江苏数学理精校版-2011普通高等学校招生统一考试
2011江苏高考数学
2011江苏高考数学一、引言2011年江苏高考数学是江苏省高考数学科目的考试内容，本文将对该次高考数学考试的试题进行详细解析和讨论。
二、试卷概述2.1 试卷结构2011江苏高考数学试卷分为命题模块A、B和解答题模块C。
命题模块A和B是选择题，解答题模块C则是主观题。
2.2 试题分析该套试题包含了选择题和解答题，涵盖了高考数学各个知识点，如代数、几何、概率统计等。
选择题部分的设计充分考察了学生的基本计算能力和对数学知识的理解掌握，而解答题则注重了学生对问题的分析和解决能力。
三、试题解析3.1 命题模块A命题模块A共有25个选择题，每题4个选项，单选题占大多数。
这些题目大部分考察的是基础知识、计算能力和推理能力。
下面以几道题目为例进行解析：题目一已知函数f(x)的定义域为[0,3]，f(x)的图像如下图所示，请判断以下命题是否正确。
命题：\[f(x)>0,\ 0<x<\frac{7}{6}\] A. 正确 B. 错误该题考察学生对函数图像和定义域的理解，正确答案为A. 正确。
题目二已知函数f(x)的定义域为[0,5]，x∈[1,3]上函数的图像如下图所示，请判断以下命题是否正确。
命题：\[f(2)<0\] A. 正确 B. 错误该题考察学生对函数图像和定义域的理解，正确答案为B. 错误。
3.2 命题模块B命题模块B共有10个选择题，多为填空题和判断题。
这些题目主要考察的是学生对数学定义掌握的熟练程度。
下面以几道题目为例进行解析：题目一已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=log10x，h(x)=g(x-1)，则h(-1)的值等于\\\\\\。
该题考察学生对函数的复合运算和对对数函数的基本概念的理解程度。
正确答案为h(-1)=log10(-1-1)不存在。
3.3 解答题模块C解答题模块C共有2道题，分别为计算题和证明题。
这些题目主要考察的是学生的问题分析和解决能力。
下面以一道题目为例进行解析：题目一已知点A、B、C在坐标平面上的坐标分别为A(1,2)，B(-2,0)，C(4,6)。
江苏2011高考数学
江苏2011高考数学一、考试概况江苏省高考数学试卷是江苏省教育厅组织的一项重要考试，用于评估学生的数学能力和学习成果。
2011年的江苏高考数学试卷共分为选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟，总分为150分。
本文将对2011年江苏高考数学试卷的题型、难度及解答思路进行分析。
二、题型分析2011年江苏高考数学试卷的选择题部分包括单选题和多选题。
单选题有15题，每题2分，共计30分；多选题有10题，每题4分，共计40分。
非选择题部分包括填空题、计算题和证明题。
填空题有5题，每题2分，共计10分；计算题有5题，每题8分，共计40分；证明题有2题，每题15分，共计30分。
三、难度分析根据考生反馈和专家评议，2011年江苏高考数学试卷整体难度适中。
选择题中，单选题较为简单，考察了考生对基础知识的掌握程度，多选题难度适中，要求考生对概念的理解和综合运用能力。
在非选择题部分，填空题难度适中，要求考生对数学概念和公式的灵活运用，计算题较为繁琐，要求考生有较强的计算能力，证明题较为复杂，要求考生有较高的逻辑推理能力。
四、解答思路1. 单选题和多选题解答思路对于单选题和多选题，考生需要注意以下解答思路：•在做选择时，要注意仔细阅读题干和选项，理解题意，确保不会因为选错选项而影响整个解题过程；•对于单选题，可以通过排除法来确定正确答案，将每个选项代入，检验是否成立；•对于多选题，要注意选项之间的逻辑关系，综合考虑各选项的可行性。
2. 非选择题解答思路对于填空题、计算题和证明题，考生需要注意以下解答思路：•对于填空题，要注意明确答题要求，按要求填入正确的数值或表达式，运用相应的数学知识和方法；•对于计算题，要注意列出运算步骤，避免繁琐计算错误，注意四舍五入和单位转换的准确性；•对于证明题，要注意书写格式规范，逻辑清晰，引用正确的定理和公式进行推导，严谨论证。
五、总结通过对2011年江苏高考数学试卷的分析，我们可以看出该试卷在题型设置和难度把握上比较合理，考察了考生对数学知识的掌握和应用能力。
2011江苏高考数学试卷 排版精编 答案详解
2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
一．填空题1.设复数122,2()z i z x i x R =+=-∈，若12z z ∙为实数，则x 为 .2.一个与球心距离为1的平面截球所得圆面面积为π，则球的体积为________. 3．若ββαββαcos )cos(sin )sin(---＝m ，且α是第三象限角，则sin α＝ .．如图在三角形ABC 中，E 为斜边()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是点A 绕点C 旋转后与点10.直线x +a y +1=0与直线(a +1)x -by +3=0互相垂直，a ,b ∈R ，且ab ≠0,则|ab |的最小值 是 .E11.函数()23123x x f x x =+++的零点的个数是 . 12．已知)2()2(,)(x f x f x f -=+且为偶函数，x x f x 2)(,02=≤≤-时当，*,2)(N n x f x ∈=若，==2008),(a n f a n 则 .13.设点()a b ,在平面区域{()||1||1}D a b a b =,≤,≤中按均匀分布出现，则椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e的概率为 ． 14.若数列{n a }满足d a a nn =-+221（其中d 是常数，∈n N ﹡），则称数列{n a }是“等方差数列”. 已知数列{n b }是公差为m 的差数列，则m =0是“数列{n b }是等方差数列”的 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）二．解答题15．高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？（2）根据题中信息估计总体平均数是多少？ （3）估计总体落在［129，150］中的概率.16. 已知函数2()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。
2011年全国高考数学试题及答案-江苏 (2)
2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
．．．．．．．．．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←bEnd If Print m5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
2011江苏省高考数学真题(含标准答案)
2０１1江苏高考数学试卷注意事项:考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共４页,均为非选择题(第1题-第20题,共２0题）。
本卷满分为1６０分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用０.５毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题,必须用0.５毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚,线条,符号等须加黑加粗。
参考公式:（1）样本数据ｘ1 ，x 2 ，…，x n 的方差s ２=n i=11n ∑(x i -x ）2,其中ni i=11x n ∑. （2）(2）直棱柱的侧面积Ｓ=ｃh ,其中c 为底面积，ｈ 为高．（３）棱柱的体积Ｖ= S ｈ ，其中S 为底面积,h 为高．一．填空题:本大题共14小题，每小题５分,共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
．．．．．．．．．．1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A２、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是＿________＿3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位）,则z 的实部是________＿４、根据如图所示的伪代码,当输入b a ,分别为2,３时,最后输出的m 的值是＿_______ R ｅad ａ,bI ｆ a >b Th ｅｎｍ←aEls ｅｍ←bEnd I ｆＰｒｉnt m5、从1，２,３,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是＿__＿__6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是1０,6，8,5,6，则该组数据的方差___2=s7、已知,2)4tan(=+πx 则xx 2tan tan 的值为_＿____＿___ 8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段P Ｑ长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ,则k 的值为１１、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ,若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为___＿＿___１2、在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点Ｎ，设线段M Ｎ的中点的纵坐标为t,则t 的最大值是___＿__＿___＿_＿１3、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为ｑ的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列,则q 的最小值是____＿_＿＿14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=， },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是____＿_＿_＿＿＿___二、解答题：本大题共6小题，共计9０分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷,含答案).doc
2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。
第Ⅰ卷 1 至 2 页。
第Ⅱ卷 3 至 4 页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
一、选择题(1) 复数 z 1i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1（ A ） 2i（ B ） i（ C ） i（ D ） 2i【答案】 B(2) 函数 y 2 x( x 0) 的反函数为（ A ） yx 2( x R)（ B ）4（ C ）y 4x 2( x R)（ ）Dyx 2( x 0)4y 4x 2 ( x 0) 【答案】 B(3) 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ A ） a ＞b 1（ B ） a ＞b 1（C ） a 2＞ b 2（ D ） a 3＞ b 3【答案】 A(4) 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d2 ， S k 2 S k 24 ，则 k（ A ） 8 （B ） 7（ C ） 6（ D ） 5【答案】 D(5) 设函数 f ( x) cos x(0) ，将 yf ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图3像与原图像重合，则的最小值等于（ A ）1（B ） 3（C ） 6（ D ） 93【答案】 C(6) 已知直二面角l , 点 A ， AC l , C 为垂足 , B ， BD l , D 为垂足．若 AB2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于2 (B) 36 (D) 1(A)3 (C)33【答案】 CA(7) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A) 4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种lD【答案】 BCB E(8) 曲线 y e 2 x1在点 (0,2) 处的切线与直线 y 0 和 y x 围 成的三角形的面积为(A)1(B)1 (C)2 (D)1323【答案】 A(9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f (x)2x(1 x) , 则 f (5 )11112(A) -(B)(C)(D)2442【答案】 A(10) 已知抛物线C ： y 24x 的焦点为 F ，直线 y2x 4 与 C 交于 A ， B 两点．则cos AFB(A)4(B)3 (C)3 (D)4 5555【答案】 D(11) 已知平面 α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 600 二面角的平面 β 截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B) 9(C)11(D)13【答案】 D(12) r r rr rr r 1 rr r rr设向量 a ， b ， c 满足 | a | | b |1， agb， ac,bc60 ，则 | c | 的最大值2等于(A) 2 (B)3(c)2(D) 1【答案】 AB绝密★启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试ACD理科数学 ( 必修 +选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径0． 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011江苏高考数学真题(附答案)
