1.万有引力模型
引力模型
•
My=KYiYj/Dij
• 式中，K为常数（通常也称为引力系 数）；Yi和Yj为内生变量，由模型要求通过 的特定条件“平衡”出来；Dij为空间距离。
二、引力模型及其应用
• 尽管早在19世纪中叶的学术研究中，就已出现对引 力模型公式模糊的应用，但真正的引力模型公式的 出现，还得从J.Q斯图尔特（Stewart，1948）和G.K. 齐夫（Zipf，1946）算起，他们两人独立同时提出 了这一公式。齐夫致力于对两个城市之间，空间相 互作用（运算上用铁路运输量、电话通话量，以及 相似的社会或经济交流形式的数量来定义）水平的 研究。他提出的特别有用的公式是（P1P2）/D，即 两个城市人口的积，除以其间的距离。他研究了研 究区内所有“城市对”的该比率，在双对数纸上画 出两个城市间的相互作用水平随着距离的变化，发 现了一种线性关系。
引力模型
• 引力模型(Gravity Model)是应用广泛的空间 相互作用模型，它是用来分析和预测空间 相互作用形式的数学方程，已被不断拓展， 运用于许多研究领域，如研究空间布局、 旅游、贸易和人口迁移等方面取得了很多 有益的研究成果。
牛顿万有引力定律
• • 17世纪牛顿提出了著名的万有引力定律，
由此牛顿物理学问世。万有引力定律给物 理学及许多自然科学学科的发展以划时代 的推动。根据这定律，任何两个物体之间 的作用（引力）的大小与它的质量成正比， 与它们之间的距离平方成反比。
初中物理力学56个模型精讲
初中物理力学56个模型精讲初中物理力学涉及多个模型，下面我将从力、运动、力的作用等方面，全面介绍其中的56个模型，以帮助你更好地理解。
1. 平衡力模型，描述物体在静止或匀速直线运动时，受到的平衡力的作用。
2. 牛顿第一定律模型（惯性定律），物体在没有外力作用时保持静止或匀速直线运动的状态。
3. 牛顿第二定律模型，描述物体受到外力作用时的加速度与力的关系，即F=ma。
4. 牛顿第三定律模型，描述力的相互作用，即作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在不同物体上。
5. 弹簧弹力模型，描述弹簧受到拉伸或压缩时产生的弹力与伸长或压缩量之间的关系。
6. 重力模型，描述物体受到地球引力作用时的重力与物体质量和重力加速度之间的关系，即F=mg。
7. 摩擦力模型，描述物体表面之间接触时产生的摩擦力与物体质量、物体间接触面积、摩擦系数之间的关系。
8. 动摩擦力模型，描述物体在运动过程中受到的动摩擦力与物体质量、物体间接触面积、动摩擦系数之间的关系。
9. 静摩擦力模型，描述物体在静止时受到的静摩擦力与物体质量、物体间接触面积、静摩擦系数之间的关系。
10. 滑动摩擦力模型，描述物体在滑动过程中受到的滑动摩擦力与物体质量、物体间接触面积、滑动摩擦系数之间的关系。
11. 斜面运动模型，描述物体在斜面上运动时，受到重力和斜面法线力的合力与物体质量、重力加速度、斜面倾角之间的关系。
12. 简谐振动模型，描述弹簧振子在平衡位置附近的振动，其运动满足简谐运动规律。
13. 动量守恒模型，描述系统中物体的总动量在碰撞过程中保持不变。
14. 能量守恒模型，描述系统中物体的总机械能在运动过程中保持不变。
15. 机械功模型，描述力对物体做功的大小与力的大小、物体位移的方向和力与位移的夹角之间的关系。
16. 功率模型，描述单位时间内所做功的大小，即功率等于做功的大小与时间的比值。
17. 机械效率模型，描述机械设备的输出功率与输入功率之间的比值。
万有引力与航天公式总结(1)
万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。
3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。
二.两种学说1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律 1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。
第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。
表达式为：)4(223πGM K K T R == k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式:rF MmG2=万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。
（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的⑷．对定律的理解a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。
c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义.d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ： ①大小：kg m N G 2211/67.610⋅⨯=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 101167.6-⨯四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：FF向万= 即：222224n Mm v F G ma m mr mr r r Tπω=====万2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：g m RMmG=2即 2gR GM =（又叫黄金代换式）注意：②高空物体的重力加速度：〈+=2')(h R GM g9.8m/s2③关系:22')(h R gRg+=五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。
引力模型资料
引力模型在国际贸易研究中的应用一、引力模型概述引力模型源自于牛顿万有引力定律，其将两个物体之间的引力与它们各自的质量和两者之间的距离联系起来。
20 世纪40 年代James Stewart 首次将引力应用于社会科学。
