高中数学指数函数及其性质(一)
指数函数及其性质,高中数学
指数函数专题指数函数及其性质知 识 梳 理要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：① 如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.② 如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了．（1）当底数大小不确定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．辨 析 感 悟 对指数函数的理解(1)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是R 上的减函数．(×)(3)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√)【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+， ∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.【变式1】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．（2014年河南郑州月考）已知函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ．【思路点拨】由题意可得2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，由此解得a 的范围．【答案】[2，3）【解析】由于函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，可得 2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，解得2≤a ＜3，故答案为[2，3）．例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
(1).指数函数及其性质
指数函数及其性质一、学习目标1．了解指数函数的背景，以及与实际生活的联系。
2．理解指数函数概念。
3．能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质。
. 二、新课导学探究一：指数函数的概念问题1：细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个（即 ），第2次由2个分裂成4个（即 ），第3次由4个分裂成8个（即 ），如此下去，如果第x 次分裂得到 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是 。
问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式是观察这两个函数，他们有什么共同的特点？ （一）指数函数的定义一般地，函数 叫做指数函数，x 是自变量，函数的定义域为 。
思考：1、指数函数解析式的结构特征： （1）xa 前面的系数为 （2） a 的取值范围 （3）指数只含（二）巩固练习1、下列函数是指数函数的序号为①xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=51 ②25x y =⨯ ③2x y = ④23-=x y ⑤xy 4-=⑥xy )14.3(-=π ⑦12-=x y2、已知函数xa a a y ⋅+-=)33(2是指数函数，则=a指数函数及其性质的运用1．指数函数xa y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下（1）5.27.1和37.1 （2）1.0-8.0和2.0-8.0 （3）3.07.1和1.39.03.已知下列不等式，比较m,n 的大小（1）n22m< （2） n2.02.0m<4.求下列函数的定义域及值域（1）23y -=x （2）x 1)21(y = （3）1-31y x =5.函数)1a 1()(x≠>=且a a x f 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值。
6.求函数23·29y -+=xx 的值域。
8.判断下列函数的单调性（1）x2y = （2）x-2y = （3）x y -=1)21(。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
课件人教A版高中数学必修一《指数函数及其性质》实用PPT课件_优秀版
②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域.
2.求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)再转
化为二次函数求值域.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 4 (1)函数 f(x)＝ 1－2x＋ x1＋3的定义域为( A )
A.(－3,0]
B.(－3,1]
C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]
(2)对称变换：函数y＝a－x的图象与函数y＝ax的图象关于y轴对称；
函数y＝－a－x的图象与函数y＝ax的图象关于原点对称；
当x＜0时，_________
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)函数y＝|2x－2|的图象是( B )
解析 y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的， 故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分 对折到x轴的上方得到的.
过点_(_0_，__1_)_，即x＝_0_时，y＝_1_ 若下向列下 各平函移数φ中(φ，>是0)个指单数位函，数则的得是到( y＝)ax－φ的图象. 性质 跟一踪般训 地练，3函数(1y)＝函a数x y＝|2x－2|的图叫象做是指(数函数) ，其中x是自变量，函数的定义域是R.
当x＞0时，y＞1； 纠(3)错ax心的得系数凡是换1. 元时应立刻写出新元范围，这样才能避免失误.
解析 ∵x2－1≥－1，
解 ∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
其中，指数函数第的个二数章是( 2.1) .2 指数函数及其性质
(3)ax的系数是1.
