数学史思考题7

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格尼斯堡七桥问题

1.七桥漫步
首府。第二次世界大战后，成为前苏联最大的海军基地。现在的格尼斯堡位于立陶宛和波兰之间。在第二次世界大战时，法军经这里入侵波兰。后来苏军也从格尼斯堡城是由条顿骑士团在1308年建立，曾作为东普鲁士的
这里打进德国，所以格尼斯堡是一座名城。同时这里也诞生过许多伟大人物，其中包括18世纪著名的唯心主义哲学家康德和19
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最短邮路问题——邮递员每天要走
如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n笔
才能画成。如下图所示。
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重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第三个方案最好。
回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成，
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并解
这个问题看似简单，人人都乐意去测试一下自己的智力，可
是把全城人的智力加在一起，也没有找到一条合适的路线。这个问题传开以后，许多欧洲有学问的人也参与思考，同样是一筹莫展。就这样，格尼斯堡这个“七桥问题”给人们提供了丰富的乐趣和数学兴味，因而使得这座波罗的海的海滨古城闻名遐迩。
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2.欧拉与格尼斯堡七桥问题
（2）不考虑桥梁的曲直、长短，不妨将它们看成连接4个点的7
于是一座仪态万千的格尼斯堡古城在欧拉笔下就变成了一个结构简单是几何图形。
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于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合，则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔画出来，则必须满足两个条件：他任意点。（2）图中的奇点数只能是0或2.

1.2.1有理数的概念+1.2.2数轴+1.2.3相反数(课件)人教版(2024)七年级上册

分数集合
-8-
任务五：课堂小结，形成体系
回顾数的产生和发展历程，引入负数后我们对数的认识已扩大到有理数范围。
相反意义的量
正数和负数 0
有理数
1.你对有理数有哪些认识？你会对有理数分类吗？
2.0是有理数吗？0有什么特殊之处？
3.你还有什么疑问吗？
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布置作业： 1.教材P16 习题1.2，第1题 2.阅读教材P18 -P19： “图说数学史——慢慢长路识负数”，写写你的感想。
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任务五：尝试练习，巩固内化解答：教材P12练习1、2、3、4
-30-
任务六：课堂小结，形成体系
1.反思与交流：（1）只有符号不同的两个数互为相反数。你是如何理解“只有”两个字的？（2）说说你对相反数的其它认识？（3）你还有疑问吗？
2.知识结构
相反意义的量
正数和负数 0
有理数
数与点的对应
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任务三：认识数轴，体验数轴的作用。 2.请画一条数轴。
提醒：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
数轴三要素：原点、
正方向、单位长度。
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任务三：认识数轴，体验数轴的作用。
3.（教材P10例2）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：
3 ， -4 ， 4 ，0.5 ， 5 ，-1 2
-27-
任务四：求有理数的相反数 1.解答：（教材P12例3）（1）分别写出 -7 和 4 的相反数；
3 （2）a的相反数是2.4，写出a的值。
2.解答：写出下列各数的相反数
-7的相反数是7，不能写出-7=7
归纳：（1）a和-a只有符号不同， a和-a互为相反数。其中，a表示任意一个有理数，可以是正有理数、负有理数，也可以是0.

七桥问题

七桥问题目录七桥问题故事背景推断方法最终成果展开编辑本段七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。

也由此展开了数学史上的新进程。

问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。

七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。

编辑本段故事背景七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem18世纪著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。

有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.编辑本段推断方法当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

电大数学思想及方法形考作业：通关作业答案

电大数学思想与方法形考作业：通关作业答案第一关3题目 1巴比伦人是最早将数学应用于（）的。

在现有的泥板中有复利问题及指数方程。

选择一项：A. 农业B. 工程C. 商业D. 运输题目2《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。

选择一项：A. 战国时期B. 商朝C. 汉朝D. 西汉末年题目 3 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。

选择一项：A. 几何测量B. 代数计算C. 天文测量D. 占卜题目 4 在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（）表示。

选择一项：A. 符号，符号B. 文字，文字C. 符号，文字D. 文字，符号题目 5 古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。

选择一项：A. 四棱锥台体积公式B. 球体积公式C. 进位制的发明D. 圆面积公式题目6《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。

选择一项：A. 毕达哥拉斯学派B. 柏拉图学派C. 亚历山大学派D. 爱奥尼亚学派题目7 古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。

选择一项：A. 1 亿年B. 10 亿年C. 1000亿年D. 100 亿年题目8 根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结论。

选择一项：A. 自然命题B. 一般原理C. 最终原理D. 初始原理题目9 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。

选择一项：A. 几何与代数B. 数论及几何学C. 代数与数论D. 几何题目10 数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。

