根据内模基本知识的PID控制控制控制控制器参数整定仿真实验

基于内模原理的PID控制器参数整定仿真实验
1.内模控制
内模控制器（IMC）是内部模型控制器（Internal model controller）的简称，由控制器和滤波器两部分组成，两者对系统的作用相对独立，前者影响系统的响应性能，后者影响系统的鲁棒性。

它是一种实用性很强的控制方法，其主要特点是结构简单、设计直观简便，在线调节参数少，且调整方针明确，调整容易。

特别是对于鲁棒及抗扰性的改善和大时滞系统的控制，效果尤为显著。

因此自从其产生以来，不仅在慢响应的过程控制中获得了大量应用，在快响应的电机控制中也能取得了比PID更为优越的效果。

IMC设计简单、跟踪性能好、鲁棒性强，能消除不可测干扰的影响，一直为控制界所重视内模控制( Internal Model Control IMC ) 是一种基于过程数学模型进行控制器设计的新型控制策略。

其设计简单、控制性能良好，易于在线分析。

它不仅是一种实用的先进控制算法，而且是研究预测控制等基于模型的控制策略的重要理论基础，也是提高常规控制系统设计水平的有力工具。

值得注意的是，目前已经证明，已成功应用于大量工业过程的各类预测控制算法本质上都属于IMC类，在其等效的IMC结构中特殊之处只是其给定输入采用了未来的超前值(预检控制系统)，这不仅可以从结构上说明预测控制为何具有良好的性能，而且为其进一步的深入分析和改进提供了有力的工具。

内模控制的结构框图如图1：
图1-1 内模控制的结构图
其中，IMC G —内模控制器；p G —实际被控过程对象；m G —被控过程的数学模型； d G —扰动通道传递函数。

（1）当0)(,0)(≠=s G s R d 时，
假若模型准确，即)()(s G s G m p =，由图可知，
)]()(1)[()]()(1)[()(IMC IMC s G s G s G s G s G s G s Y m d d -=-=p ，
假若“模型可倒”，即
)
(1
s G m 可以实现，则可令)(1)(IMC s G s G m =，
可得0)(=s Y ，不管)(s G d 如何变化，对)(s Y 的影响为零。

表明控制器是克服外界扰动的理想控制器。

（2）当0)(,0)(≠=s R s G d 时，
假若模型准确，即)()(s G s G m p =，又因为0)(=s D ，则0)(ˆ=s D
，有 )()()()
(1
)()()()(IMC s R s R s G s G s R s G s G s Y m ==
=p p ， )()]()(1[)()()()(IMC IMC s G s G s G s R s G s G s Y d p p -+=。

当模型没有误差，且没有外界扰动时，
其反馈信号0)()()]
()([m p =+-s D s U s G s G ， 表明控制器是)(s Y 跟踪)(s R 变化的理想控制器
2． 基于IMC 的控制器的设计
2.1 因式分解过程模型
)(*)()(S G S G S Gm m -m +=
式中，)(S G +m 包含了所有的纯滞后和右半平面的零点，并规定其静态增益1。

)(S G m -为过程模型的最小相位部分。

2.2 设计IMC 控制器
)(*)
(1
)(IMC s F s G s G -=m
这里F(S)为IMC 滤波器。

选择滤波器的形式，以保证内模控制器为真分式。

对于阶跃输入信号，可以确定Ⅰ型IMC 滤波器的形式为：
r
s T s F )1(1
)(f +=
对于斜坡输入信号，可以确定Ⅱ型IMC 滤波器的形式为：
r
s T s rT s F )1(1
)(f f ++=
f T 为滤波时间常数，r 为整数，选择原则是使)(IMC s G 成为有理传递函数。

因此，假设模型没有误差，可得
)()]()(1[)()()()(s G s G s F s R s F s G s Y d ++-+=m m
设0)(=s G d 时，
)(*)()
()
(s F s G s R s Y +=m 。

