2017二次函数应用题专题训练

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二次函数应用题专项练习

二次函数应用题分类解析1.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成顶点式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？3．如图4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？4.某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为40元,经销过程中测出销售量y(万件)与销售单价x(元)存在如图所示的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支z(万元)(不含进价)与年销量y(万件)存在函数关系z=10y+42.5.(1)求y关于x的函数关系式;(2)度写出该公司销售该种产品年获利w(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式;(年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额)当销售单价x为何值时,年获利最大?最大值是多少?(3)若公司希望该产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用(2)小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?4．如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1) 求l2的解析式；(2) 求证：点D一定在l2上；(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值 .5．如图，已知二次函数y=-21x2+4x+c的图像经过坐标原点，并且与函数y=21x 的图像交于O、A两点．(1)求c的值； (2)求A点的坐标；(3)若一条平行于y轴的直线与线段OA交于点F，与这个二次函数的图像交于点E，求线段EF的最大长度．6．利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法(2)已知函数y=x 3的图象(如图)：求方程x 3-x-2=0的解．(结果保留2个有效数字) 7．已知抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示． (1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； (2)画出抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 当x ＜0时的图象； (3)利用抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c ，写出为何值时，y ＞0．8．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m ，宽为2 m ，隧道最高点P 位于A B 的中央且距地面6 m ，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式；(2)一辆货车高4 m ，宽2 m ，能否从该隧道内通过，为什么? (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么?9．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m 。

(完整版)二次函数应用题(含答案)整理版

(完整版)二次函数应用题(含答案)整理版题目1：某公司的销售额可以用二次函数$y=-2x^2+20x$来表示，其中$x$表示月份（从1开始），$y$表示对应月份的销售额。

求解下列问题：问题1：请计算公司第6个月的销售额。

解答：将$x=6$代入二次函数中，可得：$y=-2\times6^2+20\times6=-72+120=48$所以公司第6个月的销售额为48。

问题2：请问公司销售额最高的月份是哪个月？解答：二次函数$y=-2x^2+20x$是一个开口朝下的抛物线，最高点即为销售额最高的月份。

通过求导数，我们可以找到函数的最高点。

首先，求导得到一次函数$y'=-4x+20$，令$y'=0$，解方程可得$x=5$。

因此，公司销售额最高的月份是第5个月。

题目2：一架火箭从地面起飞后，高度$h$（以米为单位）随时间$t$（以秒为单位）变化的规律可以用二次函数$h=-5t^2+100t$表示。

求解下列问题：问题1：请问火箭多少秒后达到最大高度？解答：同样地，通过求导数，我们可以找到火箭高度的最高点。

将二次函数$h=-5t^2+100t$求导得到一次函数$h'=-10t+100$，令$h'=0$，解方程可得$t=10$。

因此，火箭在10秒后达到最大高度。

问题2：请计算火箭达到最大高度时的高度。

解答：将$t=10$代入二次函数中，可得：$h=-5\times10^2+100\times10=-500+1000=500$所以火箭达到最大高度时的高度为500米。

以上是对二次函数应用题的解答，希望能帮助到您。

2017年中考数学备考专题复习二次函数的应用含解析

二次函数的应用一、单选题（共12题；共24分）1、（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A、1或﹣5B、﹣1或5C、1或﹣3D、1或32、（2016•滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A、y=﹣（x﹣）2﹣B、y=﹣（x+ ）2﹣C、y=﹣（x﹣）2﹣D、y=﹣（x+ ）2+3、（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A、当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B、当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C、若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D、若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大4、（2016•黄石）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A 、b≥B、b≥1或b≤﹣1C、b≥2D、1≤b≤25、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A、y=60（300+20x）B、y=（60﹣x）（300+20x）C、y=300（60﹣20x）D、y=（60﹣x）（300﹣20x）6、（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④ ＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A、①③B、①③④C、②④⑤D、①③④⑤7、（2016•眉山）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A、y=（x﹣2）2+3B、y=（x﹣2）2+5C、y=x2﹣1D、y=x2+48、（2016•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（）A 、B 、C 、D 、9、（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c ＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）A、1B、2C、3D、410、（2016•呼和浩特）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A、6B、3C、﹣3D、011、（2016•攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A、2a﹣b=0B、a+b+c＞0C、3a﹣c=0D、当a= 时，△ABD是等腰直角三角形12、（2016•安顺）某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x 米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）A 、B 、C 、D 、二、填空题（共5题；共5分）13、（2016•河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是________．14、（2016•丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为________．15、（2016•大庆）直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1， y1）、B（x2， y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为________．16、（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是________．17、（2016•十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，其中结论错误的是________ （只填写序号）．三、综合题（共5题；共65分）18、（2016•淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．19、（2016•义乌）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积？(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．20、（2016•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B （2，2）．过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；(2)若抛物线上存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标；(3)连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N 的坐标．21、（2016•扬州）如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；(3)如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．22、（12分）（2016•重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．(1)判断△ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止．当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；若不能，请说明理由．答案解析部分一、单选题【答案】B【考点】二次函数的最值【解析】【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1=5，解得：h=﹣1或h=3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1=5，解得：h=5或h=1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y 随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【答案】A【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，∴绕原点选择180°变为，y=﹣x2+5x﹣6，即y=﹣（x﹣）2+ ，∴向下平移3个单位长度的解析式为y=﹣（x﹣）2+ ﹣3=﹣（x﹣）2﹣．故选A．【分析】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，求出向下平移3个单位长度的解析式即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．【答案】D【考点】二次函数的图象，二次函数的性质【解析】【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=1判断二次函数的增减性．本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【答案】A【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，∴抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，当抛物线在x轴的上方时，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∴b2﹣1≥0，△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）≤0，解得b≥ ；当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1， x2，∴x1+x2=2（b﹣2）≥0，b2﹣1≥0，∴△=[2（b﹣2）]2﹣4（b2﹣1）＞0，①b﹣2＞0，②b2﹣1＞0，③由①得b＜，由②得b＞2，∴此种情况不存在，∴b≥ ，故选A．【分析】由于二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解．此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b 的不等式组解决问题．【答案】B【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），故选：B．【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在原点左侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴ =1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴ ＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．【答案】C【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【解答】解：将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，∵y=（x﹣1）2+2，∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案为C．【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．【答案】C【考点】一次函数的图象，二次函数的图象【解析】【解答】解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，对称轴x= ＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x= ＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向上，对称轴x= ＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；D、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选：C．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．【答案】C【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，∴a＜0，c＞0，故②正确；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①错误；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正确；∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确正确的有3个，故选：C．【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x 轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．【答案】A【考点】根与系数的关系，二次函数的最值【解析】【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，∴m+n=2a，mn=2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，∵a≥2，∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，故选A．【分析】根据已知条件得到m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到结论．本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，∴2a+b=0，∴选项A错误；∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴选项B错误；∵A点坐标为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴选项C错误；当a= ，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，∴抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣，把x=1代入得y= ﹣1﹣=﹣2，∴D点坐标为（1，﹣2），∴AE=2，BE=2，DE=2，∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ADB为等腰直角三角形，∴选项D正确．故选D．【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C错误；由a= ，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D正确；即可得出结论．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．【答案】A【考点】二次函数的图象，二次函数的应用【解析】【解答】解：S△AEF = AE×AF= x2， S△DEG = DG×DE= ×1×（3﹣x）= ，S五边形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG=9﹣x2﹣=﹣x2+ x+ ，则y=4×（﹣x2+ x+ ）=﹣2x2+2x+30，∵AE＜AD，∴x＜3，综上可得：y=﹣2x2+2x+30（0＜x＜3）．故选：A【分析】先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数关系式．本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是求出y与x的函数关系式，对于有些题目可以不用求出函数关系式，根据走势或者特殊点的值进行判断．二、填空题【答案】（1，4）【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，∴代入得：，解得：b=2，c=3，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），故答案为：（1，4）．【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．【答案】60（1+x）2=100【考点】一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式【解析】【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意可得：60（1+x）2=100．故答案为：60（1+x）2=100．【分析】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道4月份的钱数和增长两个月后6月份的钱数，列出方程．设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．【答案】（0，4）【考点】二次函数的性质，一次函数的性质【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1， y1）、B（x2， y2）两点，∴kx+b= ，化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴ ，解得，b=4，即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），故答案为：（0，4）．【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1， y1）、B（x2， y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k 的乘积为﹣1．【答案】P＞Q【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．【分析】由函数图象可以得出a＜0，b＞0，c＞0，当x=1时，y=a+b+c＞0，x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，由对称轴得出2a+b=0，通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q 的值．本题考查了二次函数的图象与系数的关系，去绝对值，二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键．【答案】②【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：由题意二次函数图象如图所示，∴a＜0．b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①正确．∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∴a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴b﹣a＜c，∵c＞O，∴b﹣a可以是正数，∴a+3b+2c≤0，故②错误．故答案为②．∵函数y′= x2+x= （x2+ x）= （x+ ）2﹣，∵ ＞0，∴函数y′有最小值﹣，∴ x2+x≥﹣，故③正确．∵y=ax2+bx+c的图象经过点（1，0），∴a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1， 1，∵x1•1= =﹣，∴x1=﹣，∵﹣2＜x1＜x2，∴在﹣2＜x＜﹣1中存在一个实数x0，使得x0=﹣，故④正确，【分析】①正确．画出函数图象即可判断．②错误．因为a+b+c=0，所以a+3b+2c=a+3b﹣2a﹣2b=b﹣a，又a﹣b+c＞0，所以b﹣a＜c，故b﹣a可以是正数，由此可以周长判断．③正确．利用函数y′= x2+x= （x2+ x）= （x+ ）2﹣，根据函数的最值问题即可解决．④令y=0则ax2+bx﹣a﹣b=0，设它的两个根为x1， 1，则x1•1= =﹣，求出x1即可解决问题．本题考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活应用二次函数的性质解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．三、综合题【答案】（1）解：把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；当y=0时，﹣x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，所以C点坐标为（8，0）（2）解：①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD = •4•t + •8•（﹣t2+t+8）﹣•4•8=﹣t2+6t+16=﹣（t﹣3）2+25，当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，∵四边形CDEF为平行四边形，∴S的最大值为50；②∵四边形CDEF为平行四边形，∴CD∥EF，CD=EF，∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），∵E（t﹣8，﹣t2+t+12）在抛物线上，∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7，当t=7时，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，∴此时S=2S△CDF=18．【考点】待定系数法求二次函数解析式，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面积公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣t2+t+12）代入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．【答案】（1）解：由已知可得：AD= ，则S=1× m2（2）解：设AB=xm，则AD=3﹣m，∵ ，∴ ，设窗户面积为S，由已知得：，当x= m时，且x= m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大【考点】二次函数的应用【解析】【分析】此题考查二次函数的应用，关键是利用二次函数的最值解答．（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．【答案】（1）解：把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得：，解得，故抛物线的函数表达式为y= x2﹣x，∵BC∥x轴，设C（x0， 2）．∴ x02﹣x0=2，解得：x0=﹣或x0=2，∵x0＜0，∴C（﹣，2）（2）解：设△BCM边BC上的高为h，∵BC= ，∴S△BCM = •h= ，∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，∴M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣x=0，解得：x1=0，x2= ，∴M1（0，0），M2（，0），令y= x2﹣x=4，解得：x3= ，x4=，∴M3（，0），M4（，4），综上所述：M点的坐标为：（0，0），（，0），（，0），（，4）（3）解：∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣，2），D（0，2），∴OB=2 ，OA= ，OC= ，∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ，①如图1，当△AOC∽△BON时，，∠AOC=∠BON，∴ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE，在Rt△NOE 中，tan∠NOE=tan∠COD= ，∴OE=4，NE=3，∴N（4，3）同理可得N（3，4）；②如图2，当△AOC∽△OBN时，，∠AOC=∠OBN，∴BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F，∴NF⊥BF，∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，∴tan∠NBF=tan∠COD= ，∴BF=4，NF=3，∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1），综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）．【考点】二次函数的性质，相似三角形的性质，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx求得抛物线的函数表达式为y= x2﹣x，由于BC∥x轴，设C（x0， 2）．于是得到方程x02﹣x0=2，即可得到结论；（2）设△BCM边BC上的高为h，根据已知条件得到h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，于是得到M的纵坐标为0或4，令y= x2﹣x=0，或令y= x2﹣x=4，解方程即可得到结论；（3）解直角三角形得到OB=2 ，OA= ，OC= ，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ①如图1，当△AOC∽△BON时，求得ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，根据三角函数的定义得到OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到BN=2OC=5，过B作BG⊥x轴于G，过N作x 轴的平行线交BG的延长线于F解直角三角形得到BF=4，NF=3于是得到结论．本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，则有解得∴二次函数y=x2﹣2x（2）解：由（1）得，B（1，﹣1），∵A（﹣1，3），∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2 ，设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或∴P（1+ ，2）和（1﹣，2）②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或∴P（1+ ，4）或（1﹣，4）．（3）解：设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+ ，由解得，∴OM= = ，ON=m• ，∴ = ，∴k= 时，= ．∴当k= 时，点T运动的过程中，为常数．本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识，解题【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+ ，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据列出等式，即可解决问题．本题的关键是利用参数，方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考压轴题．【答案】（1）解：△ABC为直角三角形，当y=0时，即﹣x2+ x+3=0，∴x1=﹣，x2=3∴A（﹣，0），B（3 ，0），∴O A= ，OB=3 ，当x=0时，y=3，∴C（0，3），∴OC=3，根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，∴AC2+BC2=48，∵AB2=[3 ﹣（﹣）]2=48，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形（2）解：如图，∵B（3 ，0），C（0，3），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，过点P作∥y轴，设P（a，﹣a2+ a+3），∴G（a，﹣a+3），∴PG=﹣a2+ a，设点D的横坐标为x D， C点的横坐标为x C，S△PCD = ×（x D﹣x C）×PG=﹣（a﹣）2+ ，∵0＜a＜3 ，∴当a= 时，S△PCD最大，此时点P（，），将点P向左平移个单位至P′，连接AP′，交y轴于点N，过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿P→M→N→A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，∴P（，）∴P′（，），∵点A（﹣，0），∴直线AP′的解析式为y= x+ ，当x=0时，y= ，∴N（0，），过点P′作P′H⊥x轴于点H，∴AH= ，P′H= ，AP′= ，∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN= + = ；（3）解：在Rt△AOC中，∵tan∠OAC= = ，∴∠OAC=60°，∵OA=OA1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=60°，∴∠BOC1=30°，∵OC1=OC=3，∴C1（，），∵点A（﹣，0），E（，4），∴AE=2 ，∴A′E′=AE=2 ，∵直线AE的解析式为y= x+2，设点E′（a，a+2），∴A′（a﹣2 ，﹣2）∴C1E′2=（a﹣2 ）2+（+2﹣）2= a2﹣a+7，C1A′2=（a﹣2 ﹣）2+（﹣2﹣）2= a2﹣a+49，①若C1A′=C1E′，则C1A′2=C1E′2即：a2﹣a+7= a2﹣a+49，∴a= ，∴E′（，5），②若A′C1=A′E′，∴A′C12=A′E′2即：a2﹣a+49=28，∴a1= ，a2= ，∴E′（，7+ ），或（，7﹣），③若E′A′=E′C1，∴E′A′2=E′C12即：a2﹣a+7=28，∴a1= ，a2= （舍），∴E′（，3+ ），即，符合条件的点E′（，5），（，7+ ），或（，7﹣），（，3+ ）【考点】二次函数的最值，勾股定理的逆定理，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形；（2）先求出S△PCD最大时，点P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长，计算即可；（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．。

