高考数学备考学案(文科)能力提升课基本不等式
高考数学《基本不等式》专题复习教学案
高考数学《基本不等(Deng)式》专题复习教学案a ＋b 2≤ab 本不等式(Ji)一、基【知(Zhi)识梳理】 .>0b >0，a 1．基本不等式成立(Li)的条件： 时取等号．b ＝a 2．等号(Hao)成立的条件：当且仅当 二、几个重要的不等式)．R ∈b ，a (a2＋b22≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2)；R ∈b ，a (2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤ab 同号)．b ，a (2≥a b＋b a )；R ∈b ，a (ab 2≥2b ＋2a 三、算术平均数与几何平均数两个正数的算，基本不等式可叙述为：ab ，几何平均数为a ＋b2的算术平均数为b ，a >0，则b >0，a 设术平均数不小于它们的几何平均数． 四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：.(简记：积定和最小)p 有最小值是2y ＋x 时，y ＝x ，那么当且仅当p 是定值xy (1)如果积 .(简记：和定积最大)p24有最大值是xy 时，y ＝x ，那么当且仅当p 是定值y ＋x (2)如果和 【基础自测】1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为________解析： ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案：[2，＋∞)2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为_______解析： ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为_______解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则(Ze)2x ＋5y≥210xy ＝2，故(Gu)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当(Dang)且仅当(Dang)2y ＝5x 时(Shi)取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a2＋b22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．【考点探究】考点一利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是_______ [解] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.【一题多变】本例(2)条件不变，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x·3y，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．【由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．【以题试(Shi)法】1．(1)当(Dang)x ＞0时(Shi)，则(Ze)f (x )＝2xx2＋1的最大(Da)值为________． (2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18. 即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.考点二 多元均值不等式问题【例2】设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y2xz ＝x2＋9z2＋6xz 4xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y2xz取得最小值3.【以题试法】若且,求的最小值 .考点三 基本不等式的实际应用 【例3】 (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设(She)在第一象限有一飞行物(忽略其(Qi)大小)，其(Qi)飞行高度为(Wei)3.2千(Qian)米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．【由题悟法】 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.【以题试法】2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且(Qie)仅当x ＝30时，等(Deng)号成立)，∴a ≥10.2. 因此当(Dang)该商品明年的销售量a 至少(Shao)应达到(Dao)10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【巩固练习】1．函数y ＝x2＋2x －1(x >1)的最小值是_______解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x2＋2x －1＝x2－2x ＋2x ＋2x －1＝x2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －13x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．2．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于_______解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－a ＋b 2ab ，而a ＋b 2ab ＝b a ＋ab ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－a ＋b 2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4. 3.求函数的值域. 解：令，则2254x y x +=+因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性.因为在区间单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故.所以，所求函数的值域为.4、求函数的最小值.解析：21(1)2(1)y x x x =+>-，当且(Qie)仅当即(Ji)时(Shi)，“=”号成立，故此函数最小(Xiao)值是. 5.求(Qiu)函数的最大值 解：，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是16.已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 解：x ·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋122 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342 7.已知a>b>0,求a+的最小值.8．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.9．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，(1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x －x 的最小值．解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a28. (2)y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a2.10．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由(You)题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9xy＝19＋62，当(Dang)且仅当2y x ＝9xy，即(Ji)9x 2＝2y 2时取等(Deng)号，故x ＋2y 的(De)最小值为19＋62. 11．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围；(2)求x ＋y 的取值范围． 解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x2＋30x x ＋2＝－x2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值范围是(0,18]．(2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．。
高考文科数学不等式复习教案
2019届高考文科数学不等式复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2019届高考文科数学不等式复习教案，希望能给大家带来帮助!新课标——回归教材不等式1、不等式的性质:名称不等式名称不等式对称性(充要条件)传递性可加性(充要条件)同向不等式可加性:异向不等式可减性:可乘性同向正数不等式可乘性:异向正数不等式可除性:乘方法则开方法则倒数法则常用结论(充要条件)注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据.典例:1)对于实数中,给出下列命题:① ;② ;其中正确的命题是②③⑥⑦⑧ .2)已知, ,则的取值范围是;3)已知,且则的取值范围是.2、不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法;(8)图象法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.典例:1)设,比较的大小答案:①当时, (在时取“=”);②当时, (在时取“=”);2)已知,试比较的大小.( 答: )3)设, , ,试比较的大小(答: );4)比较1+ 与的大小.答:当或时,1+ > ;当时,1+ < ;当时,1+ =5)若,且,比较的大小.(答: )3.利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”.典例:1)下列命题中正确的是( B )A. 的最小值是2B. 的最大值是C. 的最小值是2D. 的最小值是;2)若,则的最小值是;3)已知,且,则的最小值为18;变式①:已知,则的最小值为18 ;②:已知,且,则的最大值为1 ;③:已知,且,则的最小值为9 ;4.常用不等式有:(1) 当时取=号)(2) 当时取=号)上式从左至右的结构特征为:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“积两倍”.(3)真分数性质定理:若,则(糖水的浓度问题).典例:若,满足,则的取值范围是¬ .5、证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法.比较法的步骤是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小,然后作出结论.)常用的放缩技巧有: (右边当时成立)典例:1)已知,求证: ;2)已知,求证: ;3)已知,且,求证: ;4)若是不全相等的正数,求证: ;5)若,求证: ;6)求证: .6.常系数一元二次不等式的解法:判别式-图象法步骤:(1)化一般形式: ,其中;(2)求根的情况: ;(3)由图写解集:考虑图象得解.典例:解不等式.(答: )注:解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程,从中我们不难看出“三个二次”关系是核心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无穷大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点).典例:若关于的不等式的解集为,解关于的不等式.(答: )7.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回);(3)根据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集.典例:1)解不等式.