2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数和对数函数 1 正整数指数函数学案 北师大版必修1

§1 正整数指数函数正整数指数函数的概念阅读教材P 61～P 63整节有关内容，完成下列问题．(1)一般地，函数y ＝a x(a >0，a≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.(2)正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．(3)当0<a <1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是减函数，当a >1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是增函数． 思考：(1)y ＝3×2x，x ∈N ＋是正整数指数函数吗？(2)比较12，⎝ ⎛⎭⎪⎫122，⎝ ⎛⎭⎪⎫123的大小，你有什么发现？ [提示] (1)不是.2x 的系数是3，不是1.(2)12>⎝ ⎛⎭⎪⎫122>⎝ ⎛⎭⎪⎫123，发现：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋是减函数．1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34 x(x ∈N ＋)，则f (2)＝( )A.716 B ．12 C.2716D ．916D [f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.]2．给出下列函数：①y ＝πx；②y ＝4－x；③y ＝(－2)x ；④y ＝x 2，当x ∈N ＋时，是正整数指数函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [只有③④不是正整数指数函数，故选B.] 3．若2x＝64，则x ＝________. 6 [由2x ＝64，得2x ＝26，∴x ＝6.]4．函数y ＝2x，x ∈{1,2,3,4}的值域是________．{2,4,8,16} [21＝2,22＝4,23＝8,24＝16，故其值域为{2,4,8,16}．]【例1】 A ．y ＝10x ＋1，(x ∈N ＋) B ．y ＝(－2)x，(x ∈N ＋)C ．y ＝5·2x，(x ∈N ＋)D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，(x ∈N ＋)(2)函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是正整数指数函数，则a ＝________. (1)D (2)2 [(1)A 中y ＝10x ＋1的指数为x ＋1，而不是x ，故不是正整数指数函数；B 中y ＝(－2)x的底数－2<0，故不是正整数指数函数； C 中y ＝5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D 中y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x符合正整数指数函数的定义． (2)由正整数指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或1，a >0，a ≠1，∴a ＝2.]1．正整数指数函数解析式的基本特征：a x前面的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2．要注意正整数指数函数y ＝ax(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x α的区别．1．正整数指数函数的图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，169，则此函数的解析式为y ＝________，定义域为________．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43xx ∈N ＋ [把⎝⎛⎭⎪⎫2，169代入y ＝a x (a >0，且a ≠1)，得169＝a 2，所以a ＝43，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x，x ∈N ＋.]【例2】 (1)画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y ＝3x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．[思路探究] 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．[解] (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ∈N ＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ∈N ＋)是单调递减的．(2)函数y ＝3x(x∈N ＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y ＝3x(x ∈N ＋)是单调递增的．① ②1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2．当0<a <1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是减函数；当a >1时，y ＝a x(x ∈N ＋)是增函数．2．(1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的图像是( ) A ．一条上升的曲线B ．一条下降的曲线C ．一系列上升的点D ．一系列下降的点(2)函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1，x ∈N ＋)在[1,3]上是增加的，且最大值与最小值的差为a ，则a ＝________.(1)D (2) 2 [(1)由于x ∈N ＋且底数为12，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的图像是一系列下降的点．(2)因为f (x )在[1,3]上是增加的， 所以a >1，所以f (x )min ＝f (1)＝a ，f (x )max ＝f (3)＝a 3.所以a 3－a ＝a ，即a (a 2－2)＝0.又因为a >0， 且a ≠1，所以a ＝ 2.][1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？提示：2．请你写出探究1中得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的函数关系式． 提示：细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式为y ＝2n，n ∈N ＋.【例3】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x (万人)与年份t (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数．[解] (1)1年后该城市的人口总数为x ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万人)，2年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2(万人)，那么t年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)t(万人)，t∈N＋.(2)10年后该城市的人口总数为x＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210(万人)．1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．3．日本福岛核电站爆炸中释放的碘­131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式．[解]设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.经过1个周期，剩留量y＝1×50%＝0.51；经过2个周期，剩留量y＝(1×50%)×50%＝0.52；…经过x个周期，剩留量y＝0.5x(x∈N＋)．1．正整数指数函数的特征(1)a x的系数为1；(2)底数a>0且a≠1；(3)指数为自变量x；(4)x∈N＋.2．实际生活中与指数函数有关的函数模型(1)指数增长模型：在y＝N(1＋p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间．(2)复利计算公式：y＝a(1＋r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算.1．思考辨析(1)若y＝a x为正整数指数函数，则a为大于零且不等于1的常数，x∈N＋.( )(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点．( )(3)正整数指数函数的图像与直线x ＝T (T 为常数且T >0)最多只有一个交点．( ) (4)指数型函数y ＝ka x(k ∈R ，a >0，且a ≠1)，当k ＝1且x ∈N ＋时即为正整数指数函数．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为________．y ＝3x ，x ∈N ＋ [设y ＝a x ，x ∈N ＋，则a 2＝9，又a >0且a ≠1，则a ＝3.所以，y ＝3x，x ∈N ＋.]3．若A ＝{y |y ＝2x，x ∈N ＋}，B ＝{x |x ∈R ，且x ≤100}，则A ∩B ＝________. {2,4,8,16,32,64} [由2x≤100，得x ≤6，又x ∈N ＋，则x ＝1,2,3,4,5,6， 所以，A ∩B ＝{2,4,8,16,32,64}．]4．画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的图像，并说明函数的单调性． [解] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋的图像如图所示．由图像可知，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈N ＋是单调递减的．。