而最早将其应用于国际贸易的是Tinbergen（1962），引力模型预言两个国家的双边贸易流量是两国经济规模以及两国之间距离的函数。
经济规模用GDP、人口和人均收入来衡量。
距离一般是测量两个国家首都之间的距离（绝对距离），也有的研究测量两个贸易伙伴之间的距离与它们和其他贸易伙伴距离的比值（相对距离），并有若干具体表述的统计形式(ITC，2000；Soloaga andWinters，2001)。
引力模型已经广泛应用于国际贸易研究，其大受欢迎应归因于以下几点：原理简单、数据适用、模型容易被用于计量研究。
通过学者的努力，模型被不断扩展，加入了被认为影响贸易流动的虚拟变量，如共同的语言、共同的边界和国家间的历史关系。
引力模型也被用于政策分析，例如对拥有共同货币的区域或优惠贸易协定的成员国之间的贸易流动估计。
二、贸易引力模型理论基础贸易引力模型不是首先从贸易理论中推演而来的，而是以对现实贸易关系的直观判断为依据建立起来的，因此，贸易引力模型的实证研究在先，理论研究在后。
但基于习惯，本文先介绍贸易引力模型的理论基础。
Anderson(1979)指出引力模型与世界贸易模型在某些方面是一致的，如假定来自不同地区的产品(进口品和国内产品)是不完全替代的（Armington 假设）。
接着一系列的研究指出引力模型框架与许多标准的贸易理论是一致的，如H-O 模型，垄断竞争模型。
Helpman & Krugman（1985）明确表明，引力模型是来源于规模报酬递增的垄断竞争模型，垄断竞争的一般均衡模型预言不同国家的消费者希望进口有别于其他任何国家的商品，所以贸易流量就会与进口国规模（需求）和出口国规模（产品多样性）联系在一起。
万有引力与航天 天体运动中的三种模型
万有引力与航天天体运动中的三种模型一、“自转”天体模型模型特点：绕通过自身中心的某一轴以一定的角速度匀速转动的天体称为“自转”天体。
在其表面上相对天体静止的物体，则以某一点为圆心，做与天体自转角速度相同的匀速圆周运动。
分析此类问题要明确天体表面物体做圆周运动所需向心力是由万有引力的一个分力提供的，万有引力的另一个分力即为重力(由于自转所需向心力很小，通常认为重力近似等于万有引力)。
从赤道向两极因做圆周运动的半径逐渐减小，故所需向心力逐渐减小，重力逐渐增加。
在两极F万＝G，在赤道上F万＝G＋F向。
[典例1] 地球赤道上物体的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球自转角速度应为原来的多少倍？( )A.gaB.g＋aaC.g－aaD.ga二、“公转”天体模型模型特点：绕另一天体(称为中心天体)做匀速圆周运动的天体称为“公转”天体，其做圆周运动所需向心力由中心天体对其吸引力提供，如人造卫星绕地球运动，地球绕太阳运动等。
[典例2] 如图1所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：图1(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的密度；(3)该星球的第一宇宙速度v；(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T。
三、双星模型模型特点：在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
(1)彼此间的万有引力是双星各自做圆周运动的向心力——作用力和反作用力。
(2)双星具有共同的角速度。
(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上。
[典例3] 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
第三章 交通需求预测-重力模型
l 基本假设为：交通区i到交通区j的出行分布
1、无约束重力模型
l
万有引力模型
模型为：
F = K⋅
l
量与i区的出行发生量、j区的出行吸引量成正 比，与i区和j区之间的交通阻抗成反比。 根据对约束情况的不同分类，重力模型有三种 形式：无约束重力模型、单约束重力模型和双 约束重力模型。
X ij = k ⋅
可采用先考虑宏观因素预测其总比例，再考 虑微观因素预测各交通区间出行方式的分担率的 方法。 出行总比例预测 条件类方式：根据车辆拥有量进行预测。
l
竞争类方式 取决于需求的出行方式其总比例预测可根据有关的社 会经济发展目标，结合其发展实际状况，通过综合分 析求得。如出租车等。 取决于有关政策的出行方式其总比例预测可按照有关 的发展策略，根据已有基础进行规划确定，如公交车 出行等。 各交通区间的出行比例预测 各交通区间某种出行方式的出行比例取决于该出行方 式的总比例、出行目的结构和出行距离，通过前述模 型以及根据出行调查等资料统计分析拟合建立的现状 关系曲线进行预测。
其中, ｃ:汽车(car)；ｂ:公共汽车(bus)
l
∑∑ A
j m
其中Tijm——从交通区i到交通j，第 m种交通方 式的交通量；
4、 回归模型法——产生分担组合模型
l
二、交通方式的分类
l l l l l l l
该模型是通过建立交通方式分担率与其相关因素 间的回归方程，作为预测交通方式模型。
可分为：自由类、条件类和竞争类。 1、自由类交通方式 主要指步行交通，影响因素（内在因素）包括： 出行目的、出行距离、气候条件等 2、条件类交通方式 主要指单位小汽车、单位大客车、私人小汽车、摩托 车等交通方式 影响因素（外在因素）包括：有关政策、社会、经济 的发展水平。 影响因素（内在因素）包括：车辆拥有量、出行目的、 出行距离等。
【高中物理】万有引力理论的成就(环绕天体的运行、双星系统) 高一下学期物理人教版2019必修第二册
(1)地球、火星遵循什么样的动力学规律？
(2)如何比较火星与地球的线速度、角速度、周期以及向心加速度的大小？
(1)环绕模型: 万有引力提供向心力
G
=Fn=man= =
=
=
一、环绕天体的运行规律
1.由
= man , 得 an =
即 r1＋r2＝L
二、双星系统
2.双星规律
已知两双星质量m1、m2 , 距离为L , (引力常量为G)
求: (1).双星的轨道半径r1，r2之比
(2).双星的轨道半径r1，r2大小
(3).双星的角速度
1.双星特点
(1). Fn＝
(1).