2011江苏高考数学真题1.如图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ . 解：2. 已知⊙A ：221x y +=，⊙B : 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ .解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得：01143=-+y x ，这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为5113. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ；解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一，解①得2,8d q == 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=4. 在ABC ∆中，2==⋅ （1）求22AC AB +（2）求ABC ∆面积的最大值．解：（1）因为||||2BC AC AB =-=，所以4222=+⋅-，又因为 2AB AC ⋅=，所以228AB AC +=；（2）设||||||AB c AC b BC a ===，，，由（1）知822=+c b ，2=a ， 又因为bcbc bc a c b A 22282cos 222=-=-+=，所以A bc A bc S ABC2cos 121sin 21-==∆=222222421c b c b c b ⋅-≤34)2(21222=-+c b ， 当且仅当c b a ==时取“=”，所以ABC ∆的面积最大值为3．5. 设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，数列{}n b 是公比为q 等比数列，且110b a =>． （1）若33a b =，75a b =，探究使得n m a b =成立时n m 与的关系； （2）若22a b =，求证：当2>n 时，n n b a <.解：记a b a ==11，则1,)1(-=-+=m m n aq b d n a a ，……………1分（1）由已知得2426a d aq a d aq ⎧+=⎨+=⎩，，消去d 得4232aq aq a -=， 又因为0≠a ，所以02324=+-q q ，所以2122==q q 或，……………5分若12=q ，则0=d ，舍去；……………6分 若22=q ，则2a d =，因此12)1(-=-+⇔=m m n aq a n a b a 1211-=-+⇔m q n ， 所以1221-=+m n （m 是正奇数）时，m n b a =；……………8分（2）证明：因为0,0>>a d ，所以111212>+=+===ada d a a ab b q ， …………11分2>n 时，1)1(---+=-n n n aq d n a b a =d n q a n )1()1(1-+--=d n q q q q a n )1()1)(1(22-+++++--d n n q a )1()1)(1(-+--<=[]0))(1()1()1(22=--=+--b a n d q a n所以，当n n b a n <>时，2. …………………………16分6. 已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点．（1的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动时，C 点的轨迹为E ． （ⅰ）求轨迹E 的方程；（ⅱ）过轨迹E 上一定点00(,)P x y 作相互垂直的两条直线12,l l ，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相交，设1l 被圆O 截得的弦长为a ，设2l 被轨迹E 截得的弦长为b ，求a b +的最大值．（2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段OC 长度的最值．解：（1）（ⅰ）连结OB ，OA ，因为OA =OB =1，AB =2，所以222AB OB OA =+，所以4OBA π∠=，所以34OBC π∠=，在OBC ∆中，52222=⋅-+=BC OB BC OB OC ， 所以轨迹E 是以O 为圆心，5为半径的圆，所以轨迹E 的方程为522=+y x ； （ⅱ）设点O 到直线12l l ，的距离分别为12d d ，，因为21l l ⊥，所以2222212005d d OP x y +==+=， 则22215212d d b a -+-=+，则[])5)(1(2)(64)(222122212d d d d b a --++-=+≤4⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅++-262)(622212221d d d d =22124[122()]d d -+=4(1210)8-=，当且仅当221222125,15,d d d d ⎧+=⎨-=-⎩，即22219,21,2d d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，所以b a +的最大值为 （2）设正方形边长为a ，OBA θ∠=，则cos 2a θ=，0,2θπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当A 、B 、C 、D 按顺时针方向时，如图所示，在OBC ∆中，2212cos 2a a OC θπ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，即OC == ==由2,444θππ5π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，此时(1,1]OC ∈； 当A 、B 、C 、D 按逆时针方向时，在OBC ∆中，2212cos 2a a OC θπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即OC ====，由2,444θππ3π⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，此时1,OC ∈， 综上所述，线段OC 1-1．7. 已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； （2）求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是1a =；（3）若0a <，且对任意(]1,0,21∈x x ，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.另解：042≤--ax x 在(]1,0∈x 上恒成立，设4)(2--=ax x x g ，只需[)0,30041)1(04)0(-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=<-=a a a g g .8. 已知函数2()3,()2f x mx g x x x m =+=++. （1）求证：函数()()f x g x -必有零点； （2）设函数()G x =()()1f x g x --（ⅰ）若|()|G x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；（ⅱ）是否存在整数,a b ，使得()a G x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.9. 已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数. （1）若()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a 的的取值范围.解：（1） 2221(2)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++，∵92a =，令'()0f x >，得2x >，或12x <， ∴函数()f x 的单调增区间为1(0,)2， (2,)+∞.（2）∵2121()()1g x g x x x -<--，∴2121()()10g x g x x x -+<-，∴221121()[()]0g x x g x x x x +-+<-，设()()h x g x x =+，依题意，()h x 在(]0,2上是减函数.当12x ≤≤时， ()ln 1ah x x x x =+++，21'()1(1)a h x x x =-++， 令'()0h x ≤，得：222(1)1(1)33x a x x x x x+≥++=+++对[1,2]x ∈恒成立， 设21()33m x x x x =+++，则21'()23m x x x =+-，∵12x ≤≤，∴21'()230m x x x=+->， ∴()m x 在[1,2]上是增函数，则当2x =时，()m x 有最大值为272，∴272a ≥.当01x <<时， ()ln 1ah x x x x =-+++，21'()1(1)a h x x x =--++， 令'()0h x ≤，得： 222(1)1(1)1x a x x x x x+≥-++=+--， 设21()1t x x x x =+--，则21'()210t x x x=++>， ∴()t x 在(0,1)上是增函数，∴()(1)0t x t <=， ∴0a ≥，综上所述，272a ≥10. （1）设10+<<a b ，若对于x 的不等式()()22ax b x >-的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是 ▲ .（2）若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是▲ .解：（1）()3,1（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛1649,92511. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====，且存在常数α、β，使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ .12. 在直角坐标系平面内两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f 的图象上；②Q P ,关于原点对称，则称点对),(Q P 是函数)(x f 的一个“友好点对”（点对),(Q P 与),(P Q 看作同一个“有好点对”）.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=,0,2,0,142)(2x ex x x x f x 则函数)(x f 的“友好点对”有 ▲ 个.13. 已知ABC ∆的三边长c b a ,,满足b a c a c b 22≤+≤+，，则ab的取值范围是 ▲ . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛23,32xyO已知ABC ∆的三边长c b a ,,满足b a c a c b 3232≤+≤+，，则ab的取值范围是 ▲ . