万有引力精讲

万有引力定律【知识结构图示】【物理思想方法】1．观察记录寻找规律由于研究太阳系、地球和月球系统等大尺度范围内物体间的相互作用，无法直接进行测量，因此必须要根据观察到的现象入手，经过记录、分析，逐步深入，直到找到客观的规律．这个客观的规律就像一只无形的大手操纵天体间的行星按一定的规律在运动，同时能预测以后的运动，因此就有可能发射人造的天体，在天空中自由地翱翔，而不与其他的行星碰撞．因此要认真学习这种思想方法．这种思想方法的思维过程是：这种思维的方法是探测未知领域的普遍方法之一，学习时要适当地注意小结．2．构建物理模型的方法在解决物理问题时常常要构建合适的物理模型，找到解决问题的方法，在这一章的知识中，人们从一系列观察天体运动结果的基础上，首先构建的是地心学说的模型，但随着社会的进步，技术的发展，逐步认识到地心学说的模型是错误的．人们又构建了日心学说的模型来解释天体运行的结果，发现是正确的，从而确立了各行星绕太阳运动的匀速圆周运动的模型。

本章有很多的问题就是要先构建物理模型，再利用规律才能解决．太阳光从太阳射到地球的时间为8分20秒，估算太阳的质量、平均密度。

月球到地球的距离为l，估算地球的质量、地球的平均密度。

讨论人造地球卫星的速度、角速度、周期与卫星的高度之间的关系等等一系列的问题都要构建一个物体绕另一个物体做匀速圆周运动的模型．如图6—21，图6—22，图6—23所示。

因此，本节教材要认真学习构建模型的方法．例1 天体中两颗恒星的质量相差不大，相距较近时，它们绕一中心分别做匀速圆周运动，这叫做双星。

已知双星的质量分别为1m 和2m ，相距为r ，它们分别绕连线中的一点做匀速圆周运动，求它们的周期和线速度。

解析 首先建立双星系统的运动模型如图6—24所示．由转动的中心总在一直线上得到，两星的转动周期相同，角速度一样，再根据向心力由它们之间的万有引力提供，结合规律容易得到．解答 设1m 到O 的距离为x ，2m 到O 的距离为r-x ，则x T m r m m G21221)2(π= )()2(22221x r T m r m m G -=π联立二式解得21221m x , )(2m m r m m G r r T +=+=π因此速度分别为 )(22121m m r G m T x v +==π)()(22112m m r G m T x r v +=-=π点拨 要注意两个恒星的运动周期和角速度是一样的，这一点是解决问题的关键．例2 空间有一颗绕恒星运动的球形行星，此行星上一昼夜是6h ，在行星的赤道处，用弹簧测力计称量物体的重力加速度比在两极测量的读数小10%，已知万有引力恒量是2211/1067.6kg m N ⋅⨯-，求此行星的密度。

解析 要解决这一问题先要建立符合题意的模型，建立模型时可以和日—地系统的运动模型进行对比得到，如图6-25所示．答案 由题意知自转的周期为6h 。

设行星的质量为M ，半径为R ，平均密度为ρ，则ρπ334R M =．两极的重力为物体受到的万有引力2R Mm G F =，m 是一个假定的物体的质量．物体在赤道随行星自转的向心力为R T m F 2)2(π=向弹簧测力计的读数为'F 由题意得到向F F F -=' 2229.02R Mm G R T m R Mm G =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 注意到ρπ334R M = ρππρπ32232349.0234R R G R T R R G ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅代入数据得到33/1003.3m kg ⨯=ρ。

点拨 这一个问题要能和地球绕太阳运动的模型对照起来，再利用物体做匀速圆周运动的规律，解决就方便，因此要善于将已经掌握的知识应用到新的情景中去，提高能力．【走向新高考】1．历届高考试题选讲由于这一部分知识与人造地球卫星的运动相关，而探测太空又是空间科学技术发展的重要领域，因此高考中含有这一方面知识和规律的问题屡见不鲜．例1 如图6—26所示，a 、b 、c 是地球大气层外圆形轨道上的三颗卫星，a 、b 的质量相同，但小于c 的质量，则A ．b 所需的向心力最小B ．b 、c 的周期相同且大于a 的周期C ．b 、c 向心加速度大小相同且小于a 的向心加速度D ．b 、c 的线速度相同，且小于a 的线速度解析 解决这样的问题只要抓住万有引力使物体产生加速度这一关键，问题便容易了．b 、c 比较，轨道的半径一样，线速度、角速度、周期一样，b 和a 比较，根据一般的规律得到结果．解答 22R mM G R v m =R GM v = 而3R GM R v ==ω 再根据周期v R T π2=得到ABCD 正确．点拨 解决这一类问题，只要掌握卫星离开地球中心的距离大小与线速度、角速度及周期的关系，问题就容易解决了．例2 用m 表示地球的通讯卫星(同步卫星)的质量，h 表示离地面的高度，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面的重力加速度．ω表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为A ．等于0B ．等于22)(h R g R m + C ．等于342ωg R m D ．以上结果都不正确解析 首先应理解地球同步卫星的转动角速度和地球自转的角速度相同，为ω，卫星的高度为R+h ，所以有：2)(h R mM G F +=万 而地球表面的重力加速度为2R GM g =代入前面的式子得2)(h R R mg F +=万， 根据)()(22h R m h R mM G+=+ω得到32)(h R GM +=ω考虑到2R GM g =， 运算得知2362222342)()(h R mM G h R R M GMG R m g R m +=+=ω。

