2019年中考数学专题复习小训练专题13二次函数的应用
专题13 二次函数的应用-2019年中考数学考点总动员系列(解析版)
2019年中考数学备考之黄金考点聚焦考点十三：二次函数的应用聚焦考点☆温习理解1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．2．利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案．3．利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．名师点睛☆典例分类※考向一：利用二次函数最值及增减性解决实际问题典例1：（2017•达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y=()()7.504 510414x xx x≤≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩＜．(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？【分析】(1)根据y=70求得x 即可；(2)先根据函数图象求得P 关于x 的函数解析式，再结合x 的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可． 【解答】解：(1)根据题意，得：∵若7.5x=70，得：x=4328>，不符合题意； ∴5x+10=70，解得：x=12，答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；(2)由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，当4＜x≤14时，设P=kx+b ，将(4，40)、(14，50)代入，得：4401450k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：136k b =⎧⎨=⎩，∴P=x+36；①当0≤x≤4时，W=(60﹣40)•7.5x=150x ，∵W 随x 的增大而增大，∴当x=4时，W 最大=600元； ②当4＜x≤14时，W=(60﹣x ﹣36)(5x+10)=﹣5x2+110x+240=﹣5(x ﹣11)2+845，∴当x=11时，W 最大=845，∵845＞600，∴当x=11时，W 取得最大值，845元， 答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．※考向二：利用二次函数与方程或不等式联系解决纯函数问题典例2：（2017·北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线342+-=x x y 与x 轴交于点A B 、（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点),(21y x P ，Q ),(22y x ，与直线BC 交于点),(33y x N 若321x x x <<，结合函数的图象，求321x x x ++的取值范围.【分析】第（1）问直接利用二次函数与一元二交方程关系求出A ，B ，C 的坐标即可求出直线BC;第（2）问要注意画图分析，分类讨论，考虑临界即得答案【解答】解：（1）由题意得0342=+-x x ，解得1,321==x x ，则A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)；设直线BC 解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧=+=033b k b 解得⎩⎨⎧-==13k b∴直线BC 解析式为3+-=x y（2）抛物线342+-=x x y 的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，－1）∵21y y =，∴421=+x x ；令y=-1,即,31+-=-x 得x=4∵321x x x <<,∴433<<x ,即87321<++<x x x※考向三：解决二次函数与几何存在性相关问题典题3:（2018宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数)30)(3)((<<--=x x a x y 的图像与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ，过其顶点C 作直线CP ⊥x 轴，垂足为点P ，连接AD 、BC ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）若△AOD 与△BPC 相似，求a 的值；a 的值，若不能，请说明理由．【分析】（1）令y ＝0，得A （a ，0），B （3，0）；（2）根据∠AOD ＝∠PBC ＝90°，所以分△AOD ∽△BPC 和△AOD ∽△CPB 两种情况讨论即可； （3）根据∠BOD ＝90°得B 、O 、D 三点共圆，其圆心M 为BD 中点，若C 也在圆上，则MC ＝MB ，即MC 2＝MB 2，列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵2()(3)(3)3y x a x x a x a =--=-++，（0<x<3）∴A （a ，0），B （3，0）；D （0，3a ） （2）∵A （a ，0），B （3，0），∴对称轴为23a x +=，C （23a +，2)23(a --），∴PB ＝233a+-，PC ＝2)23(a -， ①当△AOD ∽△BPC 时，则PCODBP AO =，即2)23(3233a aa a -=+-，解得a ＝±3（舍） ②当△AOD ∽△CPB 时，则PB OD CP AO =，即2333)23(2a aa a +-=-，解得a 1＝3（舍），372=a ； ∴37=a（3）能，如图，连接BD ，取中点M ；∵∠BOD ＝90°，∴B 、O 、D 三点共圆，且圆心M （23，a 23），若C 也在圆上，则MC ＝MB ，即22222)023()323()23(23)2323(-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-a a a a ，整理得：0451424=+-a a ，即（52-a ）（92-a ）＝0，解得51=a ，52-=a （舍），33=a （舍），34-=a （舍），※考向四：新定义背景下的二次函数问题典例4：（2015•河南）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD 、PE 、DE ．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P 的位置发现：当P 与点A 会点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，丙说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）首先表示出P ，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD ，PF 的长，进而求出即可； （3）根据题意当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小，进而得出P 点坐标以及利用△PDE 的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，∴C （0，8），A （﹣8，0），设抛物线解析式为：c ax y +=2，则⎩⎨⎧=+=0648c a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==818a c 故抛物线的解析式为：8812+-=x y ； （2）正确， 理由：设P （a ，8812+-a ），则F （a ，8）， ∵D （0，6），∴281281281222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=a a a a PD ，2281)881(8a a PF =+--=，∴PD-PF=2（3）在点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD ﹣PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2，∴当P 、E 、F 三点共线时，PE+PF 最小， 此时点P ，E 的横坐标都为﹣4，将x=﹣4代入8812+-=x y ，得y=6， ∴P （﹣4，6），此时△PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点，∴△PDE 的周长最小时”好点“的坐标为：（﹣4，6），由（2）得：P （a ，8812+-a ）， ∵点D 、E 的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），∴设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，则有⎩⎨⎧=+-=046b k b ，得⎪⎩⎪⎨⎧==236k b所以DE 解析式为：623+=x y ，则有13)6(4152388122++-=--+-=a a a PE ，而134,08≤≤∴≤≤-∆PDE S a∴△PDE 的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个， 综上所述：11个好点，P （﹣4，6）．课时作业☆能力提升一、选择题1．（2017•包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题． 【解答】解：由2422y x y x =⎧⎨=+⎩消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ．2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝21x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米 D ．斜坡的坡度为1∶2【分析】根据二次函数图象和性质可解答【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x －21x 2得y ＝－21（x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝21x 解得⎩⎨⎧==00y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y＝21x 中系数21的意义判断坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ．3．（2017•泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用二次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22BC AB =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ， ∴S 四边形PABQ=S △ABC ﹣S △CPQ=21AC•BC ﹣21PC•CQ=21×6×8﹣21（6﹣t ）×2t=t2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故答案：C ．4．（2017•宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )A．20cm B ．18cm C ．cm D ．【分析】根据已知条件得到CP ＝6－t ，得到PQ ，可得到结论．【解答】解：∵AP ＝CQ ＝t ，∴CP ＝6－t ，∴PQ ，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴线段PQ 的最小值是， 故答案：C ．5．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故答案：B．6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A故答案：A．7．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2． 故答案：B ． 二、填空题8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝______m 时，矩形ABCD 的面积最大．EACDBF【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．【解答】解：设AB ＝x m ，因此AB ＋EF ＋CD ＝3x ，所以AD ＝BC ＝90032x-，矩形ABCD 的面积设为y (平方米)，所以y ＝x·90032x -＝234502x x -+，由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，当x ＝2ba -＝34502()2⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦＝150时，函数y 取得最大值．9．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD ，PP′的长，求出面积即可． 【解答】解：连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP=A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=222222=+，∠AOP=45°， 又∵AD ⊥OP ，∴△ADO 是等腰直角三角形，∴PP′=24222=⨯，∴AD=DO=sin45°•OA=223332=⨯， ∴抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为：22324⨯=12．故答案：12．10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t (单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是___________m .【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题 【解答】解： y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，即当t ＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m ，当t ＝16时，y ＝576m ，故最后4s 滑行的距离是600－576＝24m . 故答案：24． 