人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 2.5 等比数列的前n项和(通用)》优质课教案_28

课题：2.5等比数列的前n项和(1)
一、教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书•数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。

从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

二、学生学习情况分析
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。

不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着方法的不同、本质的相似，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

教学对象是高中的文科学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨；还有计算能力不是很好。

三、设计思想
《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。

对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。

心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。

利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。

在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。

四、教学目标
⑴知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式
并能运用公式解决一些简单问题；
⑵能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中类比推理及从特殊到一般的思
维方法，渗透方程思想、分类讨论思想；
⑶情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质；
五、教学重点、难点
教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。

公式推导
所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

教学方法：问题探索法及启发式讲授法
教 具：多媒体
六、教学过程：
1、复习提问
回顾等比数列定义，通项公式
（1）等比数列定义：q a a n n =-1（2n ≥，)0≠q
（2）等比数列通项公式：)
0,(111≠=-q a q a a n n （3）等差数列前n 项和公式的推导方法：倒序相加法。

2、问题引入：
阅读:课件“猪八戒融资问题”。

问题:如何计算229301222S =++++
引出课题:等比数列的前n 项和。

设计意图：依托市场经济背景，用运学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思激发学生学习热情。

3、问题探讨：
问题：如何求等比数列{}n a 的前n 项和公式
=n S 123n a a a a ++++
22111111--=+++
++n n a a q a q a q a q 回顾：等差数列的前n 项和公式的推导方法-----倒序相加法。

等差数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321
根据等差数列的定义1+-=n n a a d
[]1111()(2)（n-1)=+++++++n S a a d a d a d （1）
[]()(2)-（n-1)=+-+-++n n n n n S a a d a d a d （2）
（1）+（2）得：12()=+n n S n a a 1()2
+=
n n n a a S 探究：等比数列的前n 项和公式是否能用倒序相加法推导？ =n S 123n a a a a ++++
22111111--=+++++n n a a q a q a q a q
221--=+++++n n n n n n n n a a a a S a q q q q
学生讨论分析，得出等比数列的前n 项和公式不能用倒序相加法推导。

回顾：等差数列前n 项和公式的推导方法本质。

构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n 项和公式是否能用这种思想推导？
根据等比数列的定义：1)（++=∈n n
a q n N a 变形：1+=n n a q a
具体：12=a q a 23=a q a 34=a q a ……
学生分组讨论推导等比数列的前n 项和公式，学生不难发现：
由于等比数列中的每一项乘以公比q 都等于其后一项。

所以将这一特点应用在前n 项和上。

由此构造相同项。

数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++
++ （1） 23111111-=+++
++n n n qS a q a q a q a q a q （2） 由此构造相同项。

数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

11(1)(2)(1)n n q S a a q ∴--=-得：
当q=1时，1na S n =
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1
学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。

由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：
当1≠q 时， 11-=-n n a a q S q
设计意图：从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。

通过师生间
的探讨、合作，培养学生的观察力，增强学生思维的严谨性。

4.知识整合:
（1）．等比数列的前n 项和公式：
当q=1时，1na S n =
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 11-=-n a a q q （2）．公式特征：
⑴等比数列求和时，应考虑1q = 与1q ≠ 两种情况。

⑵当时，等比数列前n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。

⑶等比数列通项公式结合前n 项和公式涉及五个量，1,
,,,n n a q n a S ，
五个量中“知三求二”（方程思想）。

（3）．等比数列前n 项和公式推导方法：错位相减法。

5、例题精讲：
例1． 求下列等比数列前8项的和。

⑴111,,,248； ⑵19127,,0243
a a q ==<。

设计意图：学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和理解.主要通过方程的思想进行基本
量的运算.注意解题格式和规范.
例2．画一个边长为2cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形， 依次
类推
⑴若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？
⑵若已知所画正方形的面积和为314
，求一共画了几个正方形，及所画的最后一个正方形的面积。

解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且114,2
a q == （1）7n = 671116a a q ∴=⋅=
（2）()11111n n n n a a q a q S q =⎧=⎪-⎨=⎪-⎩⇒11421412311412
-⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎪⎪-⎪⎩n n n a ⇒514=⎧⎪⎨=⎪⎩n n a 答：（1）第七个正方形的面积是2116
cm 。