(答: 或);2)不等式的解集是;3)设函数、的定义域都是,且的解集为, 的解集为,则不等式的解集为;4)要使满足关于的不等式(解集非空)的每一个的值至少满足不等式和中的一个,则实数的取值范围是.8.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.典例:1)解不等式(答: );2)关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为.注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.9.绝对值不等式的解法:(了解)(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)典例:解不等式;(答: );(3)利用绝对值的定义;(3)数形结合;典例:解不等式;(答: )(4)两边平方典例:若不等式对恒成立,则实数的取值范围为10、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.”注意:①解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是…”.②按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.典例:1)若,则的取值范围是;2)解不等式.(答: 时, ; 时, 或; 时, 或)含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.一般地,设关于的含参数的一元二次形式的不等式为: .(1)第一级讨论:讨论二次项系数是否为零;(2)第二级讨论:若时,先观察其左边能否因式分解,否则讨论的符号;(3)第三级讨论:若时,先观察两根大小是否确定,否则讨论两根的大小.注意:每一级的讨论中,都有三种情况可能出现,即“>”,“=”,“<”,应做到不重不漏.典例:1)解关于的不等式.答:①当时, ;②当时, ;③当时, ;④当时,⑤当时,2)解关于的不等式.答:①当时, ;②当时,③当时, ;④当时, ;⑤当时,提醒:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方式?常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法.1).恒成立问题★★★若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上典例:1)设实数满足,当时, 的取值范围是;2)不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围;3)若对满足的所有都成立,则的取值范围;4)若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的取值范围是5)若不等式对恒成立,则的取值范围2).能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.注意:若方程有解,则等价于典例:1)已知在实数集上的解集不是空集,求实数的取值范围2)已知函数的定义域为.①若,求实数的取值范围.(答: )②若方程在内有解,求实数的取值范围.(答: )3). 恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为;若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.12..简单的线性规划问题:(1)二元一次不等式(组)表示平面区域这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
高三数学 基本不等式复习学案
某某省德宏州梁河县第一中学高三数学 基本不等式复习学案【复习目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【课前学习】（一）基础知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________ (a ，b ∈R)．(2)b a ＋a b≥____(a ，b 同号)． (3)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2 (a ，b ∈R)． (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a2＋b22. 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，x ＋y 有最____值是________(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当________时，xy 有最____值是__________(简记：和定积最大)．(二)练习1．“a>b>0”是“ab<a2＋b22”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2011·某某月考)已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系是( )A ．A≤B≤CB ．A≤C≤BC ．B≤C≤AD ．C≤B≤A3．下列函数中，最小值为4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x<π) C ．y ＝ex ＋4e －xD ．y ＝log3x ＋logx814．(2011·某某月考)设函数f(x)＝2x ＋1x－1(x<0)，则f(x)有最________值为________． 5．(2010·某某)若对任意x>0，x x2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围为________________． 【例题与变式】例题： (1)已知x>0，y>0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值； (2)已知x<54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．变式： (2011·某某)已知a>0，b>0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72B ．4C.92D ．5例题：已知a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b )≥9.变式：已知x>0，y>0，z>0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.【目标检测】:另附页【小结】【课后巩固】：见步步高229页练出高分A 组 目标检测:1．设a>0，b>0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为() A ．8 B ．4 C ．1 D.142．已知a>0，b>0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．5。
《高三数学总复习------基本不等式》教学设计
《高三数学总复习------基本不等式》教学设计一、教材的地位与作用本节课内容是在复习了不等关系与不等式性质基础上展开的，起着承上启下的作用，是解决函数最值问题和实际生活问题的一个重要工具。
二、 学情分析学生已经复习了不等式的一些知识以及平面解析几何的基本知识，因此，复习、巩固本节课内容不是很难，但是，学生在使用基本不等式解决最值问题时，往往会忽略了基本不等式使用的条件------一正、二定、三取等号，务必在教学中要重点解决。
三、 教学重难点1、 重点：基本不等式使用的条件。
2、 难点：利用基本不等式解决实际问题。
四、教学过程：（一）知识点回顾1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：___________. (2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．常用的几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥_____(a ，b ∈R)； (2)ab ____(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)； (3)a 2＋b 22 _____(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)； (4)b a ＋a b ≥____(a ，b 同号且不为零)．3．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为______，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有______值是______.(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有________（二）课前热身设计意图：回顾旧知，激发学生的学习兴趣。
（三）考点突破考点1 利用基本不等式求最值例1、跟踪训练1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．已知x ，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( ) A.14 B.18 C.12 D.116 3．(2011·高考上海卷)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b ＞2ab D.b a ＋a b ≥2 4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为_______；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________． 5．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，最大的一个矩形的面积为________．(1)已知x ＞1，求f (x )＝x ＋1x －1的最小 值； (2)已知0＜x ＜25，求y ＝2x －5x 2的最大值； (3)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值． 1．(1)已知x <0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为__________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为__________； (3)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为考点2利用基本不等式解决实际问题例2、跟踪训练设计意图：通过基本不等式在例题中的应用，让学生进一步掌握基本不等式的内涵与外延，并通过跟踪训练，让学生熟练应用知识点解决最值问题和实际问题。
高三数学基本不等式教案.doc
一、教学目标：
1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；
3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；
4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式
2
a b
+≤ 的证明过程；
2
a b
+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大
(小)值问题。
三、教学方法：启发、探究式相结合
四、教学工具：多媒体课件
五、教学基本流程：
六、教学过程。
高三数学一轮复习 《基本不等式》教案 大纲人教版
