长安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

长安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则
{}n a 12a =114
n n n n a a a a ++-=
+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n （ ）
n =A ．
B ．
C ．
D ．3536120121
2． 下列各组函数为同一函数的是（ ）
A ．f （x ）=1；g （x ）
=B ．f （x ）=x ﹣2；g （x ）=
C ．f （x ）=|x|；g （x ）=
D ．f （x ）
=
•
；g （x ）
=3． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（
）
A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1
B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1
C ．存在x 0＞0，使2
≥1D ．存在x 0≤0，使2
＜1
4． 底面为矩形的四棱锥P ­ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P ­ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ）
A ．36π
B ．48π
C ．60π
D ．72π
5． 如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限　
6． 已知函数，若存在常数使得方程有两个不等的实根21
1,[0,22
()13,[,1]
2
x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩()f x t =12
,x x （），那么的取值范围为（ ）
12x x <12()x f x ∙A ．
B ．
C ．
D ．3[,1)
4
1[831
[
,)162
3[,3)
8
7． 函数y=sin2x+cos2x 的图象，可由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象（ ）
A ．向左平移个单位得到
B ．向右平移个单位得到
C ．向左平移
个单位得到D ．向左右平移
个单位得到
8． 以下四个命题中，真命题的是（ ）
A ．，(0,)x π∃∈sin tan x x
=
B ．“对任意的，”的否定是“存在，x R ∈210x x ++>0x R ∈20010x x ++<
C ．，函数都不是偶函数R θ∀∈()sin(2)f x x θ=+
D ．中，“”是“”的充要条件
ABC ∆sin sin cos cos A B A B +=+2
C π
=
【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
9． 函数（，）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）
()2cos()f x x ωϕ=+0ω>0ϕ-π<<
A. B. C. D. 32
-
1-
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.10．已知，若存在，使得，则的()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->0(1,)x ∈+∞00()'()0g x g x +=b a
取值范围是（
）
A ．
B ．
C.
D ．(1,)-+∞(1,0)-(2,)-+∞(2,0)
-11．已知集合，，则（
）
{2,1,1,2,4}A =--2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,1}--{1,1,2}-{1,1}-{2,1}
--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．12．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ）
A ．45
B ．90
C ．120
D ．360
二、填空题
13．长方体中，对角线与棱、、所成角分别为、、，1111ABCD A B C D -1A C CB CD 1CC αβ则 ．　
2
22sin
sin sin αβγ++=14．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是 ．15．在数列
中，则实数a= ，b= ．
16．如果实数满足等式，那么
的最大值是 ．
,x y ()2
2
23x y -+=y
x
三、解答题
17．（本小题满分12分）
在等比数列中，．{}n a 3339,22
a S =
=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，且为递增数列，若，求证：．
2
21
6log n n b a +={}n b 11n n n c b b +=
A 1231
4
n c c c c ++++< 18．（本小题满分12分）
已知直三棱柱中，上底面是斜边为的直角三角形，分别是的中点
.
111C B A ABC -AC F E 、11AC B A 、（1）求证：平面； //EF ABC （2）求证：平面平面.
⊥AEF B B AA 1119．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2
(21)20n n a n a n ---=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1
(1)n n
b n a =
+，求数列{}n b 的前项和为n T .
20．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．（1）求图中a 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
21．（文科）（本小题满分12分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
[)[)[)0,0.5,0.5,1,,4,4.5
（1）求直方图中的值；
（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．
22．已知函数（）．()()x
f x x k e =-k R ∈（1）求的单调区间和极值；()f x （2）求在上的最小值．
()f x []1,2x ∈（3）设，若对及有恒成立，求实数的取值范围．
()()'()g x f x f x =+35,22
k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
[]0,1x ∀∈()g x λ≥λ23．（本小题满分12分）在多面体中，四边形与均为正方形，平面
ABCDEFG ABCD CDEF CF ⊥，平面，且．
ABCD BG ⊥ABCD 24AB BG BH ==（1）求证：平面平面；AGH ⊥EFG （2）求二面角的大小的余弦值．
D FG
E --
长安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114n n n n
a a a a ++-=
+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得
2
2
14n n a a +-={}
2
n a 442
44(1)4n a n n =+-=0n a >
．
，∴数列的前项和为
n
a
=111
2n n a a +==+11n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
n
，∴，选C
．1111
1)1)52222
+++=-= 120n =2． 【答案】C
【解析】解：A 、函数f （x ）的定义域为R ，函数g （x ）的定义域为{x|x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；B 、函数f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为{x|x ≠﹣2}，定义域不同，故不是相同函数；C 、因为
，故两函数相同；
D 、函数f （x ）的定义域为{x|x ≥1}，函数g （x ）的定义域为{x|x ≤1或x ≥1}，定义域不同，故不是相同函数．
综上可得，C 项正确．故选：C ．　
3． 【答案】A
【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．
故选：A
4． 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ，则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，又V 四棱锥P －ABCD ＝S 矩形ABCD ·PO
13
＝abR ≤R 3.
