新人教A版高中数学(选修4-5)2.1.3《反证法与放缩法》word教案
高中数学 2.3反证法与放缩法课件 新人教A版选修45
目 链 接
∵0＜a＜1，∴1－a＞0，
－a
2
＋b≥
－a
b＞ 41＝12.
－b ＋c －c ＋a
1
同理
2
，
2
都大于2.
33 三式相加，得2＞2，此式矛盾，
∴原命题成立．
第十页，共16页。
变式 训练
1．若a3＋b3＝2，求证(qiúzhèng)：a＋b≤2.
分析：a＋b≤2 的反面是 a＋b>2，用反证法证．
证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：
第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．
第五页，共16页。
第二步，做出与所证不等式______相__反的(假xi定ān．gfǎn)
第三步，从___条__件__(_t_iá_o_j_ià出n发)和(假ch定ūfā)，应用正确的推理方法， 推出________矛结盾果．
第七页，共16页。
栏 目 链 接
第八页，共16页。
题型一 反证法证明(zhèngmíng)不等式
例 1 已知 a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－
c)a 不能同时大于14.
分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有 栏
一种情况，因此用反证法．
目 链
1
接
证明：证法一 假设三式同时大于4，
即有(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14.
三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614. 又(1－a)a≤1－2a＋a2＝14，
第九页，共16页。
高二数学人教A版选修4-5课件：2.3 反证法与放缩法
证明:假设 4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)都大于 1,则 a(1-
b)>14,b(1-c)>14,c(1-d)>14,d(1-a)>14.
∴
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������)
>
1 2
,
������(1-������) > 12.
������ ������ 变式训练 2
设
n
是正整数,求证12
≤
1 ������+1
+
������+1 2+…+21������<1.
分析:要求一个
n
项分式 1
������+1
+
������+1 2+…+21������的范围,它的和又求不
出来,可以采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的 范围.
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证法二:假设a+b>2,则a>2-b. ∵a3+b3=2,∴2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0, 这与(b-1)2≥0矛盾, ∴a+b≤2. 证法三:假设a+b>2, 则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6, ∴ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0,这与(a-b)2≥0矛盾,∴a+b≤2.
人教课标实验A版-选修4—5-第二讲 证明不等式的基本方法-三 反证法与放缩法同课异构
教学设计案例反证法(约1课时)(一)教学任务分析通过一些简单的不等式证明问题，使学生了解用反证法证明不等式的基本过程及其思想方法，引导学生体会适宜于用反证法证明的不等式的特点，了解用反证法证明不等式时需要注意的问题，并使他们进一步认识反证法思想.(二)教学重点、难点重点：分析要用反证法证明的不等式问题的特点，理解用反证法证明不等式的思想.难点：从不等式结论的否定推出矛盾，得到不等式的证明.(三)教学基本流程l．从不等式的基本性质(6)的证明引入反证法，说明反证法的基本思想和方法.2.通过例]和例2的教学，总结用反证法证明的不等式的常见类型及需要注意的问题.(四)教学情境设计问题1：前面我们曾经研究过不等式的基本性质，对于这些性质的证明，在方法上有值得琢磨的地方.有的性质证明比较容易，但对于性质(6)的证明，用通常的综合法则相当困难.我们很难直接从条件和已有的事实直接推证出结论.你认为可以怎样证明这个结论?通常，正面入手不能奏效时，可以从结论的反面来思考问题.设计意图：从对不等式性质(6)的证明的研究，引入反证法，初步体会反证法的思想方法.师生活动：分析不等式基本性质的证明，对性质(6)，分析结论的反面的两种情况，思考这两种情况是否可能成立，怎样否定它，即证明它是不可能成立的.从以上过程概括出用反证法证明不等式的基本思路，并进一步总结概括出反证法证明命题的方法.教师可以引导学生归纳在哪些情况下使用反证法(通常在不太容易用直接证法证明命题的情况下考虑试用反证法).问题2：例1的结论“1xy+，1yx+至少有一个小于2”包含了哪些情况，你能从已知条件直接推证这些情况吗?设计意图：反证法通常用于直接证法不能实现证明的目的的情况，首先应该让学生对于问题的特点和困难有一定的认识，才能使学生认识引入反证法的必要性，并尝试用反证法去证明.师生活动：分析例1结论的几种情况，学生通过亲自尝试，认识到直接证明的困难.从而考虑用反证法证明.问题3：例1的结论“1xy+，1yx+中至少有一个小于2”的否定是什么?是否比命题的结论简单一些？你能用反证法证明它吗？设汁意图：引导学生认识用反证法证明例1不等式中结论的可能性，寻求证明方法.师生活动：教师提出问题，学生思考并回答“结论的否定”，师生共同完善、补充；学生独立给出证明.通过课堂交流，查漏补缺，得出完整的证明.问题4：你认为例2中结论“a>o，b>O，c>O”的否定是什么?本例的条件有什么特点？如何根据这种特点简化证明过程？设计意图：引导学生通过自己的思考得出结论的否定形式；引导学生关注条件“轮换对称”的特点，并学习用这种特点简化证明.师生活动：教师提出问题后，先由学生思考、回答.对于怎样对命题的结论进行否定，教师要引导学生注意有多种情形，例如a，b，c有一个非正数其余两个为正数；a，b，c有两个非正数一个为正数；a，b，c都是负数.而且在每一种情形下又有哪一个为正数或负数的问题.由于反面情况太多，自然地就把学生的思路引到如何简化的问题上，这时教师再引导学生观察已知条件特点，发现可以把这些情形归结为“a，b，c至少有一个不是正数”，而且只要证明了a ≤O，其他情形的证明完全与此一样.在上述活动的基础上，让学生独立完成证明过程.问题5：你能总结一下要用反证法证明的不等式的特点，用反证法证明不等式时要注意哪些问题?设计意图：引导学生及时归纳反证法证明不等式的基本思想.师生活动：教师引导学生总结，如果不等式是某些初始命题、否定性命题或惟一性命题等等，常常可以考虑用反证法加以证明.用反证法证明不等式时，正确地否定不等式的结论非常重要，另外，还要注意观察条件，建立条件和结论的否定之间的联系，有利于找到证明的思路.作业：习题第1、4题.。
人教新课标A版高二数学《选修4-5》第二讲 三 反证法与放缩法
1 1 1 3．求证： ＋ ≤1＋ . 1＋|a| 1＋|b| 1＋|a＋b|
1＋|b|＋1＋|a| 1 1 证明：∵ ＋ ＝ 1＋|a| 1＋|b| （1＋|a|）（1＋|b|） 1＋|a|＋|b|＋1 1＋|a|＋|b|＋1 ＝ ≤ 1＋|a|＋|b|＋|ab| 1＋|a|＋|b| 1 1 ＝1＋ ≤1＋ . 1＋|a|＋|b| 1＋|a＋b|
2n－1 1 3 5 3．求证： ＋ ＋ ＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2n－1 1 3 5 证明：设 S＝ ＋ ＋ ＋…＋ n ， 2 4 8 2 1 将等式两边乘以 得 2 2n－1 1 1 3 5 S＝ ＋ ＋ ＋…＋ n＋1 . 2 4 8 16 2
将两式相减得 2n＋3 1 2n－1 1 1 1 1 1 1 S＝ ＋24＋8＋16＋…＋2n－ n＋1 ＝ ＋1－ n＋1 . 2 2 2 2 2 2n＋3 2n＋3 ∴S＝3－ n ，又 n >0， 2 2 2n－1 1 3 5 ∴S<3，即 ＋ ＋ ＋…＋ n <3 (n∈N+)． 2 4 8 2
2 2 n ＋ 1 （ n ＋ 1 ） 1 3 5 < ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ 2 2 2 2 2
n ∴
n＋1 （n＋1）2 <Sn< . 2 2
反思感悟：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放 缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式收缩等，放缩时 要注意适度，否则不能同向传递．
1 1 1 2．求证：1＋ 2＋ 2＋…＋ 2<2 (n∈N+)． 2 3 n
立．