表明：滤波器F(s)与闭环性能有非常直接的关系。

滤波器中的时间常数
f T 是个可调整的参数。

时间常数越小，Y(s)对R(s)的跟踪滞后越小。

事实上，滤波器在内模控制中还有另一重要作用，即利用它可以调整系统的鲁棒性。

其规律是，时间常数f T 越大，系统鲁棒性越好。

2.3 与Smith 预估控制器相比较
由图1-1内模控制的结构图，可以与Smith 预估控制器相比较。

Smith 预估补偿是在系统的反馈回路中引入补偿装置，将控制通道传递函数中的纯滞后部分与其他部分分离。

其特点是预先估计出系统在给定信号下的动态特性，然后由预估器进行补偿，力图使被延迟了的被调量超前反映到调节器，使调节器提前动作，从而减少超调量并加速调节过程。

如果预估模型准确，该方法能后获得较好的控制效果，从而消除纯滞后对系统的不利影响，使系统品质与被控过程无纯滞后时相同。

在下图所示的单回路控制系统中，控制器的传递函数为D(s)，被控对象传递函数为G p (s)e -τs ，被控对象中不包含纯滞后部分的传递函数为G p (s)，被控对象
纯滞后部分的传递函数为e -τs 。

图1.2 史密斯补偿后的控制系统
此时系统的传递函数为：
由上式可以看出，系统特征方程中含有纯滞后环节，它会降低系统的稳定性。

史密斯补偿的原理是：与控制器D(s)并接一个补偿环节，用来补偿被控对象中的纯滞后部分，这个补偿环节传递函数为G p (s)(1-e -τs )，τ为纯滞后时间，补偿后的系统如图1.3所示。

()()()1()()s p s
p D s G s e s D s G s e
ττ--Φ=
+
图1.3 史密斯补偿后的控制系统
由控制器D(s)和史密斯预估器组成的补偿回路称为纯滞后补偿器，其传递函数为
根据图1.3可得史密斯预估器补偿后系统的闭环传递函数为
由上式可以看出，经过补偿后，纯滞后环节在闭环回路外，这样就消除了纯滞后环节对系统稳定性的影响。

拉氏变换的位移定理说明e -τs 仅仅将控制作用在时间座标上推移了一个时间τ，而控制系统的过渡过程及其它性能指标都与对象特性为G p (s)时完全相同，其控制性能相当于无滞后系统 2.4 比较IMC 和Smith 预估控制两种控制策略
2.4.1一阶系统IMC 控制器的设计
假设实际系统的s s s G 10e 1
101)(-+=,在MATLAB 中利用simulink 构造
IMC 和Smith 预估控制两种结构图，并对控制器存在和不存在模型误差的情况进行分析控制效果。

IMC 控制器结构：
‘
'()
()1()()(1)
s p D s D s D s G s e τ-=
+-'
()()()1()()
p s p D s G s s e D s G s τ-Φ=
+
图1.4 IMC控制系统
Smith预估控制结构：
图1.5 Smith预估控制系统
（1）当IMC控制器和Smith预估控制器不存在模型误差时，输出的波形如下图：
由上图可知，在不存在模型误差的情况下，IMC控制和Smith预估控制器都能取得较好的控制效果，使输出值最终趋于稳定。

同时smith预估控制器调
节速度较快，但是会有少许的超调量，而IMC控制则上升时间比较长，但是波形比较平稳的趋于稳定。

（2）IMC控制器存在模型误差时，输出的波形如下图：
由上图可知，在存在模型误差的情况下，IMC控制器虽会产生超调，但是最终曲线稳定，使输出值最终趋于稳定。

（3）Smith预估控制器存在模型误差时，输出的波形如下图：
由上图可知，在Smith预估控制器存在模型误差的情况下，并不能取得良好的控制效果，最终波形发散，不能趋于稳定，说明Smith预估器对于控制器与
模型的误差有着严格的要求，对于存在的模型误差不能够及时消除。

2.4.2二阶系统IMC 控制器的设计
假设实际系统的s
s s s G 42
e )18(12)(-++-=
,在MATLAB 中利用simulink 构造
IMC 和Smith 预估控制两种结构图，并对控制器存在和不存在模型误差的情况进行分析控制效果。

取Tf=2,4,6进行仿真，当不存在模型误差时，simulink 框图如下：
仿真结果如下图：
从上面Tf的不同取值的仿真结果可以看出，Tf越大，闭环输出响应减慢，但是达到稳定的时间会缩短，Tf值越小，闭环输出响应越快，随着Tf增加调节时间也随之增加。

