天津市开发区2016-2017学年高考数学模拟试卷(理科)Word版含解析
天津市武清区2016-2017学年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
天津市武清区2016-2017学年高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．23．已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．154．设a=log412，b=log515，c=log618，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a5．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知关于x的不等式（ab＞1）的解集为空集，则的最小值为（）A．B．2 C． D．4AM 8．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则DC 的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．（1，0），点H（2，）在椭圆上．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PFQ的2周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足：b 1=，b n+1=b n （n ∈N +），记数列{b n }的前n 项和为T n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ；（2）求数列{b n }的通项公式b n 及前n 项和公式T n ；（3）记集合M={n|≥λ，n ∈N +}，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围．20．设函数f （x ）=﹣aln （1+x ），g （x ）=ln （1+x ）﹣bx ． （1）若函数f （x ）在x=0处有极值，求函数f （x ）的最大值；（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式g （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn ≤（n=1，2．…）．天津市武清区2016-2017学年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：D．2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，1）将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣1=1．即z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．3．已知如程序框图，则输出的i 是（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【考点】循环结构．【分析】写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C4．设a=log 412，b=log 515，c=log 618，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】由于a=1+log 43，b=1+log 53，c=1+log 63，而log 43＞log 53＞log 63，即可得出．【解答】解：∵a=log 412=1+log 43，b=log 515=1+log 53，c=log 618=1+log 63，而log 43＞log 53＞log 63，∴a ＞b ＞c ．故选：A ．5．已知f （x ）=2x+3（x ∈R ），若|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a ，b ＞0），则a ，b 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】化简|f （x ）﹣1|＜a 得＜x ＜．化简|x+1|＜b 得﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1，由题意可得（， ）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1），故﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，由此求得a ，b 之间的关系．【解答】解：|f （x ）﹣1|＜a 即|2x+2|＜a ，即﹣a ＜2x+2＜a ，即＜x ＜． |x+1|＜b 即﹣b ＜x+1＜b 即﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1．∵|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a ，b ＞0），∴（， ）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1），∴﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，解得b ≥，故选A ．6．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，b ），B 2（0，﹣b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），且a 2+b 2=c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为， 由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4， 即为b 2c 2=a 2（b 2+c 2），即有c 4+a 4﹣3a 2c 2=0，由e=，可得e 4﹣3e 2+1=0，解得e 2=，可得e=，（舍去）． 故选：A ．7．已知关于x 的不等式（ab ＞1）的解集为空集，则的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．4【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选D．8．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立适当的直角坐标系，求出相关点的坐标，求出与，然后求解的表达式，求出最大值即可．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，﹣2），设D（2cosα，2sinα）．∴=（4，﹣2），=（2﹣2cosα，﹣2sinα）．•=4×（2﹣2cosα）+4sinα=8﹣8cosα+4sinα=8+4sin（α﹣θ），其中tanθ=2．sin（α﹣θ）∈[﹣1，1]，∴的最大值是8+4，故选：A．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】射线画出函数图象，明确f（x）与x轴围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（x的）与x轴围成封闭图形如图，其面积为：==；故答案为：．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是以侧视图为底面，高为2的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是以侧视图为底面，高为2的四棱锥体积V==2，故答案为：2．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】分别把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式：弦长=2，即可得出．