第5章二次函数(压轴必刷30题2种题型专项训练)(原卷版)

第5章二次函数（压轴必刷30题2种题型专项训练）一．二次函数的应用（共3小题）1．（2023•建湖县三模）秀夫初中全校师生为学校修建植物园群策群力．九年级设计小组为更合理地利用空间，将计划种植各种树木的矩形空地一边靠墙（可利用的墙长不超过18米），另外三边由36米长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y米2，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160米2，求x；（3）若学校用8600元购买了甲、乙、丙三种树木共400棵（每种树木的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种树木最多可以购买多少棵？此时，这批树木可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（米2/棵）0.410.42．（2023•海安市模拟）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？3．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？二．二次函数综合题（共27小题）4．（2023秋•太仓市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（2，0）两点，且与y轴交于点C（0，6）．连接AC，BC，P为抛物线在第二象限内一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接P A、PC，抛物线上是否存在点P，使得S△P AC：S四边形ABCP＝1：3？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接P A、PB，过点P作PD∥BC交AC于点D，连接BD．若，求点P坐标．5．（2023•崇川区校级四模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P 与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OP A＝∠OBP，求t的最小值．6．（2023•鼓楼区校级三模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+4m的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连结AC、CP、P A，P A与直线BC 交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当tan∠P AB＝1时，判断CP与AB的数最关系，并说明理由；（3）设△CDP的面积为S1，△CDA的面积为S2，求的最大值．7．（2023•兴化市二模）已知二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣m﹣d）（a，m，d均为正数）图象的顶点为P．（1）直接写出二次函数y1的图象与x轴的交点坐标以及点P的坐标（用含a、m、d的字母表示）；（2）一次函数y2＝kx﹣km（k为常数且k≠0），若函数y3＝y1+y2，且y3的图象与x轴有且只有一个交点．①求函数y3的图象与x轴的交点坐标，并探求a、d、k之间的数量关系，说明理由；②将函数y2的图象向下平移d个单位长度，交函数y1图象的对称轴l于点M，点N是点M关于顶点P的对称点，过点N作x轴的平行线交平移后的直线于点Q，当点Q恰好在函数y1的图象上时，求此时k 的整数值．8．（2023•淮安区校级二模）数学兴趣小组同学们对二次函数y＝nx2﹣（n+3）x+3（n为正数）进行如下探究：（1）同学们在探究中发现，该函数图象除与y轴交点不变外，还经过一个定点A，请写出A点坐标；（2）有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；（3）若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出n 的值．9．（2023•武进区校级模拟）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在抛物线上，求当∠CBP＝45°时点P的坐标．10．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF 为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．11．（2023•天宁区校级二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4（a≠0），图象记为L．（1）如图，a＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；（2）在（1）的条件下，将二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x＜0）的图象向右平移2个单位，与二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x≥2）的图象组成一个新的函数图象，记为L′．设L′上的一点P的坐标为（m，n）．①当m满足时，n随m的增大而增大；②当m＞2时，过点P作y轴垂线，分别交L、L′于点M、N．若ON将△OPM的面积分成1：2两部分，求点P坐标；（3）若点（x1，3），（x2，6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4图象上，直接写出a的取值范围．12．（2023•梁溪区一模）如图，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值，若不存在，请说明理由．13．（2023•灌云县校级模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．①是否存在点P使得S△P AB＝，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB﹣S△AMC的值最大时，求直线BP的表达式．14．（2023•南通二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上的点P（x，y）满足x+y＝a（其中x ≥0，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”．（1）若点（2，m）为反比例函数图象的“1级和点”，则m＝，k＝；（2）若2≤a≤4时，直线y＝kx+k+3上有“a级和点”，求k的取值范围；（3）若抛物线的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．15．（2023•建湖县三模）平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点P（，3）是“二倍点”．（1）在点A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍点”的有；（2）若点E为双曲线y＝﹣（x＞0）上任意一点．①请说明随着点E在图象上运动，为什么函数值y随自变量x的增大而增大？②若将点E向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点F．求证：点F为“二倍点”．（3）已知“二倍点”M在抛物线y＝x2（x＞0）的图象上，“二倍点”N在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，点G在x轴上，坐标平面内有一点H，若以点M，N，G，H为顶点的四边形是矩形，请直接写出点H的坐标．16．（2023•如东县一模）定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点．例如，函数y＝2x与函数y＝x﹣3为关联函数，点（1，2）和点（1，﹣2）是这两个函数的一对关联点．（1）判断函数y＝x+2与函数y＝﹣是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；（2）若对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，求2m2+n2﹣6m的取值范围．17．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）也经过点A、点C，并与x轴正半轴交于点B．（1）求抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）设点E（0，），点F在抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上，并使得△AEF的周长最小，过点F任意作一条与y轴不平行的直线交此抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，试探究的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）适当平移后，得到抛物线y3＝a（x﹣h）2（h＞1），若当1＜x≤m 时，y3≥﹣x恒成立，求m的最大值．18．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．19．（2023•梁溪区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线OP所对应的函数表达式为y＝2x．（1）请直接写出点P的坐标．（2）若△P AB为直角三角形，设直线OP与这个二次函数的图象的另一个交点为Q．①求a、c的值与点Q的坐标；②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围．20．（2023•沭阳县三模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P在第四象限的抛物线上运动，连接AP，BP，CP．（1）求抛物线的表达式；（2）若S△PBC﹣S△APC＝2，求点P的坐标；（3）①如图2，若AP交BC于点E，过点P作x轴的垂线交BC于点F，当EF＝EP，求点P的坐标；②如图3，在①的条件下，连接AP，BP，点M是线段AP上一点，点Q是线段BP上一点，连接MQ，过点M作x轴的垂线交抛物线于点H，过点H作HN∥PB交MQ于点N，当S△MHN＝S△MHQ，直接写出线段MH的长．21．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．22．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当时，一次函数的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．23．（2023春•大丰区月考）如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．24．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．25．（2023•灌云县校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AC，BC，CD．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P为抛物线上的点，连接CP，当∠ACO＝∠PCB时，求点P的坐标；（3）若在x轴上总存在一点Q，且点Q的横坐标为m（m＞﹣3），当∠DCB＜∠QCB＜∠CAO时，直接写出m的取值范围．26．（2023•泗洪县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣4）．（1）求该二次函数的解析；（2）若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标．27．（2023•兴化市开学）如图，已知抛物线y＝ax2（a＜0）经过点A（2，﹣2），过点A的直线l平行于x 轴，横坐标分别m，s的点B、C（m＜s＜0）在抛物线上，且位于在直线l异侧，连接BC，AC，AB，线段BC与直线l相交于点D．（1）求a的值；（2）若m＝﹣3，s＝﹣1．①求AD的值；②试判断AD是否平分∠CAB，并说明理由；（3）若AD平分∠CAB，试判断tan（∠ABD+∠CAD）的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．28．（2023•昆山市校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D为第一象限的抛物线上一点．①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．29．（2023•锡山区校级四模）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值．30．（2023•工业园区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线AP经过△CBM外接圆的圆心，求点P的横坐标；（3）如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接NA分别交BC、y轴于D、E两点，若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值；（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，请直接求出点Q的坐标．。

二次函数应用题专题(带答案)

