14-第十四章-线性电路的复频域分析-电路讲义-天津科技大学
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第14章线性动态电路的复频域分析2012讲解
1
§14. 1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的应用在线形动态电路中的应用概述：
对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解高阶 微分方程的方法(经典法)比较困难，工作量较大,见第七章。 积分变换法：通过积分变换，把已知的时域函数（微分 方程） 频域函数（代数方程），求出频域函数后，再做 反变换，返回时域。求解时不需确定积分常数。 拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯 变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换 法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。
c
j
F
(
s)e
st
ds
2 j c j
4
二、运算法 (复频域分析方法)
F(s) f (t)estdt 0
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s
的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变
换到 s 域内的复变函数F(s)。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一
若
L[f(t)] = F(s)
则
L[f ’(t)] = sF(s) - f(0-
)
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t) = cos(ωt) （2）f(t) =δ(t)
12
解：（1） f(t)=cos(ωt)
cos(t) 1 d sin(t)
dt L[sin(t)]
s2 2
L[cos(t)] L1
有如下关系:
若
L[f(t)]= F(s)
则
L
t 0
f
(
)d
F (s) s
15
积分性质
L
t 0
f
(
)d
§14. 1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的应用在线形动态电路中的应用概述：
对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解高阶 微分方程的方法(经典法)比较困难，工作量较大,见第七章。 积分变换法：通过积分变换，把已知的时域函数（微分 方程） 频域函数（代数方程），求出频域函数后，再做 反变换，返回时域。求解时不需确定积分常数。 拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯 变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换 法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。
c
j
F
(
s)e
st
ds
2 j c j
4
二、运算法 (复频域分析方法)
F(s) f (t)estdt 0
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s
的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变
换到 s 域内的复变函数F(s)。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一
若
L[f(t)] = F(s)
则
L[f ’(t)] = sF(s) - f(0-
)
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t) = cos(ωt) （2）f(t) =δ(t)
12
解：（1） f(t)=cos(ωt)
cos(t) 1 d sin(t)
dt L[sin(t)]
s2 2
L[cos(t)] L1
有如下关系:
若
L[f(t)]= F(s)
则
L
t 0
f
(
)d
F (s) s
15
积分性质
L
t 0
f
(
)d
线性动态电路的复频域分析
第11页/共38页
§14 —3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
例1：
例2：
L–1[(1–2e–s +e–2s )/s2]
=t–2(t–)(t–)+(t–2)(t–2)
第12页/共38页
部分分式展开法
F(s)s
N(s)、 D(s)s
F(s)( n>m)
p1、p2、‥‥‥ pnD(s)=0F(s)极点
第24页/共38页
3、电感
U(s)=sLI(s)–Li(0–)
u= i
U(s)=I(s)
第25页/共38页
5、含有耦合电感的电路
U1(s)=sL1I1(s)–L1i1(0–)+sMI2(s)–Mi2(0–)
自感电压
自感附加电压源
互感电压
互感附加电压源
U2(s)=sL2I2(s)–L2i2(0–)+sMI1(s)–Mi1(0–)
第13页/共38页
一、F(s)的极点为各不相等的实数根
p1p2‥‥‥pnp1、p2‥‥‥pn
L–1[F(s)]
k
(s–p1)
令s=p1
第14页/共38页
例1:
第15页/共38页
例2:
L–1[F(s)]=(t)+(t)–3e–2t+7e–3t
第16页/共38页
二、F(s)有共轭复极点
=sF(s)–f(0–)
L[f (t)]=s2F(s) – sf(0–)–f (0–)
L[fn(t)]=snF(s) – sn–1f(0–)–sn–2f (0–) ……f(n–1)(0–)
第6页/共38页
例：
uc(t)
第7页/共38页
第十四章线性动态电路的复频域分析
te–stdt
0–
–
0–
e–stdt] =
§14 —2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质 若：L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s)
则： L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s) 证： L[A1f1(t)+A2f2(t)] = [A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt
N(s) k1= (s–p2)‥‥‥(s–pn) s=p1
1
1
k2=(s–p2)F(s) s=p 2 kn=(s–pn)F(s) s=p
n
例1:
求:L–1[
s2+2s–2 ] s(s+2)(s+3)
k1 k2 k3 s2+2s–2 解: F(s)= s(s+2)(s+3) = s + s+2 + s+3
k11=[(s–p1)mF(s)] s=p
1
k12= d [(s–p1)mF(s)] s=p ds 1
1 d2 mF(s)] k13= [(s – p ) 1 s=p1 2 ds2
m–1 1 d mF(s)] k1m= [(s – p ) 1 s=p1 (m–1)！dsm–1
……
例： 求：L–1[ s–2 3] s(s+1) k22 k21 k1 k23 解： F(s)= s + + + 2 s+1 (s+1) (s+1)3 s– 2 = –2 k1= 3 (s+1) s=0 2 =3 k21= s– s s= –1 2 s – 2 d = 2 s= –=2 k22= ds [ s ]s= –1 1 s k23= 1 d [ 2 ] =2 2 ds s2 s= –1
电路第14章 线性动态电路的复频域分析
L[ d (t)]
dt
s 1 (t)
s
0
1
07:14
14
三. 积分性质
设：L[ f (t)] F (s)
证
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
应用微分性质
0
例
L[t] L[ t ( )d ] 0
L[ (t)] 1
s s2
07:14
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
07:14
20
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
15
四.延迟性质 (时域平移) f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
t
设：L[ f (t)] F (s)
t t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
07:14
16
证
例：
f(t) 1
Tt
07:14
est0 延迟因子
f (t) (t) (t T)
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量
及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始条件 。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时 刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很 困难，高阶动态电路中尤为突出。
积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函 数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数 的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的 原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积分常 数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换 比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任 意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
第十四部分线电路的复频域分析教学课件
1
oo
tt00 tt
f (t) (t t0 )
o t0 t
上页 下页
(2) 单位冲激函数
(t)
单位冲激函数 f (t ) (t ) 定义为：
1
(t) 0
t 0 t 0
且：
(t )dt
1
o
t0 t
延迟单位冲激函数 f (t) (t t0 )
性质 （a）与单位阶跃函数的关系
上页 下页
例
已知F (s)
3s2 s(s2
4s 2s
5 3)
,
求f
(0
)
解
f
(0
)
lim
s
sF ( s)
lim
s
3s2 4s 5 s2 2s 3
3
例 已知u(0 ) 0, 求u().