答案 BC 正确。

点拨 从解决这一问题可以看出，要理解各物理量的含义，并能进行适当的代换，就容易解决问题了．2．高考试题展望例1 A ．同步通讯卫星是进行现代通讯的重要工具，我国在卫星发射方面已取得了辉煌的成就，进入了世界航天大国的行列．下面是关于同步卫星的一些问题，请回答或进行讨论．(1)同步通讯卫星的轨道有什么特点?(2)同步通讯卫星的轨道离地球表面的距离约为多大?(3)在同步的轨道上均匀分布三颗通信卫星，能否实现全球通讯，为什么?B ．发射同步卫星时，先将卫星发射到近地的圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送人同步的圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图6—27所示，当卫星在轨道1、2、3上正常运行时，(1)比较卫星在轨道1、3上运行的角速度的大小关系，并写出推理的过程．(2)比较卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度与轨道2上经过Q 点的加速度的大小关系，说明理由．解析 A ．(1)同步卫星的轨道平面必须与地球的赤道平面重合，这是同步卫星运动实现的必要条件，同步卫星发射后并不是直接进入同步轨道的，而是要先进入近地的停泊轨道再进入转移轨道，最后再经过一系列的调整进入同步轨道．同步卫星的轨道平面虽然要与地球的赤道平面重合，但发射并不一定要在赤道上发射．(2)万有引力提供向心力，可得)(4)(222h R T m h R mM G +=+⋅π 整理后得R GMT h -=3224π代入数据，解得km h 410587.3⨯=。

应该注意同步卫星的高度与同步卫星的轨道半径不同．(3)参见图6—28所示，设地球为球体，从卫星处作与地球相切的两条直线，因为同步卫星的高度不是无限大，所以这两根切线总不能通过地球南北的极点M 、N ．由此可见，不管在同步轨道上发射多少卫星，都不能覆盖全球．B ．(1)设卫星在轨道上运动的角速度为ω，由万有引力提供向心力，得22ωmR R mM G=， 得到32R GM =ω，因为轨道3的半径大于轨道1的半径，所以卫星在轨道3上运行的角速度小于它在轨道1上的角速度．(2)因为同一颗同步卫星在轨道1上经过Q 点与轨道2上经过Q 点时受到的地球的引力相等，根据牛顿第二定律得，这两个加速度大小和方向相同．点拨 解决这一个问题要建立清晰的物理模型，利用万有引力使物体完成圆周运动的规律，结合牛顿第二定律，还要根据几何关系等多个知识点的知识才能解决．在学习的过程中要训练用综合知识来解决问题的能力．例2 设地球的质量为M ，地球的半径为R ，万有引力恒量为G ．取离地球无限远重力势能为零，物体的重力势能公式为r GmME p -=(式子中，r 为质量m 的物体离开地心的距离)．(1)有一质量为m 的人造地球卫星在离地心为r 的圆轨道上运行，推导卫星具有机械能的表达式．(2)在地球的表面发射一颗人造地球卫星，如果发射的速度太大，此卫星可以上升到离地心无穷远外，这个速度称第二宇宙速度(也称为逃逸速度)，推导第二宇宙速度的表达式．(3)若已知第一宇宙速度为7.9km/s ，求第二宇宙速度．解析 这是一个给定方法，要求解决给定的问题．因此要充分利用所给的条件，结合已经掌握的知识和规律，找到方法．(1)由万有引力提供向心力得到r v m r mM G 22= r GMm mv E k 2212==r GMm r GMm r GmM E E E k p 22-=+-=+=(2)发射以后的运动机械能守恒，到离地心无穷远时，0≥E ，当地面的发射速度为v ，则应有0≥+=k p E E E ， 即0212≥-r GMm mv ， 解得r GM v 2≥。