1＋y 1＋x 1．已知 x>0，y>0，且 x＋y>2，求证： 与 中至少有 x y 一个小于 2.
高二数学教案：2.4《不等式的证明方法之四：放缩法》(人教A版选修4-5)
二、典型例题：
例1、若 是自然数，求证
证明：
=
=
注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更强的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2、求证：
证明：由 （ 是大于2的自然数）
得
例3、若a,b,c,dR+，求证：证Leabharlann 记m= ∵a,b,c,dR+
课题：第04课时不等式的证明方法之四：放缩法
教学目标：
1．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。
2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。
教学重、难点：
1．掌握证明不等式的两种放缩技巧。
2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
教学过程：
一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
∴
∴1 < m < 2即原式成立。
例4、当n> 2时，求证：
证：∵n> 2∴
∴
∴n> 2时,
三、课堂练习：
1、设 为大于1的自然数，求证
2、设 为自然数，求证
四、课时小结：
常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，
（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；
（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。
五、课后作业：课本29页第2、3题。
教学札记
高中数学人教A版选修4-5 2-3 反证法与放缩法 教案 精品
2.3 反证法与放缩法教学目标：1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。
3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。
教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。
掌握证明不等式的两种放缩技巧。
教学难点：会用反证法证明简单的命题。
体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。
也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。
但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。
所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。
其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。
具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。
二、典型例题：例1、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。
例2、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法 学案
三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列． 求证：a ， b ， c 不成等差数列． 证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列． 知识点二 放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________． 解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。
高中数学人教A版选修4-5学案第2讲 3 反证法与放缩法 Word版含解析
三反证法与放缩法．掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理反证法阅读教材～“例”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性命题的条件的结论，以说明质、明显成立的事实等)矛盾假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )．两个都是偶数．一个是奇数，一个是偶数．至少一个是偶数．恰有一个是偶数【解析】假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】教材整理放缩法阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．放大证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值缩小或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若－＜，－＜，则下列不等式一定成立的是( )【导学号：】．－＜．－＞．－＜－＞【解析】－＝(－)－(－)≤－＋－＜.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：[小组合作型]()()＋()－()＝；()()，()，()中至少有一个不小于.【精彩点拨】()把()，()，()代入函数()求值推算可得结论．()假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】()由于()＝＋＋，∴()＋()－()＝(＋＋)＋(＋＋)－(＋＋)＝.()假设()，()，()都小于，则有()＋()＋()＜.(*)。
人教课标版高中数学选修4-5：《反证法与放缩法》教案-新版
2.3 课时7 反证法与放缩法一、教学目标（一）核心素养通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧. （三）学习重点体会反证法和放缩法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题.（四）学习难点会用反证法证明简单的命题，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第26页至第29页，思考：什么是反证法？什么是放缩法？（2）想一想：使用两种方法证明时的步骤和注意事项有哪些？2.预习自测（1）使用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是（）A.三角形中的内角都不小于60︒B.三角形中的内角都小于60︒C.三角形中的内角都不大于60︒D.三角形中的内角都大于60︒【知识点】反证法【解题过程】“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是三角形中的内角都小于60︒【思路点拨】“至少有一个”的否定是“一个都没有”【答案】B（2)在求证“数列()A.分析法B.综合法C.反证法D.直接法【知识点】反证法【解题过程】若是等比数列，则25即3=10，显然不成立，则原命题成立.【思路点拨】命题中有“不”等字样的证明常用反证法 【答案】C（3）用反证法证明命题“如果a b >>”时，假设的内容是( )= <=< =<【知识点】反证法≤，即=<.【思路点拨】“大于”的否定是“小于或等于” 【答案】D（4）使用放缩法证明不等式时，要注意不等号的方向，即放大还是缩小，如对于分子分母均取正值的分式，如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值 . 【知识点】放缩法【解题过程】分子不变，分母缩小（分母仍为正数），分式的值变大 【思路点拨】不等式的性质 【答案】放大 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）证明不等式有比较法、综合法、分析法.（2）综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.（3）分析法是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中. 2.问题探究 探究一 反证法 ●活动① 反证法的定义前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法.也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立.例如，对于性质（3）“如果a b >，那么a c b c +>+”，我们可以这样来证明：由a b >得0a b ->，于是()()0a c b c a b +-+=->，所以a c b c +>+.但对于性质（6）“如果0a b >>,2)n N n >∈≥”，我们很难从条件和已有事实直接推证出结论.