二次函数应用题专题(带答案)0)时，可用交点式y=a(x-x1x-x2求其解析式。

4)根据问题要求，利用解析式求出所需的未知量。

三、练1、一枚炮弹在发射点上空爆炸，爆炸点离发射点水平距离1800米，爆炸高度为400米，求炮弹的初速度和仰角。

2、一架飞机以900km/h的速度飞行，飞行高度为2km，发现前方有一座山峰，山顶离飞机水平距离为10km，求飞机的爬升率和俯冲率。

3、一个人从距离地面20米的悬崖上抛出一个物体，物体抛出初速度为20m/s，抛出角度为60度，求物体落地点到悬崖的水平距离。

XXX：1、设炮弹飞行时间为t，初速度为v，仰角为θ，则可列出方程组：x=vtcosθy=vtsinθ-1/2gtx2y21800)2400)=xxxxxxx解得v600m/s，θ≈48.6°。

2、设飞机的爬升率和俯冲率分别为a和b，则可列出方程组：tan(θ-a)=4000/tan(θ+b)=2000/解得a≈2.5°，b≈1.4°。

3、设物体落地点到悬崖的水平距离为d，则可列出方程：d=vcosθtt=2vsinθ/g代入可得d≈40.8m。

评析：二次函数应用题需要学生熟练掌握建立坐标系、求解析式、利用解析式求未知量的方法，同时也需要学生对物理知识有一定的掌握，如抛物线运动、平抛运动等。

练中的例题和练题都体现了这些要点，可以帮助学生加深对二次函数应用的理解和掌握。

在教学过程中，可以引导学生多思考实际问题中的数学应用，提高他们的应用能力和解决问题的能力。

例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．1)求y与x之间的关系式；2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有 y= -30x+960 (16≤x≤32)．2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=-30+48x-512+1920．所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一次函数求最值．例3、在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标为(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)1)求这个二次函数的解析式；2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米)解：(1)设二次函数的解析式为 y=ax^2+bx+c。

(完整版)二次函数专题

专题训练(三) 与函数有关的最值问题类型之一由不等关系确定的最值问题1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：现将这50吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进行)(1)设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)(2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？类型之二由一次函数确定的最值问题2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m3，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3.(1)有多少种生产方案？(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费为4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)类型之三由二次函数确定的最值问题3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图Z－3－1)，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．图Z－3－14.[2015·青岛] 如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？图Z－3－2类型之四用换元法求最值5．求函数y＝x－1－2x的最值．类型之五用数形结合法求最值6．函数y＝x2－4x＋13＋x2－12x＋37的最小值是________．类型之六自变量x在某一范围内的最值7．求二次函数y＝－4x2＋8x－3在－2≤x≤2上的最大值和最小值．8．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y ＝x2－6x＋7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2－6x＋7的图象的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，当x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则当x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则当x＝m时，y的最大值为m2－6m＋7.请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)当－2≤x≤4时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为________；(2)若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值；(3)若t≤x≤t＋2时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为31，则t的值为________．图Z－3－3 专题训练(五) 巧用抛物线的对称性妙解题类型之一利用对称性比较函数值的大小1．点A(－2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝2(x－1)2－1的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象过点A(1，n)，B(3，n)，若点M(－2，y1)，N(－1，y2)，K(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象上，则下列结论正确的是( ) A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2类型之二利用对称性求交点坐标3.如图5－ZT－1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()图5－ZT－1A．(2，3) B．(3，2)C．(3，3) D．(4，3)4．如图5－ZT－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( )图5－ZT－2A．0 B．－1C．1 D．25．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－2，7)，B(6，7)，C(3，－8)，求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．类型之三利用对称性求长度6．如图5－ZT－3是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距点A10 m处的立柱FE 的高度为3.6 m.(1)求正中间的立柱OC的高度；(2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半？请说明理由．图5－ZT－3类型之四巧用对称性求二次函数的表达式7．已知二次函数的函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x＝－3，此二次函数的表达式为________________．8．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x ＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．9．二次函数的图象经过点A(0，0)，B(12，0)，且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．类型之五利用对称性求面积10．二次函数y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的图象关于y 轴对称，顶点A和它的x轴的两个交点B，C所构成的△ABC的面积为( )A．1 B．2 C.12D.3211．已知二次函数y＝2x2＋m(m为常数)．(1)若点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1________y2(填“＞”“＝”“＜”)；(2)如图5－ZT－4，此二次函数y＝2x2＋m的图象经过点(0，－4)，正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x 轴上，求图中阴影部分的面积之和．图5－ZT－4类型六利用对称性求不等式的解集或字母的取值范围12．如图5－ZT －5是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A (3，0)，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是______________．图5－ZT －513．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上部分点的对应值如下表：则当y <0时，x 的取值范围为____________．类型之七利用对称性解决线段和最短问题14．如图5－ZT －6，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝－2，点C 在抛物线上，且位于点A ，B 之间(C 不与A ，B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为________(用含a 的式子表示)．图5－ZT －615．[2015·酒泉] 如图5－ZT －7，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x 轴相交于点M.(1)求抛物线的表达式和对称轴．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图5－ZT －7专题训练(四) 二次函数图象信息专题类型之一根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号1．已知b ＜0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列四个图象之一．试根据图象分析，a 的值应等于()图4－ZT －1A ．－2B ．－1C ．1D ．22.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －2所示，则abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四个式子中，值为正数的有()图4－ZT －2A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．[2016·广安] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图4－ZT －3所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0有两个不相等的实数根．下列结论：①b 2－4ac ＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中，正确的个数为( )图4－ZT－3A．1 B．2 C．3 D．4类型之二利用二次函数的图象比较大小4．[2016·兰州] 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3类型之三利用二次函数的图象求方程或不等式的解5．如图4－ZT－4，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的正数解的范围是()图4－ZT－4A．2＜x＜3 B．3＜x＜4C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．如图4－ZT－5，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝kx的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式x2＋1＜kx的解集是( )图4－ZT－5A．x＞1 B．x＜0C．0＜x＜1 D．－1＜x＜07．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4－Z－6所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是______________．图4－ZT－68．如图4－ZT－7是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是______________．图4－ZT－7类型之四根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图象9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－8所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系中的大致图象为()图4－ZT－8图4－ZT－910．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图4－Z－10所示，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第________象限．图4－ZT－10类型之五有关二次函数的综合题11．如图4－ZT－11，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝x23(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，过点D作直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则DEAB＝________．图4－ZT－1112.如图4－ZT－12，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．图4－ZT－1213．已知抛物线y＝x2－(k＋2)x＋5k＋24和直线y＝(k＋1)x ＋(k＋1)2.(1)求证：无论k取何实数值，抛物线与x轴都有两个不同的交点；(2)抛物线与x轴交于点A，B，直线与x轴交于点C，设A，B，C三点的横坐标分别是x1，x2，x3，求x1·x2·x3的最大值；(3)如图4－ZT－13所示，如果抛物线与x轴交于点A，B，点A，B在原点的右边，直线与x轴交于点C，点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D，E，直线AD交直线CE 于点G，且CA·GE＝CG·AB，求抛物线的函数表达式．图4－ZT－13。

二次函数应用练习题

二次函数应用练习题1. 求解以下方程的解析式：- $y = x^2 - 5x + 6$- $y = 2x^2 + 3x - 2$解析式：- 第一个方程的解析式为：$y = (x - 2)(x - 3)$- 第二个方程的解析式为：$y = (2x - 1)(x + 2)$2. 计算以下二次函数的顶点坐标和对称轴：- $y = -3x^2 + 6x - 2$- $y = 2x^2 - 4x + 3$顶点坐标和对称轴：- 第一个函数的顶点坐标为 $(1, 1)$，对称轴为 $x = 1$- 第二个函数的顶点坐标为 $(1, 1)$，对称轴为 $x = 1$3. 判断以下二次函数的开口方向，并说明函数图像是否有最小值或最大值：- $y = x^2 - 4x + 5$- $y = -2x^2 + 4x - 1$开口方向和最值：- 第一个函数的开口方向是向上的，函数图像有最小值- 第二个函数的开口方向是向下的，函数图像有最大值4. 给定以下条件，求解二次函数的解析式：- 函数图像过点 $(1, 4)$，对称轴为 $x = -2$- 函数图像过点 $(5, -3)$，顶点坐标为 $(2, -4)$解析式：- 对第一个条件，可以得到函数解析式为：$y = (x + 2)(x - 5)$ - 对第二个条件，可以得到函数解析式为：$y = -2(x - 2)^2 - 4$5. 给定以下条件，求解二次函数的关键点：- 函数图像过点 $(1, 2)$，对称轴为 $x = 3$- 函数图像过点 $(4, 5)$，开口方向向下关键点坐标：- 对第一个条件，可以得到关键点坐标为 $(1, 2)$ 和 $(5, 2)$ - 对第二个条件，可以得到关键点坐标为 $(4, 5)$。

二次函数的应用练习题及答案

二次函数的应用练习题及答案二次函数的应用练习题及答案一：知识点利润问题：总利润=总售价–总成本总利润=每件商品的利润×销售数量二：例题1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个形，则这两个形面积之和的最小值是cm2．2、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是________________3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门,问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．若每件降价x 元，每天盈利y 元，求y 与x 的关系式．若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：房间每天的入住量y关于x的函数关系式．该宾馆每天的房间收费z关于x的函数关系式．该宾馆客房部每天的利润w关于x的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x，日销售量为y．写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；设日销售的毛利润为P，求出毛利润P与销售单价x之间的函数关系式；在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？7、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y 与x之间的函数关系式．O若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？8、为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y与销售单价x之间的函数关系如图所示．求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式；当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元，该公司可安排员工多少人？若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？9、大学毕业生响应“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P与销售时间x之间有如下关系：P=-2x+80；又知前20天的销售价格Q1 与销售时间x之间有如下关系：Q1?1x?30 ，后10天的销售价格Q与2销售时间x之间有如下关系：Q2=45．试写出该商店前20天的日销售利润R1和后l0天的日销售利润R2分别与销售时间x之间的函数关系式；请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的日销售量m与时间t的关系如下表：未来40天，前20天每天的价格y1与时间t的函数关系式为y1?t?25，后20天每天的价格y2与时间t的函数关系式为y2??1t?40。

二次函数动点问题专题

二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

二次函数的练习题及答案

二次函数的练习题及答案一、选择题：1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且与x轴有交点，则a 和b应满足的条件是（）。

A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是（）。

A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，当x=-1时，函数值最大，那么a的取值范围是（）。

A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题：1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3，当x=______时，函数值最小。

2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1+x2=______。

三、解答题：1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1，求出当x取何值时，函数值y最大，并求出最大值。

2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2，求出函数与x轴的交点坐标。

四、应用题：1. 某工厂生产一种产品，其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数：C(x)=0.5x^2-100x+3000，其中x代表产品数量，C(x)代表成本。

求出当生产多少件产品时，成本最低，并求出最低成本。

2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园，花园的长和宽之和为30米。

设花园的长为x米，求出花园的面积最大时的长和宽，并求出最大面积。

答案：一、选择题：1. C2. B3. B二、填空题：1. 22. -2三、解答题：1. 当x=1时，函数值y最大，最大值为3。

2. 函数与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0）。

四、应用题：1. 当生产200件产品时，成本最低，最低成本为2000元。

2. 花园的长为15米，宽为15米时，面积最大，最大面积为225平方米。

2017全国中考数学真题分类-二次函数几何方面的应用(选择题+解答题)解析版

2017全国中考数学真题分类知识点20二次函数几何方面的应用（选择题+填空题+解答题）解析版一、选择题1. 8．(2017江苏扬州，，3分)如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （0，2）、B （1，0）、C （2，1），若二次函数21y x bx =++的图像与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是A ．2b ≤-B ．2b <-C ．2b ≥-D ．2b >-【答案】C【解析】由二次函数系数a 、b 、c 的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y 轴的交点（０，１）也是确定不变的。

唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的。

若抛物线经过点（０，１）和Ｃ（２，１）这组对称点，可知其对称轴是直线12bx =-=，即b ＝－２时是符合题意的，所以可以排除Ｂ、Ｄ两个选择支，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以12b-≤，即2b ≥-。

二、解答题1. （2017重庆，26，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线3332332--=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当∆PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线3332332--=x x y 沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D，y '的顶点为点F．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q，使得∆FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PH∥x轴，交CE于点H，设出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“2铅垂高水平宽⨯”可表示出∆PCE的面积，并可计算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛物线y '的对称轴上找到符合条件的四个点，分别确定其坐标即可．解：（1）∵抛物线3332332--=xxy与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，∴03332332=--xx，解得：x1＝－1，x2＝3，∴A，B两点的坐标分别为（－1，0），（3，0）；343324332-⨯-⨯=y＝335，∴点E坐标为（4，335）．设直线AE的解析式的解析式为y＝kx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=bkbk4335，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3333bk，∴y＝33x+33；（2）∵令x ＝0，得y ＝ 3-，∴点C （0，3-），∵点E 坐标为（4，335），∴直线CE 的解析式为y ＝3332-x ，过点P 作PH ∥x 轴，交CE 于点H ，如图，设点P 的坐标为（t ，3332332--t t ），则H （t ，3332-t ），∴PH ＝3332-t －（3332332--t t ）＝t t 334332+-， ∴t t t t PH x x S C E PCE 338332334334212122+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯⨯=⋅-=∆，∵0332<-，抛物线开口向下，40<<t ，∴当⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=3322338t ＝2时，PCE S ∆取得最大值，此时P 为（2，3-）；∵点C （0，3-），B （3，0），由三角形中位线定理得K （23，23-），∵y C ＝y P ＝3-，∴PC ∥x 轴，作K关于CP 的对称点K 1，则K 1（23，233-）；∵333tan ==∠OCB ，∴∠OCB ＝60゜，∵D （1，0），∴3331tan ==∠OCD ，∴∠OCD ＝ 30゜，∴∠OCD ＝∠BCD ＝30゜，∴CD 平分∠OCB ，∴点K 关于CD 的对称点K 2在y 轴上，又∵CK ＝OC ＝3，∴点K 2与点O 重合，连接OK 1，交CD 于点N ，交CP 于点M ，如图，∴KM ＝ K 1M ，KN ＝ON ，∴KM +MN +KN ＝K 1M +MN +ON ，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM +MN +KN 的值最小，∴K 1 K 2 ＝O K 1＝32332322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴KM +MN +KN 的最小值为3；（3）点Q 的坐标为（3，321234+-），（3，321234--），（3，32），（3，332-）．2. （2017浙江衢州,22，10分）（本题满分10分）定义：如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线上（P 点与A 、B 两点不重合），如果△ABP 的三边需满足AP 2＋BP 2＝AB 2，则称点P 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点坐标．（2）如图2，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋bx （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，点P （13C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件S △ABQ ＝S △ABP 的Q 点（异于点P ）的坐标．思路分析：（1）所谓勾股点，即以AB为直径的圆与抛物线的交点．y＝－x2＋1与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），故圆心为原点，半径为1，与抛物线交点为（0，1）.（2）由P点坐标可知∠PAB＝60°，又∠APB＝90°，从而求得B点坐标，利用待定系数法即可求解．（3）由S△ABQ＝S△ABP，故有|y Q|y Q物线解析式即可求解．解（1）勾股点的坐标（0，1）．（2）抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过原点（0，0），即A为（0，0）．如图，作PG⊥x轴于点G，连结PA，PB．∵点P的坐标为（1，∴AG＝1，PG PA＝2，tan∠PAB∴∠PAB＝60°，∴Rt△PAB中，AB＝cos60PA＝4，∴点B（4，0）．设y＝ax（x－4），当x＝1时，ya．∴y x（x－4x2x．（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去）．∴Q1（3．②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP易知点Qx2解得x1＝2x2＝2Q2（2，Q2（2．综上，满足条件的Q点有三个：Q1（3，Q2（2，Q2（2．3.（2017山东济宁，21，9分）已知函数2(25)2y mx m x m=--+-的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1①当1n x≤≤-时，y的取值范围是13y n≤≤-，求n的值；②函数C2：22()y x h k=-+的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．思路分析：（1）根据函数2(25)2y mx m x m=--+-图象与x轴有两个公共点，即一元二次方程2(25)20mx m x m --+-=有两个不同的实数解，即需满足m ≠0且根的判别式△＞0，解不等式组得25,12m <且0m ≠；（2）由二次函数22y x x =+性质，当14x <-时，y 随x 的增大而减小，求出n 的值为—2；（3）由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大，先求出MO 的解析式，设出点P 的坐标，根据勾股定理求出点P 的坐标，继而求出PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．解：（1）由题意可得：()()20,25420.m m m m ≠⎧⎪⎨---->⎡⎤⎪⎣⎦⎩解得：25,12m <且0,m ≠ 当2m =时，函数解析式为：22y x x =+．（2）函数22y x x =+图象开口向上，对称轴为1,4x =-∴当14x <-时，y 随x 的增大而减小．∵当1n x ≤≤-时，y 的取值范围是13y n ≤≤-， ∴ 223n n n +=-．∴ 2n =-或0n =（舍去）． ∴2n =-．（3）∵221122,48y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭∴图象顶点M 的坐标为11,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图形可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大．∵点P 在直线OM 上，由11(0,0),(,)48O M --可求得直线解析式为：12y x =，设P （a ，b ），则有a ＝2b ，根据勾股定理可得()2222PO b b =+求得2,1a b ==．∴PM 最大时的函数解析式为()2221y x =-+．4. （2017山东威海，25，12分）如图，已知抛物线y =ax ²+bx +c 过点A (－1,0)，B (3,0)，C （0，3）.点M ，N 为抛物线上的动点，过点M 作MD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，交x 轴于点E . （1）求二次函数y =ax ²+bx +c 的表达式；（2）过点N 作NF ⊥x 轴，垂足为点F .若四边形MNFE 为正方形（此处限定点M 在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN =90°，MD =MN ，求点M 的横坐标.解：∵抛物线2y ax bx c =++的图像经过点A (-1,0),B (3,0)，∴抛物线的函数表达式为y =a (x +1)(x -3),将点C (0，3)代入上式，得3=a (0+1)(0-3)，解得a =-1.∴所求函数表达式为y =－(x +1)(x －3)=－x 2+2x +3．(2)由(1)知，抛物线的对称轴为212(1)x ==⨯-．如图1，设M 点的坐标(m ，－m 2+2m +3),∴ME =|－m 2+2m +3|．∵M ,N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧， ∴N 点横坐标为2-m . ∴MN =2m -2∵四边形MNEF 为正方形∴ME =MN . ∴22322m m m -++=- ．分两种情况:①2m - +2m +3=2m -2.解,得12m m ==不符合题意,合去).当 m ,正方形的面积为22(2224⎡⎤+-=+⎣⎦综上所述，正方形的面积为24-或24+（3）设直线BC 的函数表达式为y =kx +b .把点B (3,0),C (0,3)代入表达式，得30,3,k b b +=⎧⎨=⎩解得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数表达式为y =-x +3，设点M 的坐标为(a ,223a a -++), 则点D 的坐标为(a ,-a +3)， ∴DM =23a a -+ ，∵DM //y 轴，DM ⊥MN ,∴MN //x 轴. ∴M ,N 关于x =1对称. ∴N 点的横坐标为2-a ， ∴MN =22a -， ∵DM =MN ，∴2322a a a -+=- ．分两种情况：①如图2，2322a a a -+=- ，解，得122,1a a ==- ．②如图3，2322a a a -+=-，解，得3455,22a a +-==．综上所述，M 点的横坐标为122,1a a ==-，34,a a ==5.（2017年四川绵阳，24,11分）（本题满分12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）．直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C于直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）．直线m 上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F．求BE∶MF的值．解：（1）设抛物线方程为，因为抛物线的顶点坐标是（2，1），所以…………………………1分又抛物线经过点（4，2），所以，解得，………………2分所以抛物线的方程是．……………………………3分（2）联立，消去y，整理得，………………………4分解得，，…………………………5分代入直线方程，解得，，所以B（），D（），因为点C是BD的中点，所以点C的纵坐标为，………………………6分利用勾股定理，可算出BD=，即半径R=，即圆心C到x轴的距离等于半径R，所以圆C与x轴相切．…………………………7分（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，……………………………9分即，代入得，化简得，解得t =5或t =1，………………………………10分因为点M 在对称轴右侧，所以t =5，………………………11分所以…………………………………………………12分法2：过点C 作CH ⊥m ，垂足为H ，连接CM ，由（2）知CM =R =25，CH =R -1=23，由勾股定理，得MH =2，…………………9分又HF =，所以MF =HF -MH =-2，…………………10分又BE =y 1-1=23-25，所以MF BE =25+1，………………………………………………12分思路分析：（1）知抛物线的顶点和其它任意一点，可设出抛物线的顶点式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）由抛物线与直线交于B、D，联立方程组，求出点B点D坐标，求出直径BD的长度，从而求出半径，与C的纵坐标进行比较，得出结论；（3）连接BM和DM，因为BD为直径，所以∠BMD=90°，所以∠BME+∠DMF=90°，又因为BE⊥m于点E，DF⊥m于点F，所以∠BME=∠MDF，所以△BME∽△MDF，所以，即，代入得，化简得，解得t=5或t=1，因为点M在对称轴右侧，所以t=5，所以．6.（2017四川攀枝花，24，12分）如图15，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若∆BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．图1 备用图思路分析：（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）方法1：（代数法）设点的坐标转化成所求线段，找特殊角转化成所求线段，联立函数关系，代入整理成关于目标线段和的二次函数关系式，从而找到最值；方法2：（几何法）以BC 为对称轴将FCE ∆对称得到F CE '∆，作PH CF '⊥于H ，则PF +EF =PF ′= 2 PH =()()223C P P y y y -=-∴当P y 最小时，PF EF +取最大值42．（3）①先设点再分类讨论，利用勾股定理得到关于所求D 点的一元方程式，解得即为D 1和D 2；②利用直径圆周角性质构造圆，利用线段距离公式建立一元方程式，解得即为D 3和D 4．结合①中D 1和D 2的坐标，当D 在D 2D 4和D 3D 1之间时候为锐角三角形，从而得到点D 的纵坐标的取值范围．解析：（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3．解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3．∴抛物线的解析式为：y ＝x 2－4x ＋3．（2）方法1：如图，过P 作PG ∥CF 交CB 与G ，由题意知∠BCO ＝∠CEF ＝45°，F （0，m ）C （0，3）， ∴∆CFE 和∆GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22（3－m ） PE ＝22PG ，设x P ＝t （1＜t ＜3），则PE ＝22PG ＝22（－t ＋3－t －m ）＝22（－m －2t ＋3）， t 2－4t ＋3＝t ＋m ，∴PE ＋EF ＝22（3－m ）＋22（－m －2t ＋3）＝ 22（－2t －2m ＋6）＝－2（t ＋m －3）＝－2（t 2－4t ）＝－2（t －2）2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 最大值＝42．方法2：（几何法）由题易知直线BC的解析式为3y x=-+，OC=OB=3，∴∠OCB=45°．同理可知∠OFE=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF+EF=PF′= 2 PH．yxHPF'CBAOFE又PH=3C P Py y y-=-．∴当Py最小时，PF+EF取最大值，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当1Py=-时，(PF+EF)max= 2 ×(3+1)=4 2 ．（3）①由（1）知对称轴x＝2，设D（2，n），如图．当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即（2－0）2＋（n－3）2＋（32）2＝（3－2）2＋（0－n）2 ，解得n＝5；当∆BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时由勾股定理得BD2＋BC2＝CD2 即（2－3）2＋（n－0）2＋（32）2＝（2－0）2＋（n－3）2 ，解得n＝－1．∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为（2，5）或（2，－1）．②如图：以BC的中点T（3，3），12BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD2B＝90°，设D（2，m），由DT＝12BC32得（32－2）2＋（32－m）2＝2322⎛⎝⎭，解得m＝173±，∴D 3（2，173+）D 4（2，173-），又由①得D 1为（2，5），D 2（2，－1），∴若∆BCD 是锐角三角形，D 点在线段13D D 或24D D 上时（不与端点重合），则点D 的纵坐标的取值范围是－1＜D y ＜1732-或1732+＜D y ＜5．7. （2017四川内江，28，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1. （1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(1) 由点B 的坐标与对称轴可求得点C 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的解析式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t 秒，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，用配方法求的最大值；(3) 根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论．解：(1)∵点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x ＝1，∴A （－2，0）.把点A （－2，0），B （4，0），点C （0，3），分别代入y ＝ax 2+bx+c （a≠0），得⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-.3,0416,024ccbacba解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.3,43,83cba∴该抛物线的解析式为y＝343832++-xx．(2) 如图1，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t．由题意得，点C的坐标为（0，3）．在Rt△BOC中，BC＝2243+＝5．如图1，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴BCBNOCHN=，即53tHN=，∴HN＝t53．∴S△MBN＝21MB·HN＝21(6－3t)·t53＝=+-tt591092109)1(1092+--t．当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t＝1时，S△MBN最大＝109．