例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
高中数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1， 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点（2，9）， 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少？
设这f种(x)求=a解x（析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中，观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
4
3
y 2x
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞，+∞) （左右无限延伸）
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数，则 k
，b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
（3,4） 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒：
(1) 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如 y 3x 1
高中数学《指数函数》ppt课件
01
02
03
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，同底数幂相 乘，底数不变，指数相加 。
除法法则
$a^m div a^n = a^{mn}$，同底数幂相除，底 数不变，指数相减。
幂的乘方法则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
不同底数指数运算法则
常见指数函数类型及其特点
自然指数函数
幂指数函数
对数指数函数
复合指数函数
底数为e（约等于2.71828） 的指数函数，记为y=e^x。 其图像上升速度最快，常用 于描述自然增长或衰减现象
。
形如y=x^n（n为实数）的函 数，当n>0时图像上升，当 n<0时图像下降。特别地，当 n=1时，幂指数函数退化为线
高中数学《指数函数》ppt 课件
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 指数方程和不等式求解技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01 指数函数基本概 念与性质
指数函数定义及图像特点
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
在生物学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述生物种群的增长和衰 减过程；
在物理学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述放射性衰变等物理现 象。
05 指数方程和不等 式求解技巧
一元一次、二次指数方程求解方法
01
一元一次指数方程：形如 $a^x = b$ （$a > 0, a neq 1$）的方程。求解方法
利用对数性质将指数方程转化为代数 方程进行求解。
人教高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(课件)
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
高中数学中的指数函数定义与性质总结
高中数学中的指数函数定义与性质总结指数函数是高中数学中的一个基础知识点，其定义与性质是学习指数函数的重要基础。
本文将对指数函数的定义、性质进行总结，以便帮助读者更好地理解和掌握该知识点。
一、指数函数的定义指数函数是以常数e为底数，x为自变量的一个函数，通常用符号$y=e^{x}$表示。
其中，e是自然对数的底数，表达式e≈2.71828，是一个无理数。
指数函数y=e^x的定义域为实数集合，值域为正实数集合，其函数图像为一条从左上向右上弯曲的曲线。
当x=0时，指数函数的值为1，当x>0时，y=e^x是递增的；当x<0时，y=e^x是递减的。
二、指数函数的性质1.指数函数的导数、微分指数函数的导数、微分公式分别为：$(e^x)'=e^x$$dy/dx=e^x$这意味着指数函数在任意一点上的斜率都等于该点上的函数值，这一性质使指数函数在数学和自然科学中具有广泛的应用。
2.指数函数的对数函数指数函数和对数函数是互逆的。
如果y=e^x，则x=log_{e}y。
其中，log_{e}y是以e为底数的对数函数。
3.指数函数的幂函数与幂指函数幂函数是指数函数的特殊形式，表示为y=a^x，其中a是一个正实数。
幂指函数是以指数函数为底数的幂函数，表示为y=(e^x)^a，其中a是一个实数。
4.指数函数的图像指数函数的图像是一条从左上向右上弯曲的曲线。
当x=0时，函数图像的纵坐标为1；当x>0时，函数图像在x轴的右侧逐渐上升；当x<0时，函数图像在x轴的左侧逐渐下降。
5.指数函数的性质指数函数具有以下基本性质：（1）y=e^x是递增函数。
（2）指数函数的值域是正实数集合。
（3）当x=0时，y=e^x的值为1。
（4）指数函数曲线经过点(0,1)，函数图像在y轴的截距为1。
（5）对于任意正实数a，有a^x=e^{xlna}，其中a是幂指函数的底数，lna为以e为底数的对数。
三、总结指数函数是以常数e为底数，x为自变量的一个函数。
2021_2022学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数
指数函数的图象
(1)函数 y＝ax－1a(a＞0，且 a≠1)的图象可能是(
)
(2)函数 f(x)＝1＋ax－2(a>0，且 a≠1)恒过定点________．
【解析】 (1)A，B 选项中，a>1，于是 0<1－1a<1，所以图象 与 y 轴的交点的纵坐标应在(0，1)之间，显然 A，B 的图象均不 正确；C，D 选项中，0<a<1，于是 1－1a<0，所以 D 项符合． (2)令 x－2＝0，得 x＝2，此时 f(2)＝1＋1＝2，所以函数 f(x)的 图象恒过定点(2，2)．也可以看作由 y＝ax 的图象先向上平移 1 个单位，再向右平移 2 个单位得到，故定点(0，1)移动至点(2， 2)． 【答案】 (1)D (2)(2，2)
(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这 一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要 有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的方法 ①依据指数函数形式列方程：令底数大于 0 且不等于 1，系数 等于 1 列出不等式与方程； ②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．
求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则 它们的图象是( )
解析：选 C.由 0<m<n<1 可知①，②应为两条递减的曲线，故 只可能是 C 或 D，进而再判断①，②与 n 和 m 的对应关系，此 时判断的方法很多，不妨选特殊点，令 x＝1，①，②对应的函 数值分别为 m 和 n，由 m<n 可知应选 C.