这时可以采用如下方法：>=<.=那么a b =；<，那么由性质5有a b <.这些都与0a b >>矛盾.于是，>.像这样的方法，即先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 【设计意图】初步了解反证法. ●活动② 反证法的使用步骤对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.使用反证法证明问题时，主要有以下几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定（反设）；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果（归谬）；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立（结论）. 反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题. 用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证.否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等.推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件. 反证法中的数学语言.反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及与其相对应的否定假设.【设计意图】掌握反证法的步骤及注意事项. ●活动③ 反证法的应用例1 设233=+b a ，求证.2≤+b a 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立【思路点拨】用反证法结合不等式性质 【答案】见解析同类训练 已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：,,0a b c >. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设0a <，∵0abc >，∴0bc <.又由0a b c ++>, 则b c a +>- > 0，∴()0ab bc ca a b c bc ++=++<与题设矛盾.又假设若0a =，则与0abc >矛盾，∴0a >.同理可证：0b >，0c >. 【思路点拨】直接证明较困难，用反证法 【答案】见解析例2 设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f 上两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.【思路点拨】直接证明较困难，“少有一个”的问题的证明常用反证法 【答案】见解析同类训练 设0,,1a b c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41. 【知识点】反证法【解题过程】证明：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -同时大于41，即假设 111(1),(1),(1)444a b b c c a ->->->,则三式相乘：1(1)(1)(1)64a b b c c a --->，即 1[(1)][(1)][(1)]64a a b b c c -⋅-⋅->，又∵0,,1a b c <<，∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c ，以上三式相乘： 1[(1)][(1)][(1)]64a ab bc c -⋅-⋅-≤ 上两式矛盾，∴原式成立，即(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41.【思路点拨】直接证明较困难，“不可能”的问题的证明常用反证法.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.思考：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 【答案】见解析【设计意图】通过例题的练习，熟悉并掌握反证法证明不等式. 探究二 放缩法 ●活动① 放缩法的定义所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 【设计意图】了解放缩法的含义. ●活动② 理解放缩法 放缩法的主要理论依据.①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量； ③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；⑤三角函数的有界性等. 使用放缩法的主要方法.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型： ①直接放缩；②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩；④利用基本不等式放缩. 常见的放缩方式有以下几类： （1）21111(1)1k k k k k >=-++；*21111(2,)(1)1k k k k k k k <=-≥∈--N（2=>=-；2)k =<=≥（3）2()(0,0)4a b a b ab a b ++≥≤>>（4）121222113211-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k ；（5）1112n n k n<<+ （6）糖水不等式：(0,0)b b ma b m a a m+<>>>+【设计意图】掌握常见的放缩方式. ●活动③ 放缩法的应用 例3 若n 是自然数，求证.213121112222<++++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明：.,,4,3,2,111)1(112n k kk k k k=--=-< ∴nn n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+ =.212<-n【思路点拨】常见放缩*21111(2,)(1)1k k N k k k k k<=-≥∈--注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n 的过程中，已经得到一个更强的结论nn 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 【答案】见解析同类训练 若n 是自然数，求证222211117.1234n ++++< 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 因为2211111()(2)1211n n n n n <=-≥--+， 左边1111111+[(1)+()++()]232411n n <----+11111171+(1+)1(1)221224n n =--<++=+；当1n =时，714<显然成立【思路点拨】将通项放缩成列项求和模型，注意保留第一项从第二项开始放缩 【答案】见解析例4 求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】 证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数），得n ⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111.3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n n n 【思路点拨】将通项放缩成等比数列模型在求和 【答案】见解析同类训练 若,,a b c ∈R ，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a .【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵,,a b c ∈R ∴1=+++++++++++++++>c b a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ，∴12m <<，即原式成立.【思路点拨】将分母放缩成相同才能化简 【答案】见解析【设计意图】通过对例题的学习，进一步理解放缩法. 3.课堂总结 知识梳理（1）利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. （2）常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大； （Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小. 重难点归纳（1）体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题. （2）体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”. （三）课后作业基础型自主突破1.