当IMC控制器存在模型误差的时候，仿真结果如下图：
从仿真结果曲线可知，尽管存在模型误差，导致最终的输出曲线会有少量的超调，但是最终曲线都趋于稳定，说明IMC控制器对于存在的模型误差能够有
较好的克服能力。

3． 基于IMC 的PID 控制器的设计
3.1 具有内模控制结构的PID 控制器
图1可以等价变换为如图2所示的简单反馈控制系统
图1-2 IMC 的等价结构框图
基于图2的内环反馈控制器有：
)
()(1)
()(s G s G s G s G m IMC IMC c -=
系统输入输出关系可以表达为：
)
()(1)()()()
(s G s G s G s G s r s y p c p c +=
系统扰动的输入输出关系可以表达为：
)
()(1)()()
(s G s G s G s d s y p c d +=
由以上三个式子可以得到系统的闭环响应为：
)]
()()[(1)
()]()(1[)]()()[(1)()()(s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s y m p IMC d m IMC m p IMC p IMC -+-+
-+=
系统的反馈信号为：
)()()()]()([)(m 's d s G s u s G s G s d d p +-=
如果模型准确， 即)()(s G s G m p =， 无外部扰动， 即0)(=s d ， 则模型
的输入'y 与过程的输出y 相等， 此时反馈信号为零。

这样， 在模型不确定和无未知输入的条件下， 内模控制系统具有开环结构。

这就清楚地表明， 对开环稳定的过程而言， 反馈的目的是克服过程的不确定性。

在工业实际过程控制时， 克服扰动是控制系统的主要任务， 而模型的不确定性是难免的。

此时， 在图1-1所示的IMC 结构中， 反馈信号)(s d 就反映了过程模型的不确定性和扰动的影响，从而构成了闭环控制结构。

理想的PID 控制器具有如下的形式：
G c (s )=K p (1+1T I s +T D s) （1）
由上图可得虚线框内等价的反馈控制器G c (s)和内模控制器G IMC (s)之间有如下关系:
G c (s )= G IMC (s)
1−G m (s)G IMC (s) （2）
内模控制器可分为三步进行设计。

首先，暂不考虑系统的鲁棒性和约束，设计一个稳定的理想控制器；其次，引入滤波器，通过调整滤波器的结构和参数来获得期望的动态品质和鲁棒性；最后，对系统的抗干扰性进行验证。

通常内模控制器的设计过程如下:
第一步:把模型分解为全通部分G m+ 和最小相位部分G m− ，即
G m (s )=G m+(s )×G m−(s ) （3） 式（3）中()M G s +是一个全通滤波器传递函数，对于所有频率ω满足|()|0M G j ω=。

在()M G s +中包含了所有时滞和右半平面零点。

()M G s -是具有最小相位特征的传递函数，即()M G s -稳定且不包含预测项。

第二步:模型误差的鲁棒性设计
为抑制模型误差对系统的影响， 增加系统的鲁棒性， 在控制器中加入一个低通滤波器F( s) ，一般F( s) 取最简单形式如下:
F (s )= 1(T f +1)n （4）
式中阶次n 取决于G m−(s ) 的阶次以使控制可实现，T f 为时间常数。

这样两步设计所得的内模控制器为:
G IMC (s )=G m−−1(s )×F(s) （5） 将式（5） 代入式（1） ，得
G c (s )=F(s)G m−(s )−G m (s )F(s) （6）
当过程模型已知时，根据上式和PID 控制算式，由s 多项式各项幂次系数对应相等的原则，求解可得基于内模控制原理的PID 控制器各参数。

与单回路控制系统相比较，由于系统在结构上多了一个副回路，所以提高了系统抑制二次干扰的能力，可用信噪比来衡量系统的抗干扰能力。

式（2）可以转化为下式：
)()
()(1)()(1)(m s F s G s G s F s G s G ---=m m c （7） 在S=0时，F （s ）=1，)(m )(G m s G s =-，则有∞==0|)(s s G c 。