三、解答题11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤＜，为正整数，≤≤，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）． （1）m ＝______，n ＝______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ （3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y ＝32；x ＝26时，y ＝25，将它们代入y 关于x 的函数解析式中即可求出m ，n 的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x 天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．【解答】解：（1）m＝－12，n＝25．（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－12x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．∴当x＝18时，W最大值＝968．当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30．∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．【解答】解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得 4426k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得18k b =-⎧⎨=⎩．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得 11112618k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-． 当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即2217232W x x =-+-．(2)当4≤x ≤6时，()221123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．当6≤x ≤8时，()2221137237222W x x x =-+-=--+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5．∴1020261.533==，即第7个月可以还清全部贷款． 13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax －3a(a ＜0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a ＝－1时，抛物线顶点D 的坐标为________，OE ＝________；（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．【解答】解：（1）(－1，4)，3；（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD 的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m－1(m＜1)．14（2018河南)如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B ，C 两点的坐标，再代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中即可求得抛物线的解析式；（2） ①当A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P 在直线BC 上方”和“点P 在直线BC 下方”两种情况进行讨论求解；②提示：作AC 的垂直平分线，交BC 于点1M ，连接1AM ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将1ANM ∆沿AN 翻折，得到2ANM ∆，点1M 、2M 的坐标即为所求．【解答】解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)．∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++⎧⎨-=⎩，∴15a c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD PQ ＝4． 设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下： (ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m =(ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴152m +=，252m -=． 综上，点P 的横坐标为4或52+或52． ②M(136，176-)或(236，76-)． 15（2018•日照）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上． （1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；（2）作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，将△PBC 转化为S △PDC ＋S △PDB 列方程求解；（3）由∠BQC ＝∠BAC 推出点Q 在△ABC 外接圆上，外接圆圆心是弦AC 与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q 坐标．【解答】解：（1）把点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得09301a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得13231a a c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为y ＝－13x 2＋23x ＋1． （2）∵B （3，0），C （0，1）， ∴直线BC 的解析式为y ＝－13x ＋1．过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交BC于D ．设P(x ，－13x 2＋23x ＋1)，则D(x ，－13x ＋1)． ∴PD ＝－13x 2＋23x ＋1－(－13x ＋1)＝ －13x 2＋x ．∴S △PBC ＝S △PDC ＋S △PDB ＝12PD(x B －x C )＝12(－13x 2＋x)(3－0)＝－12x 2＋32x ．又∵S △PBC ＝1，∴－12x 2＋32x ＝1，∴x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2．∴P 1（1，43），P 2（2，1）． （3）答：存在．理由：如图 ，∵A （－1，0），C （0，1），∴OC ＝OA ＝1，∴∠BAC ＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC ，∴∠BQC ＝45°．∴点Q 为△ABC 外接圆与抛物线对称轴在x 轴下方的交点．设△ABC 外接圆圆心为M ，∵线段AC 的垂直平分线为直线：y ＝－x ，线段AB 的垂直平分线为：x ＝1．∴点M 为直线y ＝－x 与直线x ＝1的交点，即M （1，－1），∴∠BMC ＝2∠BQC ＝90°，又∵MQ ＝MB ＝Ry Q ＝－（11Q 在直线x ＝1上，∴x Q ＝1，∴Q （1，－1．16．. (2018福建)已知抛物线2y ax bx c =++过点A （0,2），且抛物线上任意不同两点11(,)M x y ,22(,)N x y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y ＝-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以上问题： ①求证：BC 平分∠MBN ；②求△MBC 外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．此时b ＝0，c ＝2，即可得到抛物线的解析式；（2）①先根据点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，求出直线MN 的解析式，然后分别构造Rt △BEM 与Rt △BFN ，求出tan ∠MBE与tan ∠NBF 的值，从而得到∠MBE ＝∠MBE 即可．②先确定△MBC 外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．【解答】解：（1）∵抛物线过点A （0,2），∴c ＝2，当120x x <<时，120x x -<，由1212()()0x x y y -->得120y y -<，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；同理可得，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y 轴且开口向下，则b ＝0．∵O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵△ABC 有一个内角为60°，故△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝2．设线段BC 与y 轴的交点为D ，则BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°，所以BD ＝OB·cos30°，OD ＝OB·sin30°＝1，∵点B 在点C 的左侧，所以点B坐标为(1)-．∵点B 在抛物线2y ax bx c =++上，且c ＝2,b＝0,所以3a+2＝－1,解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为22y x =-+．（2）①由（1）知，点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，∵MN 与直线y＝-平行，设直线MN 的解析式为y＝m -+，则212x -+＝1m -+，即m＝2112x -++，∴直线MN的解析式为2112y x =-++，将2112y x =-++代入22y x =-+得，2211x x -=-+化为221((x x =，解得1x x =-，或1x x =-∴21x x =-则2y＝21(2x --+＝21110x -+-，作ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，∵点M ，N 位于直线BC 的两侧，且12y y >，则2112y y <-<≤，且12x x <<，∴ME ＝1y －（－1）＝213x -+，BE＝1(x -＝1x ，NF ＝（－1）－2y＝2119x -+，BF＝21(x x -=，在Rt △BEM 中，tan ∠MBE ＝ME EB＝211133x x x -+=+,在Rt △BFN 中，tan ∠NBF ＝NFBF1x ===-, ∵tan ∠MBE ＝ tan ∠NBF ，∴∠MBE ＝ ∠NBF ， 即BC 平分∠MBN ．②∵y 轴为BC 的垂直平分线，∴可设△MBC 的外心为P （0，0y ），则PB ＝PM ，即22PB PM =．由勾股定理可得22220101(1)()y x y y ++=+-因为2112x y =-，∴220010124(2)()y y y y y ++=-+-，即1012y y =-．由①知，112y -<≤，∴0302y -<≤，即△MBC 的外心的纵坐标的取值范围为0302y -<≤．。
苏科版数学中考复习专题练习— 二次函数及其应用(含答案)
二次函数及其应用一、学习目标1．掌握二次函数的定义；2．理解并掌握二次函数的图像以及性质；3．会利用二次函数的性质解决实际问题．二、典型例题题型一、二次函数的概念例题1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1x2＋1C．y＝x(x＋1) D．y＝(x＋2)2－x2【题小结】用二次函数的概念进行判断借题发挥：若y＝(k－1)x k2+1是二次函数，则k＝．题型二、二次函数的图像与性质例题2．关于抛物线y＝3(x－1)2＋2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小例题3．已知二次函数y＝2x2－8x＋c的图象过点A（－2，y1），B（－1，y2），C（8，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y1＞y2B．y1＞y2＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1【题小结】用二次函数的图像与性质解决借题发挥：1．当x≥2时，二次函数y＝x2－2x－3有（）A．最大值－3 B．最小值－3 C．最大值－4 D．最小值－42．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a －b＋c＝0；②2a＋b＝0；③4ac－b2＞0；④a＋b≥am2＋bm（m为实数）．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型三、用待定系数法求二次函数例题5．如图，已知点A的坐标是（1，3），将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OB．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（2）若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，当线段MN的长度取最大值时，求点M的坐标．借题发挥：已知二次函数的图象如图所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）观察图象，当－3＜x＜0时，y的取值范围为；（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为．题型四、二次函数与方程、不等式例题6．已知二次函数y＝x2－6x－9k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为．例题7．如表是二次函数y＝ax2＋bx＋c的几组对应值：（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20例题8．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－2，－3），B（3，q）两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集是．【题小结】二次函数的图像与x轴交点坐标，一元二次方程、不等式等问题的联系．。
