6.2简单的三角恒等变换

6.求证：( + ) − = .
7.已知 + = ， = ，求证： = .
课后作业：
8.已知函数() = ( − ) .
− =
+ =
+
−



− = −
+
−



做一做
1.已知 =



，且 ∈ (, )，则 的值为（
A.
2.已知 =




B.−


， =
讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角函数的解析式化为() = ( + )的形式来解决。
例1： 求函数 = + 的周期，最大值和最小值.
方法一：利用三角恒等变化

解： = + = ( +

)


故：所求函数的周期为2π，最大值为2，最小值为-2.
将以上两式的左右两边分别相加，得
( + ) + ( − ) =

即： = [( + ) + ( − )]
（2）由（1）可得
( + ) + ( − ) =
①
设 + = ， − = ，

22.已知函数() = ( − ) − .


（1）求()的最小正周期；（2）求证：当 ∈ [− , ]时，() ≥ − .
作
业
答
案
∴ =
−
；()


在倍角公式 = − 中，以代替，以代替，即得


= − ，

∴ =
+
.

(2)
将() (2)两个等式的左右两边分别相除，即得

−
= +
方法二：利用辅助角公式
解：∵ = + 符合“ ± ”的形式
∴ = + =

+ ( ) ( + ) = ( + )

又∵ = = ，即 = ，

故： = ( + )
（1）将()化为( + )的形式( > , > )；
（2）求()的最小正周期；

（3）求()在区间[− , ]上的最大值和最小值.

9.已知函数() = + ( + )， ∈
（1）将()化为( + )( > , > )的形式；
（2）求()的最小正周期；
（3）求()的最大值和最小值.
10.在△ABC中，已知
+


= ，求 的值.


11.设 ( + ) = + ， = .求证： + = .

（1） = [( + ) + ( − )]
（2） + =
+
−



证明：（1）∵ ( + ) = + ， ( − ) = −
ห้องสมุดไป่ตู้
A. −
3.下列说法错误的是（


）
C.±

，则 等于（
B. +


D.±


）
C. −
D.±( − )
）

A.若 ≠ , ∈ ，则 =
−

=

恒成立
+
B.若函数() = ( + )，() = ( + )(其中 > ， > ，
> ），则() = () + ()的周期与()和()的一致
C.辅助角公式 + =
+ ( + )，其中所在的象限由，的符号决
定，与点(，)同象限

D. + = ( + )
二、三角恒等变换的应用
4.已知 < <

+
，化简：

+ − −
( − )

+

（2） = ( − ) +
−
.
+ + −

5.求证： + + = + − + .
目录
01
三角恒等变换
02
三角恒等变换的应用
一、三角恒等变换



引例1：：用 表示 、 、


解：是的二倍角. 在倍角公式 = − 中，以代替，以代替，即得

= −

20.已知函数() = − ，


（1）若点(， − ）在角α的终边上，求()的值；（2）若 ∈ (− , )，求()的值域.


21.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的负半轴重合，它的终边过点(− ， − ）.

（1）求( + )的值； （2）若角β满足( + ) = ，求 的值.


= ( + ) = ( + )
例2：
做一做
1. − 等于（
A.
）

B. ( + )
2.函数 = 的最小值等于（
A.1
B. −

C. ( − )

D.( − )
由引例1得半角公式：

−
= ±
，



+
= ±
,



−
−

= ±
=
=
（ ≠ ， ∈ )

+

+


符号由 所在的象限决定.
一、三角恒等变换
引例2：：求证：
（1）求的值；

（2）若函数 = ()的图像是由 = ()的图像向右平移 个单位长度得到的，求 = ()的单调递增区间.
14.要把半径为R的半圆形钢板截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大.
15.在一个正方形内作一个内接正方形，使这两个正方形面积比为3:2，求内接正方形一边与原正方形一边之间所成的角.
16.当函数 = + ， ∈ 取最大值时，求自变量x的取值集合S.
෢
17.如下图，圆心角为直角的扇形AOB，半径OA=2，点C是上任意一点，且
⊥ 于点E， ⊥ 于点F，
设∠ = ，矩形OECF的面积为().
求：（1）()的解析式；（2）矩形OECF面积的最大值.
B
F
O
C
x
A
E
课后作业：

18.已知函数() = − ( + ) .

（1）求()的值；（2）求函数()的最小正周期及单调递增区间.
19.已知函数() =
( − )
.

（1）求()定义域及最小正周期；（2）求()的单调递增区间.


= [( + ) + ( − )]


= − [( + ) − ( − )]

=
2.和差化积公式
+
−



+
−

+ =
）

C.

D.−
课后作业：





1.已知 = ， < < ，求 ， ， 的值.
2.求下列各式的值：

（1）

（2）
3.将下列三角函数解析式化为 = ( + )的形式.
（1） = − −


12.已知函数() = + − ，且( ) = .

（1）求常数的值及()的最小值；（2）当 ∈ [, ]时，求()的单调递增区间.
课后作业：

13.已知函数() = ( + ) + ( > )的最小正周期为 .
那么 =
+
，

=
−

把，的值代入①式 ，即得
+
−
+ =



应用引例2的办法，可推导出如下公式：
1.积化和差公式

[( + ) + ( − )]


= [( + ) − ( − )]