解 RC du u (t)
dt sRCU (s) U(s) 1
s
+R
(t )
-
+ u
-C
U(s) 1 s(1 sRC )
dtn
snF(s)
sn1
f (0
)
sn2
f
(0
)
f
(n1)(0
)
上页 下页
（2）频域导数性质
设： [ f (t)] F(s)
则：
[tf
(t )]
dF ( s) ds
证： d f (t)estdt f (t )(t )estdt
ds 0
0
[tf (t)]
推广
[t n
f
(t )]
F1 ( s)[e sT
e 2 sT
e 3 sT
]
oo
tt00 tt
f (t) (t t0 )
o t0 t
上页 下页
(2) 单位冲激函数
(t)
单位冲激函数 f (t ) (t ) 定义为：
1
(t) 0
t 0 t 0
且：
(t )dt
1
o
t0 t
延迟单位冲激函数 f (t) (t t0 )
性质 （a）与单位阶跃函数的关系
上页 下页
例
已知F (s)
3s2 s(s2
4s 2s
5 3)
,
求f
(0
)
解
f
(0
)
lim
s
sF ( s)
lim
s
3s2 4s 5 s2 2s 3
3
例 已知u(0 ) 0, 求u().
解 RC du u (t)
dt sRCU (s) U(s) 1
s
+R
(t )
-
+ u
-C
U(s) 1 s(1 sRC )
dtn
snF(s)
sn1
f (0
)
sn2
f
(0
)
f
(n1)(0
)
上页 下页
（2）频域导数性质
设： [ f (t)] F(s)
则：
[tf
(t )]
dF ( s) ds
证： d f (t)estdt f (t )(t )estdt
ds 0
0
[tf (t)]
推广
[t n
f
(t )]
F1 ( s)[e sT
e 2 sT
e 3 sT
]
电路课件 电路14 线性动态电路复频域分析
14
例14-4
利用积分性质求函数f(t)＝t的象函数。 解 由于
f(t)t0t()d,
所以
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-5
第十四章 线性动态电路的复频域分析
15
4．延迟性质
函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象 函数之间有如下关系 若 £[f(t)]＝F(s) 则 £[f(t-t0)]＝e-st0F(s) 其中，当t＜t0时，f(t-t0)＝0。
其余为单根，F(s)可分解为
对于单根，仍采用
公式计算。
为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3， 则K11被单独分离，即
则
K11＝(s-p1)3F(s)|s＝p1
2020/4/17
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
27
D(s)＝0具有重根 (2)
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-7
第十四章 线性动态电路的复频域分析
17
常用函数的拉氏变换表
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
18
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求线性电路时域响应，需拉氏反变 换为时间函数。
第十四章 线性动态电路的复频域分析
23
例14-6
求 解 因为
的原函数f(t)。
所以：D(s)＝0的根为 p1＝0，p2＝-2，p3＝-5 D'(s)＝3s2&同理求得： 所以
2020/4/17
K2＝0.5
K3＝-0.6
线性动态电路的复频域分析
第十四章 线性动态电路的复频域分析本章讨论的问题1、什么是象函数？什么是原函数？什么是拉普拉斯原变换？什么是拉普拉斯反变换？2、在电路分析中，常采用什么方法进行拉普拉斯反变换？3、什么是运算电路？什么是运算法？4、如何用拉普拉斯变换法分析线性电路？5、什么是网络函数？什么是网络函数的零点和极点？教学重点一、拉普拉斯变换1、目的：拉普拉斯变换法是一种数学的积分变换，其核心是把时间函数 f (t) 与复变函数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程简单且有规律，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
2、 定义：对定义在)[∞,0上的函数)(t f ，其拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换分别为()()⎰∞--=0dt e t f s F st ； ()()ds e s F j t f st j c j c ⎰∞+∞-=π21 上式中：s=σ+jω为复数，被称为复频率，()s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为()s F 原函数。
3、常用拉普拉斯变换对L ()[]S A t A =ε ； L ()[]A t A =δ ； L ()[]as t e at +=-1ε ； L ()[]1!+=n n s n t t ε ； L ()()[]22sin ωωεω+=s t t ；L ()()[]22cos ωεω+=s s t t 二、拉普拉斯反变换由象函数求原函数的方法有：1、 利用公式；2、 对简单形式的 F(S) ，可以查拉氏变换表得原函数 ；3、 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。
则线性电路分析时，所得结果的象函数一般是S 的有理分式。
有理分式在化为真分式后，可用部分分式展开的方法求拉普拉斯反变换。
S 的有理真分式可写为()()()s D s N s F = 1）、当()0=s D 的根为单根（包括单重共轭复根）时，()s F 可写为 ()()()()()nn n p s K p s K p s K p s p s p s s N s F -⋅⋅⋅-+-=-⋅⋅⋅--=221121 则()t p n t p t p n e K e K e K t f +⋅⋅⋅++=2121其中 ()()[]i p s i i s F p s K =-=或 ()()ip s i s D s N K ==' ，()s D '为()s D 对S 的一阶导数。
线性动态电路的复频域分析
kn k1 k2 F (s) = + +⋯ + s − P1 s − P2 s − Pn