2019年中考数学二次函数的应用专题(解析版)
2019年中考数学二次函数的应用专题(名师点拨中考必考知识点,建议下载打印练习)时间：45分钟 满分：100分一、单选题（共7题，每题4分；共28分）1．（2017•包头）已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1≥y 2C ．y 1＜y 2D ．y 1≤y 2【分析】首先判断直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x2＋2只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题．【解答】解：由2422y x y x =⎧⎨=+⎩消去y 得到：x 2－2x ＋1＝0， ∵△＝0，∴直线y ＝4x 与抛物线y ＝2x 2＋2只有一个交点，如图所示 观察图象可知：．y 1≤y 2， 故答案：D ．2．（2018威海）如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －21x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝21x 刻画，下列结论错误的是( ) A ．当小球抛出高度达到7.5时，小球距O 点水平距离为3m B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势 C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．斜坡的坡度为1∶2【分析】根据二次函数图象和性质可解答【解答】解：：根据函数图象可知，当抛出的高度为7．5时，小球距离O 点的水平距离有两值（为3m 或5m ），A 结论错误；由y ＝4x －21x 2得y ＝－21（x －4）2＋8，则对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 值的增大而减小，B 结论正确；联立方程y ＝4x －12x 2与y ＝21x 解得⎩⎨⎧==00y x ，或⎪⎩⎪⎨⎧==277y x ；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7，27），C 结论正确；由点（7，27）知坡度为27∶7＝1∶2（也可以根据y ＝21x 中系数21的意义判断坡度为1∶2），D 结论正确； 故选A ．3．（2017•泰安）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16 cm 2C ．15 cm 2D ．12 cm 2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用二次函数性质即可求出四边形PABQ 的面积最小值．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴AC=22BC AB =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ， ∴S 四边形PABQ=S △ABC ﹣S △CPQ=21AC•BC ﹣21PC•CQ=21×6×8﹣21（6﹣t ）×2t=t2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15． 故答案：C ．4．（2017•宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝2cm ，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动．若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是( )A ．20cmB ．18cmC ．cmD ．cm【分析】根据已知条件得到CP ＝6－t ，得到PQ ＝＝＝，可得到结论．【解答】解：∵AP ＝CQ ＝t ，∴CP ＝6－t ，∴PQ ＝＝＝，∵0≤t ≤2，∴当t ＝2时，PQ 的值最小，∴线段PQ 的最小值是， 故答案：C ．5．（2017•临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m ，其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=at（t﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误．∴正确的有②③，故答案：B．6．（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对x:在括号内左加右减;对y在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律(左减右加上加下减)直接求解【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1）平移可以看做是顶点在移动到（－1，－1），所以选A故答案：A．7．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故答案：B．二、填空题（共3题，每题4分；共12分）8．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝______m 时，矩形ABCD 的面积最大． EACDBF【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题．【解答】解：设AB ＝x m ，因此AB ＋EF ＋CD ＝3x ，所以AD ＝BC ＝90032x-，矩形ABCD 的面积设为y (平方米)，所以y ＝x·90032x -＝234502x x -+，由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，当x ＝2b a -＝34502()2⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦＝150时，函数y 取得最大值．．故答案：1509．（2017•阿坝州）如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，点A 的对应点为A′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为______．【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD ，PP′的长，求出面积即可．【解答】解：连接AP ，A′P′，过点A 作AD ⊥PP′于点D ，由题意可得出：AP ∥A′P′，AP=A′P′， ∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)，平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′(2，－2)，∴PO=222222=+，∠AOP=45°，又∵AD ⊥OP ，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=24222=⨯，∴AD=DO=sin45°•OA=223332=⨯，∴抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为：22324⨯=12．故答案：12．10．(2018·武汉)飞机着陆后滑行的距离y (单位：m )关于滑行时间t (单位：s )的函数解析式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是___________m . 【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题 【解答】解： y ＝60t －32t 2＝－32(t －20)2＋600，即当t ＝20时，飞机停止滑行，此时滑行距离为600m ，当t ＝16时，y ＝576m ，故最后4s 滑行的距离是600－576＝24m . 故答案：24．三、解答题（共6题，每题10分；共60分）11．（2018·襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为y ＝()()761202030mx m x x n x x ⎧-⎪⎨⎪⎩≤＜，为正整数，≤≤，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m ＝______，n ＝______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据“第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克”可知，x ＝12时，y＝32；x＝26时，y＝25，将它们代入y关于x的函数解析式中即可求出m，n的值．（2）根据“在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克”可知，第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16，于是由“当天利润＝当天销售量×每千克的销售利润”求得W关于x的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解．（3）就是要求出使W ≥870的整数x值有多少个，即为多少天．这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解．【解答】解：（1）m＝－12，n＝25．（2）第x天的销售量为20＋4(x－1)＝4x＋16．当1≤x＜20时，W＝(4x＋16)(－12x＋38－18)＝－2x2＋72x＋320＝－2(x－18)2＋968．∴当x＝18时，W最大值＝968．当20≤x≤30时，W＝(4x＋16)(25－18)＝28x＋112．∵28＞0，∴W随x的增大而增大．∴当x＝30时，W最大值＝952．∵968＞952，∴当x＝18时，W最大值＝968．即第18天当天的利润最大，最大利润为968元．（3）当1≤x＜20时，令－2x2＋72x＋320＝870，解得x1＝25，x2＝11．∵抛物线W＝－2x2＋72x＋320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870．∴11≤x＜20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x＋112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30．∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．综上所述，当天利润不低于870元的共有12天．12．（2018威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其它费用1万元，该产品每月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式； (2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？【分析】：（1）先用待定系数法求出直线AB 与BC 的函数表达式，然后在4≤x ≤6与6≤x ≤8时，根据“每月利润＝销售单价×每月销售量－工资及其他费用”列出W 与x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间．【解答】解：(1)设直线AB 的函数表达式为y AB ＝kx ＋b ，代入A （4，4），B （6，2），得 4426k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得18k b =-⎧⎨=⎩．∴直线AB 的函数表达式为y AB ＝－x ＋8． 设直线BC 的函数表达式为y BC ＝k 1x ＋b 1，代入B （6，2），C （8，1），得 11112618k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为y BC ＝－21x ＋5． 工资及其他费用为0.4×5＋1＝3（万元）．当4≤x ≤6时，∴()()1483W x x =--+-，即211235W x x =-+-． 当6≤x ≤8时，∴()214532W x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，即2217232W x x =-+-．(2)当4≤x ≤6时，()221123561W x x x =-+-=--+，∴当6x =时，1W 取得最大值1．当6≤x ≤8时，()2221137237222W x x x =-+-=--+，∴当x ＝7时，2W 取得最大值1.5．∴1020261.533==，即第7个月可以还清全部贷款．13(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋2ax －3a(a ＜0)与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ．（1）当a＝－1时，抛物线顶点D的坐标为________，OE＝________；（2）OE的长是否与a值无关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的下方作等腰直角三角形PDE．设P(m，n)，直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【分析】（1）当a＝－1时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点D和与y轴的交点坐标；进而求出OE的长；（2）与（1）类似，将字母a当作已知数即可；（3）分别求出β＝45°和β＝60°时a的值，进而确定a的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出m与n的关系式．【解答】解：（1）(－1，4)，3；（2）OE长与a值无关．理由：如图①，∵y＝ax2＋2ax－3a，∴C(0，－3a)，D(－1，－4a)．∴直线CD的解析式为y＝ax－3a．当y＝0时，x＝3．∴OE＝3．∴OE的长与a值无关．（3）当β＝45°时，在Rt△OCE中，OC＝OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝3．∴a ＝－1．当β＝60°时，在Rt△OCE中，OC＝3OE．∵OE＝3，OC＝－3a，∴－3a＝33．∴a＝－3．∴当45°≤β≤60°时，－3≤x≤－1．（4）n＝－m－1(m＜1)．(如图②)过点P向抛物线的对称轴作垂线，过点P向x轴作垂线，垂足分别为M、N．则∠MPN＝90°．∴∠NPE＋∠MPE＝90°．∵△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，∠DPE＝90°；∴∠DPM＋∠MPE＝90°，∴∠DPM＝∠NPE，∴Rt△DPM ≌Rt△EPN，∴PM＝PN．