2022年上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(初级中学)真题及答案

2022年上半年教师资格证考试《初中数学》（考生回忆版）此版本内容有缺失，答案仅供参考一、单项选择题。

1.极限xx 2sin lim x ∞→的值是( ). A.0B.1C.2D.∞参考答案：C解析：本题考查两种重要极限。

221222sin x x 2sin lim lim x x =⨯=⋅=∞→∞→x x 本题选C 。

2. 已知向量a 和b ，|a|=3, |b|=2, a ⊥b, 则(a+2b)(a-b)的值是( )。

A.-7B.-1C.1D.7参考答案：C解析：因为a, b 垂直，所以ab=0，(a+2b)(a-b)=a 2-ab+2ab-2b 2=9-0+0-2×4=1。

本题选C 。

3. 行列式xx 2111121x -表示的系数中，一次的系数是( )。

A.-3B.-2C.2D.3参考答案：A 解析：本题考查行列式132x21111213+-=-x x x x ，故一次项系数为-3。

本题选A 。

4.同时投掷一枚硬币和骰子，硬币正面朝上且骰子点数大于4的概率是( )。

A.61B.31 C.21 D.32 参考答案:A解析:正面朝上的概率21，骰子点数大于4点为5和6点，出现的概率31，同时满足两种情况时，由分布乘法原理613121=⨯。

故本题选A 。

5.对于定义在R 上的函数，下列结论一定正确的是( )。

A.奇函数与偶函数的和为偶函数B.奇函数与偶函数的和为奇函数C.奇函数与偶函数的积为偶函数D.奇函数与偶函数的复合函数为偶函数参考答案：D解析：设复合函数为))((x g F ，根据复合函数奇偶性“内偶则偶，内奇同外”可得：当)(g x 为奇函数且)(x F 为偶函数时，))(g (x F 的奇偶性与)(x F 一致，则))(g (x F 为偶函数;当)(g x 为偶函数且)(x F 为奇函数时，))((x g F 的奇偶性与)(x g 一致，则))((x g F 为偶函数。

哥尼斯堡七桥问题和一笔画

哥尼斯堡七桥问题1.七桥问题在现在的地图上，你很难找到哥尼斯堡这个城市。

但是它在地理上的奇特之处使得它成为数学史上最为著名的城市之一。

这个中世纪的德国城市坐落于普雷格尔河的两岸，河的中央有两座大的岛屿，这两座岛屿通过7座桥，与河的两岸彼此连接。

后来成为附近小镇市长的数学家卡尔·戈特利布·埃勒对这些桥和岛屿十分着迷。

他一直在考虑一个问题：在所有桥都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的桥都走遍，思考一下这个问题？放弃了吗，放弃是明智的，因为这是不可能办到的。

但是大数学家莱昂哈德·欧拉在试图解释这个数学问题时，开拓了一个新的数学领域。

卡尔曾向欧拉写信求助解决这个问题，开始欧拉认为这个问题和数学无关，所以并不是很关注，但是随着他对这个问题的深入思考，他逐渐发现了其中蕴含的重大意义。

他发现这个问题属于一个全新的几何学范畴，他称之为“位置几何”学，也就是现在著名的图论，欧拉最初的想法是，在岛屿或河岸内部行走的路线实际上并不重要，这样我们就可以把地图简化成四个区域，它们分别用一个点来表示，现在我们称之为结点。

它们之间的线代表桥，这样简化的图使我们比较容易计算每个节点的度，也就是节点之间桥的数量。

为什么度很重要呢？试想根据这个问题的规定，一旦有人想要通过一座桥到达一个岛屿，他就必须通过另一座桥离开。

也就是说进入节点和离开节点的桥必须以成对的方式出现的。

这意味着连接每个区域桥的数量一定是偶数，唯一可能的例外是在路程的起点和终点。

在这张图上所有四个节点的度很明显都为奇数，于是无论选择什么样的路线，你总会重复经过某一座桥，欧拉用这个证明发展出了一个通用的理论。

适用于存在两个或两个以上节点的图，每一个边仅经过一次的欧拉路径只可能出现在以下两种情况里：第一，当仅有两个节点为奇数度时而其它的节点都是偶数度时，这样我们就以其中一个拥有奇数度的节点作为起点，另一个作为终点；第二，当所有的节点都是偶数度时，那么欧拉路径就从同一个位置开始和结束，这被称为欧拉回路。

趣味数学七桥问题ppt课件

18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如左图）。城中的居民经常沿河过桥散步。城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是数学史上著名的七桥问题。
小热身七桥问题
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能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次，不能重复。但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身七桥问题一笔画
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欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做完后并加以分类的一组学生，比单独做完这些题目的学生最终在类似数学题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
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浅析数学史上著名的七桥问题

４１６８００）
．
关键词：成语学一语双关七桥
五星填数
九宫十二桥
三笔画一笔画
中图分类号：Ｇ６３３．６
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３ — ９７９５（２０１３）ＸＯ（ｃ）一０１１２一Ｏｌ
块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点
图４
图５图６
算第二个也有道理，它本来就是第二个，证明：按基本原理，每个数加两次等于理，此题无法连接１１０除以５等于２２，应该每条直线上４个数打ｘ的圆圈算开始的第一个。把打ｘ的圆圈算是第二个看看。那么的和等于２２，而按这个算法。最接近的数有完成，
蓉摹书一砖警～
现双关语法，这种一发现，破解难题一大片，
虽然没多大意义。也算作了点贡献，这些题
虽然没有多大的教育意义，但不用此学问来
为论文字符有限。附加解答相关题：
那就从２到３到４一直到组合这图句话中找出了双关语，就是ｌ～ｌ０组从第二个开始，２
５，就排除了１，因为从第二个开始了，不可合成ｌ１Ｏ就行了，可分为１ｌ和０，又有１和２ｌ０。组、合、分、得出０、１、２、３、４、５、６、７、８、