高中数学指数函数的性质及相关题目解析
高中数学指数函数的性质及相关题目解析一、指数函数的定义与性质指数函数是高中数学中重要的一类函数，它的定义形式为$f(x)=a^x$，其中$a$为常数且$a>0$且$a\neq 1$。
指数函数具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
2. 增减性：当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。
3. 对称性：指数函数关于$y$轴对称。
4. 连续性：指数函数在其定义域上连续。
5. 无界性：当$a>1$时，指数函数在$x\to-\infty$时趋于0；当$0<a<1$时，指数函数在$x\to+\infty$时趋于0。
二、指数函数的常见题型及解析1. 指数函数的图像与性质题目：已知函数$f(x)=2^x$，求函数$f(x)$的图像及其性质。
解析：我们可以通过计算$f(x)$在不同$x$值上的函数值，绘制出函数$f(x)$的图像。
例如，当$x=-2$时，$f(x)=2^{-2}=\frac{1}{4}$；当$x=-1$时，$f(x)=2^{-1}=\frac{1}{2}$；当$x=0$时，$f(x)=2^0=1$；当$x=1$时，$f(x)=2^1=2$；当$x=2$时，$f(x)=2^2=4$。
根据这些函数值，我们可以绘制出函数$f(x)$的图像。
同时，根据指数函数的性质，我们可以得出以下结论：函数$f(x)=2^x$是递增函数，对称于$y$轴，定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
此外，由于$a>1$，所以函数$f(x)$在$x\to-\infty$时趋于0。
2. 指数函数的性质应用题题目：已知指数函数$f(x)=2^x$，若$f(a)=8$，求实数$a$的值。
解析：根据题目中已知条件$f(a)=8$，我们可以得到方程$2^a=8$。
由指数函数的性质可知，$2^3=8$，因此$a=3$。
高中数学《指数函数-指数函数及其性质》说课稿1 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质〔1〕从容说课指数函数是在学生系统的学习了函数概念、基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究.指数函数对学生来说是完全陌生的一类函数，对于这样的函数应该怎样进行较为系统的研究是学生面临的重要问题.所以，从指数函数的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到对其他函数的研究中去.本课主要学习指数函数的概念、图象，并根据图象归纳出指数函数的性质.指数函数是在把指数范围扩充到实数的基础上引入的，因此在教学指数函数之前，可以先扼要地复习一下指数范围的扩充过程，以便让学生理解指数函数的定义域.在指数函数的概念讲解过程中，既要说清楚指数函数的定义域是什么，又要向学生交待为什么要规定底数a 是一个大于0且不等于1的常量.函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象便于学生记忆函数的性质和变化规律.在用描点法画指数函数的图象时，首先要通过计算列出对应值表.因此，教学中可以指导学生借助计算机在同一坐标系内画出y =2x ，y =〔21〕x这两个具有典型意义的指数函数的图象，并引导学生借助于具体函数图象来分析它们的特征，得出指数函数的性质.引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a ＞１与０＜a ＜１两种情形.本节课的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的.由实例引入定义，再根据定义并利用描点法画出函数图象，通过图象得到函数的性质.学生在学习函数时，往往感到比较困难、抽象，不易理解和掌握，要让学生掌握学习函数的一般规律，再继续学习新的函数，学生就能顺理成章，而不会产生无所适从的感觉.本节的容量较大，为了提高效率，可采用现代化教学手段，利用投影仪或电脑.在引导学生观察分析了三种典型函数的图象性质之后，将得到的结论直接投影出来，课上的引例、例题、练习题、作业题也都可投影出来，但要注意一定要表达过程教学.比如画函数图象，不要一下就把图象投影出来，这样不利于学生掌握图象的画法，既使用了投影仪或电脑，也要将建立坐标系〔要强调三要素〕、描点、用光滑曲线将这些点连结起来的整个过程展现出来.