∵P(m，n)，D(－1，－4a)，E(3，0)，∴－1－m＝n．即n＝－m －1(m＜1)．14（2018河南)如图，抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5经过点B ，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）先利用一次函数解析式计算出B ，C 两点的坐标，再代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中即可求得抛物线的解析式；（2） ①当A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，注意要分“点P 在直线BC 上方”和“点P 在直线BC 下方”两种情况进行讨论求解；②提示：作AC 的垂直平分线，交BC 于点1M ，连接1AM ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，将1ANM ∆沿AN 翻折，得到2ANM ∆，点1M 、2M 的坐标即为所求．【解答】解：（1）∵直线5y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，∴ B(5，0)，C(0，－5)．图②Q图①∵抛物线26y ax x c =++过点B ，C ，∴025305a c c =++⎧⎨-=⎩，∴15a c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：265y x x =-+-．（2）∵OB ＝OC ＝5，∠BOC ＝90°，∴∠ABC ＝45°，∵抛物线265y x x =-+-交x 轴于A ，B 两点，∴A(1，0)，∴AB ＝4，∵AM ⊥BC ，∴AM ＝，∵PQ ∥AM ，∴PQ ⊥BC ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则PQ ＝AM ＝，过点P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，则∠PDQ ＝45°，∴PD PQ ＝4．设P(m ，265m m -+-)，则D(m ，5m -)．分两种情况讨论如下：(ⅰ)当点P 在直线BC 上方时，PD ＝()2265554m m m m m -+---=-+=，∴11m =(舍去)，24m = (ⅱ)当点P 在直线BC 下方时，PD ＝()2256554m m m m m ---+-=-=，∴1m =，2m =．综上，点P 的横坐标为4． ②M(136，176-)或(236，76-)． 15（2018•日照）如图，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，1）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上求一点P ，使△PBC 面积为1；（3）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q ，使∠BQC ＝∠BAC ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由待定系数法求抛物线解析式；（2）作PD⊥x轴交直线BC于D，将△PBC转化为S△PDC＋S△PDB列方程求解；（3）由∠BQC＝∠BAC推出点Q在△ABC外接圆上，外接圆圆心是弦AC与对称轴的交点，从而确定外接圆圆心坐标及半径长，进而求得点Q坐标．【解答】解：（1）把点A（－1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2＋bx＋c，得0 9301a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得13231aac⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以抛物线的解析式为y＝－13x2＋23x＋1．（2）∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为y＝－13x＋1．过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于D．设P(x，－13x2＋23x＋1)，则D(x，－13x＋1)．∴PD＝－13x2＋23x＋1－(－13x＋1)＝－13x2＋x．∴S△PBC＝S△PDC＋S△PDB＝12PD(x B－x C)＝12(－13x2＋x)(3－0)＝－12x2＋32x．又∵S△PBC＝1，∴－12x2＋32x＝1，∴x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2．∴P1（1，43），P2（2，1）．（3）答：存在．理由：如图，∵A（－1，0），C（0，1），∴OC＝OA＝1，∴∠BAC＝45°．∵∠BAC ＝∠BQC，∴∠BQC＝45°．∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，∵线段AC的垂直平分线为直线：y＝－x，线段AB的垂直平分线为：x＝1．∴点M为直线y＝－x与直线x＝1的交点，即M（1，－1），∴∠BMC＝2∠BQC＝90°，又∵MQ＝MB＝Ry Q＝－（11Q在直线x＝1上，∴x Q ＝1，∴Q （1，－1．16．. (2018福建)已知抛物线2y ax bx c =++过点A （0,2），且抛物线上任意不同两点11(,)M x y ,22(,)N x y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<，以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y ＝-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以上问题：①求证：BC 平分∠MBN ；②求△MBC 外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）依据题中已知条件可知抛物线的增减性变化特征为当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．此时b ＝0，c ＝2，即可得到抛物线的解析式；（2）①先根据点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，求出直线MN 的解析式，然后分别构造Rt △BEM 与Rt △BFN ，求出tan ∠MBE 与tan ∠NBF 的值，从而得到∠MBE ＝∠MBE 即可．②先确定△MBC 外心位置，然后利用垂直平分线的性质和勾股定理求解．【解答】解：（1）∵抛物线过点A （0,2），∴c ＝2，当120x x <<时，120x x -<，由1212()()0x x y y -->得120y y -<，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；同理可得，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．∴抛物线的对称轴为y 轴且开口向下，则b ＝0．∵O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，∴△ABC 是等腰三角形，又∵△ABC 有一个内角为60°，故△ABC 为等边三角形，且OC ＝OA ＝2．设线段BC 与y 轴的交点为D ，则BD ＝CD ，且∠OBD ＝30°，所以BD ＝OB·cos30°，OD ＝OB·sin30°＝1，∵点B 在点C 的左侧，所以点B坐标为(1)-．∵点B 在抛物线2y ax bx c =++上，且c ＝2,b ＝0,所以3a+2＝－1,解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为22y x =-+．（2）①由（1）知，点M 坐标为211(,2)x x -+，点N 坐标为222(,2)x x -+，∵MN 与直线y＝-平行，设直线MN 的解析式为y＝m -+，则212x -+＝1m -+，即m＝2112x -++，∴直线MN 的解析式为2112y x =-++，将2112y x =-++代入22y x =-+得，2211x x -=-+化为221((x x +=，解得1x x =-，或1x x =-，∴21x x =-，则2y＝21(2x --+＝21110x -+-，作ME ⊥BC ，NF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，∵点M ，N 位于直线BC 的两侧，且12y y >，则2112y y <-<≤，且12x x <<，∴ME ＝1y －（－1）＝213x -+，BE＝1(x -＝1x +， NF ＝（－1）－2y＝2119x -+，BF＝21(x x -=-， 在Rt △BEM 中，tan ∠MBE ＝ME EB＝211133x x x -+=-+, 在Rt △BFN 中，tan ∠NBF ＝NF BF1x ===, ∵tan ∠MBE ＝ tan ∠NBF ，∴∠MBE ＝ ∠NBF ，即BC 平分∠MBN ．②∵y 轴为BC 的垂直平分线，∴可设△MBC 的外心为P （0，0y ），则PB ＝PM ，即22PB PM =．由勾股定理可得22220101(1)()y x y y ++=+-因为2112x y =-，∴220010124(2)()y y y y y ++=-+-，即1012y y =-．由①知，112y -<≤，∴0302y -<≤，即△MBC 的外心的纵坐标的取值范围为0302y -<≤．。
2019中考二次函数几何运用
2019中考数学二次函数几何应用1. （2018贵州遵义，17题，4分）如图，抛物线y=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE 、DF ，则DE+DF 的最小值为______【答案】2【解析】点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，所以DE 、DF 是△PBC 的中位线，DE=12PC ，DF=12PB ，所以DE+DF=12(PC+PB)，即求PC+PB 的最小值，因为B 、C 为定点，P 为对称轴上一动点，点A 、B 关于对称轴对称，所以连接AC ，与对称轴的交点就是点P 的位置，PC+PB 的最小值等于AC 长度，由抛物线解析式可得，A(-3,0)，C(0,-3)，AC=DE+DF=12(PC+PB)=2【知识点】三角形中位线，勾股定理，二次函数，最短距离问题2. ．（2018江苏淮安，14，3） 将二次函数y=x 2 -1的图像向上平移3个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式是 . 【答案】y=x 2+2【解析】由平移规律“左加右减”、“上加下减”，可得平移后的解析式.解：. 由平移规律，直线y=x 2 -1向上平移3个单位长度，则平移后直线为y=x 2 -1+3 即y=x 2 +2故答案为y=x 2 +2． 【知识点】二次函数图象与几何变换3. （2018山东省泰安市，17，3）如图，在ABC ∆中，6AC =，10BC =，3tan 4C =，点D 是AC 边上的动点（不与点C 重合），过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，点F 是BD 的中点，连接EF ，设C D x =，DEF ∆的面积为S ，则S 与x 之间的函数关系式为 ．【答案】233252S x x =-+ 【解析】，由3tan 4C =可以知道线段DE 、EC 的数量关系， CD x =，则由勾股定理，可以将DE 、EC 用含x 的代数式来表示，由点F 是BD 的中点，则1=2DEF BDE S S ∆∆,从而列出S 与x 之间关系式.解：∵3tan 4C = ∴设3,4.DE k EC k ==，由勾股定理得：5DC k =.∵CD x =，∴34,.55DE k EC k == ∴410.5BE k =-∵点F 是BD 的中点 ∴21113433===(10)22255252DEF BDE S S S x x x x ∆∆⨯⨯-=-+ 故答案是：233252S x x =-+ 【知识点】三角函数，勾股定理，三角形中线性质，二次函数. 三、解答题1. （2018湖北鄂州，23，12分）如图，已知直线1122y x =+与抛物线2y ax bx c =++相交于A (-1，0)，B （4，m ）两点，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点C （0，32-），交x 轴正半轴于D 点，抛物线的顶点为M ．（1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）设点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△P AB 的面积最大时，求此时△P AB 的面积及点P 的坐标；（3）点Q 为x 轴上一动点，点N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD （点Q 与点M 对应），求Q 点的坐标． 【解析】解：（1）将B （4，m ）代入1122y x =+得， 1154222m =⨯+=，∴B （4，52），将A (-1，0)，B （4， 52），C （0，32-）代入2y a x b x c=++得05164232a b c a b c c -+=++==-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得12132a b c ==-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为13222y x x =--，()()()1311312222112222222y x x x x =--=---=--，故顶点M 的坐标为（1，－2）； （2）如下图（1），过点P 作PE ⊥x 轴，交AB 于点E ，交x 轴与点G ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，∵A (-1，0)，B （4，52），∴AF ＝4―（―1）＝5，设直线AB 的关系式为y ＝kx ＋b ，设点P 的坐标为（m ，13222m m --），则点E 的坐标为（m ，1122m +），∵点P 为直线AB 下方，∴PE ＝（1122m +）－（13222m m --）＝132222m m -++，∴S △CDE ＝S △APE ＋S △BPE ＝12PE ·AG ＋12PE ·FG ＝12PE ·（AG ＋FG ）＝12PE ·AF ＝12×5（132222m m -++）＝2531254216x --+⎛⎫⎪⎝⎭，∴当32m =时，△P AB 的面积最大，且最大面积为12516，当32m =时，21313331522222228m m --=⨯--=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，故此时点P 的坐标为（32，158-）；（3）∵抛物线的解析式为13222y x x =--，()12122y x =--，∴抛物线的对称轴为：直线x ＝1，又∵A (-1，0)，∴点D 的坐标为（3，0），又∵M 的坐标为（1，－2），∴AD ＝3―（―1）＝4，AD 2＝42＝16，AM 2＝（―1―3）2＋（―1―3）2＝8，DM 2＝（3―1）2＋（―2―0）2＝8，∴AD 2＝AM 2＋DM 2，且AM ＝DM ，∴△MAD 是等腰直角三角形，∠AMD ＝90°，又∵△QMN ∽△MAD ，∴△QMN 也是等腰直角三角形且QM ＝QN ，∠MQN ＝90°，∠QMN ＝45°，又∵∠AMD ＝90°，∴∠AMQ ＝∠QMD ＝45°，此时点D （或点A ）与点N 重合，（如下图（2））此时MQ ⊥x 轴，故点Q 的坐标为（1,0）．