=
(3). ω =
(2). r1 =
[针对训练2] 如图所示，两个星球A、B
组成双星系统，它们在相互之间的万有引
力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀
速圆周运动．已知A、B星球的质量分别
为mA 、mB ，引力常量为G.求 (其中L
为两星的中心距离，T为两星的运动周期
)．
GmA＋mB
4π2
系统集成 第73页
5．(多选)(2018·全国·高考真题)2017年，人类第一次直接探测到来自
万有引力作用下同时绕某点(公共圆心)做匀
速圆周运动，已知mA＝bmB，且b>1，则下
列结论正确的是(
)
A．天狼星A和天狼星B的绕行方向可能相反
B．天狼星A和天狼星B的公共圆心可以不在质心连线上
C．天狼星A和天狼星B的向心加速度大小之比为b∶1
引力模型资料
引力模型在国际贸易研究中的应用一、引力模型概述引力模型源自于牛顿万有引力定律，其将两个物体之间的引力与它们各自的质量和两者之间的距离联系起来。
20 世纪40 年代James Stewart 首次将引力应用于社会科学。
而最早将其应用于国际贸易的是Tinbergen（1962），引力模型预言两个国家的双边贸易流量是两国经济规模以及两国之间距离的函数。
经济规模用GDP、人口和人均收入来衡量。
距离一般是测量两个国家首都之间的距离（绝对距离），也有的研究测量两个贸易伙伴之间的距离与它们和其他贸易伙伴距离的比值（相对距离），并有若干具体表述的统计形式(ITC，2000；Soloaga andWinters，2001)。
引力模型已经广泛应用于国际贸易研究，其大受欢迎应归因于以下几点：原理简单、数据适用、模型容易被用于计量研究。
通过学者的努力，模型被不断扩展，加入了被认为影响贸易流动的虚拟变量，如共同的语言、共同的边界和国家间的历史关系。
引力模型也被用于政策分析，例如对拥有共同货币的区域或优惠贸易协定的成员国之间的贸易流动估计。
二、贸易引力模型理论基础贸易引力模型不是首先从贸易理论中推演而来的，而是以对现实贸易关系的直观判断为依据建立起来的，因此，贸易引力模型的实证研究在先，理论研究在后。
但基于习惯，本文先介绍贸易引力模型的理论基础。
Anderson(1979)指出引力模型与世界贸易模型在某些方面是一致的，如假定来自不同地区的产品(进口品和国内产品)是不完全替代的（Armington 假设）。
接着一系列的研究指出引力模型框架与许多标准的贸易理论是一致的，如H-O 模型，垄断竞争模型。
Helpman & Krugman（1985）明确表明，引力模型是来源于规模报酬递增的垄断竞争模型，垄断竞争的一般均衡模型预言不同国家的消费者希望进口有别于其他任何国家的商品，所以贸易流量就会与进口国规模（需求）和出口国规模（产品多样性）联系在一起。
万有引力知识点
第六章 万有引力与航天7.万有引力与重力的关系：(1)“黄金代换”公式推导：当F G =时，就会有22gR GM RGMm mg =⇒=。
(2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。
②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。
8.万有引力定律与天体运动：运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。
从力和运动的关系角度分析天体运动：天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F 需=F 万。
如图所示，由牛顿第二定律得：2m ,LGM F ma F ==万需，从运动的角度分析向心加速度： .)2(22222L f L T L L v a n ππω=⎪⎭⎫ ⎝⎛=== （3）重要关系式：.)2(222222L f m L T m L m L v m L GMm ππω=⎪⎭⎫ ⎝⎛=== 2、地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R 2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为321221 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R R ωω。
9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力： 谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。
模型：如右图所示，在一个半径为R ，质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。
万有引力的理论
03
万有引力理论的数学表达
万有引力定律的数学公式
总结词