又如函数性质的教学，一定先让学生观察图象，分析特点，从而提高学生观察归纳的能力和看图用图的意识，例题的解答也要让学生去分析，发现解法.这样有利于学生尽快掌握函数的性质，掌握比较两个数大小的方法，让学生在观察的过程中，发现的过程中，解决问题的过程中，建立起学好函数、学好数学的信心.三维目标一、知识与技能1.掌握指数函数的概念、图象和性质.2.能借助计算机或计算器画指数函数的图象.3.能由指数函数图象探索并理解指数函数的性质.二、过程与方法1.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程，数形结合的方法等.2.通过探讨指数函数的底数a ＞0，且a ≠1的理由，明确数学概念的严谨性和科学性，做一个具备严谨科学态度的人.三、情感态度与价值观1.通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的兴趣，体会指数函数是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，逐步培养学生的应用意识.2.在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段.教学重点指数函数的概念和性质. 教学难点用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、以生活实例，引入新课 〔多媒体显示如下材料〕材料1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞分裂的个数y 与x 的函数关系是什么？〔生思考，师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中与以下结论有关的信息，并简单板书〕结论：材料1中y 和x 的关系为y =2x .材料2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期〞.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?〔生思考〕生：P =〔21〕5730t.师：你能发现关系式y =2x ，P =〔21〕5730t有什么相同的地方吗？〔生讨论，师及时总结得到如下结论〕我们发现：在关系式y =2x和P =〔21〕5730t中，每给一个自变量都有唯一的一个函数值和它对应，因此关系式y =2x 和P =〔21〕5730t都是函数关系式，且函数y =2x 和函数P =〔21〕5730t在形式上是相同的，解析式的右边都是指数式，且自变量都在指数位置上.师：你能从以上两个解析式中抽象出一个更具有一般性的函数模型吗？ 〔生交流，师总结得出如下结论〕生：用字母a 来代替2与〔21〕57301.结论：函数y =2x 和函数P =〔21〕5730t都是函数y =a x 的具体形式.函数y =a x 是一类重要的函数模型，并且有广泛的用途，它可以解决好多生活中的实际问题，这就是我们下面所要研究的一类重要函数模型——指数函数.〔引入新课，书写课题〕 二、讲解新课〔一〕指数函数的概念〔师结合引入，给出指数函数的定义〕一般地，函数y =a x 〔a ＞0，a ≠1〕叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .合作探究：〔1〕定义域为什么是实数集？ 〔生思考，师适时点拨，给出如下解释〕知识拓展：在a ＞0的前提下，x 可以取任意的实数，所以函数的定义域是R . 〔2〕在函数解析式y =a x 中为什么要规定a ＞0，a ≠1？〔生思考，师适时点拨，给出如下解释，并明确指数函数的定义域是实数R 〕 知识拓展：这是因为〔ⅰ〕a =0时，当x ＞0，a x 恒等于0；当x ≤0，a x 无意义.〔ⅱ〕a ＜0时，例如a =－41，x =－41，那么a x=〔－41〕41无意义.〔ⅲ〕a =1时，a x 恒等于1，无研究价值.所以规定a ＞0，且a ≠1.〔3〕判断以下函数是否是指数函数：①y =2·3x ；②y =3x －1；③y =x 3；④y =－3x ；⑤y =〔－4〕x ；⑥y =πx ；⑦y =42x ；⑧y =x x ；⑨y =〔2a －1〕x 〔a ＞21，且a ≠1〕. 生：只有⑥⑨为指数函数.方法引导：指数函数的形式就是y =a x ，a x 的系数是1，其他的位置不能有其他的系数，但要注意化简以后的形式.