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛35,4314. 已知分别以21,d d 为公差的等差数列{}n a ,{}n b ,满足120091,409a b ==． （1）若11=d ,且存在正整数m ,使得200920092-=+m m b a ,求2d 的最小值；（2）若0k a =，1600k b =且数列200921121,,,,,,b b b b a a a k k k k ++-,的前项n 和n S 满足200920129045k S S =+,求 {}n a 的通项公式.解：（1）证明:220092009m m a b +=-,21120092[(1)]2009a m d b md ∴+-=+-，即200940922-+=md m , ……4分2160080d m m ∴=+≥=. 等号当且仅当"1600"mm =即"40"=m 时成立,故40m =时，2min []80d = . ……7分（2）0k a =，1600k b =，120091,409a b ===++2)(1k a a k 2)12009)((2009+-+k b b k 2009(2010)22k k -=+，…10分 200920129045k S S =+1()201290452k a a k +=+=904522012+k201290452k ∴⋅+2009(2010)22k k -=+40202009201018090k ∴=⨯-，220099k ∴=-，1000k ∴= ……13分故得1,011000==a a 又，11999d ∴=-,1210001(1)999999n a a n d n ∴=+-=-，因此{}n a 的通项公式为n a n 99919991000-=. ……15分15. 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （1）当1a =时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？（3）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=xep x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围． 24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭16. 如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =； （2）求AB DC ⋅的值.（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠①， 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD=∠∠②， 所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠， 由①②得36BD AB DC AC ==，所以2DC BD =（2）因为2DC BD =，所以BC DC 32=. 在△ABC 中，因为22222237611cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， 所以22()||||cos()33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅- 2112237()=⨯⨯⨯-=- AB CD17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列是公比为2的等比数列.（1）证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =；（2）设n n n n a b )1(5--=（*∈N n ），若1+<n n b b 对任意*∈N n 成立，求1a 的取值范围.18. 已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列{}n a 和{}n b 满足181=a ，3614=b .（1）若181=d ，且存在正整数m ，使得45142-=+m mb a ，求证：1082>d ； （2）若0==k k b a ，且数列142121b b b a a a k k k ，，，，，，， ++的前n 项和n S 满足k S S 214=，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令0>==a a d a c n n b n a n ，，，且1≠a ，问不等式n n n n d c d c +≤+1是否对一切正整数n 都成立？请说明理由.19. 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线P A 、PB ，切点为A 、B . （1）求椭圆的方程；（2）若直线P A 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线P A 的直线方程； （3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.（1）1101522=+y x ；（2）直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 （3）20. 已知集合{}k x x x x x x D =+>>=212121,0,0),(，其中k 为正常数. （1）设21x x u =，求u 的取值范围；（2）求证：当1≥k 时，不等式⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 22112211对任意D x x ∈),(21恒成立； （3）求使不等式⎪⎭⎫⎝⎛-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 22112211对任意D x x ∈),(21恒成立的k 取值范围.21. 设函数x m mx x x f )4(31)(223-+-=，R x ∈，且函数)(x f 有三个互不相同的零点βα,,0，且βα<，若对任意的[]βα,∈x ，都有)1()(f x f ≥成立，求实数m 的取值范围. 解：。
2011年江苏高考数学试卷(含答案)
2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上。
．．1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{−=−=B A 则_______,=⋂B A2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+−=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←bEnd If Print m 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=−=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥−−<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=−，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+−≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
2011江苏高考数学试卷(含答案)
2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上。
．．1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←bEnd If Print m 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
(解析版)2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(江苏卷)-推荐下载
1 2
(e
答案： 1 (e e1) 2
x0 )ex0
e x0
1) 。 e
ex0
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1
答案：
3
6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s 2 =
▲.
[解析]考查统计中样本数据的方差的计算。先把这组数都减去 7 以后分别为 3，-1，1，-
2，-1，从而求得平均数为 7，再求方差 s2 1 [32 (1)2 12 (2)2 (1)2 ] 16 ，
绝密★启用前
2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学 I
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题）。本卷满分为 160 分，考试
时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
x
当 a 0 时， f (1 a) 2 2a a 1 a 2a f (1 a), a 3 ，（舍去） 2
2a,
当 a 0 时， f (1 a) 1 a 2a 2 2a a f (1 a), a 3 。 答案： 3 。
江苏数学文精校版--2011普通高等学校招生统一考试
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、填空题1. 已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A2. 函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3. 设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4. 根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________5. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s7. 已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________ 8. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P. Q两点，则线段PQ 长的最小值是________9. 函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f10. 已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为________11. 已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13. 设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14. 设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________ 二、解答题：15. 在△ABC 中，角A. B. C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.16. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∟BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证： （1）直线EF ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E. F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？FEACDBPxxEF AB D C（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
2011江苏高考数学试卷(含答案)
2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置．．．．．．．．上。
．．1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←bEnd If Print m 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π3的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程步骤。