高中数学文化情景题专题7 笛卡尔 (以笛卡尔为背景的高中数学考题题组训练)解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题7 笛卡尔（以笛卡尔为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---【答案】B 【解析】【分析】由图写出点A 的坐标，然后再利用关于x 轴对称的点的性质写出对称点的坐标. 【详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1). 故选：B.2．如果两个正整数a 和b ，a 的所有真因数（即不是自身的因数）之和等于b ，b 的所有真因数之和等于a ，则称a 和b 是一对“亲和数”．约两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和数：284和220．历史中不少数学家们都曾参与寻找亲和数，其中包括笛卡尔、费马、欧拉等.1774年，欧拉向全世界宣布找到30对亲和数，并以为2620和2924是最小的第二对亲和数，可到了1867年，意大利的16岁中学生白格黑尼，竟然发现了数学大师欧拉的疏漏——在284和2620之间还有一对较小的亲和数1184和1210．我们知道220的所有真因数之和为：1245101120224455110284++++++++++=，284的所有真因数之和为：12471142220++++=，若从284的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为（）A．13B．25C．411D．35【答案】B【解析】【分析】根据284的真因数，结合古典概型的计算公式进行求解即可.【详解】因为1,2,4,71,142是284的真因数，共5个，其中1,71是奇数，共2个，所以从284的所有真因数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为25，故选：B3．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A关于y轴对称的点的坐标是（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1-C ．()1,1,1--D ．()1,1,1---【答案】A 【解析】由图写出点A 的坐标，然后再利用关于y 轴对称的点的性质写出对称点的坐标. 【详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于y 轴对称的点的坐标为(1,1,1)--. 故选：A.4．“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔()ReneDescartes 创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数z ，1z =且(1i)0z ⋅+>(其中i 是虚数单位)，则复数z =（）A BC D 【答案】C 【解析】【分析】根据条件，设i z a b =+，再列式求,a b ，即可得到复数. 【详解】设i z a b =+，221a b +=，①()()()()i 1i i>0a b a b a b ++=-++，得0a b +=，且0a b -> ①，由①①解得：a =2b =，所以z =. 故选：C5．“虚数”这个词是17世纪著名数学家､哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现，最简单的二次方程210x +=在实数范围内没有解.已知复数z 满足240z i +=，则z =（）A．4 B ．2 C D ．1【答案】B 【解析】【分析】利用复数模的运算性质求解即可．【详解】解：因为240z i +=，所以24z i =-，故22|||||4|4z z i ==-=，所以||2z =．故选：B ．6．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若25x =，lg 20.3010≈，则x 的值约为（）A ．2.301B ．2.322C ．2.507D ．2.699【答案】B 【解析】【分析】根据指对数互化公式得2log 5x =，再结合换底公式计算即可得答案. 【详解】解：由指对数互化公式得2lg 51lg 210.3010log 5 2.322lg 2lg 20.3010x --===≈≈ 故选：B7．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻.若 2.5x e =，lg 20.3010=，lg 0.4343e =，根据指数与对数的关系，估计x 的值约为（） A ．0.4961 B ．0.6941 C ．0.9164 D ．1.469【答案】C 【解析】利用对数式与指数式的互化可得 2.5x ln =，再利用换底公式即可求出x 的近似值．【详解】解： 2.5x e =，52.55212222.50.9164lglg lg lg lg x ln lge lge lge lge--∴=====≈，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了换底公式的应用；8．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes1596～1650）创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，3AB =，2BD =，则AB AD ⋅=（）. A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】B 【解析】以AB 、AC 为一组基底，表示出AD ，再根据向量的数量积的定义及运算律计算可得；【详解】解：在正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，3AB =，2BD =，所以()22123333AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+ 所以22121212133363333332AB AD AB AB AC AB AC AB ⎛⎫⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：B9．伟大的法国数学家笛卡儿()15961650Descartes ～创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠︒＝，60BCD ∠︒＝，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若2AB =，AD =，则EB EF ⋅=（）A ．73B ．113 C ．79D ．119【答案】A 【解析】过B 作BM DC ⊥于M ，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可. 【详解】过B 作BM DC ⊥于M ，故2AB DM ==，因为BM AD ==60BCD ∠=︒，故1CM =，则32DF =()()EB EF EA AB ED DF EA ED AB DF ⋅=+⋅+=⋅+⋅37(1)2=23-+⨯【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题.10．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：()1sin r a θ=-，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-图形，当0x >时，()g x 的导函数()g x '的图像为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y =()2211x y -+=，①此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，①x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，①该部分图像单调递增，故()g x '的值恒为正，即()g x '图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x 该部分图像的切线斜率先减小后增大，故()g x '的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满足．故选：A ．11．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的反函数为()1xf x a -=（0a >且1a ≠）．