解的个数与交点的个数，及直线与圆的位置关系的进一步的认识和归纳.总结直线与圆的位置关系：（1）方程解的个数①圆与直线相切，方程组有唯一解；②圆与直线相交，方程组有两组解；③圆与直线相离，方程组有无解．（2）判断△的符号：若△＞0，则直线与圆相交；若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．2.利用半径与距离来判断直线4340x y+=和圆22100x y+=的的位置关系.引导学生先求圆心坐标，R，再求距离，最后比较半径与距离的关系.总结直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.仔细观察后填空：身于实际的问题中，经历具体的问题的求解，从而升华为解决问题的思想方法，体现了由特殊到一般的思想三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析：《直线与圆的位置关系》是圆的方程应用的延续和拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础.在直线与圆的位置关系的内容中，其中蕴涵着诸多的数学思想方法，这对于进一步探索、研究后续内容有很强的启发与示范作用.因此，直线和圆的位置关系在圆一章中起着承上启下的作用.2．学生现实状况分析：对于直线的方程和圆的方程，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交.从直线与圆的直观感受上，学生懂得从圆心到直线的距离与圆的半径相比较来研究直线与圆的位置关系.但是学生知识系统化，结构化有待加强.3. 教学中应根据高中学生的认知规律和特点，按照由浅入深、由易到难的原则.通过生活实例创设情境，进而迁移到研究直线与圆的位置关系.通过建系量化图形，联立方程，计算交点来研究微观中的几何图形的性质，再到利用半径与距离关系研究几何图形的性质，使学生明白“条条道路通罗马”的道理，增强了学生分析问题和解决问题的信息.4．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“坐标法”等数学思想的内涵，感受“形”与“数”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用，养成良好的思维习惯.。
人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版
人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN4.2.1 直线与圆的位置关系（一）核心素养通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法——代数法、几何法.（二）学习目标1.清楚圆与直线的三种位置关系.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法.4.求过点的圆的切线方程.（三）学习重点1.直线与圆的位置关系的判断方法.2.用直线和圆的方程解决问题.（四）学习难点1.用直线和圆的方程解决问题.2.用坐标法判直线与圆的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，填空：直线与圆的三种位置关系的几何含义是：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交2个d<r相切1个d=r相离0个d>r（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法方法一：代数方法步骤：1.将直线方程与圆的方程联立成方程组.2.利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3.求出其判别式Δ的值.4.比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相交；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相离.反之也成立.方法二：几何法1.利用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离d.2.计算出圆的半径为r.3.比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，若d＞r，则直线与圆相离；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切. 反之也成立.2.预习自测（1）直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____.【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】看图理解定义【答案】相切、相交、相离.（2）直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆，若方程组仅有一组解，则直线与圆，若方程组有两组不同的解，则直线与圆_____. 【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合、数形结合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】理解方程的解的定义【答案】相离、相切、相交.（3）直线210x y +-=与圆()()()222110x y r r -+-=>相交，求r 的取值范围. 【知识点】直线与圆位置关系 【数学思想】 函数与方程 【解题过程】圆心到直线的距离d =，因为相交，所以r d >= 【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系 【答案】552r >（4）判定直线34120x y +-=与圆22(3)(2)4x y -+-=位置关系是 . 【知识点】直线与圆位置关系【解题过程】圆心(3,2)到直线的距离1d =，d r <，所以相交 【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系 【答案】相交. (二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的方程（2）直线与圆的位置关系和等价条件 （3）两点间的距离和点到直线的距离公式 2.问题探究探究一 结合实例，认识圆与直线的平面位置关系★ ●活动① 清楚圆与直线的位置关系我们清楚两个物体在空间位置关系有上下前后左右这几种，那么我们了解在名片上两个图形同样也有上下左右的位置关系.那么圆和直线这两种图形的位置关系我们应该如何称呼呢？首先我们设想自己正在海边观看日出：当看到太阳从海岸线上升起的时候，太阳和地平线之间的位置关系叫什么呢？当看到太阳与海岸线相切的时候呢太阳完全升起来的时候呢根据课本知识和图像我们知道直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.请完成下列空格：直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____. 【答案】相切、相交、相离【设计意图】从实际问题中引入圆与直线位置关系，并运用课本中知识来解答实际问题，巩固预习成果，明确直线与圆的位置关系.●活动②辨析概念、学会根据图像判别直线与圆的位置关系请看图判断直线与圆位置的关系.【答案】相离、相切、相交.【设计意图】通过图片显示直线与圆的位置关系并让同学们加以辨析，明确概念理解与专业名词的运用，加深记忆同时检验预习成果. 探究二 探究判断圆与直线位置关系的方法 ●活动① 回顾直线与圆的方程大家能够说出直线解析式的通式吗（抢答） (1)点斜式：11()y y k x x -=- (2)斜截式：y kx b =+ (3)两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠-- (4)截距式：1(0,0)x ya b a b+=≠≠ (5)一般式：0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0). 大家能够说出圆的三种方程吗（抢答）(1)圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=(2)圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=(D 2＋E 2－4F ＞0).(3)圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的两端点是1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】通过回顾直线和圆方程的知识，为后面学习使用代数方法求直线与圆位置关系打下基础.●活动② 做例题初步认识代数和几何方法的解题思路已知直线:360l x y +-=圆心为C 的圆22240x y y +--=,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标. （书本例题）【设计意图】从课本的例子出发，让同学们初步建立代数方法和几何方法解决此类问题的解题方法和思路.●活动③ 直线与圆位置关系中的参数取值问题例1 已知圆的方程是222x y +=,直线y x b =+,当b 为何值时,（1）圆与直线有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点. 【知识点】直线与圆的位置关系、不等式 【数学思想】分类讨论【解题过程】联立方程求判别式或者计算距离【思路点拨】判别式法或者圆心到直线的距离与半径比较 【答案】（1）22-<>b b 或（2）22-==b b 或（3）22<<-b同类训练 设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则的取+m n 值范围（ ）.A [1- .B (,1[1+3,+)-∞∞.C [2-.D (,2[2+22,+)-∞-∞【知识点】直线与圆的位置关系、不等式 【数学思想】方程不等式【解题过程】利用相切求出,m n 关系，再用重要不等式求出范围 【思路点拨】利用相切找条件 【答案】D探究三 直线被圆截得的弦长的常用方法★ ●活动① 直接求弦长的方法例2 在平面直角坐标系xoy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为5552. 【知识点】垂径定理、弦长公式 【数学思想】数形结合【解题过程】 解法一：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ==所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为=解法二：利用韦达定理得到直线与圆的两个交点()11,y x 和()22,y x 有5525;5262121===⋅-=-=+a c x x a b x x 2x -求出弦长. 