实数,,a b c不全为0的等价命题为()A.,,a b c均不为0 B.,,a b c中至多有一个为0C.,,a b c中至少有一个为0 D.,,a b c中至少有一个不为0【知识点】命题的等价性【解题过程】实数,,a b c不全为0就是,,a b c中至少有一个不为0【思路点拨】“不全”就是“至少一个”【答案】D2.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠有有理根，那么,,a b c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A.假设,,a b c都是偶数 B.假设,,a b c都不是偶数C.假设,,a b c至多有一个偶数 D.假设,,a b c至多有两个偶数【知识点】反证法【解题过程】假设,,a b c都不是偶数【思路点拨】“至少有一个是”的否定是“一个也不是”【答案】B3.设,,x y z都是正实数，1a xy=+，1b yz=+，1c zx=+，则,,a b c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2 【知识点】反证法【解题过程】因为111()()()22+2=6a b c x y zx y z++=+++++≥+，当且仅当1x y z===时等号成立，所以,,a b c三者中至少有一个不小于2. 【思路点拨】基本不等式模型【答案】C4.若不等式220x ax a -+≥对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的一元二次不等式2230at t +->的解集为( )A.(3,1)-B.(,3)(1,)-∞-⋃+∞C.∅D.(0,1) 【知识点】恒成立问题；解不等式【解题过程】不等式220x ax a -+≥对一切实数R x ∈恒成立，则2440a a ∆=-=，即1a =或0a =（舍去），所以不等式2230at t +->转化2230t t +->，解得3t <-或1t >. 【思路点拨】一元二次不等式在R x ∈上恒成立只用考虑开口和Δ. 【答案】B5.某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数()f x 在[0,1]上有意义，且(0)(1)f f =，如果对于不同的12,[0,1]x x ∈，都有1212|()()|||f x f x x x -<-，求证：121|()()|2f x f x -<，那么它的假设应该是 . 【知识点】反证法【解题过程】假设121|()()|2f x f x -≥【思路点拨】小于的否定是大于或等于 【答案】假设121|()()|2f x f x -≥6．lg 9lg11⋅与1的大小关系是________. 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】因为22lg 9lg11lg 99lg 9lg11()()122+⋅<=<，所以lg 9lg111⋅< 【思路点拨】同底对数相加才可用性质化简，和积结构转化用基本不等式 【答案】lg 9lg111⋅< 能力型 师生共研7.设,,a b c 均为正数，,,P a b c Q b c a R c a b =+-=+-=+-，则“0PQR >”是“,,P Q R 同时大于零”的________条件.【知识点】充分必要条件；反证法【解题过程】必要性是显然成立的；当0PQR >时，若,,P Q R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设0,0,0P Q R ><<，则20Q R c +=<，这与0c >矛盾，即充分性也成立. 【思路点拨】直接做较困难，用反证法 【答案】充要9.若0,0a b >>满足1ab a b ≥++ ，那么( )A.a b +有最小值2+B.a b +有最大值2+C.ab 1+D.ab 有最小值2+ 【知识点】放缩法；基本不等式 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】2()14a b a b ab +++≤≤，所以2()4()40a b a b +-+-≥，解得2a b +≤-2a b +≥+1ab a b a b =++⎧⎨=⎩，即1a b ==+等号.【思路点拨】用基本不等式实现和积结构转换 【答案】A 探究型 多维突破9.设,,,x y z t 满足1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为________. 【知识点】放缩法；不等式的基本性质；基本不等式【解题过程】因为11x y y z ≥≥，且100z zt ≥，所以111005x z z y t z +≥+≥=，当且仅当1,10,100x y z t ====时，等号成立. 【思路点拨】通过放缩消元求最值【答案】1510.设0,0a b >>，且11a b a b+=+.证明： (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【知识点】反证法【解题过程】证明：由11a ba b a b ab++=+=，0,0a b >>，得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =，有2a b +≥=，即2a b +≥.(2)假设22a a +<与22b b +<不可能同时成立，则由22a a +<及0a >得01a <<；同理，01a <<，从而1ab <，这与1ab =矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【思路点拨】基本不等式化简 【答案】见解析 自助餐 11.设1010101111112212221M =++++++-，则( ) A.1M = B.1M < C.1M > D.M 与1大小关系不定 【知识点】放缩法【解题过程】111010101011101010101011111111221221222122222M -=++++<++++==++- 【思路点拨】放缩成相同分母化简可证 【答案】B12.1A n=+++与*)n N ∈的大小关系为 . 【知识点】放缩法【解题过程】*n ∈N ，当1n =时，1A ==； 当2n ≥时，1121321A n n n =+++>+++++++-11n =++-=综上可知，A ≥.2)k >=-≥【答案】A ≥.13.用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根.B.方程20x ax b ++=至多有一个实根.C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【知识点】反证法【解题过程】假设方程20x ax b ++=没有实根【思路点拨】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【答案】A14.已知,0x y >，且2x y +>.求证：11,x yy x++中至少有一个小于2. 【知识点】反证法 【解题过程】证明：假设112,2x yy x++≥≥，则12,12x y y x +≥+≥ 两式相加，得22()x y x y ++≥+，即2x y +≤，与题设矛盾. 所以11,x yy x++中至少有一个小于2. 【思路点拨】“至少有一个”问题的证明用反证法 【答案】见解析15.若数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+，求证：13521n x x x x -<【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想=， 13521132113211242352121n n n x x x x n n n ---=⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=++. 所以13521n x x x x -<【思路点拨】213211133212112342121321()24222442223452213521n n n n n n n n n n n n -----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯++【答案】见解析16.数列{}n a 的通项公式4(1)n a n n =+. 求证：对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----. 【知识点】放缩法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：所证明的不等式为211112723474417n n +++<+-. 首先证明21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. 只要证221244177n n n n<+-+，只要证2277882n n n n +<+-，只要证220n n +->， 只要证(2)(1)0n n +->，当2n ≥时，此式显然成立，所以21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. ∴当2n ≥时，2111112111111212()72347441772334177(1)7n n n n n +++<+-+-++-=-<+-++. 【思路点拨】放缩成列项求和模型 【答案】见解析。