k 1、 k 2 、⋯ 、 k n 为待定系数
k i = [( s − p i ) F ( s ) ]s = p i N ( pi ) = D ′( p i )
i = 1 , 2 ,⋯ , n
∴
f (t ) = L − 1 [F (s )] =
§14 - 2 拉普拉斯变换的基本性质
1. 线性性质
L [ A1 f 1 ( t ) + A2 f 2 ( t ) ] = A1 L [ f1 ( t ) ] + A2 [ f 2 ( t ) ]
= A1 F1 ( s ) + A 2 F 2 ( s )
例14-3：若（1） f (t ) = sin ω t ,（2） f (t ) = K (1 − e −α t ), t ∈ [0, ∞) , 求其象函数。 解:（1） L[sin ω t ] = L 2 j (e jω t − e − jω t ) = 2 j [ s − jω − s + jω ] = 2 2 s +ω
s =0
= 0.1 同理 k2 = 0.5, k3 = −0.6
故 f (t ) = 0.1 + 0.5 e −2t − 0.6 e −5t
② D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = α + jω , p2 = α - jω , 则 N (s − α − jω )F ( s ) ]s =α + jω = D ((s )) s =α + jω k1 = [ ′ s N (s) k 2 = [(s − α + j ω )F ( s ) ]s =α − jω = s =α − jω
第14章线性动态电路的复频率剖析
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
t
e s
st 0
0
e st f (t ) dt s
1 f (t ) e st dt s 0 0 1 只要s的实部σ取足够大 F (s) s
t e f ( )d 0 s
0 st
例 求
解
f (t ) t 的象函数
2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： F ( s ) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j st f ( t ) F ( s ) e ds 反变换 c j 2 πj
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复 变函数F(s) 。
st
st
1 st 1 e 0 s s
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
s 6
F (s) F1 (s) F2 (s) Fn (s)
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
部分分式 展开法
N ( s) a0 s a1s am F ( s) (n m) n n 1 D( s) b0 s b1s bn
t
e s
st 0
0
e st f (t ) dt s
1 f (t ) e st dt s 0 0 1 只要s的实部σ取足够大 F (s) s
t e f ( )d 0 s
0 st
例 求
解
f (t ) t 的象函数
2. 拉氏变换的定义 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式： F ( s ) f (t )e st dt 正变换 0 1 c j st f ( t ) F ( s ) e ds 反变换 c j 2 πj
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 拉氏变换把一个时间域的函数f(t)变换到s域的复 变函数F(s) 。
st
st
1 st 1 e 0 s s
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) L[ (t )] (t ) e dt (t )e dt 0
st
0
st
e
s0
1
0
(3)指数函数的象函数
s 6
线性动态电路的复频域分析
3. 重根
K 13 N ( s) K 12 K 11 K2 F ( s) 3 2 3 ( s p1 ) ( s p2 ) s p1 ( s p1 ) ( s p1 ) s p2
( s p1 )3 F ( s ) K 13 ( s p1 )2 K 12 ( s p1 ) K 11
+ u1 L1
M
i2
+ L2 u2 -
di1 di 2 u1 L1 dt M dt u L di2 M di1 2 2 dt dt
U 1 ( s ) sL1 I 1 ( s ) L1 i1 (0 ) sMI2 ( s ) Mi2 (0 ) U 2 ( s ) sL2 I 2 ( s ) L2 i2 (0 ) sMI1 ( s ) Mi1 (0 )
L[ε( t )] 1 2 L[t ] L[0 ε( )d ] s s
t
4. 时域延迟性质
f(t-t0)(t-t0) f(t)(t-t0)
f(t)(t)
t t0
t t0
st0
t
L[ f (t )] F ( s )
L[ f (t t0 )ε(t t0 )] e
I1(s) + U1(s) L1i1(0-) + sM I2(s) +
sL1 Mi2(0-) + -
sL2 Mi1(0-) +
L2i2(0-) +
U2(s)
-
1 uC uC (0 ) C
t
0
iC dt
iC
+ uC IC(s)
+ 1/sC uC(0-)/s + -
第十四章线性动态电路的复频域分析(一)
am bn
b 0 s b1 s
求其反变换 f(t) 的基本思路是∶
作部分分式展开 查表得之
要求∶ n > m
, 否则, 先化为真分数(用分式除法)
二、部分分式法求反拉氏变换
F (s) N (s) D (s) a0s
m n
a1 s
m 1 n 1
am bn
n
ki s pi
i 1
有
f (t )
n
kie
pi t
i 1
例题 已知
F (s) s
2
F (s) s
4s 5 5s 6
4s 5
2
5s 6
4s 5 ( s 2 )( s 3 ) k1 s 2 k2 s3
5 s 其中： k ksi 2 [(4ss)( 3p i )(4sF35)( s )]s3 p i ( ) (s 2 s )
di 1 dt di 2 dt
M M
di 2 dt di 1 dt
u 2 L2
L1i1(0_)
+ +
L2i2(0_)
Mi1(0_) + (b) +
Mi2(0_)