2011年高考数学江苏卷理科(word完美解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式：（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高试卷总分200 试卷时间 150一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填在题中横线上)1.已知集合A ＝{-1,1,2,4}，B ＝{-1,0,2}，则A∩B＝________.【答案】{-1,2}【解析】由交集的定义知A∩B＝{-1,1,2,4}∩{-1,0,2}＝{-1,2}. 【失分警示】把“∩”，“∪”意义混淆，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查“∩”的含义的理解及运算能力，正确识读“∩”符号的含义是解答本题的关键，属容易题. 2.函数的单调增区间是________.注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
h ttp://【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使有意义，则2x+1>0，即x>-12，而y ＝为(0，+∞)上的增函数，当x>-12时，u ＝2x+1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【失分警示】忽视2x+1>0这一约束条件是失分的主要原因. 【评析】本题主要考查复合函数单调性的判断方法及定义域的求解，考查学生逻辑推理及运算求解能力，属中等难度试题.3.设复数z 满足i(z+1)＝-3+2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________. 【答案】1【解析】解法一：∵i(z+1)＝-3+2i ， ∴z＝32i i -+-1＝-(-3i-2)-1＝1+3i ， 故z 的实部是1.解法二：令z ＝a+bi(a ，b∈R)，由i(z+1)＝-3+2i 得i[(a+1)+bi]＝-3+2i ， -b+(a+1)i ＝-3+2i ，∴b＝3，a ＝1， 故z 的实部是1.【失分警示】误区一：误认为i 2＝1；误区二：忽视复数相等的条件，运算失误导致求解结果错误.【评析】本题考查复数的有关概念及运算，将复数问题实数化是解决此类问题的关键，属容易题.4.根据如图所示的伪代码，当输入a ，b 分别为2,3时，最后输出的m 的值为________.【答案】3【解析】由已知可知，m 为a ，b 中的最大值，故最后输出的m 值为3.【失分警示】读不懂程序语句，导致求解结果错误.【评析】本题主要考查程序语句，对程序中条件语句的正确理解是解答本题的关键，属容易题.5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.【答案】13【解析】从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数的种数为24C ＝6(种)，其中一个数是另一个数的两倍的数对为1,2和2,4.故符合条件的概率为26＝13.【失分警示】把24C 误认为24A 是导致本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查组合知识和古典概型，考查学生逻辑能力和分析问题、解决问题的能力，属容易题.6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.【答案】165【解析】记星期一到星期五收到的信件数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则X ＝∴s 2＝15[(x 1-X )2+(x 2-X )2+(x 3-X )2+(x 4-X )2+(x 5-X )2]＝15[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]＝165.【失分警示】误区一：X 求解错误.误区二：方差公式记忆错误导致s 2求解结果错误.【评析】本题主要考查方差的公式，考查学生的运算求解能力.公式记忆准确，运算无误是解答本题的关键，属中等难度试题.7.已知tan 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝2，则tan tan 2x x的值为________. 【答案】49【解析】【失分警示】两角和或差的正切公式记忆错误是学生丢分的主要原因.【评析】本题主要考查两角和或差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力，本题中由tan 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭x π＝2正确求得tanx ＝13是解答本题的关键，属中等难度试题.8.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________. 【答案】4【解析】假设直线与函数f(x)＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍. 假设P 点的坐标为002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则|PQ|＝2|OP|＝≥4.当且仅当20x ＝204x ，即x 0＝2时，取“＝”.【失分警示】误区一：将线段PQ 的长误认为是|PQ|2. 误区二：将|OP|最小值误认为是所求线段PQ 长的最小值.【评析】本题考查两点间距离公式及均值定理等相关知识，考查学生分析问题、解决问题的能力，将最值问题转化为均值定理来求解是解答本题的关键，属中等难度试题.9.函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________.【答案】62【解析】由图可知A ＝2，，∴T＝π.又2πω＝T ，∴ω＝2ππ＝2. 根据函数图象的对应关系得2×3π+φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ-23π(k∈Z).取φ＝3π，则f(x)223x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f(0)＝23π6【失分警示】误区一：误将2π作为函数的周期，导致求ω出错. 误区二：不能根据题意正确求得φ的值，进而导致函数解析式求错，从而求错f(0)的值. 【评析】本题主要考查y ＝Asin(ωx+φ)的图象与性质以及三角函数周期公式T ＝2πω(ω>0)的求法，属理解层次，由图象准确确定φ的值是解答本题的关键.10.已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，a ＝1e -22e ，b ＝k 1e +2e .若a ·b＝0，则实数k 的值为________. 【答案】54【解析】由题意a ·b ＝0即有(1e -22e )·(k 1e +2e )＝0，∴k 21e +(1-2k) 1e ·2e -222e ＝0.又|1e |＝|2e |＝1，〈1e ，2e 〉＝23π，∴k -2+(1-2k)·cos23π＝0，∴k -2＝122k -，∴k＝54. 【失分警示】误区一：向量内积的定义理解不到位； 误区二：运算失误，例如将cos23π误认为是12导致求解结果错误.【评析】本题主要考查向量内积的运算，考查学生的运算求解能力.属中等难度试题.11.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1-a)＝f(1+a)，则a 的值为________. 【答案】-34【解析】分类讨论：(1)当a>0时，1-a<1,1+a>1. 这时f(1-a)＝2(1-a)+a ＝2-a ； f(1+a)＝-(1+a)-2a ＝-1-3a.由f(1-a)＝f(1+a)得2-a ＝-1-3a ，解得a ＝-32， 不符合题意，舍去.(2)当a<0时，1-a>1,1+a<1， 这时f(1-a)＝-(1-a)-2a ＝-1-a ； f(1+a)＝2(1+a)+a ＝2+3a ，由f(1-a)＝f(1+a)得-1-a ＝2+3a ，解得a ＝-34.综合(1)，(2)知a 的值为-34【失分警示】由f(1-a)＝f(1+a)，误认为函数f(x)的周期为1，导致求解结果错误. 【评析】本题主要考查分段函数的相关知识，能根据题目要求对a 进行分类讨论是解答此题的关键，属中等难度试题.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f(x)＝e x(x>0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M.过点P 作l 的垂线交y 轴于点N.设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________. 【答案】2e +12e【解析】设P(x 0，0x e)(x 0>0), f ′(x)＝(e x )′＝e x，∴点P 处的切线l ，其斜率为f ′(x 0)＝0x e ，过点P 作l 的垂线l′，其斜率为-0x 1e .∴直线l 的方程为，令x ＝0得直线l′的方程为，令x ＝0得由题意令∴当x0<1时，g ′(x0)>0，函数g(x0)为增函数.当x0>1时，g ′(x0)<0，函数g(x0)为减函数.∴g(x0)在x0＝1处取极大值，亦即x0>0时t的最大值.【失分警示】误区一：导数的几何意义掌握不到位，不能求出y M，y N.误区二：求得函数关系t＝g(x0)后，不能利用导数求t的最值.【评析】本题考查导数的几何意义、直线方程、导数的应用等相关知识，知识点较多，难度偏大，考查学生的运算求解能力、分析问题解决问题的综合能力.13.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.33【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3，又a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2+1，a6＝a2+2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得33≤q≤3，故q 的最小值为33.【失分警示】不理解题意，无法获得相应的不等关系是学生失分的主要原因.【评析】本题主要考查等差、等比数列的通项公式，考查学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，属中等难度试题. 14.设集合，B ＝{(x ，y)|2m≤x+y≤2m+1，x ，y∈R}.若A∩B≠∅，则实数m 的取值范围是________.【答案】【解析】由A≠∅可知m 2≥2m ，解得m≤0或m≥12.由题意知，若A∩B≠∅， 则有(1)当2m+1<2，即m<12时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m+1的距离为d 1＝≤|m|，化简得2m 2-4m+1≤0， 解得1-22≤m≤1+22，所以1-22≤m<12.(2)当2m≤2≤2m+1，即12≤m≤1时，A∩B≠∅恒成立.(3)当2m>2，即m>1时，圆心(2,0)到直线x+y ＝2m 的距离为d 2＝≤|m|，化简得m 2-4m+2≤0， 解得2-2≤m≤2+2， 所以1<m≤2+2.综上可知：满足题意的m 的取值范围为.【失分警示】读不懂题意，分析不彻底是解答本题失分的主要原因.【评析】本题主要考查圆与直线的位置关系，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.能根据圆心与直线的位置关系分类讨论是解答本题的关键，本题属较难题目.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.(Ⅰ)若sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos A ，求A 的值；(Ⅱ)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值. 【解析】(Ⅰ)由题设知sin Acos 6π+cos Asin 6π＝2cos A.从而sin A ＝3cos A ，所以cosA≠0，tan A ＝3.因为0<A<π，所以A ＝3π.(Ⅱ)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2+c 2-2bccos A ，得a 2＝b 2-c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝2π.所以sin C ＝cos A ＝13.【失分警示】由余弦定理及b ＝3c ，求得a ＝22c 后，方向不明确，思维受阻.