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，展开可得：ρsinθ+=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．圆C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程： =4，可得圆心，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与圆C相交所得弦长=2=2=．故答案为：．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为﹣20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式，求得=（1﹣x2）6开式中x6的系数为﹣，计算求的结果．【解答】解：（1+x）6（1﹣x）6=（1﹣x2）6开式中x6的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AB，利用切割线定理先求出PC，进而求出BC；在Rt△ABC中，利用勾股定理有BC2=AC2+AB2①；再利用弦切角定理，可知∠PAB=∠BAC，再加上一组公共角，可证△PAB∽△PCA，那么就有PC：AC=PA：AB②；两式联合可求AC．【解答】解：连接AB，根据切割线定理有，PA2=PB•PC，∴102=5×（5+BC），解得BC=15，又∵∠PAB=∠PCA，∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，∴PA：AB=PC：AC，∴10：AB=20：AC①；∵BC是直径，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2=152②；①②联立解得AC=．故答案为：．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．【考点】平面向量的坐标运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间（2）用三角形的面积公式和余弦定理列方程求．【解答】解：（1）∵，∴===∴令∴∴f（x）的单调区间为，k∈Z．（2）由f（A）=4得∴又∵A为△ABC的内角∴∴∴∵∴∴c=2∴∴（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴，∴，2 3数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；（Ⅲ）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为60°转化为两向量所成的角为60°，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．又FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以FG∥平面PED．（Ⅱ）解：因为EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．如图建立空间直角坐标系，因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．所以，，设为平面FGH的一个法向量，则，即，=1，得．再令y1，设为平面PBC的一个法向量，则，即，=1，得．令z2所以=．所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为．（Ⅲ）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°．依题意可设，其中0≤λ≤1．由，则．又因为，所以．又直线FM 与直线PA 成60°角，，所以，即，解得：．所以，．所以，在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60°，此时PM 的长为．18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆x 2+y 2=b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，问：△PF 2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上，建立方程组，可得a 值，进而求出b 值后，可得椭圆方程；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），分别求出|F 2P|，|F 2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2求出|PQ|，可得结论．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上，∴由题意，得，…解得a=3，b=2…∴椭圆方程为．…（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），（|x 1|≤3）∴|PF 2|2=（x 1﹣1）2+y 12=（x 1﹣9）2，∴|PF 2|=3﹣x 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x 12+y 12﹣8=x 12，∴|PM|=x 1，∴|PF 2|+|PM|=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 同理可求|QF 2|+|QM|=3∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=6为定值．…19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足：b 1=，b n+1=b n （n ∈N +），记数列{b n }的前n 项和为T n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ；（2）求数列{b n }的通项公式b n 及前n 项和公式T n ；（3）记集合M={n|≥λ，n ∈N +}，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围． 【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可得出；（2）先得到，再利用累乘法，得到数列{b n }的通项公式，再利用错位相减法求出前n 项和公式T n ；（3）根据函数的的单调性，得到不等式，n ∈N +继而求实数λ的取值范围 【解答】解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得，解得，∴a n =n ，∴．（2）由题意得，累乘得．由题意得①②②﹣①得：∴（3）由上面可得，令，则f（1）=1，，，，．下面研究数列的单调性，∵，∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．∵集合M的子集个数为16，∴M中的元素个数为4，∴不等式，n∈N+解的个数为4，∴20．设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn≤（n=1，2．…）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值，得a=1，从而求出函数的表达式，找出单调区间求出最值；（2）由已知得：再对b分情况讨论：①若b≥1，②若b≤0，③若0＜b＜1综合得出b的取值范围是x∈[1，+∞）；（3）由前两问综合得出．【解答】解析：（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值∴，∴a=1∴，∴当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；∴函数f（x）的最大值为f（0）=0．（2）由已知得：①若b≥1，则x∈[0，+∞）时，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在[0，+∞）上为减函数，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx＜g（0）=0在（0，+∞）上恒成立；②若b≤0，则x∈[0，+∞）时，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在[0，+∞）上为增函数，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx＞g（0）=0，不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；③若0＜b＜1，则时，，当时，g'（x）≥0，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在上为增函数，此时g（x）=ln（1+x）﹣bx＞g（0）=0，∴不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；综上所述，b的取值范围是b∈[1，+∞）．（3）由（1）、（2）得：取得：．令，则，．因此．又，故．。