§14—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 一、运算法的基本思想:
运算法与相量法的基本思想类似。 相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正 弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。 运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求 解以象函数为变量的线性代数方程。当电路的所有独立初始条件为 零时，电路元件VAR的相量形式与运算形式是类似的，加之KCL和 KVL的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的 相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上 相似，但这两种方 程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还 应考虑附加电源的作用。当电路中的非零 独立初始条件考虑成附加 电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似。 可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运 算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对 应的时间函数。
14第十四章线性动态电路的复频域分析
运算电路解题时注意附加电源!
§14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
解题步骤: 1. 根据时域电路作出频域电路:在非零状态
时，注意附加电源的存在,注意其方向! 2. 在频域电路中利用电路分析的一般方法及
定理解出所求电量； 3. 将所求电量根据题意变换为时间函数。
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源，
4
A,
uC (0 ) R2i1(0 ) 5 4 20 V
R1
L1
R2
+ i1 + C
+
E
uC
R3 K uK
- 图(a)
图(b)：
(
R1
1 SL1
SC
R2
1
R3
)UC
(S)
E S L1i1(0 ) SC uC (0 )
R1 SL1 R1 SL1
第十四章 线性动态电路的 复频域分析
概述：本章主要学习用复频域分析 法（运算法）来处理动态电路。
§14-1 拉普拉斯变换的定义
一、积分变换法
利用积分变换把时域函数变换为频域函数， 使得时域的微分方程变为频域的代数方程， 方便求解。
拉普拉斯变换（拉氏变换）
F(S) f (t)eStdt 0
2. 若D(s)=0有共轭复根p1=a+jω，p2=a- jω
F (s) K1 K2
式中：
s p1 s p2
K1
(s (a
j )) F (s)
sa j
N (s) D(s)
sa j
K1 e j1
《电路》第14章线性动态电路的复频域分析PPT课件
相
量
... I1 + I2 = I
时域的正弦运 算变换为复数 运算。
13.11.2020
4
③拉氏变换
对应
f(t) (时域原函数)
F(s) (频域象函数)
结束
拉氏变换法的核心是把 f(t)与 F(s)联系起来，把 时域问题通过数学变换化为复频域问题。
2.两个特点
①把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程；
第十四章 线性动态电路的复频域分析
结束
拉氏变换
网络函数
反变换
运算电路
运算法求 复频域解
13.11.2020
部分分式 展开
定义与类型 零、极点
与冲激响 应的关系
与频率响 应的关系
知识结构框图
1
重点
结束
①KL、元件VCR的运算形式，运算电路； ②运算法的求解步骤； ③网络函数的定义与类型、极点与零点的概念； ④网络函数与冲激响应、频率响应的关系。
1 2
(1+ e-t cost-e-t sint) A
13.11.2020
21
例2 稳态时闭合S。求 t≥0时的 uL(t)。
(t=0) S R1 5 R2 5
③画运算电路
结束
+
iL(t)
us1
L
- 2e–2t V 1H
++ uL us2 - - 5V
解：①求初值
iL(0-)
=
us2 R2
=1A
②求激励的象函数
ℒ [10 ] = 10/s
I(s) 2
0.3s
1.5V -+
3
+ 10
s
第14章 线性动态电路的复频域分析-再精简
+
-
S(t=0) R + uR – US C i
S
10i1 +
iC + uC –
4A ( t 0) i1 4Ω
i
2H
思考：如何求解图中的电流i ？学过哪些方法？ 学过的 求解一阶动态电路响应的方法？
（1）时域解微分方程 （2）三要素法（公式）
y( t ) y() [ y(0+ ) y()]e ( t 0+ )
UL ( s ) sL IL ( s ) L iL (0)
线性电 容元件 VAR：
duC (t ) duC (t ) iC (t ) C L iC (t ) L C d(t ) d(t )
IC ( s ) C sUC ( s) uC (0)
Z ( s ) sL Y ( s ) 1 sL
电感的L的运算 阻抗、运算导纳
I(s )
+
U(s)
-
（3）电容C的运算形式 时域形式： i( t) + C u ( t) 1/sC Cu(0-) I(s ) + U(s) -
du( t ) i(t ) C dt 取拉氏变换,由微分性质得
I ( s ) sCU ( s ) Cu(0 )
f (t ) δ(t )
F ( s) L [δ(t )] δ(t ) e dt δ(t )e dt 0
st ∞
0
st
e
s 0
1
0
(3)指数函数的象函数
at ∞
f (t ) e
at
F ( s) L e 0 e e dt
-
S(t=0) R + uR – US C i
S
10i1 +
iC + uC –
4A ( t 0) i1 4Ω
i
2H
思考：如何求解图中的电流i ？学过哪些方法？ 学过的 求解一阶动态电路响应的方法？
（1）时域解微分方程 （2）三要素法（公式）
y( t ) y() [ y(0+ ) y()]e ( t 0+ )
UL ( s ) sL IL ( s ) L iL (0)
线性电 容元件 VAR：
duC (t ) duC (t ) iC (t ) C L iC (t ) L C d(t ) d(t )
IC ( s ) C sUC ( s) uC (0)