【知识点】二次函数关系式；顶点式；一次函数；相似三角形的性质；等腰直角三角形的性质和判定；勾股定理的逆定理；三角形面积公式2. （2018湖北黄冈，24题，14分）如图，在直角坐标系XOY 中，菱形OABC 的边OA 在x 轴正半轴上，点B ，C 在第一象限，∠C=120°，边长OA=8.点M从原点O 出发沿x 轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N 从A 出发沿边AB-BC-CO 以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M 作直线MP 垂直于x 轴并交折线OCB 与P ，交对角线OB 与Q ，点M 和点N 同时出发，分别沿各自路线运动，点N 运动到原点O 时，M 和N 两点同时停止运动. （1）当t=2时，求线段PQ 的长； （2）求t 为何值时，点P 与N 重合；（3）设△APN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式及t 的取值范围.【解析】（1）菱形OABC 中，∠AOC ＝60°，所以Rt △POM 中，∠POM ＝60°，Rt △QOM 中，∠QOM ＝30°，当t ＝2时，OM ＝2，可得PM＝QM＝3，所以PQ＝3； （2）当t ≤4时，AN=PO=2OM=2t ， 当t=4时，P 到达C 点，N 到达B 点，由此可推断，点P 、N 在BC 上相遇，设t 秒时，点P 与N 重合，则PC=t-4，BN=2(t-4)，PC+BN=BC=8，即(t-4)+2(t-4)=8，t=203，即t=203时，点P 与N 重合； （3）①当0≤t ≤4时，PN=OA=8，且PN ∥OA ，t，11822APN S PN PM =⋅⋅=⋅=△ ②当4＜t ≤203时，P 、N 在边BC 上，所以PN ∥OA ，PN=8-3(t-4)=20-3t ，()1120322APN S PN PM t =⋅⋅=⋅-⋅=△③当203＜t ≤8时，P 、N 相遇后还在BC 边上运动，所以PN ∥OA ，PN=3(t-4)-8=3t-20，()1132022APN S PN PM t =⋅⋅=⋅-⋅=-△④当8＜t ≤12时，如图所示，ON=24-2t ，N 到OM 距离为，N 到CP 距离为()=-CP=t-4，BP=12-t ，()()()APN AON CPN APB 2=1118412222S S S S S t t ---⨯⨯-----⨯=+-△△△△菱形综上所述，S 与t 的函数关系式为：2,(0t 4)20,(4t )320t 8)3t 12)2S ⎧≤≤⎪⎪≤⎪⎪=⎨-≤⎪⎪⎪-+-≤⎪⎩＜＜＜ 【知识点】菱形，三角函数，一元一次方程，三角形面积，分段函数3. （2018湖南郴州，25，10） 如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t . （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ，①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.【解析】解：（1）∵2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），∴01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为：223y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式为：223y x x =-++，∴抛物线的对称轴为12bx a=-=，C 点的坐标为（0，3），∴D 点的坐标为（1，0），∵点P 的横坐标为t ，且点P 在抛物线223y x x =-++上，∴P 点的坐标为（t ，223t t -++），设M 点的坐标为（1，a ），分两种情况讨论：①M 点在x 轴的上方，当四边形CDPM 是平行四边形，且C 、P 和D 、M 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ，根据平行四边形对角线互相平分，则N 点的坐标可表示为（2t +，23232t t -++）或（1，02a +），∴02t +=1，23232t t -++=02a +，解得：t =2，a =6, ∴M 点的坐标为（1，6）；②M 点在x 轴的下方，当四边形CDMP 是平行四边形，且C 、M 和D 、P 分别是一组相对的顶点时，设平行四边形的对角线的交点为N ′，根据平行四边形对角线互相平分，则N ′点的坐标可表示为（12，32a +）或（12t +，2232t t -++），∴12=12t +，32a +=2232t t -++，解得：t =0，a =0, ∴M 点的坐标为（1，0），此时M 点和D 点重合，且P 点不在第一象限，C 、D 、M 、P 四点不能形成平行四边形，故不存在；综上，点M 的坐标为（1，6）； （3）①∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，设P 点的坐标为（t ，223t t -++），过点P 分别作PE ⊥x 轴，PF ⊥y 轴，垂足分别为E 、F ，∴PE=223t t -++，PF=t ，连结OP ，则：POC POB BOC S S S S ∆∆∆=+-()2111332333222t t t =⨯⋅+⨯⋅-++-⨯⨯()2132332t t t =⨯⋅-++-()223393222t t t t =-+=-+ ∴S 关于t 的函数表达式为S=23922t t -+；②∵B （3，0），C （0，3），∴OB=3，OC=3，∴BC=P 点到直线BC 的距离为h ，则△PBC 的面积S=122h ?， ∵S=23922t t -+，∴2=23922t t -+，)232h t t =--229933244228t t t 骣琪=--+-=--+琪桫桫，∴当t =32时，h有最大值为，此时P 点的坐标为（32，154）.【知识点】 二次函数，平行四边形的判定，三角形面积，二次函数的最值26．（2018湖南郴州，26，12）在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F. （1）如图1，将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E.求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，连接P ′C ，F ′B ，设旋转角为a()0180a ?<?.①若0a ?<∠BDC ，即DF ′在∠BDC 内部时，求证：△DP ′C ～△DF ′B ；②如图3,若点P 是CD 的中点，△DF ′B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF ′的值，如果不能，请说明理由.【解析】（1）证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∵PF ∥BC ，∴PF ∥AD ，∴∠ADB=∠DFP ，∵将△PDE 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，∴∠DFE=∠DFP ，∴∠ADB=∠DFE ，∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形； （2）①∵PF ∥BC ，∴DP DFDC DB=，∵△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，∴∠BDF ′=∠CDP ′，DP ′=DP ，DF=DF ′，∴DP DFDC DB=′′，∴△DP ′C ～△DF ′B ； ②由①知，△DP ′C ～△DF ′B ，∴∠DBF ′=∠DCP ′，∵点P 是CD 的中点，∴DP=12DC ， ∵△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P ′DF ′，∴∠BDF ′=∠CDP ′，DP ′=DP ，∠DF ′B=∠DP ′C ， 当∠DF ′B=90°时，有∠DP ′C =90°，∴DP =DP ′=12DC ，∴∠ P ′CD =30°，故tan ∠DBF ′=tan ∠DCP ′=tan 30°； 当∠B DF ′=90°时，有∠C DP ′=90°，∴DP =DP ′=12DC ，故tan ∠DBF ′=tan ∠DCP ′=12. 【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的判定；平行线分线段对应成比例；三角函数4. （2018湖南益阳，26，12分）如图，已知抛物线213(0)22y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴于点E ，若AE ︰ED ＝1︰4． 求n的值．【解析】解：（1）若△ABC 为直角三角形，则OC 2=OA ·OB 由抛物线213(0)22y x x n n =-->，可得OC =n ，OA ·OB =2n ∴n 2=2n ，解得：n 1=2，n 2=0（舍去）∴n =2．（2）由（1）可知抛物线的对称轴为32x =，抛物线解析式为213222y x x =-- 令y =0，得x 1=－1，x 2=4∴A （－1，0），B （4，0）设点P （m ，213222m m --）①当直线PQ ∥BC 时，当点P 在点Q 的左侧时（如图所示），当△BOC 平移到△QNP 的位置时，四边形PQBC 为平行四边形，此时NQ =OB ，即342m -=，52m =-．213392228m m --=，此时点P 坐标为（52-，398） 当点P 在点Q 的右侧时（如图所示）同理可得：342m -=，112m =．213392228m m --=，此时点P 的坐标为（112，398） ②当直线PQ 与直线BC 相交时，如图所示：此时点P 到y 轴的距离等于点B到对称轴的距离．即35422m =-=．213212228m m --=-，此时点P 的坐标为（52，218-）． 综上所述，满足条件的点P 的坐标为（52-，398），（112，398）， （52，218-）． （3）过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ．则AO ︰OF ＝ AE ︰ED ＝1︰4设A （a ，0），B （b ，0）则AO ＝－a ，OF =－4a ∵AD ∥BC ，∴∠DAO =∠OBC ∵∠AFD =∠BOC =90°∴△BOC ∽△AFD∴OC BO DF AF =即4n b DF a a =--∴4n bDF a a=-- 由题意: ab =－2n ，∴2n a b =-∴2555()22n a DF a a a b =-⋅=-⋅-= ∵点A 、D 在抛物线上，∴2221302213516(4)222a a n a a n a ⎧--=⎪⎪⎨⎪⨯-⨯--=⎪⎩解得：32a =-，278n =∴n 的值为278．【知识点】二次函数综合，相似三角形的判定和性质，平行四边形，分类讨论思想5. (2018山东菏泽，24，10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =+-交y 轴于点A ，交x 轴于点(5,0)B -和点(1,0)C ，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D.（1）求此抛物线的表达式；（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求EAD ∆的面积；（3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，ABP ∆的面积最大，求出此时点P 的坐标和ABP ∆的最大面积．【解析】解：（1）方法1：把(5,0)B -和(1,0)C 代入25y ax bx =+-，得0255505a b a b =--⎧⎨=+-⎩，，解得14.a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y=x 2+4x －5．方法2：∵抛物线与x 轴交于(5,0)B -和(1,0)C ，∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x －1)，又∵抛物线与y 轴交于A 点，∴A(0，－5)，把A(0，－5)代入y=a(x+5)(x －1)，得－5=－5a ，∴a=1， ∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x －1)=x 2+4x －5．（2）∵A(0，－5)，AD ∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5，∴点E 到直线AD 的距离为10．把y=－5代入y=x2+4x －5，得－5=x2+4x －5，解得x1=－4，x2=0，∴D(－4，－5)，AD=5．∴S△EAD=12×4×10=20．（3）设直线AB 的表达式为y=kx+b ，把(5,0)B -和A(0，－5)代入，得505k b b -+=⎧⎨=-⎩，，解得15k b =-⎧⎨=-⎩，. ∴直线AB 的表达式为y=－x －5．设点P 的坐标为(m ，m2+4m －5)，作PQ ∥y 轴，交直线AB 于点Q ，∴Q(m ，－m －5)．∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，∴PQ=－m －5－(m2+4m －5)=－m2－5m ．设ABP ∆的面积为S ，∴S=S△APQ+S△BPQ=12×(－m2－5m)×(－m)+12×(－m2－5m)×(m+5)=－52(m+52)2+1258，∴当m=－52时，S 最大，即当点P(－52，－354)时，ABP ∆面积最大，最大面积为1258．【知识点】二次函数的综合题；动点问题；轴对称；6.（2018四川遂宁，25，12分）如图，已知抛物线4232++=x ax y 的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧），与y 轴交于C 点。
安徽省2019年中考数学总复习-第三章-函数-第五节-二次函数的应用课件
【自主解答】解: (1)设AE＝a，
由题意得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，
∴BE＝ 1 AE＝ 1 a，AB＝AE＋BE＝ 3 a.