【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】5同类训练 求直线0x -+=被圆224x y +=截得的弦长. 【知识点】垂径定理、弦长公式 【数学思想】数形结合【解题过程】法一：求出圆心到直线距离，利用垂径定理； 法二：韦达定理，弦长公式 【思路点拨】垂径定理、韦达定理 【答案】2●活动② 已知弦长，转化为圆心到直线的距离来求参数例3 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ).A 2- B .4- C .6- D .8- 【知识点】垂径定理 【数学思想】数形结合【解题过程】圆的标准方程为()()a y x -=-++21122，圆心C (－1，1)，半径r满足a r -=22，则圆心C 到直线02=++y x 的距离d ==所以2r ＝4＋2＝2－a .4a =- 【思路点拨】垂径定理 【答案】B同类训练 已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为45,求直线l 的方程.【知识点】直线的点斜式、弦长公式 【数学思想】分类讨论、转化思想【解题过程】(0,2),5,r -=圆心设直线为3(3),330y k x kx y k +=+-+-=即，l d d ===弦长可得又212-==k k 或， 所以直线方程为290x y ++=，230x y -+=【思路点拨】再利用垂径定理解决问题 【答案】290x y ++=，230x y -+=●活动③ 过圆内一点的最长弦和最短弦方程问题例4 已知圆()()51422=-+-y x ，求过圆内一点()03，P 的最长弦和最短弦所在直线方程【知识点】直线方程、圆的几何性质 【数学思想】数形结合【解题过程】圆心(4,1)A ，最长弦一定为直径，即直线AP ，则最长弦的方程为03=--y x .最短弦和直径垂直，最长弦即直径所在直线的斜率是1，所以最短弦斜率是-1，过因为过点P ，则最短弦的方程为03=-+y x . 【思路点拨】利用几何关系得出结论 【答案】03=--y x ，03=-+y x同类训练 设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.【知识点】圆的几何性质 【数学思想】数形结合【解题过程】求出圆心到直线的距离1d =再加上半径，则最大距离1d =+ 【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】5212d =+ ●活动② 互动交流、初步实践组织课堂讨论：我们能否根据不同的点与圆的位置关系求出切线方程？ 在直线与圆的位置关系中求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论.过圆222r y x =+上一点A ()00,y x 的切线方程为200r yy xx =+在运用这个结论的时候要注意些什么呢？我们可以来看一道例题：例5 求过点A ()1,2向圆422=+y x 所引的切线方程. 【知识点】圆的切线 【数学思想】分类讨论 【解题过程】解法一设切点为B ()00,y x ，则过B 点的切线方程为40000=+y y x x ，又点A ()1,2在切线上∴ ⎩⎨⎧=+=+442202000y x y x 联立可以解得切点(2,0)B ，68(,)55B 则最终解得切线方程2x =，01043=-+y x .解法二（1）当斜率不存在的时候，2x =满足；（2）当斜率存在的时候，设切线方程()21-=-x k y ，即012=+--y k kx , ∵圆心（0,0）到切线的距离是2，∴22121k k -+=+解得34k =-∴所求切线方程为01043=-+y x .综上所述：切线方程2x =，01043=-+y x . 【思路点拨】利用结论、求切线的通法 【答案】2x =，01043=-+y x .同类训练 从点(,3),P x x R ∈向圆22(2)(2)1x y +++=作切线，求切线段长度最小的切线方程【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】分析可知切线段最小，则点到圆心距离最小的点为所求，即(2,3)P -,求得直线为32)y x -=±+【思路点拨】找出切线段最小的那个点P .【答案】32)y x -=±+.3.课堂总结知识梳理（1）直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.（2）解决直线与圆位置关系的方法：几何法，代数法.（3）与圆相交的直线被圆所截得的弦长的计算.（4）过点求圆的切线方程的方法.重难点归纳（1）解决直线与圆位置关系题目的方法有代数法和几何法（2）使用直线和圆的方程来计算所截弦长、以及圆的切线方程.（三）课后作业基础型 自主突破1.对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关系一定是（ ）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【知识点】直线与圆位置判别【数学思想】数形结合【解题过程】直线1y kx =+必过点(0,1)【思路点拨】根据该点与圆心的距离和圆半径大小的比较进行判断.【答案】C2.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A .2 B.21+ C.221+ D.221+ 【知识点】点到直线距离公式【数学思想】数形结合【解题过程】22(1)(1)1,(1,1),1x y r -+-==圆心,圆心到直线距离公式求出圆心到直线的距离1d =1，则1d =+【思路点拨】加上半径是关键.【答案】B.3.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( )A .3[,0]4- B.[ C. [ D.2[,0]3- 【知识点】已知关系求参数的取值范围【数学思想】转化思想【解题过程】(2,3),2,r =圆心直线为30kx y -+=，1,d d k =≥≤=≤≤弦长MN 可得又解得【思路点拨】找到正确的方法对k 进行求【答案】B4.直线32+=x y 被圆08622=--+y x y x 所截得的弦长等于_______.【知识点】弦长公式【数学思想】方程思想【解题过程】22(3)(4)25,x y -+-=圆心（3,4），5,r d l ====54【思路点拨】圆中的弦长公式 【答案】54.5.过点A )1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( ).A 053=--y x B .073=-+y x .C 053=-+y x .D 053=+-y x【知识点】最值问题【数学思想】数形结合【解题过程】22(1)(2)5,x y -++=圆心（1,-2），圆心B (1,2)-，则直线为053=--y x【思路点拨】该弦所在直线过圆心【答案】A6.圆222r y x =+上有某点）（00,y x P ，求过此点的切线方程.【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】圆心（0,0），半径r ,切线斜率与点）（00,y x P 与圆心直线斜率乘积为1- ，00100,y x k k x y ==-，0000:(),x l y y x x y -=--化简得200r y y x x =+ 【思路点拨】点斜式求直线【答案】200r y y x x =+能力型 师生共研7.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）.A 023=-+y x B .043=-+y x .C 043=+-y x .D 023=+-y x【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】22(2)4,x y -+=圆心（2,0），点P 在圆上，圆心与P 的直线斜率1k k =∴=023=+-y x 【思路点拨】抓住点在圆上，该点处的切线的斜率特点.【答案】D8.0y +-=截圆224x y +=得的劣弧的圆心角为__________.【知识点】弦长、圆心角【数学思想】数形结合【解题过程】直线与圆交于AB ，可求得2AB =.又2OA OB ==，所以AOB ∆是等边三角形，AOB ∠＝3π. 【思路点拨】求出AB ，解AOB ∆ 【答案】3π 探究型 多维突破9.已知圆C ：222430x y x y ++-+=.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.【知识点】求切线方程【数学思想】分类讨论【解题过程】∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1或过原点,故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.(2y x =±【思路点拨】利用截距绝对值相等【答案】x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.(2y x =±10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.从圆C 外一点P (x 1，y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有PM ＝PO ，求使PM 最小的点P 的坐标.【知识点】圆的切线【数学思想】方程思想【解题过程】∵切线PM 与CM 垂直，∴222PM PC CM =-,又∵PM ＝PO ，(,)P x y ，坐标代入化简得2430x y -+=.PM 最小时即PO 最小，而PO 最小，即过O 点作直线2430x y -+=的垂线与之交点即为P ， 从而解方程组24302x y y x -+=⎧⎨=-⎩得满足条件的点P 坐标为33(,)105P -. 【思路点拨】找出P 满足的条件，找到最小值得位置 【答案】33(,)105P -.自助餐1.直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）.A 1 .B .C .D 3【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】l d =切线段的长度为圆心（3,0）到直线上的点的距离，所以切线段最短，则当d 最短时取得，min d =，min l ==【思路点拨】利用切线长的公式.【答案】C.2.直线x y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于__________.【知识点】弦长【解题过程】根据圆的方程知，圆的圆心坐标为(0，0)，半径R ＝2，弦心距1,d ==，所以弦长AB == 【思路点拨】弦长公式.【答案】3.圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R).(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点；(2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值.