最新版陕西省西安市高一数学上学期期中试题1
陕西省西安市高新一中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
陕西省西安市高新一中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中与函数y x =是同一函数的是（ ）．A．2y = B．3y = C．y = D ．2x y x= 2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．函数2()1f x x =-在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）． A ．83 B ．43 C ．23 D ．15．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．[2,8]B ．[8,2]--C ．(][),82,-∞--+∞D ．(][),28,-∞+∞7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）． A ．有最大值4 B ．有最小值4- C ．有最大值3- D ．有最小值3- 8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<9．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（ ）．A ．|sgn |x x x =-B ．sgn ||x x x =-C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =10．若在定义域内存在．．实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“有点奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．11m ≤B ．1m ≤C ．m -≤D ．1m -≤ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥，则[(3)]f f =__________．12．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则R A B =ð__________．13．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________．14．已知函数11()log x a x f x -+=（0a >且1a ≠）有下列四个结论．①恒过定点；②()f x 是奇函数；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． 其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分8分）求下列各式的值：（1）122.5053[(0.064)]π-．（2）2lg5++已知函数1()2axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点(1,2)-． （1）求a 的值．（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．17．（本小题满分8分）已知集合{}2(,)|y 1A x y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤．（1）当4m =时，求A B ． （2）若A B 是只有一个元素的集合，其实数m 的取值范围．18．（本小题满分10分）定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“DK ”性质．（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“DK ”性质？说明理由．（2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =．（1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域．（2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()()f x f x k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．附加题：1．（本小题满分8分）若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，则(2019)f =__________． 2．（本小题满分12分）设()|lg |f x x =，a ，b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，试写出a 与b 的关系，并证明这一关系中存在b 满足34b <<．陕西省西安市高新一中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中与函数y x =是同一函数的是（ ）．A ．2y =B ．3y =C ．y =D ．2x y x= 【答案】B【解析】A ．此函数的定义域是[)0,+∞与函数y x =的定义域不同，所以这是两个不同的函数； B ．此函数的定义域是一切实数，对应法则是自变量的值不变，与函数y x =的定义域和对应法则都相同，所以这是同一个函数；C ．此函数的值域是[)0,+∞与函数y x =的值域不同，所以这是两个不同的函数；D ．此函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞与函数y x =的定义域不同，所以这是两个不同的函数； 所以B 与函数y x =是同一个函数．2．若一次函数y kx b =+在R 上是增函数，则k 的范围为（ ）．A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤【答案】A【解析】A ．法一：由一次函数的图象可知选A ．法二：设1x ∀，2x ∈R 且12x x <，∵()f x kx b =+在R 上是增函数，∴1212()(()())0x x f x f x -->，即212()0k x x ->，∵212()0x x ->，∴0k >．故选A ．3．已知集合A 满足{}{}1,2,31,2,3,4A =，则集合A 的个数为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】∵{}{}1,2,31,2,3,4A =，∴{}4A =；{}1,4；{}2,4；{}3,4；{}1,2,4；{}1,3,4；{}2,3,4；{}1,2,3,4，则集合A 的个数为8，故答案为：8．4．函数2()1f x x =-在[2,0]-上的最大值与最小值之差为（ ）． A ．83 B ．43 C ．23 D ．1【答案】B【解析】由题意可得：∵20x -≤≤，∴22()0(1)f x x '=-<-， ∴()f x 在[2,0]-上单调递减， ∴max 2()(2)3f x f =-=-． min ()(0)2f x f ==-， ∴最大值与最小值之差为24(2)33---=， 综上所述，答案：43．5．如图是①a y x =；②b y x =；③c y x =，在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】A【解析】由幂函数图象和单调性可知：1a >，01b <<，0c <．∴a b c >>．6．已知函数2()8f x x kx =--在[1,4]上单调，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．[2,8]B ．[8,2]--C ．(][),82,-∞--+∞D ．(][),28,-∞+∞【答案】D 【解析】22b k a -=，12k ≤或42k ≥，2k ≤或8k ≥．7．已知函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，且在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，则在区间[,]b a --上（ ）． A ．有最大值4 B ．有最小值4- C ．有最大值3- D ．有最小值3-【答案】B【解析】∵0a b <<，∴0a b ->->，∵函数()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是减函数，∴()f x 在(,0)-∞上是减函数，∵在区间[,](0)a b a b <<上的值域为[3,4]-，∴()f x 在区间[,]b a --上的值域为[4,3]-，∴()f x 在区间[,]b a --上有最大值为3，最小值为4-，综上所述．故选B ．8．设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】解：∵00.61<<，0.6 1.5<，∴0.6 1.510.60.6>>，即a b >，∵1.51>，0.60>，∴0.61.51c =>，∴c a b >>．9．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（ ）．A ．|sgn |x x x =-B ．sgn ||x x x =-C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】A【解析】对于选项A ．右边,0|sgn |0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确；对于选项B ．右边,0sgn ||0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确； 对于选项C ，右边,0||sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨≠⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然不正确； 对于选项D ，右边,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，而左边,0||,0x x x x x ⎧==⎨-<⎩≥，显然正确．10．若在定义域内存在．．实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“有点奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“有点奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．A．11m ≤B．1m ≤C．m -≤ D．1m -≤ 【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数()()f x f x -=-有解即可，即1212()423(423)x x x x f x m m m m --++-=-+-=--+-，∴2442(22)260x x x x m m --+-++-=，即22(22)2(22)280x x x x m m --+-⋅++-=有解即可，设22x x t -=+，则222x x t -=+≥，∴方程等价为222280t m t m -⋅+-=在2t ≥时有解，设22()228g t t m t m =-⋅+-， 对称轴22m x m -=-=， ①若2m ≥，则2244(28)0m m ∆=--≥，即28m ≤，∴m -≤2m ≤≤②若2m <，要使222280t m t m -⋅+-=在2t ≥时有解，则2(2)00m f <⎧⎪⎨⎪∆⎩≤≥，即211m m m <⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤，解得12m <，综上：1m -≤二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．若函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥，则[(3)]f f =__________． 【答案】16【解析】∵函数2(4)()1(4)x x f x x x ⎧=⎨+<⎩≥， ∴(3)314f =+=，4[(3)](4)216f f f ===．12．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则R A B =ð__________．【答案】[1,2]【解析】240x -≥，22x -≤≤，10x ->，1x <，{}|1R B x x =ð≥，∴[1,2]R A B =ð．13．方程23x x k +=的解都在[1,2]内，则k 的取值范围为__________．【答案】[)5,10【解析】23x k x =-， 1x =时，32k -≥，5k ≥，2x =时，64k -<，10k <，[)5,10k ∈．14．已知函数11()log x a x f x -+=（0a >且1a ≠）有下列四个结论．①恒过定点；②()f x 是奇函数；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；③当1a >时，()0f x <的解集为{}|0x x >；④若m ，(1,1)n ∈-，那么()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． 其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．【答案】①，②，④【解析】（1）解：∵1()log 1ax f x x -=+， ∴10111x x x->⇒-<<+， 故函数()f x 的定义域是|11x x -<<．（2）证明：∵m ，(1,1)n ∈-， ∴1111()()log log log 1111a a a m n m n f m f n m n m n ----⎛⎫+=+=⋅ ⎪++++⎝⎭， 11111log log log 111111a a a mn m n m n m n mn m n mn mn f mn m n m n m n mn mn mn mn+--+---++⎛⎫++==== ⎪++++++++⎝⎭+++， 故()()1m n f m f n f mn +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）解：∵1111()()log log log log 101111aa a a x x x x f x f x x x x x+-+--+=+=⋅==-+-+， ∴()()f x f x -=-， 即()f x 在其定义域(1,1)-上为奇函数．三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15．（本小题满分8分）求下列各式的值：（1）122.5053[(0.064)]π-． （2）2lg5++【答案】见解析．【解析】（1）原式12232.55327[(0.8)]18-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 11=-0=．（2）2lg5++112222(lg 2)lg 2lg5=+⋅+2112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭2112lg 2lg 2lg522⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭11lg 2(lg 2lg5)lg 2122=++- 11lg2lg(25)1lg222=⋅⋅+- 11lg21lg2122=+-=．16．（本小题满分8分） 已知函数1()2axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点(1,2)-． （1）求a 的值．（2）若()42x g x -=-，且()()g x f x =，求满足条件的x 的值．【答案】见解析．【解析】（1）由已知得122a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1a =．（2）由（1）知1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又()()g x f x =，则1422x x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即112042x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112022x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则220t t --=， 即(2)(1)0t t -+=，又0t >，故2t =， 即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得1x =-， 满足条件的x 的值为1-．17．（本小题满分8分）已知集合{}2(,)|y 1A x y x mx ==-+-，{}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤． （1）当4m =时，求A B ． （2）若A B 是只有一个元素的集合，其实数m 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）当4m =时，集合{}2(,)|41A x y y x x ==-+-， {}(,)|3,03B x y y x x ==-≤≤，联立得：2341y x y x x =-⎧⎨=-+-⎩， 消去y 得：2341x x x -=-+-， 即(1)(4)0x x --=，解得：1x =或4x =（不合题意，舍去）， 将1x =代入3y x =-得2y =， 则{}(1,2)A B =；综上所述：答案为{}(1,2)AB =． （2）集合A 表示抛物线上的点，抛物线21y x mx =-+-，开口向下且过点(0,1)-， 集合B 表示线段上的点，要使A B 只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，如图： （i ）由图知，在函数2()1f x x mx =-+-中，只要(3)0f ≥，即9310m -+-≥， 解得：103m ≥． （ii ）由图知，抛物线与直线在[0,3]x ∈上相切，联立得：213y x mx y x ⎧=-+-⎨=-⎩， 消去y 得：213x mx x -+-=-， 整理得：2(1)40x m x -++=， 当2(1)160m ∆=+-=，∴3m =或5m =-，当3m =时，切点(2,1)适合， 当5m =-时，切点(2,5)-舍去， 综上所述：答案为m 范围为3m =或103m ≥．18．（本小题满分10分）定义：已知函数()f x 在[,]()m n m n <上的最小值为t ，若t m ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]()m n m n <上具有“DK ”性质．（1）判断函数2()22f x x x =-+在[1,2]上是否具有“DK ”性质？说明理由． （2）若2()2f x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，求a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）∵2()22f x x x =-+，[1,2]x ∈， 对称轴1x =，开口向上，当1x =时，取得最小值为(1)1f =， ∴min ()(1)11f x f ==≤，∴函数()f x 在[1,2]上具有“DK ”性质． （2）2()2g x x ax =-+，[,1]x a a ∈+， 其图象的对称轴方程为2a x =． ①当02a ≥，即0a ≥时，22min ()()22g x g a a a ==-+=． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有2a ≤总成立，即2a ≥． ②当12a a a <<+，即20a -<<时， 2min ()224a a g x g ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭． 若函数()g x 具有“DK ”性质，则有224a a -+≤总成立，解得a 无解． ③当12a a +≥，即2a -≤时，min ()(1)3g x g a a =+=+， 若函数()g x 具有“DK ”性质， 则有3a a +≤，解得a 无解． 综上所述，若2()2g x x ax =-+在[,1]a a +上具有“DK ”性质，则2a ≥．19．（本小题满分10分）已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x =． （1）当[1,4]x ∈时，求函数()[()1]()h x f x g x =+⋅的值域． （2）如果对任意的[1,4]x ∈，不等式2()()()f x f x k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）2222()(42log )log 2(log 1)2h x x x x =-⋅=--+，因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]x ∈，故函数()h x 的值域为[0,2]．（2）由2()()f x f k g x ⋅>⋅得222(34log )(3log )log x x k x -->⋅， 令2log t x =，因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]t x =∈，所以(34)(3)t t k t -->⋅对一切的[0,2]t ∈恒成立．1．当0t =时，k ∈R ；2．当(]0,2t ∈时，(34)(3)t t k t --<恒成立，即9415k t t<+-． 因为9412t t +≥，当且仅当94t t =，即32t =时取等号． 所以9415t t+-的最小值为3-， 综上，(,3)k ∈-∞-．附加题：1．（本小题满分8分）若定义在(,1)(1,)-∞+∞上的函数()f x 满足2017()220171x f x f x x +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，则(2019)f =__________． 【答案】1344． 【解析】2018()2120171f x f x x ⎛⎫++=- ⎪-⎝⎭， 2x =：(2)2(2019)2015f f +=，① 2019x =：(2019)2(2)2f f +=-，②， ①⨯2-②3(2019)4032f ==， (2019)1344f =．2．（本小题满分12分）设()|lg |f x x =，a ，b 为实数，且0a b <<，若a ，b 满足()()22a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，试写出a 与b 的关系，并证明这一关系中存在b 满足34b <<．【答案】见解析．【解析】（1）由()1f x =得，lg 1x =±，所以10x =或110． （2）结合函数图象，由()()f a f b =，可判断(0,1)a ∈，(1,)b ∈+∞， 从而lg lg a b -=，从而1ab =， 又122b a b b ++=， 因为(1,)b ∈+∞，所以12a b +>， 从而由()22a b f b f +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得2lg 2lg lg 22a b a b b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭， 从而22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭． （3）由22a b b +⎛⎫= ⎪⎝⎭， 得2242b a b ab =++，221240b b b ++-=， 令221()24g b b b b =++-， 因为(3)0g <，(4)0g >，根据零点存在性定理可知， 函数()g b 在(3,4)内一定存在零点， 即方程221240b b b++-=存在34b <<的根．。