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y =a x +k 〔a ＞0，且a ≠1，k ∈Z 〕；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是指数函数，例如y =a －x 〔a ＞0，且a ≠1〕，这是因为它的解析式可以等价化归为y =a －x =〔a －1〕x ，其中a －1＞0，且a －1≠1.如y =23x 是指数函数，因为可以化简为y =8x .要注意幂底数的范围和自变量x 所在的部位，即指数函数的自变量在指数位置上.〔二〕指数函数的图象和性质师：指数函数y =a x ，其中底数a 是常数，指数x 是自变量，幂y 是函数.底数a 有无穷多个取值，不可能逐一研究，研究方法是什么呢？〔生思考〕师：要抓住典型的指数函数，分析典型，进而推广到一般的指数函数中去.那么选谁作典型呢？生：函数y =2x 的图象.师：作图的基本方法是什么？ 生：列表、描点、连线. 借助多媒体手段画出图象.师：研究函数要考虑哪些性质?生：定义域、值域、单调性、奇偶性等.师：通过图象和解析式分析函数y =2x 的性质应该如何呢?生：图象左右延伸，说明定义域为R ；图象都分布在x 轴的上方，说明值域为R +；图象上升，说明是增函数；不关于y 轴对称也不关于原点对称，说明它既不是奇函数也不是偶函数.师：图象在数值上有些什么特点?生：通过图象不难发现y 值分布的特点：当x ＜0时，0＜y ＜1；当x ＞0时，y ＞1；当x =0时，y =1.合作探究：是否所有的指数函数的图象均与y =2x 的图象类似？ 画出函数y =8x ，y =3.5x ，y =1.7x ，y =0.8x 的图象，你有什么发现呢?〔生思考，师适时点拨，给出如下结论〕结论：y =0.8x 的图象与其余三个图象差别很大，其余三个图象与y =2x 的图象有点类似，说明还有一类指数函数的图象与y =2x 有重大差异.师：类似地，从中选择一个具体函数进行研究，可选什么函数?生：我们选择函数y =〔21〕x的图象作典型. 作出函数y =〔21〕x的图象.合作探究：函数y =2x 的图象和函数y =〔21〕x的图象的异同点. 〔生思考，师适时点拨，给出如下结论〕 一般地，指数函数y =a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a ＞10＜a ＜1图象性质 〔1〕定义域为〔－∞，+∞〕；值域为〔0，+∞〕 〔2〕过点〔0，1〕，即x =0时，y =a 0=1〔3〕假设x ＞0，那么a x ＞1； 假设x ＜0，那么0＜a x ＜1 〔3〕假设x ＞0，那么0＜a x ＜1； 假设x ＜0，那么a x ＞1〔4〕在R 上是增函数〔4〕在R 上是减函数合作探究：函数y =2x 的图象和函数y =〔21〕x的图象有什么关系？〔生观察并讨论，给出如下结论〕 结论：函数y =2x 的图象和函数y =〔21〕x的图象关于y 轴对称. 师：理由是什么呢？能否给予证明?证明：因为函数y =〔21〕x =2－x，点〔x ，y 〕与〔－x ，y 〕关于y 轴对称，所以y =2x 的图象上的任意一点P 〔x ，y 〕关于y 轴的对称点P 1〔－x ，y 〕都在y =〔21〕x 的图象上，反之亦然.根据这种对称性就可以利用函数y =2x 的图象得到函数y =〔21〕x 的图象.方法引导：要证明两个函数f 〔x 〕与g 〔x 〕的图象关于某一直线成轴对称图形，要分两点证明：〔1〕f 〔x 〕图象上任意一点关于直线的对称点都在g 〔x 〕的图象上；〔2〕g 〔x 〕图象上的任意一点关于直线的对称点都在f 〔x 〕的图象上.合作探究：思考底数a 的变化对图象的影响. 例如：比较函数y =2x 和y =10x 的图象以及y =〔21〕x 和y =〔101〕x 的图象.〔生观察并讨论，给出如下结论〕结论：在第一象限内，底数a 越小，函数的图象越接近x 轴. 合作探究：如何快速地画出指数函数简图？〔学生讨论，交流各自的想法，师适时地归纳，得出如下注意点〕〔1〕要注意图象的分布区域：指数函数的图象知分布在第一、二象限；〔2〕注意函数图象的特征点：无论底数取符合要求的任何值，函数图象均过定点〔0，1〕；〔3〕注意函数图象的变化趋势：函数图向下逐渐接近x 轴，但不能和x 轴相交. 〔三〕例题讲解[例1] 求以下函数的定义域：〔1〕y =8121-x ；〔2〕y =x )21(1-.〔多媒体显示，师组织学生讨论完成〕 师：我们已经有过求函数定义域的一些实战经验，你觉得求函数定义域时哪些方面应该引起你的高度注意？〔生交流自己的想法，师归纳，得出如下结论〕 〔1〕分式的分母不能为0；〔2〕偶次根号的被开方数大于或等于0； 〔3〕0的0次幂没有意义.