【知识点】直线与圆位置关系、弦长最值问题【数学思想】数形结合，转化思想【解题过程】(1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0.直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点，交点M (3,1).又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒两个交点.(2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短.又||CM ==∴弦长为l ===【思路点拨】.找到几何关系【答案】4 54.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，（1）若弦AB 的长为l 的方程；（2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程.【知识点】弦长、直线方程、轨迹问题【数学思想】方程思想【解题过程】（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有24120y y +-=，弦()||||268A B AB y y =-=--=，所以不合题意.故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=.将圆的方程写成标准式得()22225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =. 圆心()0,2-到直线l 的距离d =，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以()22231251k k -+=+，即()230k +=，所以3k =-. 所求直线l 的方程为3120x y ++=.（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB .当0x ≠且3x ≠-时，11O P AB k k ⋅=-，又(3)(3)AB MP y k k x --==--， 则有()()()23103y y x x ----⋅=----，化简得22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭......（1） 当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）的解，所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【思路点拨】.解析法求轨迹【答案】3120x y ++= 22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.过直线x ＋y －0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线夹角是60°，则点P 的坐标是__________.【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】如图所示，过点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP .由已知得，∠APO ＝30°，所以PO ＝2.设P 坐标为(,)x y ，则2204x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所求坐标为). 【思路点拨】角度转化为长度【答案】6.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ).A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 不确定【知识点】点与圆、直线与圆位置判别【解题过程】M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则122>+b a ，【思路点拨】直接转化条件【答案】C。
高中数学4.2.1直线与圆的位置关系教学案必修2
421 直线与圆的位置关系【教学目标】1•能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2•通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想.3•通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯.【教学重难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.【教学过程】㈠情景导入、展示目标问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下㈡检查预习、交流展示1 •初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？2 •怎样判断直线与圆的位置关系呢？㈢合作探究、精讲精练探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？学生：以台风中心为原点O,东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度•则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2 y2=9轮船航线所在直线I的方程为x 2y -8 = 0 .教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。
教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究由学生回答并补充，总结出以下两种解决方法：方法一：代数法(-22小x + y =9x 2y -8 = 0因为△二(-4)2 _4 2 7 二-40<0所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。
方法二：几何法圆心（0, 0）到直线x • 2y —8 = 0的距离.12 22所以，直线与圆相离，航线不受台风影响•探究二：判断直线与圆的位置关系有几种方法？ 让学生通过实际问题的解决，对比总结，掌握方法 ①代数法："Ax + By + C = 0 (x _a)2 +(y _b)2 = r 2得 mx 2 nx 2 p 二 0(m = 0)，:二 n 2 _4mp0,则方程组有两解，直线与圆相交；厶=0,则方程组有一解，直线与圆相切；:::0，则方程组无解，直线与圆相离 . ②几何法：直线与圆相交，则d ::: r ；直线与圆相切，则d = r ；直线与圆相离 ，则d r .2 2例1已知直线I : x + y — 5=0和圆C:x y -4x ，6y-12=0，判断直线和圆的位护¥方^置关^系 .解析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数 解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系解:（法一） 联立方程组，消y 得2x 2-20x 43 = 0因为2二-20-4 2 43 =216 0所以直线与圆相交•（法二）将圆的方程化为 x~ 22 y 32 = 5 . 可得圆心C （2,-3）, 半径r=5.由直线与圆的方程，得:消去 y ，得 2x 2 _4x 7=0,1汇0+2汇0—8 =8 -5由方程组丿因为圆心到直线的距离 d=3. 2 <5,x根据一元二次方程根与系数的关系’有x 「X2= 5,x 1X 2二6-所以直线与圆相交•点评：巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法2 2变式1.判断直线x — y + 5=0和圆C:X • y -4x • 6y 一12 =0的位置关系* 2 , 2 2解：将圆的方程化为x_2 • y ，3 5 .可得圆心C （2,-3）, 半径r=5. 因为圆心到直线的距离 d=5 2 >5, 所以直线与圆相离•22例2 .求直线I : 3x-y-6=0被圆C:% y -2x-4y=0截得的弦AE 的长.解析:可以引导学生画图分析几何性质 •解：（法一）2 ° 2将圆的方程化为x~1 i 亠iy - 25.可得圆心C （1,2）,半径r= ,5 . 圆心到直线的距离（法二）联立方程组，消y 得2X -5X 6 = 0得为=2,X 2 =3’yr 0, yr 3,所以直线I 被圆C 截得的弦AE 的长弦AE 的长3—2 — 6 .102因为圆心到直线的距离d=3. 2 <5,AB = _ 2~320-32 =10. （法三）联立方程组’消y得x根据一元二次方程根与系数的关系’有x「X2 = 5,x1X2二6-直线I被圆C截得的弦AE的长AB = J(1+k 攸* X2)-4Xx]二1 3 5 ~4 6=.10点评：强调图形在解题中的辅助作用，加强了形与数的结合.㈣反馈测试导学案当堂检测㈤总结反思、共同提高【板书设计】一•直线与圆的位置关系(1) 相交，两个交点；(2) 相切，一个交点；(3) 相离，无交点.二.实例的解决方法一方法二三•判断直线与圆位置关系的方法四•例题例1变式1例2【作业布置】导学案课后练习与提高4.2.1 直线与圆的位置关系学案课前预习学案一.预习目标回忆直线与圆的位置关系有几种及几何特征，初步了解用方程判断直线与圆的位置关系的方法.二•预习内容1. 初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种?2•怎样判断直线与圆的位置关系呢?三.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一.学习目标1•能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2•通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想.3•通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯.学习重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.学习难点：用坐标法判直线与圆的位置关系.二•学习过程问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？1.如何建立直角坐标系？2. 根据直角坐标系写出直线和圆的方程3. 怎样用方程判断他们的位置关系探究二：判断直线与圆的位置关系有几种方法？2 2例1已知直线I : x + y —5=0和圆C: x y _4x・6y_12=0，判断直线和圆的位护¥方^置关^系.2 2y -4x，6y-12=0的位置关系变式1 •判断直线x —y+ 5=0和圆C: x2 2例2 .