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
高一年级第一学期期中考试数学试卷及其参考答案
高一年级第一学期期中考试数学试卷（基础模块第一章、第二章）一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列表示正确的是（）．A.{ 0 }＝∅B.｛全体实数｝＝ＲＣ.{ a }∈{ａ,ｂ,c } D.{ x∈R∣x2+1＝0 }＝∅2.已知全集U={ 0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2,5}，B={2,3,4}，则（U C A）B＝（）．A.{2}B.{0,2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,3,4,5}3.已知A={ (x,y) | 2x-y=0 }，B={ (x,y) | 3x+2y=7 }，则A B＝（）．A.{(2,1)}B.{1,2}C.{(1,2)}D.{x=1,y=2}4．设A={ x | 0< x < 1 }，B={ x | x < a } ，若A⊆B，则a的取值范围是（）．A.[1,＋∞) B.(－∞,0]C.[0,＋∞)D.(－∞,1]5.已知集合A={ x | x2＋14= 0 }，若A∩R =∅，则实数ｍ的取值范围是（）．A.m<1B.m≥1C.0<m<1D.0≤m<16.“A⊆B”是“A B＝A”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.不等式21-+xx≤0的解集为（）．A.{ x | x≥2}B.{ x | x≥2或x<－1 }C.{ x|－1<x≤2 }D.{x| x≥2或x≤－1 }8.已知a<b<0，c>0，那么（）．A.a2<b2B.a b<1C.ca<cb D.ca>cb9.绝对值不等式| 2x－3 |<5的解集是（）．A.{ x | x<－1或x>4 }B.{ x |－1<x<4 }C.{ x | x<－1 }D.{ x | x>4 }10.与不等式－x2－2x＋3>0同解的不等式(组)是（）．A. x2＋2x－3>0B. (x＋3)(x－1)<0C.x+3>0x-1D.x+3<0x-1>0⎧⎨⎩a 、b 、c 的大小顺序是（ ）． A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b12.若实数0<a <1，则)0>1(a-x)(x-a的解集为（ ）． A.{ x |1<x<a a } B.{ x | 1<<a x a} C.{ x | 1< >x a 或x a } D.{ x | 1<a >x 或x a}二、填空题（每小题4分，共16分）13.设全集U={ 1,2,3,4,5 },A={ 2,5 }，则U C A 的所有子集的个数为 _________． 14.符合条件｛ａ｝⊆Ｍ ｛ａ，ｃ，ｄ｝的集合Ｍ的个数是 _________．15.设ａ，ｂ为实数，则“ａ2＝ｂ2”是“ａ＝ｂ”的 _________条件．(填充分或必要)16.不等式2+2m x x+n>0的解集是(11,32-)，则不等式2-nx +2x-m >0的解集是 _________．三、解答题（共74分，解答应写出文字说明及演算步骤） 17.已知U={ x |－2<x<7 ,x ∈N }，A={ 1,2,4 }，B={ 2,3,5}．求: ⑴ A U B ；⑵ A B ；⑶ B C C U U A；⑷ B C C U U A ．(12分)18.若集合A={ x | mx 2＋2x －1 = 0 , m ∈R , x ∈R }中有且仅有一个元素，那么m 的值是多少？(12分)19.设集合A={ x | x 2－3x ＋2 = 0 }，B = { x | x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0 }，若A B = { 2 }，求实数ａ的值．(12分) 20.解不等式x+23-x≤1．(12分) 21.设全集为R ，A={ x | |x-1|<3 }，B={ x | x 2－x －2≥0 },求A B ，A U B ，A CB ．(12分)22.已知集合A={ x | x 2－x －12 ≤0 }，集合B={ x | m －1≤x ≤2m ＋3 }，若A U B=A ，求实数m 的取值范围．(14分)高一年级第一学期期中考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、 8 14、 3 15、 必要 16、 （－2,3）三、解答题：（22题14分，17~21题每题12分，共计74分）17.解：U={ 0,1,2,3,4,5,6 }. ⑴A U B={1,2,3,4,5}.⑵A B={2}.⑶B C C U U A ={ 0,3,5,6 }U { 0,1,4,6 }={ 0,1,3,4,5,6, }. ⑷ B C C U U A={ 0,3,5,6 } { 0,1,4,6 }={ 0,6 }.18. 解：当m=0时, A=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,符合题意.当m ≠0时,要使集合A 中有且仅有一个元素,必须 方程mx 2＋2x －1 = 0有两个相等实数根, ∴ 2∆=2+4m =0, 即m=－1,综上所述,m=0或m=－1. 19. 解：A={ 1,2 }∵ A B={ 2 }, ∴ 2 B, ∴ 2是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5) = 0的根,把x=2代入此方程得2a +4a+3=0, ∴ a=-1或a=-3, 当a=-1时,B={ -2,2 }, A B={ 2 },符合题意. 当a=-3时,B={ 2 }, A B={ 2 },符合题意. 综上所述,a 的值为-1或3. 20. 解：原不等式⇔x+2-13-x ≤0⇔x+2-(3-x)3-x ≤0⇔2x-13-x≤0 ⇔2x-1x-3≥00≠⎧⇔⎨⎩x-3(2x-1)(x-3)≥012⇔x ≤或x>3, ∴ 解集为12{x |x ≤或x>3}. 21. 解：解|x-1|<3得-2<x<4, 故A=(-2,4).解x 2－x －2≥0得x ≤－1或x ≥2, 故B=(-∞,-1]∪[2,+∞).∴ A B=(-2,-1]∪[2,4),A U B=R,A C B=(-2,4) (-1,2)=(-1,2).22.解: 解x2－x－12 ≤0得－3≤x≤4, 故A=[-3,4],由A U B=A，知B A，∴⎧⎪⎨⎪⎩m-1≤2m+3,m-1≥-3,2m+3≤4,即12⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m≥-4,m≥-2,m≤,∴ -2≤m≤12.。
2022-2023学年陕西省西安市西工大附中高一(上)期中数学试卷(解析版)(1)
2022-2023学年陕西省西安市西工大附中高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一.单选题(每小题4分，共8小题，总计32分)1.【解答】解：因为A ={x |x ≥1)，B ={x |-1<x <2}，则A ∪B ={x |x >-1}．故选：A ．2.【解答】解：∵x 2-3x -4≤0，∴-1≤x ≤4，∵{0}⊊{x |-1≤x ≤4}，∴x =0是x 2-3x -4≤0的充分不必要条件，故选：C ．3.【解答】解：命题p :∀x >0，x 2-ax +1>0的否定为：∃x 0>0,x 02-ax 0+1≤0，故选：C ．4.【解答】解：∵a >b >0，∴ab >0，a -b >0，对于A ，c a -c b =c (b -a )ab ，因为c 的正负不确定，所以c a 与c b的大小关系不确定，故A 错误，对于B ，ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，故B 错误，对于C ，1a -1b =b -a ab <0，所以1a <1b，故C 正确，对于D ，1a -1-1b -1=(b -1)-(a -1)(a -1)(b -1)=b -a (a -1)(b -1)，因为a ，b 与1的大小关系不确定，所以(a -1)(b -1)的符号不确定，所以1a -1与1b -1的大小关系不确定，故D 错误，故选：C ．5.【解答】解：∵长、宽、高之和不超过Mcm ，长、宽、高分别为a 、b 、c ，∴a +b +c ≤M ，故选：A ．6.【解答】解：当a =2时，原不等式为-12<0满足解集为R ；当a ≠2时，根据题意得a -2<0[4(a -2)]2-4(a -2)×(-12)<0 ，解得a ∈(-1,2)．综上，a 的取值范围为(-1，2]．故选：B ．7.【解答】解：设t =-x 2+3x +4，则有x ≠-1且x ≠4；t ∈(-∞，0)∪0，254，所以函数y =14+3x -x 2的定义域为：{x |x ≠-1且x ≠4}，由二次函数的性质可知t 的单调递增区间为(-∞,-1)，-1，32 ；单调递减区间为：32，4 ，(4,+∞)；又因为y =1t 在t ∈(-∞,0)和0，254上单调递减，由复合函数的单调性可知：函数y =14+3x -x2的单调增区间为：32，4 和(4,+∞)．故选：C ．8.【解答】解：由图可得，当0<x <12时，f (x )>0，g (x )<0，故f (x )g (x )<0；当12<x <1时，f (x )<0，g (x )<0，故f (x )g (x )>0．所以当x∈[0，1]时，不等式f(x)g(x)<0的解集为0,1 2，又因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)g(x)是奇函数，由奇偶性可知，当x∈[-1，0)时，不等式f(x)g(x)<0的解集为-1,-1 2，所以不等式f(x)g(x)<0的解集是-1，-1 2∪0，12．故选：A．二.多选题(每小题4分，共4小题，总计16分)9.【解答】解：任何集合都是它自身的子集，故A错误，集合{a，b}共有∅，{a}，{b}，{a，b}4个子集，故B正确，集合{x|x=3n+1，n∈Z}={x|x=3n-2，n∈Z}，故C正确，集合{x|x=1+a2，a∈N*}的最小值为2，{x|x=a2-4a+5=(a-2)2+1，a∈N*}的最小值为1，故D错误．故选：BC．10.【解答】解：∵命题p:∃x0∈R,ax02-4x0-4=0，p为真命题，即ax2-4x-4=0有根，当a=0时，x=-1成立，当a≠0时，需满足△=(-4)2-4×a⋅(-4)≥0，解得a≥-1且a≠0，∴a的取值范围为：[-1，+∞)，故选：BCD．11.【解答】解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n}，所以a<0，x=m，x=n是方程ax2+bx+c=0的根，因为n>m>0，所以m+n=-ba>0，mn=ca>0，所以b>0，c<0，A正确，B正确，由cx2+bx+a>0得x2+bc x+ac<0，又m+nmn=1m+1n=-bc，1m⋅1n=1mn=ac，所以x=1n，x=1m是方程x2+bc x+ac=0的根，且1n<1m，故x2+bc x+ac<0的解集为1n,1m．故选：ABC．12.【解答】解：根据题意，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)=x-[x]+1=⋯⋯x+3,-2≤x<-1x+2,-1≤x<0x+1,0≤x<1x,1≤x<2x-1,2≤x<3⋯⋯，其图象如图：据此分析选项：对于A，f 14 =14+1=54，f-14=-14+2=74，f(x)不是奇函数；A错误；对于B，f(x)的值域为[1，2)，则[f(x)]=1，B正确；对于C，在区间(0,1)上，f(x)=x+1，单调递增，C正确；对于D ，f (x )的值域为[1，2)，有最小值1，无最大值，D 错误；故选：BC ．三.填空题(每小题4分，共4小题，总计16分)13.【解答】解：形如x a (a 为正偶数)，即可则f (x )=x 2(答案不唯一)．故答案为：x 2(答案不唯一)．14.【解答】解：∵函数f (x )=3x 2-4(x >0)2(x =0)-2x 2+1(x <0)，∴f (-3)+f (1)=(-2×32+1)+(3×12-4)=-18．故答案为：-18．15.【解答】解：∵a ，b 是正数，且ab =a +b +3≥2ab +3，∴ab -2ab -3=(ab -3)(ab +1)≥0，∴ab ≥3，∴ab ≥9，故ab 的最小值为9，故答案为：9．16.【解答】解：不等式(2x -5)2≥kx 2可化为(k -4)x 2+20x -25≤0，由题设可得：△=400+100(k -4)=100k >0，且k -4>0，解得：k >4，故当k >4时，不等式的解集为-10-5k k -4，-10+5k k -4 ，易知：-10-5k k -4<0，-10+5k k -4>0，∴原不等式的解集中必有整数0，又∵原不等式的解集中恰好有三个整数解，∴-10-5kk -4>-3-10+5k k -4<3 ，解得：k >1219，∴①-10-5kk -4≤-2-10+5k k -4<1 ，或②-10-5k k -4>-1-10+5k k -4≥2 ，或③-2<-10-5kk -4≤-11≤-10+5k k -4<2，由①②③解得：k ∈1219，814 ，∴实数k 的取值范围为1219，814 ，故答案为：1219，814．四.解答题(共6大题，共56分)17.【解答】解：(1)由幂函数f (x )=(m 2-3m +3)x m ，可知m 2-3m +3=1，解得m =1或m =2，当m =1时，f (x )=x 的图象不关于y 轴对称，舍去，当m =2时，f (x )=x 2的图象关于y 轴对称，满足条件，因此，m =2．(2)当x ∈[-1，2]时，f (x )的值域为12,4 ，则集合B =12,4，由题意知B ⊊A ，得1-a <3a +11-a <123a +1≥4，解得a ≥1，所以a 的取值范围为[1，+∞)．18.【解答】解：(1)∵S ={(x ,y )|x ∈N ，y ∈N }，P ={(x ,y )|y =-2x +3}，Q ={(x ,y )|y =-x 2+3}．∴P ∩S ={(x ，y )|y =-2x +3}∩{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N }={(0,3)，(1,1)}，Q ∩S ={(x ，y )|y =-x 2+3}∩{(x ,y )|x ∈N ，y ∈N }={(0,3)，(1,2)}；(2)(P ∩S )∪(Q ∩S )={(0，3)，(1，1)}∪{(0，3)，(1，2)}={(0，3)，(1,1)，(1,2)}．19.【解答】解：(1)∵a ，b 均为正数，且a +b =1，∴1a +2b =(a +b )1a +2b =3+b a +2a b ≥3+2b a ⋅2a b =3+22，当且仅当b a =2a b ，即a =2-1，b =2-2时，等号成立，故1a +2b的最小值为3+22．(2)法一：证明：由柯西不等式可得，(2-a +2-b )(12+12)≥(2-a +2-b )2，即(2-a +2-b )2≤6，当且仅当a =b =12，等号成立．法二：证明：(分析法)要证明2-a +2-b ≤6，只需证明(2-a +2-b )2≤6，只需证明4-a -b +2(2-a )(2-b )≤6，只需证明(2-a )(2-b )≤32，因为(2-a )(2-b )≤2-a +2-b 2=32，当且仅当2-a =2-b ，即a =b 时，等号成立．综上所述：2-a +2-b ≤6．20.【解答】解：(1)f (5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f (20)=-3×20+107=47<53.5，因此开讲5分钟比开讲20分钟时，学生的接受能力强一些．(2)当0<x ≤10时，f (x )=-0.1x 2+2.6x +43=-0.1(x -13)2+59.9，f (x )在0<x ≤10时单调递增，最大值为f (10)=-0.1×(10-13)2+59.9=59．当10<x ≤16时，f (x )=59；当x >16时，函数f (x )为减函数，且f (x )<59．因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强(为59)，能维持6分钟．(3)当0<x ≤10时，令f (x )=55，解得x =6或20(舍去)；当x >16时，令f (x )=55，解得x =1713，可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间=1713-6=1113<13，因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．21.【解答】(1)证明：f (x )的定义域为R ，∀x ∈R ，f (-x )=(-x )2(-x )2+1=x 2x 2+1=f (x )，故f (x )为偶函数．(2)解：g (x )在R 上单调递增，证明如下：g (x )=f (x )+x =x 2x 2+1+x ，任取x t ，x 2∈R ，且x 1<x 2，g (x 1)-g (x 2)=x 21x 21+1+x 1-x 22x 22+1+x 2=x 1-x 2+x 21x 21+1-x 22x 22+1=x 1-x 2+x 21(x 22+1)-x 22(x 21+1)(x 21+1)(x 22+1)=x 1-x 2+x 21-x 22(x 21+1)(x 22+1)=(x 1-x 2)1+x 1+x 2(x 21+1)(x 22+1) =(x 1-x 2)x 21x 22+x 21+x 22+1+x 1+x 2(x 21+1)(x 22+1) =(x 1-x 2)x 21x 22+x 1+12 2+x 2+12 2+12(x 21+1)(x 22+1) ．因为x 21x 22+x 1+12 2+x 2+12 2+12(x 21+1)(x 22+1)>0，x 1-x 2<0，所以(x 1-x 2)x 21x 22+x 1+12 2+x 2+12 2+12(x 21+1)(x 22+1) <0，所以g (x 1)-g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)，所以g (x )在R 上单调递增．(3)解：因为f (x )-f (x -2)+2x >2，所以f (x )+x >f (x -2)+2-x =f (2-x )+2-x ，即g (x )>g (2-x )，由(2)可知g (x )在R 上单调递增，所以x >2-x ，解得x >1，故不等式的解集为(1,+∞)．22.【解答】解：(1)∵f (x )=x 2-2x +2，x ∈[1，2]，∴f (x )min =f (1)=1≤1，∴函数f (x )在[1，2]上具有“MT ”性质；(2)f (x )=x 2-ax +2x ∈[a ，a +1]其对称轴为x =a 2，①当a 2≤a 即a ≥0时，f (x )min =f (a )=a 2-a 2+2=2，若函数f (x )具有“MT ”性质，则有2≤a 总成立，即a ≥2，②当a <a 2<a +1时，即-2<a <0时，f (x )min =f a 2 =-a 24+2，若函数f (x )具有“MT ”性质，则有-a 24+2≤a 总成立，解得：a ∈∅，③当a 2≥a +1时，即a ≤-2时，f (x )min =f (a +1)=a +3，若函数f (x )具有“MT ”性质，则有a +3≤a ，解得：a ∈∅．综上所述：若函数f (x )在[a ，a +1]上具有“MT ”性质，则有a ≥2．。
高一数学必修1期中考试测试题及答案(最新整理)
高一数学必修一期中考试试卷一、选择题（共10道小题，每道题5分，共50分.请将正确答案填涂在答题卡上）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4,5},B={1,3,6}，则A∩(C U B)等于（ ）A ．{4，5} B.{2,4,5,7} C.{1,6} D.{3}2. 函数的定义域为 （ ）()lg(31)f x x =-A ．RB ．C ．D ．1(,)3-∞1[,)3+∞1(,)3+∞3．如果二次函数的图象的对称轴是，并且通过点，则（ ）21y ax bx =++1x =(1,7)A -A ．a =2，b = 4B ．a =2，b = －4C ．a =－2，b = 4D ．a =－2，b = －44．函数的大致图象是（）||2x y =5，则（）(01)b a a =>≠且A ．B ．C ．D ．2log 1a b =1log 2ab =12log a b =12log b a=6、三个数，之间的大小关系是（ ）23.0=a 3.022,3.0log ==c b A. ﹤﹤B. ﹤﹤C. ﹤﹤D.﹤﹤a c b a b c b a c b c a7．下列说法中，正确的是（）A ．对任意x ∈R ，都有3x ＞2x ；B ．y =()－x 是R 上的增函数；3C ．若x ∈R 且，则；0x ≠222log 2log x x =D ．在同一坐标系中，y =2x 与的图象关于直线对称.2log y x =y x =8．如果函数在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是2(1)2y x a x =+-+（ ）A ．a ≥9B ．a ≤－3C ．a ≥5D ．a ≤－79.若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f 0=，则不等式的解集为0)(<x xf A ．(2,0)(2,)-+∞ B ．(,2)(0,2)-∞- C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．)2,0()0,2( -10．已知函数定义域是，则的定义域是（ ）y f x =+()1[]-23，y f x =-()21 A ．B. C. D. [052，[]-14，[]-55，[]-37，二、填空题（共5道小题，每道题5分，共25分。