Z ( s ) sL Y ( s ) 1 sL
电感的L的运算 阻抗、运算导纳
I(s )
+
U(s)
-
（3）电容C的运算形式 时域形式： i( t) + C u ( t) 1/sC Cu(0-) I(s ) + U(s) -
du( t ) i(t ) C dt 取拉氏变换,由微分性质得
I ( s ) sCU ( s ) Cu(0 )
f (t ) δ(t )
F ( s) L [δ(t )] δ(t ) e dt δ(t )e dt 0
st ∞
0
st
e
s 0
1
0
(3)指数函数的象函数
at ∞
f (t ) e
at
F ( s) L e 0 e e dt
第十四章+线性动态电路的复频域分析
2+3S+7 S 例：求 F(S)= 的反变换 [(S+2)2+4](S+1) K3 K1 K2 F(S)= S + (2-j2) + S + (2+j2) + S +1
S2+3S+7 =0.25ej90° K1= [S + (2+j2)](S+1) S= –2+j2 S2+3S+7 K2 = [S + (2-j2)](S+1)
bmSm + bm–1Sm–1 + • • • + b1S + b0 (s-p1)(s-p2)… (s-pn)
K2 Ki Kn K1 = S –p + S –p + • • • + S –p + • • • + S –p 2 i n 1 (2) n=m 例 F(S)= A + N0(S) D(S)
真分式
-
设 £[u C ]= U C(s) du C £[iC ]= £[C ]= C[sU C(s)- u C(0 - )] dt
三、积分性质 设 £[f (t)]=F (S)
uC = 1 iCdt C
£[ f(x)dx]=
0-
t
1 F(S) S
设 £[iC ]= IC(s) 1 1 1 1 £[u C ]= £[ iCdt]= u C (0 ) IC(s) C s C s
(t)
+ –
1F 1
+ u –
1F
+ 1 –
1 S
s=p1
例： F(s) = s + 2 = K 11 + K 12 + K 13 (s + 1)3 (s + 1) (s + 1)2 (s + 1)3 1 1 = + 2 (s + 1) (s + 1)3
第14章 线性动态电路的复频域分析 PPT课件
D(s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解，
求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。
2020年7月1日星期三
18
情况1 D(s)=0只有单根
F(s) =
K1 s- p1
+
K2 s- p2
+
··· +
Kn s- pn
结束
p1、p2、… 、pn 为D(s)=0的n个不同单根，它们可以
实数，也可以是(共轭)复数。
(2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)。
象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。
在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电 流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。 所以应用时不再计较F(s)的存在条件。
2020年7月1日星期三
7
2. 典型函数的拉氏变换 P345例14-1
(1)单位阶跃函数 f(t) = e(t)
结束
F(s) =
∞
e(t) e-st dt =
0-
∞
e-st dt = -
0-
1 s
e-st
∞ 0-
ℒ
[e(t)]=
1 s
(2)单位冲激函数d(t)
∞
0+
F(s) = d(t) e-st dt = d(t) e-st dt = e-s(0)
两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中， 初始条件成为变换的一部分。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。
求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。
2020年7月1日星期三
18
情况1 D(s)=0只有单根
F(s) =
K1 s- p1
+
K2 s- p2
+
··· +
Kn s- pn
结束
p1、p2、… 、pn 为D(s)=0的n个不同单根，它们可以
实数，也可以是(共轭)复数。
(2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示，如I(s)、U(s)， 原函数f(t) 用小写字母表示，如i(t)，u(t)。
象函数F(s) 存在的条件： Re[s]=s > c。
在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电 流)信号，它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。 所以应用时不再计较F(s)的存在条件。
2020年7月1日星期三
7
2. 典型函数的拉氏变换 P345例14-1
(1)单位阶跃函数 f(t) = e(t)
结束
F(s) =
∞
e(t) e-st dt =
0-
∞
e-st dt = -
0-
1 s
e-st
∞ 0-
ℒ
[e(t)]=
1 s
(2)单位冲激函数d(t)
∞
0+
F(s) = d(t) e-st dt = d(t) e-st dt = e-s(0)
两个特点：一是把时间域的高阶微分方程变换 为复频域的代数方程；二是将电流和电压的初 始值自动引入代数方程中，在变换处理过程中， 初始条件成为变换的一部分。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程 较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电 路分析中得到广泛应用。
第14章1线性动态电路的复频域分析精品PPT课件
正变换 反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。
0
0
积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含 的冲击。
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简写 F f((tS))