求直线I : 3x-y-6=0被圆C: x y -2x-4y=0截得的弦AE的长.1•已知直线5x -12y • a = 0与圆x2 - 2x y2 =0相切，则a的值为( )A. 8 B . -18 C . - 18 或8 D .不存在2.设直线2x 3y • 1 = 0和圆x2• y2—2x —3 = 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是3 .求经过点A (2, -1 ),和直线x+y=1相切，且圆心在直线y= -2x上的圆的方程.参考答案：1. C 2. 3x-2y-3=03.解：设圆的方程为(x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2仁 2 . 2 2(2 — a ) +(—1 — b) =r la +b _1 2由题意则有＜_产」=r2x/2b = —2a解得a=1, b=-2 , r= .. 2，故所求圆的方程为2 2(x-1 ) + (y+2) =2.课后练习与提高1-直线x y =1与圆x2• y2「2ay二0(a - 0)没有公共点，贝U a的取值范围是( )A. (0,1)B. C、2—1,、.2 1)C. ^,2-1^2 1) D . (0, ./2 1)2.圆x y -4x = 0在点P(1,・..3)处的切线方程为A、x .. 3y -2 = 0B、x . 3y -4 = 0C、x - ..；3y 4=0D、x i；3y 2=03.若圆x y -4x-4y-10=0上至少有二个不同点到直线 1 ：ax ■ by = 0的距离为2 2则直线1的倾斜角的取值范围是( )n 5兀C.[Jt Jt rA.[,]B.[ ]7 ] D. [0,]12 412 12 6 324 .设直线ax --y 3=0 与圆(x_1)2(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2恵，则a = .5 .已知圆C ：(x 5)2y2=r2(r 0)和直线l :3x y 5 = 0.若圆C与直线I没有公共点，贝y r的取值范围是____________ . __________22x y =8，定点P(4, 0)，问过P点的直线斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆(1)相切？(2)相交？(3)相离?6.解：设过P点的直线方程为y=k(x-4).联立方程组，消y得i 2 \ 2 2 21 ■ k x *k x '16k …8=o 判别式代=32 1 - k .(1)当△ =0,即k 时，直线与圆相切；⑵当△ >0,即-1<k<1时，直线与圆相交；⑶当△ <0,即k>1或k<-1时，直线与圆相离.已知圆。
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆、圆与圆的位置关系(二)》教案
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系（二）圆与圆的位置关系整体设计教学分析本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.三维目标使学生理解并掌握圆和圆的位置关系及其判定方法.培养学生自主探究的能力.通过用代数的方法分析圆与圆的位置关系,使学生体验几何问题代数化的思想,深入了解解析几何的本质,同时培养学生分析问题、解决问题的能力,并进一步体会数形结合的思想.重点难点教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.教学难点:判断圆和圆的位置关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？⑤如何判断两个圆的位置关系呢？⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？活动：教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径. 讨论结果:①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.③略.④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为d,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1°当d>R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；3°当|R-r|<d<R+r时,圆C1与圆C2相交；4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d<|R-r|时,圆C1与圆C2内含；二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.总结比较两种方法的优缺点.几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.代数方法：1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).2°优点是可以求出公共点.⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,即直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.应用示例思路1例1 在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1（0，0），C2（1，1），半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系.解:作出两圆，如图1.图1两圆半径分别记作r 1和r 2,则r 1=1,r 2=2，圆心距d=|C 1C 2|=21)10()10(-+-=2,于是，1=|r 1-r 2|<d<r 1+r 2=3，所以两圆相交.例2 判断圆C 1：x 2+y 2+2x-6y-26=0与圆C 2:x 2+y 2-4x+2y+4=0的位置关系，并画出图形. 解:由已知得圆C 1:(x+1)2+(y-3)2=36,其圆心C 1(-1,3)，半径r 1=6;圆C 2:(x-2)2+(y+1)2=1,其圆心C 2(2,-1)，半径r 2=1.于是|C 1C 2|=22)31()12(--++=5.又|r 1-r 2|=5,即|C 1C 2|=|r 1-r 2|,所以两圆内切.如图2.图2变式训练判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16;(2)x 2+y 2+6x-7=0与x 2+y 2+6y-27=0.解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r 1=1和r 2=4,两圆的圆心距d=22)25()]2(2[-+--=5.因为d=r 1+r 2,所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y 2=16,x 2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r 1=4和r 2=6,两圆的圆心距d=22)03()30(--+-=32.因为|r 1-r 2|<d<r 1+r 2,所以两圆相交.例3 已知圆C 1:x 2+y 2+2x-6y+1=0,圆C 2:x 2+y 2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x 2项、y 2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则A 、B 两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+-++)2(.01124)1(,01622222y x y x y x y x①-②,得3x-4y+6=0.因为A 、B 两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(-1,3),半径r=3.又点C 1到直线的距离为d=59)4(3|63431|22=-++⨯-⨯-. 所以AB=222d r -=524)59(3222=-,即两圆的公共弦长为524. 点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.思路2例1 求过点A(0,6)且与圆C:x 2+y 2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图 3.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.图3解:将圆C 化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为25.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+-=-+-,0,)6()0(,)0()0(222222b a r b a r b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===.23,3,3r b a于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.例2 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A(4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹方程. 活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解:设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO|=|PA|+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO|=|PA|－2.综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.将此关系式坐标化,得|2222)4(y x y x +--+|=2.化简可得(x －2)232y -=1. 点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.知能训练1.已知圆C 1:x 2+y 2+2x+8y-8=0，圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0，判断两圆的位置关系.解法一：圆C 1与圆C 2的方程联立得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---+=-+++)2(,0244)1(,08822222y x y x y x y x①-②得x+2y-1=0③,由③得y=21x -，把上式代入①并整理得x 2-2x-3=0④. 