规律总结：练习：1.已知y x ,为正实数，且,12=+y x 求y x 11+的最小值. 2. （2010重庆7）已知x >0，y >0,x +2y +2xy =8，则x +2y 的最小值是 .A. 3B. 4C. 29D. 1122.基本不等式的实际应用【例3】如图动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（1）现有可围36 m 长钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长度最小？达标练习 1.函数()43f x x x=++在(],2-∞-上 . A.无最大值，有最小值7 B.无最大值，有最小值-1C.有最大值7，有最小值-1D.有最大值-1，无最小值-12.（2010四川11）设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 . （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43.(2009天津)设0,>b a ，若3是ba 33与的等比中项，则b a 11+的最小值为 . 4.若a 、b 、c 为正实数，且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 .5. 函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 6.设正数y x ,满足1222=+y x ，则21y x +的最大值为 . 课堂小结 （1） （2） 作业1、已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,ybx a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 2、（2009湖北）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
2020年高考一轮复习：7.3基本不等式及应用教案
7.3基本不等式及应用一、复习目标1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、课时安排 1课时三、复习重难点1.基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 四、教学过程 （一）知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).（二）题型、方法归纳1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.（三）典例精讲 考点一 配凑法求最值【例1】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知x 为正实数且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值；(3)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值.解 (1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (2)因为x ＞0，所以x 1＋y 2＝2x 2⎝⎛⎭⎫12＋y 22≤2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 222，又x 2＋⎝⎛⎭⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎫x 2＋y 22＋12＝32，所以x 1＋y 2≤ 2⎝⎛⎭⎫12×32＝324， 即(x 1＋y 2)max ＝324. (3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0； 当t ＞0，即x ＞1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值).规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】 (1)设0＜x ＜52，则函数y ＝4x (5－2x )的最大值为________.(2)设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为________.解析 (1)因为0＜x ＜52，所以5－2x ＞0，所以y ＝4x (5－2x )＝2×2x (5－2x ) ≤2⎝⎛⎭⎫2x ＋5－2x 22＝252，当且仅当2x ＝5－2x ，即x ＝54时等号成立，故函数y ＝4x (5－2x )的最大值为252.(2)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0， 所以y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2（x ＋1）×4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立，故函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为9.答案 (1)252(2)9考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)已知x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________.(2)(2016·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)(常数代换法)因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y ) ＝10＋8y x ＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18， 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .法一 (消元法)因为x ＞0，y ＞0，所以0＜y ＜3， 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6， 当且仅当121＋y ＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立. 设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0， 又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)18 (2)6规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245B.285C.5D.6(2)(2016·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.54(3)设x ，y 为实数. 若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y 5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝⎛⎭⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)， ∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2.(3)依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105， 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105. 答案 (1)C (2)C (3)2105考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤7 60002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时.(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1900＝100辆/时.答案 (1)1 900 (2)100规律方法 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.【训练3】 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解析 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C.答案 C （四）归纳小结1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等.（五）随堂检测1.(2016年高考上海卷理)设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则ba +的取值范围是_________.【答案】2+∞（，）2.若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.a 2＋b 2＞2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋ab≥2 解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a ＜0，b ＜0时，明显错误.对于D ，∵ab ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 答案 D3.若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 答案 C4.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.4解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.答案 C5.(人教A 必修5P100A2改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.答案 15152五、板书设计1.基本不等式：ab ≤a ＋b22.几个重要的不等式.3.利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).六、作业布置课时作业第七章第三节以及预习第八章第一节 七、教学反思1.“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误.2.有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，连续使用此定理要切记等号成立的条件要一致.。
第05讲 基本不等式(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
第05讲基本不等式（10类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”2.能正确处理常数“1”求最值3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
1．基本不等式如果0,0a b ³³，那么2a b+³（当且仅当 时取“=”）.说明：①对于非负数,a b ，我们把2a b+称为,a b 的 ，称为,a b 的 .②(0,0)2a ba b +£³³称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.③“当且仅当a b =时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有2a b+=；另一方面当 时，有a b =.④ 结构特点：和式与积式的关系.2．基本不等式求最值（1）设x ，y 为正数，若积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值 （简记为：积定和最小）.（2）设x ，y 为正数，若和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2（简记为：和定积最大）.3．几个重要不等式（含基本不等式链）（1）22a b +³ （,a b ÎR ）；（2）2a b+³ （,a b ÎR ）；（3）a bb a+³ （,a b 同号）；（4）ab £或ab £（,a b ÎR ）；（5³³³()2,,,011a b a b a bÎ>+R1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．22．（2024·全国·模拟预测）若0,0,321x y x y >>+=，则84x y +的最小值为（ ）AB．C．D．1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a 、b 满足41a b +=，则ab 的最大值为 ．2．（2024·云南·模拟预测）已知正数,x y 满足4x y +=，则14y x -的最小值为.1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x y yx +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．