课时作业2：第4讲 万有引力定律及应用

课时限时练(限时：40分钟)对点练1 开普勒三定律的理解和应用1. (2020·湖南衡阳市第一次联考)2019年10月8日，瑞典皇家科学院在斯德哥尔摩宣布，将2019年诺贝尔物理学奖，一半授予美国普林斯顿大学吉姆·皮布尔斯，以表彰他“关于物理宇宙学的理论发现”，另外一半授予瑞士日内瓦大学的米歇尔·麦耶和瑞士日内瓦大学教授兼英国剑桥大学教授迪迪埃·奎洛兹，以表彰他们“发现一颗环绕类日恒星运行的系外行星”。

若某一系外行星的半径为R ，公转半径为r ，公转周期为T ，宇宙飞船在以系外行星中心为圆心，半径为r 1的轨道上绕其做圆周运动的周期为T 1，不考虑其他星球的影响。

(已知地球的公转半径为R 0，公转周期为T 0)则有( )A.r 31T 21＝R 30T 20B.r 3T 2＝R 30T 20C.该系外行星表面重力加速度为4π2r 1T 21D.该系外行星的第一宇宙速度为4π2r 31T 21R 答案 D解析 开普勒第三定律r 3T 2＝k ，其中k 与中心天体有关，系外行星、宇宙飞船、地球做圆周运动的中心天体均不同，故A 、B 错误；对宇宙飞船G Mm r 21＝m 4π2T 21r 1＝ma n解得a n ＝4π2r 1T 21，GM ＝4π2r 31T 21，故C 错误；对系外行星的近地卫星G Mm 0R 2＝m 0v 21R解得v 1＝GM R ＝4π2r 31T 21R ，故D 正确。

2.(2020·安徽六安市省示范高中教学质检)国产科幻巨作《流浪地球》上映，开创了中国科幻电影的新纪元，打破了中国人不会拍摄科幻电影的魔咒，也引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈讨论。

其中有一种思路是不断加速地球使其围绕太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开太阳系。

假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R ，最远距离为7R (R 为加速前地球与太阳间的距离)，则在该轨道上地球公转周期将变为( ) A.8年 B.6年 C.4年 D.2年答案 A解析 由开普勒第三定律R 3T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ＋7R 23T 21，解得T 1＝8年，选项A 正确。

对点练2 万有引力定律的理解和应用3.(多选)(2020·河南洛阳市一模)我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作( )A. 测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力B.测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量C.从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度D.测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度 答案 AD解析 根据h ＝12gt 2 得g ＝2h t 2，则月球表面上该石块的重力G ′＝mg ＝m 2ht 2，故A 正确；一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，同样有竖直方向h ＝12gt 2，得g ＝2h t 2，又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力G MmR 2＝mg ，得M ＝2hR 2Gt 2，因不知道月球半径，则求不出月球的质量，故B 错误；从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C 错误；由万有引力提供向心力得G Mm R 2＝m (2πT )2R ，得M ＝4π2R 3GT 2，又M ＝ρ43πR 3，联立解得ρ＝3πgT 2，故D 正确。

4.[2020·陕西渭南市教学质量检测(Ⅰ)]我国将于2020年年底前后发射嫦娥五号，实现区域软着陆及采样返回，完成探月工程“绕、落、回”三步走目标。

嫦娥五号由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成，其中着陆器将进行月面软着陆，轨道器留在近月轨道绕月飞行。

设着陆器月面着陆后以初速v 0竖直向上弹射一小物体，小物体上升的最大高度为h ，已知月球的半径R ，则轨道器环月飞行的速度为( ) A.v 0R2h B.v 02R h C.v 02h RD.v 0h 2R答案 A解析 由竖直上抛运动可得v 20＝2gh ，所以月球表面的重力加速度为g ＝v 202h由万有引力提供向心力得G MmR 2＝m v 2R 由黄金代换gR 2＝GM 联立得v ＝gR ＝v 202h ·R ＝v 0R2h ，故选项A 正确。