∴S与t的函数关系为S＝109)1(1092+--t，S的最大值为109．（3）如图2，在Rt△OBC中，cos∠B＝54=BCOB，设运动时间为t秒，则AM＝3t，BN＝t．∴MB＝6－3t．当∠MNB＝90°时，cos∠B＝54=BMBN，即5436=-tt，解得t＝1724．当∠BM＇N＇＝90°时，cos∠B＝5436=-tt，解得t＝1930．综合上所述，当t＝1724或t＝1930时，△MBN为直角三角形．8. （2017江苏无锡，27，10分）如图，以原点O 为圆心，3为半径的圆与x 轴分别交于A 、B 两点（点B 在点A的右边），P 是半径OB 上一点，过P 且垂直于AB 的直线与⊙O 分别交于C 、D 两点（点C 在点D 的上方），直线AC 、DB 交于点E ．若AC ：CE ＝1:2．（1）求点P 的坐标；（2）求过点A 和点E ，且顶点在直线CD 上的抛物线的函数表达式．思路分析：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，设P （m ，0）.①由相似三角形的判定与性质证得AF ＝3AP ，BF ＝3PB ；②由关系式AF －BF ＝AB ，可得m ＝1．∴点P 的坐标（1，0）．（2）①由已知证得A （－3，0），E （9，），抛物线过点（5，0）；②用待定系数法可得抛物线的函数表达式．解：（1）过点E 作E F ⊥x 轴于F ，∵CD ⊥AB ，∴CD ∥EF ，PC ＝PD ． ∴△ACP ∽△AEF ，△BPD ∽△BEF . ∵AC ：CE ＝1:2．∴AC ：AE ＝1:3． ∴AP AF ＝CP EF ＝13，DP EF ＝PB BF ＝13． ∴AF ＝3AP ，BF ＝3PB ． ∵AF －BF ＝AB ．又∵⊙O 的半径为3，设P （m ，0）， ∴3（3＋m ）－3（3－m ）＝6 ∴m ＝1．∴P （1，0）（2）∵P （1，0），∴OP ＝1，A （－3，0）． ∵OA ＝3，∴AP ＝4，BP ＝2．∴AF ＝12. 连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°．∵CD ⊥AB ，∴△ACP∽△CBP ．∴AP CP ＝CPBP． ∴CP 2＝AP ·BP ＝4×2＝8. ∴CP ＝．∴EF ＝3CP ＝． ∴E （9，）.∵抛物线的顶点在直线CD 上，∴CD 是抛物线的对称轴， ∴抛物线过点（5，0）.设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ．根据题意得09-30255819a b ca b c a b c ⎧⎪+⎨⎪+⎩＝＋，＝＋，＋，解得8484a b c ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪--⎪⎪⎩＝＝-＝ ∴抛物线的函数表达式为yx 2x ．9. （2017山东潍坊）（本小题满分13分）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过平行四边形ABCD 的顶点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)，抛物线与x 轴的另一交点为E ．经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F ．点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的解析式；（2）当t 何值时，△PFE 的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P 使△PFE 为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．思路分析：（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式；（2）由平行四边形的对称性可知直线l 必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E 点坐标，进而可求直线l 的解析式，结合二次函数解析式确定点F 的坐标．作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，列出PM 关于t 的解析式，最后利用三角形的面积得S △PFE 关于t 的解析式，利用二次函数的最值求得t 值，从而使问题得以解决；（3）分两种情形讨论：①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，易得P 1G =AG ，由此构建一元二次方程求t 的值；②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ，则△P 2KE ∽△AQP 2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t 的值．解：（1）将点A (0，3)、B (－1，0)、D (2，3)代入y =ax 2+bx +c ，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=,324,0,3c b a c b a c 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.1,2,1c b a 所以，抛物线解析式为：y=－x 2+2x +3．（2）因为直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，所以必过其对称中心(21，23)．由点A 、D 知，对称轴为x =1，∴E (3，0)，设直线l 的解析式为：y =kx +m ，代入点(21，23)和(3，0)得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.03,2321m k m k 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.59,53m k 所以直线l 的解析式为：y =53-x +59．由⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=,32,59532x x y x y 解得x F =52-．作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ．点P 的纵坐标为y P =－t 2+2t +3，点M 的纵坐标为y M =53-t +59．所以PM =y P －y M =－t 2+2t +3+53t －59=－t 2+513t +56．则S △PFE =S △PFM + S △PEM =21PM ·FN +21PM ·EH =21PM ·(FN + EH )=21·(－t 2+513t +56)(3+52) =1017-·(t －1013)2+100289×1017 所以当t =1013时，△PFE 的面积最大，最大值的立方根为31017100289⨯=1017．（3）由图可知∠PEA ≠90°．①若∠P 1AE =90°，作P 1G ⊥y 轴，因为OA =OE ，所以∠OAE =∠OEA =45°，所以∠P 1AG =∠AP 1G =45°，所以P 1G =AG ．所以t =－t 2+2t +3－3，即－t 2+t =0，解得t =1或t =0(舍去)．②若∠AP 2E =90°，作P 2K ⊥x 轴，AQ ⊥P 2K ，则△P 2KE ∽△AQP 2，所以QP KEAQ K P 22=，所以tt tt t t 233222+--=++-，即t 2－t －1=0，解之得t =251+或t =251-＜52-(舍去)．综上可知t =1或t =251+适合题意．10. （2017湖南岳阳，本题满分10分）如图，抛物线223y x bx c =++经过点()3,0B ，()0,2C -，直线l ：2233y x =--交y 轴于点E ，且与抛物线交于A ，D 两点．P 为抛物线上一动点（不与A ，D 重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线l 下方时，过点P 作PM x ∥轴交l 于点M ，PN y ∥轴交l 于点N ．求PM PN +的最大值；（3）设F 为直线l 上的点，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．备用图解：（1）将()3,0B ，()0,2C -代入223y x bx c =++，得：6302b c c ++=⎧⎨=-⎩解得：432b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：224233y x x =--；（2）设()224,21233P a a a a ⎛⎫---<< ⎪⎝⎭，则22,33N a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴222242133=3333222PN a a a ⎛⎫=-++--+≤ ⎪⎝⎭∵M ，N 在直线l ：2233y x =--上，PM x ∥，PN y ∥∴23PN PM =∴51524PM PN PN +=≤即：PM PN +的最大值为：154；（3）能设22,33F m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭① 当EC 为边时，有224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，EC PF =即：22244=3333m m -++解得：m =，其中0m =时不成立，舍去； ② 当EC 为对角线时，PF 中点即为EC 中点（0，43-）2,23P m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在抛物线上所以，224222333m m m +-=-解得：01m =-或，其中0m =时不成立，舍去；综上所述：F 点的坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0-、⎝⎭、⎝⎭．11. （2017湖南常德，25，10分）如图12，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点(2,2)，(1,54)在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点. （1）求抛物线的解析式及顶点N 的坐标；（2）求证：四边形PMDA 是平行四边形；（3）求证：△DPE ∽△PAM P 的坐标.图12思路分析：（1）将点(2,2)，(1,54)坐标代入y=ax2+k中求出解析式，即可得到顶点N的坐标；（2）根据解析式设出点P坐标，从而得到点A、C的坐标，再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标，即可求出MD和PA 的长度，得出长度相等，而MD∥PA，所以四边形PMDA是平行四边形；（3）在（2）证明之后继续证明PM=PA，则四边形PMDA是菱形，∠MDP=12∠PDE=12∠ADM=12∠APM，所以∠PDE=∠APM，而△DPE和△PAM都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似.解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k，∵点(2,2)，(1,54)在抛物线上，∴4254a ka k+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得141ak⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴该抛物线的解析式为：y=14x2+1，顶点N的坐标为（0,1）；（2）设点P坐标为（x, 14x2+1），∵PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.∴A（x,0），C（0,14x2+1），M（0,2），D（0，1－14x2）；PA∥y轴；∴MD=2－（1－14x2）=14x2+1=PA且MD∥PA∴四边形PMDA是平行四边形；（3）由（2）得四边形PMDA是平行四边形，PC=x，CM=14x2+1－2=14x2－1；∵在Rt△PCM中，PM2114x==+=PA∴四边形PMDA 是菱形，△PAM 是等腰三角形； ∴∠APM =∠ADM ；∠MDP =12∠ADM ；根据抛物线的对称性，PD =ED ， ∴△DPE 是等腰三角形，DC 平分∠PDE ， ∴∠MDP =12∠PDE ， ∴∠PDE =∠APM ；又∵∠PDE ，∠APM 分别为等腰△DPE 和△PAM 的顶角； ∴△DPE ∽△PAM PE =2x ，AM =222x +∵PE ：AM =3时，解得：x =23±； ∴相似比为3时P 点坐标为：（23±，4）12. 24.(2017湖北咸宁，24，12分)如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D 的坐标；⑵连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；⑶平行于x 轴的直线交抛物线于M 、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ ，当点P 在x 轴上，且PQ=12MN 时，求菱形对角线MN 的长.思路分析：(1)利用OB=OC=6得到点B(6，0)，C(0，-6)，将其代入抛物线的解析可以求出b 、c 的值，进而得到抛物线的解析式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F 为抛物线上一动点，∠FAB=∠EDB ，可以分两种情况求解：一是点F 在x 轴上方；二是点F 在x 轴下方.每一种情况都可以作FG ⊥x 轴于点G ，构造Rt △AFG 与Rt △DBE 相似，利用对应边成比例或三角函数的定义求点F 的坐标.(3)首先根据MN 与x 轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN 在x 轴上方；二是MN 在x 轴下方.设菱形对角线的交点T 到x 轴的距离为n ，利用PQ=12MN ，得到MT=2n ，进而得到点M 的坐标为(2+2n ，n)，再由点M 在抛物线上，得21(22)2(22)62n n n =+-+-，求出n 的值，最后可以求得MN=2MT=4n 的两个值. 解：(1)∵OB=OC=6， ∴B(6，0)，C(0，-6).∴216+6026b c c ⎧⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得26b c =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为21262y x x =--. ……2分 ∵21262y x x =--=21(2)82x --， ∴点D 的坐标为(2，-8). ……4分 (2)如图，当点F 在x 轴上方时，设点F 的坐标为(x ，21262x x --).过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，易求得OA=2，则AG=x+2，FG=21262x x --.∵∠FAB=∠EDB，∴tan∠FAG=tan∠BDE，即21261222x xx--=+，解得17x=，22x=-(舍去).当x=7时，y=92，∴点F的坐标为(7，92). ……6分当点F在x轴下方时，设同理求得点F的坐标为(5，72-).综上所述，点F的坐标为(7，92)或(5，72-). ……8分(3)∵点P在x轴上，∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.∵PQ=12MN ， ∴MT=2PT.设TP=n ，则MT=2n. ∴M(2+2n ，n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n =+-+-，即2280n n --=.解得1n =，2n =(舍去).∴. ……10分当MN 在x 轴下方时，设TP=n ，得M(2+2n ，-n).∵点M 在抛物线上， ∴21(22)2(22)62n n n -=+-+-，即22+80n n -=.解得114n -+=，214n -=(舍去).∴1-.综上所述，菱形对角线MN 1-. ……12分13. 24．（2017湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax 2+bx+c ，其中2a=b>0>c ，且a+b+c=0. （1）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c =0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点A 在第三象限；（3）直线y= x+m 与轴,x y 轴分别相交于B,C 两点，与抛物线y=ax 2+bx+c 相交于A,D 两点.设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ,使得△ADF 与△OCB 相似.并且12ADF ADE S S ∆∆=，求此时抛物线的表达式.xyO思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解：（1）ax 2+bx+c =0的一个根为1（或者-3）（2）证明：∵ b =2a ，∴对称轴x=2ba-=-1,将b=2a 代入a+b+c=0.得c=-3a . 方法一：∵a=b>0>c ，∴b 2-4ac>0,∴244ac b a-<0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.方法二：∵b =2a ， c=-3a ，∴244ac b a -=221244a b a --=-4a <0, 所以顶点A （-1，244ac b a-）在第三象限.（3）∵b =2a ， c=-3a∴242a a a -± ∴x 1=-3，x 2=1,所以函数表达式为y=ax 2+2ax-3a ，∵直线y= x+m 与x 轴、y 轴分别相交于B,C,两点，则OB=OC=m所以△BOC 是以∠BOC 为直角的等腰三角形，这时直线y=x+m 与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°.又因点F 在对称轴左侧的抛物线上，则∠BAE>45°，这时△BOC 与△ADF 相似，顶点A 只可能对应△BOC 中的直角顶点O ，即△ADF是以A 为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x =-1，设对称轴x =-1与OF 交于点G. ∵直线y=x+m 过顶点A ，所以m=1-4a ，∴直线解析式为y=x+1-4a,解方程组21423y x a y ax ax a =+-⎧⎨=+-⎩，解得1114x y a =-⎧⎨=-⎩，221114x ay a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这里的（-1，4a ）即为顶点A ，点（1a -1，1a -4a ）即为顶点D 的坐标（1a -1，1a -4a ） D 点到对称轴x=-1的距离为1a -1-（-1）=1a，AE =4a -=4a,S △ADE =12×1a×4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角△ADF 的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C 重合且在y 轴上，由1a-1=0，∴a=1，此时抛物线的解析式y=x 2+2x-314. （2017湖南邵阳，26，10分）（本小题满10分）如图（十六）所示，顶点（49-21，）的抛物线y ＝ax 2＋bx＋c 过点M （2，0）. （1）求抛物线的解析式；（2）点A 是抛物线与x 轴的交点（不与点M 重合），点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点（处于x 轴下方），点D 是反比例函数y ＝xk（k >0）图象上一点.若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值.思路分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 y ＝a (x －21)2－49，再把点M （2，0）代入，可求a ＝1，所以抛物线的解析式可求.（2）先分别求出A 、B 两点的坐标，及AB 线段长，再根据反比例函数y ＝xk（k >0），考虑点C 在x 轴下方，故点D 只能在第一、三象限．确定菱形有两种情形：①菱形以AB 为边，如图一。