数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.3反证法与放缩法
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解析：由反证法和放缩法易知(1)，(2)，(4)错误． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
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2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪
些作为条件使用( )
①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③
公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
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温馨提示 (1)一定不要把“假设”写成“设”；(2) 必须从否定的结论出发进行推理，即把否定的结论作为推 理的条件，否则就不是反证法．
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2．放缩法
把要证的不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出 明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性， 从而使不等式得到证明的方法．
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1．反证法
[知识提炼·梳理]
(1)反证法的定义． 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已 知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证 明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
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则 1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 这与已知的 ac＋bd＞1 矛盾， 所以假设不成立， 所以 a，b，c，d 中至少有一个是负数．
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归纳升华 1．当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存 在”等词语时，适合应用反证法，因为此类问题的反面比 较具体． 2．用反证法证明不等式时，若原命题结论的否定不 止一个，就必须将结论的所有否定逐一驳倒．
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 第3节 反证法与放缩法创新应用教学案 新人教A版选修4-5-
第3节反证法与放缩法创新应用[核心必知]1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．2．放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．[问题思考]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否那么，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，那么相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.[精讲详析] 此题考查反证法的应用．解答此题假设采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．假设4a (1－b )＞1，4b (1－c )＞1，4c (1－d )＞1，4d (1－a )＞1，那么有a (1－b )＞14，b (1－c )＞14，c (1－d )＞14，d (1－a )＞14.∴a 〔1－b 〕＞12，b 〔1－c 〕＞12，c 〔1－d 〕＞12，d 〔1－a 〕＞12.又∵a 〔1－b 〕≤a ＋〔1－b 〕2，b 〔1－c 〕≤b ＋〔1－c 〕2，c 〔1－d 〕≤c ＋〔1－d 〕2， d 〔1－a 〕≤d ＋〔1－a 〕2，∴a ＋1－b 2＞12，b ＋1－c 2＞12， c ＋1－d 2＞12，d ＋1－a 2＞12.将上面各式相加得2＞2，矛盾． ∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a ) 这四个数不可能都大于1.——————————————————(1)当证明的结论中含有“不是〞，“不都〞，“不存在〞等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．1．f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a)＋f(b)．求证：a>b.证明：假设a≤b，那么当a＝b时－b＝－a，于是有f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与矛盾．当a＜b时，－a＞－b，于是有f(a)<f(b)，f(－b)<f(－a)，∴f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)与矛盾．∴a>b.实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．[精讲详析] 此题考查“至多〞、“至少〞型命题的证明方法．解答此题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾．假设a、b、c、d都是非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，那么1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，这与中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，∴a、b、c、d中至少有一个是负数．——————————————————(1)在证明中含有“至少〞、“至多〞、“最多〞等字眼时，或证明否定性命题、唯一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，在证明过程中必须使用这个增加的条件，否那么就不是反证法．2．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，求证：y ＝f (x )在区间(a ，b )上至多有一个零点．证明：假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点，不妨设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1＜x 2，那么f (x 1)＝f (x 2)＝0.∵函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾， ∴原假设不成立．∴函数y ＝f (x )在(a ，b )上至多有一个零点.求证：32－1n ＋1＜1＋122＋…＋1n 2＜2－1n(n ∈N ＋且n ≥2)．[精讲详析] 此题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答此题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)， ∴1k 〔k ＋1〕＜1k 2＜1k 〔k －1〕，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k(k ∈N ＋且k ≥2)． 分别令k ＝2，3，…，n得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13，…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n ， 将这些不等式相加得12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n， ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋1－1n ，即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)成立． ——————————————————(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a >b ，可换成证a >c 且c >b ，欲证a <b ，可换成证a <c 且c <b .