事实上有两个方向均可，一是注意到a 2+c 2＝9c 2＝(3c)2＝b 2，出现直角三角形，二是利用正弦定理，并由a ＝22c>c ，直接求解.当然方法二要注意到a>c ，角C 不可能是钝角，不需要分类讨论. 【评析】本题考查同角三角函数的关系，两角和公式，正弦定理，余弦定理，对运算能力有较高要求，对解题程序设计能力考查较为深入，不同的思路运算量差别较大.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点.求证：(Ⅰ)直线EF∥平面PCD ； (Ⅱ)平面BEF⊥平面PAD.【解析】(Ⅰ)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(Ⅱ)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.【失分警示】证明过程中关键步骤省略或遗漏常导致无谓失分，此外学生对如何证面与面垂直认识模糊、思路不清也是失分的原因之一.【评析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定、性质，对考生的文字或符号表达能力、空间想象能力、推理论证能力均有较高要求，难度中等偏难.17.(本小题满分14分)请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).(Ⅰ)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(Ⅱ)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得a＝2x，h＝6022x-＝2 (30-x)，0<x<30.(Ⅰ)S＝4ah＝8x(30-x)＝-8(x-15)2+1 800，所以当x＝15时，S取得最大值.(Ⅱ)V＝a 2h ＝22(-x 3+30x 2)，V′＝62x(20-x). 由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值. 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.【失分警示】应用问题的难点是建立适当的数学模型.对变量取值范围的限制不准确常常导致失分.对实际问题求最值时，也易犯经验主义错误，想当然地认为正方体时取最值.【评析】本题考查函数的概念、导数求法等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力、运算能力及解决实际问题的能力等，要求高，难度较大，易错点颇多.18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆24x +22y ＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限.过P 作x 轴的垂线，垂足为C.连结AC ，并延长交椭圆于点B.设直线PA 的斜率为k.(Ⅰ)若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； (Ⅱ)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (Ⅲ)对任意的k>0，求证：PA⊥PB.【解析】(Ⅰ)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(-2,0)，N(0，-2)，所以线段MN 中点的坐标为21,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以k ＝221--＝22. (Ⅱ)直线PA 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得24x +242x ＝1，解得x ＝±23，因此P 24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 24,33⎛⎫--⎪⎝⎭.于是C 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AC 的斜率为＝1，故直线AB 的方程为x-y-23＝0.因此，.(Ⅲ)解法一：将直线PA 的方程y ＝kx 代入24x +22y ＝1，解得x ＝±.记μ＝，则P(μ，μk)，A(-μ，-μk).于是C(μ，0).故直线AB 的斜率为，其方程为y ＝2k(x-μ)，代入椭圆方程得(2+k 2)x 2-2μk 2x-μ2(3k 2+2)＝0，解得或x ＝-μ.因此.于是直线PB 的斜率因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.解法二：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(-x 1，-y 1)，C(x 1,0).设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2.因为C 在直线AB 上，所以从而k 1k+1＝2k 1k 2+1＝2因此k 1k ＝-1，所以PA⊥PB.【失分警示】第(Ⅰ)小问常见错误是联解直线AP 与直线MN 的方程组.求出交点坐标(用k 表示)，再由中点坐标公式构建关于k 的方程求k.运算复杂，步骤较多，易造成计算错误或耗时失分.处理第(Ⅱ)小问思维受阻后，如果利用第(Ⅲ)小问的结论通过面积法求点P 到直线AB 的距离，事实上并不太容易，需要联解方程组,当然利用k PB ＝-12可较快求出B 点坐标.【评析】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，是解析几何的经典题型.对考生的运算能力有较高的要求，对考生的心理素质的要求也较高，属难题.19.(本小题满分16分)已知a ，b 是实数，函数f(x)＝x 3+ax ，g(x)＝x 2+bx, f ′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数.若f ′(x)g′(x)≥0在区间I 上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I 上单调性一致.(Ⅰ)设a>0.若f(x)和g(x)在区间[-1，+∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (Ⅱ)设a<0且a≠b.若f(x)和g(x)在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值. 【解析】f ′(x)＝3x 2+a ，g′(x)＝2x+b.(Ⅰ)由题意知f ′(x)g′(x)≥0在[-1，+∞)上恒成立.因为a>0，故3x 2+a>0，进而2x+b≥0，即b≥-2x 在区间[-1，+∞)上恒成立， 所以b≥2.因此b 的取值范围是[2，+∞).(Ⅱ)令f ′(x)＝0，解得x 3a -若b>0，由a<0得0∈(a，b).又因为f ′(0)g′(0)＝ab<0，所以函数f(x)和g(x)在(a ，b)上不是单调性一致的.因此b≤0.现设b≤0.当x∈(-∞，0)时，g′(x)<0； 当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)>0.因此，当x∈,3a ⎛-∞-- ⎝时， f ′(x)g′(x)<0. 故由题设得a≥3a -b≥3a -从而-13≤a<0，于是-13≤b≤0.因此|a-b|≤13，且当a ＝-13，b ＝0时等号成立.又当a ＝-13，b ＝0时，f ′(x)g′(x)＝6x 219x ⎛⎫-⎪⎝⎭，从而当x∈1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭时f ′(x)g ′(x)>0，故函数f(x)和g(x)在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调性一致.因此|a-b|的最大值为13.【失分警示】当a<0时，由于f ′(x)的符号不确定，容易误认为先对a进行分类讨论，其次再对b进行分类讨论时，分类标准难以确定，导致分类混乱，也是常见的失分原因. 【评析】本题考查函数的概念、性质及导数等基础知识，对数形结合思想、函数与方程思想均有考查，对分类讨论思想的考查要求很高，要求考生具备较强的综合思维能力和运算能力，属难题.20.(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1＝1，前n项的和为S n，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n-k＝2(S n+S k)都成立.(Ⅰ)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(Ⅱ)设M＝{3,4}，求数列{a n}的通项公式.【解析】(Ⅰ)由题设知，当n≥2时，S n+1+S n-1＝2(S n+S1)，即(S n+1-S n)-(S n-S n-1)＝2S1.从而a n+1-a n ＝2a1＝2.又a2＝2，故当n≥2时，a n＝a2+2(n-2)＝2n-2.所以a5的值为8.(Ⅱ)由题设知，当k∈M＝{3,4}且n>k时，S n+k+S n-k＝2S n+2S k且S n+1+k+S n+1-k＝2S n+1+2S k，两式相减得a n+1+k+a n+1-k＝2a n+1，即a n+1+k-a n+1＝a n+1-a n+1-k.所以当n≥8时，a n-6，a n-3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n-6，a n-2，a n+2，a n+6也成等差数列.从而当n≥8时，2a n＝a n+3+a n-3＝a n+6+a n-6，(*)且a n+6+a n-6＝a n+2+a n-2.所以当n≥8时，2a n＝a n+2+a n-2，即a n+2-a n＝a n-a n-2.于是当n≥9时，a n-3，a n-1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n+3+a n-3＝a n+1+a n-1，故由(*)式知2a n＝a n+1+a n-1，即a n+1-a n＝a n-a n-1.当n≥9时，设d＝a n-a n-1.当2≤m≤8时，m+6≥8，从而由(*)式知2a m+6＝a m+a m+12，故2a m+7＝a m+1+a m+13.从而2(a m+7-a m+6)＝a m+1-a m+(a m+13-a m+12)，于是a m+1-a m＝2d-d＝d.因此，a n+1-a n＝d对任意n≥2都成立.又由S n+k+S n-k-2S n＝2S k(k∈{3,4})可知(S n+k-S n)-(S n-S n-k)＝2S k，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得a4＝72d，从而a2＝32d，a1＝2d.因此，数列{a n}为等差数列.由a1＝1知d＝2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n-1.【失分警示】使用S n与a n之间的关系式时，易忽略n≥2的条件.此外，对题意的理解困难导致思维受阻也是本题的失分之处.【评析】本题考查数列的概念，数列的通项与前n项和之间的关系，以及等差数列、等比数列的基础知识，对考生的分析探究能力、运算能力、逻辑推理能力均有较高要求.数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．．其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分。
2011-江苏高考_数学试题含详细解析(20200910042304)
x| ＝ 1，解得
1 x＝e或 x
＝ e( 舍去 ) ．
当 x>1 时，由 | f （ x）＋ g（ x） | ＝ 1 得 | ln x| ＝ 3－ | x2－ 4| 或 | ln x| ＝ 1－ | x2－4| . 分
别在同一个坐标系中作出函数
y ＝ | ln x| 与 y＝ 3－ | x2－4| 的图像 ( 如图 1) 和函数 y＝
6
＋ cos
6
kπ （ k＋ 1）π
kπ （ k＋ 1）π
kπ （ k＋1）π
kπ
＝ 2cos 6 cos
6
＋ sin 6 sin
6
＋ s（k＋ 1）π sin
6
＝ cos kπ cos （ k＋ 1）π ＋ cos π ＋ sin （ 2k＋1）π ＝ 1 cos （ 2k＋1）π ＋
[ 解析 ] 不妨设点 P( x0， x20－ 1)( x0 ≥ 1) ，则点 P 到直线 x－ y＋ 1＝ 0 的距离 d＝
| | x0－
x20－ 1＋ 1 . 令 u( x) ＝ x－
2
x 2－ 1 ＝ x＋
1
x2－
，则 1
u( x) 是单调递减函数，且
u( x)>0.
2
2
当 x→＋∞时， u( x) →0，所以 d> 2 ，故 cmax＝ 2 .