万有引力定律的数学公式是描述两个质点之间引力关系的公式。
详细描述
万有引力定律的数学公式为F=G(m1m2/r^2)，其中F表示两个质点之间的引力，G为自然界的常量，m1 和m2分别为两个质点的质量，r为两个质点之间的距离。
牛顿的万有引力定律的数学推导
科学家的思考
科学家们开始思考引力的本质，以及 它如何影响物体的运动。他们提出了 各种假设和理论，试图解释引力的作 用机制。
牛顿的万有引力定律
定律的提出
牛顿提出了万有引力定律，即任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两个物 体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
定律的数学表达
牛顿用数学公式表达了万有引力定律，即F=G*m1*m2/r^2，其中F表示引力， G是自然界的常量，m1和m2是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
万有引力理论在探索宇宙中的未知物 质方面发挥了重要作用，通过对星系 旋转速度和星系团运动的观测和分析， 科学家们能够推断出暗物质的存在及 其对宇宙的影响。
05
万有引力理论的挑战与未来发展
相对论对万有引力理论的挑战
相对论与万有引力理论的 矛盾
相对论与万有引力理论在一些基本假设和推 导上存在矛盾，例如相对论中的光速不变原 理和万有引力理论中的重力对光速的影响。
总结词
万有引力是指物体之间相互作用的一种力，其大小与两个物体的质量成正比，与物体之间的距离的平方成反比。
详细描述
万有引力是一种自然现象，存在于任何两个物体之间。根据牛顿的万有引力定律，两个物体之间的万有引力与它 们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。这意味着，物体的质量越大，它们之间的万有引力就越强； 而物体之间的距离越远，它们之间的万有引力就越弱。
高考常用24个物理模型
高考常用24个物理模型物理复习和做题时需要注意思考、善于归纳整理,对于例题做到触类旁通,举一反三，把老师的知识和解题能力变成自己的知识和解题能力，下面是物理解题中常见的24个解题模型，从力学、运动、电磁学、振动和波、光学到原子物理，基本涵盖高中物理知识的各个方面。
主要模型归纳整理如下：模型一：超重和失重系统的重心在竖直方向上有向上或向下的加速度(或此方向的分量a y ) 向上超重（加速向上或减速向下）F =m （g +a )； 向下失重（加速向下或减速上升)F =m （g —a ) 难点：一个物体的运动导致系统重心的运动绳剪断后台称示数 铁木球的运动 系统重心向下加速 用同体积的水去补充斜面对地面的压力？ 地面对斜面摩擦力? 导致系统重心如何运动？模型二：斜面搞清物体对斜面压力为零的临界条件斜面固定:物体在斜面上情况由倾角和摩擦因素决定 =tg 物体沿斜面匀速下滑或静止 > tg 物体静止于斜面 〈 tg 物体沿斜面加速下滑a=g （sin 一cos ）模型三：连接体是指运动中几个物体或叠放在一起、或并排挤放在一起、或用细绳、细杆联系在一起的物体组。
解决这类问题的基本方法是整体法和隔离法.整体法：指连接体内的物体间无相对运动时，可以把物体组作为整体，对整体用牛二定律列方程.隔离法：指在需要求连接体内各部分间的相互作用（如求相互间的压力或相互间的摩擦力等）时,把某物体从连接体中隔离出来进行分析的方法。
连接体的圆周运动：两球有相同的角速度；两球构成的系统机械能守恒（单个12121 2例如：N 5对6=（m 为第6个以后的质量) 第12对13的作用力N 12对13=模型四:轻绳、轻杆绳只能受拉力，杆能沿杆方向的拉、压、横向及任意方向的力。
◆ 通过轻杆连接的物体如图：杆对球的作用力由运动情况决定只有=arctg （)时才沿杆方向 最高点时杆对球的作用力。
假设单B 下摆，最低点的速度V B = mgR=整体下摆2mgR=mg+= ; => V B=所以AB杆对B做正功，AB杆对A做负功◆通过轻绳连接的物体①在沿绳连接方向(可直可曲）,具有共同的v和a.特别注意:两物体不在沿绳连接方向运动时，先应把两物体的v和a在沿绳方向分解,求出两物体的v和a的关系式，②被拉直瞬间，沿绳方向的速度突然消失，此瞬间过程存在能量的损失。
基本数学模型-万有引力定律与多级火箭
1
第谷与开普勒
• 1576年，第谷在丹麦汶岛 （Hven）上建立大型天文 台观天堡（Uraniborg）， 观测精度比以往大为提高， 第谷在此地坚持了二十多 年的天文观测
• 1599年，第谷远走布拉格， 次年聘请开普勒为助手， 并在去世前向他提供了所 有观测数据
和行星运动的速度向量所张成的平面为 Oxy平面，
建立空间直角坐标系， 时刻t 行星位置坐标
r(t) (x(t), y(t), z(t))
z(0)
0,
dz dt
|z0
0,
z(t)
0
10
宇宙速度