6D ．32．（2024·河南·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为．1．（2024·安徽·三模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则2y xxy +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．1D ．12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为.3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（ ）A ．32B ．C ．32D ．31．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．2+D ．3+2．（2024高三·全国·专题练习）若函数()()133f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则=a ．3．（2024·江西赣州·二模）已知0y x >>，则42y x y x x y--+的最小值为 .1．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是 ．2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是 ．1．（2022高三上·全国·专题练习）已知0，>x y ，求44x yx y x y+++的最大值.2．（2023·全国·模拟预测）已知1a >，12b >，121121a b +=--，则11a b+的最大值为 ．1．（2020·甘肃兰州·二模）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为 .2．（2024·浙江·模拟预测）已知0a >，0b >，若222112a ab b ab+=++，则ab 的最大值为（ ）A．2B．2C．4+D．4-1．（2023高三·全国·专题练习）函数 ()()2230x x f x x x++=<的最大值为.2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数0k >，则3223333141422k kk k +æöæö++ç÷ç÷èøèø的最大值为 ．1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数233()=21x f x x x --+在(1,)+¥上的最大值为．2．（2023高三·全国·专题练习）当1x >-时，求函数2231x x y x ++=+的最小值.1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x ，y ，z 均为正实数，则2222443xy yzx y z +++的最大值是 ．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数,,a b c ，满足1b c +=，则28161ab a bc a +++的最小值为 .1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数,,a b c 满足2a b c +³，则2b a a b c++的最小值为.2．（2023·江西·一模）已知a ，b ，c 是正实数，且b c +=，则2281ac a bc a +++最小值为 .1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若2e e x y =，则x y -的最小值为（ ）A ．12B C ．1D ．5ln 242．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是 .3．（2023·江西·二模）实数a ，0b >，满足：3379a b ab ++=，则a b +的范围是（ ）A ．72,3æöç÷èøB ．72,3éö÷êëøC ．(D ．éë1．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，且32ab =，则24a b b +的最小值为 ．2．（2024·浙江绍兴·三模）若,,0x y z >，且2224x xy xz yz +++=，则22x y z ++的最小值是 ．3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是．1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知3x ">，13x m x +³-恒成立，则实数m 的取值范围是 ．2．（2023高一上·全国·专题练习）已知,(1,2)x y Î且3x y +=，若1222a x y y x+³--恒成立，则实数a 的范围是．3．（2023·广东湛江·二模）当x ，()0,y Î+¥时，422422417424x x y y mx x y y ++<++恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()25,+¥B ．()26,+¥C ．99,4æö+¥ç÷èøD ．()27,+¥1．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y £+++恒成立，则实数a 的取值范围是 ．2．设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +³--恒成立，则m 的最大值为 （ ）A ．8B ．16C ．D ．3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --+--≤恒成立，则实数k 的最大值为（ ）A ．12B ．24C ．D ．1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若()11,ln ,ln ln ,22a b a b x y a b z +>>==+= ）A ．x z y <<B ．y z x <<C ．z x y<<D ．z y x<<2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数,,a b c 满足2112a b c ++=.(1)若2a =，求b c +的最小值；(2)证明：1113224a b a c b c ++<+++.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知,,a b c 为正数，且1111abc++=.证明：(1)222a b c abc ++³；£.1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数,,a b c 满足a b c <<且0abc <，则下列不等关系一定正确的是（ ）A ．ac bc<B ．ab ac<C ．2b c c b+>D ．2b a a b+>2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=．(1)若222122a b c ++=，求证：205a ££；(2)若a ，b ，()0,c Î+¥，求证：22211112a b c a b c ++³---．3．（2024·青海·一模）已知正数,,a b c 满足2a b c ++=．求证：(1)22243a b c ++³；6£．1．（2024·全国·模拟预测）若实数a ，b 满足223345a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．1ab <B ．25ab ³-C ．222a b +³D ．a b £+£2．（2024·河北保定·二模）已知22421a b ab ++=，则（ ）A ．ab 的最大值为16B ．224a b +的最小值为57C ．224a b +的最大值为2D ．ab 的最小值为13-3．（2024·浙江·二模）已知正实数,,a b c ，且,,,a b c x y z >>为自然数，则满足0x y z a b b c c a++>---恒成立的,,x y z 可以是（ ）A ．1,1,4x y z ===B ．1,2,5x y z ===C ．2,2,7x y z ===D ．1,3,9x y z ===1．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且142a b+=，则下列说法正确的是（ ）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D 的最小值为2．（2024·广东广州·模拟预测）已知(),,a b c a b c <<ÎR ，且230a b c ++=，则下列结论成立的是（ ）A ．0a c +<B ．2c aa c +<-C ．存在a ，c 使得22250a c -=D ．212b c a c +<-+3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数,x y 满足22421x y xy +-=，则（ ）A ．21x y +£B ．22x y +³-C ．2242x y +£D ．2241x y +³一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O 为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（ ）A ．49B C ．79D ．1二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >，且1x y +=，则（ ）A ．122x y ->B ．22log log 2x y +£-CD ．2212x y +³4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知0a >，0b >，且4a b +=，则（ ）A ．24a b +>B ．()()111a b -->C ．22log log 2a b +³D ．28a 三、填空题5．（2024·上海奉贤·三模）若1ab +=，则ab 有最大值为 ．6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是 ．7．（2024·天津·模拟预测）若0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b æöæö++ç÷ç÷èøèø的最小值为8．（2024·河南·模拟预测）已知向量()(),,0a m n m n =>r ，()1,2b =r ，若1a b ×=r r ，则14m n +的取值范围为 ．9．（2024高三·全国·专题练习）若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为 ．10．（2024·广东·三模）设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t £££££，则x zy t+的最小值为 .一、单选题1．（2024·北京顺义·三模）设,1x y ³，1a >，1b >.若3x y a b ==，a b +=11x y+最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．122．（2024·江苏盐城·模拟预测）sin 的最小值为（ ）A ．12-B ．C ．D ．34-3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知1m >，0n >，220m m n -+=，若不等式11mm nλ+³-恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．（2024·广西·模拟预测）已知,(,0)a b Î-¥，且45a b ab +=-，则ab 的取值范围为（ ）A ．[25,)+¥B ．[1,)+¥C ．(]0,5D ．(]0,1二、填空题5．（2024·上海·三模）已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数x ，y 满足24ln 2ln 44x y x y +³+-，则xy =.7．（2024·河北·三模）已知函数()lg f x x =，若()()()f a f b a b =¹，则当23a b ×取得最小值时，ab= ．8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x ，y 满足2441y y xy x ++=，则13x y x+-的最小值为 ．9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数,a b 满足221a ab b -+=，则ab 的最大值为 ；221111a b +++的取值范围为 ．三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数,x y 满足2,23x y >>，不等式229232+³--x y m y x 恒成立，求m 的最大值．1．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ）A ．1x y +£B ．2x y +³-C ．222x y +£D ．221x y +³3．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C p=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+5．（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．66．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为 ．7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ）A ．2212a b +³B ．122a b ->C ．22log log 2a b +³-D +£8．（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为 ．9．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是．。