17．解： (1) 由题意知，点 M， N的坐标分别为 (5 ， 40) ， (20 ，．
将其分别代入
a y＝ x2＋b，得
a 25＋ b＝ 40，
a 400＋ b＝，
a＝1000， 解得
b＝0.
1000
1000
(2) ①由 (1) 知， y＝ x2 ( 5≤ x≤20 ) ，则点 P 的坐标为 t ， t 2 .
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解江苏
2011年江苏一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=−1,1,2,4，B=−1,0,2，则A∩B=．2. 函数f x=log52x+1的单调增区间是．3. 设复数z满足i z+1=−3+2i（i是虚数单位），则z的实部是．4. Read a,bIf a>b Then m←aElse m←bEnd IfPrint m根据上述伪代码，当输入a,b分别为2,3时，最后输出的m的值是．5. 从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．6. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=．7. 已知tan x+π4=2,则tan xtan2x的值为．8. 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f x=2x的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是．9. 函数f x=A sinωx+φ，（A,ω,φ是常数，A>0,ω>0）的部分图象如图所示，则f0=．10. 已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a=e1−2e2，b=ke1+e2，若a⋅b=0，则k的值为．11. 已知实数a≠0，函数f x=2x+a,x<1,−x−2a,x≥1.若f1−a=f1+a，则a的值为．12. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f x=e x x>0的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．13. 设1=a1≤a2≤⋯≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．14. 设集合A=x,y m2≤x−22+y2≤m2,x,y∈R ，B=x,y2m≤x+y≤2m+ 1,x,y∈R，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．（1）若sin A+π6=2cos A，求A的值；（2）若cos A=13，b=3c，求sin C的值．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60∘，E，F分别是AP，AD的中点．求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm．（1）若广告商要求包装盒侧面积S cm2最大，试问x应取何值?（2）若广告商要求包装盒容积V cm3最大，试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB．19. 已知a,b是实数，函数f x=x3+ax,g x=x2+bx，fʹx和gʹx分别是f x，g x的导函数，若fʹx gʹx≥0在区间I上恒成立，则称f x和g x在区间I上单调性一致．（1）设a>0，若函数f x和g x在区间−1,+∞上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a<0且a≠b，若f x和g x在以a,b为端点的开区间上单调性一致，求 a−b 的最大值．20. 设M为部分正整数组成的集合，数列a n的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n−k=2S n+S k都成立．（1）设M=1,a2=2，求a5的值；（2）设M=3,4，求数列a n的通项公式．21. 如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2r1>r2，圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值．22. 已知矩阵A=1121，向量β=12，求向量α，使得A2α=β．23. 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x=5cosφy=3sinφ φ为参数的右焦点，且与直线x=4−2ty=3−t t为参数平行的直线的普通方程．24. 解不等式：x+2x−1<3．25. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1−DN−M的大小为θ．（1）当θ=90∘时，求AM的长；（2）当cosθ=66时，求CM的长．26. 设整数n≥4，P a,b是平面直角坐标系xOy中的点，其中a,b∈1,2,3,⋯,n,a>b．（1）记A n为满足a−b=3的点P的个数，求A n；（2）记B n为满足13a−b是整数的点P的个数，求B n．答案第一部分1. −1,22. −12,+∞3. 14. 3【解析】该代码的作用是求两个数中的最大值．5. 136. 1657. 49【解析】tan x=tan x+π4−π4=tan x+π4−11+tan x+4=1 3．tan x tan2x =tan x2tan x1−tan x=1−tan2x =4.8. 4【解析】设交点分别为P x,2x 、Q −x,−2x，则PQ=2x2+4x≥4，当且仅当x=±2时取等号．9. 62【解析】由图可知，A=2，T4=7π12−π3=π4，所以T=2πω=π，ω=2．从而2×7π12+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π3，其中k∈Z．则f0=2sin2kπ+π3=62．10. 5411. −34【解析】当a>0时，f1−a=f1+a⇒2−2a+a=−1−a−2a，解得a=−32，矛盾；当a<0时，f1−a=f1+a⇒−1+a−2a=2+2a+a，解得a=−34．12. 12e+1e【解析】设P x0,e x0，则l:y−e x0=e x0x−x0．所以M0,1−x0e x0．过点P作l的垂线y−e x0=−e−x0x−x0,则N0,e x0+x0e−x0．则有t=11−x0e x0+e x0+x0e−x0=e x0+1x0e−x0−e x0,tʹ=1e x0+e−x01−x0．所以，t在0,1上单调增，在1,+∞单调减，t max=12e+1e.13. 33【解析】由题意，得1=a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3,即1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3,所以a2≤q≤a2+1,a2+1≤q2≤a2+2,q3≥a2+2≥3,而a2≥1，所以a2、a2+1、a2+2的最小值分别为1、2、3，故q min=33．14. 12,2+2【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则m2≥m ,即m≥12或m≤0;显然B≠∅．因为圆x−22+y2=m2m≠0与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需2≤ m2≤ m ,所以2−22≤m≤2+2,①当m<0时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；②当m=0时，点2,0不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．③当12≤m≤2+2时，圆x−22+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；④当m>2+2时，圆x−22+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆x−22+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．综上所述，满足条件的m的取值范围为12,2+2．第二部分15. （1）因为sin A+π6=32sin A+12cos A=2cos A,所以sin A=A，所以A=π3．（2）因为cos A=13，b=3c，所以a2=b2+c2−2bc cos A=8c2,a=22c.由正弦定理得：22c=c,而sin A=1−cos2A=223，所以sin C=13．16. （1）因为E，F分别是AP，AD的中点，所以EF∥PD,又因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以直线EF∥平面PCD．（2）因为AB=AD，∠BAD=60∘，F是AD的中点，所以BF⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥面PAD，又BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．17. （1）S=602−4x2−60−2x2=240x−8x20<x<30,所以x=15 cm时侧面积最大．（2）V=2x 2⋅22⋅60−2x=22x230−x0<x<30,所以，Vʹ=62x20−x,当0<x<20时，V递增，当20<x<30时，V递减，所以，当x=20时，V最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为2260−2x2x=12．18. （1）依题意可得a=2，b=M−2,0，N 0,−．M，N的中点坐标为 −1,−22，所以k=22．（2）由y=2x,x2+2y2=4,得P 2,4,A −2,−4,C2,0,AC方程为y −43=x−23−23−23,即y=x−23．所以点P到直线AB的距离d=23−43−232=22.（3）由题意设P x0,y0，A−x0,−y0，B x1,y1，则C x0,0，因为A，C，B三点共线，所以y1 x1−x0=y02x0=y1+y0x1+x0,又因为点P，B在椭圆上，所以x02 4+y022=1,x124+y122=1,两式相减得：k PB=−x0+x1 01,所以k PA k PB=y0−x0+x101=−y1+y0x0+x11001=−1,所以PA⊥PB．19. （1）因为函数f x和g x在区间−1,+∞上单调性一致，所以，∀x∈−1,+∞,fʹx gʹx≥0,即∀x∈−1,+∞,3x2+a2x+b≥0,∵a>0，∴∀x∈−1,+∞,2x+b≥0,即∀x∈−1,+∞,b≥−2x,所以b≥2.（2）令fʹx=0，解得x=±−a 3 ,若b>0，由a<0得0∈a,b，又因为fʹ0gʹ0=ab<0,所以函数f x和g x在a,b上单调性不一致，因此b≤0.由此得当x∈−∞,0时，gʹx<0,当x∈ −∞,−−a3时，fʹx>0,因此，当x∈ −∞,−−a3时，fʹx gʹx<0,故由题设得a≥−−a3且b≥−−a3，从而−13≤a<0,于是−13≤b≤0,因此a−b ≤1 ,且当a=−13,b=0时等号成立．又当a=−13,b=0时，fʹx gʹx=6x x2−1 9 ,从而当x∈ −13,0时，fʹx gʹx>0,故函数f x和g x在 −13,0上单调性一致．因此 a−b 的最大值为13．20. （1）∵k=1，∴∀n>1,S n+1+S n−1=2S n+S1，所以S n+2+S n=2S n+1+S1,即a n+2+a n=2a n+1,所以，n>1时，a n成等差数列，而a2=2,S2=3,S3=2S2+S1−S1=7,∴a3=4，∴a5=8．（2）由题意：∀n>3,S n+3+S n−3=2S n+S3, ⋯⋯①∀n>4,S n+4+S n−4=2S n+S4, ⋯⋯②∀n>3,S n+4+S n−2=2S n+1+S3, ⋯⋯③∀n>4,S n+5+S n−3=2S n+1+S4, ⋯⋯④当n≥5时，由①②得：a n+4−a n−3=2a4, ⋯⋯⑤由③④得：a n+5−a n−2=2a4, ⋯⋯⑥由①③得：a n+4+a n−2=2a n+1, ⋯⋯⑦由②④得：a n+5+a n−3=2a n+1, ⋯⋯⑧由⑦⑧知：a n+4,a n+1,a n−2成等差，a n+5,a n+1,a n−3成等差；设公差分别为：d1,d2，由⑤⑥得：a n+5=a n−3+2d2=a n+4−2a4+2d2, ⋯⋯⑨a n+4=a n−2+2d1=a n+5−2a4+2d1, ⋯⋯⑩由⑨⑩得：a n+5−a n+4=d2−d1,2a4=d1+d2,a n−2−a n−3=d2−d1;∴a n n≥2成等差，设公差为d，在①②中分别取n=4,n=5得：2a1+6a2+15d=22a1+5a2+4d,2a1+8a2+28d=22a1+7a2+9d,即4a2−7d=−2,3a2−5d=−1,∴a2=3,d=2，∴a n=2n−1n≥2，经检验，n=1时也符合．所以a n=2n−1,n∈N∗．21. 如图，连接AO1，BO1，CO2．由弦切角定理可得△AO2C∼△AO1B，所以AB=O1B2=r12.所以AB:AC为定值．22.A2=3243.设α=xy，由A2α=β，得3243xy=12,所以3x+2y=1,4x+3y=2,解得x=−1,y=2,所以α=2.23. 椭圆的普通方程为x225+y29=1，右焦点为4,0；直线的普通方程为2y−x=2，斜率为12；故所求直线方程为y=12x−4，即x−2y−4=0．24. 原不等式等价于：x−3<2x−1<3−x,解得−2<x<4 3 ,故解集为 −2,43．25. （1）以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系．则A1,0,0,A11,0,2，N12,1,0，C0,1,0．设M0,1,t，面MDN的法向量m=x1,y1,z1，则m⋅DN=0,m⋅DM=0,即x1+2y1=0,y1+tz=0,取x1=2t，则m=2t,−t,1.设面A1DN的法向量为n=x0,y0,z0，则DA1⋅n=0,DN⋅n=0,即x0+2z0=0,x0+2y0=0,取x0=2,则n=2,−1,−1,由题意得m⋅n=5t−1=0,解得t=1 5 .从而M0,1,1 ,所以AM=1−02+0−12+0−1 52=51.（2）由题意得cosθ=m⋅nm⋅n=5t−16⋅5t2+1=66,解得t=1,t=0舍.从而CM的长为12.26. （1）因为满足a−b=3,a,b∈1,2,3,⋯,n,a>b的每一组解构成一个点P,所以A n=n−3.（2）设k为正整数，记f n k为满足题设条件以及a−b=3k的点P的个数，只要讨论f n k≥1的情形．由1≤b=a−3k≤n−3k知f n k=n−3k,且k≤n−1,设n−1=3m+r，其中m∈N∗，r∈0,1,2，则k≤m,所以B n=f n kmk=1=n−3kmk=1=mn−3m m+1=m2n−3m−3,将m=n−1−r3代入上式，化简得B n=n−1n−26−r r−16,所以B n=n n−36,n3是整数, n−1n−2,n不是整数.。