• 第一宇宙速度 7.9km/s
• 环绕地球运行所需的最小入轨速度。航天器获得该速 度可沿半径等于地球半径的圆轨道环绕地球运行
• 在 [t,t t] 时段火箭质量的变化中，结构质 量占比 ，喷射燃料质量占比 1
m(t)v(t) m(t t)v(t t)
(m(t t) m(t))v(t) (1 )(m(t t) m(t))(v(t) u)
17
理想火箭
d (m(t)v(t)) dm(t) v(t) (1 ) dm(t) (v(t) u)
若火箭结构比为0.1，喷射速度为3km / s，最终速度 为 10km / s ，则 m(0) mp 40
18
多级火箭
• 多级火箭的一子级在发射点火后就开始工 作，该级燃料耗尽后与整个火箭分离，再 由二子级继续将有效载荷推向太空，以此 类推，直至把有效载荷送入预定轨道
• 设火箭分 n 级，第 i 级火箭的总质量为mi， 其中结构质量为 mi ，燃料质量为 (1 )mi
万有引力定律应用中的两个模型
龙源期刊网 万有引力定律应用中的两个模型作者：杨斌来源：《物理教学探讨》2007年第21期万有引力定律是中学物理的一个重点内容，也是—个热点内容。
万有引力定律及其在天文学上的运用，在整个中学阶段，内容并不难，但是同学们在学习了这—部分内容之后，普遍感觉知识点杂乱，知识的运用没有规律可言。
其实，这是同学们在学习了这—部分之后没有掌握万有引力定律在天体运行方面应用的两个基本模型所致。
在中学物理中，万有引力定律及其在天文学上的运用主要体现在两个模型上面，只要掌握这两种基本模型，应该能够很快地运用到具体的题目中去。
这两个基本的模型，一个就是在天体表面和天体一起做圆周运动，我们把这简称为“随”，一种就是围绕天体做椭圆运动，我们简称为“绕”。
首先，我们来看看“随”的模型。
物体在天体表面上，天体在自传，物体在天体表面随天体的自传而作圆周运动，不考虑天体自传的进动，那么我们可以认为物体做的是匀速圆周运动。
这个时候物体做匀速圆周运动所需要的向心力就来自于万有引力，万有引力的一个分力来提供物体做匀速圆周运动的向心力，另一个分力就表现为重力。
一般由于天体的自转角速度都比较小，所以物体做匀速圆周运动的角速度也小，那么物体所需要的向心力就很小，在天体上面物体的重力是否和万有引力差不多，关键就是要天体自转的角速度的大小。
我们可以认为，如果天体自转的角速度增加到一个比较大的值，那么重力和万有引力的大小相差应该是很大的。
假设天体的角速度一直增大下去，万有引力不能满足所需要的向心力的时候，那么物体是会离开天体表面的，这一个天体就不会存在，除非还有别的作用把天体聚集在—起。
其次，是“绕”的模型。
其实这里讲的“绕”的模型，就是指物体围绕天体旋转。
在中学阶段，一般都把物体的运动当作匀速圆周运动来处理。
那么物体围绕天体做匀速圆周运动所需要的向心力就由万有引力提供，物体所受的万有引力全部提供向心力。
不管围绕天体旋转的轨道半径是多少，只要物体是围绕天体旋转，那么就是万有引力全部提供物体所需要的向心力。
高中物理68个解题模型
高中物理68个解题模型物理作为一门自然科学，研究的是物质和能量之间的相互关系。
在高中物理学习中，解题是一个重要的环节。
为了帮助同学们更好地掌握物理知识，提高解题能力，本文将介绍高中物理中常见的68个解题模型。
一、力学部分1. 牛顿第一定律模型：物体静止或匀速直线运动时，合外力为零。
2. 牛顿第二定律模型：物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
3. 牛顿第三定律模型：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
4. 重力模型：物体受到的重力与物体的质量成正比。
5. 弹簧模型：弹簧的伸长或缩短与外力的大小成正比。
6. 摩擦力模型：物体受到的摩擦力与物体受到的压力成正比。
7. 斜面模型：物体在斜面上滑动时，重力分解为平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力。
8. 动量守恒模型：在没有外力作用下，物体的总动量保持不变。
9. 能量守恒模型：在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
二、热学部分10. 热传导模型：热量从高温物体传递到低温物体。
11. 热膨胀模型：物体受热后会膨胀，受冷后会收缩。
12. 热平衡模型：两个物体处于热平衡时，它们的温度相等。
13. 热容模型：物体吸收或释放的热量与物体的质量和温度变化成正比。
14. 理想气体状态方程模型：PV = nRT，描述了理想气体的状态。
15. 热力学第一定律模型：热量的增加等于物体内能的增加与对外做功的总和。
三、光学部分16. 光的直线传播模型：光在均匀介质中直线传播。
17. 光的反射模型：光线与平面镜或曲面镜相交时，遵循入射角等于反射角的规律。