2016-2017学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
） B． （0.025，0.05） D． （3.841，5.024）
） B．EX＝ D．EX＝ ，DX＝ ，DX＝ ） D． ≠
9． （4 分）若 m，n∈N ，且 n≥m，则下列说法正确的是（ A． ≥ B． ＞ C． ＝
10． （4 分）函数 f（x）＝ 为（ A．1 二.填空题 11． （4 分）i 是虚数单位，a，b∈R，若 ） B．2
2016-2017 学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（理科）
一.选择题（每题 4 分） 1． （4 分）i 是虚数单位， A． i 等于（ ） C． + i D． ﹣ i
B．﹣ i
2． （4 分）已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，…， （xn，yn） ， 由这些数据得到的回归直线 l 的方程为 ＝ 列各点中一定在 l 上的是（ A． （ ， ） ） C． （0， ） D． （0，0） ，若 ＝ ， ＝ ，则下
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2016-2理 科）
参考答案与试题解析
一.选择题（每题 4 分） 1． （4 分）i 是虚数单位， A． i 【解答】解： 故选：D． 2． （4 分）已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1） ， （x2，y2） ，…， （xn，yn） ， 由这些数据得到的回归直线 l 的方程为 ＝ 列各点中一定在 l 上的是（ A． （ ， ） ） C． （0， ） D． （0，0） ，若 ＝ ， ＝ ，则下 ＝ 等于（ ） C． + i ＝ ＝ ﹣ i， D． ﹣ i
19． （12 分）盒中有标号分别为 0，1，2，3 的球各一个，这些球除标号外均相同．从盒中 依次摸取两个球（每次一球，摸出后不放回） ，记为一次游戏．规定：摸出的两个球上的 标号之和等于 5 为一等奖，等于 4 为二等奖，等于其它为三等奖． （1）求完成一次游戏获三等奖的概率； （2）记完成一次游戏获奖的等级为 ξ，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望． 20． （12 分）已知函数 f（x）＝x ﹣2x ，g（x）＝﹣4x +4x﹣2，x∈R． （1）求 f（x）的最小值； （2）证明：f（x）＞g（x） ．
2016年天津市五区县高考数学一模试卷(理科)(解析版)-推荐下载
17．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，平面 PAD⊥底面 ABCD，BC= AD，PA=AD=AB=2，Q 为 AD 的中点 （1）求证：平面 PQB⊥平面 PAD； （2）若直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°，M 是棱 PC 上的点． ①经过 M，B 作平面 α，使直线 CD∥α 并说明理由； ②若 PM=tMC，二面角 M﹣BQ﹣C 的平面角的大小为 30°，求 AM 的长．
A．（﹣1，+∞）
B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1） D．[﹣1，1）
，若方程 f（x）=a 有四个不同的解
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
[精品]2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷及解析答案word版(理科)
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2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．24．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，且b n﹣b n=．+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．2017年天津市滨海新区高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N=|x∈Z|＜2x+1＜4}，则M∩N=（）A．{1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．∅【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：B2．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．B．﹣3 C．D．1【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，由解得A（0，1）化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A（0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：根据题意，得a=2017，i=1，b=﹣，i=2，a=﹣，b=，i=3，a=，b=2017，不满足b≠x，退出循环，输出i的值为3．故选：C．4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”⇔△=a2﹣4＜0，⇔“|a|＜2”．∴“∀x∈R，x2+ax+1＞0成立”是“|a|≤2”的充分不必要条件．故选：A．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若cosA=，bcosC+ccosB=2，则△ABC外接圆的面积为（）A．4πB．8πC．9πD．36π【解答】解：由题意，cosA=，∴sinA=．由正弦定理：，可得：2RsinBcosC+2RsinCcosB=2．即R（sinBcosC+sinCcosB）=1．RsinA=1．∴R=3．圆的面积为：πR2=9π．故选：C．6．（5分）已知双曲线9y2﹣m2x2=1（m＞0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，取顶点，一条渐近线为mx﹣3y=0，∵故选D．7．（5分）已知函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x．若f（log 3x）+f（log x）≤2f（1），则x的取值范围（）A．（﹣∞]∪[3，+∞）B．[，3]C．[，1]D．[1，3]【解答】解：函数f（x）=（e x﹣e﹣x）x，x∈R，∴f（﹣x）=（e﹣x﹣e x）•（﹣x）=（e x﹣e﹣x）x=f（x），∴f（x）是定义域R上的偶函数；又f（x）=f（﹣log 3x）=f（log3x），∴不等式f（log 3x）+f（log x）≤2f（1）可化为f（log3x）≤f（1）；又f′（x）=（e x﹣e﹣x）+（e x+e﹣x）x，当x≥0时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；∴原不等式可化为﹣1≤log3x≤1，解得≤x≤3；∴x的取值范围是[，3]．