步步高高二数学暑假作业：【文】作业20选修4-4：坐标系与参数方程选修4-5：不等式选讲

步步高高二数学暑假作业：【文】作业20选修4－4：坐标系
与参数方程选修4－5：不等式选讲
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知P 为半圆C:{x =cosθy =sinθ
（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为π3。

（Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的坐标；
（Ⅱ）求直线AM 的参数方程
2．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[0,π2
]. （1）求C 的参数方程；
（2）若半圆C 与圆D ：(x −5)2+(y −√3)2=m (m 是常数，m >0)相切，试求切点的直角坐标．
3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=+⎩(ϕ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的普通方程；
（2）直线l 的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭射线OM ：6
πθ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
4．已知函数()4()f x x x a a R =-+-∈的最小值为a .
（1）求实数a 的值；
（2）解不等式()5f x ≤.
5．已知231x -≤的解集为[,]m n .
（1）求m n +的值；
（2）若x a m -<，求证：1x a <+.
6．设函数()2()f x x x a a R =++-∈.
（1）若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式3()2
f x x 恒成立，求实数a 的取值范围．
7．在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ，点)4
πR ． （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．
8．设函数f(x)=|x −a |.
（1）当a =2时，解不等式f(x)≥7−|x −1|；
（2）若f(x)≤1的解集为[0,2]，1m +12n =a(m >0,n >0)，求证：m +4n ≥2√2+3.
参考答案
1．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3， 故点M 的极坐标为（π3，π3）. ……5分
（Ⅱ）M 点的直角坐标为（π6,
√3π6），A （0,1），故直线AM 的参数方程为 {x =1+(π6−1)t y =√3π6
t （t 为参数） ……10分 考点：本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，直线的参数方程。

点评：简单题，参数方程的给出，使解决问题的方法和思路得到扩充，有时利用曲线的参数方程，通过换元，可使问题较方便得解。

2．（1）{x =2+2cost y =2sint
(t 为参数，0≤t ≤π)．（2）(2+√3,1). 【解析】
【分析】
（1）先将极坐标方程转化为标准方程，根据圆的标准方程写出参数方程。

（2）先求圆心连线的斜率，切点在直线上，由此确定切点的坐标。

【详解】
（1）C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4(0≤y ≤2)，
则C 的参数方程为{x =2+2cost y =2sint
(t 为参数，t ∈[0,π])． （2）C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5,√3)，
于是直线CD 的斜率k =√3−05−2=√33. 由于切点必在两个圆心的连线上，
故切点对应的参数t 满足tant =√33，t =π6，
所以，切点的直角坐标为(2+2cos π6,2sin π6)，
即(2+√3,1).
【点睛】
本题考查了圆的极坐标方程，标准方程，参数方程的互化。