18. 光的折射模型：光线从一种介质射入另一种介质时，遵循折射定律。
19. 光的色散模型：光在经过棱镜等介质时，会发生色散现象。
20. 光的干涉模型：两束相干光叠加时，会出现干涉现象。
21. 光的衍射模型：光通过狭缝或物体边缘时，会发生衍射现象。
22. 光的偏振模型：光的振动方向只在一个平面上。
四、电学部分23. 电流模型：电流的大小等于单位时间内通过导体横截面的电荷量。
108个高中物理模型
108个高中物理模型1. 力的作用点模型：描述力在物体上的作用位置和方向。
2. 弹簧振子模型：描述弹簧的伸缩和振动过程。
3. 摆锤模型：描述摆锤的摆动过程和周期。
4. 斜面滑动模型：描述物体在斜面上的滑动过程和摩擦力的影响。
5. 圆周运动模型：描述物体在圆形轨道上的运动过程和向心力的作用。
6. 万有引力模型：描述两个物体之间的引力作用和距离的关系。
7. 电磁感应模型：描述磁场变化时产生的电动势和电流。
8. 静电场模型：描述带电粒子在静电场中的受力和运动。
9. 电荷分布模型：描述电荷在物体表面的分布和电场强度的关系。
10. 电路模型：描述电流在电路中的流动和电阻、电容等元件的作用。
11. 磁通量模型：描述磁场通过闭合曲面的数量和磁通量密度的关系。
12. 热传导模型：描述热量在物体内部的传递和导热系数的关系。
13. 热辐射模型：描述物体表面辐射出的热量和温度的关系。
14. 气体分子运动模型：描述气体分子的运动状态和温度、压力的关系。
15. 液体静力学模型：描述液体中的压力分布和液体高度的关系。
16. 液体动力学模型：描述液体中的速度分布和黏度的关系。
17. 声波传播模型：描述声波在介质中的传播和速度的关系。
18. 光的传播模型：描述光在介质中的传播和折射、反射等现象。
19. 光的干涉模型：描述两束或多束光的叠加和干涉现象。
20. 光的衍射模型：描述光通过狭缝或小孔时的衍射现象。
21. 光的偏振模型：描述光的振动方向和偏振现象。
22. 光的吸收和散射模型：描述光在物质中的吸收和散射现象。
23. 光电效应模型：描述光子与物质相互作用时产生的电子和能量转移。
24. 原子结构模型：描述原子中电子的能级结构和原子光谱。
25. 核反应模型：描述核子之间的相互作用和核反应过程。
26. 量子力学模型：描述微观粒子的行为和量子态的变化。
27. 相对论模型：描述高速运动物体的时间、长度等物理量的相对性变化。
28. 黑洞模型：描述黑洞的形成和引力场的极端情况。
物理48种解题模型
物理48种解题模型物理学作为自然科学中的一门重要学科，在很多人眼中，都是非常难以理解和掌握的。
但是，只要我们熟练掌握一些基本的解题模型，就能够事半功倍、游刃有余地解决许多看上去很难的物理问题。
接下来，我将为大家介绍48种常见的物理解题模型。
1. 直线运动的加速度模型：一定的力作用于物体上，且物体重力不变，则物体的加速度与受力大小成正比例，与物体的质量成反比例。
2. 圆周运动的加速度模型：半径为r，匀速转动的运动物体，其向心加速度的大小为a=v²/r。
3. 加速度的符号问题：保证在仅受重力、弹力或其他内力作用时，加速度始终沿自定义的正方向。
4. 平衡盘的模型：保证整个平衡盘处于平衡状态，使物体上下平衡的原理，即M1g=M2g。
5. 质心速度的计算模型：物体质心的速度为物体上任意一点的速度和所受的加速度的叠加。
6. 动量守恒的模型：自由物体的总动量在碰撞前后不变，即P1=P2。
7. 动能守恒的模型：自由物体的总动能在碰撞前后不变，即K1=K2。
8. 力的合成与分解的模型：可以将任意的力分解成沿不同方向的力的合成，或者将一个力分解为沿不同方向的力的分量。
9. 泰勒级数的模型：通过将方程进行泰勒级数展开，可以简化常见的物理问题，特别是在计算复杂函数时。
10. 碰撞动能损失的模型：碰撞时，动能不会完全转化为其他形式的能量，存在动能损失。
11. 弹性碰撞的模型：碰撞过程中，物体的动量和动能都被保持，原始的运动方向没有改变。
12. 非弹性碰撞的模型：碰撞过程中，物体的动量被保持，而动能被部分转化为其他形式的能量，如声能，热能等。
13. 刚体的平移运动模型：刚体的平移运动模型是指刚体的物理坐标恒定不变，仅受外部作用力的影响而使质点进行平移运动。
14. 刚体的转动运动模型：刚体的转动运动模型是指刚体在旋转过程中，每个时刻都有一个刚体质心，以及对该质心产生旋转的角速度和角加速度。
15. 刚体的平移动量守恒模型：刚体平移过程中，系统动量在碰撞前后恒定不变，即M1V1+M2V2=M1V1'+M2V2'。
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4 G 为引力常数， KM 2 4 其中 是普通常数（对于一切星体均成立） K
(三) 引力公式的验证 得到的引力公式是否符合实际,对 它的正确性要进行验证. 方式: 由圆运动推出的向心加速度 由引力公式推出的向心加速度 看二者是否相等?