(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k2＜1k 〔k －1〕，1k 2＞1k 〔k ＋1〕，1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．3．：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n 〔n ＋1〕(n ∈N ＋)，求证：n 〔n ＋1〕2＜a n ＜n 〔n ＋2〕2.证明：∵n 〔n ＋1〕＝n 2＋n ， ∴n 〔n ＋1〕＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n 〔n ＋1〕>1＋2＋3＋…40＋n ＝n 〔n ＋1〕2.∵n 〔n ＋1〕<n ＋〔n ＋1〕2，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋〔n ＋1〕2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n 〔n ＋2〕2. 综上得：n 〔n ＋1〕2＜a n ＜n 〔n ＋2〕2.反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大，一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用．[考题印证](安徽高考)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1， 其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．[命题立意] 此题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推理论证的能力．[证明] (1)反证法．假设l 1与l 2不相交，那么l 1与l 2平行，有k 1＝k 2.代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0，此与k 1为实数的事实相矛盾．从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 ：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1.而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.此即说明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二：l 1与l 2的交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x .故知x ≠0，从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0， 整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．一、选择题1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数〞时正确的反设为 ( ) A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 都是偶数 C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶〞4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶〞的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．2．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，那么A 、B 的大小关系为( )A ．A ＝B B ．A ＜BC ．A ≤BD ．A >B解析：选B B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y1＋x ＋y＝A ，即A <B .3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，那么三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值 ( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 解析：选C 假设都大于－2，那么a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＞－6，∵a ，b ，c ＜0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，那么选C.4．对“a 、b 、c 是不全相等的正数〞，给出以下判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 对①，假设(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，这时a ＝b ＝c ，不符合题意，故①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0符合题意，∴①对．对②，当a >b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对．对③，显然不正确．二、填空题5．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为________． 解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋〔210－1〕 ＜1210＋1210＋1210＋…＋1210共210项＝1.即M ＜1. 答案：M ＜16．用反证法证明“平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条〞时，假设的内容为________．解析：对“最多〞的否定应当是“最少〞，二者之间应该是完全对应的，所以此题中的假设应为“直径的数目最少为n ＋1条〞．答案：直径的数目最少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________． 解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥项 ＝nn＝n . 答案：A ≥n8．a >2，那么log a (a －1)log a (a ＋1)________1(填“＞〞、“＜〞或“＝〞)． 解析：∵a >2，∴log a (a －1)＞0，log a (a ＋1)>0， 又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，∴log a 〔a －1〕log a 〔a ＋1〕＜log a 〔a －1〕＋log a 〔a ＋1〕2，而log a 〔a －1〕＋log a 〔a ＋1〕2＝12log a (a 2－1)＜12log a a 2＝1， ∴log a (a －1)log a (a ＋1)＜1. 答案：< 三、解答题9．0<x <2，0<y <2，0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立， 那么三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.① 由于0<x <2，∴0＜x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0＜y (2－y )≤1，且0＜z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1② ②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.法二：假设x (2－y )＞1且y (2－z )＞1且z (2－x )＞1. ∴x 〔2－y 〕＋y 〔2－z 〕＋z 〔2－x 〕＞3.③ 又x 〔2－y 〕＋y 〔2－z 〕＋z 〔2－x 〕 ≤x ＋〔2－y 〕2＋y ＋〔2－z 〕2＋z ＋〔2－x 〕2＝3，④④与③矛盾，故假设不成立， ∴原题设结论成立．10．实数x 、y 、z 不全为零，求证： x 2＋xy ＋y 2＋ y 2＋yz ＋z 2＋ z 2＋zx ＋x 2>32(x＋y ＋z )．证明：x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝|x ＋y2|≥x ＋y2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x 、y 、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：.