高中基本不等式教案
高中基本不等式教案教案标题：高中基本不等式教案教案目标：1. 理解基本不等式的概念和性质。
2. 掌握解决基本不等式的方法和技巧。
3. 能够在实际问题中应用基本不等式解决相关的数学问题。
教学重点：1. 基本不等式的定义和性质。
2. 解决基本不等式的方法和技巧。
教学难点：1. 运用基本不等式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：a. 确保对基本不等式的定义、性质、解决方法和技巧有充分的理解。
b. 准备一些例题和练习题，以便在课堂上进行演示和讲解。
c. 准备相关的教学资源，如教材、课件等。
2. 学生准备：a. 每位学生准备一本笔记本和写字工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师可以通过提问的方式引入基本不等式的概念，例如：“你们知道什么是不等式吗？不等式在数学中有什么作用？”2. 引导学生回忆并复习之前学过的不等式知识，如大于、小于、大于等于、小于等于等。
二、概念讲解（10分钟）1. 教师简要介绍基本不等式的概念和性质，包括不等式的符号表示、不等式的解集表示等。
2. 教师通过示例向学生展示基本不等式的解法和解集的表示方法。
三、解决基本不等式的方法和技巧（15分钟）1. 教师通过具体的例题和练习题，向学生讲解解决基本不等式的方法和技巧，如加减法变形、乘除法变形、绝对值法等。
2. 教师引导学生在解题过程中注意步骤和思路，并解答学生提出的疑问。
四、练习与巩固（15分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行解答。
2. 教师鼓励学生积极参与，提供解题思路和方法的指导。
五、应用实例（10分钟）1. 教师通过实际问题，引导学生运用基本不等式解决相关的数学问题。
2. 教师鼓励学生自己思考和解决问题，并与同学分享解题思路。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调基本不等式的重要性和应用价值。
2. 教师鼓励学生进一步拓展基本不等式的知识，如高阶不等式等。
七、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的作业，要求学生独立完成。
《不等式的基本性质(第2课时)》学案
4.2 不等式的基本性质第2课时不等式的基本性质2、3一、学习目标1.掌握并能熟练应用不等式的基本性质进行不等式的变形（重点）；2.理解不等式的基本性质与等式基本性质之间的区别与联系（难点）．二、自主学习：阅读课本135—136页1.仿照不等式基本性质1说出不等式的其他两个性质．①自已写一个不等式分别在它的两边都乘(或除以)同一个正数或负数，看看是否有相同的结论?2．不等式还有下面的基本性质：(1)不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．即：如果a>b．c>0，那么ac>bc．且ac >bc(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向改变．即：如果a>b．c<0，那么ac<bc，且ac <bc三、合作探究1．用“>”或”<”号填空．(1)已知a>b．则3a________3b．(2)巳知a>b，则-a________-b．(3)已知a>b，则-a+2________-b+2．2．小明在不等式－1<0的两边都乘－1．得1<0!错在哪里?四、基础演练1.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？①x-6＞y-6 ②3x＞3y ③-2x＞-2y ④2x+1＞2y+12. 设a>b,用“>”或“<”填空（1）3a 3b ；（2）a/2 b/2（3）-2a -2b（3）a-b______ 0(5) a-8 b-8（6）2a-5 2b-5（7）-3.5a+1 -3.5b+13.将下列不等式化成“x ＞a ”或“x<a ”的形式4.思考 （1）若a ﹤0，ab ﹥0，则b 0（2）若a ﹤ 0，b ﹥0，则a/b 0 321)3(65)2(214)1(≤<->-x x x。
高三数学二轮复习教学案——基本不等式(1)(2)
高三数学二轮复习教学案——基本不等式（1）班级 学号 姓名【基础训练】1．设R y x ∈,，且0≠xy ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222411y x y x 的最小值为_____________。
2．若实数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是_____________。
3．己知0>b ，直线012=++y x b 与02)4(2=++-y b ax 互相垂直，则ab 的最小值为______________。
4．若实数b a ,满足)1(014>=+--a b a ab ，则)2)(1(++b a 的最小值为_____________。
5．若不等式ax x x x ≥-++2222对)4,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
6．不等式011≥-+-+-ac c b b a λ，对满足c b a >>恒成立，则λ的取值范围是________。
7．己知0,,>c b a 且94222=+++bc ac ab a ，则c b a ++的最小值为______________。
【典型例题】8．某厂家拟在2012年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元)0(≥m 满足13+-=m k x （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。
己知2007年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）。
（1）将2012年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2012年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元。
高考数学第一轮复习教案-基本不等式
高三数学一轮复习——10.4 基本不等式一、 课标要求：1.解基本不等式及成立条件.2.能应用基本不等式判断大小求最值.3.应用基本不等式解决实际问题和综合问题.二、 重难点:1. 重点:正确应用基本不等式进行判断和计算.2. 难点:基本不等式的变形应用.三、 教学方法:以启发引导,探索发现为主导.讲解练习为主线.用一题多解,一题多变突出重点,突破难点.以综合应用提高分析解决问题的能力,培养创新能力.四、 教学过程:(一)、学情评估,导入新课:1.下列不等式中不一定成立的是( )A . 222a b ab +≥ B.222()a b a b +≥- C.12a a +≥ D.2212a a+≥ 2.0,0,2m n m n >>+=，则mn 的最大值为 。
3.0,0x y >>，且191x y+=，则x y +最小值是 。
(二)、探求、归纳知识体系：1. 基本不等式：① 222a b ab +≥（,a b R ∈x y =）②a b +≥ (0,0)a b >> ③2b a a b+≥ (0)ab >变形：①222()22a b a b ab ++≤≤ 2a b +≤≤(,)a b R ∈ 2.基本不等式与最值：若,x y R +∈①和定积最大：若x y s +=，则24s xy ≤ （当且仅当x y =时“=”成立）②积定和最小：若xy p =，则x y +≥（当且仅当x y =时“=”成立）注意一：要用此结论需满足三个条件：① ② ③简称：一正二定三相等注意二：条件不足时可通过拆分与配凑创设条件。
（三）基本不等式的应用：例一：设0,0x y >>，且440x y +=，求lg lg x y +的最值变式训练①.若221x y +=，求(1)(1)xy xy -+的最小值。
（变形应用）②.函数y =的最大值为 。
例二：①若0x >，求12()3f x x x =+的最小值。
高三数学一轮复习精品教案4：7.4 基本不等式及其应用教学设计
7.4 基本不等式及其应用『考纲要求』1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．2．考查应用基本不等式解决实际问题．『复习指导』1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练．2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养．『基础梳理』1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b≥ (a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为 ． 4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最 值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最 值是p 24.(简记：和定积最大) 『助学微博』一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 『考向探究』考向一 利用基本不等式求最值『例1』(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．『训练1』 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二 利用基本不等式证明不等式『例2』►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c .『训练2』 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题『例3』若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．『训练3』已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．考向四利用基本不等式解实际问题『例4』某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？『训练4』东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求出f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？答案『基础梳理』1．(1) a ＞0，b ＞0 (2) a ＝b 2．(1)2ab (2) 23．