1. 由向心力公式推出向心加速度 质点距离 月运行周期 T 27天7时43分 2360380秒
Newton得到的万有引力定律是在特殊情
况下得到的,对于一般情况,即在椭圆轨道 上,定律是否成立,还不能肯定, Newton曾 试图研究一般情况,但未成功.
今天数学发展了,数学工具也增多了.用向
量分析的方法,证明在椭圆轨道上运行的 形体,受焦点上星体的引力,也是定律所表 述的.
要求学生了解Newton在知道万有引力过程
2.椭圆面积
A ab
3.Kepler三定律. 第一定律(椭圆轨道定律 ) 行星轨道为一椭圆，太阳在其一焦点上. 第二定律 （扫面积相等定律）
行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相同. 1 2 扇形面积 rA 2 r 行星在椭圆上运行不是匀速
o
（月球运行是匀速）
第三定律 （周期平方定律） 运行周期T 与椭圆长半轴的关系是 T Ka
K m1m2 F r2
,
模型一. 万有引力模型
万有引力定律的发现是人类走向科学的 一项重大发现.其作用之大是无法比拟的.它 为当今的天文学和航天科学奠定了基础. 在这个模型中,包括两个部分: ㈠.Newton是怎样通过数学方法得到这一定 律的; ㈡.在比Newton更一般的情况下,用向量分析 法推导这个定律.
解决实际问题的数学公式: 三角形中的正弦公式: a b c 2R sinA sinB sinC 余弦公式: cos2 A cos2 B cos 2C 2cos B cos C
f ma ,
公式,方程,曲线,图表…等 为了解决实际问题,找出事物本身的机理,建立数 学模型(简称建模).解出数学模型,找到事物的 发展规律.
又因
为求a,
考虑地球表面的引力 一物体的质量为m, 在地球表面受力 Mm F G 2 ( r为地球半径) r
地球表面上重力加速度为 g 9.81cm 秒
2
Mm F mg , F G 2 (r为地球半径) r Mm 2 有 mg G 2 ， GM r g r 于是由引力产生的加速度 1 1 2 a GM 2 r g 2 R 60r g 9.81cm 秒 2 a 0.27 cm 秒 3600 3600
3.在重大问题的决策中,对方案及可行性分析
中,数学模型是非常重要的. 4.让学生进一步掌握数学的学科特点. 5.了解数学的理论体系. 6.了解数学之发展概况. 7.培养学生运用数学工具解决实际问题的能 力. 8.培养学生的科研论文写作能力.
二
本课性质
作为数学科学学院毕业生,大部分
m
R
R：两物体质心距离
M
定律适用范围:大至宇宙,小至地球上任意两物体.
(一)定律的来源探讨: 不是通过实验得到的,而是通过数学推导得
到的. 此公式是Newton于1666年得到的,以后很多 科学家都想通过实验证明它,都未成功. 1740年.布格,Buger. 1712年.马斯科林.Maskilin. 1854年.艾里.Anlli. 1880年.蒙登哈尔.Mengdenhar.
太阳系中各行星按椭圆轨道绕太阳运
行,太阳在椭圆的一个焦点上,用向量分 析法都能证出太阳对行星的引力符合 万有引力定律.
太
水
金
地
火
木
土
天
海
冥
九大行星示意图
万有引力模型.
Mm F G R2
Newton:1684年在《自然哲学》发表的. 定律:
宇宙中任何物体之间,都存在相互作 用的吸引力.这种引力的大小与它们的质量 乘积成正比,与二者距离的平方成反比,作 用力方向沿两个物体联线方向.
2
2
此后，此数字相继得到相继修正. 1892年.庞廷.Pantin.
G 6.698 10 1895年.博斯.Boss.
13
N cm g
2
13
2
G (6.658 0.0006 10 )N cm g 1930年.海尔.Hale.
2
13 2
2
G (6.670 0.005 10 )N cm g 上面一些科学家的工作,都说明Newton发明万 有引力定律时,不是通过实验得到的.