2019-2020学年陕西省西安市碑林区高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年陕西省西安市碑林区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 已知全集U = {1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A = {2,4，6，7}，B = {3,5，6，7，8}，则(∁U A)∩(∁U B)=( ) A. {1,9} B. {2,3，4，5，6，7，8} C. {1,2，3，4，5，8，9} D. {1,6，7，9}2. 设函数f(x)={12x −1x ≥01xx <0.，若f(a)>a ，则实数a 的取值范围是( )A. a >1B. a <−1C. a >1或a <−1D. a <−2或−1<a <13. 已知f(x)=−x −x 3，x ∈[a,b]，且f(a)⋅f(b)<0，则f(x)=0在[a,b]内( )A. 至少有一个实数根B. 至多有一个实数根C. 没有实数根D. 有唯一的实数根 4. 已知幂函数y =f(x)的图像过点(2,4)，则f(√2)= ( )A. 12 B. √2C. 2√2D. 25. 已知(x,y)在映射f 下的像是(x +y,x −y)，则像(1,2)在f 下的原像为( )A. (32,12)B. (−32,12) C. (−32,−12) D. (32,−12)6. 设a =log 23，b =log 35，c =log 54，则( )A. bc <2<acB. ab <2<acC. 2<bc <abD. bc <2<ab 7. 函数f(x)=4x 2−ax −8在区间(4,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. a ≤32B. a ≥32C. a ≥16D. a ≤16 8. 函数y =f(x)满足对任意x 1，x 2∈[0,2](x 1≠x 2)，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0，且函数f(x +2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A. f(1)<f(52)<f(72) B. f(72)<f(1)<f(52) C. f(72)<f(52)<f(1)D. f(52)<f(1)<f(72)9. 已知函数y =e x 与函数y =f(x)互为反函数，则( ) A. f(2x)=e 2x (x ∈R) B. f(2x)=ln2⋅lnx(x >0) C. f(2x)=2e x (x ∈R) D. f(2x)=lnx +ln2(x >0)10. 函数f(x)满足f(x)=f(−x)，f(x)=f(2−x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，过点P(0,−94)且斜率为k 的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点，则k 的取值范围为( )A. (1,1312)B. [1,1312]C. [2,3]D. (2,3)11. 已知函数f(x)={2x +1,x <1x 2+ax,x ≥1，若f(f(0))=4a ，则函数f(x)的值域( )A. [−1,+∞)B. (1,+∞)C. (3,+∞)D. [−94,+∞)12. 设函数，若f(a)=1，则a =( )A. −1或3B. 2或3C. −1或2D. −1或2或3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数y =√x −1+1lg(3−x)的定义域是______．14. 设函数f(x)={3x −1,x <1,2x ,x ⩾1.则满足f(f(a))=2f(a)时a 的取值范围是____________．15. 设f(x)是R 上的奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(−3)=0，则x ⋅f(x)<0的解集是______ ． 16. 已知函数f(x)=kx +1，若对于任意的x ∈[−1,1]，均有f(x)≥0，则实数k 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共5小题，共52.0分） 17. 化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512;18. 已知全集U =R ，集合A ={x|1<x ≤8}，B ={x|2<x <9}，C ={x|x ≥a}．(1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)如果A ∩C ≠⌀，求a 的取值范围． 19. 用单调性定义证明函数f(x)=x+2x−1在(1,+∞)上单调递减．20.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(x)=2f(1)√x−1，求f(x)．x21.设函数f(x)=|x−1|+|x−2|．(1)画出函数y=f(x)的图象；(2)若不等式|a+b|+|a−b|≥|a|f(x)，(a≠0,a、b∈R)恒成立，求实数x的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合运算，属基础题．根据补集，交集定义运算即可．【解答】解：因为全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={2,4，6，7}，B={3,5，6，7，8}，所以∁U A={1,3,5,8,9}，∁U B={1,2,4,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={1,9}，故选A．2.答案：B解析：【分析】先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a≥0时，和a<0时两种情况求解，最后取并集．【解答】a−1>a，解得a<−2，当a⩾0时，f(a)=12矛盾，无解当a<0时，f(a)=1a>a，a<−1．综上：a<−1∴实数a的取值范围是(−∞,−1)．故选：B．3.答案：D解析：知f(x)是单调减函数，且f(a)⋅f(b)<0，则f(x)=0在[a,b]内有唯一的实数根．4.答案：D解析：【分析】根据幂函数定义求解析式，进一步求函数值，本题考查幂函数定义及函数求值，属基础题目．【解答】解：由题意设函数f(x)=xα，因为幂函数y=f(x)的图像过点(2,4)，所以2α=4,即α=2， 所以f (x )=x 2， 则f(√2)=(√2)2=2， 故选D ． 5.答案：D解析：解：由题意得：{x +y =1x −y =2，解得：x =32，y =−12，故选：D由题意可得x +y =1，x −y =2，解得x 、y 的值，即可求得原像(x,y)． 本题主要考查映射的定义，在映射f 下，像和原像的定义，属于基础题． 6.答案：D解析： 【分析】本题考查对数的运算即对数不等式，属于基础题．根据所给a ，b ，c 利用换底公式化简，比较给个选项即可． 【解答】 解：由题，∴ab =lg5lg2>lg4lg2>2，bc =lg4lg3=2lg2lg3<2，ac =2lg3lg5<2，所以bc <2<ab 正确， 故选D ． 7.答案：A解析：解：∵f(x)=4x 2−ax −8在区间(4,+∞)上为增函数， ∴对称轴x =a8≤4，解得：a ≤32，故选：A ．先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可． 本题考查了二次函数的性质，单调性问题，本题属于基础题． 8.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性，奇偶性和对称性的运用，属于中档题． 先根据对任意x 1，x 2∈[0,2](x 1≠x 2)，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0判断函数的单调性，再根据函数f(x +2)是偶函数判断函数的对称性，即可得解． 【解答】解：因为函数y =f(x)满足对任意x 1,x 2∈[0,2](x 1≠x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，所以函数f(x)在[0,2]单调递增， 又函数f(x +2)是偶函数， 所以f(x)关于x =2对称， ∴f(52)=f(4−52)=f(32)，f(72)=f(4−72)=f(12)， 又12<1<32，即f(12)<f(1)<f(32) ∴f(72)<f(1)<f(52)，故选B ． 9.答案：D解析：解：∵函数y =e x 与函数y =f(x)互为反函数，∴将函数y =e x 的x 、y 互换，得x =e y ，解得y =lnx(x >0) 因此，y =f(x)=lnx(x >0)，可得f(2x)=ln2x =ln(x ×2)=lnx +ln2，(x >0) 故选：D ．由反函数的定义，将函数y =e x 的x 、y 互换，化简得y =lnx ，从而得到f(x)=lnx(x >0)，再利用对数的运算性质化简f(2x)，即可得到正确答案．本题给出与函数y =e x 互为反函数的函数f(x)，求f(x)表达式并化简f(2x)，着重考查了反函数的定义与求法、对数的运算性质等知识，属于基础题． 10.答案：A解析：【分析】本题考查函数与方程的综合应用，涉及到动直线和分段函数图象的交点个数问题，我们更多的是从形的角度入手分析，做出分段函数的图象和动直线的图象，通过动态的变化中寻找解题的题眼．本题目中就是k BP <k <k BA ． 【解答】解： ∵f(x)=f(−x)，f(x)=f(2−x)， ∴f(−x)=f(2−x)， 即f(x +2)=f(x)， ∴函数f(x)的周期为T =2。
上学期高一年级数学期中考试题
上学期高一年级数学期中考试题多做题才更有可能快速的提高成绩哦，小编今天就给大家来分享一下高一数学，欢迎大家一起来学习看看吧高一年级数学期中上册试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，则等于( )A. B. C. D.2.函数的值域为( )A. B. C. D.3.已知点在幂函数的图象上，则 ( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数4.在下列个区间中，存在着函数的零点的区间是( )A. B. C. D.5.设函数，，则的值为( )A. B.3 C. D.46.下列各式中，不成立的是( )A. B. C. D.7.函数的图象关于( )A. 轴对称B.坐标原点对称C.直线对称D.直线对称8.已知偶函数在区间上单调递减，则满足的的取值范围是( )A. B. C. D.9.已知，则的解析式为( )A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且10.已知函数，且在区间上单调递减，则的取值范围是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷(共60分)二、填空题(每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上)11.计算 .12.已知，若，则 .13.若关于的方程的两个实数根分别为，且满足，则实数的取值范围是 .14.函数的单调递增区间是 .15.若关于的不等式在内恒成立，则的取值范围是 .三、解答题(本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.已知函数 .(1)求函数的定义域;(2)求及的值.17.已知函数 .(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论;(2)求函数在区间上的最大值与最小值.18.设 .(1)判断函数的奇偶性;(2)求函数的单调区间.19.已知函数 .(1)若是定义在上的偶函数，求实数的值;(2)在(1)的条件下，若，求函数的零点.20.已知函数 .(1)若，求函数的解析式;(2)若在区间上是减函数，且对于任意的，恒成立，求实数的取值范围;(3)若在区间上有零点，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BDACA 6-10：DBBCD二、填空题11. 12.3 13. 14. 15.三、解答题16.(1)解：依题意，，且，故，且，即函数的定义域为 . (2) ，.17.(1)解：在区间上是增函数.证明如下：任取，且，.∵ ，∴ ，即 .∴函数在区间上是增函数.(2)由(1)知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为 .18、解：对于函数，其定义域为∵对定义域内的每一个，都有，∴函数为奇函数.(2)设是区间上的任意两个实数，且，则.由得，而，于是，即 .所以函数是上的减函数.19、(1)解：∵ 是定义在上的偶函数. ∴ ，即故 .(2)依题意.则由，得，令，则解得 .即 .∴函数有两个零点，分别为和 .20、(1)解：依题意，解得或 (舍去)，∴ .(2)解：由在区间上是减函数，得，∴当时，.∵对于任意的，恒成立，∴ ，即，解得 .∴实数的取值范围是 .(3)解：∵ 在区间上有零点，∴关于的方程在上有解.由，得，令，∵ 在上是减函数，在上是增函数，∴ ，即∴求实数的取值范围是 .表达高一数学上期中联考试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)(1)设全集为U={n|n∈N*且n<9}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则等于( ).(A) (B){2，4，7，8}(C){1，3，5，6} (D){2，4，6，8}(2)函数y=lnx–6+2x的零点一定位于区间( ).(A)(1，2) (B)(2，3)(C)(3，4) (D)(5，6)(3)下列函数中是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的是( ).(A) (B)(C) (D)(4)下列四组函数中，表示同一函数的是( ).(A)y=x–1与y= (B)y= 与y=(C)y=4lgx与y=2lgx2 (D)y=lgx–2与y=lg(5)幂函数f(x)的图象过点(2，m)，且f(m)=16，则实数m的所有可能的值为( ).(A)4或(B)±2(C)4或 (D) 或2(6)三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为( ).(A)log3π<0.993.3(C)log20.8<0.993.3(7)已知函数f(x)=|log2x|，正实数m，n满足m(A) ，2 (B) ，4(C) ， (D) ，4(8)设函数则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( ).(A)[ ，1] (B)[ ，+∞)(C)[0，1] (D)[1，+∞)(9)设集合A= ，B= ，函数f(x)= 若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是( ).(A) (B)(C) (D)(10)定义在R上的偶函数y=f(x)在[0，+∞)上递减，且，则满足的x的取值范围是( ).(A)(0，)∪(2，+∞) (B)( ，1)∪(1，2)(C)(-∞，)∪(2，+∞) (D)( ，1)∪(2，+∞)第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡上)(11)若2a=5b=10，则 + =_______.(12)若函数y=f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)= 的定义域是_______.(13)已知a，b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a–b=_______.(14)已知函数满足对任意的实数x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立，则实数a的取值范围为______________.(15)已知函数其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b 有三个不同的根，则m的取值范围是________.三、解答题：(本大题共5个小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(16)(本小题满分8分)计算：(Ⅰ) ;(Ⅱ) .(17)(本小题满分12分)已知全集U=R，集合A={x|–7≤2x–1≤7}，B={x|m–1≤x≤3m–2}.(Ⅰ)当m=3时，求A∩B与 ;(Ⅱ)若A∩B=B，求实数m的取值范围.(18)(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， .(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求关于m的不等式f(1–m)+ f(1–m2)<0的解集.(19)(本小题满分14分)已知定义域为R的函数是奇函数.(Ⅰ)求a，b的值;(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.(20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax2+bx+c，且，3a>2c>2b.(Ⅰ)求证：a>0且-3< < ;(Ⅱ)求证：函数f(x)在区间(0，2)内至少有一个零点;(Ⅲ)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，求|x1–x2|的范围.高一数学试卷参考答案一、选择题：题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)答案 B B D D C C A B D A二、填空题：(11)1; (12)( ，1); (13)2; (14)(-∞， ] (15)(3，+∞).三、解答题：(其他正确解法请比照给分)(16)解：(Ⅰ)原式= –1–+16=16. …………4分(Ⅱ)原式= +2+2= . …………8分(17)解：易得：A={x|–3≤x≤4}，…………2分(Ⅰ)当m=3时，B={x|2≤x≤7}， ={x|x<2或x>7}. …………4分故A∩B=[2，4]; …………5分A∪( )=(–∞，4]∪(7，+∞). …………6分(Ⅱ)∵A∩B=B，∴B⊆A，…………7分当B=∅时，m–1>3m–2，∴m< ，…………9分当B≠∅时，即m≥ 时，m–1≥–3，且3m–2≤4，∴–2≤m≤2，∴ ≤m≤2，…………11分综上所述，m≤2. …………12分(18)解：(Ⅰ)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(–x)= –f(x)，…………1分∴当x=0时，f(x)=0; …………2分当x<0时，–x>0，f(x)= –f(–x)=(–x)(1–x)=x(x–1). …………4分∴f(x)= …………5分(Ⅱ)∵函数f(x)为奇函数，∴f(1–m)+f(1–m2)<0⇔f(1–m2)<–f(1–m)=f(m–1)，…………8分易知f(x)在R单调递减，…………9分∴1–m2>m–1，解得–2(19)解：(I)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即-1+b2+a=0，解得b=1. …………3分∴f(x)=-2x+12x+1+a.又∵f(1)=-f(-1)，∴-2+14+a=--12+11+a，解得a=2. …………6分(II)由(I)知f(x)= =-12+12x+1，…………7分由上式易知f(x)在R上为减函数，…………9分又∵f(x)是奇函数，∴不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0⇔ f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).∵f(x)是R上的减函数，由上式推得t2-2t>-2t2+k.即对一切t∈R有3t2-2t-k>0，从而Δ=4+12k<0，解得k<-13. …………14分(20)解：(Ⅰ)由得3a+2b+2c=0，…………1分又3a>2c>2b，则a>0，b<0. …………2分又2c= –3a–2b，则3a>–3a–2b>2b，得–3< <–. …………4分(Ⅱ)由于f(0)=c，f(2)=a–c，f(1)= – <0，①当c>0时，f(0)=c>0，f(1)= –<0，在区间(0，1)内至少有一个零点;…………6分②当c≤0时，f(2)=a–c>0，f(1)= –<0，在区间(1，2)内至少有一个零点，…………7分因此在区间(0，2)内至少有一个零点. …………8分(Ⅲ)由条件知x1+x2= –，x1x2= ––. …………9分所以|x1–x2|= = ，…………11分而–3< <–，则|x1–x2|∈[ ，) . …………14分关于高一数学上学期期中试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设全集I={x|-3则A∪∁IB等于( )A.{1}B.{1,2}C.{2}D.{0,1,2}解析：∵x∈Z，∴I={-2，-1,0,1,2}∴∁IB={0,1}∴A∪∁IB={0,1,2}.答案：D2.函数y=1x+log2(x+3)的定义域是( )A.RB.(-3，+∞)C.(-∞，-3)D.(-3,0)∪(0，+∞)解析：函数定义域x≠0x+3>0∴-30.答案：D3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是( )A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg |x|解析：偶函数的有C、D两项，当x>0时，y=lg |x|单调递增，故选C.答案：C4.设x0是方程ln x+x=4的解，则x0属于区间( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析：设f(x)=ln x+x-4，则有f(1)=ln 1+1-4=-3<0.f(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<1-2=-1<0，f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1>1-1=0.∴x0∈(2,3).答案：C5.3log34-27 -lg 0.01+ln e3=( )A.14B.0C.1D.6解析：原式=4-3272-lg 0.01+3=7-3(32)3-lg 10-2=9-9=0.答案：B6.若y=log3x的反函数是y=g(x)，则g(-1)=( )A.3B.-3C.13D.-13解析：由题设可知g(x)=3x，∴g(-1)=3-1=13.答案：C7.