方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0,所以方程④有两个不相等的实数根，即圆C 1与圆C 2相交.解法二：把圆C 1：x 2+y 2+2x+8y-8=0,圆C 2:x 2+y 2-4x-4y-2=0,化为标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25与（x-2）2+(y-2)2=10，圆C 1的圆心是点（-1，-4），半径长r 1=5;圆C 2的圆心是点（2，2），半径长r 2=10.圆C 1圆C 2的连心线的长为22)24()21(--+--=35,圆C 1、圆C 2的半径长之和为r 1+r 2=5+10,半径长之差为r 1-r 2=510-.而510-<35<5+10,即r 1-r 2<35<r 1+r 2,所以圆C 1与圆C 2相交.点评：判断两圆的位置关系一般情况下，先化为标准方程，再利用几何法判断较为准确直观.2.求经过原点，且过圆x 2+y 2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程. 解法一：由⎩⎨⎧=+-=+-++,05,0216822y x y x y x 求得交点(-2,3)或(-4,1). 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为（0,0），（-2 3），（-4，1）三点在圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++-+=,04116,03294,0F E D F E D F 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==.519,59,0D E F 所以所求圆的方程为x 2+y 2+519x 59-y=0. 解法二：设过交点的圆系方程为:x 2+y 2+8x-6y+21+λ(x -y+5)=0(λ为参数).将原点（0，0）代入上述方程得λ=521-.则所求方程为：x 2+y 2+519x 59-=0. 拓展提升求以圆C 1：x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2：x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.解法一：联立两圆方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=---+,0251612,0132122222y x y x y x y x 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.解方程组⎩⎨⎧=---+=-+,013212,023422y x y x y x 得两圆交点坐标A （-1，2），B （5，-6），因为所求圆以AB 为直径，所以圆心是AB 的中点M （2，-2），圆的半径为r=21|AB|=5. 于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.解法二：设所求圆的方程为：x 2+y 2-12x-2y-13+λ(x 2+y 2+12x+16y-25)=0(λ为参数). 得圆心C()1(21212λλ+--,)1(2216λλ+--),即(λλ+-166,λλ+-181). 因为圆心C 应在公共弦AB 所在直线上，所以4·λλ+-166+3·λλ+-181-2=0，解得λ=21. 所以所求圆的方程为x 2+y 2-4x+4y-17=0.点评：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练.课堂小结本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.作业习题2-2 A 组5;B 组2、3.设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上,对这个位置关系的了解进一步深化,而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的,所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系.作为解析几何的一堂课,判断圆与圆的位置关系,体现的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题,用几何方法处理代数问题.所以在教材处理上,对判断两圆位置关系用了代数和几何两种方法,两种方法贯穿始终,使学生对解析几何的本质有所了解.。
《直线和圆的位置关系》优秀教学设计精选全文
可编辑修改精选全文完整版《直线和圆的位置关系》优秀教学设计《直线和圆的位置关系》优秀教学设计作为一名为他人授业解惑的教育工作者，时常需要用到教学设计，教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。
那么你有了解过教学设计吗？下面是小编精心整理的《直线和圆的位置关系》优秀教学设计，仅供参考，欢迎大家阅读。
《直线和圆的位置关系》优秀教学设计1教学目标：(一)教学知识点：1.了解直线与圆的三种位置关系。
2.了解圆的切线的概念。
3.掌握直线与圆位置关系的性质。
(二)过程目标：1.通过多媒体让学生可以更直观地理解直线与圆的位置关系。
2.通过让学生发现与探究来使学生更加深刻地理解知识。
(三)感情目标：1.通过图形可以增强学生的感观能力。
2.让学生说出解题思路提高学生的语言表达能力。
教学重点：直线与圆的位置关系的性质及判定。
教学难点：有无进入暗礁区这题要求学生将实际问题转化为直线与圆的位置关系的判定，有一定难度，是难点。
教学过程：一、创设情境，引入新课请同学们看一看，想一想日出是怎么样的?屏幕上出现动态地模拟日出的情形。
(把太阳看做圆，把海平线看做直线。
)师：你发现了什么?(希望学生说出直线与圆有三种不同的位置关系，如果学生没有说到这里，我可以直接问学生，你觉得直线与圆有几种不同的位置关系。
)让学生在本子上画出直线与圆三种不同的位置图。
(如图)师：你又发现了什么?(希望学生回答出有第一个图直线与圆没有公共点，第二个图有一个公共点，而第三个有两个公共点，如果没有学生没有发现到这里，我可以引导学生做答)二、讨论知识，得出性质请同学们想一想：如果已知直线l与圆的位置关系分别是相离、相切、相交时，圆心O到直线l的距离d与圆的半径r有什么关系设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r让学生讨论之后再与学生一起总结出：当直线与圆的位置关系是相离时，dr当直线与圆的位置关系是相切时，d=r当直线与圆的位置关系是相交时，d知识梳理：直线与圆的位置关系图形公共点d与r的大小关系相离没有r相切一个d=r相交两个d三、做做练习，巩固知识抢答，我能行活动：1、已知圆的`直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为(1)d=4.5cm(2)d=6.5cm(3)d=8cm，那么直线和圆有几个公共点?为什么?(让个别学生答题)师：第一题是已知d与r问直线与圆之间的位置关系，而下面这题是已知d与位置关系求r，那又该如何做呢?请大家思考后作答：2、已知圆心和直线的距离为4cm，如果圆和直线的关系分别为以下情况，那么圆的半径应分别取怎样的值?(1)相交;(2)相切;(3)相离。
4.2《直线与圆的位置关系》教案(新人教必修2)
《直线与圆的位置关系》的教学设计青岛第十五中学苏延红一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直线与圆的位置关系”第一课时。
二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。
用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。
三、教学目标：1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。
四、教学重点、难点、关键：（1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系（2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解（3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。
五、教学方法与手段：1．教学方法：探究式教学法2。
教学手段：多媒体、实物投影仪六、教学过程：1．创设情境，提出问题教师利用多媒体展示如下问题：问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。
设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。
2．切入主题，提出课题（1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。
教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
必修二 4.2.1 直线与圆的位置关系教案
4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系教学分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现。
在高一学习了解析几何以后，要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法。
解决问题的方法主要是几何法和代数法。
其中几何法应该是在初中学习的基础上，结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后，比较与半径r的关系从而作出判断。
适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”，并与“几何法”欣赏比较，以决优劣，从而也深化了基本的“几何法”。
含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用，也适度地引入课堂教学中，但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的，要控制难度。
虽然学生学习解析几何了，但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍是似懂非懂，因此应不断强化，逐渐内化为学生的习惯和基本素质。
教学目标1.理解直线与圆的位置关系，明确直线与圆的三种位置关系的代数判定方法，培养学生数形结合的数学思想。
2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形，明确数与形的统一性和联系性。
重点难点教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。