已知函数()e x g x =，()()21F x x kg x -=+，则对于任意的210x x >>，有()()21212022F x F x x x ->-恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．()1011,∞+D ．21011,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】依据题意构造函数()2ln 2022h x x k x x =+-为增函数，并利用导数得到关于实数k 的不等式，进而求得实数k 的取值范围【详解】由题意，()e xg x =的反函数()1ln gx x -=．对于任意的210x x >>，有()()21212022F x F x x x ->-，即()()()21212022F x F x x x ->-，可转化为()()221120222022F x x F x x ->-，则函数()22022ln 2022y F x x x k x x =-=+-在()0,∞+上单调递增．设()2ln 2022h x x k x x =+-，则()220220kh x x x'=+-≥在(0,)+∞上恒成立即222022k x x ≥-+在(0,)+∞上恒成立又2222101110111011220222222x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，则210112k ≥，故选：D ．二、多选题12．17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z 的形式，两边取常用对数，则有lg lg N n a =+，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（）A ．103在区间()4510,10内B ．502是15位数C ．若50210(110,)m a a m -=⨯≤<∈Z ，则16m =-D ．若()32mm *∈N 是一个35位正整数，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据对数运算法则对选项一一判断即可．【详解】对A ，令103x =，10lg lg 310lg 3 4.77x === 所以()4.77451010,10x =∈，A 正确；对B ，令502y =，50lg lg 250lg 215.05y === 所以()15.0515161010,10y =∈，则502是16位数， B 错；对C ，令502z -=，50lg lg 250lg 215.05z -==-=-又因为50210(110,)m a a m -=⨯≤<∈Z ，所以15.051010m a -=⨯ 则15.05011010,10ma --⎡⎤=∈⎣⎦，所以16m =-，C 正确；对D ，令32k m =，32lg lg 32lg k m m ==，因为()32m m *∈N 是一个35位正整数，所以3432lg 35m <<，则3435lg 3232m <<，即1.063lg 1.094m <<，所以12m =，D 正确；故选：ACD13．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像210x +=这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设t 是方程210x x ++=的根，则（） A ．31t =B ．1t t +=-C ．t -是该方程的根D ．2021t 是该方程的根【答案】ABD 【解析】【分析】根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果. 【详解】解：对于A 选项，由于t 是方程的根，则210t t ++=，而()()321110t t t t -=-++=，故31t =，选项A 正确；对于B 选项，由虚根成对定理可知，t 也是方程210x x ++=的根，故1t t +=-，选项B 正确；对于C ，0t ≠且210t t -+≠，故t -不是该方程的根，选项C 错误；对于D ，()6732021322t t t t =⋅=，而321t t t t ==，代入方程得，22211110t t t t t ++⎛⎫++== ⎪⎝⎭， ∴1t 是该方程的根，即2021t 是该方程的根，选项D 正确.故选：ABD.14．卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点12(0)(0)F c F c -，，，是平面内两个定点，212||||PF PF a ⋅=（a 是定长），特别地，当c a =时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（） A ．曲线过原点B ．关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称C ．方程为222222()2()x y a x yD ．曲线上任意点00()P x y ，，0[]x a a ∈-，，0[]22a a y ∈-，【答案】ABC【解析】【分析】根据212||||PF PF a ⋅=得到轨迹方程为222222()2()x y a x y 得到ABC 正确，验证知),0在曲线上，故D 错误，得到答案. 【详解】设(),P x y ，c a =时，212||||PF PF a ⋅==，化简得到：222222()2()x y a x y ，故C 正确；曲线过原点，A 正确；关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称，B 正确；验证知),0在曲线上，故D 错误. 故选：ABC.15．笛卡尔是西方哲学思想的奠基人之一，“我思故我在”便是他提出的著名的哲学命题；同时，笛卡尔也是一位家喻户晓的数学家，除了发明坐标系以外，笛卡尔叶形线也是他的杰出作品，其方程为x 3＋y 3＝3axy ，a 为非零常数．下列关于笛卡尔叶形线的说法中正确的是（）A ．图象关于直线y ＝x 对称B ．图象与直线x ＋y ＋a ＝0有2个交点C ．当a ＞0时，图象在第三象限没有分布D．当a ＝1，x 、y ＞0时，y 【答案】ACD【解析】【分析】设(,)P x y 是曲线上任意一点，由点的变换得方程的变化，从而确定曲线的性质，判断A ；用解方程组的思想判断B ；用反证法即证明满足0,0x y <<的点不在曲线上，判断C ；利用基本不等式确定y 的最大值，判断D ．【详解】把,x y 互换后，曲线方程不变，因此曲线关于直线y x =对称，A 正确；x a y +=-代入曲线方程得223x xy y xy -+=-，0x y +=，与0x y a +=-≠矛盾，因此无交点，B 错；0a >时，第三象限点(,)x y 满足0,0x y <<，但此时330x y +<，30axy >，不适合曲线方程，C 正确；1a =时，333x y xy +=，0,0x y >>，333222322y y y y x x x x x =+=++≥所以y ≤322y x x =，x =D 正确．故选：ACD16．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为3330x y axy +-=.某同学对1a =情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )A ．曲线不经过第三象限B ．曲线关于直线y x =对称C ．曲线与直线1x y +=-有公共点D ．曲线与直线1x y +=-没有公共点【答案】ABD【解析】【分析】A ：当,0x y <时，判断3330x y xy +-=是否可能成立即可；B ：将点(y ，x )代入方程，判断与原方程是否相同即可；C 、D ：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.【详解】当,0x y <时，3330x y xy +-<，故第三象限内的点不可能在曲线上，A 选项正确；将点(),y x 代入曲线有程得3330x y xy +-=，故曲线关于直线y x =对称，B 选项正确；联立3330,1,x y xy x y ⎧+-=⎨+=-⎩其中()()3322330x y xy x y x y xy xy +-=++--=，将1x y +=-代入得2()0x y -+=，即0x y +=，则方程组无解，故曲线与直线1x y +=-无公共点，C 选项错误，D 选项正确.故选：ABD.17．发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1，0)和F 2(1，0）的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，则下列命题中正确的是（）A ．