若实数x，y满足|x|-ln1y=0，则y关于x的函数的图象大致是( )解析：由|x|=ln1y，则y=1ex，x≥0ex，x<0.答案：B8.已知f(x)=log x，g(x)=2x-1，则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )A.0B.1C.2D.不确定解析：在同一坐标系中作函数f(x)，g(x)的图象(图略)，从而判断两函数交点个数.答案：B9.函数f(x)=-1(x-1)3的零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析：函数的定义域为{x|x≠1}，当x>1时f(x)<0，当x<1时f(x)>0，所以函数没有零点，故选A.答案：A10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售700台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场月数x之间的关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100解析：代入验证即可.答案：B11.若f(x)=ax3+ax+2(a≠0)在[-6,6]上满足f(-6)>1，f(6)<1，则方程f(x)=1在[-6,6]内的解的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：设g(x)=f(x)-1，则由f(-6)>1，f(6)<1得[f(-6)-1][f(6)-1]<0，即g(-6)g(6)<0.因此g(x)=f(x)-1在(-6,6)有一个零点.由于g(x)=ax3+ax+1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增;当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点.因此方程f(x)=1仅有一个根.故选A.答案：A12.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A.45.666万元B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元解析：设在甲地销售x辆，在乙地则销售(15-x)辆，∴总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15)∴当x=10时，S有最大值45.6万元.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-2)=________.解析：∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)，∴f(-2)=f(2)=22-3=1.答案：114.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}至多有一个元素，则a的取值范围为________.解析：集合A有为∅和A中只有一个元素两种情况，a=0时，A={23}满足题意，a≠0时，则由Δ=9-8a≤0得a≥98.答案：a≥98或a=015.用二分法求方程ln x=1x在[1,2]上的近似解时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为________.解析：令f(x)=ln x-1x，则f(1)=-1<0，f(2)=ln 2-12=ln 2-ln e12>0，f(1.5)=f(32)=ln32-23=ln32-ln e23e23=3e2>32，∴ln e23>ln32，即f(1.5)<0.∴下一个有根区间为(1.5,2).答案：(1.5,2)16. 给出下列四个命题：①a>0且a≠1时函数y=logaax与函数y=alogax表示同一个函数.②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点.③函数y=3(x-1)2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到.④若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)定义域为[0,4].其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)解析：①两函数定义域不同，y=logaax定义域为R，y=alogax 定义域(0，+∞).②如果函数在x=0处没有定义，图象就不过原点，如y=1x.③正确.④f(x)定义域[0,2]∴f(2x)定义域0≤2x≤2即0≤x≤1，∴f(2x)定义域为[0,1].答案：③三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知A={x|x2+2x-8=0}，B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2-ax+a2-19=0}.若A∩C=∅，B∩C≠∅，求a的值.解析：A={2，-4}，B={2,3}，由A∩C=∅知2∉C，-4∉C，又由B∩C≠∅知3∈C，∴32-3a+a2-19=0解得a=-2或a=5，当a=-2时，C={3，-5}，满足A∩C=∅，当a=5时，C={3,2}，A∩C={2}≠∅，(舍去)，∴a=-2.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a，b为实数，a≠0，x∈R)(1)当函数f(x)的图象过点(-1,0)，且方程f(x)=0有且只有一个根，求f(x)的表达式.(2)在(1)的条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围.解析：(1)因为f(-1)=0，所以a-b+1=0因为方程f(x)=0有且只有一个根，∴Δ=b2-4a=0，∴b2-4(b-1)=0，即b=2，a=1，∴f(x)=(x+1)2.(2)∵g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1=(x-k-22)2+1-(k-2)24∴当k-22≥2或k-22≤-2时即k≥6或k≤-2时，g(x)是单调函数.19.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且对任意x，y∈(0，+∞)，都有f(xy)=f(x)-f(y).(1)求f(1)的值;(2)若f(6)=1，解不等式f(x+3)+f1x≤2.解析：(1)∵f(x)是(0，+∞)上的增函数，且对任意x，y∈(0，+∞)，都有f xy=f(x)-f(y)，∴f(1)=f(11)=f(1)-f(1)=0.(2)若f(6)=1，则f(x+3)+f 1x≤2=1+1=f(6)+f(6)，∴f(x+3)-f(6)≤f (6)-f 1x，即f x+36≤f(6x)，∴0解得x≥335.∴原不等式的解集为{x|x≥335}.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx+n1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(12)=25.(1)求实数m，n的值;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上为增函数;(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即m(-x)+n1+(-x)2=-mx+n1+x2.∴n=0.又∵f12=12m1+122=25，∴m=1.(2)由(1)得，f(x)=x1+x2.设-1则f(x1)-f(x2)=x11+x21-x21+x22=x1(1+x22)-x2(1+x21)(1+x21)(1+x22)=(x1-x2)(1-x1x2)(1+x21)(1+x22).∵-1∴x1-x2<0,1-x1x2>0,1+x21>0,1+x22>0，∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x)在(-1,1)上为增函数.(3)∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，由f(t-1)+f(t)<0，得f(t)<-f(t-1)=f(1-t).又∵f(x)在(-1,1)上为增函数，∴-1解得021.(本小题满分13分)某医疗研究所开发了一种新药，如果成人按规定的剂量服用，则服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式;(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗痢疾有效.假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果更佳?解析：(1)依题意，得y=6t，0≤t≤1，-23t+203，1(2)设第二次服药在第一次服药后t1小时，则-23t1+203=4.解得t1=4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即-23t2+203-23(t2-4)+203=4.解得t2=9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量为第二、三次的和，即-23(t3-4)+203-23(t3-9)+203=4.解得t3=13.5小时，故第四次服药应在20：30.22.(本小题满分13分)已知函数f(x)定义域为[-1,1]，若对于任意的x，y∈[-1,1]，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时，有f(x)>0，(1)证明： f(x)为奇函数;(2)证明：f(x)在[-1,1]上是增加的.(3)设f(1)=1，若f(x)解析：(1)令x=y=0，∴f(0)=0令y=-x，f(x)+f(-x)=0∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数.(2)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，令-1≤x1则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0，∴f(x)在[-1,1]上是增加的.(3)f(x)在[-1,1]上是增加的，f(x)max=f(1)=1，使f(x)1，即m-2am+1>0，令g(a)=m-2am+1=-2am+m+1，要使g(a)>0时，a∈[-1,1]恒成立，则g(-1)>0，g(1)>0，即1+3m>0，1-m>0，∴-13∴实数m的取值范围是(-13，1).。
陕西省西安市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(教师版)
陕西省西安市2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单选题1.已知集合A =x ∈N x <3 ,B =1,2,4 ，则A ∪B =( )A.1,2,4B.0,1,2,4C.1,2,3,4D.0,1,2,3,4【答案】B【详解】因为A =x ∈N x <3 =0,1,2 ,B =1,2,4所以A ∪B =0,1,2,4故选：B2.已知a >b >c ，则下列不等式一定成立的是( )A.ac >bcB.ab >bcC.a +c >2bD.a -c >b -c 【答案】D【详解】对于A ，若c =0，则不等式不成立，故A 错误；对于B ，若b =0，则不等式不成立，故B 错误；对于C ，若a =1,c =-10,b =0，则不等式不成立，故C 错误；对于D ，因为a >b ，所以a +-c >b +-c ，即a -c >b -c ，故D 正确.故选：D3.函数f x =2x 2-1x 3的部分图象大致是( )A. B.C.D.【答案】C【详解】因为f x =2x 2-1x 3定义域-∞,0 ∪0,+∞ ，且f -x =2-x 2-1-x3=-2x 2-1x 3=-f x ，所以f x 是奇函数，则f x 的图象关于原点对称，排除A ，D ；当0<x <22时，f x <0，排除B .故选：C4.“m <2”是“∃x ∈R ,x 2-4x +m <0是真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由∃x ∈R ,x 2-4x +m <0是真命题，得Δ=16-4m >0，即m <4，则“m <2”是“m <4”的充分不必要条件．故“m <2”是“∃x ∈R ，x 2-4x +m <0是真命题”的充分不必要条件．故选：A5.某班有56名同学，暑假期间，参加游泳培训的有35名，参加绘画培训的有25名，已知该班有5人既没参加游泳培训，也没参加绘画培训，则只参加游泳培训的同学有( )A.25名B.26名C.30名D.31名【答案】B【详解】如图所示，设该班所有同学为全集U ，参加游泳培训的同学为集合A ，参加绘画培训的同学为集合B ，则既参加游泳培训，又参加绘画培训的同学有35+25 -56-5 =9名，故只参加游泳培训的同学有35-9=26名．故选：B6.已知函数f x =x 3+2x -3，则不等式f x -3 >0的解集是( )A.1,+∞B.3,+∞C.4,+∞D.5,+∞【答案】C【详解】因为函数y =x 3和y =2x -3均在R 上单调递增，所以函数f x =x 3+2x -3在R 上单调递增，又f 1 =0，则不等式f x -3 >0，即f x -3 >f 1 ，所以x -3>1，解得x >4，所以不等式f x -3 >0的解集是4,+∞ .故选：C .7.若x <-1，则函数y =x 2+x +4x +1( )A.有最大值-5B.有最小值-5C.有最大值3D.有最小值3【答案】A【详解】由题意可得y =x 2+x +4x +1=x +1 +4x +1-1．因为x <-1，所以x +1<0,4x +1<0，所以-x +1 >0,-4x +1>0，所以-x +1 +-4x +1 ≥4，当且仅当-x +1 =-4x +1，即x =-3时等号成立，则x +1+4x +1≤-4，从而y =x 2+x +4x +1=x +1 +4x +1-1≤-5．故y =x 2+x +4x +1的最大值为-5，故选：A 8.已知全集U =R ，集合A =x x =3a +4b ,a ,b ∈Z ，B =x x =4a -3b ,a ,b ∈Z 则( )A.A ∩B =∅B.A ∩∁U B ≠0C.A =BD.B ÜA【答案】C【详解】若m ∈A ，则存在a ,b ∈Z ，使得m =3a +4b =4b -3-a ∈B ，同理，若n ∈B ，则存在a ,b ∈Z ，使得n =4a -3b =3-b +4a ∈A ，故A =B ，C 选项正确，ABD 选项错误，故选：C .二、多选题9.下列函数在定义域内是增函数的有( )A.y =x -2xB.y =x -3xC.y =x 3+5x -1D.y =x x +3【答案】BCD【详解】易知函数y =x -2x 在-∞,0 和0,+∞ 上单调递增，但在-∞,0 ∪0,+∞ 上不单调，即A 错误；函数y =x -3x =x +-3x，易知在0,+∞ 上函数单调递增，是增函数，即B 正确；显然函数y =x 3+5x -1在R 上单调递增，是增函数，所以C 正确；由函数y =x x +3=x 32+3可知，利用幂函数性质可知在0,+∞ 上单调递增，是增函数，即D 正确．故选：BCD10.下列命题是真命题的是( )A.所有平行四边形的对角线互相平分B.若x ,y 是无理数，则xy 一定是有理数C.若m <1，则关于x 的方程x 2+2x +m =0有两个负根D.两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比【答案】AD【详解】对于A ，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A 正确；对于B ，当x =3,y =2时，xy =6是无理数，所以B 错误；对于C ，由关于x 的方程x 2+2x +m =0有两个负根，得m >0,Δ=4-4m >0 解得0<m <1，所以C 错误．对于D ，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D 正确．故选：AD11.已知对任意的x ,y ∈-∞,0 ∪0,+∞ ，都有f xy =f x +f y ，且当x >1时，f x >0．则( )A.f 1 =0B.f x 的图象关于y 轴对称C.∀x ∈-∞,0 ∪0,+∞ ，f x ≥0D.不等式x -2 f x >0的解集是-1,0 ∪0,1 ∪2,+∞【答案】ABD【详解】对于A ，令y =1，得f x =f x +f 1 ，即f 1 =0，则A 正确．对于B ，令y =x ，得f x 2 =2f x ．用-x 代替x ，得f x 2 =2f -x ，则f x =f -x ，即f x 是偶函数，从而f x 的图象关于y 轴对称，故B 正确．对于C ，令x 1>x 2>0，则x 1x 2>1．因为当x >1时，f x >0，所以f x 1x 2>0，则f x 1 -f x 2 =f x 1x 2>0，即f x 1 >f x 2 ，故f x 在0,+∞ 上单调递增．因为f x 是偶函数，所以f x 在-∞,0 上单调递减．因为f 1 =0，所以f -1 =0，所以∃x ∈-1,0 ∪0,1 ，f x <0，则C 错误．对于D ，由x -2 f x >0，得x -2>0f x >0 或x -2<0f x <0 ，解得-1<x <0或0<x <1或x >2，则D 正确．故选：ABD12.已知关于x 的不等式a x 2-2x -3 -2>0的解集是x x 1<x <x 2 ，则( )A.-1<x 1<x 2<3B.x 1+x 2=2C.x 1x 2<-3D.x 2-x 1<4【答案】ABD【详解】不等式a x 2-2x -3 -2>0等价于不等式ax 2-2ax -3a -2>0，因为关于x 的不等式a x 2-2x -3 -2>0的解集是x x 1<x <x 2 ，所以a <0，且x 1+x 2=2，x 1x 2=-3-2a>-3，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4-4×-3-2a =16+8a<4，故B ，D 正确，C 错误.设y =a x 2-2x -3 ，a <0，则不等式y >0的解集是x -1<x <3 .又关于x 的不等式a x 2-2x -3 -2>0即y >2的解集是x x 1<x <x 2 ，所以x x 1<x <x 2 是x -1<x <3 的真子集，所以-1<x 1<x 2<3，则A 正确.故选：ABD .三、填空题13.英文单词good 的所有字母组成的集合记为A ，用列举法表示集合A =．【答案】g ,o ,d【详解】根据集合元素的互异性可知集合A =g ,o ,d ．故答案为：g ,o ,d14.已知f x =x 3+x 2-2x +1x 2+1+a 是奇函数，则a =．【答案】-1【详解】因为f x =x 3+x 2-2x +1x 2+1+a =x 3-2x x 2+1+a +1，所以f -x =-x 3-2x x 2+1+a +1，则f x +f -x =2a +2，因为f x 是奇函数，所以f x +f -x =0，所以2a +2=0，解得a =-1．故答案为：-115.某校共购买80个篮球，分给六个年级，要求每个年级分到的篮球与其他任一年级分到的篮球数量相差不超过5个，若某年级分到x 个篮球，则x 的最小值是．【答案】10【详解】因为每个年级分到的篮球与其他任一年级分到的篮球数量相差不超过5个，所以80-x 5-x ≤5,可得80-x 5≥x -580-x 5≤x +5解得556≤x ≤352．又因为x ∈N ，所以x 的最小值是10．16.已知函数f x =x 2-2ax +40<x <3a 的任意三个函数值f x 1 ，f x 2 ，f x 3 可以作为一个三角形的三边长，则a 的取值范围是．【答案】0,255【详解】由题意可得f x min =f a =4-a 2，f x max <f 3a =3a 2+4，则a >04-a 2>03a 2+4≤24-a 2，解得0<a ≤255，故答案为：0,255 ．四、解答题17.已知集合A =x 2-x >1 ，B =x a +1<x <a +5 ．(1)当a =-2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．【答案】(1)A ∩B =x -1<x <1 (2)-∞,-4【详解】(1)由已知A =x 2-x >1 =x x <1 ，当a =-2时，B =x -1<x <3 ，所以A ∩B =x -1<x <1 ，(2)由B =x a +1<x <a +5 ，得B ≠∅，又A =x 2-x >1 =x x <1 ，且B ⊆A ，则a +5≤1，解得a ≤-4，即a ∈-∞,-4 .18.已知幂函数f x =m 2-m -5 x m 在0,+∞ 上单调递增．(1)求f x 的解析式；(2)若2a +3 m >a -2 m ，求a 的取值范围．【答案】(1)f x =x 3(2)-5,+∞【详解】(1)由函数f x =m 2-m -5 x m 为幂函数，所以m 2-m -5=1，解得m =-2或m =3，又函数f x 在0,+∞ 上单调递增，所以m >0，即m =3，所以f x =x 3；(2)由(1)得m =3，所以2a +3 3>a -2 3，又函数f x =x 3在R 上单调递增，所以2a +3>a -2，解得a >-5，所以a 的取值范围是-5,+∞ .19.已知二次函数f x 满足f 2x +f x +1 =5x 2-x +4．(1)求f x 的解析式；(2)设函数g x =f x x +1，判断g x 在1,+∞ 上的单调性，并用定义法证明．【答案】(1)f x =x 2-x +2(2)g x 在1,+∞ 上单调递增，证明见解析【详解】(1)设f x =ax 2+bx +c a ≠0 ，则f 2x =4ax 2+2bx +c ，f x +1 =ax 2+2a +b x +a +b +c ，故f 2x +f x +1 =5ax 2+2a +3b x +a +b +2c ．因为f 2x +f x +1 =5x 2-x +4，所以5a =52a +3b =-1a +b +2c =4，解得a =1，b =-1，c =2，所以f x =x 2-x +2．(2)g x 在1,+∞ 上单调递增，证明如下：由(1)可得g x =x 2-x +2x +1=x +4x +1-2．设x 1>x 2>1，则g x 1 -g x 2 =x 1+4x 1+1-2-x 2+4x 2+1-2 =x 1-x 2 +4x 1+1-4x 2+1 =x 1-x 2 x 1+1 x 2+1 -4 x 1+1 x 2+1．因为x 1>x 2>1，所以x 1-x 2>0，x 1+1>x 2+1>2，所以x 1+1 x 2+1 >4，所以x 1+1 x 2+1 -4>0，所以x 1-x 2 x 1+1 x 2+1 -4 x 1+1 x 2+1>0，即g x 1 >g x 2 ，故g x 在1,+∞ 上单调递增．20.讨论关于x 的不等式a x -a x -2+a <0a ≠0 的解集．【答案】答案见解析【详解】方程a x -a x -2+a =0a ≠0 的实根为x 1=a ，x 2=2-a ．当a <0时，x 1=a <0，x 2=2-a >0，原不等式可化为x -a x -2+a >0，所以原不等式的解集为-∞,a ∪2-a ,+∞ ．当a >0时，原不等式可化为x -a x -2+a <0．当0<a <1时，a <2-a ，所以原不等式的解集为a ,2-a ．当a =1时，a =2-a =1，所以原不等式的解集为∅．当a >1时，a >2-a ，所以原不等式的解集为2-a ,a ．综上所述，当a <0时，原不等式的解集为-∞,a ∪2-a ,+∞ ；当0<a <1时，原不等式的解集为a ,2-a ；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为2-a ,a ．21.某企业为开发新业务，计划投资20万元引进新设备．用于生产某产品的配件．每生产x 万件该产品配件，需另投入成本f x 万元，且f x =12x 2+4x ,0<x ≤1013x +225x -65,10<x ≤20，已知该产品配件的售价为12元/件，且所生产的配件全部能售完．(1)求该产品配件的年利润W x (单位：万元)关于年生产量x (单位：万件)的函数关系式；(2)当年生产量为多少万件时，年利润最大？并求出最大年利润．【答案】(1)W x =-12x 2+8x -20,0<x ≤10-x -225x+45,10<x ≤20 (2)年生产量为15万件时，该企业年利润最大，最大年利润是15万元【详解】(1)当0<x ≤10时，该产品配件的年利润W x =12x -12x 2+4x -20=-12x 2+8x -20；当10<x ≤20时，W x =12x -13x +225x -65 -20=-x -225x+45．综上，该产品配件的年利润W x =-12x 2+8x -20,0<x ≤10-x -225x +45,10<x ≤20．(2)当0<x ≤10时，W x =-12x 2+8x -20=-12x -8 2+12，则当x =8时，W x max =12万元；当10<x ≤20时，W x =-x -225x +45≤-2225+45=15，当且仅当x =225x，即x =15时，W x max =15万元．因为15>12，所以年生产量为15万件时，该企业年利润最大，最大年利润是15万元．22.已知定义在-2,2 上的函数f x 满足∀m ,n ∈-1,1 ，f 2m +f 2n =2f m +n ⋅f m -n ，f 0 ≠0．(1)试判断f x 的奇偶性，并说明理由．(2)证明：f x +2x 2≥x -98．【答案】(1)偶函数，证明见详解(2)证明详解【详解】(1)f x 为偶函数，理由如下：令m =n =0，由f 2m +f 2n =2f m +n ⋅f m -n ，得2f (0)=2f 2(0)，又f 0 ≠0，所以f (0)=1，令n =-m ，则f (2m )+f (-2m )=2f (0)f (2m )，所以f (-2m )=f (2m )，即f (-x )=f (x )，x ∈[-2,2]，故f x 为偶函数.(2)令n =0及f (0)=1，可得f (2m )+1=2f 2(m )，所以f (2m )=2f 2(m )-1≥-1，即f (x )≥-1，又y =-2x 2+x -98=-2x -14 2-1≤-1，当x =14∈[-2,2]时，等号成立，故f (x )≥-2x 2+x -98，即f x +2x 2≥x -98，故原不等式得证.。