对点练3 天体质量和密度的计算5.(多选)(2020·湖南怀化市上学期期末)卫星绕某行星做匀速圆周运动的速率的平方(v 2)与卫星的轨道半径的倒数(1r )的关系如图1所示，图中b 为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( )图1A.行星的半径为kbB.行星的质量为kG C.行星的密度为3b 34πGk 2 D.行星的第一宇宙速度为b 答案 BCD解析 卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力， 则有G Mm r 2＝m v 2r ，得v 2＝GM ·1r设行星的半径为R ，由图知，当r ＝R 时，v 2＝b ，GM ＝k ，解得R ＝kb ，故A 错误；由上知，GM ＝k ，得行星的质量为M ＝k G ，故B 正确；行星的体积V ＝43πR 3，密度ρ＝M V ＝3b 34πGk 2，故C 正确；卫星在行星表面做匀速圆周运动时，运行速度为第一宇宙速度G Mm R 2＝m v 2R ，解得第一宇宙速度v ＝GMR ＝b ，故D 正确。

6.(多选)[2020·河南省九师联盟模拟(二)]2019年4月10日，数百名科学家发布了人类拍到的首张黑洞照片，如图2所示。

理论表明，黑洞质量M 和半径R 的关系为M R ＝c 22G ，其中c 为光速，G 为引力常量。

若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v ，轨道半径为r ，则可知( )图2A.该黑洞的质量M ＝v 2r2GB.该黑洞的质量M ＝v 2rGC.该黑洞的半径R ＝2v 2rc 2 D.该黑洞的半径R ＝v 2rc 2答案 BC解析 设黑洞的质量为M ，环绕天体的质量为m ，根据万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，有G Mmr 2＝m v 2r ，化简可得黑洞的质量为M ＝v 2r G ，故B 正确，A 错误；根据黑洞的质量M 和半径R 的关系M R ＝c 22G ，可得黑洞的半径为R ＝2GMc 2＝2v 2rc 2，故C 正确，D 错误。

对点练4 卫星运行参量的分析7.(2020·全国卷Ⅲ，16)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K 倍。

已知地球半径R 是月球半径的P 倍，地球质量是月球质量的Q 倍，地球表面重力加速度大小为g 。

则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( ) A.RKgQP B.RPKg Q C.RQg KPD.RPg QK答案 D解析 由题意可知“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为r ＝KRP ，设月球的质量为M ，地球的质量为QM ，“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的速率为v ，“嫦娥四号”的质量为m ，则一质量为m ′的物体在地球表面满足G QMm ′R 2＝m ′g ，而“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动满足G Mm r 2＝m v 2r ，解得v ＝RPgQK ，选项D 正确。

8.(2020·天津卷，2)北斗问天，国之夙愿。

我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。

与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )图3A.周期大B.线速度大C.角速度大D.加速度大答案 A解析 近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得G Mmr 2＝m v 2r ，解得线速度v ＝GMr ，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B 错误；由万有引力提供向心力，可得G Mm r 2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，解得周期T ＝2πr 3GM ，所以地球静止轨道卫星的周期较大，选项A 正确；由ω＝2πT ，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C 错误；由万有引力提供向心力，可得G Mmr 2＝ma ，解得加速度a ＝G Mr 2，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D 错误。

9.(多选)(2020·江苏卷，7)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。

下列应用公式进行的推论正确的有( ) A.由v ＝gR 可知，甲的速度是乙的2倍B.由a ＝ω2r 可知，甲的向心加速度是乙的2倍C.由F ＝GMm r 2可知，甲的向心力是乙的14D.由r 3T 2＝k 可知，甲的周期是乙的22倍解析 两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由GMm r 2＝m v 2r ，可得v ＝GM r ，则乙的速度是甲的2倍，选项A 错误；由GMmr 2＝ma ，可得a＝GM r 2，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B 错误；由F ＝GMmr 2，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的14，选项C 正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的22倍，选项D 正确。

答案 CD10.(2020·山东卷，7)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。

质量为m 的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t 0、速度由v 0减速到零的过程。

已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g ，忽略火星大气阻力。

若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( ) A.m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.4g －v 0t 0B.m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.4g ＋v 0t 0C.m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.2g －v 0t 0D.m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.2g ＋v 0t 0答案 B解析 由G MmR 2＝mg ，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值g 火g ＝M 火R 2地M 地R 2火＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g 火＝0.4g 。

着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v 0－at 0＝0可得a ＝v 0t 0。

由牛顿第二定律有F －mg 火＝ma ，解得F ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0.4g ＋v 0t 0，选项B 正确。