故选：B．8．（5分）定义在R上的函数y=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），且对任意实数x∈[2n﹣2，2n+1﹣2]（n∈N*，n≥2），都有f（x）=f（﹣1）．若g（x）=f（x）﹣log a x有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．[2，10] B．[，]C．（2，10）D．[2，10）【解答】解：当x∈[0，2]时，f（x）=4（1﹣|x﹣1|），当n=2时，x∈[2，6]，此时﹣1∈[0，2]，则f（x）=f（﹣1）=×4（1﹣|﹣1﹣1|）=2（1﹣|﹣2|），当n=3时，x∈[6，14]，此时﹣1∈[2，6]，则f（x）=f（﹣1）=×2（1﹣|﹣|）=1﹣|﹣|，由g（x）=f（x）﹣log a x=0，得f（x）=log a x，分别作出函数f（x）和y=log a x的图象，若0＜a＜1，则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件．若a＞1，当对数函数图象经过A时，两个图象只有2个交点，当图象经过点B 时，两个函数有4个交点，则要使两个函数有3个交点，则对数函数图象必须在A点以下，B点以上，∵f（4）=2，f（10）=1，∴A（4，2），B（10，1），即满足，即，解得，即2＜a＜10，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知i是虚数单位，若复数z=（m∈R）是纯虚数，则m=﹣2．【解答】解：复数z===+i是纯虚数，则=0，≠0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知：该几何体左边是半圆柱，右边是四棱锥．∴该几何体的体积V=+=．故答案为：．11．（5分）设a=cosxdx，则（a+）6展开式中的常数项为240．【解答】解：a=cosxdx==2，则的展开式中通项公式：T r==26﹣r，+1令3﹣=0，解得r=2．∴常数项==240．故答案为：240．12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．则直线l与圆C相交所得弦长为．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，展开可得：ρsinθ+=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．圆C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程：=4，可得圆心，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与圆C相交所得弦长=2=2=．故答案为：．13．（5分）已知抛物线（t为参数），过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），|AF|=3|FB|，过AB的中点且垂于l的直线与x轴交于点G，则△ABG的面积为．【解答】解：抛物线（t为参数），消去参数化为：y2=4x．设直线l的方程为：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：k2x2﹣（4+2k2）x+k2=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=1，（*）可得线段AB的中点M．∵|AF|=3|FB|，∴=3，∴1﹣x1=3（x2﹣1），与（*）联立可得：k2=3，取k=．∴M，∴过AB的中点且垂于l的直线方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0，可得G，∴点G到直线l的距离d==．|AB|===．∴△ABG的面积S=•d•|AB|=×=．故答案为：．14．（5分）如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=，=，则+的最小值为3．【解答】解：由向量共线定理可得：=m+（1﹣m）=+（1﹣m）×．==+．∴，（1﹣m）×=．化为：a﹣1=．∴+=b﹣2+≥2，当且仅当b=a=3时取等号．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）=cosx•tan（x+）cos（x+）﹣cos2x+．根据正切函数的性质可得x+≠，k∈Z，可得：x≠，k∈Z，函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠，k∈Z}．将函数f（x）化简可得：f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+．=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cso2x=sin（2x﹣）∴函数f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x﹣）当x∈[﹣，0]上时，可得：2x﹣∈[，]．当2x﹣=时，f（x）取得最小值为﹣．当2x﹣=时，f（x）取得最大值为．故得函数f（x）在x∈[﹣，0]上的最大值为，最小值为．16．（13分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店；5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取4名，求至多有一名倾向于选择实体店的女性购物者的概率；（Ⅱ）若分别从男性购物者和女性购物者中各随机抽取2名，设X表示抽到倾向于选择网购的人数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“至多有1名倾向于选择实体店的女性购物者”为事件A，则P（A）=+=；（Ⅱ）根据题意，X的取值为0，1，2，3，4；则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==；∴随机变量X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=2．17．（13分）如图，已知直角梯形ABCD所在的平面垂直于平面ABE，∠EAB=∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=AD=AE，P为线段BE的中点．（Ⅰ）求证：CP∥平面DAE；（Ⅱ）求平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值；（Ⅲ）在线段EC上是否存在一点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AE的中点F，连接DF、PF，∵P为BE中点，∴PF∥AB，且PF=，又直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，可得DC∥AB，且DC=，∴PF∥DC，且PF=DC，则四边形DCPF为平行四边形，可得PC∥DF．而DF⊂平面EAD，PC⊄平面EAD，∴CP∥平面DAE；（II）解：∵∠BAE=90°，平面ABCD平面ABE，在平面ABCD内过A作Az⊥AB．∴以点A为原点，直线AE为x轴，直线AB为y轴，Az为z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=AD=AE=2，由已知，得E（2，0，0），C（0，2，），D（0，1，）．∴，，设平面ECD的法向量为=（x，y，z），则，取z=2，得平面ECD的一个法向量为=（，0，2）．又∵平面ABC的一个法向量为=（0，0，1）．∴cosθ=|cos＜＞|=，即平面CDE与平面ABE所成的锐二面角θ的余弦值为；（Ⅲ）解：线段EC上存在点Q，使直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，此时=或=．