第一学期高一数学期中试题及答案1
高一第一学期期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
注意事项：答题前考生务必将考场、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。
选择题每题答案涂在答题卡上，非选择题每题答案写在答题纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上。
考试结束，将答题卡和答题纸交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1} 2．函数y ＝1ln (x －1)的定义域为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(1,2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪[3，＋∞)3．已知f (x )＝⎩⎨⎧f (x －5)，x ≥0，log 2(－x )，x <0，则f (2 016)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．24、若α与β的终边关于x 轴对称，则有( )A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈ZC ．α＋β＝2k ·180°，k ∈ZD ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z 5、设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 26．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.002.003.00 y0.240.5112.023.988.02则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx7．定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )8、设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2，或x >4} B ．{x |x <0，或x >4} C ．{x |x <0，或x >6}D ．{x |x <－2，或x >2}9．函数y ＝log 12(x 2－kx ＋3)在[1,2]上的值恒为正数，则k 的取值范围是( ) A ．22<k <2 3 B ．22<k <72 C ．3<k <72D ．3<k <2 310. 已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2D ．－211．设m ∈R ，f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)，且f (m )＜0，则f (m ＋1)的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定12、已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.14 . 函数f(x)＝x＋2x在区间[0,4]上的最大值M与最小值N的和为__.15．若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．16. 已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题10分）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求实数a的值．18．(本小题满分12分)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．19．（本小题满分12分）已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．20、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．21．（本小题满分12分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．高一数学期中测试卷参考答案1．解析：由题意知集合B 的元素为1或－1或者B 为空集，故a ＝0或1或－1，选D. 答案：D2. 解析 由ln(x －1)≠0，得x －1>0且x －1≠1.由此解得x >1且x ≠2，即函数y ＝1ln (x －1)的定义域是(1,2)∪(2，＋∞)．答案 C3. 解析 f (2 016)＝f (1)＝f (1－5)＝f (－4)＝log 24＝2. 答案 D4. 解析：根据终边对称，将一个角用另一个角表示，然后再找两角关系． 因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z ，故选C. 答案：C5. 解析：y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.由于指数函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，且1.8＞1.5＞1.44，所以y 1＞y 3＞y 2，选D.答案：D6. 解析：在坐标系中将点(－2,0.24)，(－1,0.51)，(0,1)，(1,2.02)，(2,3.98)，(3,8.02)画出，观察可以发现这些点大约在一个指数型函数的图象上，因此x 与y 的函数关系与y ＝a ＋b x 最接近．答案：B7. 解析：f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，2x ，x ＜0故选A.答案：A8. 解析：当x ≥0时，令f (x )＝2x －4>0，所以x >2.又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )>0的解集为{x |x <－2，或x >2}．将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位即得函数y ＝f (x －2)的图象，故f (x －2)>0的解集为{x |x <0，或x >4}．答案：B9. 解析：∵log 12(x 2－kx ＋3)>0在[1,2]上恒成立，∴0<x 2－kx ＋3<1在[1,2]上恒成立，∴⎩⎨⎧k <x ＋3xk >x ＋2x在[1,2]上恒成立又当1≤x ≤2时，y ＝x ＋3x ∈[23，4]，y ＝x ＋2x ∈[22，3]．∴3<k <2 3. 答案：D10. 解析：设cos x sin x －1＝t ，则1＋sin x cos x ·1t ＝1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，而1＋sin x cos x ＝－12，所以t ＝12.故选A. 答案：A11. 解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，f (0)＝a ，∵a ＞0，∴f (0)＞0，由二次函数的对称性可知f (1)＝f (0)＞0. ∵抛物线的开口向上，∴由图象可知当x ＞1时，恒有f (x )＞0. ∵f (m )＜0，∴0＜m ＜1. ∴m ＞0，∴m ＋1＞1， ∴f (m ＋1)＞0. 答案：A12. 解析：(特殊值检验法)当x ＝0时，函数无意义，排除选项D 中的图象，当x ＝1e －1时，f (1e －1)＝1ln (1e －1＋1)－(1e －1)＝－e<0，排除选项A 、C 中的图象，故只能是选项B 中的图象．(注：这里选取特殊值x ＝(1e －1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A 、C ，这种取特值的技巧在解题中很有用处)答案：B13. 答案 0 解析 由|x ＋2|<3，得－3<x ＋2<3，即－5<x <1.又A ∩B ＝(－1，n )，则(x －m )(x －2)<0时必有m <x <2，从而A ∩B ＝(－1,1)，∴m ＝－1，n ＝1，∴m ＋n ＝0.14. 解析：令t ＝x ，则t ∈[0,2]，于是y ＝t 2＋2t ＝(t ＋1)2－1，显然它在t ∈[0,2]上是增函数，故t ＝2时，M ＝8；t ＝0时N ＝0，∴M ＋N ＝8.答案：815. 解析：值域为{1,4}，则定义域中必须至少含有1，－1中的一个且至少含有2，－2中的一个． 当定义域含有两个元素时，可以为{－1，－2}，或{－1,2}，或{1，－2}，或{1,2}；当定义域中含有三个元素时，可以为{－1,1，－2}，或{－1，1,2}，或{1，－2,2}，或{－1，－2,2}； 当定义域含有四个元素时，为{－1,1，－2,2}． 所以同族函数共有9个． 答案：916. 解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， ∴其定义域[a －1,2a ]关于原点对称， 即a －1＝－2a ，∴a ＝13.∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数， 即f (－x )＝f (x )，∴b ＝0， ∴f (x )＝13x 2＋1，x ∈[－23，23]，其值域为{y |1≤y ≤3127}．答案：{y |1≤y ≤3127}17. 答案 a ＝2或a ＝3解析 A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． 当B ＝∅时，无解；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝a ，1×1＝a －1，得a ＝2；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝a ，2×2＝a －1，无解；当B ＝{1,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝a ，1×2＝a －1，得a ＝3.综上：a ＝2或a ＝3.18. 【解析】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3 cm.(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25.所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm.S 弓＝S 扇形－S 三角形＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3) cm 2.【答案】 (1)10π3 cm (2)α＝2时，S 最大为25(3)2π3－ 3 cm 2 19. 解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1， 所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1) 知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． 又因f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， 因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t ＞k －2t 2，即对t ∈R 有：3t 2－2t －k ＞0，从而Δ＝4＋12k ＜0⇒k ＜－13.20. 解：∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0.∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0时，即m ＞2或m ＜－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 21. 解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标． 22. 答案 (1){x |x >1或x <－4} (2)－2 解析 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1. (1)∵f (1)>0，∴a －1a >0.又a >0且a ≠1，∴a >1. ∵k ＝1，∴f (x )＝a x －a －x .当a >1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为增函数， ∴f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， ∴x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0.∴x >1或x <－4.∴不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0.∴a ＝2或a ＝－12(舍去)．∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2. 令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则g(t)＝t2－4t＋2.∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，∴h(x)≥h(1)＝32，即t≥32.∵g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈[32，＋∞)，∴当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x＝log2(1＋2)．故当x＝log2(1＋2)时，g(x)有最小值－2.。
西安高新第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(教师版)
西安市高新第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题一、单选题1.集合A=1,2,3，B=y y=2x-1,x∈A，则A∩B等于( )A.∅B.2C.1,3D.1,3,5【答案】C【详解】由题设B={1,3,5}，故A∩B={1,3}.故选：C2.命题“∃x≥3，x2-2x+3<0”的否定是( )A.∀x≥3，x2-2x+3<0B.∀x≥3，x2-2x+3≥0C.∀x<3，x2-2x+3≥0D.∃x<3，x2-2x+3≥0【答案】B【详解】解：因为命题“∃x≥3，x2-2x+3<0”为存在量词命题，所以其否定为“∀x≥3，x2-2x+3≥0”．故选：B．3.设α∈-1, 12, 1, 2, 3，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )A.-1，1B.1，3C.1，2，3D.12，1，3【答案】B【详解】因为y=x-1,y=x12的定义域都不是R，函数y=x2是定义域为R的偶函数，所以y=x-1,y=x12，y=x2均不满足题意，而y=x，y=x3均符合题意，所以满足题意的α的值为1,3.故选：B4.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e ax+b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为( )A.16小时B.24小时C.36小时D.72小时【答案】D【详解】由题设216=e6a+b8=e24a+b⇒e18a=127⇒a=-ln36，b=4ln3+3ln2，所以x=12时，ax+b=-2ln3+4ln3+3ln2=ln72，此时y=e ln72=72小时.故选：D5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图像的特征，如函数f(x)=3x1-x2的图像大致是( )A. B.C. D.【答案】C【详解】由f (x )=3x 1-x 2可知，当x ∈0,1 时，f x >0，故排除A ；当x >1时，f x <0，排除BD .故选：C 6.已知函数f x 是偶函数，当0≤x 1<x 2时，f x 2 -f x 1 x 2-x 1 >0恒成立，设a =f 55 ，b =f -2 ，c =f 33 ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c 【答案】A【详解】当0≤x 1<x 2时，f x 2 -f x 1 x 2-x 1 >0恒成立，可知函数f x 在0,+∞ 上单调递增，又因为函数f x 是偶函数，所以b =f -2 =f 2 ，设a 1=55,b 1=2,c 1=33，则a 1 10=55 10=25,b 1 10=2 10=32，所以a 1<b 1，又b 1 6=2 6=8,c 1 6=33 6=9，所以b 1<c 1，所以a 1<b 1<c 1，又因为函数f x 在0,+∞ 上单调递增，所以a <b <c .故选：A .7.已知二次函数y =ax -1 x -a ．甲同学：y >0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ；乙同学：y <0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ，丙同学：y =ax -1 x -a 的对称轴在y 轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a 的取值范围为( )A.a <-1B.-1<a <0C.0<a ≤1D.a >1【答案】C【详解】若y >0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ，则a >01a≥a ⇒0<a ≤1；若y <0的解集为-∞,a ∪1a ,+∞ ，则a <01a≥a ⇒a ≤-1；若y =ax -1 x -a 的对称轴在y 轴右侧，则a +1a 2>0⇒a +1a =a 2+1a>0⇒a >0；又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，0<a ≤1.故选：C8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +1)=13f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )=1-|2x -1|.若对∀x ∈[m ,+∞)，都有f (x )≤281，则m 的取值范围是( )A.103,+∞ B.113,+∞C.133,+∞D.143+∞ 【答案】B【详解】因为当x ∈[0,1)时，f (x )=1-|2x -1|，所以f (x )=2x ,0≤x <122-2x ,12≤x <1，又因为函数f (x )满足f (x +1)=13f (x )，所以函数f (x )的部分图像如下，由图可知，若对∀x ∈[m ,+∞)，都有f (x )≤281，则m ≥113.故A ，C ，D 错误.故选：B .二、多选题9.已知a <b <c ，且ac <0，则下列不等式中一定成立的是( )A.ac <bcB.ab 2<cb 2C.a a -b >0D.ac a -b >0【答案】ACD【详解】因为a <b <c ，且ac <0，所以c >0，a <0，故ac <bc ，A 正确．当b =0时，ab 2=cb 2，B 错误．a -b <0，a a -b >0，C 正确．a -b <0，ac a -b >0，D 正确．故选：ACD .10.