(3)由上面的运算得到：r GM v 2≥，而在地球的表面s km R GM /9.7=。

代入上面的式子得s km s km v /2.11/19.7414.1=⨯≥．点拨 利用给定的方法来解决一些问题也是学习中的一种重要的方法，以后还会经常遇到．例如利用开普勒三定律计算卫星在近地点和远地点的速度．学习的过程中要留心总结．【单元达纲检测】1．关于地球同步通讯卫星，下列说法正确的是A ．它一定在赤道的上空运行B ．各国发射的这种卫星的轨道半径是一样的C．它运行的线速度一定小于第一宇宙速度D．它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间2．设地面附近的重力加速度为g，地球的半径为R，人造地球卫星圆形运行轨道的半径为r，那么下列说法正确的是A．卫星在轨道上的向心加速度大小为22 r gRB．卫星在轨道上的速度大小为rg R2C．卫星运行的角速度大小为32 r gRD．卫星运行的周期为23 2gRr π3．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其半径为R，线速度为v，周期为T，若要使卫星的周期变为2T,可能的办法是A．R不变，使线速度变为2 vB．v不变，使轨道的半径变为2RC．轨道的半径变为R 34D．无法实现4．两颗靠得较近的天体叫双星，它们以两者重心连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，因而不会因为引力的作用而吸引在一起，以下关于双星说法中正确的是A．它们做圆周运动的角速度与其质量成反比B．它们做圆周运动的线速度与其质量成反比C．它们所受向心力与其质量成反比D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比5．已知火星半径是地球半径的21，火星质量为地球质量的91．若一物体在地球表面所受的重力比它在火星表面所受的重力大49N，则这个物体的质量是_____kg.(2/8.9smg=)6．某行星表面附近有一颗卫星，其轨道的半径可以认为近似等于该行星的球体半径．已测出此卫星运行的周期为80min，已知万有引力的恒量为2211/1067.6kgmN⋅⨯-，根据以上信息求出该行星的平均密度为__________.(取两位有效数字)7．在天体演变的过程中，红色巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星(电子被迫与原子核中的质子相结合而形成中子)，中子星具有极高的密度．(1)若已知中子星的密度是317/10mkg，该中子星的卫星绕它做圆轨道运动，求该中子星的卫星运行的最小周期．(2)中子星也在绕自转轴自转，若中子星的自转角速度6.28x30r／s，为了使中子星不因自转而被瓦解，密度至少应为多少?(假设中子星是通过中子间的万有引力结合成球形星体，引力常量为2211/1067.6kgmN⋅⨯-)8．2001年3月俄罗斯“和平号”空间站坠落在南太平洋．“和平号”空间站正常运行时距地面的高度约为350km，为了保证安全坠落，控制中心对空间站的运行作了精心的安排和控制，在坠落前，空间站已经顺利地进入了低空轨道，此时距地面的高度为240km，在“和平号”空间站沿指定低空轨道运行时，其轨道的高度平均每昼夜降低2．7km．设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350km的圆形轨道运行，在坠落前沿高度240km的指定低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，计算时对空间站每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理．(1)简要说明，为什么空间站沿圆轨道运行的过程中，运动的速度不变?(2)空间站沿正常的轨道运行时的加速度与在低空轨道运行时的加速度大小之比是多少?计算的结果保留2位有效数字．(3)空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站的高度平均变化多大?(地球的半径取6400km，计算的结果保留1位有效数字)9．我国成功地发射、回收“神州号”系列宇宙飞船，表明我国载人航天技术有了重大突破．(1)如果飞船在轨道上做的是匀速圆周运动，运行的速度应满足( )A．v<7.9km／s B．v=7.9km／sC．7.9km／s<v<11.2km／s D．v=11.2km／s(2)返回地球时，为了保护返回舱内的仪器不受损坏，在离地面为4km时放出降落伞进行减速(已知此时返回舱速度的大小为200m／s，方向竖直向下)，为了最安全着落，放出降落伞返回舱的加速度至少应该是多大?(假设放出降落伞后返回舱做匀变速运动)参考答案【单元达纲检测】1．ABC 点拨：同步卫星的角速度与地球自转的角速度一样，高度惟一．2．ABCD 点拨：卫星的向心力由万有引力提供．3．C 点拨：根据向心加速度的不同的表达式．4．BD 点拨：双星运动的角速度和周期一样．5．9kg 点拨：求出地球和火星表面的加速度．6．33/101.6mkg⨯点拨：建立卫星绕行星运动的模型，进行物理量之间的代换。