二次函数专题训练(含答案)

二次函数专题训练（含答案)一、填空题：１.把抛物线221x y -=向左平移２个单位得抛物线 ,接着再向下平移3个单位，得抛物线 .2．函数x x y +-=22图象-的-对称轴是，最大值是 .3.正方形边长为3,如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是．４.二次函数6822-+-=x x y ,通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5．二次函数c ax y +=2（c 不为零),当ｘ取ｘ1，x 2（x 1≠x 2)时,函数值相等,则x １与x 2的关系是．6.抛物线c bx ax y ++=2当ｂ=0时，对称轴是 ,当a ，b 同号时，对称轴在y 轴侧,当a ，b 异号时,对称轴在y 轴侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口，对称轴是 ,顶点坐标是．如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是．8.若a <0,则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第象限;当x >4a-时,函数值随ｘ的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0)当a >0时,图象的开口ａ<0时,图象的开口 ,顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=,开口 ,顶点坐标是，对称轴是． 1１.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1,-2)．12．已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2,则ｋ= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 1５．如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题:1６.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ )Ａ．（０，-1) B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 Ｃ.(－１，5） D ．(3,4） 17．直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是( ） A.０个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个 18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中,正确的有( ）① 当ａ>0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边ｙ随x 的增大而增大，当a <０时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同．④ 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标．A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19．二次函数y=(x+1)(x-3),则图象的对称轴是( ）A.x=1B.x=-2C.x ＝３D.x=－320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代1３-３-１2中A 所示,那么二次函+=2ax ybx -３的大致图象是（）图代１3-2-１221．若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba( ） A.２ B ．21 C.4 D.4122.若函数xa y =的图象经过点(１，-２）,那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性质说得全对的是( )A. 开口向下，对称轴在ｙ轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧,图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ )Ａ.(-１，-1) B.(１,1) C.（1,-1) Ｄ.（-1，１）24.函数2ax y =与xay =(ａ<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）图代13－3-1325．如图代13-3-１4，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与ｘ轴正半轴交于B,Ｃ两点,且ＢC ＝３,Ｓ△ABC =6,则b 的值是（ )Ａ.b ＝5 Ｂ．b=-5 C.b=±５Ｄ．b=４２6．二次函数2ax y =（a <0)，若要使函数值永远小于零,则自变量x 的取值范围是（）A.X 取任何实数Ｂ.ｘ<0 C.x >0 D.x <０或x >０ 27.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 ( ）Ａ．6)4(22+-=x y Ｂ.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y Ｄ.2)3(32+-=x y 2８.二次函数229k ykx x y ++=(k >０）图象的顶点在( ）A.ｙ轴的负半轴上Ｂ．y 轴的正半轴上 C.ｘ轴的负半轴上 D ．ｘ轴的正半轴上２9.四个函数:xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0),2x y -=（x >0），其中图象经过原点的函数有（ ) Ａ.1个Ｂ.2个Ｃ.３个 D ．4个 3０.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2(a ≠0）的值永远小于０的条件是（ ) Ａ.a >0,Δ>0 B.a >0,Δ<0 Ｃ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0 三、解答题31．已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过ｘ轴上两个不同的点M,N ，求a,b 的值．32．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （２，4)，顶点的横坐标为21,它的图象与x 轴交于两点B(x 1,0）,Ｃ(x ２,0），与y 轴交于点D,且132221=+x x ，试问:y 轴上是否存在点P,使得△P ＯB 与△ＤOC 相似（O 为坐标原点）?若存在,请求出过P,B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由．3３.如图代13-3-1５,抛物线与直线y=k(x －4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点,该抛物线的对称轴ｘ＝-21与x 轴相交于点C,且∠A ＢC ＝90°,求:（1）直线A Ｂ的解析式;(2)抛物线的解析式.ﻩ 图代13-3-１5ﻩﻩﻩ ﻩ图代13-3-1634.中图代13-3-１6，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，Ｂ两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D,若⊙D 与y 轴相切．(1)求ａ,c 满足的关系;（2)设∠ACB ＝α，求ｔg α;（3）设抛物线顶点为P,判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.3５.如图代13-3－1７,这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为ｘ轴，横断面的对称轴为y 轴,桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线,顶点C 的高度为８米，ＡD 和Ａ'Ｄ'是两侧高为５．5米的支柱,O Ａ和ＯA'为两个方向的汽车通行区，宽都为1５米,线段CD 和C ＇D'为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶４. 求(1)桥拱ＤGD ＇所在抛物线的解析式及C Ｃ＇的长;(2)BE 和B ＇Ｅ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为４米，相应的AB 和Ａ＇Ｂ＇为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和Ａ＇Ｂ'的宽;（3）按规定,汽车通过该桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米,车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米,它能否从OA （或O Ａ＇)区域安全通过?请说明理由.36.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A (ａ<b)．Ｏ为坐标原点，分别以ＯA,OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧?简要说明理由，并指出两圆的位置关系． 3７.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点,且A 点在x 轴的正半轴上,B 点在x 同的负半轴上,ＯA 的长是ａ，ＯB 的长是ｂ. （1）求m 的取值范围；（2）若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3）设（2)中的抛物线与y 轴交于点Ｃ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存在点P,使△ＰAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在,求出Ｐ点的坐标;若不存在,请说明理由.38.已知：如图代1３-3-18,EB 是⊙Ｏ的直径,且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=E Ｂ.Ａ是E Ｐ上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为Ｄ，过D 作D Ｆ⊥AB 于Ｆ，过B 作AD 的垂线BH ，交ＡD 的延长线于H ，连结ED 和F Ｈ.图代13-3－18① 若AE ＝2,求A Ｄ的长.② 当点Ａ在EP 上移动(点A 不与点Ｅ重合）时,①是否总有FH EDAH AD =试证明你的结论；②设ED=x,BH ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39．已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A,Ｂ(点A 在点B 右边)，与y 轴的交点为C. ① 若△ABC 为Ｒt △,求m 的值；② 在△A ＢC 中，若AC=BC,求∠A ＣB 的正弦值;③ 设△ABC 的面积为S ，求当ｍ为何值时,S 有最小值，并求这个最小值.4０．如图代1３-3-１9，在直角坐标系中，以ＡB 为直径的⊙C 交ｘ轴于A ，交y 轴于B ，满足OA ∶OB ＝4∶３,以ＯＣ为直径作⊙Ｄ,设⊙D 的半径为2.图代13-３－1９① 求⊙Ｃ的圆心坐标.② 过C 作⊙Ｄ的切线EF 交x 轴于Ｅ，交y 轴于F,求直线EF 的解析式.③ 抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0)的对称轴过Ｃ点,顶点在⊙Ｃ上，与y 轴交点为Ｂ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=,二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. ① 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明:无论ｍ取何实数值,二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. ② 在（１）的条件下,若直线m x y +-=过点Ｄ（0,-3）,求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代１3-3－20③ 在（2）的条件下,若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于Ｍ点P ，使P 在△C ＭＡ的外接圆上. ４2.如图代1３-3-20,已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与ｙ轴交于点C,且∠B ＡC ＝α,∠A ＢC=β,ｔg α-t ｇβ=2,∠A ＣB=90°. （1）求点Ｃ的坐标;（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为Ｐ，求四边形ＡBPC 的面积.参考答案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10)，即每件可获利润（2＋x ）元，则每天可销售（1０0-10ｘ) 件,设每天所获利润为y 元，依题意,得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当ｘ=4时（0≤x ≤１0）所获利润最大，即售出价为1４元，每天所赚得最大利润3６0元. ２．∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y , ∴当x=０时，y=４. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与ｙ轴的交点为（0,４)，与x 轴的交点为A （3,0)，⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B ．（1）当AC=ＢＣ时,94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2）当ＡC ＝ＡＢ时,5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ；当32-=m 时,432322++-=x x y .（3）当ＡB=B Ｃ时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y ．可求抛物线解析式为:43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y ．3.（1)∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222 +=++=m m m图代13-3－2１∴不论ｍ取何值，抛物线与ｘ轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x . ∴两交点中必有一个交点是A(２，0）.(２）由（1）得另一个交点B 的坐标是（ｍ2+３,0).12322+=-+=m m d ,∵ m 2＋10>０，∴ｄ＝m 2＋1.（3)①当d=1０时,得m 2=9．∴ A （2，0）,B （12,０）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线ｘ=7,顶点为（7,－２５），∴A Ｂ的中点Ｅ(7,0）. 过点Ｐ作P Ｍ⊥AB 于点Ｍ，连结PE, 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上,∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ＡBP 不存在,ｂ=0,舍去.∴b=-１. 注:求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△AB Ｐ为锐角三角形时,则-2５≤ｂ<－１; △ AB Ｐ为钝角三角形时,则ｂ>-1,且ｂ≠０. 同步题库一、填空题１.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ; ２.81,41=x ；３.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ; 5．互为相反数; ６.y 轴,左，右; 7.下，ｘ=-1,（-1,-3)，x >-１; ８.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--; １0.向下，（h,0），ｘ=h; １1.-1，-2； 1２.x <-１; 13.-17，（2，3); １4.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ; １5.１0．ﻩ二、选择题１6.B 1７．Ｃ 18.A 19.A 20．C 21.Ｄ 22.B 2３．Ｂ２4．D 25．B 26.D 27.Ｃ 28. C ２9.A ３0．D 三、解答题３1．解法一:依题意,设M （x 1，0），N （x ２,0）,且ｘ1≠x ２,则x １,x 2为方程ｘ2+2a ｘ-２b ＋1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x １，x ２又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根, ∴ x 1+x ２=a-3,x 1·ｘ２=1-b ２． ∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时,二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，ｂ=０舍去.当ａ＝1；b=２时,二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=１,ｂ＝2.解法二:∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=,二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x , 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M,N, ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线．∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y ．