设Q（x，y，z），且，则（x﹣2，y，z）=（﹣2），∴，即Q（2﹣2λ，2λ，），P（1，1，0），则．∵直线PQ与平面CDE所成的角的正弦值为，∴|cos＜＞|=||=．解得：或．∴=或=．18．（13分）已知正项数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，﹣b n=．且b n+1（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n，并证明≤T n＜对一切n∈N*都成立．﹣b n=．∴，，【解答】解：（Ⅰ）∵b n+1解得a1=1 （负值舍去）即数列{a n}是公差为2，首项为1的等差数列，∴a n=2n﹣1b n+1﹣b n==．，，…由累加法得：，∴（Ⅱ）∵（2﹣b n）2=∴c n==，T n=…①T n=++…+++…②①﹣②得﹣==∴T n=．令f（n）=，∵f（n+1）﹣f（n）=∴令f（n）=，当n∈N+时递减，则T n=递增．∴，即≤T n＜对一切n∈N*都成立．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）离心率为，它的一个顶点在抛物线x2=4y的准线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，一条直线l与椭圆交于M、N两点，直线OM、ON的斜率之积为﹣，求△MON的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在x轴上，抛物线x2=4y的准线，y=﹣1，由椭圆的顶点在抛物线的准线上，则b=1，椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，（m≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y，得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，∴|MN|==，点O到直线y=kx+m的距离d=，S△MON=×丨MN丨×d=2，∵k 1k2=﹣，∴k1k2=====﹣，∴4k2=2m2﹣1，=2=2=1．∴S△MON∴△MON的面积1．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2，g（x）=+x，且直线y=﹣是曲线y=f （x）的一条切线．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），若b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，求证：m＜0．【解答】（I）解：f（x）=lnx+ax2，（x＞0），f′（x）=+2ax．设切点为，则f′（x0）=+2ax0=0，lnx0+=﹣，解得x0=1，a=﹣．（II）解：对任意的x1∈[1，]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），⇔函数f（x）的值域A是函数g（x）的值域B的子集，即A⊆B．（i）由（I）可得：f（x）=lnx﹣x2，x∈[1，]，f′（x）=﹣x=．可知：函数f（x）在x∈[1，]单调递减，∴f（x）=f（1）=﹣，f（x）min=f（）=．max∴A=．（ii）g′（x）=1﹣=．b≤1时，g′（x）≥0，函数g（x）在x∈[1，4]单调递增，g（1）=b+1，g（4）=4+．∴B=．∵A⊆B．∴，解得，满足条件．b＞1时，g（x）=x+＞0，不满足A⊆B，舍去．综上可得：实数b的取值范围是．（III）证明：方程f（x）=cx有两个根x1，x2（x1＜x2），∴lnx1﹣=cx1，lnx2﹣=cx2，∴lnx2﹣lnx1+﹣=cx2﹣cx1，∴2c=﹣（x2+x1）．（*）b=1时有g（x1+x2）+m+2c=0，∴+（x2+x1）+m+2c=0，把（*）代入上式可得：++m=0，即﹣m=+，证明m＜0⇔+＞0，∵x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，ln＞ln1=0，∴+＞0，因此m ＜0．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2016年天津市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)
2016年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．173．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．85．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的（）﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m312．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．（1）设c n=b n+12﹣b n2，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：＜．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．2016年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（）A．﹣4 B．6 C．10 D．17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．【解答】解：作出不等式组表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．故选：B．【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域．3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．（5分）如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，第二次判断不满足条件n＞3：第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，第四次判断n＞3不满足条件，第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，第六次判断满足条件n＞3，故输出S=4，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正+a2n＜0”的（）整数n，a2n﹣1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，+a2n＜0”不一定成立，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；+a2n＜0”，前提是“q＜0”，而“对任意的正整数n，a2n﹣1则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n+a2n＜0”的必要而不充分条件，﹣1故选：C．【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，∴2x•bx=2b，∴x=±1将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，∴双曲线的方程为﹣=1，故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a 的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．二、填空题9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为2．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．