2
2
2
由题意得2BC＋3AE＋2BE＝80，
∴2x＋3a＋2· 1 a＝80，∴a＝20－ 1 x，
2
2
∵BC＝x>0，AE＝a＝20－ 1 x>0，∴0<x<40，
【自主解答】(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)
与B(6，0)，∴
(2)由(1)知，二次函数解析式为:
y＝－ x2＋3x，如解图，过点A 作x轴的1 垂线，垂足为点D(2，0)，
2
连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，
∵点C在抛物线y＝－ 1 x2＋3x上,
(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？ (2)如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间 的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利 润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润 最大？ 最大利润是多少元？ (利润＝出厂价－成本)
解: (1)∵6×34＝204(只)， ∴前六天中第6天生产的粽子最多达到204只， 将y＝280代入，20x＋80得: 20x＋80＝280， 解得x＝10. 答: 第10天生产的粽子数量为280只．
增大而增大,
∴当x＝10时, 最大值为560元； 当10＜x≤20时, w＝(4－ 1 x－1)(20x＋80)＝－2x2＋52x
10
＋240,
对称轴为直线x＝13，在10＜x≤20内，将x＝13代入得w＝ 578元. 综上所述，w与x的函数表达式为 第13天的利润最大，最大利润为578元.
第13讲 二次函数及其应用 2019各省市中考数学优选知识点题型汇编
第13讲 二次函数及其应用一、考点知识梳理【考点1 二次函数的图像及性质】1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a ≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项． 2．三种表示方法：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种表达式之间的关系 顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式 4.图像性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)a ＞0时开口向上， 对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大，简记为“左减右增”a ＜0时开口向下，对称轴：直线x ＝－b 2a ，顶点坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ，增减性：在对称轴的左侧，即当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小，简记为“左增右减”【考点2 二次函数的实际应用】1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．【考点3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数与一元二次方程的关系：1．当抛物线与x轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根．2．当抛物线与x轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根．3．当抛物线与x轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根．【考点4 二次函数的图像与几何图形的关系】1.平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．平移步骤：(1)将抛物线表达式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据．【考点5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。
2019年中考数学专题复习小训练专题13二次函数的应用
专题13 二次函数的应用1．2017·德州随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；(2)求出水柱的最大高度．图Z13－12．2017·泰州怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？3．2017·潍坊工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将矩形铁皮的四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图Z13－2中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求出当长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长是多少．(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少？图Z13－24．2018·菏泽如图Z13－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x 轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1)求此抛物线的表达式；(2)E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3)若P是直线AB下方的抛物线上的一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．图Z13－3详解详析1．解：(1)答案不唯一．如图所示，以喷水管与地面交点为原点，原点与任一水柱落地点所在直线为x 轴，喷水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －1)2＋h ，将(0，2)和(3，0)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋h ＝2，4a ＋h ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，h ＝83， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23(x －1)2＋83， 即y ＝－23x 2＋43x ＋2. (2)∵y ＝－23(x －1)2＋83， ∴当x ＝1时，y 最大值＝83， 即水柱的最大高度为83米． 2．解：(1)设该店每天卖出A ，B 两种菜品分别为x 份、y 份．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋18y ＝1120，（20－14）x ＋（18－14）y ＝280， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝40. 20＋40＝60(份)．答：该店每天卖出这两种菜品共60份．(2)设A 种菜品售价降低0.5a 元，则每天卖出(20＋a)份，总利润为w 元．因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品每天卖出(40－a)份，每份售价提高0.5a 元． w ＝(20－14－0.5a)(20＋a)＋(18－14＋0.5a)(40－a)＝(6－0.5a)(20＋a)＋(4＋0.5a)(40－a)＝(－0.5a 2－4a ＋120)＋(－0.5a 2＋16a ＋160)＝－a 2＋12a ＋280＝－(a －6)2＋316.当a ＝6时，w 最大值＝316.答：这两种菜品一天的总利润最多是316元．3．解：(1)如图所示．设裁掉的正方形的边长是x dm .由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，即x 2－8x ＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6(舍去)．答：裁掉的正方形的边长是2 dm .(2)设裁掉的正方形的边长是x dm .∵长方体的底面长不大于底面宽的5倍，∴10－2x ≤5(6－2x)，解得x ≤2.5，∴0＜x ≤2.5.设总费用为w 元，由题意可知w ＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x 2－48x ＋120＝4(x －6)2－24.∵函数图象的对称轴为直线x ＝6，开口向上，∴当0＜x ≤2.5时，w 随x 的增大而减小，∴当x ＝2.5时，w 有最小值，为25.答：当裁掉的正方形边长为2.5 dm 时，总费用最低，最低为25元．4．解：(1)把B(－5，0)和C(1，0)代入y ＝ax 2＋bx －5，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a －5b －5，0＝a ＋b －5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x －5.(2)∵A(0，－5)，AD ∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5， ∴点E 到直线AD 的距离为10.把y ＝－5代入y ＝x 2＋4x －5，得－5＝x 2＋4x －5，解得x 1＝－4，x 2＝0，∴D(－4，－5)，∴AD ＝4，∴S △EAD ＝12×4×10＝20. (3)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b 1，把B(－5，0)和A(0，－5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－5k ＋b 1＝0，b 1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b 1＝－5， ∴直线AB 的表达式为y ＝－x －5.设点P 的坐标为(m ，m 2＋4m －5)，其中－5<m<0.过点P 作PQ ∥y 轴，交直线AB 于点Q ，∴Q(m ，－m －5)．∵P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，∴PQ ＝－m －5－(m 2＋4m －5)＝－m 2－5m.设△ABP 的面积为S ，连接AP ，BP ，∴S ＝S △APQ ＋S △BPQ ＝12×(－m 2－5m)×(－m)＋12×(－m 2－5m)×(m ＋5)＝－52(m ＋52)2＋1258， ∴当m ＝－52时，S 最大，5 2，－354)时，△ABP的面积最大，最大面积为1258.即当点P的坐标为(－。
中考数学复习专题训练 二次函数的综合应用(含解析)
中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。
数学初三年级巩固训练《二次函数的应用》
2019年数学初三年级巩固训练《二次函数的应用》2019年数学初三年级巩固训练《二次函数的应用》1、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两交点间的距离? 2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系：(顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点) 3、求二次函数解析式的方法：4、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最大(或最小)值? 知识点一：求二次函数的解析式例1.(08兰州)农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑料布(m2)与半径(m)的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分) . 分析：找准相关量之间的关系。
有的题需要根据题目所给条件确定某些点的坐标，再利用①一般式、或②顶点式、或③交点式来求解析式。
答案：同步检测：1、(09庆阳)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是() A. B. C. D. 答案：C2、(09芜湖)如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到，一抛物线经过点，求该抛物线解析式。
答案：∵抛物线过设抛物线的解析式为又∵抛物线过，将坐标代入上解析式得：即满足条件的抛物线解析式为知识点二：利用二次函数的顶点式求最值二次函数y=ax2+bx+c=0，当x=时，例2.(08浙江台州)如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度(单位：米)与小球运动时间(单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度. 分析：将化为顶点式即可求最大高度答案：4.9米同步检测：1、(08内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米. 答案：0.5 2、(08哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化. (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围; (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大?最大面积是多少? 答案：(1)根据题意，得自变量的取值范围是(2)，有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米知识点三：根据二次函数图像上某些点坐标解决有关问题例3.(08襄樊)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度(单位：m)与水平距离(单位：m)之间的关系是.则他将铅球推出的距离是m. 分析：推出的距离转化为数学上的求y=0时的x的值(取正值) 答案：10 同步检测：1、(08庆阳)兰州市安居工程新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1，2，3，4，5，6，7，8);已知点(x，y)都在一个二次函数的图像上(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米. 答案：2080; 2、(09江西)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数(x0)，若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为( ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s 答案：C 知识点四：根据二次函数图像和性质解决销售利润问题例4、(09青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价(元)与销售月份(月)满足关系式，而其每千克成本(元)与销售月份(月)满足的函数关系如图所示. (1)试确定的值; (2)求出这种水产品每千克的利润(元)与销售月份(月)之间的函数关系式;(3)五一之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?相关推荐初三数学测试题之概率的计算测试题其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
中考数学专题复习资料-二次函数
专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
2019届冀教版中考《第13讲二次函数的应用》知识梳理
第13讲二次函数的应用若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位③根据图象，结合所求的值是否在自变量的取值范围内，并求提出的实际问题“的取值是否在自变量的取值范围内几何图形的关系式确定二次函数解析式；由于面积等于两条边的乘积，2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A.小青B.小何C.小夏D.小雨2．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，点P是BC边上的动点，连接PA、PD．则PA+PD的最小值为（）1 D.33．某公司招聘考试分笔试和面试，其中笔试按60%，面试按40%计算加权平均数作为总成绩，小红笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么小红的总成绩为( )A．80分B．85分C．86分D．90分4．下列运算中，正确的是（）A．（﹣x）2•x3＝x5B．（x2y）3＝x6yC．（a+b）2＝a2+b2D．a6+a3＝a25．长为10米的木杆斜靠在墙壁上，且与地面的夹角∠OBA＝60°，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆AB的中点P也随之下落，则点P下落的路线及路线长为（）A.线段，5B.线段，C.以点O为圆心，以AB为半径的一段弧，弧长为D.以点O为圆心，以OP为半径的一段弧，弧长为6．实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b=0，那么下列结论错误的是A ．|a|=|b|B ．a+c ＞0C ．ab=–1 D ．abc ＞07．大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列计算正确的是（ ） A.224·x x x -= B.()224x x -=C.234·x x x =D.()222m n m n -=-9．如图，在ABC ∆中，30ABC ∠=︒，10AB =，那么以A 为圆心、6为半径的⊙A 与直线BC 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定10．如图，已知⊙O 的半径为6cm ，两弦AB 与CD 垂直相交于点E ，若CE ＝3cm ，DE ＝9cm ，则AB ＝（ ）cm 11．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．主视图的面积最小B ．左视图的面积最小C ．俯视图的面积最小D ．三个视图的面积相等12．如图直线y ＝mx 与双曲线y=kx交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题13．有一种动画设计，屏幕上的长方形ABCD是黑色区域（含长方形的边界），其中A（﹣1，1）、B（2，1）、C（2，2），D（﹣1，2），用信号枪沿直线y＝kx﹣2发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的k的取值范围是_____．14．已知 5 个数据：8，8，x，10，10．如果这组数据的某个众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 __________．