可以看到控制器的零频增益为无穷大。

因此可以消除由外界阶跃扰动引起的余差。

这表明尽管内模控制器本身没有积分功能，但由内模控制的结构保证了整个内模控制可以消除余差。

3.2系统PID 控制器设计
如果给定的被控对象形式为()1
s M P M K G s e T s τ-=+，其中s e τ-的近似为1212s s e s τττ--=+，那么原被控对象近似为(12)()(1)(12)
M M M K s G s T s s ττ-=++，根据以上的分析，我们可以得到()(1)(12)M M M K G s T s s τ-=
++，()12M G s s τ+=-。

根据以上公式，推算内模控制器和PID 参数之间的关系： 由此可以得出2(2)M P M T K K τλτ+=+，2I M T T τ=+，2(2)
M D M T T T ττ=+。

因此，在整个整定过程中，只有滤波器的时间常数λ需要调整，其他所有控制器的参数如比例增益P K ，积分时间I T 和微分时间D T 都与λ有关。

关于λ的取值问题： 一般情况下，考虑形如()()()
s P N s G s e D s τ-=的高阶加纯滞后过程，此处()N s 和()D s 为s 的多项式。

该式的过程模型一般用来近似多变量系统中某个特定过程变量在一个或更多的其它过程变量处于边环控制状态下对一个控制作用的响应。

当()N s 没有s 平面右侧零点时，对于上述过程而言，其内模控制器可以由下式给出：()()()(1)
IMC D s G s N s s γλ=+。

此处γ为()()N s D s 的相对阶次，即()N s 的阶次与()D s 的阶次之差。

3.3利用MATLAB 对模型进行仿真
3.3.1滤波器参数Tf 不同的IMC 仿真结果 假设被控对象为：s s s s G 10e 180)151(2)(-+-=
，采用simulink 进行仿真实验。

分别取Tf=20,40,60进行仿真，计算出Kp,TI,Td后，simulink框图如下：
当Tf值不同时，控制量仿真曲线结果如下图：
当Tf值不同时，输出仿真曲线结果如下图：
仿真曲线分析：由每种系统在不同滤波器时间常数Tf 的值下的仿真结果图可以看出，Tf 值越大，闭环输出响应越慢，操纵量的变化缓和。

Tf 值越小，闭环输出响应越快，能使闭环系统更快达到稳定。

实际上，Tf 取值不能太大也不能太小，要权衡响应速度与稳定性之间的关系。

与图 2-2比较图像基本一致，由于s τ-e 是取的近似，所以 IMC-PID 调节与 IMC 调节不能完全一致，图像有一些偏差与变化,但系统仍能取得较好的控制效果，输出曲线最终稳定在1。

3.3.2研究系统鲁棒性能的仿真结果分析
令被控对象参数发生变化，进行仿真来检验系统的鲁棒性能。

对于我们所研究的被控过程的数学模型为s s s s G 10e 1
80)151(2)(-+-=，取Tf=60,但令被控对象的参数发生变化，再利用MATLAB 进行仿真，分析输出曲线。

Tf=60时，系统的simulink 框图如下：
Tf=60 ,令K减少25%时的系统的simulink框图为：
Tf=60 ,令T减少25%时的系统的simulink框图为：
仿真曲线为：
仿真曲线分析：在滤波器时间常数Tf取值合理的情况下，被控对象参数发生变化25%，仍能保持较好的性能，具有较好的动态响应速度，曲线能在短时间
内达到稳定，具有良好的鲁棒性。

3.4 总结
内模控制具有良好的鲁棒性能，当实际生产过程参数发生变化时，系统均能在可以容忍的时间范围内达到稳态值，并且无较大振荡，只是动态过渡时间有所差异；但是不同ε还是会影响到系统响应的，ε越小，单位阶跃响应超调量越大，ε越大，超调量越小。

从以上内模PID 控制器的设计过程可以看出，只有滤波器的时间常数是需要整定的参数，方法比较简单，并且在系统特性变化的情况下具有很强的鲁棒性和抗干扰能力，输出超调很小或基本无超调，理论分析和仿真结果均表明控制量变化十分平稳，有利于现场执行机构的保护。

该方法为广泛使用的PID 控制器的参数整定提供了新的方法，具有较高的工程应用价值。