两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．4．(1) x ＝y 小 (2) x ＝y 大『例1』『审题视点』 第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式； 第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式．『解析』 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y时，取等号． (2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 『答案』(1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．『训练1』『解析』 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号． (2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )， ∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0， ∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15. (3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y＝18， 当且仅当4y x ＝x y，即x ＝2y 时取等号， 又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6，∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.『答案』(1)3 (2)15(3)18『例2』 『审题视点』 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．『训练2』证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．『例3』『审题视点』 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a 即可． 『解析』 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞『答案』⎣⎡⎭⎫15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．『训练3』『解析』 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.『答案』10『例4』『审题视点』 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)， 则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．『训练4』解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)． 当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．。
§7.3 基本不等式及不等式的应用(试题部分) 高考数学(课标版,文科)复习教学案
§7.3 基本不等式及不等式的应用探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点基本不等式了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 2019天津,13,5分 用基本不等式求最值 — ★★☆2017山东,12,5分 用基本不等式求最值 直线过定点 2018天津,13,5分用基本不等式求最值代数式的化简求值不等式的应用综合运用不等式的性质、定理,与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题2019江苏,10,5分 不等式的应用 点到直线的距离公式 ★★☆分析解读通过近几年高考题可知,本节内容主要考查了利用基本不等式求最值,在求解过程中,有时需对代数式进行拆分、添项、配凑因式,构造出适合基本不等式的形式;不等式的应用常与函数、数列、向量等综合考查,有时难度较大,分值约占5分.破考点 练考向 【考点集训】考点一 基本不等式1.(2019安徽江南十校第二次大联考,10)已知实数x 满足lo g 12x>1,则函数y=8x+12x -1的最大值为( )A.-4B.8C.4D.0答案 D2.(2018甘肃河西模拟,9)若两个正实数x,y 满足1x +4y =1,且不等式x+y 4<m 2-3m 有解,则实数m 的取值范围为( ) A.(-1,4) B.(-∞,-1)∪(4,+∞) C.(-4,1) D.(-∞,0)∪(3,+∞)答案 B3.(2018湖北荆州一模,14)已知实数a>0,b>0,√2是8a与2b的等比中项,则1a +2b的最小值是 .答案 5+2√6考点二 不等式的应用1.(2018河南八校第一次测评,15)已知等差数列{a n }中,a 3=7,a 9=19,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S n +10a n +1的最小值为 .答案 32.(2018甘肃通渭模拟,15)如图,在三棱锥P-ABC 中,PA 、PB 、PC 两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M 是底面ABC 内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m 、n 、p 分别是三棱锥M-PAB 、三棱锥M-PBC 、三棱锥M-PCA 的体积.若f(M)=(12,x,y),且1x +a y≥8恒成立,则正实数a 的最小值为 .答案 1炼技法 提能力 【方法集训】方法1 利用基本不等式求最值1.(2018山西第一次模拟,5)若P 为圆x 2+y 2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA|+|PB|的最大值为( ) A.2B.2√2C.4D.4√2答案 B2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,5)已知正项等比数列{a n }的公比为3,若a m a n =9a 22,则2m +12n的最小值等于( ) A.1B.12C.34D.32答案 C方法2 不等式的综合应用1.(2018天津六校期中,14)定义在R 上的运算“*”为x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1对一切实数x 恒成立,则实数y 的取值范围是 . 答案 (-12,32)2.(2020届贵州凯里质量检测,15)已知不等式ax 2+bx+c<0的解集为{x|2<x<3},则b+c+25a+2的最小值为 .答案 83.(2018广西南宁二中月考,18)已知不等式mx 2-2x-m+1<0. (1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m 的取值范围;(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立,求x 的取值范围. 答案 (1)当m=0时,1-2x<0,解得x>12,则当x>12时不等式恒成立,不满足条件. 当m ≠0时,设f(x)=mx 2-2x-m+1,由于f(x)<0恒成立,所以{m <0,4-4m(1-m)<0,解得 m ∈⌀.综上可知,不存在这样的m,使不等式恒成立,即m ∈⌀.(2)由题意得-2≤m ≤2,设g(m)=(x 2-1)m+(1-2x), 则g(m)<0,故有{g(-2)<0,g(2)<0,即{-2x 2-2x +3<0,2x 2-2x -1<0,解之得-1+√72<x<1+√32,所以x 的取值范围为{x |-1+√72<x <1+√32}.【五年高考】自主命题·省(区、市)卷题组考点一 基本不等式1.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .答案922.(2018天津,13,5分)已知a,b ∈R ,且a-3b+6=0,则2a+18b 的最小值为 .答案143.(2017山东,12,5分)若直线x a +y b=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . 答案 8考点二 不等式的应用1.(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m 2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m 2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( ) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz答案 B2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案 303.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P 到直线x+y=0的距离的最小值是 . 答案 4教师专用题组考点一 基本不等式1.(2015福建,5,5分)若直线x a +y b=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b 的最小值等于( ) A.2B.3C.4D.5答案 C2.(2015湖南,7,5分)若实数a,b 满足1a +2b=√ab ,则ab 的最小值为( ) A.√2B.2C.2√2D.4答案 C3.(2014重庆,9,5分)若log 4(3a+4b)=log 2√ab ,则a+b 的最小值是( ) A.6+2√3 B.7+2√3 C.6+4√3 D.7+4√3答案 D4.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0.则当zxy取得最小值时,x+2y-z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94答案 C5.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,则x+y 的取值范围是( ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]答案 D6.(2015山东,14,5分)定义运算“⊗”:x ⊗y=x 2-y 2xy(x,y ∈R ,xy ≠0).当x>0,y>0时,x ⊗y+(2y)⊗x 的最小值为 .答案 √27.(2015重庆,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值为 . 答案 3√28.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+b 2-c=0且使|2a+b|最大时,1a +2b +4c的最小值为 .答案 -19.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则12|a|+|a|b的最小值为 .答案3410.(2013四川,13,5分)已知函数f(x)=4x+a x(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= . 答案 3611.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a 2+b 2+c 2=1,则a 的最大值是 . 答案 √63考点二 不等式的应用1.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元 答案 C2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m 的取值范围是 .答案 (-√22,0)【三年模拟】时间:30分钟 分值:50分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(命题标准样题,5)设正数m,n 满足4m +9n=1,则m+n 的最小值为( ) A.26B.25C.16D.9答案 B2.(2020届安徽南陵质量检测,7)若a>0,b>0,a+2b=1,则1a +a+1b的最小值为( )A.4B.5C.6D.7答案 D3.