师：这些注意点在我们所要解决的问题中又没有出现，是否还有其他新的要求或限制条件？〔生讨论交流，并板演解答过程，师组织学生进行评析，规范学生解题〕解：〔1〕∵2x －1≠0，∴x ≠21，原函数的定义域是{x |x ∈R ，x ≠21}； 〔2〕∵1－〔21〕x ≥0，∴〔21〕x ≤1=〔21〕0.∵函数y =〔21〕x 在定义域上单调递减，∴x ≥0.∴原函数的定义域是［0，+∞〕.[例2] 比较以下各题中两个值的大小：〔1〕1.72.5，1.73；〔2〕0.8－0.1，0.8－0.2；〔3〕1.70.3，0.93.1. 师：你能发现题中所给的各式有哪些共同点和不同点吗？这些特点能否给你解答该题有所启示呢？〔生讨论，师适时点拨，得出如下解析过程〕 解：〔1〕1.72.5，1.73可看作函数y =1.7x 的两个函数值.由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数.因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.〔2〕0.8－0.1，0.8－0.2可看作函数y=0.8x的两个函数值.由于底数0.8＜1，所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.因为－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.〔3〕因为1.70.3、0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，所以我们可以首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系.由指数函数的性质知1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，所以1.70.3＞0.93.1.师：问题解决了，通过解决这些问题，你有什么心得体会吗？〔生交流解题体会，师适时归纳总结，得出如下结论〕方法引导：在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作是一个函数的两个函数值，利用函数的单调性比较之.当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系.三、巩固练习课本P68练习1、2〔生完成后，同桌之间互相交流解答过程〕1.略.2.〔1〕{x|x≥2}；〔2〕{x|x≠0}.四、课堂小结师：通过本节课的学习，你觉得你都学到了哪些知识?请同学们互相交流一下自己的收获，同时也让你们的同桌享受一下你所收获的喜悦.〔生交流，师简单板书，多媒体显示如下内容〕1.指数函数的定义以及指数函数的一般表达式的特征.2.指数函数简图的作法以及应注意的地方.3.指数函数的图象和性质.一般地，指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质〔1〕定义域为〔－∞，+∞〕；值域为〔0，+∞〕性质〔2〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=a0=1〔3〕假设x＞0，那么a x＞1；假设x＜0，那么0＜a x＜1〔3〕假设x＞0，那么0＜a x＜1；假设x＜0，那么a x＞1 〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数4.结合函数的图象说出函数的性质，这是一种重要的数学研究思想和研究方法——数形结合思想〔方法〕.5.a的取值范围是今后应用指数函数讨论问题的前提.五、布置作业课本P69习题2.1A组第5、6、7、8、10、11题.板书设计2.1.2 指数函数及其性质〔1〕一、1.指数函数的概念2.指数函数的图象和性质二、例题评析三、课堂小结四、布置作业。
2.1.2指数函数及其性质(1)
一、指数函数的实际背景：
我国GDP（国内生产总值）未来20年平均增长率可望达到73 . %， 问题1： 那么x年后GDP可望为今年的y倍，则
x y （ 1+7.3%） =1.073x ( x N ，x 20)
问题2：生物体内碳14含量P与死亡年数t的函数关系为：
4、函数y＝a x－1＋4恒过定点( A．(1，5) B．(1，4) C．(0，4) D．(4，0)
A
)
5、若函数y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b为 实数)的图象恒过定点(1，2)， -2 则b=_____.