教学难点：用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系。
课时安排2课时教学过程导入新课①初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？②在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：①初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种。
《直线与圆的位置关系》第2课时教案
l(3)(2)(1)T 《直线与圆的位置关系》第2课时教案教学目标：1、通过动手操作，经历圆的切线的判定定理得产生过程，并帮助理解与记忆；2、在探索圆的切线的判定定理的过程中，体验切线的判定、切线的特殊性；3、通过圆的切线的判定定理得学习，培养学生学习主动性和积极性。
教学重点：圆的切线的判定定理教学难点：定理的运用中，辅助线的添加方法。
教学过程： 一、回顾与思考投影出示下图，学生根据图形，回答以下问题：（1）在图中，直线l 分别与⊙O 的是什么关系？（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？你是怎样判断的？教师指出：根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便，为此我们还要学习切线的判定方法。
（板书课题） 二、探索判定定理1、学生动手操作：在⊙O 中任取一点A ，连结OA ，过点A 作直线l ⊥OA 。
思考：（可与同伴交流）（1）圆心O 到直线l 的距离和圆的半径由什么关系？ （2）直线l 与⊙O 的位置有什么关系？根据什么？ （3）由此你发现了什么？启发学生得出结论：由于圆心O 到直线l 的距离等于圆的半径，因此直线l 一定与圆相切。
请学生回顾作图过程，切线l 是如何作出来的？它满足哪些条件？①经过半径的外端；②垂直于这条半径。
从而得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、做一做（1）下列哪个图形的直线l 与⊙O 相切？（ ）小结：证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端 ②垂直于这条半径。
（2）课本第52页课内练习第1题 （3）课本第51页做一做小结：过圆上一点作圆的切线分两步：①连结该点与圆心得半径；②过该点作已连半径的垂线。
过圆上一点画圆的切线有且只有一条。
三、应用定理，强化训练例1、已知：如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。
求证：直线AB 是⊙O 的切线。
高中数学必修二教案：4.2.1+直线与圆的位置关系
集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日．如果直线与圆相交，则圆心到直线的距离d同圆的半径能否利用代数的方法，即通过联立直线和圆的方程，依据方程组解的个数，判定直线和圆的位置关系？(3,0)的直线，则()．l与C相切．以上三个选项均有可能精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
高中数学(4.2.1直线与圆的位置关系第2课时)示范教案新人教A版必修2
4. 示范教课设计（直线与圆的地点关系第2课时）导入新课思路 1. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中, 接到气象台的台风预告：台风中心位于轮船正西70 km处 , 受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形地区 . 已知港口位于台风中心正北 40 km 处 , 假如这艘轮船不改变航线 , 那么它能否会遇到台风的影响？图 2剖析：如图 2, 以台风中心为原点O,以东西方向为x 轴 , 成立直角坐标系, 此中 , 取 10 km为单位长度 .则台风影响的圆形地区所对应的圆心为O的圆的方程为 x2+y2=9；轮船航线所在的直线l 的方程为 4x+7y-28=0.问题归纳为圆心为O的圆与直线 l有无公共点 . 所以我们连续研究直线与圆的地点关系.推动新课新知研究提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能归纳出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的订交弦的长?议论结果：①过圆上一点可作一条切线2220,y0002, 过圆 x +y=r上一点 (x) 的切线方程是 x x+y y=r；222,y) 的切线方程是 (x-a)(x-a)+(y2过圆 (x-a)+(y-b)=r 上一点 (x-b)(y-b)=r .0000②过圆外一点可作两条切线, 求出切线方程有代数法和几何法. 代数法的要点是把直线与圆相切这个几何问题转变为联立它们的方程组只有一个解的代数问题. 可经过一元二次方程有一个实根的充要条件——=0 去求出 k 的值 , 从而求出切线的方程. 用几何方法去求解, 要充分利用直线与圆相切的几何性质, 圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出 k 的值 .③过圆内一点不可以作圆的切线 .④求圆切线方程 , 一般有三种方法 , 一是设切点 , 利用①②中的切线公式法; 二是设切线的斜率 , 用鉴别式法 ; 三是设切线的斜率 , 用图形的几何性质来解 , 即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r), 求出 k 的值 .⑤把直线与圆的方程联立得方程组, 方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标, 联合两点的距离公式来求; 再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.应用示例思路 1例 1过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图 3解 : 如图3, 方法一 : 设所求切线的斜率为k, 则切线方程为y=k(x+2),所以由方程组y k( x2),得x2+k2(x+2)2=1.x 221,y上述一元二次方程有一个实根,=16k 4-4(k 2+1)(4k 2-1)=12k 2-4=0,k= ± 3 ,3所以所求切线的方程为y=±3(x+2). 3方法二 : 设所求切线的斜率为k, 则切线方程为 y=k(x+2),因为圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r), 所以 d=| 2k |=1, 解得 k=± 3 .1k 23所以所求切线的方程为y=±3(x+2). 3方法三：利用过圆上一点的切线的结论. 可假定切点为(x 0,y 0), 此时可求得切线方程为x0x+y0y=1.而后利用点 (-2,0)在切线上获取 -2x =1, 从中解得1x =- .002再由点 (x 0,y 0) 在圆上 , 所以知足221x0 +y0=1,既4+y02=1, 解出 y0=±3.2y030 2,这样即可求得切线的方程为21x22整理得 y=±3(x+2). 3评论 : 过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程, 此中以几何法“ d=r ”比较好(简易).变式训练已知直线 l 的斜率为k, 且与圆 x2+y2=r 2只有一个公共点, 求直线 l 的方程 .活动：学生思虑 , 察看题目的特色, 见题想法 , 教师指引学生考虑问题的思路, 必需时赐予提示,直线与圆只有一个公共点, 说明直线与圆相切. 可利用圆的几何性质求解.图 4解: 如图 4,方法一 : 设所求的直线方程为y=kx+b, 由圆心到直线的距离等于圆的半径, 得d=| b |=r, ∴ b=± r1k2, 求得切线方程是y=kx ±r 1 k2 .1k 2方法二 : 设所求的直线方程为y=kx+b, 直线 l与圆 x2+y2=r 2只有一个公共点 , 所以它们构成的y kx b,方程组只有一组实数解, 由x 2y 2r2 , 得 x2+k2(x+b) 2=1, 即 x2 (k 2+1)+2k 2bx+b2=1,=0 得b=± r 1 k 2, 求得切线方程是y=kx ± r1k 2.例 2已知圆的方程为x2+y 2+ax+2y+a 2=0, 必定点为A(1,2), 要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条 , 求 a 的取值范围 .活动：学生议论 , 教师指导 , 教师发问 , 学生回答 , 教师对学生解题中出现的问题实时办理, 利用几何方法 , 点 A(1,2)在圆外 , 即到圆心的距离大于圆的半径 .解 : 将圆的方程配方得(x+a2+(y+1)243a 2,圆心 C 的坐标为 (－a－ 1),半径2)=4,2r=43a 24,条件是4－3a2＞ 0, 过点 A(1,2) 所作圆的切线有两条, 则点 A必在圆外 ,即(1a)2(2 1)2＞43a 2.242a 2a90,化简 , 得 a +a+9＞ 0, 由3a240,解得－23＜a＜2 3,a∈R. 33所以－2 3＜a＜2 3. 33故 a 的取值范围是( －2 3,2 3).评论 : 过圆外一点可作圆的两条切线 , 反之经过一点可作圆的两条切线, 则该点在圆外 . 同时注意圆的一般方程的条件 .思路 2例 1 已知过点 M(-3,-3) 的直线 l被圆 x 2+y 2+4y-21=0 所截得的弦长为 45, 求直线 l 的方程 .活动：学生思虑或议论 , 教师指引学生考虑问题的思路 , 求直线 l 的方程 , 一般设点斜式 , 再求斜率 . 这里知道弦长 , 半径也知道 , 所以弦心距可求 , 假如设出直线的方程 , 由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；此外也可利用弦长公式, 联合一元二次方程根与系数的关系求解.解法一： 将圆的方程写成标准形式有22所以圆心为 (0,-2),半径为 5. 因为直线 lx +(y+2) =25, 被圆 x 2+y 2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 , 所以弦心距为52 (2 5) 2 = 5 , 圆心到直线的距离为 5 , 由 于 直 线 过 点 M(-3,-3), 所 以 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y+3=k(x+3), 即kx-y+3k-3=0.依据点到直线的距离公式 , 圆心到直线的距离为5| 23k 3 | 5 , 两边平方整 , 所以 d=k21 =理得 2k 2-3k-2=0,解得 k= 1,k=2.2所以所求的直线l 的方程为 y+3= 1(x+3)或 y+3=2(x+3), 即 x+2y+9=0 或 2x-y+3=0.2解法二： 设直线 l 和已知圆 x 2+y 2+4y-21=0 的交点为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 直线 l 的斜率为 k,因为直线过点 M(-3,-3), 所以可设直线 l的方程为 y+3=k(x+3), 即 y=kx+3k-3. 