高中数学必修2(北师版)第一章1.6 垂直关系(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

描述：高中数学必修2(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系
一、知识清单
空间的垂直关系二、知识讲解 1.空间的垂直关系
直线与平面垂直的判定
如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作 ．直线 叫做
平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．
直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．
平面与平面垂直的判定
定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，
．
直线与平面垂直的性质
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．
平面与平面垂直的性质
l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b
=P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥βa ⊥αb ⊥α⇒a ||b
例题：平面与平面垂直的性质
定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，
，，．
α⊥βα∩β=CD AB⊂αAB⊥CD⇒AB⊥β
下列命题中，正确的序号是______．
①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；
②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；
③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；
④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；
⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
解：④⑤
当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．
lαl⊥α
lαl⊥α
lααl
lααl
lαlαl αlαlαl α
如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为
上一点．求证： ．
证明：因为 ，，所以 ．
又 ，，所以 ．
又 ，所以 ．
P−ABC P A⊥平面ABC Rt△ABC AB F P C
BC⊥AF
P A⊥平面ABC BC⊂平面ABC P A⊥BC
AC⊥BC AC∩P A=A BC⊥平面P AC
AF⊂平面P AC BC⊥AF
如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．
证明：如图，连接 ，因为 ，，所以 为等边三角形．
因为 是 的中点，所以 ．
因为 ，，所以 ．
因为 ，，，所以 ．
又 ，所以 ．
P−ABCD ABCD∠DAB=60∘P D⊥平面ABCD P D=AD E AB平面P ED⊥平面P AB
BD AB=AD∠DAB=60∘△ADB
E AB AB⊥DE
P D⊥面ABCD AB⊂平面ABCD AB⊥P D
DE⊂平面P ED P D⊂平面P ED DE∩P D=D AB⊥平面P ED
AB⊂平面P AB平面P ED⊥平面
P AB
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AB ⊂ P AB P ED ⊥ P
AB。