山西省太原市第五中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文

山西省太原市第五中学2020届高三数学上学期10月月考试题 文
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2
{|340}M x x x =--≤，1|,14x
N y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则（ ）
A ．N M ⊇
B ．M N ⊇
C ．M N =
D ．R C N M ⊇ 2. 复数满足i
i
z -=12，则复数的虚部为（ ） A ．1-
B ．1
C ．i
D ．i -
3.已知(1,2)a →
=，(3,4)b →
=，2a b a b λ→→→→⎛⎫⎛⎫
+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则λ=（ ）
A ．61
27
-
B ．
6127 C ．1
2
- D ．
1
2
4.若31
)21
(=a ，3log ,2log 2
131==c b ,则c b a ,,的大小关系是( )
A.c a b <<
B.a c b <<
C. a b c <<
D. c b a <<
5. 已知命题000:,cos sin p x R x x ∃∈>，命题()1
:0,,sin 2sin q x x x
π∀∈+>，则下列说法正确的是（ ）
A ．命题p q ∨是假命题
B ．命题p q ∧是真命题
C ．命题()p q ∨⌝是假命题
D ．命题()p q ∧⌝是真命题
6.若实数x ，y 满足632y x
x y y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．8
D ．9 7.已知某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示,
则该几何体的体积是（ ）
A. 108 cm 3
B. 100 cm 3
C. 92 cm 3
D. 84 cm 3
8. 若 ，则 （ ）
A.
B. C.
D.
9. 已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，
313
(1),(),(
)23
f f f 的大小关系是（ ） A. 313(1)()(
)2
3f f f << B. 313()(1)()23
f f f << C. 133(
)(1)()32f f f << D. 133
()()(1)32
f f f << 10．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在
此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16163+O 的体积等于（ ）
A 42π
B 162π
C 322π
D 642π
11.已知双曲线22221x y a b
-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线 )0(22
>=p px y 的准
线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,ABO ∆的面积为 32, 则抛物线的焦点为( )
A.(
0,21
)
B.（0,22）
C.)0,1(
D.)0,2(
12．已知x xe x f =)(，又)()()(2
x tf x f x g -=（R t ∈），若满足1)(-=x g 的x 有四
个，则t 的取值范围是（ ）
A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞-e e 1,2
B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞+,12e e
C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2,12e e
D ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+e e 1,22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在等差数列 }{
n a 中，已知 3810a a +=，则 573a a += ．
14. 2020年4月,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、 乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:
爸爸:冠军是甲或丙；妈妈:冠军一定不是乙和丙；孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ．
15. 当输入的实数x ∈[2,30]时,执行如图所示的程序框图,则输出的x 不小于103的概率是 ．
16.已知函数21,0()1,0
x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2
(2)()f x f x ->的x 的取值范围
是 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）已知函数2
()2cos 23sin cos ()f x x x x x R =+∈.
（1）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且3,()2c f C ==，若向量
(1,sin )m A →=与向量(2,sin )n B →
=共线，求,a b 的值．
18.（12分）为了解太原各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，
回答问题“太原市有哪几个著名的旅游景点？”，统计结果及频率分布直方图如图表．
组号
分组
回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 [15，25) a
0.5
第2组 [25，35) 18
x
第3组 [35，45) b
0.9 第4组 [45，55) 9 0.36
第5组 [55，65]
3
y
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的 方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？ （3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取 的人中恰好没有第3组人的概率.
19.（12分）如图，已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中点． （1）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；
（2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥M ﹣EFG 的体积．
20.（12分）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，
离心率为
1
2
，点A 在椭圆C 上，12AF =，1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若P ，Q 的中点为N ，在线段2OF 上是否存在点(),0M m ，使得MN PQ ⊥？ 若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．
21.（12分）已知2
()()ln f x x ax x =-2
322
x ax -+. （1）求()f x 的单调递减区间；
（2）证明：当1a =时，3225()32f x x x ≤-11
2ln 246
x +++(0)x >恒成立.
(二) 选考题：共10分.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂则答题无效.
22.（10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C ：
2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --且倾斜角为4
π
的直线l 与曲线C 分别
交于,M N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．
23.（10分）【选修4—5：不等式选讲】
设函数()1f x ax =-.
（1）若()2f x ≤的解集为3,1⎡⎤⎣⎦-，求实数a 的值；
（2）当2a =时，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围．
高 三 数 学（文）
一、选择题： BABCD CBDDD DB 二、填空题：
13. 20 14. 丙 15. 9
14
16. ()
2,1- 三、解答题：
17. ==
令，
解得
即
, f(x) 的递增区间为
(Ⅱ) 由
, 得
而
, 所以
, 所以
得
因为向量
与向量
共线，所以
，
由正弦定理得:
①
由余弦定理得:
, 即a 2
+b 2
－ab=9 ②
由①②解得
18. （Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为
2536
.09
=， 再结合频率分布直方图可知n=
10010
025.025
=⨯, ∴ a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，
2.015
3,
9.02018====y x …4分
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：
265418=⨯人；第3组：365427=⨯人；第4组：1654
9
=⨯人 ………….8分
（Ⅲ）设第2组2人为：A 1，A 2；第3组3人为：B 1，B 2，B 3；第4组1人为：C 1.