f(t) 1F( S)
正变换 反变换
注 1 F ( S ) f ( t) e s d t 0 t f ( t) e s d t tf ( t) e s d t
1est 1 s 0s
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(2)单位冲激函数的象函数
f(t)(t)
F (s)[ (t) ] 0
(t)e sd t t00(t
)estdt
es0 1
(3)指数函数的象函数
f(t )eat
F (s)e at e ae t sd t t
0
s
1 e( a
sa
)t
0
1 sa
证 A 1 f 1 ( t ： ) A 2 f 2 ( t) 0 A 1f1 (t) A 2f2 (t)e sd t
0 A 1f1 (t) e sd t t0 A 2f2 (t) e sd t t
A 1 F 1 (S ) A 2 F 2 (S )
返回 上页 下页
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
f(t)M cte t [0, )
则 f(t)estd t M(s ec)tdt M
0
0
sC
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即 f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
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线性动态电路的复频域分析
f(t)=f1(t)+f2(t)+
12/12/2023
14
例：求
F(s)
=
1 s2 +
3
旳原函数。
结束
解：F(s) = 1
3
3 s2 + ( 3 )2
查表：ℒ
[sin(wt)]
=
w s2+w2
所以： f(t) = 1 sin 3 t 3
12/12/2023
15
1. 部分分式展开法
在线性电路中，电压和电流旳象函数一般形式为 结束 F(s) = N(s) = a0 sm + a1 sm-1 + ···+bm
+
-0.6 s+5
f(t) = 0.1+ 0.5e-2t - 0.6e-5t
12/12/2023
18
在情况1中，若D(s)=0有共轭复根
p1=a+jw，p2=a-jw
结束
原则上也是上述措施，只是运算改为复数运算：
K1=
N(a+jw D'(a+jw
) )
N(a-jw ) K2= D'(a-jw )
因为F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2
②拉普拉斯反变换部分分式展开；
③应用拉普拉斯变换分析线性电路旳措施和环节；
④网络函数旳旳定义和极点、零点旳概念。
与其他章节旳联络
1 本章讲述基于拉氏变换旳动态电路旳分析措施，称 为运算法；主要处理一般动态电路、尤其是高阶动 态电路旳分析问题；
2 是变换域分析措施（相量法）思想旳延续，把时域 问题变换为复频域问题。
c+j
利用公式
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证： A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) 0 A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )e s t dt
0 A1 f1 (t ) e dt 0 A2 f 2 (t ) e s t dt
s t
A1 F1 ( s ) A2 F2 ( s )
例1 求矩形脉冲的象函数 解
f(t)
1
f (t ) (t ) (t T ) 1 1 sT F ( s) e s s
求三角波的象函数
T
T
f(t)
t
例2
解 f ( t ) t[ ( t ) ( t T )]
T
t
f ( t ) t ( t ) ( t T ) ( t T ) T ( t T ) 1 1 sT T sT F ( s) 2 2 e e s s s
上 页 下 页
1 [ f ( t )] F1 ( s ) sT 1 e
T 本例中：f1 ( t ) ε( t ) ε ( t ) 2
1 1 sT / 2 F ( s) ( e ) 1 s s
1 1 1 sT / 2 1 1 [ f ( t )] ( e ) ( ST / 2 ) sT S 1 e 1 e s s
则: df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
df ( t ) 证： dt
df ( t ) s t st 0 dt e dt 0 e df ( t )
e
st
f (t )
0
0 e
st
at
at
F ( s ) 0 f ( t )e dt
st
1 1 ( s a )t e F ( s ) [e ] e e dt sa 0 sa 0
at st
（2）单位阶跃函数 f ( t ) ( t )
F ( s ) [ ( t )] 0 ( t )e dt e dt 0
正弦量 i1 i2 i 相量
拉氏变换： 时域函数 f ( t ) (原函数)
I1 I 2 I
对应
复频域函数F( s )(象函数)
简写 F ( s)
s为复频率
f (t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
（2）象函数 F(s) 用大写字母表示，如 I(s)，U(s)。 原函数 f(t) 用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。 （3）象函数 F(s) 存在的条件：
0 f ( t )e dt
st
e s t 为收敛因子
上 页 下 页
3.典型函数的拉氏变换
(1) 指数函数 f ( t ) e
st
st
1 st 1 e 0 s s
（3）单位冲激函数 f ( t ) ( t )
F ( s ) [ ( t )] 0 ( t )e dt 0 ( t )e st dt e s 0 1
st
0
上 页
下 页
f ( t )( s )dt
f (0 ) sF ( s)
上 页 下 页
例1 解
求 : f (t ) cos( t )的象函数
dsin( t ) 1 dsin( t ) cos( t ) cos( t ) dt dt
由
df ( t ) dt sF (s) f (0 )
第十四章 线性电路的复频域分析
重点 (1) 拉普拉斯变换的定义和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路 的方法和步骤