专业. x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )． 11．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N ＋)， (1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝n a n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＜710. 解：(1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n (n ∈N ＋)， ∴a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋112·a 1＝16， a 3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·a 2＝72. 又∵a n ＋1〔n ＋1〕2＝2·a n n 2，n ∈N ＋，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2为等比数列． ∴a n n 2＝a 112·2n －1＝2n ， ∴a n ＝n 2·2n .(2)证明：c n ＝n a n ＝1n ·2n， ∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝11·2＋12·22＋13·23＋…＋1n ·2n <12＋18＋124＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋125＋…＋12n ＝23＋14·124⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －31－12＜23＋14·1241－12＝23＋132 ＝6796＝670960＜96×796×10＝710，所以结论成立．。
高中数学选修4-5反证法与放缩法
2.3反证法与放缩法班级： 姓名： 小组：学习目标1.掌握反证法和放缩法证明数学问题；2.掌握反证法和放缩法在证明不等式中的应用.学习重点难点 重点：反证法和放缩法的应用； 难点：综合题型的解决. 学法指导本节课通过例题让学生体会反证法和放缩法的思想，通过练习掌握反证法的应用.课前预习 1.反证法的定义：假设 不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下的出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾或与 矛盾或与 事实矛盾等.3.放缩法：将所需证明的不等式的值适当 （或 ）使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式 ，把分母放大，则相应分式的值 ，反之，把分母缩小，则分式的值 预习评价 1.否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时，正确的反设为（ ） A.c b a ,,都是奇数 B.c b a ,,都是偶数C.c b a ,,中至少有两个偶数D.c b a ,,中都是奇数或至少两个偶数2.若两个实数之和为正数，则这两个数（ ）A.一个是正数，一个是负数B.都是正数C.至少有一个是正数D.都是负数课堂学习研讨、合作交流（备注：重、难点的探究问题）一、用反证法证明例1.已知0≠a ，证明x 的方程b ax =有且只有一个根.小结：用反证法证明的过程包括下面三个步骤：（1）（2）反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；（3）归谬：由“反设”作为条件出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾； （4）存真：由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立. 二、用放缩法证明例2.已知 R d c b a ∈,,,,求证：21<+++++++++++<ca d dd b c c a c b b d b a a小结：放缩法是不等式证明中最重要的变形之一.放缩时必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.当堂检测 （备注：本节课重、难点知识的检测）1.已知三个正数c b a ,,成等比数列，但不成等差数列，求证：c b a ,,不成等差数列.2.设()13221++⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n S n ，求证：不等式()212)1(2+<<+n S n n n 对所有的正整数n 都成立.学后反思。
(新课程)高中数学 2-3 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5
题型三 放缩法在数列中的综合应用 【例 3】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项； (2)证明：n2－13＜aa12＋aa23＋…＋aan＋n 1＜n2(n∈N＋)．
[思维启迪] (1)问考查由递推关系式求通项的方法； (2)问考查放缩法证明不等式． (1)解 ∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数 列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋)．
基础自测
1．实数a，b，c不全为0等价于
( )．
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．“a，b，c中至少有一个
不为0”．
答案 D
2．已知 a，b，c，d 都是正数，S＝a＋ab＋c＋a＋bb＋d＋c＋dc＋a
[思维启迪] 利用 n2＜ nn＋1＜n＋n2＋1放缩，进而求证．
证明 ∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2 ＝1＋2＋…＋n＝nn＋2 1. 且 Sn<1＋2 2＋2＋2 3＋…＋n＋n2＋1 ＝32＋52＋…＋2n＋2 1 <12＋32＋52＋…＋2n＋2 1＝n＋212 ∴nn＋2 1<Sn<n＋212.
法二 假设 x(2－y)＞1 且 y(2－z)＞1 且 z(2－x)＞1.
∴ x2－y＋ y2－z＋ z2－x＞3
③
而 x2－y＋ y2－z＋ z2－x
≤x＋22－y＋y＋22－z＋z＋22－x＝3
④
④与③矛盾，故假设不成立，
∴原题设结论成立．
方法点评 (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”， “不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反 面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与 已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾.
高中数学新人教A版选修4-5 反证法与放缩法
又∵ a1－b≤a＋21－b， b1－c≤b＋21－c， c1－d≤c＋12－d， d1－a≤d＋21－a，
∴a＋21－b>12，b＋21－c>12， c＋12－d>12，d＋12－a>12. 将上面各式相加得 2>2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都 大于 1.
同理可得 y2＋yz＋z2≥y＋2z， z2＋zx＋x2≥z＋x2，
由于 x，y，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到
等号，所以三式相加得：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>x＋2y＋y＋2z ＋z＋x2＝32(x＋y＋z)．
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及 已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩， 任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（八）” (单击进入电子文档)
利用放缩法证明不等式
[例 2] 已知实数 x，y，z 不全为零．求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)． [思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再
用放缩法证明．
[证明]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y.
