基于卡尔曼滤波的电能质量分析方法综述

x(t)= f [x(t),t]+w(t)
(8)
y(t )=h[ x(t ), t ]+ v(t )
(9)
式中：x(t) 为系统状态向量；y(t) 为系统量测向量；
f 和 h 是关于状态的非线性函数；w 和 v 均是均值为
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电网技术
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零的高斯白噪声。式(8)(9)分别是状态方程和量测方 程。为了使卡尔曼滤波应用到非线性系统中，非线
KEY WORDS: power quality; Kalman filtering; extended Kalman filtering; unscented Kalman filtering
摘要：首先对电能质量问题及其分析检测方法进行简单介 绍；然后主要综述了常规卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波和无 迹卡尔曼滤波这 3 种卡尔曼滤波的基本原理，并对其在电能 质量分析中的应用进行了系统的总结，对比分析了各种方法 的利弊；最后对卡尔曼滤波方法现存的问题及今后的发展趋 势进行了展望。
第 34 卷 第 2 期 2010 年 2 月
文章编号：1000-3673（2010）02-0097-07
电网技术 Power System Technology
中图分类号：TM 714 文献标志码：A
Vol. 34 No. 2 Feb. 2010
学科代码：470·4051
基于卡尔曼滤波的电能质量分析方法综述
ABSTRACT: An outline of power quality and its analysis and detection methods is given; then basic principles of three kinds of Kalman filtering, i.e., traditional Kalman filtering, extended Kalman filtering and unscented Kalman filtering, are surveyed and the application of these methods in power quality analysis is summarized; the comparative analysis on advantages and disadvantages of these methods are performed; finally, the existing defects in Kalman filtering are pointed out and the development trend of Kalman filtering is prospected.
卡尔曼滤波(Kalman filtering，KF)适用于平稳 和非平稳过程，已成为控制、信号处理与通信等领 域最基本、最重要的计算方法和工具之一。但随着 科学技术的快速发展，人们对其数值稳定性、实用 性和有效性等提出了更高的要求，同时也对其如何 改进进行了大量的研究。在电力系统中，卡尔曼滤 波主要用于负荷预测[13-15]、介损测量[16]、发电机 状态变量估计[17]、电机在线估计[18]、风电场风速 预测[19-20]、电能质量分析[21-22]等。而在电能质量分 析中，卡尔曼滤波已广泛应用于频率跟踪、测量谐 波分量、闪变、暂降等场合。本文着重从卡尔曼滤 波原理、分类及其在电能质量分析中的应用进展进 行系统的介绍和分析，并对今后的研究方向进行 展望。
性系统必须在指定位置进行泰勒展开，实现线性 化。推导过程如下：利用泰勒公式，分别在 xt−1 = xt−1/ t−1 和 xt = xt / t−1 处对状态方程和观测方程进行 1 阶泰勒展开，可得
xt ≈
f
(
xt−1
/
t−1
)+
∂f ( xt−1 ∂xt−1
)
xt−1/ t−1( xt−1 − xt−1/ t−1)+ wt
主要思想是对非线性函数的泰勒展开式进行截断，
实现非线性函数的线性化。根据泰勒展开式进行的
是 1 阶还是 2 阶截取，EKF 主要分为 1 阶 EKF(first
order EKF)和 2 阶 EKF(second order EKF)。电能质量
分析中最常用的是 1 阶 EKF，原理简述如下。
假如非线性系统可表示为
1 常规卡尔曼滤波
根据经典物理学可知，在没有外部干扰时，一 个系统未来的状态可根据目前的状态从已知的运 动方程中确定出来。但任何实际的系统总是存在外 部干扰，人们对其运动方程的描述不可能很准确。 可以认为：任何实际物理系统的行为都由 2 部分组
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于静文等：基于卡尔曼滤波的电能质量分析方法综述