(2019安徽宣城第二次调研,9)已知双曲线x 2m -y 2n=1(m>0,n>0)和椭圆x 25+y 22=1有相同的焦点,则4m +1n的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5答案 B4.(2020届安徽包河检测,6)已知正数a,b 满足a+b=3,则1a +4b+1的最小值为( )A.94B.3415 C.73D.92答案 A5.(2018河南安阳调研,5)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1x +13y的最小值是( )A.2B.2√2C.4D.2√3答案 C6.(2020届河南濮阳第二次检测,9)已知a>2,b>2,则a 2b -2+b 2a -2的最小值为()A.2B.4C.6D.16答案 D7.(2020届黑龙江道里检测,10)设a,b,c,d 均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a 2+b 2+m 的最小值为( ) A.8 B.4+2√3C.5+2√3D.4√3答案 B二、填空题(共5分)8.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x 的不等式x+4x -a≥5在x ∈(a,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为 .答案 1三、解答题(共10分)9.(2020届安徽铜陵铜官检测,20)已知a,b ∈(0,+∞),a(1-b)=b(a-1),f(x)=|2x+1|+|x-2|.(1)求a 2+b 2的最小值;(2)若对任意a,b ∈(0,+∞),都有f(x)≤4(a 2+b 2),求实数x 的取值范围. 答案 (1)∵a(1-b)=b(a-1),∴a+b=2ab, ∵a,b∈(0,+∞),∴12a +12b=1, ∴a 2+b 2=(a 2+b 2)(12a +12b )2=14[2+b 2a 2+a 2b2+2(ba +ab )]≥14(2+2√b 2a2·a 2b2+2×2√b a ·a b)=2.当且仅当b 2a 2=a 2b2且b a =a b,即a=b=1时取等号. ∴a 2+b 2的最小值为2.(2)由(1)知,(a 2+b 2)min =2,∵对任意a,b ∈(0,+∞),都有f(x)≤4(a 2+b 2), ∴f(x)≤8,即|2x+1|+|x-2|≤8.当2x+1<0时,-2x-1-x+2≤8,解得-73≤x<-12;当2x+1≥0且x-2≤0时,2x+1-x+2≤8,解得-12≤x ≤2; 当x-2>0时,2x+1+x-2≤8,解得2<x ≤3. 综上,实数x 的取值范围是[-73,3].。
高考数学一轮复习 第二章 不等式 课时5 基本不等式学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学学案
课时5 基本不等式（课前预习案）班级： 姓名：一、高考考纲要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值.基本不等式是历年高考重点考查的内容，题目涉及比较大小、证明不等式、求函数值域、最值、解决恒成立等问题，渗透到各种数学知识中 .应用基本不等式的关键是注意等号成立的条件“一正、二定、三相等”，应用时缺一不可。
二、高考考点回顾⒈正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．⒉基本不等式是 。
其中前者是 ，后者是⒊在基本不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．⒋试根据基本不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 ( ) （2）2b a + （ ） （3）a b ＋ba （ ） （4）x ＋x1 (x>0) （5）x ＋x 1 (x<0) （6）ab ≤ （ ）⒌在用基本不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．三、课前检测1.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ） A.245 B. 285 C.5 D.62.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a<b ），其全程的平均时速为v ，则 （ ）<v<2a b + D.v=2a b +3.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件4. 设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （ ）A 、2ab a b <<<B 、2a b a b +<<<C 、2a b a b +<<<D 2a b a b +<<< 5.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是___________________________.课内探究案班级： 姓名：考点一 利用基本不等式证明不等式【典例1】 已知0>a ，0>b ，1=+b a 。
高考数学复习专题系列学案：基本不等式对勾函数
基本不等式与对勾函数b、对勾函数y = ax • b (a . 0,b .0)的图像与性质x性质： 1.定义 '*_f(x) =aj+ —>C.A A 0) 当孟a 0*. == 3 + —2石瓦f 当 且仅当站=—)」AX当孟= —(iix + —｝台 2-Jab,X所臥得到血点坐标A (£.2加)』,_2石咬一41 I I 1*iI I i i| I I5-—_—M —— —三 <_ — ■. ■■ ■■ ■ ■“ ■ ■■ tM' — —' "W— ■* ~ — 1(-=,0) (0,二)2. 值域：(-：：,-2 . ab) (2、ab,：：)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 f(x) f(-x) =0 4. 图像在一、三象限当x =0时，由基本不等式知 yuax + PzzJab (当且仅当x = J 匕取等号)，xV a由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= — 时，取最大值 -^ab\ a一、对勾函数的变形形式 类型一：函数y =ax • b (a ：：： 0, b ：：： 0)的图像与性质 x此函数与对勾函数 y =(-a)x • J?关于原点对称，故函数图像为x即f (x)在x=—时，取最小值a2 . ab5.单调性：增区间为( 减区间是(0，性质: 类型二：斜勾函数y = ax • b (ab ：：： 0)xf(x)二2ax bx c(ac 0)此类函数可变形为cc f(x)二ax b ，贝y f(x)可由对勾函数 y 二ax上下平移得到xx性质： ②a 0,b . 0作图 如下： 类型三：函数例1作函数f (x) x2 x 1的草图解：f(x)二匚x1f(x)=x 1作图如下:x类型四：函数f(x)=x・a(a 0,k") x k此类函数可变形为a t af(x)=(x，k )-k ,则f (x)可由对勾函数y = x 左右平移,x上下平移得到例2作函数f (x)的草图x -2解：f (x) 例3作函数f(x)=x-2 12作图如下:x — 2=xx -2x 3x 2x 3x「f(x)二x的作图:x 2 1 1 1 f (x) x=1 x=x 2 1 x+2 x+2 x+21 练习：1.求函数f(x) =x 在(2/ ::)上的最低点坐标2x —4 解：f (x)X2.求函数f(X )= X的单调区间及对称中心X —1a.若a • 0 ,则f (x)的单调性和对勾函数 y = x •巴的单调性相反，图像如下: x1 .定义域：(一匚片•：：)由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= - b 时，取最小值-—a _2Jb5.单调性：减区间为( Jb, +30 ), (一00，-Jb )增区间是[- b, b]类型五： ax函数 f (X )二 2(a = 0,b . 0)f (x)二x 2 b3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈 中心对称，即f(x) f (-x) =04.图像在一、三象限 当x 0时，由基本不等式知f (x) V ——a 二a (当且仅当X 二• b 取等号2"： 2"即f (x)在x - b 时，取最大值a2“b此类函数定义域为R ，且可变形为性质:3当 x=1 时，f(x)二X-12(x —1)23(xT) 4 (X-1)3(xT) 4 x 〔4x — 1问：若区间改为［4,则f (x)的最大值为2x 7x 10类型七：函数f(x)2x max +bx+cx 1x例4作函数f(x)二—X x 解：f(x)二: x +1 11 x - xb.若acO ,作出函数图像： 2x r 的草图 x 2 4 例5作函数f (x)二类型六：函数 f (x)二 ax bx c(a = 0) x 十m 2 此类函数可变形为f(xH a(X m) S(X m)=a(x m) —t — s(at 0)x+ m则f (x)可由对勾函数 y 二ax •丄左右平移，上下平移得到 xx 2+x +1 1 例6说明函数f(x) 由对勾函数y=x 如何变换而来 ■ x 解：f(x)= (x 1)2 -(x 1) ^x . 1 1 X 十1 故 此函数f (x)可由对勾函数 (填“上”、“下”)平移*1宀 y = x 向 __________ x单位.草图如下:(填 “左”、“右”)平移 单位,2.已知x 1 ，求函数f (X )口x 2 9x -10x-1的最大值练习：1.已知x ^ -1，求函数f(x)=的最小值例7求函数f ( X )工 在区间(1, •二)上的最大值解：当x =1时，f (1)=0x + b 类型八：函数f (x)=Jx + a此类函数可变形为标准形式：f(x^x a ^^./xb-a (b_a.O) v x + ax + 3例8求函数f(x)的最小值 <x 解:f(x) =x "4Jx —1x + 5 •求函数f(x)的值域J x +1函数 f(x)=—— v'x 十此类函数可变形为标准形式：解: y =x…x 2 aa2xf (x )= ( X 2 * * a)2 b-ax 2 a二 x 2 a 「Tag °〉工的最小值4x 2 5 =解：f(x) = x 2 4x 2 4 1 f (x)' = lx 2 +4 十 1 Jx 2 +4 lx 2+4练习：1.求函数f (X )例10已知a 0,求函数y= X 2 1、—2 的值域X 2 17x 2a 1 .X 2—a 的最小值。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——基本不等式及其应用
1 1－4x2的最大值为___4_____.
解析 ∵0＜x＜12，
∴y＝x 1－4x2＝ x2（1－4x2）＝12 4x2（1－4x2） ≤12·4x2＋21－4x2＝14，
当且仅当 4x2＝1－4x2，即 x＝ 42时取等号，
则 y＝x 1－4x2的最大值为41.
索引
角度2 常数代换法求最值
例 2 (2022·江西九校联考)若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则3ba＋3b的最小值为 _____5___. 解析 因为 a＋b＝1，所以3ba＋3b＝3ba＋3（a＋ b b）＝3ba＋3ba＋3，
A.9
B.18
C.36
D.81
解析 因为 x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立.
索引
5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形 15
的长为____1_5___m，宽为_____2___m时菜园面积最大. 解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x＋2y＝30， 所以 S＝xy＝21x·(2y)≤12x＋22y2＝2225，当且仅当 x＝2y，即 x＝15，y＝125时 取等号.
(4)x＞0 且 y＞0 是xy＋xy≥2 的充要条件.( × )
索引
解析 (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式a＋2 b≥ ab成立的条件是 a≥0，b≥0. (2)函数 y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(4)x>0 且 y>0 是xy＋xy≥2 的充分不必要条件.