下列四个不等式中，解集为-∞,1 ∪3,+∞ 的是( )A.2x -4x -3≥1 B.4x -5⋅2x +1+17≥x -3 0C.x 2-4x +3≥0 D.x -3+1 x +3≥0【答案】AB【详解】A ：由2x -4x -3-1=x -1x -3≥0，则x -1 x -3 ≥0x -3≠0 ⇒x ≤1或x >3，符合；B ：由4x -5⋅2x +1+17≥x -3 0，则22x -10⋅2x +16≥0x -3≠0 ⇒(2x -2)(2x -8)≥0x ≠3 ，所以x ≤1或x >3，符合；C ：x 2-4x +3=(x -1)(x -3)≥0，可得x ≤1或x ≥3，不符合；D ：x -3+1 x +3=(x -1)(x -3)≥0，则x ≤1或x ≥3，且x ≥0，所以0≤x ≤1或x ≥3，不符合.故选：AB .11.函数f x 的定义域为D ，若存在闭区间a ,b ⊆D ，使得函数f x 同时满足①f x 在a ,b 上是单调函数；②f x 在a ,b 上的值域为ka ,kb k >0 ，则称区间a ,b 为f x 的“k 倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有( )A.f x =2x (x ≤0)B.f x =1x (x >0)C.f x =x 2(x ≥0)D.f x =x 1+x 2(0≤x ≤1)【答案】BC【详解】A ：f x =2x 在(-∞,0]上递增，令2a=3a 2b =3b ，由于y =2x ,y =3x 在(-∞,0]上无交点，所以不存在a ,b 上的值域为3a ,3b ，不符合；B ：f x =1x 在(0,+∞)上递减，令1a =3b 1b =3a且b >a >0，即ab =13，故a =13,b =1时，存在a ,b 上的值域为3a ,3b ，符合；C ：f x =x 2在[0,+∞)上递增，令a 2=3a b 2=3b 且b >a ≥0，可得a =0b =3 ，故a =0,b =3时，存在a ,b 上的值域为3a ,3b ，符合；D ：在0<x ≤1，f x =11x +x ，而y =1x +x 在(0,1]上递减，则f x 在(0,1]上递增，又f 0 =0，所以f x 在[0,1]上的值域为0,12 ，令a 1+a 2=3a b 1+b 2=3b 且0≤a <b ≤1，可得a =0b =0 ，不合题设；故选：BC12.已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x <0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12023 +f 12022 +⋯+f 13 +f 12 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 +f 2023 =2023D.不等式f 1x-f x -3 ≥2的解集为4,+∞ 【答案】ABD【详解】对于A ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x =-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1 ，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12023 +f 12022 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2022 +f 2023 =f 12023×2023 +f 12022×2022 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1 +⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12 =-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，即不等式f 1x-f x -3 ≥2的解集为4,+∞ ，故D 正确,故选：ABD ．三、填空题13.函数f (x )=x +1x -1的定义域为．【答案】0,1 ∪1,+∞【详解】由题意得x ≥0x -1≠0 ，解得x ≥0且x ≠1，故答案为：0,1 ∪1,+∞14.我校召开秋季运动会，高一某班有28名同学参加比赛，有15人参加集体项目，有8人参加田赛，有14人参加径赛，同时参加集体项目和田赛的有3人，同时参加集体项目和径赛的有3人，没有人同时参加三个项目的比赛，则只参加径赛的有人．【答案】8【详解】假设只参加径赛的有x 人，又没有人同时参加三个项目的比赛，所以同时参加田赛和径赛人数为14-3-x ，只参加田赛人数为8-3-(14-3-x )，综上，9+x +x -6+3+3+11-x =28，可得x =8.故答案为：815.已知f x =x 2-2x +3，g x =122x +1-m ，若对任意x 1∈0,3 ，都存在x 2∈-2,-1 ，使得f x 1 ≥g x 2 ，则实数m 的取值范围是.【答案】[0,+∞)【详解】f x =x 2-2x +3=x -1 2+2，f x 在-∞,1 上单调递减，在[1,+∞)上单调递增.所以当x ∈0,3 时，f x min =f (1)=2.g x =122x +1-m 在R 上单调递减，所以当x ∈-2,-1 时，g x min =g (-1)=2-m .因为对任意x 1∈0,3 ，都存在x 2∈-2,-1 ，使得f x 1 ≥g x 2 ，所以只需f x min ≥g x min 即可，即2≥2-m ，解得m ≥0，即m 的取值范围是[0,+∞).故答案为：[0,+∞)16.已知函数f x =x +1x +a ，若对任意实数a ，关于x 的不等式f x ≥m 在区间12,3 上总有解，则实数m 的最大值为．【答案】23【详解】函数y =x +1x 在区间12,3 上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a ，关于x 的不等式f x ≥m 在区间12,3上总有解，只要找到其中一个实数a ，使得f x =x +1x+a 的最大值最小即可，如图，函数y =x +1x向下平移到一定的程度时，函数f x 的最大值最小，此时只有当f 1 =f 3 时，才能保证函数f x 的最大值最小，设函数y =x +1x 的图象向下平移了t 个单位，其中t >0，则103-t =-2-t ，解得t =83，此时函数f x max =103-83=23，∴m ≤23.因此，实数m 的最大值为23.故答案为：23.四、解答题17.集合A =x x -1x +3<0 ，B =x x 2-4x -5<0 ，C =x x <2m -1,m ∈R ．(1)求A ∩B ；(2)若x ∈B 是x ∈C 的充分条件，且x ∈C 是x ∈A 的必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(-1,1)(2)3,+∞【详解】(1)由x -1x +3<0⇔x +3 x -1 <0⇔-3<x <1，则A =(-3,1)，由x 2-4x -5<0⇔(x +1)(x -5)<0⇔-1<x <5，则B =(-1,5)，故A ∩B =(-1,1)；(2)x ∈B 是x ∈C 的充分条件，则B ⊆C ；x ∈C 是x ∈A 的必要条件，即x ∈A 是x ∈C 的充分条件，则A ⊆C ；故A ∪B ⊆C ,由A ∪B =(-3,5)，C =x x <2m -1,m ∈R ，则5≤2m -1，解得m ≥3,故实数m 的取值范围是3,+∞ .18.已知x >0，y >0，且满足4x +1y =2．(1)求x +y 的最小值；(2)求1x +4 y +1的最大值．【答案】(1)92；(2)116.【详解】(1)由题设x +y =12(x +y )4x +1y =125+4y x +x y ≥125+24y x ⋅x y =92，当且仅当4y x =x y ，即x =3,y =32时等号成立，所以x +y 的最小值为92.(2)由4x +1y =2⇒4y +x =2xy ，则1x +4 y +1 =1xy +4y +x +4=13xy +4，又4y +x =2xy ≥24xy =4xy ，故xy (xy -2)≥0，即xy ≥4，当且仅当4y =x ，即x =4,y =1时等号成立，所以3xy +4≥16，故1x +4 y +1≤116，仅当x =4,y =1时等号成立，所以1x +4 y +1的最大值116.19.已知函数f x =3x +m 3x +1为奇函数．(1)判断函数f x 的单调性，并加以证明．(2)若不等式f at 2+2t -2 +f 1-t ≥0对一切t ∈1,4 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)f x 在R 上单调递增，证明见解析(2)[0,+∞)【详解】(1)函数f x 的定义域为R ，f x =3x +m 3x +1=3x +1+m -13x +1=1+m -13x +1，因为f x 为奇函数，所以∀x ∈R ,f -x =-f (x )，所以1+m -13-x +1=-1-m -13x +1，则2=-(m -1)13x +1+13-x +1=(1-m )13x +1+3x 1+3z =1-m 所以m =-1；函数f x =1-23x +1，在R 上单调递增.下面用单调性定义证明：任取x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=1-23x 1+1-1-23x 2+1 =23x 2+1-23x 1+1=2(3x 1-3x 2)(3x 1+1)(3x 2+1)因为y =3x 在R 上单调递增，且x 1<x 2，所以3x 1-3x 2<0，又(3x 1+1)(3x 2+1)>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f x 在R 上单调递增.(2)因为f x 为奇函数，所以f -x =-f (x )，由f at 2+2t -2 +f 1-t ≥0得f at 2+2t -2 ≥-f 1-t ，即f at 2+2t -2 ≥f t -1 ，由(1)可知,函数f x 在R 上单调递增，所以at 2+2t -2≥t -1，即不等式at 2+t -1≥0对一切t ∈1,4 恒成立,则a ≥1t 2-1t =1t -12 2-14，又1t ∈14,1 ，所以当1t =1时，1t 2-1t 取最大值，最大值为0，所以要使a ≥1t2-1t 恒成立，则a ≥0，所以a 的取值范围为[0,+∞).20.已知不等式mx 2-3x +b >4的解集为-∞,1 ∪2,+∞ ．(1)求m ，b 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2+m -a x +a -b <a -5m a ∈R ．【答案】(1)m =1,b =6;(2)答案见解析.【详解】(1)由题设mx 2-3x +b -4>0的解集为-∞,1 ∪2,+∞ ，所以1,2是mx 2-3x +b -4=0的两个根，且m >0，Δ=9-4m (b -4)>0，所以3m =3b -4m=2⇒m =1b =6 ，满足Δ=9-4×(6-4)=1>0，故m =1,b =6.(2)由(1)知：ax 2+1-a x -1=(ax +1)(x -1)<0，当a =0，则x -1<0，即x <1，解集为(-∞,1)；当a ≠0，则a x +1a (x -1)<0，若a >0，则x +1a (x -1)<0，可得-1a <x <1，解集为-1a ,1 ；若a <0，则x +1a (x -1)>0，当-1a <1，即a <-1时，可得x <-1a 或x >1，解集为-∞,-1a∪(1,+∞)；当-1a =1，即a =-1时，可得x ≠1，解集为(-∞,1)∪(1,+∞)；当-1a >1，即-1<a <0时，可得x <1或x >-1a ，解集为(-∞,1)∪-1a ,+∞ ；21.在2021年的全国两会上，“碳达峰”“碳中和”被首次写入政府工作报告，也进一步成为网络热词．为了减少自身消费的碳排放，节省燃料．经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q (单位：L )与速度v (单位：km/h )(40≤v ≤120)的数据关系：Q v =0.000025v 3-0.004v 2+0.25v 40≤v <100 0.00625v 2-1.101v +57.6100≤v ≤120．(1)王先生购买了一辆这种型号的汽车接送孩子上学，由于城市道路拥堵，每小时只能行驶40km ，王先生家距离学校路程为8km ，王先生早上开车送孩子到学校，晚上开车接回家，求王先生每天开车接送孩子的耗油量；(2)周末，王先生开车带全家到周边游玩，经过一段长度为100km 平坦的高速公路(匀速行驶)，这辆车应以什么速度在这段高速公路行驶才能使总耗油量最少？【答案】(1)2.08(L )(2)80km/h【详解】(1)王先生的汽车每小时耗油量为Q 40 =0.000025×403-0.004×402+0.25×40=5.2(L )，每天开车接送孩子的时间为840×2=0.4(h )，则王先生每天开车接送孩子的耗油量为5.2×0.4=2.08(L ).(2)设总油耗量为W ，当40≤v <100时，Q v =0.000025v 3-0.004v 2+0.25v ，∴W =100v×Q v =0.0025v 2-0.4v +25=0.0025(v -80)2+9，∴当v =80时，W 取得最小值为9，当100≤v ≤120时，Q v =0.00625v 2-1.101v +57.6，∴W =100v ×Q v =0.625v +5760v-110.1，令v 1,v 2∈[100,120]，且v 1<v 2，则W 1-W 2=0.625v 1+5760v 1-110.1-0.625v 2+5760v 2-110.1 =0.625(v 1-v 2)+57601v 1-1v 2 =(v 1-v 2)0.625v 1v 2-5760v 1v 2，当v 1,v 2∈[100,120]且v 1<v 2时，v 1-v 2<0,v 1v 2>0，0.625v 1v 2-5760>0.625×1002-5760=490>0，则W 1-W 2<0，可得W =0.625v +5760v-110.1在[100,120]上单调递增，∴当v =100时，W 取得最小值为10，综上，当40≤v ≤120时，W 的最小值为9，此时对应的v =80，所以，这辆车应以80km/h 速度行驶才能使总耗油量最少．22.设函数f x ，g x 具有如下性质：①定义域均为R ；②f x 为奇函数，g x 为偶函数；③f x +g x =e x (常数e 是自然对数的底数，e =2.71828⋯)．利用上述性质，解决以下问题：(1)求函数f x ，g x 的解析式；(2)证明：对任意实数x ，f x 2-g x 2为定值，并求出这个定值；(3)已知m ∈R ，记函数y =2m ⋅g 2x -4f x ，x ∈-1,0 的最小值为φm ，求φm ．【答案】(1)f x =e x -e -x 2,g x =e x +e -x 2(2)-1(3)φm =m 1e -e 2-21e -e +2m ,m ≤2e 2-e 22m ,m >2e 2-e2【详解】(1)由性质③知，f x +g x =e x ，所以f -x +g -x =e -x ，由性质②知，f -x =-f x ,g -x =g x ，所以-f x +g x =e -x ，解得f x =e x -e -x 2,g x =e x +e -x 2.(2)由(1)可得：f x 2-g x 2=e x -e -x 2 2-e x +e -x 2 2=e 2x +e -2x -24-e 2x +e -2x +24=-1(3)函数y =2m ⋅g 2x -4f x =m e 2x +e -2x -2e x -e -x ，设t =e x -e -x ，因为函数y =e x 、y =-e -x 均为R 上的增函数，故函数t 为R 上的增函数，当x ∈-1,0 时，t ∈1e -e ,0 ，t 2=e x -e -x 2=e 2x +e -2x -2，所以e 2x +e -2x =t 2+2，所以原函数即y =mt 2-2t +2m ，t ∈1e -e ,0，设h t =mt 2-2t +2m ，t ∈1e -e ,0，当m =0时，h t =-2t 在t ∈1e -e ,0上单调递减，此时h t min =h 0 =0．当m ≠0时，函数h t 的对称轴为t =1m ，当1m >0时，即m >0时，h t 开口向上，在1e-e ,0 上单调递减，此时h t min =h 0 =2m ，当1m <12e -e 2时，即0>m >2e 2-e 2时，函数开口向下，此时h t min =h 0 =2m ，当12e -e 2≤1m <0时，即m ≤2e 2-e 2时，函数开口向下，此时h t min =h 1e -e =m 1e -e 2-21e-e +2m ，综上所述，φm =m 1e -e 2-21e -e +2m ,m ≤2e 2-e 22m ,m >2e 2-e 2.。
2022-2023学年陕西省西安市高新一中高一(上)期中数学试卷
能力行为态度理由太多、妨碍进步2022-2023学年陕西省西安市高新一中高一(上)期中数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(4分)已知集合A ={3，5，6，8}，B ={4，5，7，8}，则A ∪B =()A.{5，8}B.{3，4，5，6，7，8}C.{3，4，5，5，6，7，8，8}D.{3，4，6，7}2.(4分)已知命题p :∃x >0，使x 2+2x +1=0成立，则p 的否定是()A.∃x ≤0，使x 2+2x +1=0不成立B.∀x ≤0，使x 2+2x +1=0不成立C.∀x >0，使x 2+2x +1=0不成立D.3x >0，使x 2+2x +1=0不成立3.(4分)不等式3-x 2+x ≥0的解集为()A.(-∞，-2]∪[3，+∞)B.(-∞,-2)∪[3，+∞)C.[-2，3]D.(-2，3]4.(4分)“1a >1b>0”是“b a +a b ≥2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5.(4分)定义在R 上函数f (x )满足：∀x 1，x 2(x 1≠x 2)，有(x 1-x 2)(f (x 1)-f (x 2))<0，则下列关系式一定成立的是()A.f (a -3)>f (a 2)B.f (a )>f (2a )C.f 213 >f log 213D.f (π0.3)>f (0.3π)6.(4分)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1=5.06x -0.15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A.45.606万元 B.45.6万元 C.45.56万元D.45.51万元7.(4分)关于函数f (x )=|x -3|+|x +4|的说法，下列正确的是()A.奇函数，且为增函数B.奇函数，且为减函数C.偶函数D.非奇非偶函数8.(4分)已知函数f (x )=e x -e -x +x |x |+2在区间[-2，2]上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M +N 的值为()A.-2 B.0C.2D.4二、多选题9.(5分)下列函数中在[1，4]单调递增的有()A.y =x 12+2xB.y =x +12xC.y =2x ,x ≤2x 2-4x +2,x >2 D.y =|x -3|10.(5分)若a <b <0，那么下列不等式一定成立的是()A.b +1a +1>b aB.a -1a <b -1bC.ac 2<bc 2D.1a >1b 第1页共3页行为态度能力理由太多、妨碍进步11.(5分)若集合A =x x =m +16,m ∈Z ,B =x x =n 2-13,n ∈Z ,C =x x =k 2+16,k ∈Z ，则A ，B ，C 之间的关系是()A.A =B =CB.B =CC.A ⊆BD.B ⊆A 12.(5分)已知函数f (x )=|2x -1|,x ≤2-x +5,x >2，则下列说法正确的是()A.函数y =f (|x |)在-32,3 的值域为[0，3]B.若实数a ，b ，c 满足a <b <c 且f (a )=f (b )=f (c )，则2a +c +2b +c 的取值范围是(32,64)C.∃实数m ∈(0,3)，关于x 的方程f 2(x )+(1-m )f (x )-m =0恰有五个不同实数根D.∀实数t ∈(2,3)，关于x 的方程f (f (x ))=t 有四个不同实数根三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.(4分)函数y =e x +e -x 的最小值为．14.(4分)某城市出租车按如下方法收费(3A 数学VX:AAAshuxue)：起步价6元，可行3km (含3km )，3km 后到10km (含10km )每多走1km (不足1km 按1km 计)加价0.5元，10km 后每多走1km 加价0.8元，某人坐出租车走了13km ，他应交费元．15.(4分)已知函数f (x )=32x +2，则f 14 +f 13 +f 12 +f (1)+f 32 +f 53 +f 74 的值为．16.(4分)命题“∃x 0∈(0,1)，使得3x 20-mx 0+1<0”为假命题，则实数m 的取值范围是．四、解答题(本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(8分)已知集合A ={x |x 2-4x -12≤0}，B ={x |m ≤x ≤2m -1}．(1)若m =5，设全集U =R ，求∁U B ；(2)若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．18.(8分)已知x >0，y >0，且8x +2y =1，求：(1)xy 的最小值；(2)x +y 的取小值．第2页共3页能力行为态度理由太多、妨碍进步19.(8分)解关于x 的不等式：ax 2-(a +1)x <-1．20.(8分)求值：(1)1.5-13×-72 0+80.25×42-23 23；(2)lg 25+lg2×lg50+lg100．21.(8分)习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为y =13x 3-80x 2+5040x ,x ∈[120,144),12x 2-200x +80000,x ∈[144,500),且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利(3A 数学VX:AAAshuxue)，政府将给予补贴．(1)当x ∈[200，300]时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？22.(12分)设函数f (x )=a 2x -(t -1)ax (a >0,a ≠1)是定义域为R 的奇函数，且y =f (x )的图象过点1,32 ．(Ⅰ)求t 和a 的值；(Ⅱ)若∀x ∈R ，f (kx -x 2)+f (x -1)<0，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)是否存在实数m ，使函数g (x )=22x +2-2x -mf (x )在区间[1，log 23]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．第3页共3页。
(完整版)高一数学第一学期期中考试试题及答案