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成，一部分是根据已知运动方程正确地预测出来，
另一部分是均方为零的随机分量[23]。根据这一原
理，1960 年 Kalman 和 Bucy 发现线性高斯模型能
通过卡尔曼滤波器得到解析解，据此提出了卡尔曼
滤波器[24]，它是滤波理论的重大突破。下面对其进
行简单介绍。
假设线性离散方程为
xk+1 = Ak xk +wk
(1)
zk = Ηk xk +γ k
(2)
式中： xk∈Rn 为状态向量； zk∈Rm 为量测向量；
wk∈R p 为系统噪声向量； γ k∈Rm 为量测噪声向量； Ak 为状态转移矩阵； Ηk 为量测转移矩阵。假设系
统噪声和量测噪声是互不相关的零均值高斯白噪
声，方差阵分别为 Qk、Rk，笔者的目的是要递推地 在每次获得观测量 zk 之后估计状态量 xk 。定义状态 量的一步预测为 xˆk / k−1 =E( xk yk−1) ，其他类推，则卡
关键词：电能质量；卡尔曼滤波；扩展卡尔曼滤波；无迹卡 尔曼滤波
0 引言
20 世纪 80 年代末以来，随着现代敏感电力电 子设备的广泛应用以及新型电力负荷的迅速发展， 电能质量问题引发的事故在国内外日益增多，电能 质量已成为电力部门及用户日益关注的问题[1]。造成 电能质量问题的主要原因是电力负荷构成的变化 和大量谐波注入电网[2]。根据电能质量扰动频率特 征、持续时间、幅值变化等的不同，可将电能质量 扰动分为瞬时、短期和长期电压扰动。电能质量这 一术语用来描述许多不同类型的电力系统扰动，包 括 电 压 骤 降 (voltage sag) 、 瞬 态 过 电 压 (transient overvoltage)、谐波畸变(harmonic distortion)和闪变 (flicker)。
尔曼滤波递推方程如下。
状态 1 步预测为
xˆk / k−1 = Ak−1xˆk−1
(3)
1 步预测误差方差阵为
Pk / k−1 = Ak−1Pk−1 AkΤ−1 +Qk−1
(4)
状态估计为
xˆk = xˆk / k−1 + Kk (zk − Hk xˆk / k−1)
(5)
估计误差方差阵为
Pk =( I − Kk Hk )Pk / k−1
xˆ0 和 P0 为初始值
图 1 常规卡尔曼滤波工作原理 Fig. 1 Principle diagram of
the traditional Kalman filtering
卡尔曼滤波更适合于单一频率指数幅值的信号和 各种高频谐波的检测，不会出现采不到高频谐波和 泄漏的情况，在某些采样频率下比 FFT、DFT 更精 确和敏感[27]。1992 年 Soliman 等人提出，当电压信 号的频率在数据窗内线性变换时，用 10 状态常规 卡尔曼滤波可以动态追踪电力系统的幅值、相位和 频率[28]，试验分别测试了采样速度、数据窗大小、 噪声程度和谐波大小不同时的情况。试验表明，用 常规卡尔曼滤波进行电能质量在线测量具有较好 的性能。文献[29]用 3 个卡尔曼滤波来实时估计三 相电压的均方根(root mean square，RMS)幅值和相 角，实现监测和分析电力系统电压暂降和中断的功 能，并在数字信号处理器(digital signal processor， DSP)上进行实时试验，证明了其可行性。
(6)
滤波增益矩阵为
K
k
=
Pk
/
k
−1H
Τ k
(

+
Rk
)−1
(7)
式中 I 为单位阵。式(3)∼(7)就是随机线性离散系统
卡尔曼滤波的基本方程。只要给定初值 xˆ0 和 P0 及
Qk、Rk，根据 k 时刻的观测值 zk 就可以递推计算得 到 k 时刻的状态估计 xˆk ( k =1, 2," )。常规卡尔曼滤
随着电网结构和负荷构成的不断变化，现代电
能质量的内涵越来越丰富，现有用于电能质量检测 的 方 法 很 多 。 离 散 傅 里 叶 变 换 (discrete Fourier transform ， DFT) 和 快 速 傅 里 叶 变 换 (fast Fourier transform，FFT)已经成为现代频谱分析和谐波分析 的基础，一些改进的算法大大提高了 FFT 方法的计 算精度和速度[3-6]。此外还有其他一些常用的方法： 最小绝对值(least absolute value，LAV)状态估计[7]、 Teager 能量算子(Teager energy operator，TEO)[8]技 术、小波变换技术[9-10]、遗传算法[11]等，每种方法 都存在各自的优缺点。文献[12]简单介绍了几种不 同的信号处理方法在检测电能质量扰动时的性能。
电力系统中，用于追踪时变的电压和电流谐波波
形。它既不局限于稳态信号，能追踪时变的谐波信
号，也不要求整数周期内整数抽样。文献[27]在时
变幅值和多次谐波的 2 个模型上进行实测，结果表
明：与最常见的频域测量方法 FFT、DFT 相比较，