15．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.16．如图，在⊙O中，圆周角∠ACB＝150°，弦AB＝4，则扇形OAB的面积是_____．17．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A 落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为_______°．18．点A（x，y）关于x轴的对称点坐标为（﹣3，﹣4），则点A坐标是_____．三、解答题19．如图，认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1，②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2，③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3，④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4．…（1）请写出：算式⑤；算式⑥；（2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n﹣1和2m+1（n为整数），请说明这个规律是成立的；（3）你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢？请说明理由．20．如图，AE与CD交于点O，∠A=40°，OC=OE，∠C=20°，求证：AB∥CD．21．某公园内有一如图所示地块，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝8米，求C点到人行道AD的距离（结果保留根号）．22．如图①，已知△ABC中，AB＝AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．（1）则线段CG、PM、PN三者之间的数量关系是；（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则线段CG、PM、PN三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；（3）如图③，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且AE＝AD，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM ⊥AC于点M，若正方形ABCD的面积是12，请直接写出PM+PN的值．23．先化简，再求值：2422x x x +--，其中x ﹣2． 24．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．（1）求作∠ABC 的平分线，分别交AD ，AC 于P ，Q 两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，过点P 画PE ∥AC 交BC 边于E ，联结EQ ，则四边形APEQ 是什么特殊四边形？证明你的结论．25．如图，CD 是⊙O 的直径，点A 为圆上一点不与C ，D 点重合，过点A 作⊙O 的切线，与DC 的延长线交于点P ，点M 为AP 上一点，连接MC 并延长，与⊙O 交于点F ，E 为CF 上一点，且MA ＝ME ，连接AE 并延长，与⊙O 于点B ，连接BC ，AC ． （1）求证：BC ＝BF ； （2）若PC•PD＝7，求AP 的长．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．k≤﹣3或k≥32．14．或 10 15．116．8 317．8018．（3。
中考数学专题复习 第十三讲二次函数的应用(共69张PPT)
t01 2 3 4 5 6 7…
h08
1 4
1 8
2 0
2 0
1 8
1 4
…
下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球
飞行路线的对称轴是直线t= 9 ;③足球被踢出9s时落
2
地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中
正确结论的个数是 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由表格可知抛物线过点(0,0),(1,8), (2,14),设该抛物线的解析式为h=at2+bt,将点(1,8), (2,14)分别代入,得:a+b=8,4a+2b=14, 即 a4ab2b8解，1得4. :a=-1,b=9.
3
3
(2)由(1)知抛物线解析式为y=- 2 (x-1)2+ 8
3
3
(0≤x≤3).
当x=1时,y=8 .
3
所以抛物线水柱的最大高度为 8 米.
3
【答题关键指导】 利用二次函数解决实际问题的步骤 (1)根据题意,列出抛物线表达式,或建立恰当的坐标 系,设出抛物线的表达式,将实际问题转化为数学模型. (2)列出函数表达式后,要标明自变量的取值范围.
5
考点二 利用二次函数解决最优化问题 【示范题2】(2017·济宁中考)某商店经销一种学生 用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场 调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价 x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩 包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式. (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利 润最大?最大利润是多少元? (3)如பைடு நூலகம்物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售 利润,销售单价应定为多少元?
2019年中考数学专题复习小练习专题13二次函数的应用
专题13 二次函数的应用1．2018·安徽小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元．②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1(单位：元)，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W(单位：元)最大，最大总利润是多少？2．2018·衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图Z－13－1所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．图Z－13－13．2018·金华、丽水如图Z－13－2，抛物线y＝ax2＋bx(a<0)过点E(10，0)，矩形ABCD 的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在该抛物线上．设A(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1)求抛物线的函数解析式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直．线．GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．图Z－13－2详解详析1．解：(1)W 1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x 2＋60x ＋8000， W 2＝19(50－x)＝－19x ＋950.(2)W ＝W 1＋W 2＝－2x 2＋41x ＋8950＝－2(x －414)2＋732818.∵x 取整数，∴由二次函数的性质知当x ＝10时，W 最大＝－2×102＋41×10＋8950＝9160(元)．2．解：(1)∵抛物线的顶点为(3，5)，∴设y ＝a(x －3)2＋5， 将(8，0)代入得a ＝－15，∴y＝－15(x －3)2＋5(或y ＝－15x 2＋65x ＋165)(0<x<8)．(2)当y ＝1.8时，即1.8＝－15x 2＋65x ＋165，解得x 1＝7，x 2＝－1(不合题意，舍去)． 答：王师傅必须站在离水池中心7米以内．(3)由y ＝－15(x －3)2＋5可得原抛物线与y 轴的交点为(0，165)．∵装饰物高度不变，∴新抛物线也经过点(0，165)．∵喷出水柱的形状不变，∴a＝－15.∵直径扩大到32米，∴新抛物线过点(16，0)． 设新抛物线为y 新＝－15x 2＋bx ＋c ，将(0，165)和(16，0)代入得b ＝3，c ＝165，∴y 新＝－15x 2＋3x ＋165，∴y 新＝－15(x －152)2＋28920，当x ＝152时，y 最大＝28920.答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米．3．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝ax(x －10)． ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标是(2，4)． ∴4＝a×2×(2－10)，解得a ＝－14，∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋52x.(2)由抛物线的对称性得BE ＝OA ＝t ，∴AB＝10－2t. 当x ＝t 时，y ＝－14t 2＋52t.∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD)＝2[(10－2t)＋(－14t 2＋52t)]＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t－1)2＋412.∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值是412.(3)当t ＝2时，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)， ∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)．当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形面积平分； 当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形面积平分； 当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上，直线GH 过点P 时，必平分矩形ABCD 的面积． ∵AB∥CD，∴线段OD 平移后得到线段GH ， ∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P.在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ＝12OB ＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度．。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
2019中考数学狙击重难点系列专题1----二次函数的实际应用之销售问题
二次函数的实际应用--销售问题1.永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？2.一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于元且不高于元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量（件）与每件饰品的售价（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为元时，销售量为件；当销售单价为元时，销售量为件．（1）请写出与的函数关系式；（2）当饰品店每周销售这种饰品获得元的利润时，每件饰品的销售单价是多少元？（3）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大？最大利润是多少？3.某公司经市场调查发现，该公司生产的某商品在第x天的售价(1≤x≤100)为(x ＋30)元/件，而该商品每天的销售量y(件)满足关系式：y＝220－2x，如果该商品第15天的售价按8折出售，仍然可以获得20%的利润．（1）求该公司生产每件商品的成本为多少元；（2）问销售该商品第几天时，每天的利润最大？最大利润是多少？（3）该公司每天需要控制人工、水电和房租支出共计a元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在4000元至4500元之间(包含4000和4500)，且保证至少有90天的盈利，请直接写出a的取值范围．4.某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”玩具，“小白”玩具每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．销售“小白”玩具的单价(元/个)与销售数量(个)之间的函数关系如图所示．（1）试解释线段AB所表示的实际优惠销售政策；（2）写出该店当一次销售( ＞10)个时，所获利润（元）与（个）之间的函数关系式；（3）店长经过一段时间的销售发现：卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少元？5.某农户承包荒山种植某产品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？6.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？7.鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？8. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求与之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.9.为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y= ，设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？10.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m=________，n=________；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？11.某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第个月该原料药的月销售量为（单位：吨），与之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数的图象与线段的组合；设第个月销售该原料药每吨的毛利润为（单位：万元），与之间满足如下关系：（1）当时，求关于的函数解析式；（2）设第个月销售该原料药的月毛利润为（单位：万元）.①求关于的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量的最小值和最大值. 12.某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x（≥2，单位：吨）之间的函数关系如图所示；B类杨梅深加工后再销售，深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t （单位：吨）之间的函数关系是，平均销售价格为9万元/吨．（1）A类杨梅的销售量为5吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）若该公司收购10吨杨梅，其中A类杨梅有4吨，则经营这批杨梅所获得的毛利润（w）为多少万元？（毛利润=销售总收入－经营总成本）（3）若该公司收购20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元．①求w关于x的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？13.随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）14.某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？15.某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润 (万元)与进货量 (t)近似满足函数关系;乙种水果的销售利润 (万元)与进货量 (t)近似满足函数关系 (其中，、为常数)，且进货量为1t时，销售利润为1. 4万元;进货量为2t时，销售利润为2. 6万元.（1）求 (万元)与 (t)之间的函数关系式;（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10t，设乙种水果的进货量为 (t)，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和 (万元)与 (t)之间的函数关系式.并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少. 16.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？17. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？18.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）19.2016年12月29日至31日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮．某“火龙果”经营户有A．B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？20.月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量(万件)与销售价格（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为（万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本.）（1）请求出（万件）与（元/件）之间的函数关系式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润（万元）与（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格（元）定在8元以上（），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润（万元）与销售价格（元/件）的函数示意图，求销售价格（元/件）的取值范围.答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：w=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800（x＞18）（2）解：∵w=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512万元．答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是512万元．（3）解：周销售利润=周销量×（单件售价﹣单件制造成本）=（﹣2x+100）（x ﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800，由题意得，﹣2x2+136x﹣1800=350，解得：x1=25，x2=43，∵销售单价不得高于30元，∴x取25，答：销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润；【解析】【分析】（1）每只节能灯的利润为：（x﹣18）元，根据总利润等于单只的利润乘以销售数量y，而y=﹣2x+100，再整体替换即可列出W与x之间的函数关系式；（2）根据（1）列函数解析式的性质即可得出答案；（3）将W=350代入（1）列函数解析式，解方程，求出对应的x的值，再根据销售单价不得高于30元检验，即可得出答案。