曲线C 过坐标原点B ．曲线C 关于坐标原点对称C ．曲线C 关于坐标轴对称D ．若点在曲线C 上，则12F PF 的面积不大于212a 【答案】BCD【解析】【分析】动点坐标为(),x y ，根据题意可得曲线C 的方程为()()2222411x y x y a ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦，对各个选项逐一验证，即可得出结论．【详解】由题意设动点坐标为(),x y ，2a =，即22224(1)(1)x y x y a ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦，若曲线C 过坐标原点()0,0，将点()0,0代入曲线C 的方程中可得21a =与已知1a >矛盾，故曲线C 不过坐标原点，故A 错误；把方程中的x 被x -代换，y 被y -代换，方程不变，故曲线C 关于坐标原点对称，故B 正确；因为把方程中的x 被x -代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称，把方程中的y 被y -代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称，故曲线C 关于坐标轴对称，故C 正确；若点P 在曲线C 上，则212PF PF a =，122121211sin 22F PF S PF PF F PF a =∠≤，当且仅当1290F PF ∠=︒时等号成立，故12F PF △的面积不大于212a ，故D 正确. 故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线新定义，轨迹方程的求法，关键是读懂题意，并能正确运用新定义是解题的关键，属于中档题型.三、填空题18．笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标系xOy 中，两坐标轴的正半轴的夹角为60︒，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12a xe ye =+，则称有序实数对(),x y 为a 在该斜角坐标系下的坐标.若向量m ，n 在该斜角坐标系下的坐标分别为()3,2，()2,k ，当k =_______时，11m n ⋅=.【答案】67【解析】【分析】根据斜角坐标定义写出向量（用两个已知单位向量表示），然后由向量数量积计算可得．【详解】由已知1232m e e =+，122n e ke =+，12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=， 22121211221(32)(2)6(34)26(34)2112m n e e e ke e k e e ke k k ⋅=+⋅+=++⋅+=+++=，解得：67k =．故答案为：67． 19．笛卡尔､牛顿都研究过方程()()()123x x x xy ---=，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y 轴对称；①该曲线关于原点对称；①该曲线不经过第三象限；①该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数.其中不正确的是___________.【答案】①①①【解析】【分析】将点(,)x y -，(,)x y --得到的方程是否与原方程一样，进而可判断①①，根据第三象限的取值判断①，求曲线的点的坐标，判断①.【详解】因为(,)x y 满足方程()()()123x x x xy ---=，则将点(,)x y -代入方程有()()()123x x x xy +++=，原方程不成立，所以该曲线不关于y 轴对称；将点(,)x y --代入方程有()()()123x x x xy +++=-，原方程不成立，所以该曲线不关于原点对称；当0,0x y <<时，()()()1230,0x x x xy ---<>，所以方程()()()123x x x xy ---=不可能成立，所以该曲线不经过第三象限；令1x =-易得12y =即(1,12)-满足题意，同理可得(1,0)(2,0)(3,0)，，符合题意，所以该曲线上有且只有三个点的横､纵坐标都是整数是错误的；故答案为：①①①.20．阿波罗尼奥斯（Apollonius ）（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破.阿波罗尼奥斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆.已知动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2：1，则动点P 的轨迹方程为________.【答案】()2224x y -+=【解析】【分析】根据题意得设(),P x y ，则PM =PN 求解即可.【详解】解：设(),P x y ，则PM =PN =因为动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2:1，21=，所以2222(2)4(1)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得2240x y x +-=，即()2224x y -+=，所以动点P 的轨迹方程为()2224x y -+=.故答案为：()2224x y -+=四、双空题21．阿波罗尼奥斯（Apollonius ）（公元前262～公元前190），古希腊人，与欧几里得和阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》凭一己之力将圆锥曲线研究殆尽，致使后人没有任何可插足之地；直到17世纪，笛卡尔和费马的坐标系之后，数学家建立起了解析几何体系，圆锥曲线的研究才有了突破．阿波罗尼奧斯在他的著作里得到了这样的结论：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，也称阿氏圆．已知动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2①1，则动点P 的轨迹方程为______；若动点A 满足2MA MP =，则动点A 的轨迹方程为______．【答案】 22(2)4x y -+= 22(6)16x y -+=【解析】【分析】直接设出点P 的坐标，列出关系式，化简即可得答案，设出点A ，然后由2MA MP =表示出点P 的坐标代入点P 的轨迹方程中化简可得动点A 的轨迹方程【详解】设(,)P x y，则PM PN因为动点P 到点()2,0M -与到点()1,0N 的距离之比为2①1，21=，所以2222(2)4[(1)]x y x y ++=-+，化简得2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=，所以动点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=设点(,)A x y ，00(,)P x y ，则00(2,),(2,)MA x y MP x y =+=+，因为2MA MP =，所以0022(2)2x x y y +=+⎧⎨=⎩，得0011212x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以221112422x y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22(6)16x y -+=，所以动点A 的轨迹方程为22(6)16x y -+=，故答案为：22(2)4x y -+=，22(6)16x y -+=22．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程1x =在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示______，过点(1,1,2)-P 且法向量为(1,2,3)=v 的平面的方程是______．【答案】一个平面 2350x y z ++-=【解析】【分析】根据空间直角坐标系的特征判断即可，再由在空间直角坐标系中，若法向量为(),,n A B C =，且平面过点()000,,x y z ，那么平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=计算可得；【详解】解：依题意可得1x =在三维空间中，它表示一个平面，在这个平面上所有点的横坐标都为1，过点(1,1,2)-P 且法向量为(1,2,3)=v 的平面的方程为()()()1121320x y z -+++-=，整理得2350x y z ++-=故答案为：一个平面；2350x y z ++-=。