代入圆的方程x 2+y 2 +4y-21=0, 并整理得 (1+k 2)x 2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0. 联合一元二次方程根与系数的关系有x 1+x 2= 2k(3k 1),x 1·x 2=(3k 1)225.1 k21 k2①|AB|=( x 1 x 2 )2 ( y 1 y 2 ) 2(x 1x 2 ) 2k 2 (x 1 x 2 ) 2(1 k 2 )( x 1x 2 ) 2(1 k 2 )[( x 1 x 2 )2 4x 1x 2 ]因为|AB|=45,所 以有 (1+k2)［(x 1+x 2) 2-4x 1·x 2］=80.②把①式代入②式,得 (1+k ){ ［2k (3k1) ］ -4 (3k 1) 225}=80.经过整理,得221 k 21 k 22k 2 -3k-2=0, 解得 k=1,k=2. 所以所求的直线l 的方程为 y+3= 1(x+3) 或 y+3=2(x+3), 即22x+2y+9=0 或 2x-y+3=0.评论 : 解法一突出了适合地利用图形的几何性质有助于简化计算, 重申图形在解题中的作用 ,增强了数形联合 ; 解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程, 思路简单但运算较繁 .变式训练已知圆 C ： x 2+(y-1) 2=5, 直线 l:mx-y+1-m=0.(1) 求证：对 m ∈ R, 直线 l 与圆 C 总有两个不一样交点 ;(2) 设 l 与圆 C 交于不一样两点 A 、 B, 若 |AB|= 17 , 求 l 的倾斜角 ;(3) 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 ;(4) 若定点 P(1,1) 分弦 AB 为AP = 1, 求此时直线 l 的方程 .PB 2解: (1) 判断圆心到直线的距离小于半径即可 , 或用直线系过定点 P(1,1) 求解 ; 点 P(1,1) 在圆内.(2) 利用弦心距、半径、弦构成的直角三角形求弦长, 得 m=± 3 , 所以α = 或 2.33(3) 设 M 的坐标为 (x,y), 连接 CM 、 CP,因为 C(0,1),P(1,1),|CM| 2+|PM| 2=|CP| 2,所以 x 2+(y-1) 2+(x-1) 2+(y-1) 2=1, 整理得轨迹方程为x 2+y 2 -x-2y+1=0(x ≠ 1).(4)设A(x ,y ),B(x ,y ),AP1,x 22x 1=1.2由得112PB21 2①又由直线方程和圆的方程联立消 去 y,得 (1+m 2)x 2-2m 2x+m 2-5=0,(*)故x 1+x 2=2m 2,1 m2②由①② , 得 x = 3 m 2解得 m=± 1.1m 2, 代入 (*),1所以直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0.例 2已知直线 l:y=k(x+22 ) 与圆 O:x 2 +y 2=4 订交于 A 、 B 两点 ,O 为坐标原点 , △ ABO 的面积为 S, ①试将 S 表示成 k 的函数 S(k), 并指出它的定义域；②求 S 的最大值 , 并求出获得最大值时的 k 值 .活动： 学生审题 , 再思虑议论 , 教师提示学生欲求△ ABO 的面积 , 应先求出直线被圆截得的弦长|AB|, 将 |AB| 表示成 k 的函数 .图 5解: ①如图 5 所示 , 直线的方程为 kx-y+22 k=0(k ≠ 0),2 2 | k |点 O 到 l 之间的距离为 |OC|=k 2,1222 48k 24 1 k 2，弦长 |AB|=2 |OA| |OC |1 k 21 k 2∴△ ABO 的面积 S=1|AB| · |OC|=4 2k 2(1 k 2 ) ，21 k 2∵ |AB| ＞ 0, ∴ -1 ＜ k ＜ 1(k ≠ 0).4 2k 2 (1 k 2 )∴S(k)=k 2`(-1 ＜ k ＜ 1 且 k ≠ 0).11 · |OB|sin ∠ AOB=2sin ∠ AOB,②△ ABO 的面积 S= |OA|2∴当∠ AOB=90°时 ,S max =2,此时 |OC|=2 ,|OA|=2, 即2 2 | k |= 2 ,k 2 1∴ k = ± 3.3评论：在波及到直线被圆截得的弦长时 , 要奇妙利用圆的相关几何性质, 如本题中的 Rt △ BOC,此中 |OB| 为圆半径 ,|BC| 为弦长的一半 . 变式训练已知 x,y 知足 x 2+y 2-2x+4y=0, 求 x-2y 的最大值 .活动 : 学生审题 , 再思虑议论 , 从表面上看 , 此问题是一个代数, 可用代数方法来解决 . 但细想后会发现比较复杂 , 它需把二次降为一次 . 教师提示学生利用数形联合或鉴别式法.解法一 : ( 几何解法 ) ：设 x-2y=b, 则点 (x,y) 既在直线 x-2y=b 上, 又在圆 x 2+y 2-2x+4y=0 上 , 即直线 x-2y=b 和圆 x 2+y 2-2x+4y=0 有交点 , 故圆心 (1,-2) 到直线的距离小于或等于半径,所以| 5 b |≤ 5 . 所以 0≤ b ≤ 10, 即 b 的最大值是 10.5解法二 : ( 代数解法 ) ：设 x-2y=b, 代入方程 x 2+y 2-2x+4y=0, 得 (2y+b) 2+y 2-2(2y+b)+4y=0, 即5y 2 +4by+b 2-2b=0. 因为这个一元二次方程有解, 所以其鉴别式=16b 2-20(b 2-2b)=40b-4b 2≥ 0, 即 b 2-10b ≤ 0,0 ≤ b ≤ 10. 所以求出 b 的最大值是 10.评论 : 比较两个解法 , 我们能够看到 , 数形联合的方法难想但简单, 代数法易想但较繁 , 要多练习以抓住规律 .例 3 已知圆 C ： (x － 1) 2＋ (y －2) 2=25, 直线 l ： (2m+1)x+(m+1)y － 7m － 4=0(m ∈ R). (1) 证明无论 m 取什么实数 , 直线 l 与圆恒交于两点； (2) 求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 .活动：学生先思虑 , 而后议论 , 教师指引学生考虑问题的方法 , 因为直线过定点 , 假如该定点在圆内 , 本题即可解得 . 最短的弦就是与过定点与此直径垂直的弦.2x y 7 0,解: (1) 证明：因为 l 的方程为 (x+y － 4)+m(2x+y － 7)=0. 因为 m ∈ R, 所以y 4 , 解x 0.x 3,得即 l 恒过定点A(3,1). 因为圆心 C(1,2), ｜AC ｜ = 5 ＜5( 半径 ), 所以点 A 在圆 Cy 1,内, 从而直线 l 恒与圆 C 订交于两点 .(2) 弦长最小时 ,l ⊥ AC,由 k AC =－ 1, 所以 l 的方程为 2x － y － 5=0.2评论：证明直线与圆恒订交 , 一是能够将直线与圆的方程联立方程组, 从而转变为一元二次方程, 依据鉴别式与 0 的大小来判断 , 这是通性通法 , 但过程繁琐 , 计算量大；二是说明直线过圆内一点 , 由此直线与圆必订交 . 关于圆中过 A 点的弦 , 以直径为最长 , 过 A 点与此直径垂直的弦为最短 .变式训练求圆 x 2+y 2 +4x-2y+4=0 上的点到直线 y=x-1 的近来距离和最远距离 .解: 圆方程化为 (x+2) 2+(y-1) 2=1,圆心 (-2,1) 到直线 y=x-1的距离为 d=| 211|=2 2,12( 1) 2所以所求的近来距离为 22 -1, 最远距离为 2 2 +1.知能训练1. 已知直线 l:y=2x － 2, 圆 C:x 2＋ y 2＋ 2x ＋ 4y ＋ 1=0, 请判断直线 l 与圆 C 的地点关系 , 若订交 , 则求直线 l 被圆 C 所截的线段长 .活动 : 请大家独立思虑 , 多想些方法 . 而后互相议论 , 比较解法的不一样之处 . 学生进行解答 , 教师巡视 , 掌握学生的一般解题状况 .y 2x 2,x3 ,x1,解法一： 由方程组解得5x 2 y 2 2x4x或4,1 0.y4 y5即直线 l 与圆 C 的交点坐标为 (3, － 4) 和( －1, －4), 则截得线段长为85 .555解法二： 由方程组 ( 略 ) 消去 y, 得 5x 2＋ 2x －3=0,设直线与圆交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则 AB 中点为 (-1,- 12 ),55x 1y 12 ,所以5得(x 1-x 2) 2=64,x 1 x 23 , 255则所截线段长为 |AB|=(1+k2)(x 1-x 2) 2=85 .52解法三：圆心C 为 ( － 1, － 2), 半径 r=2, 设交点为 A 、 B, 圆心 C 到直线 l 之距 d=5,所以|AB|4 5 . 则所截线段长为 |AB|= 85r 2 d 25 . 25 5评论 : 前者直接求交点坐标 , 再用两点距离公式求值；后者固然也用两点距离公式 , 但借用韦达定理 , 防止求交点坐标 . 解法三利用直线与圆的地点关系 , 抓住圆心到直线之距d 及圆半径r 来求解 . 反应了抓住实质能很快靠近答案的特色. 明显 , 解法三比较简短 .2. 已知直线 x+2y-3=0 交圆 x 2+y 2+x-6y+F=0 于点 P 、 Q,O 为原点 , 问 F 为什么值时 ,OP ⊥ OQ?x 2 y 3 0,消去 y, 得 5x 2+10x+4F-27=0,解: 由y 2 x6y Fx 2所以 x 1x 2=4F27,x 1+x 2=-2.5所以 y 1y 2=( x 13)( x 2 3)x 1 x 2 3( x 1x 2)9 12 F.445因为 OP ⊥ OQ,所以 x 1x 2+y 1y 2=0, 即4F27 12 F=0. 所以 F=3.55评论： (1) 解本题以前先要修业生指出解题思路.(2) 领会垂直条件是如何转变的 , 以及韦达定理的作用： 办理 x 1,x 2 的对称式 . 在分析几何中常常运用韦达定理来简化计算 . 拓展提高已知点 P 到两个定点 M(－ 1,0) 、N(1,0) 距离的比为 2 , 点 N 到直线 PM 的距离为 1, 求直线PN 的方程 .解: 设点 P 的坐标为 (x,y),由题设有| PM |= 2 , 即(x1) 2 y 2 =2 · ( x 1)2 y 2 ,|PN |整理得 x 2+y 2－ 6x+1=0.①因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2, 所以∠ PMN=30° , 直线 PM 的斜率为±3 .3直线 PM 的方程为 y=±3②(x+1).3将②代入①整理 , 得 x 2－4x+1=0. 解得 x 1=2+ 3 ,x 2=2－3 .