(3) 网络函数的概念 (4) 极点、零点分布与冲激响应
(5) 极点、零点分布与频率响应
下 页
14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若
则
[ f1 ( t )] F1 ( s ) ,
[ f 2 ( t )] F2 ( s )
A f (t ) A
1 1
2
f 2 (t )
A1 f1 (t ) A2 f 2 (t )
A1 F1 ( s ) A2 F2 ( s )
求 : f (t ) te 的象函数
[te ]
αt
d 1 1 ( ) ds s α ( s α )2
上 页 下 页
3. 积分性质
设： [ f ( t )] F ( s ) 则： [ 0 t 证：令 [ 0 f ( )d ] (s)
t
F ( s) f ( )d ] s
应用微分性质
d t [ f ( t )] [ 0 f ( )d ] dt
s ( s ) 0 f ( )d
t
t 0
F ( s) θ( s ) s
例
求 : f (t ) t ( t )和f (t ) t 2 (t )的象函数
解
[t ( t )]
F ( s) [sin( t )] [
1 j t (e e j t )] 2j
1 1 1 s j s j 2 2 2j s
上 页 下 页
2. 微分性质
（1）时域导数性质
udv uv vdu
若： f (t ) F ( s)
上 页 下 页
例3 解
求周期函数的拉氏变换
设f1(t)为第一周期函数
f(t) 1 ... T/2 T t
[ f1 ( t )] F1 ( s )
则： 1 [ f ( t )] F1 ( s ) sT 1 e
证：f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )
上 页
下 页
（2）频域延迟
设：
[ f ( t )] F (s) 则：F ( s α )
[e t f (t )]
例 求f ( t ) te t ( t )的象函数。 解 例 解
f ( t ) ( t )dt f (0)0 ( t )dt f (0)
f (t ) (t t 0 )dt f (t 0 )
上 页
下 页
3. 拉氏变换的定义
一个定义在[ 0，∞）的函数 f (t) ，其拉式变换为：
F ( s)
0
f ( t )e s t dt
上 页
下 页
F ( s) 简写 f (t )
[ f ( t )]
1
[ F ( s )]
0
注 （1） F ( s ) f (t )e dt f (t )e dt f (t )e st dt 0 0 0
st st
若f(t)= (t)时，此项 0
上 页 下 页
2. 阶跃函数和冲激函数
(1) 单位阶跃函数 单位阶跃函数
(t )
1
f ( t ) ( t ) 定义为：
o t
0 t 0 (t ) 1 t 0
延迟单位阶跃函数
1
(f t0 ) t (t )
0 t t 0 (t t0 ) 1 t t 0
1 d dt sin( t )
[cos t ]
s (s 2 0) 2 2 2 s s
1
上 页 下 页
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
dε( t ) δ( t ) dt
1 [ ( t )] s
δ(t )
证：
F ( s)
f (t t0 ) 0
f ( t t 0 )e dt
st
t0
f ( t t 0 )e
s ( t t 0 ) st0
e
dt
令t t0
e
st0
0
f ( η )e dη
上 页 下 页
sη
e
ห้องสมุดไป่ตู้
st0
F ( s)
正变换
1 c j f (t ) F ( s )e s t ds 2j c j
反变换
0 0 0
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及 t = 0 时 f ( t )包含的冲激。
可用来起始任意函数
o o
tt0 0
t t
f ( t ) ( t t 0 )
t t 0 0 f ( t ) ( t t 0 ) f ( t ) t t 0
o
t0
上 页
t
下 页
(2) 单位冲激函数 单位冲激函数
f (t ) (t )
(t )
定义为：
1
数f ( t )与复变函数 F ( s ) 联系起来，把时域问题变换为复
频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数 方程以便求解。
变换的概念
（1） 对数变换
把乘法运算变换为加法运算
0 A1 f1 (t ) e dt 0 A2 f 2 (t ) e s t dt
s t
A1 F1 ( s ) A2 F2 ( s )
例1 求矩形脉冲的象函数 解
f(t)
1
f (t ) (t ) (t T ) 1 1 sT F ( s) e s s
求三角波的象函数
T
T
f(t)
t
例2
解 f ( t ) t[ ( t ) ( t T )]
T
t
f ( t ) t ( t ) ( t T ) ( t T ) T ( t T ) 1 1 sT T sT F ( s) 2 2 e e s s s
上 页 下 页
1 [ f ( t )] F1 ( s ) sT 1 e
T 本例中：f1 ( t ) ε( t ) ε ( t ) 2
1 1 sT / 2 F ( s) ( e ) 1 s s
1 1 1 sT / 2 1 1 [ f ( t )] ( e ) ( ST / 2 ) sT S 1 e 1 e s s
则: df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
df ( t ) 证： dt
df ( t ) s t st 0 dt e dt 0 e df ( t )
e
st
f (t )
0
0 e
st
at
at
F ( s ) 0 f ( t )e dt
st
1 1 ( s a )t e F ( s ) [e ] e e dt sa 0 sa 0
at st
（2）单位阶跃函数 f ( t ) ( t )
F ( s ) [ ( t )] 0 ( t )e dt e dt 0
正弦量 i1 i2 i 相量
拉氏变换： 时域函数 f ( t ) (原函数)
I1 I 2 I
对应
复频域函数F( s )(象函数)
简写 F ( s)
s为复频率
f (t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
（2）象函数 F(s) 用大写字母表示，如 I(s)，U(s)。 原函数 f(t) 用小写字母表示，如 i(t)，u(t)。 （3）象函数 F(s) 存在的条件：