奇妙的数学史7年级

奇妙的数学史7年级
从数字开始，数学从数字而来，从数量中来。

我们学数学的第一步是知道如何计数，然后是加减，等等。

这是数学之旅的开端，它通向了更繁更强之道。

很多人，就止步于此。

量的叠加，数学是变化的，数学最重要的形式---计数，是把我们的世界数字化的途径。

我们可以数手指，但无论数什么，计数系统都在做同样的事情。

从第一个数字1开始，不断加1，直到得出我们想要的那个东西的确切数字，显然，这种计数法在做记录的时候用处甚大。

你觉得这就是数学的意义了？还要三思哦。

计数还创造了其他东西---数字本身。

数学是描述数字的语言，我们可以把1累加构成任何整数，也可以反过来从任何数中减去1，那就是减法。

乘法，把数累加多次而已，除法则反之。

所以把1简单累加，就构建了第一套数学规则。

这个世界是数字以不可想象的方式连接而成的。

我们也不好说“不可想象”，因为数学本身就是纯想象。

数字世界只存在于脑海，而且无边无际。

几百年来，数学家找到了无涯的数字之海的模式和联系，在本书中可以领略一些。

一旦学会用数字思考，你的数学世界会非常美妙，更秒的是，这也会反射到现实世界。

换言之，数学是我们描写世界的语言。

数学史故事在小学数学教学中的作用 (7)

数学史故事在小学数学教学中的作用数学史是一个非常重要的学科，它可以让学生了解数学的发展史、数学家的思想和数学问题的解决历程。

通过教授数学史故事，可以激发学生的兴趣，提高学生的数学素质和思维能力。

本文将深入探讨数学史故事在小学数学教学中的作用。

一、数学史故事对学生的启发作用1. 了解数学的来龙去脉教授数学史故事可以让学生领略到数学的发展历程以及数学家们的思想。

通过了解数学的起源、发展和演变过程，可以帮助学生更好地理解数学概念和知识。

例如，讲解古代中国算学家刘徽的“开方”故事，可以使学生了解到古代中国算学家研究算学的精神和方法，同时也能培养学生的求解问题的方法和技巧。

2. 激发学生的兴趣教授数学史故事有助于激发学生的兴趣和热情，激发学习数学的兴趣。

讲述数学家的故事可以使学生了解到数学家们在数学领域中的贡献和成就，从而让学生对数学产生热情。

例如，讲解爱因斯坦的故事，可以让学生了解到爱因斯坦在相对论等方面的具有划时代意义的成就，同时也能增强学生对于物理学和数学的兴趣。

3. 拓宽学生的知识视野教授数学史故事可以拓宽学生的知识视野，让学生了解到数学除了仅仅用于计算的方面之外，还有其深度和广度的领域。

比如，讲述希腊数学家毕达哥拉斯的故事，可以让学生了解到数学史上第一次重要学派——毕达哥拉斯学派的精神和理念，从而为学生认识到数学的学科内涵提供了一个新的视角。

二、数学史故事对学生的学习作用1. 提高学生的思维能力教授数学史故事可以帮助学生提高解决问题的能力和方法，培养学生的思维能力。

通过讲述数学家解决问题的思路和方法，可以启发学生运用数学知识去解决实际问题。

例如，讲解斯图尔特第一次证明费马大定理的故事，可以让学生了解到数学家们解决问题所需要的思维方式和方法，借此让学生想象即将求解出费马大定理所需的科学与技术能力，从而提高学生的思维能力。

2. 补充现有数学知识教授数学史故事可以补充学生现有的数学知识。

通过讲述数学史上的重要问题，例如，讲解牛顿发现万有引力定律的故事，既可以学习数学知识，又可以通过这些数学问题深入学习物理学的基础理论，进而使学生了解更多的数学知识和更广泛的知识领域。