代入②得点 P 的坐标为 (2+ 3 ,1+3) 或(2 －3,－1+3 ) ；(2+ 3 , －1－3) 或(2 － 3 ,1－ 3).直线 PN 的方程为 y=x － 1 或 y=－ x+1.讲堂小结1. 直线和圆地点关系的判断方法：代数法和几何法.2. 直线和圆相切 , 这种问题主假如求圆的切线方程 . 求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种状况, 而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3. 直线和圆订交 , 这种问题主假如求弦长以及弦的中点问题 . 注意弦长公式和圆的几何性质 .4.求与圆相关的最值问题 , 常常利用数形联合 , 所以抽象出式子的几何意义是至关重要的.作业课本习题 4.2 A组5、6、7.设计感想本节课是研究直线与圆的地点关系的第二课时, 以学生进行自主研究学习为主线, 沿用研究问题的科学方法, 第一察看研究、找寻规律 , 最后严格推理求解, 很好地表现新课程理念.在教课过程中 , 打破传统讲堂模式 , 第一由问题引入 , 重申研究直线与圆的地点关系的重要意义, 充足激发学生求知欲念, 接着学生回首刚学过的直线与圆的地点关系的相关知识, 并设计两个思路的例题从不一样的侧面研究研究, 自主地进行学习 . 例题设置目的在于“以点带面 ,举一反三”. 以直线与圆的地点关系来加深领会数与形的内在联系, 比较求解所截线段长的方法,目的在于增强思想的灵巧性, 突出数形联合思想 , 在解决问题的过程中 , 使思路更为清楚、条理更清楚 . 这样有益于突出教课要点, 打破教课难点 . 本节课除了设置两道稳固练习外, 还精心编制多道为教课进一步延长的问题, 给学生课后连续进行自主研究创建问题情境, 关注学生的连续学习 , 培育其自学能力 , 同时也为后续的教课作好铺垫. 充足地表现学生的主体地位 .教师关注学生发展的差别, 帮助有困难的学生 . 还经过展现学生研究的成就, 促使师生之间互相沟通 , 让学生获取成就感, 激发学习的兴趣 .。
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直线与圆的位置关系第2课时导入新课思路1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？图2分析：如图2,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.推进新课新知探究提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的相交弦的长?讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.③过圆内一点不能作圆的切线.④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.应用示例思路1例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图3解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1),2(22y x x k y 得x 2+k 2(x+2)2=1. 上述一元二次方程有一个实根, Δ=16k 4-4(k 2+1)(4k 2-1)=12k 2-4=0,k=±33, 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),所以d=21|2|k k +=1,解得k=±33. 所以所求切线的方程为y=±33(x+2). 方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x 0,y 0),此时可求得切线方程为x 0x+y 0y=1.然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x 0=1,从中解得x 0=-21. 再由点(x 0,y 0)在圆上,所以满足x 02+y 02=1,既41+y 02=1,解出y 0=±23.这样就可求得切线的方程为22102320+--±=+-x y ,整理得y=±33(x+2). 点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便). 变式训练已知直线l 的斜率为k,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程. 活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.图4解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d=21||k b +=r,∴b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l 与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,所以它们组成的方程组只有一组实数解,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=222,ry x b kx y ,得x 2+k 2(x+b)2=1,即x 2(k 2+1)+2k 2bx+b 2=1,Δ=0得b=±r 21k +,求得切线方程是y=kx±r 21k +.例2 已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.解:将圆的方程配方得(x+2a )2+(y+1)2=4342a -,圆心C 的坐标为(－2a ,－1),半径r=4342a -,条件是4－3a 2＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A 必在圆外, 即22)12()21(+++a ＞4342a -.化简,得a 2+a+9＞0,由⎪⎩⎪⎨⎧>->++,034,0922a a a解得－332＜a ＜332,a ∈R . 所以－332＜a ＜332. 故a 的取值范围是(－332,332).点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件.思路2 例1 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l 的方程. 活动：学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l 的方程,一般设点斜式,再求斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解.解法一：将圆的方程写成标准形式有x 2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,所以弦心距为22)52(5-=5,圆心到直线的距离为5,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为5,因此d=1|332|2+-+k k =5,两边平方整理得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2. 所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.解法二：设直线l 和已知圆x 2+y 2+4y-21=0的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l 的斜率为k,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l 的方程为y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3.代入圆的方程x 2+y 2+4y-21=0,并整理得(1+k 2)x 2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.结合一元二次方程根与系数的关系有x 1+x 2=21)13(2k k k +--,x 1·x 2=22125)13(k k +--.①|AB|==-+=-+-=-+-22122212221221221))(1()()()()(x x k x x k x x y y x x]4))[(1(212212x x x x k •-++因为|AB|=45,所以有(1+k 2)［(x 1+x 2)2-4x 1·x 2］=80.②把①式代入②式,得(1+k 2){［21)13(2kk k +--］2-422125)13(k k +--}=80.经过整理,得2k 2-3k-2=0,解得k=21,k=2.所以所求的直线l 的方程为y+3=21(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思路简单但运算较繁. 变式训练已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;(2)设l 与圆C 交于不同两点A 、B,若|AB|=17,求l 的倾斜角; (3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程; (4)若定点P(1,1)分弦AB 为PB AP =21,求此时直线l 的方程. 解:(1)判断圆心到直线的距离小于半径即可,或用直线系过定点P(1,1)求解;点P(1,1)在圆内.(2)利用弦心距、半径、弦构成的直角三角形求弦长,得m=±3,所以α=3π或32π. (3)设M 的坐标为(x,y),连结CM 、CP,因为C(0,1),P(1,1),|CM|2+|PM|2=|CP|2,所以x 2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得轨迹方程为x 2+y 2-x-2y+1=0(x≠1). (4)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由PBAP =21,得21212++x x =1.①又由直线方程和圆的方程联立消去y,得(1+m 2)x 2-2m 2x+m 2-5=0,(*) 故x 1+x 2=2212m m +,②由①②,得x 1=2213m m ++,代入(*),解得m=±1.所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0.例2 已知直线l:y=k(x+22)与圆O:x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,△ABO 的面积为S,①试将S 表示成k 的函数S(k),并指出它的定义域；②求S 的最大值,并求出取得最大值时的k 值.活动：学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO 的面积,应先求出直线被圆截得的弦长|AB|,将|AB|表示成k 的函数.图5解:①如图5所示,直线的方程为kx-y+22k=0(k≠0), 点O 到l 之间的距离为|OC|=1||222+k k ,。