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，
(A 1,B 3)，(A 1,C 1)，
(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(A 2,C 1)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 1,C 1)，(B 2,B 3)，(B 2,C 1)，
(B 3,C 1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， …….…10分
∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：5
1
153==
P . …….…12分 19. （1）∵平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，CD 平面ABCD ，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD
又∵△PCD 中，E 、F 分别是PD 、PC 的中点， ∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD
∵EF
平面EFG ，∴平面EFG⊥平面PAD ；
（2）∵EF∥CD，EF
平面EFG ，CD
平面EFG ，
∴CD∥平面EFG ，
因此CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，
∴V M ﹣EFG =V D ﹣EFG ，（8分）
取AD 的中点H 连接GH 、EH ，则EF∥GH， ∵EF⊥平面PAD ，EH
平面PAD ，∴EF⊥EH
于是S △EFH =EF×EH=2=S △EFG ，
∵平面EFG⊥平面PAD ，平面EFG∩平面PAD=EH ，△EHD 是正三角形
∴点D 到平面EFG 的距离等于正△EHD 的高，即为，
因此，三棱锥M ﹣EFG 的体积V M ﹣EFG =V D ﹣EFG =×S △EFG ×=．
20. （Ⅰ）由1
2
e =
得2a c =，12AF =，222AF a =-， 由余弦定理得，222
121212||2|cos |AF AF AF AF A F F +-⋅=，
解得1c =，2a =，2223b a c =-=，
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=． .........5分 （Ⅱ）存在这样的点M 符合题意.
设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,N x y ，
由()21,0F ，设直线PQ 的方程为()1y k x =-，
由()22
1,{43
1,x y
y k x +==-得()22224384120k x k x k +-+-=，.........7分 由韦达定理得2
122
843
k x x k +=+，故212024243x x k x k +==+， 又点N 在直线PQ 上，02
343k
y k -=+，所以22243,4343k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
. ...9分 因为MN PQ ⊥，所以222
30143443
MN k
k k k k m k --
+=
=--+， 整理得222
110,34344k m k k ⎛⎫
==∈ ⎪+⎝⎭
+，
所以存在实数m ，且m 的取值范围为10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
．....12分
21.（1）易得()f x 定义域为(0,)+∞，
'()(2)ln f x x a x =-32x a x a +--+(2)ln (2)x a x x a =--- (2)(ln 1)x a x =--，解'()0f x =得2
a
x =
或x e =. 当0a ≤时，∵0x >，∴20x a ->，
解'()0f x <得x e <，∴()f x 的单调递减区间为(0,)e ； 当0a >时，
i.若2a e <，即02a e <<时，0,2a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，'()0f x >，
,2a x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，'()0f x <，(,)x e ∈+∞时，'()0f x >，
∴()f x 的单调递减区间为,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ii.若2
a
e =，即2a e =时，(0,)x ∈+∞时，'()0
f x ≥恒成立，()f x 没有单调递减区间； iii.若
2a e >，即2a e >时，(0,)x e ∈时，'()0f x >；,2a x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，'()0f x <， ,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，'()0f x >，∴()f x 的单调递减区间为,2a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
综上：0a ≤时，单调递减区间为(0,)e ；02a e <<时，单调递减区间为,2a e ⎛⎫
⎪⎝⎭
； 2a e =时，无单调递减区间；2a e >时，单调递减区间为,2
a e ⎛⎫
⎪⎝
⎭
.
（2）令()()g x f x =3225232x x x ⎛⎫--+
⎪⎝⎭1
1ln 4
6x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，
'()(21)(ln 1)g x x x =--2(252)x x +-+-(21)(ln 1)(21)(2)
x x x x =--+--(21)(ln 1)x x x =-+-.
令()ln 1m x x x =+-，11'()1x
m x x x
-=
-=
， (0,1)x ∈时，'()0m x >，(1,)x ∈+∞时，'()0m x <，
∴1x =时，max ()0m x =，即0x >时，()0m x ≤恒成立. 解'()0g x =得12x =
或1x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >，1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，
'()0g x ≤，∴1
2
x =
时，max ()0g x =，得证. 22.解：（1）2
sin
2cos a ρθθ=可变为22sin 2cos a ρθρθ=，
∴曲线C 的直角坐标方程为22y ax =．(0)a > ……………………………………2分
直线l 的参数方程为2cos 4(4sin 4
x t t y t ππ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩为参数)．
2()4x t y ⎧
=-⎪⎪⇒⎨
⎪=-⎪⎩
为参数
………………………………………4分 （2）将直线l 的参数表达式代入曲线C 得
2)3280t t a -++= ………………………………………………5分
1212,328t t t t a ∴+=⋅=+．(0)a > ……………………………………6分
又1212,,PM t PN t MN t t ===-， …………………………………………8分 由题意知：2
12
12t t t t -=，21212()5t t t t ⇒+= ，代入解得1a =．
23.解：（1）()2f x ≤即12ax -≤，212ax -≤-≤，13ax -≤≤ ……2分
当0a >时，13x a a -
≤≤，即13a -=-，3
1a =无解 ……………3分 当0a <时，31x a a ≤≤-，令11a -=，3
3a
=-，解得1a =-
综上：1a =- ……………………………………………………5分
（2）当2a =时，令()(21)(1)h x f x f x =+--=124,41362,42324,2x x x x x x ⎧
--<-⎪⎪
⎪
--≤<⎨⎪
⎪
+≥⎪⎩
………7分
当14x =-
时，()h x 有最小值，即min 7
()2
h x =- …………………………8分 存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，等价于
min ()73h x m ≤-， …………………………9分
即7732m -
≤-，所以7
2
m ≤ …………………………10分。