==x16﹣3r，【解答】解：T r+1令16﹣3r=7，解得r=3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．故答案为：﹣56．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为2m3【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，棱锥的高h=3m，故体积V==2m3，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为．【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，∵BE=2AE=2，BD=ED，∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，∴DH2=AH•BH=2，则DH=，在Rt△DHE中，则，由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，∴．故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（，）．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），即﹣＜2|a﹣1|＜，则|a﹣1|＜，即＜a＜，故答案为：（，）【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．14．（5分）设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为．【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．【解答】解：抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF 与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），△ACE的面积为3，，可得=S．△ACE即：=3，解得p=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、计算题15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），则函数的周期T=；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k=0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k ∈Z，当k=﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；（Ⅱ）根据题意知随机变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．【解答】解：（I）由已知得：，所以，事件A发生的概率为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）计算，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG ∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（13分）已知{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，b n是a n和a n+1的等比中项．（1）设c n=b n+12﹣b n2，n∈N+，求证：数列{c n}是等差数列；（2）设a1=d，T n=（﹣1）k b k2，n∈N*，求证：＜．【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{c n}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．（2）求出T n=（﹣1）k b k2的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．【解答】证明：（1）∵{a n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n ∈N+，b n是a n和a n的等比中项．+1∴c n=b﹣b=a n+1a n+2﹣a n a n+1=2da n+1，∴c n﹣c n=2d（a n+2﹣a n+1）=2d2为定值；+1∴数列{c n}是等差数列；（2）T n=（﹣1）k b k2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d=2d2n（n+1），∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．即不等式成立．【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化为关于k 的不等式求得k的范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x0≥1，再设H（0，y H），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1y H=，整理得：，即8k2≥3．∴或．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分别计算f（x0），f（3﹣2x0），化简整理即可得证；（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，只需证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b=﹣a﹣b，f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b=﹣﹣a﹣b，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，f（2）﹣f（0）=2﹣2a，若0＜a≤时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．。
2017年天津理数高考试题文档版(含答案)(可编辑修改word版)
⎪ 绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式 V =Sh . ·棱锥的体积公式V = 1Sh .3其中 S 表示棱柱的底面面积， 其中 S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 A = {1, 2, 6}, B = {2, 4}, C = {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 5}，则( A B ) C =（A ）{2}（B ）{1, 2, 4} （C ）{1, 2, 4, 6}（D ）{x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 5}⎧2x + y ≥ 0, ⎪x + 2 y - 2 ≥ 0,⎪（2） 设变量 x , y 满足约束条件⎨x ≤ 0,⎪⎩ y ≤ 3,则目标函数 z = x + y 的最大值为2 3 （A ） （B ）1（C ） （D ）3322 - = > > -= - = - = 2⎨ 2（3） 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 24，则输出 N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（4）设∈ R ，则“ |-π |< π ”是“ sin < 1”的 12 12 2（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件x 2 （5） 已知双曲线 a 2 y 2b 21(a 0, b 0) 的左焦点为 F ，学 科&网离心率为 .