A高一数学（必修1）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U ={0，1，2，3，4}，M ={0，1，2}，N ={2，3}，则（C u M ）∩N =A ．B ．C ．D ．{}4,3,2{}2{}3{}4,3,2,1,02.设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤合到集合的函数关系的是M NA ．B ．C ．D ．3. 设，用二分法求方程内近似解的过程中()833-+=x x f x()2,10833∈=-+x x x在得，则方程的根落在区间()()()025.1,05.1,01<><f f f A. B. C. D. 不能确定(1,1.25)(1.25,1.5)(1.5,2)4. 二次函数的值域为])5,0[(4)(2∈-=x x x x f A. B. C. D.),4[+∞-]5,0[]5,4[-]0,4[-5. =+--3324log ln 01.0lg 2733e A .14 B .0C .1 D . 66. 在映射，，且，则中B A f →:},|),{(R y x y x B A ∈==),(),(:y x y x y x f +-→A 中的元素在集合B 中的像为)2,1(-A . B .C .D . )3,1(--)3,1()1,3()1,3(-7.三个数，，之间的大小关系为231.0=a 31.0log 2=b 31.02=c A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a8.已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，()y f x=R0x≥2()2f x x x=-0x<函数的解析式为()f xA． B．()(2)f x x x=-+()(2)f x x x=-C． D．()(2)f x x x=--()(2)f x x x=+9.函数与在同一坐标系中的图像只可能是xy a=log(0,1)ay x a a=->≠且A． B． C． D．10.设，则2log2log<<baA. B.10<<<ba10<<<abC . D.1>>ba1>>ab11.函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值54)(2+-=xxxf],0[m范围是A. B.[2,4] C. [0,4] D.),2[+∞]4,2(12.若函数()f x为定义在R上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f0=，则不等式的解集为)(<xxfA．(2,0)(2,)-+∞B．(,2)(0,2)-∞-C．(,2)(2,)-∞-+∞D．)2,0()0,2(-高一数学（必修1）答题卷题 号一二三总分得 分一、选择题：（本大题小共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.函数，则的值为．⎩⎨⎧≥<--=-)2(2)2(32)(x x x x f x )]3([-f f 14.计算：．=⋅8log 3log 9415.二次函数在区间上是减少的，则实数k 的取值范围为 842--=x kx y ]20,5[．16.给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；||x y =2)(x y =②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到；2)1(3-=x y 23x y =④若函数的定义域为，则函数的定义域为；)(x f ]2,0[)2(x f ]4,0[⑤设函数是在区间上图像连续的函数，且，则方程()x f []b a ,()()0<⋅b f a f 在区间上至少有一实根；()0=x f []b a ,得分评卷人得分评卷人其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）已知全集，集合，，R U ={}1,4>-<=x x x A 或{}213≤-≤-=x x B （1）求、；B A )()(BC A C U U （2）若集合是集合A 的子集，求实数k 的取值范围.{}1212+≤≤-=k x k x M 18. （本题满分12分）已知函数.1212)(+-=x x x f ⑴判断函数的奇偶性，并证明；)(x f ⑵利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.)(x f 19. （本题满分12分）已知二次函数在区间上有最大值，求实数的值2()21f x x ax a =-++-[]0,12a 20. （本题满分12分）函数)1,0)(3(log )(≠>-=a a ax x f a （1）当时，求函数的定义域；2=a )(x f （2）是否存在实数，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；a )(x f ]2,1[a 若不存在，请说明理由.21. （本题满分13分）广州亚运会纪念章委托某专营店销售，每枚进价5元，同时每销售一枚这种纪念章需向广州亚组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则得分评卷人增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元．x (1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润(元)与每枚纪念章的销售价格(元)y x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润(元)最大，并求出x y 最大值．22. （本题满分13分）设是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当时，都有)(x f R ∈0≠+b a .0)()(>++ba b f a f （1）若，试比较与的大小关系；b a >)(a f )(b f （2）若对任意恒成立，求实数k 的取值范围.0)92()329(>-⋅+⋅-k f f xx x ),0[+∞∈x 高一数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CDBCBDCAABBD二、填空题：13.14. 15. 16. ③⑤8143101,0()0,( -∞三、解答题：17. （1）{}{}32213≤≤-=≤-≤-=x x x x B ………2分，∴{}31≤<=x x B A ………4分{}3,1)()(>≤=x x x B C A C U U 或 ………6分（2）由题意：或， 112>-k 412-<+k ………10分解得：或. 1>k 25-<k ………12分18. （1）为奇函数.)(x f ………1分 的定义域为，,012≠+x∴)(x f R ………2分又 )(121221211212)(x f x f x x x x xx -=+--=+-=+-=--- 为奇函数.)(x f ∴………6分（2）1221)(+-=x x f 任取、，设，1x R x ∈221x x <)1221(1221()()(2121+--+-=-x x x f x f )121121(212+-+=x x )12)(12()22(22121++-=x x x x , 又，022********<-∴<∴<x x x x x x 或 12210,210x x +>+>．在其定义域R 上是增函数.)()(0)()(2121x f x f x f x f <∴<-∴或)(x f ∴………12分19. 函数的对称轴为：，)(x f x a =当时，在上递减，，即； 0<a ()f x ]1,0[2)0(=∴f 1,21-=∴=-a a ………4分当时，在上递增，，即； 1>a ()f x ]1,0[2)1(=∴f 2=a ………8分当时，在递增，在上递减，，即，01a ≤≤()f x ],0[a ]1,[a 2)(=∴a f 212=+-a a 解得：与矛盾；综上：或 251±=a 01a ≤≤1a =-2=a ………12分20. （1）由题意：，，即，)23(log )(2x x f -=023>-∴x 23<x 所以函数的定义域为；)(x f 23,(-∞………4分（2）令，则在上恒正，，在ax u -=3ax u -=3]2,1[1,0≠>a a ax u -=∴3上单调递减，]2,1[，即023>⋅-∴a )23,1()1,0( ∈a ………7分又函数在递减，在上单调递减，，即)(x f ]2,1[ax u -=3 ]2,1[1>∴a )23,1(∈a ………9分又函数在的最大值为1，， )(x f ]2,1[1)1(=∴f 即，1)13(log )1(=⋅-=a f a 23=∴a ………11分与矛盾，不存在. 23=a )23,1(∈a a ∴………12分21. (1)依题意⎩⎨⎧∈<<---∈≤<--+=++N x x x x N x x x x y ,4020),7)](20(1002000[,207),7)](20(4002000[ ∴， ⎪⎩⎪⎨⎧∈<<---∈≤<---=++N x x x N x x x y ,4020],41089)247[(100,207],81)16[(40022………5分定义域为{}407<<∈+x N x ………7分 (2) ∵，⎪⎩⎪⎨⎧∈<<---∈≤<---=++N x x x N x x x y ,402041089247[(100,207],81)16[(40022∴ 当时，则，(元)020x <≤16x =max 32400y =………10分当时，则，(元)2040x <<472x =max 27225y =综上：当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元. 16x =………13分22. （1）因为，所以，由题意得：b a >0>-b a ，所以，又是定义在R 上的奇函数，0)()(>--+ba b f a f 0)()(>-+b f a f )(x f ，即.)()(b f b f -=-∴0)()(>-∴b f a f )()(b f a f >………6分（2）由（1）知为R 上的单调递增函数，)(x f ………7分对任意恒成立，0)92()329(>-⋅+⋅-k f f x x x ),0[+∞∈x ，即，)92()329(k f f x x x -⋅->⋅-∴)92()329(x x x k f f ⋅->⋅-………9分，对任意恒成立，x x x k 92329⋅->⋅-∴x x k 3293⋅-⋅<∴),0[+∞∈x 即k 小于函数的最小值. ),0[,3293+∞∈⋅-⋅=x u xx………11分令，则，xt 3=),1[+∞∈t 13131(323329322≥--=-=⋅-⋅=∴t t t u x x .1<∴k (13)。
陕西省“西中教育联合体”2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
陕西省“西中教育联合体”2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（）A ．每一个四边形的对角线都不互相垂直B ．存在一个四边形，它的对角线不垂直C ．所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．存在一个四边形，它的对角线互相垂直2．已知集合{}1,,A a b =，{}2,,B a a ab =，若A B =，则20232022a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．设0.70.80.713,,0.8,3a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b<<D ．c b a>>4．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为(1,5)-，其中,,a b c 为常数，则不等式20cx bx a ++≤的解集是（）A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,[1,)5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．1(,1],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭5．已知实数1x >，则函数221y x x =+-的最小值为（）A ．5B ．6C ．7D ．86．函数331x x y =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．定义在0,+∞上的函数()f x 满足：对()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x ≠，都有()()2112120x f x x f x x x ->-成立，且()36f =，则不等式()2f x x>的解集为（）A ．()3,+∞B ．()0,3C ．()0,2D ．()2,+∞8．已知函数()2,123,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤⎝⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞二、多选题9．已知集合{}{}22320,(2)20A xx x B x ax a x =-+==-++=∣∣，若B A ⊆，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．1C ．12D ．010．若R a b c ∈,,，则下列命题正确的是（）A ．若22ac bc <，则a b <B ．若01a <<，则aC ．若0a b >>且0c <，则b c ba c a+>+D ．22245a b a b +≥--11．已知x ，y 都为正数，且21x y +=，则下列说法正确的是（）A ．2xy 的最大值为14B ．224x y +的最小值为12C ．()x x y +的最大值为14D ．11x y+的最小值为3+12．高斯（Gauss ）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]2.33-=-，[]15.3115=．已知函数()21122x xf x =-+，()()G x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的有（）A ．()G x 是偶函数B ．()G x 的值域是{}1,0-C ．()f x 是奇函数D ．()f x 在R 上是增函数三、填空题1313827-⎛⎫+=⎪⎝⎭．14．函数2()1(0,1)x f x a a a -=+>≠的图象必经过定点.15．不等式210ax ax a -++>对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为．16．函数()1(0)g x ax a =+>，()22f x x x =+，若[]11,1x ∀∈-，[]02,1x ∃∈-使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是．四、解答题17．解关于x 的不等式2(1)0x ax a --+<；18．已知集合{}310A x x =<<，{}29140B x x x =-+<，{}32C x x m =<<，(1)求A B ⋂，()R A B ð；(2)若x C ∈是()x A B ∈ 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.19．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．20．某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80件时，21()103C x x x =+（万元）.当年产量不小于80件时，10000()511450C x x x=+-（万元）.每件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件）的函数解析式；(2)年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．设幂函数()22()33m f x m m x -=--在(0,)+∞单调递增，(1)求()f x 的解析式；(2)设不等式()45f x x ≤+的解集为函数()2()[(1)()]g x f x a f x f x =++-的定义域，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的解析式.。
2023—2024学年陕西省西安市高一上学期期中数学试卷
2023—2024学年陕西省西安市高一上学期期中数学试卷一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 已知，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．3. 函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．4. “”是“是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 某班有56名同学，暑假期间，参加游泳培训的有35名，参加绘画培训的有25名，已知该班有5人既没参加游泳培训，也没参加绘画培训，则只参加游泳培训的同学有（）A．25名B．26名C．30名D．31名6. 已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．7. 若，则函数（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值3D．有最小值38. 已知全集，集合，则（）A．B．C．D．二、多选题9. 下列函数在定义域内是增函数的有（）A．B．C．D．10. 下列命题是真命题的是（）A．所有平行四边形的对角线互相平分B．若是无理数，则一定是有理数C．若，则关于的方程有两个负根D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比11. 已知对任意的，都有，且当时，．则（）A．B．的图象关于轴对称C．，D．不等式的解集是12. 已知关于x的不等式的解集是，则（）A．B．C．D．三、填空题13. 英文单词good的所有字母组成的集合记为，用列举法表示集合_________ ．14. 已知是奇函数，则 ___________ ．15. 某校共购买80个篮球，分给六个年级，要求每个年级分到的篮球与其他任一年级分到的篮球数量相差不超过5个，若某年级分到个篮球，则的最小值是 __________ ．16. 已知函数的任意三个函数值，，可以作为一个三角形的三边长，则的取值范围是 ______ ．四、解答题17. 已知集合，．(1)当时，求；(2)若，求的取值范围．18. 已知幂函数在上单调递增．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．19. 已知二次函数满足．(1)求的解析式；(2)设函数，判断在上的单调性，并用定义法证明．20. 讨论关于的不等式的解集．21. 某企业为开发新业务，计划投资20万元引进新设备．用于生产某产品的配件．每生产万件该产品配件，需另投入成本万元，且，已知该产品配件的售价为12元/件，且所生产的配件全部能售完．(1)求该产品配件的年利润（单位：万元）关于年生产量（单位：万件）的函数关系式；(2)当年生产量为多少万件时，年利润最大？并求出最大年利润．22. 已知定义在上的函数满足，，．(1)试判断的奇偶性，并说明理由．(2)证明：．。
2020-2021学年陕西省西安市高新一中高一上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年陕西省西安市高新一中高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.如果全集U=R，A={x|x2−2x>0}，B={x|y=ln(x−1)}，则A∪∁U B=()A. (2,+∞)B. (−∞,0)∪(2,+∞)C. (−∞,1]∪(2，+∞)D. (−∞,0)2.下列两个函数完全相同的是()A. 与B. 与C. 与D. 与3.A. (0,1]B. (0,1)C. [0,1)D. [0,1]4.8．已知f(x+1)=x 2+2x−5，则f(x)的解析式为()A. f(x)=x 2B. f(x)=x 2−6C. f(x)=x 2+6D. f(x)=x 2+6x5.与函数y=x为同一函数的是()A. y=√ x2B. y=a log a x(a>0，且a≠1)C. y=log a a x(a>0，且a≠1)D. y=log x x x6.函数y=√x−1+lg(2−x)的定义域是()A. [1,+∞)B. [1,2)C. (1,2)D. (−∞,2)7.已知函数f(x)=x2−4x−2，则函数f(x)在[1,4]上的最大值和最小值分别是()A. −2，−3B. −3，−6C. −2，−6D. 0，−28.若函数f(x)=log a(x2−ax+5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1<x2≤a时，f(x2)−2 f(x1)<0，则实数a的取值范围为()A. a>1B. 0<a<2√5C. 0<a<1D. 1<a<2√59.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A. y=B. y=e−xC. y=−x2+1D. y=lg|x|10. 已知函数f(x)=2x −lo x ，实数a ，b ，c 满足a <b <c ，且满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x 0是函数y =f(x)的一个零点，则下列结论一定成立的是( )A. x 0>cB. x 0<cC. x 0>aD. x 0<a二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）11. 在平面直角坐标系内，点P(a,b)的坐标满足a ≠b ，且a ，b 都是集合{1,2，3，4，5，6}中的元素，又点P 到原点的距离|OP|≥5.则这样的点P 的个数为_______．12. 已知函数f(x)=x 2+3x+2x 2+1，则函数的值域为______ ． 13. 已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x )，当x ∈[1,3]时，f(x)=lnx ，若在区间[13,3]内，函数g(x)=f(x)−ax(a >0)恰有三个零点，则实数a 的取值范围为______ ．14. 已知f(x)为R 上增函数，且对任意x ∈R ，都有f[f(x)−3x ]=4，则f(3)=______．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）15. 已知全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|6x−4+1<0}，C ={x|2m −1<x <m +1}(1)求集合(∁U A)∩B ；(2)若B ∪C =B ，求实数m 的取值范围．16. (1)(2a 32b 12)(−6a 12b 13)÷(−3a 16b 56)；(2)(√23×√3)6+(√2√2)43−√24×80.25−(−2005)0．17. 已知函数f(x)=axx 2+1(x ∈R)，如图是函数f(x)在[0,+∞)上的图象，(1)求a 的值，并补充作出函数f(x)在(−∞,0)上的图象，说明作图的理由；(2)根据图象指出(不必证明)函数的单调区间与值域；(3)若方程f(x)=lnb恰有两个不等实根，求实数b的取值范围．18. 是否存在实数m，使得f(x)=−cos2x+2mcosx+m2+4m−3的最大值为3m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．19. (本小题满分10分)已知函数(1)证明在上是减函数；(2)当时，求的最值．20. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−x．(1)求f(x)的解析式；(2)画出f(x)的图象；(3)若方程f(x)=k有4个解，求k的取值范围．21. 已知函数y=f(x)=1+3x．1−3x(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)试用y表示3x，并由此推出函数f(x)的值域．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由A中不等式变形得：x(x−2)>0，解得：x<0或x>2，即A=(−∞,0)∪(2,+∞)，由B中y=ln(x−1)，得到x−1>0，即x>1，∴B=(1,+∞)，即∁U B=(−∞,1]，则A∪∁U B=(−∞,1]∪(2，+∞)，故选：C．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：试题分析：选项A：与的值域不同；选项C：与的对应法则不同；选项D：与的定义域不同。