数学人教版六年级下册七桥问题

(教师板书：一笔画)
2．释疑。
师：谁能根据你的理解，来说一说什么是一笔画？
(教师请一个学生上台画图说明)
师：哥尼斯堡七桥问题，大家可能觉得有点复杂。我们先从简单的图形入手，来探究一笔画中的学问。
学生上台画一个能一笔画的图形并介绍什么叫一笔画。
通过小flash动画，动态演示了七桥问题转化为一笔画问题的过程。像这样直观演示，不仅激发了学生的学习兴趣，而且初步让学生感知数学建模思想。
一节课虽然已经结束，但是由于新技术新媒体手段的普及和发展，完全可以让课外的知识充实课堂教学的不足，本节课最后就安排了学生自己上网查阅有关七桥问题的资料，促进学生的不断学习不断发展。
过程与方法：
1.生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型。
2.通过掌握“一笔画“的数学知识来解决实际问题。
情感态度价值观：
1.通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表的好习惯。
2.通过“一笔画”问题及其结论的了解，渗透数学文化，培养学生数学素养，激发学生学习数学的兴趣。
1、介绍七桥问题的历史，把七桥问题转化成一笔画问题。
2、通过学生自己尝试画图，初步感知什么叫一笔画图形。
1.故事引入
师：这节课，我们先来看一个数学小故事吧。（课件播放，教师相机板书课题）
师：这个问题困扰了当地居民很长时间，大家纷纷来到小岛上试图找到答案，但都无功而返。因为根据计算，每次都走完七座桥的所有走法共有5040种，这么多怎么走得完呢?后来有人写信向当时公认的“天才数学家”欧拉请教。欧拉亲自来到小岛上实地考察，也未找到答案。但他是一个不向困难低头的人，经过—年的研究，终于解决了这个问题。原来他将七桥问题题转化为一笔画问题，才顺利找到答案的。

部编版七年级数学上册《阅读与思考“方程”史话》教案及教学反思

部编版七年级数学上册《阅读与思考“方程”史话》教案及教学反思一、教学目标1.了解方程在数学史上的发展历程；2.掌握解一元一次方程的方法；3.能够通过实际问题建立方程，并解决问题。

二、教学重难点1.方程在数学史上的发展历程；2.解一元一次方程的方法。

三、教学过程1. 导入（10分钟）通过展示一些实际问题，引发学生的兴趣，例如：•如果小张今年十岁，他爸爸比他大28岁，那么他爸爸几岁生他的？•现在一家饭店推出了一种优惠活动，凡在10点到11点之间来吃饭的顾客，都可以享受8折的优惠，如果你吃了100元的饭，那么你这顿饭打了多少折扣？通过这种方式，引导学生思考问题，提供一个解决问题的思路：建立方程。

2. 学习（30分钟）在学习过程中，学生需要掌握以下知识点：2.1 方程的发展历程1.古代，为了解决实际问题，人们开始使用简单的代数式来描述问题；2.文艺复兴时期，方程开始引起欧洲学者的关注；3.17世纪，拉格朗日提出了方程的根引理；4.18世纪，埃尔米特证明了方程的五次及以上次数无法用根式求解；5.19世纪，伽罗华提出了群论，解决了无理数问题，推动了方程论的发展。

2.2 解一元一次方程的方法1.通过加减消元法解方程，即将原方程中一个未知数的系数相等，然后相减得到新的方程；2.通过代入法解方程，即将已知的值代入方程中，求另一个未知数的值。

3. 练习（30分钟）为了巩固学生的知识点，教师设计了一些例题，并指导学生自己思考解题方法。

1.编一元一次方程：三个数的和是36，其中有一个数是13，求这个数；2.今有鸡兔同笼，头共56个，蹄共168只，鸡、兔各几只？4. 总结（10分钟）教师会对本节课的知识点进行总结，并再次提醒学生方程在解决实际问题中的重要性和必要性。

四、教学反思本节课采用了多种教学方法，如导入法、讲授法、练习法和总结法，使学生在愉悦的氛围中学习。

通过导入，引起学生的兴趣，激发学生的思考；在学习过程中，系统地讲授了方程在数学史上的发展历程和解一元一次方程的方法；通过练习，巩固了学生的基本知识和技能；通过总结，进一步提高了学生的认识水平。

7旋转3.对角互补及最值问题(2014-2015)

内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题☞对角互补旋转模型图（全等型—90°）（全等型—120°）（全等型—任意角α）此类题目有角含半角的旋转图形转化而来。