A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2
基本不等式(第2课时)学案设计
第三章不等式3.4基本不等式:√ab≤a+b2(第2课时)3.4基本不等式:√ab≤a+b2学习目标≥√ab(a>0,b>0).1.进一步掌握基本不等式a+b22.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题.3.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短.最短的篱笆是多少?问题2:用长为4a的篱笆围成一个矩形菜园ABCD,怎样设计矩形菜园的长和宽,才能使所围成的菜园面积最大?二、信息交流,揭示规律师生交流1:解答这两道题使用的是什么数学工具?你是怎样想到的?这个式子使用时应该注意什么问题?你是直接使用的基本不等式吗?我们前面学习了函数、数列等知识时,也用来解决过实际问题,用基本不等式解决实际问题的步骤是什么呢?三、运用规律,解决问题【例题】用长为4a的篱笆围成一个“日”字形菜地,一块种萝卜,另一块种茄子,如何设计才能使总面积最大?师生交流2:“日”字形菜地的总面积的表达式是什么?可以设几个变量?师生交流3:为什么写不下去了呢?那是不是不能用基本不等式求最值了呢?那怎么求最值呢?等号右边为什么不是定值呢?有没有办法解决这个问题呢?师生交流4:应用基本不等式求最值时,应满足什么条件?具体情形是怎样的?不满足定值时可采取什么办法?除取定值外,还必须满足什么条件?四、变式训练,深化提高变式训练1:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少?师生交流5:这个水池总造价的表达式是什么?水深为3m,容积为4800m3,池底面积为多少?池壁面积怎样用数学表达式表达?变式训练2:已知函数f(x)=x+1.x-1(1)当x<1时,f(x)的最大值为;(2)当x≥3时,f(x)的最小值为.五、反思小结,观点提炼1.应用题解题的基本步骤是什么?2.使用基本不等式时,应注意满足什么条件?3.用基本不等式求最值有几种类型?参考答案一、设计问题,创设情境问题1:解:设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy=100,所以矩形的周长l=2x+2y ≥2√(2x )·(2y )=40.当且仅当x=y 时,等号成立.又xy=100,所以当x=y=10时,l min =40m .答:当矩形长、宽都为10m 的正方形时,所用篱笆最短.最短的篱笆是40m .问题2:方法一:设矩形一边AB=x ,则BC=2a-x ,且x>0,2a-x>0,所以矩形的面积为S=x (2a-x )=-x 2+2ax=-(x-a )2+a 2.由此知当x=a 时,S 最大为a 2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a 2.方法二:由方法一得出S=x (2a-x ),因为√x (2a -x )≤x+(2a -x )2=a , 所以S ≤a 2,当且仅当x=2a-x ,即x=a 时,S max =a 2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a 2.方法三:由方法一得出S=x (2a-x )≤(x+2a -x 2)2=a 2. 下同方法二.方法四:设矩形的长为x ,宽为y (x>0,y>0),则2x+2y=4a ,即x+y=2a.面积S=xy ≤(x+y 2)2=a 2,当且仅当x=y ,又x+y=2a ,即x=y=a 时,等号成立,S max =a 2.答:将菜地围成正方形时,面积最大为a 2.师生交流1:;基本不等式;因为问题中涉及两个变量,这两个变量表达的条件和结论符合基本不等式的特征;等号成立的条件;问题2用到的是基本不等式的变形公式√ab ≤a+b 2和ab ≤(a+b 2)2;设出两个变量,用变量表示条件和目标函数,求最值,作答) 三、运用规律,解决问题师生交流2:面积=总长×宽;两个或一个.学生探究尝试:学生甲:设AB=x ,则AD=4a -2x 3,0<x<2a , 则S=x ·4a -2x 3≤x+4a -2x 322? 师生交流3:;不等号右边不是一个定值;是;可以用二次函数配方求解;x 和-23x 不能抵消;可以提取一个23,不等号右边就是定值,就能用基本不等式了.【例题】解:方法一:S=x ·4a -2x 3=23x (2a -x )≤23(x+2a -x 2)2=23a 2. 当且仅当x=a 时,S 最大为23a 2.此时AB=x ,AD=2a .答:当长为a ,宽为23a 时菜园总面积最大.方法二:设AD=x ,则AB=4a -3x 2,0<x<4a 3, 则S=x ·4a -3x 2=32x (4a 3-x)≤32x+4a 3-x 22=23a 2. 当且仅当x=23a 时,等号成立.此时AB=a ,AD=2a .答:当长为a ,宽为23a 时菜园总面积最大.方法三:设AB=x ,AD=y ,x>0,y>0,则2x+3y=4a ,所以菜园的总面积S=xy=16(2x )(3y )≤16(2x+3y 2)2=23a 2. 当且仅当2x=3y 时,等号成立.又2x+3y=4a ,所以x=a ,y=2a 3.此时AB=x ,AD=2a 3.答:当长为a ,宽为23a 时菜园总面积最大.师生交流4:必须有定值.和a+b 为定值时,积ab 有最大值;积ab 为定值时,和a+b 有最小值.配凑法.取等号的条件:当且仅当a=b 时,a+b2=√ab .四、变式训练,深化提高师生交流5:总造价=池底单价×池底面积+池壁单价×池壁面积;1600m 2;池壁面积=2×池底长×高+2×池底宽×高.变式训练1:解:设底面的长为x m,宽为y m,水池的总造价为z 元,根据题意,得z=150×48003+120(2×3x+2×3y ) =240000+720(x+y ),由容积为4800m 3,可得3xy=4800.因此xy=1600.由基本不等式与不等式的性质,可得240000+720(x+y)≥240000+720×2xy,即z≥240000+720×2√1600,z≥297600.当且仅当x=y=40时,等号成立.答:将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元.变式训练2:(1)-1(2)72五、反思小结,观点提炼1.审题—建模—解模—检验(审题最重要).2.一正、二定、三相等,缺一不可.3.两种类型,求最大值和求最小值.。
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典例剖析
考点1 利用基本不等式求最值
【例 1】（1）已知 x 0 ，求 x 4 的最大值； x
（2）已知 x 1，求 x 1 的最小值． x 1
【解析】（1）∵ x 0 ，∴ x 0 ，
∴ x 4 [(x) ( 4)] 2 (x) ( 4) 4 ，
x
x
x
当且仅当 x 4 ，即 x 2 时， x 4 取得最大值 4 ．
x
x
考点2 基本不等式的实际应用
【例 3】围建一个面积为 360m2 的矩形场地，要求矩形场地的一
面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的
对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙 的维修费用为 45 元/ m ,新墙的造价为180 元/ m ,设利用的旧墙 的长度为 x (单位： m )．
（1）将 y 表示为 x 的函数（ y 为修建此矩形场地围墙的总费
用）；
（2）试确定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出
最小总费用．
归纳反思
1.利用基本不等式求最值一定要验证“一正，二定，三相 等”．特别要注意取等号的条件．
2.如果利用基本不等式2 ． 2
⑤ (a b)2 a2 b2 ．
2
2
④ ab ( a b)2 ． 2
⑥ a b 2 (ab 0．) ba
基础自测
1．“ a b ” 是“ ( a b)2 ab ”成立的（ ） 2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考纲要求
1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．
知识梳理
1．基本不等式： ab a b 2
①基本不等式成立的条件：a0,b0．
②等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号．
2．常用的不等式
① a2 b2 2ab (a,b R) ．② a b 2 ab (a, b R*) ．