若经过 F 和 P (0, 4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为x 2（A ） y 2x 21（B ） y 2x 21（C ） y 2x 21（D ） -y 2= 4 4 8 8 4 8 84（6） 已知奇函数 f (x ) 在 R 上是增函数， g (x ) = xf (x ) .若 a = g (-log 5.1) ， b = g (20.8 ) ， c = g (3) ，则 a ，b ，c的大小关系为（A ） a < b < c（B ） c < b < a（C ） b < a < c（D ） b < c < a（7）设函数 f (x ) = 2sin(x +) ， x ∈ R ，其中> 0 ， ||< π .若 f (5π) = 2 ， 8 f (11π) = 0 ，且 f (x ) 的最小 8正周期大于2π ，则（ A ） = 2 ， = π（ B ） = 2 ， = -11π（ C ） = 1 ， = -11π（ D ） = 1，3 = 7π24123 12⎧x 2 - x + 3, x ≤ 1,3 243（8） 已知函数 f (x ) = ⎪x + , x > 1.设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| x + a | 在 R 上恒成立，则 a 的取 2 ⎩⎪ x值范围是1（A）[-47, 2]16（B）[-47,39]16 16（C）[-2 3, 2] （D）[-2 3,39]16> AD AE第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5 分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1 有公共焦点，则C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．9．（5 分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{a n}前6 项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5 分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（）A．B．C．D．11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．112．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ 的最大值为（）A．3 B．2C．D．2二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
(完整版)天津市2016年2017年春季高考数学试卷及答案
2016年天津市高等院校春季招生统一考试 数 学第I 卷(B) {2.3M.6」}(D) {0.1,2.3.4,5.6.81 L (2)己知 log ： a - 3 •則 a・(B) (C) 6A彳6)若/(X)为诲韵蛙・•彳(A) (4) i (C) (2.4.6) 件Q 住■事 》⑴设鼻舍/・{0J ・2.3.4}・ B ・{3・4.S ・6}・ C = {2・4・6・8). M(^U«)HC«(A)关子工沽对称 (C)黄于・&厂，对称(B)关(D)关于蚩标康点对称 败学《H 页(共4页) ⑴ *®/(x).4sin(i 4J)的■大“ 3 6(5) 已fcltt /的>1車为-2.且在•的戟距为】•则的方用量(A) 2x>>-|a0(B) x-2y*l«0 (C) 2x ■ p ♦ I ■ 0 (D) JT ♦ 2, ■ 1 ■ 0 (6) 己知向・—(1.3)・ “(4E )・且•“•(5.-S).(A) 8(B) -« (C) 2 (D) -2(7) ID 图所示.在正方体ABCD-A B.C^中.平行于平ifc ADDA,的梭共有 (A) 8* (C) 4 条(8)薑兴•d'lfl 为為定杲项敷据龙荷了 10次试蛰，试黛结杲依次为 20.22.19.21J 8,20,20J9.19.2!・ ■ wxn 为樺本•均值是 (B) 19.8 (D) 19.6 敢学*2® (共4页)徐▲试卷分为SHQ (AWH)和第II卷(MW)购毎分.共150分.粤试用时\ I 90分仲.M I 9 I £2 9. JBU程3至4员・J 答考生势必将倉己的嶷名、准為号填写在答18*上.并在Ml定位■粘站考试：用羡肆硏・・今生务必将答実虑写在答ISE丄描定位■的边柜区域内.4S出答18 、在试绻上的无效・考试结束后.将本试卷和拄題卡一并交呂.刿；收各位冷纟勺式咸和！I-毎小越乞出答秦怎・用2B»«把答趁卡上时应JB目的答襄标号徐昱・如襦改动. 訥月檢皮療干净后.再选涂淇他答宴标号.gi 2.古卷共8題・策小題6分，共48分.R 一・第項选捋題:在毎水■给出的四个选項中•只有一頊是符令II冃要求的.a 次品的 2x41. (10) 3 2^(9)a®/(x )=2f 的定义城是ftft 9三・大■共4>hS.共66分.养褂应胃出文字吃明・证剧过程或横算步■・ 2016年天津市高等院校春季招生统一考试第II 卷 注L 用8E 色■水的併笔或签字笔终答案马衽祥・卡上•2.本卷共10小共102分. 二、"空■:本大■共6小水・6分•共36分. 九(11)已知△ MC 申.XC-V6. A x>0>""W 〉・ ・ ZC-45S 则4〃・ (12) 切.91心生标为(・2.1)・则园的标浪方ff 是(14)己魁30件产品中育2件是次品.若从中任ft 抽取1件产丛进冇检脸・则恰好抽取到 ft* M3 JI <A4 A) (15X*/b««^15 分) 己知二次祕效/("・x^2x-3・ (|)求acre*与x 输交色的峑标： 01)解不那式/(x)<0i (ill) 当*耿何值时.值.眾出•值.并tt 出暑■大值还長鍛小■・ 己如等比效列⑺」的通项公式为2-'・ (I)求苜氏o,和公比g 的BL (II)判斷64是否为氏效列中的氏.若是.谓捋出是JB 几理： (iii )**N (dL}nms4 和 $・. 1« 分) 己处C8a ・・2. fl * <a< (I) c«(3x-a)： (11) sin 2a R cos 2a ： 分 1■分) e^WiaiM 个頂点的生彷分别为舛(.4・0八4,(4.0)・也(0・_2)、列(0.2)・(I)求样*的标廈方程I (II)设的中点• 为3. 的方用, (川)设«»)«的M 点为业标康点.其宜.点为橢圖的左黒点.的标桂 敗学第4厦<M4«)2016年天津市高等院校春季招生统-・考试数学解答及评分参考::雹牆爲:驚驚E如法知计.叭二对计*«.的给分.当号生的解答在某-涉出“误叭可視"的晰决定后加祁分三. 解答右増所注分敷.豪示考生正肩做列这-涉应耐的M分散.四、只给整敢分敷，选幷®和填空■不倍中何分徽.一・冷样・：＜9水・6分•樹分“分.⑴c ⑴B (3) D⑸A ⑹B (7) C 二・垃空•:每小JB6分，■分36分.(9) (-oo t+oo) (10) 0(12) (x*2)2>Cy-l)J «l <I3) y三、XJi共4小■・!«分“分.(15) *小］■満分15分. •解(I)令H+2T・3・0・•K X| ■ -3. Xj «1 •所以Aftffia与X紬交点的空标为(-3.0)10(1.0).<4) D(S) A(II) 2(14)—（5分）QD /（x）＜0lP 所以不4武的■集是F +2x・3v0.-3<x<l e(一3小・«10分》败学解答及评分•乌Ml K（MJ5I）(Ill) IS 为/U)-x,>2x-3«(x*l),-4.和■…lit Bftffft/MI-4.（15分）（16）分15 分.彳■弘■吕*・2・（»）因为64・2•■丹•所以64 AiSftfl）中的項.是敕列的第7项（III） ttRk）nms9和为s,•嘤空儿⑴分）（17）本小”分18分.« 0）（ID目为所以cos(3x - a) ■ -cosar = _(_*) = £ .cmax-j. |<a<«.•25⑴分）（3分〉"分〉（10分）（14分〉(IH) coM2a- 比T"2a・叫・（・却＞4*&卜•珂泸(11#)A-.25«■*2017年天津市高职院校春季招收中职毕业生统一考试<c a学A 本试■分为禺I «(送择■)和第II卷(非选龔Q两■分.共150分.