以及两圆相切的几何关系属于基础题。

3．（1）22(2)4x y +-=（2）3PQ =.
【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据22sin cos 1ϕϕ+= 消去直线l 的参数方程可得普通方程；（Ⅱ）由题意得6πθ=
，由极坐标方程2sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭得15ρ= ，由4{6
sin ρθ
πθ==解得22ρ= ，利用极坐标方程几何意义可得线段PQ 的长 . 试题解析：(I)由圆C 的参数方程2{22x cos y sin ϕ
ϕ==+（ϕ为参数）知，圆C 的圆心为
()0,2，
半径为2，圆C 的普通方程为()2
22 4.x y +-=
将cos ,sin x y ρθρθ==代入()222 4.x y +-=
得圆C 的极坐标方程为4sin .ρθ= （Ⅱ）设()11,P ρθ，则由4{6
sin ρθπθ==解得212,.6πρθ== 设()22,Q ρθ
，则由26{6
sin πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得115,.6πρθ== 所以12 3.PQ ρρ=-=
【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等
三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ，222{tan x y y x
ρθ+==等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
4．（1）2（2）111|
22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
【分析】
（1）根据绝对值的几何意义求出f （x ）的最小值，从而求出a 的值即可；（2）求出f （x ）的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可．
【详解】
(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，
从而解得a ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝26,2,2,24,26, 4.x x x x x -+≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩
故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5， 得12
≤x ≤2， 当2＜x ≤4时，显然不等式成立，
当x ＞4时，令2x －6≤5，得4＜x ≤
112
， 故不等式f (x )≤5的解集为111(|)22x x ≤≤. 【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题，考查了分段函数问题，是一道基础题．
5．（1）3m n +=.（2）见解析
【分析】
（1）先解绝对值不等式，由此求得m,n 的值
（2）利用绝对值不等式求证即可．
【详解】
（1）解：不等式231x -≤可化为1231x -≤-≤，
解得12x ≤≤，所以1m =，2n =，3m n +=.
（2）证明：若1x a -<，则1x x a a x a a a =-+≤-+<+，即1x a <+.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的基本解法，以及绝对不等式的应用属于基础题．
6．（1）1a ≥-；（2）(,4]-∞．
【解析】
试题分析：（1）对a 的取值分类讨论，将问题等价转化为不等号左边的最小值不小于0即可；（2）由题意可知，问题等价于函数()y f x =的图象恒在32
y x =
的上方，画出两个函数图象，即可得到关于a 的不等式，从而求解．
试题解析：（1）当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a ≥-恒成立，
即()f x 的最小值2a a -≥-，解得1a ≥-；
（2）根据函数()f x 图象的性质可知， 当322a a +=时，3()2
f x x ≥恒成立，即4a =， ∴a 的取值范围是(,4]-∞时，3()2f x x ≥恒成立．
考点：绝对值不等式；分类讨论的数学思想；恒成立问题；数形结合的数学思想．
【方法点晴】本题主要考查了绝对值不等式的求解、函数的恒成问题的求解与应用，其中把
（1）中不等式()0f x a +≥恒成立，转化为函数的最值求解，（2）中不等式3()2
f x x ≥恒成立，利用函数的图象是解得问题的关键，是一道较好的试题，属于中档试题，着重考查了转化与化归思想，分类讨论思想和数形结合思想的渗透和应用．
7．（1）2
213
x y +=，()2,2R ；（2）矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】
试题分析：（1）由222
x y ρ+=，cos ,sin x y ρθρθ==可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）要求矩形PQRS 周长的最小值，必须把周长用一个参数表示出来，为此设
,)P sin θθ，则有(2,sin )Q θ，且2,2sin PQ QR θθ==-，
42sin 3PQ QR πθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝
⎭，由正弦函数的性质可得最小值及θ值． 试题解析：（1）由于cos ,sin x y ρθρθ==则曲线C 的方程为22312sin ρθ
=+，转化成2
213
x y += 点R 的极坐标转化成直角坐标为：()2,2R ；
（2）设)
,sin P θθ根据题意，得到()2,sin Q θ．则：
2,2sin PQ QR θθ==-，所以42sin 3PQ QR πθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝
⎭ 当6π
θ=，()min 2PQ QR +=，矩形的最小周长为4，点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，椭圆的参数方程，正弦函数的性质．
8．（1）(−∞,−2]∪[5,+∞)；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）当a =2时，不等式为|x −2|+|x −1|≥7，据此零点分段可得不等式的解集为(−∞,−2]∪[5,+∞).
（2）由题意结合不等式的解集可得a =1，利用均值不等式的结论即可证得题中的结论，注意等号成立的条件.
【详解】
（1）当a =2时，不等式为|x −2|+|x −1|≥7，
∴{x <12−x +1−x ≥7 或{1≤x ≤22−x +x −1≥7 或{x >2x −2+x −1≥7
， ∴不等式的解集为(−∞,−2]∪[5,+∞).
（2）f(x)≤1，即|x −a |≤1，
解得a −1≤x ≤a +1，而f(x)≤1，
解集是[0,2]，∴{a −1=0a +1=2
，解得a =1， 所以1m +12n =1(m >0,n >0)，
∴m +4n =(m +4n)(1m +12n ) =3+
4n m +m 2n ≥2√2+3. 当且仅当m =√2+1，n =
2+√24时等号成立.
【点睛】
绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。