中的想法,从Newton第一定律(惯性定律:任 何物体保持静止,匀速直线运动)出发,首先他 考虑到:月球按圆形轨道运行,必有其动力学 原因,也就是必有看不见的外力在作用它.从 这一坚定信念出发推得了定律. 其次,当时通过实验方法是不能证明定律成 立的.Newton通过他的第二定律(加速度定 律),由引力产生的向心加速度与圆运动向心 加速度相等的方法,证明定律的正确性.
2 v 2 R 1 4 R a 2 R T R T 4 2 60 6370 105 cm 2 0.27 cm 秒 2 2 2360580 秒 2 2
R 60r
(r为地球半径)
5
r 6370 10 cm
2. 由引力公式推出向心加速度 Mm F G 2 R F ma F 1 a GM 2 m R GM ？
1.各颗行星分别在不同的椭圆轨道上 运行，太阳在椭圆的一个焦点上. 2.单位时间内，太阳与行星联成的向径， 它扫过的面积是常数. Kepler三定律 (对于每个行星而言，不同行星常数不同) 3.行星运行周期T的平方，与椭圆长半轴a 的三次方成正比. 2 3 T Ka ( K 对于所有行星均适用)
苹果熟了往地上落. 月球按圆形轨道绕地球运行.
这些现象都有其动力学原因. 按牛顿的惯性定律:苹果应在原位置上始终 不落,月球应按直线匀速运动. 以上两种现象,违反了惯性定律,其中必有其 动力学原因. 其中必有一种力作用着.这种力不是以明显 的形式表现出.
是以看不见的形式作用在苹果和月球上的 (以场的形式作用着). 这是地球产生的引力. 当时Newton还想到,苹果被引力拉到地面上 了,而月球没被拉下来,只影响了它的运行状 态,由直线变成曲线. 其原因是距离越大,引力就越小;距离越小,引 力就越大.
Newton推导万有引力的基础. ① Kepler三定律. ② Newton第二定律. Newton对“月球绕地球按圆形轨道运行”进行研 究,第一次提出：“月球按圆形轨道运行是地球对月 球的引力所致”. Newton通过计算圆运动的向心加速度, 又根据 Newton第二定律得到引力公式.为验证引力公式的 正确性,他比较了通过引力所得的加速度与圆运动的 向心加速度,计算结果二者是相同的.把这个无法通 过实验证明的规律从理论上给出了严格的数学证明.
2 3
(K为绝对常数或称普通常数，对任何行星均相同) 矢量分析 如上图，选单位向量 ur cos i sin j u sin i cos j r rur r是标量t 的函数，ur为基本向量,是t 的向量函数
ur sin i cos j u cos i sin j ur u p r 1 ecos r (t ) r (t )ur (t ) r (t )(cos i sin j ) (这里 (t )) 即随t的变化，给出的向量变化 若行星在椭圆轨道上运行的方程 r rur （不同时矢量的变化）
他们的作法:把一个小山作为 M,在山的
附近用线垂下一个小球,考察小球的偏 摆,然后确定引力系数 G ,都未成功.
直到1798年(离Newton发现定律130多
年后),卡文迪斯(Cavendish)用很复杂 的试验确定了引力关系和定律的正确 性,并确定了引力系数
G 6.7110
13
N cm g
（四）在太阳系中，研究太阳对各行星的引力 准备知识 1.椭圆方程 x2 y 2 p 2 1 (a b), r 2 a b 1 ecos u 2 b 1 p , e a 2 b2 a a 行星 习题：
O(太阳)
ur
r
p 若r 的长短半轴分别为a, b， 1 ecos b2 1 2 2 求证 p , e a b a a
2
(二)
Newton发明万有引力定律,是从地心引 力开始的,是从地球对月球的引力开始的. 此前已有的力学,天体力学知识:
1.惯性定律：任何物体都保持静止和 匀速直线运动状态. Newton三定律 2.加速度定律：F ma 3.作用与反作用定律：对于每个作用力 总存在着一个相等的反作用力
从地球对月球的引力着手研究. 月球沿圆形轨道围绕地球以匀速
v 运行,地
球在圆的中心. 设地球引力为 F ,则有 F ma. m为月球质量, a 为向心加速度. v2 圆运动向心加速度 a . R 地球心与月球心距离为 R . 圆运动的速度为 v .
地
R
m
v
设月球运行周期为 T
数学模型
中国海洋大学数学科学学院 高存臣
本课程为考试课
作业（10%）+笔记（10%）+ 考卷（论文80%）
序言
一
教学目的 1.通过讲解什么是数学模型,为什么学习数 学模型等内容,使学生了解数学模型是用数 学方法解决实际问题时的数学形式,它是实 际问题和数学间的桥梁. 2.使学生了解到在科学技术高度发展的今天, 数学在解决实际问题中的功能不断提高,甚 至是不可缺少的.
2
Newton在地球对月球的引力中,验证了