去掉EFC∆，五边形ABEFD就是对角互补模型，此题关键是出现对角互补和连有公共顶点的想等线段，这是解题的关键。

【例1】如图所示，在四边形ABCD中，AB BC=，90A C∠=∠=︒，135B∠=︒，K、N分别是AB、BC上的点，若BKN∆的周长为AB的2倍，求KDN∠的度数．【例2】如图所示，在五边形ABCDE中，90B E∠=∠=︒，AB CD AE===1BC DE+=，求此五边形的面积．【巩固】如图，已知五边形ABCDE中，90ABC AED∠=∠=︒，2AB CD AE BC DE===+=．求该五边形的面积．【例3】五边形ABCDE中，已知AB AE=，BC DE CD+=，180ABC AED∠+∠=︒，连接AD．求证：AD平分CDE∠．【例4】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A∠和C∠都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．【例5】如图，已知90AOB∠=︒，在AOB∠的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图⑴，易证：2OD OE OC+=．当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图⑵、图⑶这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（和第二问讲义的某题一样）【例6】已知MAN∠，AC平分MAN∠．（1）在图1中，若MAN∠120=，90ABC ADC∠=∠=，求证：AB AD AC+=；（2）在图2中，若MAN∠120=，180ABC ADC∠+∠=，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;（3）在图3中：①若60MAN∠=，180ABC ADC∠+∠=，则AB AD+= ____AC中考满分必做题旋转3中考说明旋转3—对角互补及最值问题2015年中考解决方案学生姓名：上课时间：②若MAN α∠=(0180)α<<，180ABC ADC ∠+∠=，则AB AD += ____AC （用含α的三角函数表示），并给出证明．【例7】已知，点P 是MON ∠的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使180APB MON ∠+∠=．（1）利用图1，求证：PA =PB ；（2）如图1，若点C 是AB 与OP 的交点，当3POB PCB S S ∆∆=时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图3补全图形，并求OP 的长．图1 图2 图3最值问题OA 与OB 共用顶点O ，固定OA 将OB 绕点O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．【例8】如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？【例9】已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．⑴如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；⑵当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小．（09西城一模）【例10】已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应ADB ∠的大小．（13年通州一模）【例11】已知：AOB ∆中，2AB OB ==，COD ∆中，3CD OC ==,ABO DCO ∠=∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1 图2(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PM N ∆的形状是________________，此时AD BC________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO ∆∆∽，并计算AD BC 的值（用含α的式子表示）；(3) 在图2中，固定AOB ∆，将COD ∆绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值．【例12】如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是________________；（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．（2014年燕山一模）【例13】在ABC 中，4AB =，6BC =，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到11A BC ．（1）如图1，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A ∠的度数；（2）如图2，连接1AA ，1CC ．若1CBC 的面积为3，求1ABA 的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P 的对应点是点1P ，直接写出线段1EP 长度的最大值与最小值．(2013年昌平一模)费马点与旋转☞考点说明：到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题皮耶·德·费马（Pierre de Fermat ）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作．他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）．费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个．著名的数学史学家贝尔（E ． T ． Bell ）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“．贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星．费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的．托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题．这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义．结论：（1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA PB PC ++，当点P 为费马点时，距离之和最小．特殊三角形中：(2)．三内角皆小于120°的三角形，分别以AB ,BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形1ABC 1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点．(3)．若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．(4)当ABC ∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长，所以当B 、P 、P ′、C ′ 四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC 因此，当ABC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【例14】阅读下列材料对于任意的ABC∆，若三角形内或三角形上有一点P，若PA PB PC++有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点．①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120∠=∠=∠=︒时，点P既为费马点APB BPC APC解决问题：(1)如图，ABC∆，连接CD、∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB、AC为边向外作等边ABD∆、ACE BE交于点P，证明：点P为ABC++=∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD∆的费马点．(即证明120APB BPC APC(2)如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC++>++(3)若30BC=，直接写出PA PB PC++的最小值∠=︒，3ABCAB=，4【巩固】若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 则PB的值为_________；（2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．图8【巩固】如图所示，在四边形ABCD中，AB BC∠=︒，APD=,60ABC∠=︒，P为四边形ABCD内部一点，120证明：PA PD PC BD++≥．【例15】小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为________；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长．【例16】 (1)如图1，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD ∆中，120BCD ∠<，分别以BC 、CD 和BD为边在BCD ∆外部作等边ABC ∆、等边CDE ∆和等边BDF ∆，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=．（13年房山一模）【巩固】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB ∆∆≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．【巩固】A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在要设立P 、Q 两个交通枢纽，并建设公路连接AP 、BP 、PQ 、QC 、QD ，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？【巩固】已知：ABC ∆中，120A ∠︒≥，P 是不与A 重合的定点，求证PA PB PC AB AC ++>+．E N MDC B A P P FD C A DE C AB B图1 图2P F D E C A D B D E A C B P 图2 D A C B 图3 A C B P 图1。

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数学史思考题7
一、选择题
1．2002年国际数学家大会的举办城市是( B )。

A．东京； B．北京； C．纽约； D．悉尼。

2.控制论的创始人是( C )
A.库恩；
B.卡玛卡；
C.维纳；
D.卡尔曼
3.运筹学原意为“作战研究”，其策源地是( A )
A.英国；
B.法国；
C.德国；
D.美国
二、填空题
1．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家___帕斯卡________于1642年发明的，使现代电子计算机技术走上康庄大道的EDVAC方案（即“101页报告”）则是数学家__冯.诺依曼__________提出的。

2．起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是___分数维_______，它诞生于____20______世纪。

3．现代数理逻辑从内容到方法，主要是在20世纪关于__数学基础_________的热烈争论中发展起来。

4.二十世纪三十年代，____奥地利_______国数学家___哥德尔________提出了著名的不完全性定理。

5．现代电子计算机诞生于______20____世纪，对现代电子计算机的设计作出最大贡献的两位数学家是冯．诺依曼和____图灵______。

6.费马大定理证明的最后一步是英国数学家__维尔斯______于1994年完成的，他因此于1996年获得了___沃尔夫_____奖。