依题意，令y ＝０,得01222=+-+b x x , 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b ． ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a ＝1，b ＝0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当ａ=１,b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意． ∴ a=1，b=2．32．解:∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （ｘ1,0),C(x ２，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,．又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ， ∴ 132)(2=⋅--acab . ① 又由y 的图象过点Ａ（2，4),顶点横坐标为21，则有 4a+2b ＋c=4, ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得 a=－1，ｂ＝1,c=6.∴ y=-x 2+x ＋6．与ｘ轴交点坐标为(－2，０)，(３,０). 与ｙ轴交点Ｄ坐标为(０,6).设y 轴上存在点P,使得△POB ∽△ＤOC ，则有（1）当Ｂ（-２，0），Ｃ(３,0），D （0,６)时,有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB ． ∴OP=4,即点P 坐标为（0,4）或(0,-4）.当P 点坐标为（0,4)时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y ＝kx+４.有０=-2k-4. 得 k=-2． ∴ y=-2x －4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1,这时P 点坐标为（0，1）或(0，-1).当P 点坐标为(0,1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx ＋1.有 0=-2ｋ+1.得 21=k ． ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（０,-1)时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx-1，有 0=－2ｋ-1,得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2）当Ｂ（３，0）,Ｃ(-2，0)，D （0，６）时,同理可得 y=-3x+9，或 y ＝3x-9,或 131+-=x y ，或 131-=x y .３3．解:(1)在直线y=k （x-4)中, 令y ＝0,得x ＝４. ∴A 点坐标为（4,0）.∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△B ＡＯ, ∴OBOA OC OB =,即ＯB 2=OA ·OC. 又∵ CO ＝1，OA ＝４，∴ OB 2=1×4=４. ∴ OB ＝2(O Ｂ＝－2舍去) ∴B 点坐标为(0,2).将点B （0，2)的坐标代入y=ｋ（ｘ-4）中，得21-=k . ∴直线的解析式为:221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(,函数图象过A （4,0)，B （0， 2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二:设抛物线的解析式为:c bx ax y ++=2，又设点A(4,0)关于x=-１的对称是D.∵ CA=1＋4=5, ∴ CD=5． ∴ OD ＝6. ∴D 点坐标为（-6，0)．将点A （4，０),Ｂ(0,２),D(-6，0)代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a ． ∴抛物线的解析式为:2611212+--=x x y . ３4.解:（１)A ，Ｂ的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根,设为x １，x ２（x 2>x 1)，C 的纵坐标是C ．又∵ｙ轴与⊙O 相切，∴ O Ａ·O Ｂ=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知ac x x =⋅21， ∴acc =2,即ac ＝1． (2)连结ＰD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴,连结AD 、ＢD,图代1３-３-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x ２>x 1, ∴ aa ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. (3）设∠P ＡB ＝β, ∵P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-a a 45,23,又∵a >0， ∴在Rt △P ＡE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β＝ｔｇα. ∴β＝α．∴∠PAE=∠AD Ｅ.∵ ∠ＡDE+∠DAE=90° ∴ＰA 和⊙D 相切.35.解:(1)设D ＧD'所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得Ｇ(０，8），D （15，５．5)．∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD'所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且ＡD=5．5, ∴ AC=５.５×4=２2(米)． ∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ） =７４（米）．答：ｃc ＇的长为７4米．(2）∵4,41==BE BC EB , ∴ BC=１６.∴ AB=AC-BC=２2-１６＝6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是６米.（3）在89012+-=x y 中,当ｘ=４时, 45377816901=+⨯-=y .∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从O Ａ(OA ＇)区域安全通过.36.解:（1)∵⊙Ｏ1与⊙Ｏ2外切于原点O,∴A ，B 两点分别位于原点两旁,即a <0，b >0． ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0,∴m <－2.(２）当ｍ<-２，且m ≠-4时,四边形PO 1Ｏ2Q 是直角梯形. 根据题意,计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=－4时，四边形PO 1O 2Ｑ是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0 ∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2,∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0,b >0.∴⊙O 1与⊙Ｏ2都在ｙ轴右侧,并且两圆内切.37.解:(1)设A,B 两点的坐标分别是（ｘ1,0)、(x ２，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧,∴ x 1x 2<0,即-（m ＋１)<0，解得 m >-１．∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m7)21(484422+-=+-=m m m 当m >－1时，Δ>0,∴ｍ的取值范围是m >-1．（2）∵ａ∶b=３∶１,设a ＝3k,b=k(ｋ>0),则 x 1＝3ｋ，x 2=-ｋ， ∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x (不合题意,舍去）， ∴ m=２∴抛物线的解析式是32++-=x x y .(3）易求抛物线322++-=x x y 与ｘ轴的两个交点坐标是Ａ(３，0),B(-1,0) 与y 轴交点坐标是C(0，3)，顶点坐标是M （1，4）. 设直线B Ｍ的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（０,2),∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+=.111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8,∴1821⨯=⨯⨯y AB ．即 8421=⨯⨯y ．∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1,4)，当ｙ=-４时,-4=－x 2+２ｘ＋３,解得 221±=x . ∴满足条件的Ｐ点存在.P 点坐标是(1,4)，)4,221(),4,221(---+.38.(1)解:∵ＡD 切⊙Ｏ于Ｄ,AE=2，EB=6，∴ A Ｄ2=ＡE ·AB ＝2×（2+６）=16． ∴ ＡD ＝4.图代１3－2-23(2)①无论点Ａ在ＥP 上怎么移动（点Ａ不与点E 重合）,总有FHEDAH AD =. 证法一：连结DB ，交F Ｈ于G, ∵ＡH 是⊙Ｏ的切线,∴ ∠H ＤＢ=∠D ＥB. 又∵ＢＨ⊥A Ｈ，ＢＥ为直径，∴ ∠BDE=９0°有 ∠ＤB Ｅ＝90°-∠D ＥB ＝90°-∠HDB =∠DB Ｈ. 在△DFB 和△ＤHB 中,ＤＦ⊥AB,∠DFB ＝∠DHB ＝9０°,ＤB=ＤB ，∠DBE=∠ＤＢH ， ∴ △D ＦB ∽△DH Ｂ. ∴BH=BF, ∴△BHF 是等腰三角形． ∴B Ｇ⊥F Ｈ,即B Ｄ⊥F Ｈ. ∴E Ｄ∥ＦH,∴FHEDAH AD =．图代１３-3-24 证法二:连结D Ｂ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠ＨD Ｂ＝∠ＤE Ｆ．又∵DF ⊥ＡB,ＢH ⊥ＤH ，∴ ∠E ＤF=∠D ＢＨ．以BD 为直径作一个圆,则此圆必过F,H 两点, ∴∠DBH=∠D ＦＨ，∴∠EDF ＝∠ＤF Ｈ.∴ E Ｄ∥FH. ∴FHEDAH AD =. ②∵ED ＝x,ＢH ＝，BH=y,ＢＥ＝6,B Ｆ=B Ｈ,∴EF=6y ．又∵ＤF 是Rt △ＢDE 斜边上的高，∴ △D ＦE ∽△B ＤE ，∴EBEDED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=,即6612+-=x y .∵点A 不与点E 重合,∴ED=x >0．A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD,则OD ⊥PH. ∴ ＯD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ,4,=⋅==POPBOD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF , 由ED 2＝E Ｆ·ＥB 得12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<ｘ≤32.(或由BH=4=ｙ,代入6612+-=x y 中,得32=x ) 故所求函数关系式为6612+-=x y （０<x ≤32)．3９.解:∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y ， ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （１）∵△ＡＢC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ,化得0)2(2=-m .∴m=2.(２）∵A Ｃ=ＢC ，ＣO ⊥ＡB ，∴AO=ＢO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC .过Ａ作AD ⊥B Ｃ，垂足为D ，∴ AB ·OC=ＢC ·AD ． ∴ 58=AD ．∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代１3-3－25 （3)CO AB S ABC ⋅=∆21.1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ,即2=m 时,S 有最小值,最小值为45． 40.解:(1）∵OA ⊥OB,OA ∶ＯB=4∶3,⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=４，A Ｂ＝8. A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛524,0.∴⊙Ｃ的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. (2)由EF 是⊙D 切线，∴O Ｃ⊥EF.∵ CO ＝C Ａ＝C Ｂ， ∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AO Ｂ∽Rt △O ＣＥ∽Rt △FCO.∴OBOCAB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为(５，０),F 点坐标为,∴切线EF 解析式为32034+-=x y ． (3)①当抛物线开口向下时,由题意,得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516,可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a bac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4512,516,得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a bac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述,抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41．（１)证明:由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21, ∴ m y m x m x 31,32,23===．∴交点)31,32(m m M ．此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y,有0329413422=-+⎪⎭⎫⎝⎛--m m x m x .⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422.013891613891622>=+-+-=mm m m ∴无论m 为何实数值,二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点．图代1３-3-2６(２）解：∵直线y=-x ＋m 过点D （0,－3)，∴ -３=0＋ｍ, ∴ ｍ=-3. ∴M(-2,-1）. ∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代1３-3－26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Ｒt △,且∠CMA=Rt ∠， ∴MC 为△CM Ａ外接圆直径. ∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫⎝⎛n n P 21,，由ＭC 为△CM Ａ外接圆的直径,P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠．过Ｐ分别作PN ⊥y,轴于Ｎ,ＰＱ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥ｙ轴于S,MS 的延长线与ＰＲ的延长线交于点Q ．由勾股定理，有222QP MQ MP +=,即222121)2(⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n MP .22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫⎝⎛-=+=.202=CM ．而 222CM CP MP =+,∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ,即 062252=-+n n ,∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n .而ｎ２=－2即是Ｍ点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ，此时 5321=n .∴P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,56.4２.解：(1）根据题意,设点Ａ（ｘ1，0）、点(x 2，0）,且C(0,ｂ)，x 1<0，ｘ2>0,b >0,∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根,∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中,OC ⊥ＡB,∴OC 2=OA ·ＯB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ ｂ２=－ｘ1·x 2=b.∵ｂ>0,∴b=１,∴C(0，1)．(2)在Ｒt △ＡOC 的Rt △BO Ｃ中,211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OCOA OCtg tg βα.∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-３-２7(３）∵122++-=x x y ，∴顶点Ｐ的坐标为（1,2），当0122=++-x x 时，21±=x . ∴)0,21(),0,21(+-B A ．延长ＰC 交ｘ轴于点D,过Ｃ，Ｐ的直线为y=x ＋1,∴点D 坐标为（-１，0）．∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。