2011江苏高考数学试卷全部解析
2011江苏高考数学试卷全部解析一、 填空题1.已知集合{}4,2,1,1-=A ，{}2,0,1-=B ,则=⋂B A 。
解析：答案为{}2,1-。
本题考查了集合的概念和运算，是B 级要求，容易题。
由集合的交集意义得{}2,1-=⋂B A 。
集合复习时要围绕概念及运算加强理解，适当把集合和方程、不等式等结合。
2.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 。
解析：答案为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。
本题考查了函数的单调性、对数函数的定义和性质，是B 级要求，容易题。
由012>+x ，得21->x ，所以函数的单调增区间是⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21。
要熟知各类函数的定义、性质，尤其是一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数。
3.设复数z 满足i z i 23)1(+-=+，(i 为虚数单位)，则z 的实部是 。
解析：答案为1。
本题考查了复数的运算和复数的概念，是B 级要求，容易题。
由i z i 23)1(+-=+得i z i z 31,321+=+=+，所以z 的实部是1。
要熟练掌握复数的概念和运算，复数的几何意义也要了解。
4.根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为 。
解析：答案为3。
本题考查了算法的有关概念和算法中的基本算法语句，是A 级要求，容易题。
08、09和10年都考查了算法流程图，今年考查的基本算法语句与算法流程图都是算法中的基本内容。
算法常与函数、方程、不等式和数列结合考查，要熟知基本的算法语句和流程图。
5.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 。
解析：答案为31。
本题考查了概率的概念和古典概型的概率计算，是B 级要求，容易题。
由题意得取出的两个数为：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4共六种基本情况，则其中一个数是另一个数的两倍的为1和2及2和4两种，所以所求的概率为3162=。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：（1）样本数据的方差，其中．12,,,n x x x …()2211n i i s x x n ==-∑11n i i x x n ==∑（2）直棱柱的侧面积，其中为底面周长，为高．S ch =c h （3）棱柱的体积，其中为底面积，为高．V Sh =S h 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，，则 ▲ ．{1,1,2,4}A =-{1,0,2}B =-A B = 2．函数的单调增区间是 ▲ ．)12(log )(5+=x x f 3．设复数满足（为虚数单位），则的实部是 ▲ z i z i 23)1(+-=+i z ．4．根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，最后输出的的b a ,m 值为 ▲ ．5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ▲ ．6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差2s = ▲ ．7．已知，则的值为 ▲ tan(24x π+=x x 2tan tan ．8．在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线xOy 与函数的图象交于、两点，则线段x x f 2)(=P Q 长的最小值是▲ ．PQ 9．函数（，，是常数，()sin()f x A x ωϕ=+A ωϕ，）的部分图象如图所示，则的值是 ▲ ．0A >0ω>(0)f 10．已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，1e 2e π32122a e e =- 12b ke e =+ 0a b ⋅= 则实数的值为 ▲ ．k决吊顶时切对电气厂家机组在行外部11．已知实数，函数，若，则的值为0≠a ⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f )1()1(a f a f +=-a ▲ ．12．在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象xOy P )0()(>=x e x f x在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点P l y M P l y N MN 的纵坐标为，则的最大值是 ▲ ．t t 13．设，其中成公比为的等比数列，成公差为1271a a a =≤≤≤…7531,,,a a a a q 642,,a a a 1的等差数列，则的最小值是 ▲ ．q 14．设集合，，{(,)|A x y =222(2)2m x y m ≤-+≤},x y R ∈{(,)|B x y =2m x y ≤+≤，，若， 则实数的取值范围是 ▲ ．21m +},x y R ∈A B ≠∅ m 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在中，角的对边分别为．ABC ∆,,A B C c b a ,,（1）若，求的值；sin()2cos 6A A π+=A （2）若，，求的值．1cos 3A =3b c =C sin 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD P -PAD ⊥，，，分别是ABCD AB AD =60BAD ∠= ,E F 的中点．,AP AD 求证：（1）直线平面；//EF PCD （2）平面平面．BEF ⊥PAD 17．（本小题满分14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x （cm ）．（1）某广告商要求包装盒的侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的P E F A B C D料试高与底面边长的比值．P 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的顶点，过坐标原点xOy ,M N 12422=+y x 的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连,P A P P x C 接，并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．AC B PA k （1）当直线平分线段，求的值；PA MN k （2）当时，求点到直线的距离；2k =P AB d （3）对任意，求证：．0k >PA PB ⊥19．（本小题满分16分）已知是实数，函数，，和是和,a b 3()f x x ax =+2()g x x bx =+)(x f ')(x g '()f x 的导函数．若在区间上恒成立，则称和在区间上单()g x 0)()(≥''x g x f I )(x f )(x g I 调性一致．（1）设，若和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；0>a )(x f )(x g ),1[+∞-b （2）设且，若和在以为端点的开区间上单调性一致，求0a <b a ≠)(x f )(x g ,a b 的最大值．||a b-20．（本小题满分16分）设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任M }{n a 11=a n n S 意整数，当时，都成立．k M ∈n k >)(2k n k n k n S S S S +=+-+（1）设，，求的值；{1}M =22=a 5a （2）设，求数列的通项公式．{3,4}M =}{n a2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ（附加题）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与（1O 2O A 1r 2r ）．圆的弦交圆于点（不在上）．12r r >1O AB 2O C 1O AB 求证：为定值．:AB AC B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，向量．求向量，使得．1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α2αβ=A C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线xOy 5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（为参数）平行的直线的普通方程．423x t y t =-⎧⎨=-⎩t D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：．|21|3x x +-<【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正四棱柱中，，，1111ABCD A B C D -12AA =1AB =点是的中点，点在上．N BC M 1CC 设二面角的大小为．1A DN M --θ（1）当时，求的长；90θ=AM （2）当时，求的长．cos θ=CM 23．（本小题满分10分）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，4n ≥(,)P a b xOy ,a b ∈{}1,2,3,,n …．a b >（1）记为满足的点的个数，求；n A 3a b -=P n A （2）记为满足是整数的点的个数，求．n B 1()3a b -P n B A B C D 1A 1B 1C 1D N M- 1 -。
江苏省高考数学真题(含答案)精编版
2011江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