（2）一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是214
cm 。

巩固练习：⑴已知等比数列{}n a 中，13a =，2q =,求6S 。

⑵已知等比数列{}n a 中，11=a ，3=q ,40=n S ，求n ，n a 。

六、课堂小结：
1、等比数列的前n 项和公式：
当q=1时，1na S n =
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1 11-=-n a a q q 2、等比数列的前n 项和推导方法：错位相减法。

3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。

设计意图：从知识的归纳进一步延伸到思想方法提炼，把数学的学习作为提高学生数学素养
和文化水平的有效途径。

七、作业布置：
基础题：课本P61 习题2.5 A 组1，2
提高题：求和21(1)(2)(2)-++++++n n a a a
探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n 项和公式还有无其它推导方法？
教学反思：
本着新课改的教学理念，考虑到学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步了解“数学来源于生活”，采用漫画故事的形式创设问题情境，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲。

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台，通过他们自主学习、合作探究，展示学生解决问题的方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。

通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。

“等比数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍错位相减法，探究这种方法如何推广到一般等比数列的求和；对于其它的方法留给学生课外去探究。

数学公式只是一些符号，学生记忆容易，但用起来困难，因此，公式的记忆要借助于对知识点的理解。

在课堂实施过程中，教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，并能对问题的解法提出自己的不同观点，找出最简单、有效的解决方法。

因此，对等比数列前n项和公式的推导有一个科学的分析过程，学生对公式的获取思路明确，理解比较深刻，较好地完成了课前预设的目标。

但由于教学内容的紧凑，过于追求教学的量，在教学、训练中侧重于方法的指导而忽略了过程的详细讲解，对学生的计算能力、变形能力会产生不利影响，这一点，在第二天的作业中就体现出来。

另外，过多的罗列解题方法，提高了学生的解题能力，但学生课后没有自己的思维空间，对学生创新思维的培养就显得的不足。

附：教学课件
2.5等比数列的前n项和（一）评课稿
梧桐中学数学教研组
在10月12日，我们听了黄上海老师的校级公开课、示范课“等比数列的前n项和”，课后我们教研组进行了认真细致的讨论，一致认为这是一堂成功的示范课。

当前，我校正在大力倡导进行新课程课堂教学改革，实施素质教育，课堂教学怎么改、怎样改，黄老师的课在“倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”方面，给我们做出了榜样或者是有意的尝试。

就本节课而言，我们认为有以下优点：
1、课前准备充分，教材挖掘深刻、透彻，整堂课中，自始至终都体现出新课改的理念：教师的主导作用和学生的主体地位，这也是本节课的最大的亮点。

在课堂实施过程中，教学思路清晰、明确，学生对问题的回答也比较踊跃，并能对问题的解法提出自己的不同观点，找出最简单、有效的解决方法。

因此，对等比数列前n项和公式的推导有一个科学的分析过程，学生对公式的获取思路明确，理解比较深刻，较好地完成了课前预设的目标。

2、本节课的第二个亮点是问题的设计巧妙，有梯度，高而不难，环环相扣，层层推进，最后能水到渠成的得出所要的结论。

在问题的引导探究中，不论是引题中的漫画所提出的问题，还是从一连串的问题设计来看，教师运用并向学生渗透了特殊到一般，类比与转化、分类讨论等数学思想和方法，不知不觉地培养了学生的观察、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力，运算能力。

3.教师授课语言干净利落、声音清晰、不重复、无啰嗦、语速适中。

教师提出每一个问题后，均能给学生留出思考、运算的时间，教师不催、不直接给出答案。

当然，由于学生的素质不高且是文科生，解题能力及运用能力有限，所以有些问题经过学生的思考未能得到正确的结果；使得有些问题只能自圆其说，略微遗憾。

尽管如此，但瑕不掩玉，本节课仍是一堂优秀的示范课。

以上仅是我们教研组的一些看法，如有不对之处，还请各位同仁指正。