人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典)(K12教育文档)

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不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组)表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性:a b b a <⇔> (2）传递性:c a c b b a >⇒>>, （3)加法法则:c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)
（5）倒数法则：b
a a
b b a 1
10,<⇒
>> （6）乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7）开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号—-结论）
3、应用不等式性质证明不等式 （二)解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表:
0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
有两相异实根
)(,2121x x x x <
有两相等实根 a
b x x 221-
==
无实根
2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨
≠⎩ 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域。

（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0，y 0），从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断
Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件:在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数:
关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y )叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式2
a b
ab +≤
1．若a,b ∈R ，则a 2
+b 2
≥2ab ，当且仅当a=b 时取等号.
2．如果a ，b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 变形： 有：a+
b ≥ab 2；ab ≤2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.
3．如果a,b ∈R+，a ·b=P (定值)，当且仅当a=b 时，a+b 有最小值P 2；
如果a,b ∈R+，且a+b=S (定值）,当且仅当a=b 时,ab 有最大值4
2
S 。

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时,可以
求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大"．
(2)求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有:（1
2211
a b a b
+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用） ；(2）a 、b 、c ∈R ,222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时,取等号）；(3）若0,0a b m >>>，则
b b m
a a m
+<
+（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解
（一） 不等式与不等关系
题型一：不等式的性质
1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；
③22,0b ab a b a >><<则若; ④b
a b a 1
1,0<<<则若；
⑤b
a
a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；
⑦b c b a c a b a c ->
->>>则若,0； ⑧11
,a b a b
>>若,则0,0a b ><. 其中正确的命题是______
题型二:比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2. 设2a >，1
2
p a a =+-,2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小
3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小
4. 若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=
⋅=
>>，则R Q P ,,的大小关系是 。

（二） 解不等式
题型三：解不等式 5. 解不等式
6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123
x
x x -<---
8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|—1＜x ＜2｝,则a =_____， b=_______
9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞,则关于x 的不等式02
>-+x b
ax 的解集为
10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<
题型四：恒成立问题
11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________
12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
13. 已知0,0x y >>且
19
1x y
+=,求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

（三）基本不等式2
a b
ab +≤ 题型五：求最值
14. （直接用）求下列函数的值域
(1）y ＝3x 2
＋错误! （2）y ＝x ＋错误!
15. (配凑项与系数）
（1）已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

（2）当
时，求(82)y x x =-的最大值.
16. （耐克函数型）求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

注意:在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。

17. （用耐克函数单调性）求函数2
y =的值域。

18. (条件不等式)
（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
（2） 已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。

（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2
＋错误!＝1，求x 错误!的最大值.
（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30,求函数y ＝错误!的最小值.
题型六：利用基本不等式证明不等式
19. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
20. 正数a ,b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：（1－a )(1－b )(1－c ）≥8abc
21. 已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
题型七：均值定理实际应用问题：
22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2
的三级污水处理池
（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条
隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.
（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
23. 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ,求目标函数y x k +=3的最大值
24.
已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ，并且
102x <<,22x >．则
1b
a -的取值范围是
25. 已知,x y 满足约束条件：0
3440x x y y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩ ，则
22
2x y x ++的最小值是
26. 已知变量230
,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a 〉0）仅在点(3，0)
处取得最大值，则a 的取值范围为 。

27. 已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）
题型九：实际问题
28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。

现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元,问豆沙月饼与凤梨
月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？
复习――不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习———不等式
1.
②③⑥⑦⑧; 2.
p q >； 3. 当01x <<或43x >时,1+3log x ＞2log 2x ;当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43
x =时，1+3log x ＝2log 2x 4. ∵1>>b a ∴
0lg ,0lg >>b a 2
1=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg( ∴R 〉Q >P 。

5. 6.
{|1x x ≥或2}x =-； 7. (1,1)(2,3)-）
； 8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x ｜—1＜x ＜2}，则a =___—6____, b=__6_____
9.
),2()1,(+∞--∞ ）。

10. 解：当a ＝0时,不等式的解集为{}1x x >； 2分
当a ≠0时，a （x －
a 1）(x －1)＜0；当a ＜0时，原不等式等价于（x －a 1)（x －1)＞0 不等式的解集为11x x x a ⎧
⎫><⎨⎬⎩⎭或; ............................ 6分
当0＜a ＜1时，1＜
a 1，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
； .......... 8分 当a ＞1时，a 1＜1,不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭; ............... 10分 当a ＝1时，不等式的解为φ． .............................. 12分
11.
_____0≤x ＜4________ 12.
12m >-) 13. (],16m ∈-∞
14. 解：（1)y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为［错误!，+∞）
（2）当x ＞0时,y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2；
当x ＜0时， y ＝x ＋错误!= －(－ x －错误!）≤－2错误!=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
15. (1）解5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝
⎭231≤-+= 当且仅当15454x x
-=-,即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

（2)
当
，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8. 16. 解析一：
当，即时,421)591
y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）. 解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++） 当，即t =时，4259y t t
≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）. 17. 24(2)x t t +=≥，则224
y x +2214(2)4x t t t x =+=+≥+ 因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数,故52y ≥
. 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.
18. （条件不等式）
（1）
解： b a 33和都是正数,b a 33+≥632332==⋅+b a b a 当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．
（2） 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当9y x x y =时,上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += （3） 解：x 错误!＝x 错误!＝错误!x ·错误!
下面将x ，错误!分别看成两个因式：
x ·错误!≤错误!＝错误!＝错误! 即x 错误!＝错误!·x 错误!≤ 错误!错误!
（4） 解：法一:a ＝错误!, ab ＝错误!·b ＝错误!
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝错误!＝－2(t ＋错误!）＋34∵t ＋错误!≥2错误!＝8 ∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 错误!当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二:由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥2错误! ∴ 30－ab ≥2错误!
令u ＝错误! 则u 2＋2错误!u －30≤0， －5错误!≤u ≤3错误!
∴错误!≤3错误!，ab ≤18，∴y ≥错误!
19.
已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 20. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1,求证：（1－a ）（1－b ）（1－c )≥8abc
21. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
证明：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴1121a b c bc a a a -+-==≥。

同理121ac b b -≥，121ab c c -≥。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1112221118bc ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当且仅当13a b c ===时取等号。

22. 解： 若设污水池长为x 米，则宽为
（米） 水池外圈周壁长：
（米） 中间隔墙长: （米）
池底面积：200（米2）
目标函数:
≥
23. 4
24. )21,3(--
25. 1
26. ),21
(+∞ .
27. 5
解：设一盒內放入x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为z 元
则x ，y 必须满足，
目标函数为z ＝15x ＋10y
在可行区內的顶点附近z ＝f （ x ，y ） 的最大值,
所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元.。