．．．．．．．．．． 1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A 2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←bEnd If Print m5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、填空题1. 已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A2. 函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3. 设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4. 根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________5. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s7. 已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________ 8. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P. Q两点，则线段PQ 长的最小值是________9. 函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f10. 已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为________11. 已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13. 设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14. 设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________ 二、解答题：15. 在△ABC 中，角A. B. C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.16. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∟BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证： （1）直线EF ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E. F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？FEACDBPxxEF AB D C（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，M. N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P. A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB19. 已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+=)(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致 （1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值20. 设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立 （1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式。
21. A. 选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2（r 1＞r 2 ）. 圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C （ O 1不在AB 上）. 求证：AB ：AC 为定值.B. 选修4﹣2：矩阵与变换 已知矩阵，向量. 求向量，使得A 2=.C. 选修4﹣4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t 为参数）平行的直线的普通方程. D. 选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式：x+|2x ﹣1|＜3.22. 如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2，AB=1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上. 设二面角A 1﹣DN ﹣M 的大小为θ（1）当θ=90° 时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长.23. 设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b.（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n.参考答案一、填空题1. {﹣1，2}2. （﹣，+∞）3. 14. 35.6. 3. 27.8. 49. 10.11. 12. 13. 14. [，2+]二、解答题15. 解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=16. 证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∠PD.又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∠平面PCD.（2）连接BD. 因为AB=AD，∟BAD=60°.所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD.17. 解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30.（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值.（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，.即此时包装盒的高与底面边长的比值是.18. 解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=.（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0.因此，d=.（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）.设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===.因此kk 1=﹣1，所以PA⊥PB .19. 解：()f x '=3x 2+a ，()g x '=2x+b.（1）由题得()f x '()g x '≥0在[﹣1，+∞）上恒成立. 因为a ＞0，故3x 2+a ＞0， 进而2x+b≥0，即b≥﹣2x 在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2. 故实数b 的取值范围是[2，+∞） （2）令()f x '=0，得x=.若b ＞0，由a ＜0得0∈（a ，b ）. 又因为()f x '()g x ' =ab ＜0， 所以函数f （x ）和g （x ）在（a ，b ）上不是单调性一致的. 因此b≤0.现设b≤0，当x ∈（﹣∞，0）时，()g x '＜0； 当x ∈（﹣∝，﹣）时，()f x '＞0.因此，当x ∈（﹣∝，﹣）时，()f x '()g x '＜0.故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b ＜0，因此|a ﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立， 又当a=﹣，b=0时，()f x '()g x '=6x （x 2﹣），从而当x ∈（﹣，0）时()f x '()g x '＞0.故函数f （x ）和g （x ）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a ﹣b|的最大值为.20. 解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S n+1+S n ﹣1=2（S n +S 1）， 即（S n+1﹣S n ）﹣（S n ﹣S n ﹣1）=2S 1，又a 1=1， 则a n+1﹣a n =2a 1=2，又a 2=2，所以数列{a n }除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列， 故当n≥2时，a n =a 2+2（n ﹣2）=2n ﹣2，所以a 5=8； （2）根据题意可知当k ∈M={3，4}，且n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）①，且S n+1+k+S n+1﹣k=2（S n+1+S k）②，②﹣①得：（S n+1+k﹣S n+k）+（S n+1﹣k﹣S n﹣k）=2（S n+1﹣S n），即a n+1+k+a n+1﹣k=2a n+1，可化为：a n+1+k﹣a n+1=a n+1﹣a n+1﹣k所以n≥8时，a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，从而当n≥8时，2a n=a n﹣3+a n+3=a n﹣6+a n+6，（*）且a n﹣2+a n+2=a n﹣6+a n+6，所以当n≥8时，2a n=a n﹣2+a n+2，即a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，于是得到当n≥9时，a n﹣3，a n﹣1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n﹣3+a n+3=a n﹣1+a n+1，由（*）式可知：2a n=a n﹣1+a n+1，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，当n≥9时，设d=a n﹣a n﹣1，则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2a n+6=a n+a n+12，得到2a n+7=a n+1+a n+13，两式相减得：2（a n+7﹣a n+6）=a n+1﹣a n+（a n+13﹣a n+12），则a n+1﹣a n=2d﹣d=d，因此，a n﹣a n﹣1=d对任意n≥2都成立，又由S n+k+S n﹣k﹣2S n=2S k，可化为：（S n+k﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣k）=2S k，当k=3时，（S n+3﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，因为a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，则数列{a n}为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1.21. 解：A. 如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∟ACE=∟ABD=90°，∴EC∠DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2为定值.B. A2==，设向量=，由 A2=可得=，∴，解得 x=﹣1，y=2，∴向量=.C. 椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），直线（t为参数）即 x﹣2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为y﹣0=（x﹣4），即 x﹣2 y﹣4=0.D. 原不等式可化为，或，解得≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集为 {x|﹣2＜x＜}.22. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A （1，0，0），A1（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t）；所以=（，1，0）. =（1，0，2），=（0，1，t）设平面DMN的法向量为=（x 1，y1，z1），则，，即x 1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=﹣t，x1=2t所以=（2t，﹣t，1），设平面A 1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即x 2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=﹣2所以=（﹣2，1，1），（1）因为θ=90°，所以解得t=从而M（0，1，），所以AM=（2）因为，所以，恒谦教育研究院西安恒谦教育科技股份有限公司 第11页 cos == 因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t= 根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM 的长为.23. 解：（1）点P 的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以A n =n ﹣3；（2）设k 为正整数，记f n （k ）为满足题设条件以及a ﹣b=3k 的点P 的个数，只要讨论f n （k ）≥1的情形，由1≤b=a﹣3k≤n﹣3k ，知f n （k ）=n ﹣3k 且，设n ﹣1=3m+r ，其中m ∈N +，r ∈{0，1，2}，则k≤m，所以B n ===mn ﹣= 将m=代入上式，化简得B n = 所以B n =。