0 f ( t )e dt
st
e s t 为收敛因子
上 页 下 页
3.典型函数的拉氏变换
(1) 指数函数 f ( t ) e
st
st
1 st 1 e 0 s s
（3）单位冲激函数 f ( t ) ( t )
F ( s ) [ ( t )] 0 ( t )e dt 0 ( t )e st dt e s 0 1
st
0
上 页
下 页
f ( t )( s )dt
f (0 ) sF ( s)
上 页 下 页
例1 解
求 : f (t ) cos( t )的象函数
dsin( t ) 1 dsin( t ) cos( t ) cos( t ) dt dt
由
df ( t ) dt sF (s) f (0 )
第十四章 线性电路的复频域分析
重点 (1) 拉普拉斯变换的定义和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路 的方法和步骤
(3) 网络函数的概念 (4) 极点、零点分布与冲激响应
(5) 极点、零点分布与频率响应
下 页
14.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法
拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若
则
[ f1 ( t )] F1 ( s ) ,
[ f 2 ( t )] F2 ( s )
A f (t ) A
1 1
2
f 2 (t )
A1 f1 (t ) A2 f 2 (t )
A1 F1 ( s ) A2 F2 ( s )
求 : f (t ) te 的象函数
[te ]
αt
d 1 1 ( ) ds s α ( s α )2
上 页 下 页
3. 积分性质
设： [ f ( t )] F ( s ) 则： [ 0 t 证：令 [ 0 f ( )d ] (s)
t
F ( s) f ( )d ] s
应用微分性质
d t [ f ( t )] [ 0 f ( )d ] dt
s ( s ) 0 f ( )d
t
t 0
F ( s) θ( s ) s
例
求 : f (t ) t ( t )和f (t ) t 2 (t )的象函数
解
[t ( t )]
F ( s) [sin( t )] [
1 j t (e e j t )] 2j
1 1 1 s j s j 2 2 2j s
上 页 下 页
2. 微分性质
（1）时域导数性质
udv uv vdu
若： f (t ) F ( s)
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例3 解
求周期函数的拉氏变换
设f1(t)为第一周期函数
f(t) 1 ... T/2 T t
[ f1 ( t )] F1 ( s )
则： 1 [ f ( t )] F1 ( s ) sT 1 e
证：f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )
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（2）频域延迟
设：
[ f ( t )] F (s) 则：F ( s α )
[e t f (t )]
例 求f ( t ) te t ( t )的象函数。 解 例 解
f ( t ) ( t )dt f (0)0 ( t )dt f (0)
f (t ) (t t 0 )dt f (t 0 )
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3. 拉氏变换的定义
一个定义在[ 0，∞）的函数 f (t) ，其拉式变换为：
F ( s)
0
f ( t )e s t dt
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F ( s) 简写 f (t )
[ f ( t )]
1
[ F ( s )]
0
注 （1） F ( s ) f (t )e dt f (t )e dt f (t )e st dt 0 0 0
st st
若f(t)= (t)时，此项 0
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2. 阶跃函数和冲激函数
(1) 单位阶跃函数 单位阶跃函数
(t )
1
f ( t ) ( t ) 定义为：
o t
0 t 0 (t ) 1 t 0
延迟单位阶跃函数
1
(f t0 ) t (t )
0 t t 0 (t t0 ) 1 t t 0
1 d dt sin( t )
[cos t ]
s (s 2 0) 2 2 2 s s
1
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例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
dε( t ) δ( t ) dt
1 [ ( t )] s
δ(t )
证：
F ( s)
f (t t0 ) 0
f ( t t 0 )e dt
st
t0
f ( t t 0 )e
s ( t t 0 ) st0
e
dt
令t t0
e
st0
0
f ( η )e dη
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sη
e
ห้องสมุดไป่ตู้
st0
F ( s)
正变换
1 c j f (t ) F ( s )e s t ds 2j c j
反变换
0 0 0
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及 t = 0 时 f ( t )包含的冲激。
可用来起始任意函数
o o
tt0 0
t t
f ( t ) ( t t 0 )
t t 0 0 f ( t ) ( t t 0 ) f ( t ) t t 0
o
t0
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t
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(2) 单位冲激函数 单位冲激函数
f (t ) (t )
(t )
定义为：
1
数f ( t )与复变函数 F ( s ) 联系起来，把时域问题变换为复
频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数 方程以便求解。
变换的概念
（1） 对数变换
把乘法运算变换为加法运算