13
2
3∴R 3
＝18，则R ＝3，23
∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A.5． 【答案】D
【解析】解：∵P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，
∴sin θcos θ＜0，cos θ＞0，∴sin θ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D ．
【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．　
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：由图可知存在常数，使得方程有两上不等的实根，则
，由，可得()f x t =314t <<13
24
x +=
，由，可得，即，则
14x =213x =x =12111,422x x ≤<≤≤2
21143
x ≤≤.故本题答案选C.
()212123133,162x f x x x ⎡⎫
=⋅∈⎪⎢⎣⎭
考点：数形结合．
【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.
7． 【答案】C
【解析】解：y=sin2x+cos2x=sin （2x+），y=sin2x ﹣cos2x=
sin （2x ﹣
）=
sin[2（x ﹣
）+
）]，
∴由函数y=sin2x ﹣cos2x 的图象向左平移个单位得到y=
sin （2x+
），
故选：C ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．
8． 【答案】D
9． 【答案】D
【解析】易知周期，∴.由（），得112(1212T π5π=-=π22T ωπ==52212k ϕπ⨯+=πk ∈Z 526k ϕπ
=-+π
（），可得，所以，则，故选D.
k Z ∈56ϕπ=-5()2cos(2)6f x x π=-5(0)2cos(6
f π
=-=10．【答案】A 【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③
令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
11．【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,1,2,4}x ∈--2log ||1{1,1,0}y x =-∈-A B = {1,1}-12．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C 62C 42C 22=90个不同的六位数，故选：B ．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】【解析】
试题分析：以为斜边构成直角三角形：，由长方体的对角线定理可得：
1AC 1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆.2222
2
2
1111222111sin sin sin BC DC A C AC AC AC αβγ++=++22212
1
2()
2AB AD AA AC ++=
=考点：直线与直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．14．【答案】　[，1]　．
【解析】解：∵全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，N ⊆M ，∴2a ﹣1≤1 且4a ≥2，解得 2≥a ≥，故实数a 的取值范围是
[，1]，故答案为[，1]．　
15．【答案】a= ，b= ．
【解析】解：由5，10，17，a ﹣b ，37知，a ﹣b=26，
由3，8，a+b ，24，35知，a+b=15，解得，a=，b=；故答案为：
，
．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．　
16．【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.y
x
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）证明见解析.
1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
A 或【解析】
试题分析：（1）将化为，联立方程组，求出，可得；
3339,22a S ==1,a q 1,a q 1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
A 或（2）由于为递增数列，所以取，化简得，
{}n b 1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
2n b n =，其前项和为.()111111
4141n n n c b b n n n n +⎛⎫
===- ⎪
++⎝⎭
A ()1114414n -<+考点：数列与裂项求和法．1
18．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接，∵直三棱柱中，四边形是矩形，C A 1111C B A ABC -C C AA 11故点在上，且为的中点，
F C A 1F C A 1在中，∵分别是的中点，∴.BC A 1∆F E 、11AC B A 、BC EF //又平面，平面，∴平面.
⊄EF ABC ⊂BC ABC //EF ABC
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理.19．【答案】（1）n a n 2=；（2）=
n T )
1(2+n n
.
考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．
20．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，
10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，
解得a=0.005．
∴图中a的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05
=73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
21．【答案】（1）；（2）万；（3）.0.3a = 3.6 2.9【解析】
（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：；()0.50.080.160.30.40.520.7385%⨯++++=<月均用水量低于3吨的频率为：
；
()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%⨯+++++=>则吨．1
0.850.73
2.50.5 2.90.30.5
x -=+⨯
=⨯考点：频率分布直方图．
22．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，
()f x (1,)k -+∞(,1)k -∞-，无极大值；（2）时，时1()(1)k f x f k e -=-=-极小值2k ≤()(1)(1)f x f k e ==-最小值23k <<，时，；（3）.
1()(1)k f x f k e -=-=-最小值3k ≥2()(2)(2)f x f k e ==-最小值2e λ≤-【解析】
（2）当，即时，在上递增，∴；11k -≤2k ≤()f x []1,2()(1)(1)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，∴；
12k -≥3k ≥()f x []1,22
()(2)(2)f x f k e ==-最小值当，即时，在上递减，在上递增，112k <-<23k <<()f x []1,1k -[]1,2k -∴．
1
()(1)k f x f k e
-=-=-最小值（3），∴，
()(221)x
g x x k e =-+'()(223)x
g x x k e =-+由，得，'()0g x =32
x k =-当时，；3
2x k <-
'()0g x <当时，，
3
2
x k >-'()0g x >∴在上递减，在递增，
()g x 3(,)2k -∞-3
(,)2
k -+∞故，
323
()()22
k g x g k e -=-=-最小值又∵，∴，∴当时，，
35,22k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
[]30,12k -∈[]0,1x ∈323()(22k g x g k e -=-=-最小值∴对恒成立等价于；
()g x λ≥[]0,1x ∀∈32
()2k g x e λ-
=-≥最小值又对恒成立．
32
()2k g x e λ-
=-≥最小值35,22k ⎡⎤
∀∈⎢⎥⎣⎦
∴，故．1
3
2
min (2)k e
k --≥2e λ≤-考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想
之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
GH∈AGH AGH⊥EFG
∵平面，∴平面平面．……………………………5分。