陕西省西安市高新第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
2020—2021学年第一学期期中考试2023届高一数学试题满分：120分 时间：120分钟一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,5,8A =，{}1,3,5,7B =，则()U C A B =（ ）A. {}5B. {}1,3,4,5,6,7,8C. {}2.8D. {}1,3,72. 设{}02A x x =≤≤，{}12B y y =≤≤，下图能表示从集合A 到集合B 的函数关系的是（ ）A. B. C. D.3. 已知集合{}24120A x x x =--<，(){}2log 10B x x =-<，则A B =（ ）A. {}6x x <B. {}12x x <<C. {}62x x -<<D. {}2x x <4. 若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A. ()98f x x =+ B. ()32f x x =+C. ()34f x x =--D. ()32f x x =+或()34f x x =--5. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. ()f x =2()g x =B. ()1f x =，0()g x x =C. ()1f x x =+，21()1x g x x -=-D. ()f x x =，()g x =6. 函数213x y x +=-的值域为（ ） A. 44,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. ()(),22,-∞+∞C. RD. 24,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭7. 若函数223y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]4,3--，则实数m 的取值范围是（ ）A. (]0,3B. []1,3C. []1,2D. [)1,+∞8. 前哥提醒易错题 函数()2()lg 23f x x x =--的递增区间为（ ） A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()3,+∞D. ()1,39. 已知0.43a =，30.4b =，0.4log 3c =，则（ ） A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D. c b a <<10. 若关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A. (][),80,-∞-+∞B. (),4-∞-C. [),4-∞-D. (],8-∞-二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11. 若集合{}1,2,3A =，{}3,5B =，用列举法表示{}2,A B a b a A b B *=-∈∈=________. 12. 已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.13. 函数()3xf x e x =+-在区间()0,1内零点有___________个.14. 已知函数21,2()1,2x x f x kx x x -+≤⎧=⎨+->⎩，对任意的12,x x R ∈，12x x ≠，有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数k 的取值范围是_________.三、解答题：（本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合{}3327x A x =≤≤，{}2log 1B x x =>. （1）求AB ；（2）求()R C B A .16. 计算：（1）5log 33332log 2log 32log 85-+-.（2）20.523327492(0.008)8925--⎛⎫⎛⎫-+⨯⎪⎪⎝⎭⎝⎭.17. 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 18. 求函数22()(46)94f x x a x a =+-+-，[],1x a a ∈+的最小值.19. 已知函数11()1(0)2f x x x =-+>. （1）若0m n >>时，()()f m f n =，求11m n+的值； （2）若0m n >>时，函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，求所有m ，n 值. 四、附加题（本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 已知函数()2()10lg11010x x f x x x -=+++-+，求关于x 的不等式()()3120f x f x ++>的解集.21. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数.当0x <时，()f x 单调递增，且()10f -=.设2211()222522x x x x g x m m ⎛⎫=--+--+ ⎪⎝⎭，集合[]{}0,1,()0S m x g x =∈<对任意，[]()(){}0,1,0T m x f g x =∈<对任意，求S T .2020—2021学年第一学期期中考试 2023届高一数学试题参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1-5：DDBBD6-10：BCCDD二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. {}1,3,1,3-- 12.12713. 1 14. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦三、解答题：（本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）由3327x≤≤得13x ≤≤，故{}13A x x =≤≤；由2log 1x >得2x >，故{}2B x x =>，∴{}23AB x x =<≤.（2）由{}2B x x =>得{}2R C B x x =≤，∴(){}3R C B A x x =≤.16.【解析】（1）原式2333348log 2log 32log 83log 303332⨯⎛⎫=-+-=-=-=-⎪⎝⎭. （2）原式()20.52323333720.22325--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22372471(0.2)22325939--⎛⎫=-+⨯=-+= ⎪⎝⎭. 17.【解析】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102ba-+=+，解得1b =. 从而有121()2xx f x a +-+=+.又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意.（2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.18.【解析】由题知：此二次函数图象开口朝上，对称轴方程为32x a =-，以区间相对对称轴的位置进行分类：（1）当132a a +<-即23a <时，函数()f x 在[],1a a +上函数单调递减， 故最小值为()214f a a +=+；（2）当321a a a ≤-≤+即213a ≤≤时，函数()f x 最小值在顶点处取得， 故最小值为2(32)812f a a a -=-+；（3）当32a a -<即1a >时，函数()f x 在[],1a a +上函数单调递增，故函数的最小值为2()69f a a a =-+.综上知：22min224,32()812,1369,1a a f x a a a a a a ⎧+<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎪⎪⎩.19.【解析】（1）因为()()f m f n =，所以11111122m n -+=-+，所以1111m n -=-，所以1111m n-=-或1111m n -=-，因为0m n >>，所以112m n+=. （2）1︒当01n m <<≤时，11()2f x x =-在[],n m 上单调递减，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f n mf m n=⎧⎨=⎩，两式相减得1mn =不合，舍去.2︒当1m n >≥时，31()2f x x=-在[],n m 上单调递增，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f m mf n n =⎧⎨=⎩，无实数解. 3︒当01n m <<<时，11,[,1]2()31,(1,]2x n x f x x m x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩， 所以函数()f x 在[],1n 上单调递减，在(]1,m 上单调递增. 因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()112n f ==，1322m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 综合所述，32m =，12n =.四、附加题（本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.【解析】令()()()10g x f x x R =-∈，则()()()()1010f x f x f x g x -=--=--=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 为奇函数，容易知函数()g x 在R 上单调递增.所以不等式()[](31)()203110()10f x f x f x f x ++>⇔+->--(31)()(31)()31g x g x g x g x x x ⇔+>-⇔+>-⇔+>-14x ⇔>-.所以所求不等式解集为14x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.21.【解析】由已知条件可先将集合T 简化，即由(())0()1f g x g x <⇒<-或0()1g x <<. 这样[]{}0,1,()1S T m x g x =∈<-任意的，即不等式()1g x <-对任意的[]0,1x ∈都成立，求m 的取值范围.因为2211()222522x x x xg x m m ⎛⎫=--+--+ ⎪⎝⎭211222322x x x x m m ⎛⎫⎛⎫=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1320,22x x t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则2()23g x t mt m =-+-+，问题等价于2231t mt m -+-+<-， 即2(2)4m t t ->-对任意30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，于是max 7(2)2m t >+=.因此m 的取值范围是7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015—2016学年第一学期高一数学期中考试试卷考试时间： 100 分钟 总分：100 分一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的,请将答案填下表中） 1．满足条件{}{},,a A a b c ⊆⊆的所有集合A 的个数是 ( )A 、1个B 、 2个C 、 3个D 、4个2．下列各组中，函数)(x f 与)(x g 表示同一函数的一组是 ( )A 、2()lg ()2lg f x xg x x == 和 B 、()2()f x x g x =-= 和 C 、2()()x f x x g x x== 和 D 、3()log 3()x f x g x == 和3．设集合{}32,xS y y x R ==+∈,T={}22log (25),y y x x x R =-+∈，则ST 是 ( )A 、SB 、TC 、有限集D 、∅4．如果二次函数2()1f x x mx =++在(,1)-∞-上是减函数，在(1,)-+∞上是增函数，则()f x 的最小值为( )A 、-1B 、1C 、-2D 、0 5. ()3212++-=mx x m y 是偶函数，则f(-1), f(2-), f(3)的大小关系为( )A 、f(3)＜f(2-)＜f(-1),B 、f(-1)＜f(2-)＜f(3)C 、f(2-)＜f(3)＜f(-1), D 、f(-1)＜f(3)＜f(2-)6. 设()338xf x x =+-，用二分法求方程3380xx +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.25)0,(1.5)0f f f <<>，则方程的根落在区间( )A 、（1 , 1.25）B 、（1.25 , 1.5）C 、（1.5 , 2）D 、不能确定 7．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则(19.5)f 等于 （ ）（A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 8. 若0.7222,log 0.7,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( )A 、a c b <<B 、a b c <<C 、b c a <<D 、b a c << 9． 若5log 31a =，则39aa+的值为( )A 、15B 、20C 、. 25D 、3010、函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
将答案直接填在横线上） 11．函数y =的定义域是 。
12．方程5log 3-=x x 有 个根。
13．若幂函数()f x 的图象过点(8,2)--，则(27)f - 。
14．已知函数,2(),0()1()1,()1,(1)f x f x f x f x f x ≤≤->+⎧=⎨⎩，且6(1),7f =则(2015)f =三、解答题：（本大题共5小题，共44分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
） 15、（本小题满分7分）设全集为R ，{}|25A x x =<≤，{}|38B x x =<<，{|12}C x a x a =-<<.（1）求A B 及()R A B ð（2）若()A B C =∅，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分7分）计算： （1）3263425.031)32()32(285.1--⨯+⨯+-（2）()281lg 500lg lg 6450lg 2lg 552+-++17．（本小题满分10分）一种水果自某日上市起的300天内，市场售价与上市时间的关系为{300,02002300,200300,()t t t t f t -≤≤-<≤=种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300.200g t t t =-+≤≤若认定市场售价减去种植成本为纯收益并用h （t ）表示.（1）写出函数h(t)的解析式；（2）问何时上市的这种水果纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）18．（本小题满分10分）已知函数f (x )＝2x－12x ＋1，(1) 证明：函数f (x )是R 上的增函数； (2) 求函数f (x )的值域 (3) 令g (x )＝xf x，判定函数g (x )的奇偶性，并证明19．(本小题满分10分)设函数f (x )对任意x ,y R ∈，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，f (x)<0，f (1)=－2．⑴ 求证：f (x )是奇函数；⑵ 试问在33≤≤-x 时，f (x )是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.2015~2016学年度第一学期期中考试高一年级数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填在下表中）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。
将答案直接填在横线上） 11. ()5,22,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12. 2 13. -3 14 .37三、解答题(本大题共5小题，共44分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
) 15. （本小题满分7分） 解：（1）A B ={}|35x x <≤ ∵ A B ={}|28x x <<∴()RAB ð={}|28x x x ≤≥或（2）当Φ=C 时，则有1,21-≤≥-a a a 得当时Φ≠C ，则有23a ≤或15a -≥且12a a -< 得312a -<≤或6a ≥ ∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦或[)6,+∞16、（本小题满分7分）解：（1）3263425.031)32()32(285.1--⨯+⨯+-=110（2）()281lg 500lg lg 6450lg 2lg 552+-++=5217．（本小题满分10分）解：（1）由题意得h （t ）=f （t ）﹣g （t ），即h （t ）=（2）据（1）h （t ）=当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）=．所以，当t=50时，h （t ）取得区间[0，200]上的最大值100； 当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）=，所以，当t=300时，h （t ）取得区间（200，300）上的最大值87.5综上，由100＞87.5可知，h （t ）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50， 即 从上市之日开始的第50天时，这种水果的纯收益最大． 18．（本小题满分10分）(1) 证明：设x 1，x 2是R 内任意两个值，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 1)－f (x 2)＝121211+-x x －121222+-x x ＝)12)(12()22(22121++-x x x x ， 当x 1<＜x 2时，∵ 12x ＜22x， ∴ 2122x x -＜0.又∵12x＋1>0, ∵ 22x＋1>0， ∴ f (x 1)－f (x 2) ＜0. ∴f (x )是R 上的增函数；(2) f (x )＝2x＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1，∵2x＋1>1，∴0<22x ＋1<2，即－2<－22x ＋1<0，∴－1<1－22x ＋1<1.∴f (x )的值域为(－1,1)；(3) 由题意知g (x )＝x f x ＝2x＋12x －1·x ，易知函数g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g (－x )＝(－x )·2－x＋12－x －1＝(－x )·1＋2x 1－2x ＝x ·2x＋12x－1＝g (x )， ∴函数g (x )为偶函数．19．（本小题满分10分）⑴ 证明：令x =y =0，则有)0(2)0(f f =． 得0)0(=f令y =－x ，则有)()()0(x f x f f -+=． 即)()(x f x f -=-，)(x f ∴是奇函数．⑵ 任取21x x <，则12x x - ＞0 从而)(12x x f -＜0且0)()()()()()(12212121>--=-=-+=-x x f x x f x f x f x f x f ．)()(21x f x f 〉∴． )(x f y =∴在R 上为减函数．故)3(f 为函数的最小值，)3(-f 为函数的最大值． 6)1(3)2()1()3(==+=f f f f ，6)3()3(-=-=-f f ， ∴函数最大值为6，最小值为－６．。