二次函数专题训练题

二次函数专题训练题二次函数专题训练(一)1、已知抛物线 $y=ax^2+6ax+c$ 与x轴的一个交点为A （-2,0）①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。

②点C是抛物线与y轴的交点，D是抛物线上一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32，求此抛物线的解析式。

③ E是第二象限内到x轴、y轴距离之比为3：1的点。

若E在②中的抛物线上，且a＞0,E和A在对称轴同侧。

问在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△APE周长最小。

若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。

解析：①因为点A在x轴的负半轴上，所以点B在x轴的正半轴上，设点B的坐标为（t,0），则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $t=-\frac{c}{a}-4$所以点B的坐标为 $(-\frac{c}{a}-4,0)$②设抛物线的解析式为$y=ax^2+6ax+c$，则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $a=2$，$c=-8$，所以抛物线的解析式为$y=2x^2+12x-8$③设抛物线的对称轴为直线 $x=k$，则点A的坐标为 $(-k,0)$，点E的坐标为 $(m,3m)$，其中 $m$ 为任意实数。

由题意可得：begin{cases}k=-\frac{b}{2a}=-3 \\a(m+2)^2+6a(m+2)-8=3m \\end{cases}解得 $m=-\frac{1}{2}$，所以点E的坐标为 $(-1,-\frac{3}{2})$。

由对称性可知，点P的坐标为 $(1,-\frac{3}{2})$，所以在抛物线的对称轴上存在点P，使△APE 周长最小。

2、已知二次函数 $y=x^2－2(m－1)x－1－m$ 的图像与x 轴交于两点A（$x_1$,0）和B（$x_2$,0），$x_1＜＜x_2$，与y轴交于点C，且满足 $\frac{AC}{OC}=\frac{1}{12}$。

二次函数应用题分类超全习题

二次函数应用题专项训练【题型一：抛物问题】1、飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行的时间t （单位：秒）之间的函数关系式是260 1.5s t t =-．飞机着陆后滑行秒才能停下来．2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（） A 、4.6m B 、4.5m C 、4m D 、3.5m3、某种爆竹点燃后，其上升的高度h （米）和时间t （秒）符合关系式201(02)2h t gt t υ=-<≤，其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以020υ=米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后在1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由．4、如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距O 点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？【题型二：拱桥问题】1、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为211040y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E 、F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是（精确到1米）．2已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为yOAE FB原点建立坐标系．①求此桥拱线所在抛物线的解析式．②桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处122m 的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下?说明理由3、如图所示：一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央，距地面6m 处。

(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)

二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.x(第13题)3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a -=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.164）5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．6、某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。

2017届中考数学专项训练二次函数及其图象含解析

二次函数及其图象一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大2．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=33．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜34．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定5．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s （cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．二、填空题6．二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是．7．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．8．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．9．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．10．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有．三、解答题（共40分）11．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．12．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．13．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？14．）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．二次函数及其图象参考答案与试题解析一、选择题1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、抛物线的开口方向向下，则a＜0．故A选项错误；B、根据图示知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是﹣1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．故B选项正确；C、根据图示知，该抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．故C选项错误；D、根据图示知，当x≥1时，y随x的增大而减小，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．2．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．3．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（）A．x0＞﹣5 B．x0＞﹣1 C．﹣5＜x0＜﹣1 D．﹣2＜x0＜3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】先判断出抛物线开口方向上，进而求出对称轴即可求解．【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0；∴25a﹣5b+c＞9a+3b+c，∴＜1，∴﹣＞﹣1，∴x0＞﹣1∴x0的取值范围是x0＞﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最小确定出抛物线开口方向上是解题的关键．4．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定【考点】二次函数的最值．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据函数有最小值判断出a的符号，进而由最小值求出b，比较a、b可得出结论．【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，∴抛物线开口方向向上，即a＞0；又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，∴a＞b．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．5．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s （cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再根据正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE=S△OCF，这样S四边形OECF=S△OBC=16，于是S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：根据题意BE=CF=t，CE=8﹣t，∵四边形ABCD为正方形，∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE=S△OCF，∴S四边形OECF=S△OBC=×82=16，∴S=S四边形OECF﹣S△CEF=16﹣（8﹣t）•t=t2﹣4t+16=（t﹣4）2+8（0≤t≤8），∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题6．二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．7．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1＞y2（填“＞”、“＜”或“=”）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数的图象开口向上，由二次函数y=（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键．8．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据∠AOB=45°求出直线OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k 值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B 时的k 的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k 的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA 的解析式为y=x ，联立消掉y 得，x 2﹣2x+2k=0，△=b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2k=0，即k=时，抛物线与OA 有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B 的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A 的坐标为（，）， ∴交点在线段AO 上；当抛物线经过点B （2，0）时，×4+k=0，解得k=﹣2，∴要使抛物线y=x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是﹣2＜k ＜．故答案为：﹣2＜k ＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．9．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先，由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣b2+c+9，所以把b2=4c代入即可求得n的值．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线x=﹣对称，∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣b2+c+9∵b2=4c，∴n=﹣×4c+c+9=9．故答案是：9．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．已知二次函数的y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确结论的序号有①③④．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．故①③④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．三、解答题（共40分）11．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．【考点】二次函数的最值．【专题】分类讨论．【分析】当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．【解答】解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为8．【点评】本题考查了二次函数的最值．需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方．12．已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于D点．①当△ABC的面积为1时，求a的值．②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把（x﹣m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；（2）①令y=0，利用因式分解法解方程求出点A、B的坐标，然后求出AB，再把抛物线转化为顶点式形式求出顶点坐标，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；②令x=0求出点D的坐标，然后利用三角形的面积列式计算即可得解．【解答】（1）证明：令y=0，a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=0，△=（﹣a）2﹣4a×0=a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）解：①y=0，则a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m）（x﹣m﹣1）=0，解得x1=m，x2=m+1，∴AB=（m+1）﹣m=1，y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）=a（x﹣m﹣）2﹣，△ABC的面积=×1×|﹣|=1，解得a=±8；②x=0时，y=a（0﹣m）2﹣a（0﹣m）=am2+am，所以，点D的坐标为（0，am2+am），△ABD的面积=×1×|am2+am|，∵△ABC的面积与△ABD的面积相等，∴×1×|am2+am|=×1×|﹣|，整理得，m2+m﹣=0或m2+m+=0，解得m=或m=﹣．【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了根的判别式，三角形的面积，把（x﹣m）看作一个整体求解更加简便．13．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【解答】解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600元，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）由题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000元．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．（3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，4000＞w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500元．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小；（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，则m=﹣×=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）∴E（0，1）；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E（，）或（，）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）=﹣x2+x+2又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ•AG=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+∴面积的最大值为．方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣（x﹣）2+∴△APC的面积的最大值为．【点评】本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．。

二次函数在实际生活中应用 2017

三、解答题1. （2017四川成都，26.8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的,,,,A B C D E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x （单位：千米），乘坐地铁的时间1y （单位：分钟）是关于x 的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx （千米）8 9 10 11.5 13 1y （分钟）1820222528（1）求1y 关于x 的函数表达式；（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x 的影响，其关系可以用22111782y x x =-+来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间. 解：（1）设乘坐地铁的时间1y 关于x 的一次函数是1y kx b =+，把x ＝8，118y =；x ＝10，122y =代入，得1882210k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩，∴1y 关于x 的函数表达式是122y x =+；（2）设骑单车的时间为y ，12y y y =+，即，22211179221178980(9)2222y x x x x x x =++-+=-+=-+， ∴当9x =时，79=2y 最小（分钟）.∴李华选择从B 地铁口出站，骑单车回家的最短时间为792分钟.2. （2017浙江金华，21，8分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O 点上正方1m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间满足函数表达式y =a (x －4)2＋h ．已知点O 与球网的水平距离为5m ，球网的高度为1.55m ．(1)当a ＝－241时，①求h 的值．②通过计算判断此球能否过网． (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O 的水平距离为7m ，离地面的高度为512m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．思路分析：(1)①把(0，1)，a ＝－241代入y ＝a (x －4)2＋h 即可求得h 的值；②把x ＝5代入y ＝a (x －4)2＋h2＋∴3.可建立每天的总利润为W （元）与每千克售价x （元）之间的函数表达式；（3）用配方法把（2）中的二次函数化为顶点形式，根据二次函数的性质结合自变量的取值范围可得出函数的变化情况和最值．解：（1）根据题意，设y kx b =+，其中k ，b 为待定的常数，由表中的数据得：501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩．所以2200(4080).y x x =-+≤≤（2）根据题意得：2(40)(2200)(40)2280800(4080)W y x x x x x x =⋅-=-+-=-+-≤≤（3）由（2）可知：22(70)1800,W x =--+所以当售价x 在满足4070x ≤≤的范围内，利润W 随着x 的增大而增大；当售价在满足7080x <≤的范围内，利润W 随着x 的增大而减小。