＝aa＋＋bb＋＋21＝32，
所以原不等式得证．
5．已知 n∈N＋，求证： 1×3＋ 3×5＋…＋ 2n－12n＋1 <n＋122. 证明：因为 1×3<1＋2 3＝42， 3×5<3＋2 5＝82，…， 2n－12n＋1<2n－1＋2 2n＋1＝42n， 所以 1×3＋ 3×5＋…＋ 2n－12n＋1<4＋8＋2…＋4n＝ n2＋n，又因为 n2＋n<n＋122，所以原不等式得证．
贵州省盘县第三中学高中数学(人教A版)选修4-5教案：第二讲 证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法
课题6：不等式证明四（反证法与放缩法）一、反证法：有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明， 即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。
例1、 若x, y > 0，且x + y >2，则x y +1和y x +1中至少有一个小于2。
反设xy +1≥2，y x +1≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾，∴原式成立 例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0证：（1）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾（2）若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0同理可证：b > 0, c > 0例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于41 证：设(1 a)b >41, (1 b)c >41, (1 c)a >41, 则三式相乘： (1 a)b •(1 b)c •(1 c)a >641 ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b , 41)1(≤-c c 以上三式相乘： (1a)a •(1 b)b •(1 c)c ≤641 与①矛盾. ∴(1a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于41 二、放缩法： 在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B ，我们可以适当的找一个中间量C 作为媒介，证明A>C 且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B 放大到C(或把A 缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。
人教新课标版数学高二A版选修4-5素材 2.3反证法与放缩法
高中数学-打印版三反证法与放缩法一览众山小诱学·导入材料：从前有个国王总认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯人前，总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可幸免一死.一个囚犯一天将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死”字让他去抽，心想，这下犯人必死无疑.谁知那个狱吏把此消息透露给了犯人.国王宣布抽签开始后，那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一纸片，看也不看便放进嘴里，就吞下肚子，使在场的人慌了手脚，而犯人只受了痛打一顿的处罚而死里逃生了.问题：上述材料中犯人机智地保全了性命，试问你能说清理由吗？导入：因为谁都搞不清犯人抽到的是“死”还是“活”，此时，国王查看剩下的纸片上写的是“死”字，由此反证，可知被犯人吞下的是“活”字了.于是国王下令，将犯人痛打一顿，以责罚他不该擅自吞吃纸片，随后又不得不将犯人释放了.上述材料中犯人机智地运用反证法保全了性命，真可谓棋高一筹.这就是反证法思想在生活中的应用，下面就研究反证法以及放缩法在不等式证明中的应用.温故·知新1何谓矛盾呢？答：在逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时为真也不能同时为假的关系.2.生活中的归谬证法是什么意思呢？答：归谬证法是指：当我们发现对方意见谬误时，不予驳斥和争辩，而是顺着他的思路，把谬误推导出来.对方的意见原来可能只考虑到一方面的效果，而忽略了另一方面的影响以及可能产生的负作用，所以归谬论证就有意朝这些方面推导.这种推导有时可以适当地夸大，使谬误更加明显，这就等于给对方戴上望远镜与显微镜.在整个推导过程中，自己始终表现得十分真诚，而且越真诚效果越好.对方感到你如此真诚地按照他的意见进行设想，而结果又是如此荒谬，往往会禁不住哑然失笑.这笑是笑他本人的愚笨，于是你的目的也达到了，这就是古人所采用的归谬论证法的效果.精心校对。
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选修4-5学案 §2.1.3不等式的的证明(3) 姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.12 ( ) n B B B B A⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知例1已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10．已知222a y x =+，可设 ， ；20．已知122≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )；30．已知12222=+b y a x ，可设 ， .例2 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ）.A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞例3 已知221x y +=，求证：y ax -≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+-③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m bb m+<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +； ⑧利用常用结论：如：2=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯例4 当 n > 2 时，求证：(1)log (1)log n n n n +-<例5求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n例6 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a选修4-5练习 §2.1.3不等式的证明(3) 姓名1、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21.2、设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于413、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）.4、若x , y > 0，且x + y >2，则xy +1和y x+1中至少有一个小于2。
5、已知 1≤22x y +≤2，求证：12≤22x xy y -+≤36、设2()13f x x x =-+，1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+；7、求证：311112≤+--≤-x x x8、求证.111bb aa ba b a +++≤+++9、设n 为大于1的自然数，求证.2121312111>+++++++n n n n10、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n11、求证：223111112212n n n-<++⋅⋅⋅+<-+(n ≥2)12、求证：21<⋅⋅⋅+<()*n N ∈参考答案:例1 例2 例33.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度。
常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，22131242a a ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②将分子或分母放大（或缩小）③真分数的性质：“若0a b <<，0m >，则a a mb b m+<+” ④利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈；2x x -≥14()x R ∈；20x >()x R ∈ ⑦利用常用结论：2=>=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） ⑧绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑨应用二项式定理.4.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.贝努利不等式例如，对于任何0>x 和任何正整数n ，由牛顿二项式定理可得 .321)2)(1(21)1(1)1(22n nx x n n n x n n nx x ++⨯⨯--+⨯-++=+舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： nx x n+>+1)1(. 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。
该不等式不仅当n 是正整数的时候成立，而且当n 是任何大于1的有理数的时候也成立。
这就是著名的贝努利不等式。
在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1->x ，则在1>α或0<α时，x x αα+≥+1)1(，在10≤≤α时，.1)1(x x αα+≤+例4证：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n例5证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn 例6证：记m =c a d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
练习1．证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时， 通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出 的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各 种情况。
试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？2、 证：设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >41,则三式相乘：ab < (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a <641①又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b , 41)1(≤-c c 以上三式相乘： (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤641与①矛盾. ∴原式成立 4提示：反设xy+1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
10 证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。