一、通过本节课的教学，你有什么收获？
（1）指数函数的概念； （2）指数函数的图象和性质； （3）利用单调性比较两个指数值的大小。 二、你体会到的数学思想方法有哪些？ 数形结合的思想、分类与整合的思想以及 特殊与一般的思想等。
x
1 3
1 2
④、
1.7 , 0.9
0.3
3.1
Hale Waihona Puke x 解： ③、 a 当a 1时，y a 是R上的增函数，
1 3
1 3
a
3.1
1 2
1 2
当0 a 1时，y a 是R上的减函数， a a
④、
1.7
0.3
1而0.9 1,
3.1
1.7
0.3
0.9
小结：比较指数值大小的方法 ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数 的特征是同底不同指（包括可以化为同底的）， 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②、中间介值比较法：用别的数如0或1做桥。数 的特征是不同底不同指。
课堂练习：
高中数学人教A版必修1第一章指数函数及其性质公开课PPT全文课件
（1）有些看起来是指数函数，而实际上不是指 数函数；
如： y a x k(a 0 且 a 1 ,k N )
（2）有些看起来不是指数函数，而实际上是指 数函数.
如： yax(a0且 a1)
(1)x(a0且a1) a
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问题2：已知函数的解析式，得到函数 的图象一般用什么方法？
列表 描点 连线成图
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2.函数的图像
y = 2x x -1 0 1 2 y 0.5 1 2 4
指数函数及其性质
一、情景引入
引例1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数与x的关系式是什么？
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x xN*
细胞
总数
21
22
23
24
2x
引例2: “一尺之锤，日取其半，万世不竭”出自《庄子》 长度为1的尺子第一次截去它的一半，第二次截 去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分 的一半，依次截下去，问截的次数与剩下的尺子 长度之间的关系.
随堂练习：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 3x (2) y 3x
你答对了吗?
(3) y x 3 (4) y 3x1
我也不是
总结：指数函数严格限定 y a x (a 0, 且a1) 这一结构，稍微有点出入，就会导致非指数函数的出现。
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课题： 指数函数及其性质（一）
课 型：新授课
教学目标：
使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.
教学重点：掌握指数函数的的性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：零指数、负指数、分数指数幂是怎样定义的？
2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？
二、讲授新课：
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：
① 探究两个实例：
A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？
B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？
② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
③ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R .
④讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？
2. 教学指数函数的图象和性质：
① 讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ ② 回顾：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
③ 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1
()2
x y =， 2x y = （师生共作→小结作法） ④ 探讨：函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1
()2
x y =的图
象？根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？
⑤ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56)
3、例题讲解 例1：（P 56 例6）已知指数函数()x
f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.
例2：（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小
（1）1.72.5 与 1.73
( 2 )0.10.8
-与0.20.8- ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
例3：求下列函数的定义域：
（1）4
42x y -= （2）||
2
()3x y =
三、巩固练习：
1、 P 58 1、2题
2、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .
3、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.
4、探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域？
四、小结
1、理解指数函数(0),101x
y a a a a =>><<注意与两种情况。
2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .
五、作业
P59习题2.1 A组第5、7、8题后记：。