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《二次函数之实际应用》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题。
解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围。
2.几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论。
3.构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题。
练习题1、（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可．【解答】解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：解法一：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，∵S△ABC＝•AC•BH，∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为×4×4＝8；解法二：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，AD＝y，则x2+y2＝16，∴S＝•BC•AD＝•2x•y＝xy，∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy≥0，∴16﹣2xy≥0，∴xy≤8，∴当且仅当x＝y＝2时，菜园最大面积＝8米2；方案3：半圆的半径＝米，∴此时菜园最大面积＝＝米2＞8米2；故选：C ． 2、（2022•襄阳）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m 高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm ，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym ，y 与x 的函数关系式为y ＝2213212++−x x （0≤x ≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m 时，竖直高度达到最大值．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．【解答】解：y ＝x 2+x +2＝﹣（x ﹣8）2+4，∵﹣＜0， ∴当x ＝8时，y 有最大值，最大值为4，∴当她与跳台边缘的水平距离为8m 时，竖直高度达到最大值．故答案为：8．3、（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y ＝﹣121x 2+32x +35，则铅球推出的水平距离OA 的长是 m ．【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA 的长就是抛物线与x 轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y ＝0求出相应的x 的值，即可得到OA 的长．【解答】解：∵y ＝﹣x 2+x +，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，解得x1＝﹣2，x2＝10，∴OA＝10m，故答案为：10．4、（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．5、（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【解答】解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．6、（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米．【分析】根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．【解答】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，9a+2＝0，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当x＝4时，y＝﹣×16+2＝﹣，∴水面下降米，故答案为：．7、（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．【分析】设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，故答案为：32．8、（2022•甘肃）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．【解答】解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，故答案为：2．9、（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，x2﹣5x+4＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得：x1＝1，x2＝4，故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．故答案为：4．10、（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O 点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O点4m．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1＝0；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y＝ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．【解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a＝﹣，b＝，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y＝﹣x2+x+h，将（4，0）代入可得﹣×42+×4+h＝0，解得h＝8．故答案为：8．。
中考数学总复习《二次函数的实际应用》专题训练(附答案)
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
9．张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形 ．
(2)求出篮球在该运动员出手时的高度．
13．“活力海洋之都，精彩宜人之城”，青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市．为宣传青岛城市文化，某景区研发出一款文创纪念品，投入景区内进行销售．已知该文创纪念品每件的成本为20元，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示，图象是直线的一部分．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)如图 ，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个大小一样的正方形孔的排气装置 ， （ ，G，M，N在线段 上，L，R在抛物线上），若要保证两个正方形装置的间距 ，求正方形排气装置的边长 的长．（结果保留根号）
6．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（ ，且x为整数）元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
中考数学专题复习二次函数的应用题与最值问题
二次函数的应用题与最值问题二次函数最值问题（一）开口向上：1.当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；2.当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值．（二）开口向下：1．当对称轴a b x 2-=在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；2．当对称轴ab x 2-=不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值．1. 求解析式综合题型：例1．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC ＝CD ．（1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．2．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x ，都有4x ﹣12≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣8x +6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2.二次函数的应用题例1．某商品现在的售价为每件25元，每天可售出50件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件，已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润W（元）最大，最大利润是多少元？1．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？2．某商家在构进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y （元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x 天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z = x + 15.（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天，该商家出售该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？．3．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；如果每台设备提价5万元时，则年销售量就减少50台．设该设备的年销售量为y（单位：台），销售单价为x（单位：万元/台）．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，则应把这种设备的销售单价定为多少万元时，该公司所获得的年利润最大？最大的年利润是多少？4．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．例2．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？1．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？2．如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．3．某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？例3．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．2．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．3．如图，是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（）A．m B．2m C．2m D．2m4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t ﹣1.5t 2，那么飞机着陆后滑行的最远距离为（ ）A ．600mB ．400mC ．300mD ．200m5．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()341212+--=x y ，由此可知铅球达到的最大高度是 m ，推出的距离是 m .6．如图，若被击打的小球飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）直接具有的关系为h ＝24t ﹣4t 2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s ．7.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为6米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是 米．例4．当22≤≤-x 时，求函数322--=x x y 的最大值和最小值．1．当21≤≤x 时，求函数12+--=x x y 的最大值和最小值．2．已知二次函数y ＝x 2+2bx +c（1）若b ＝c ，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1？请说明理由；（2）若b ＝c ﹣2，y 在﹣2≤x ≤2上的最小值是﹣3，求b 的值．3．当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．4．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球，已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．羽毛球沿水平方向运动4m 时，达到羽毛球距离地面最大高度是m ．（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；（2）通过计算判断此球能否过网；（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m 的Q 处时，乙扣球成功求此时乙与球网的水平距离．。
2019年中考数学试题汇编—— 二次函数在实际生活中应用2019
一、选择题1. （2019江苏连云港，7，3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中120C ∠=︒．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是( )A ．218mB ．2C ．2D 2 【答案】C【解析】解：如图，过点C 作CE AB ⊥于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD AE x ==，90DCE CEB ∠=∠=︒，则30BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒，12BC x =-，在Rt CBE ∆中，∵90CEB ∠=︒， ∴11622BE BC x ==-，∴AD CE ===，116622AB AE BE x x x =+=+-=+， ∴梯形S ABCD 面积1()2CD AB CE =+g11(6))22x x =++g2x =++24)x =-+∴当4x =时，S =最大．即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为2，故选C ．【知识点】梯形的性质；矩形的性质；含30︒角的直角三角形的性质；勾股定理；二次函数的最值.2.3.4.5.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. （2019四川广安，15，3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米)与水平距离x （米)之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．【答案】10【解析】解：当0y =时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =（舍去），10x =．故答案为：10．【知识点】二次函数的应用5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.（2019浙江省衢州市，22，10分）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为80间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题13 二次函数的应用
1．2017·德州随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数表达式；
(2)求出水柱的最大高度．
图Z13－1
2．2017·泰州怡然美食店的A，B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．
(1)该店每天卖出这两种菜品共多少份？
(2)该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？
3．2017·潍坊工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将矩形铁皮的四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)在图Z13－2中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求出当长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形的边长是多少．
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少？
图Z13－2
4．2018·菏泽如图Z13－3，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；
(3)若P是直线AB下方的抛物线上的一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
图Z13－3。