考试用时內90分MI«1至2页・釦！住3至4员・B ^***考生务必将自己的蛭名、冷考号填写在答島卡上.井在艮定位■粘站考试厦用条形码•答卷时・考生勢必梅答実涼与在答題卡上捋定位■鸽炕箱区城内.趙出答® ;区域或1［接答在试卷上的无效•考试络東后.将本试卷和符■卡一并交回• 祝各位粤生勺试般利！(5)巳知莫H的■心坐标为(1.-3),(A) (_1)“.3)'・2(D)学半径为75, ■厦■的标冷方程是(B) (x*1),*(/-3)>・2注*事马U1・毎杓■邊出答宴后・用2BW«把答■卡上K&U目的符*标号淪如■改动• 用隊皮攥干，厉.再迭涂茗他答宣标号.2.本«A8fl・9^06分.共48分.一.单审逵奔■:在•小■细出的四m中•只*-«*符會■旨■求的.(1)全集〃・{192.3V4.S V6}.集^4 = {3,4,6}. B = {1.4}. MC y(^US)-且•丄•• JMm ■(A) {1.23.5.6}• •Q (C) {1.3.4.6}(B) {*}(7)如3B侨示.在正方体ABCD-^QD.中.与梭BC ■■的■共有Dl_______________________ c TJfcjz c右” a A(B) 7>(D) 9*(8)艮IU00棵茱秤檀務一年的生长高厦•统计®MtoT«：KX(cm)(10.20) [20.30)(30.40)(40,50)(5O.6OJ j10 IS402015 1据化俗计・年M±KM«tt(30.40)(»位I cm)内的..为(A)是奇函敷(C)是(B)是偶曲败(D) 又(C) 0.M敬常第l页(共4页)2017年天津市高职魄校春季招收中职毕业生统一考试数学第II卷注I.用■色■水签字答・*上・2・)0小■・共102分・二填空■:本尢■共6別・・小題6分•共36分.(9) 欣欽/a)■疔云的定义■是 ____________ ・(10) Eto*ft/(x) = 4-・ «/(!)= ______________ •(11) 在AMC中.己知M = AC^4・厶M60*・ W«C =(12) 且与直嫂"2》・i・o平行.mstt/m方程量(13) »»a/=sx的焦点坐标是_______________ .(M)从S名为生和4名女生中址出4名学生竟賽.菱求男生、女生各2名.则不同选法的.第3页《共4頁〉三.■答■：本大■其4小鼠共66分.鮮答戍写出文字说輒证明过程或演算步.(I5X*小■•分15 分)己知二次•敏/(" 的團・@11点(3・0)・(1)求■的值.井写出韵数/(工)的御析式，on 尺出ae/w«*^(s)i(UD求不WX/(x)>x*2的解鼻.(16X本小&・分15分)在«??«列｛叮中.己JDir项餌・・2・公itd・2・(I)求散的的週序公氏及対相％;(U) #««｛«.)Wl» 10项和几I(W)衽衿比敷列｛$｝中・已知耳二叫.b.=%・求数列2」的公比「(厂)(*小・・分1■分)己忙角a的J1点为堂标JR点.站边SxM的非负半辅上•且戾丸I经过点H-S.12).(I) 求sina fDcosa i(II) 求co<a*)8(W)求”n(買-2a)・分IS 分)已刖188少冬“.25 9(D求棉BD的焦点峑标尺葛心事：(IT) 交点为儿与y1*疋半糊的交点为从^WAB的方秋(1ID若取曲&的中心虚坐标臣点.錢点与梶11的河个煤点■合.・« 取曲戎的劇方W・数学弟4真(共4页) fl > $<0X2017年天津市高职院校春季招收中职毕业生统一考试数学解答及评分参考• 毎忌只给出了一种解法供•今・如果右生的解法与本解希不同・但只■ 正^・可比WttW 分标冷相应給分.二.对计«»•当考生的解备在某一步出现.课时.可枝宅■的分 的徐分.但不能超过谀拯分正分败的一4h 分的WWW 牧产■的惰漫•就不衿绪分.三、I*符■:*大■共4小・.・分66分.(IS)本小■■分15分.M (1)因为二・Fw-6的图■僵过点(3.0) ••• 庚以/(3)-0, 99 3、3m-6・0・解得 …|・. 屏以員徽的II 析式为 /(*)・ H-—6・"分〉 (0) Aft/U)-?-x-6的图■为开口闯上nmwtt. XWWWI 为敬事解鲁及评分•才第I 页(M3M)三、解符右増所注分«t ・表示考生正碑fit 河这一步应・到的黑加分《U、只分敬•迭择・和填空■不绪中阿分敬. 奔■:*M 、・o 分.1•分48分.(5) A (6) D 填空JB ：毎的16分•満分36分.(9) (-oo.y] (10> (II) 713(12) "2丿-4・0 (13) (2.0) (M) 60(7) C⑷C■*•»/(<) tWKMA oo).（10^）# s % Ji 12 75■ ■••"I■M ■ ・■ ■ —. B 213 2 2"•学■督A 评分•考«2M （ff ）1）解* x<-2«x>4>因住不第氏的解■为(-8. ・2)U(4. + 8)・<|«> **■ ■分 1$ 分.⑴分）解0) «W (4»J 的通須公Q <1•--.♦“-M ・・2・S ・Dx2・a, = 2fi - 4・0^«2x3—4 »2 •“ ■ 2目 10・4 ■ 16・耳・咛竺亠・（5»）所U«t 列｛■」的IT 10^40为10x9耳■K)I ((-2)・^^・2・7O ・(ID)在需比*M(5J 中.^-<>>-2. S ・.・I6.由于4・直・『・IP 16■才(IO»)(17) ■•分山分. M （D 点P ■堂标原jfi 的晚庚*由任•角的三角flfiflt 的«AH 13（6分）(12»>fl(ni )■inJa ■ 2giuacota ■ 2谓x120心亠)= ・in2a・_面(18)本小■満分18分. «18 分〉解(I)由样J8的标*方At知£ = 2i・序以Bit«4>*(U)点4的堡标为(-$・0)・(-4.0). (4.0).(6分) 点B的坐标A (0.3).的倒車九3x-5y*15« 0・(12 分) (HI)權据己知条件・设取曲践的标穫方用力斗-£■】・叫 A因为实篇长A4.所以4U'・i2.〈】8分) »tM答及评分•考页(共3页)。
天津市五区县2016-2017学年高二上学期期末考试理数试题 Word版含答案
高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m <B ．12m ≤ C ．2m < D ．2m ≤ 2.以()13A ，和()51B -，为端点的线段AB 的中垂线方程是（ ） A ．380x y -+= B ．380x y -+= C ．380x y ++= D ．340x y ++= 3.给出下列四个命题：①已知m ，n 是常数，“0mn <”是“221mx ny +=表示双曲线的充分不必要条件”； ②命题p ：“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是p ⌝：“0x R ∃∈，0sin 1x >”； ③已知命题p 和q ，若p q ∨是假命题，则p 与q 中必一真一假； ④命题“若0a b >>，则22a b >”的逆命题是假命题． 其中真命题的序号是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②④D ．②③4.已知双曲线()2222:100x y C a b a b -=>>，的焦距为10，点()12P ，在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）A ．221205x y -= B ．221520x y -= C.2218020x y -= D ．2212080x y -= 5.已知向量()1210a t t =-- ，，，()2b t t = ，，（t R ∈），则b a -的最小值是（ ）A B 6.若直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A B 7.椭圆2249144x y +=内有一点()32P ，，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A ．23- B ．32- C.49- D ．94-8.与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切的圆的圆心在（ ） A ．一个圆上 B ．一个椭圆上 C.双曲线的一支上 D ．一条抛物线上 9.设m n ，表示两条不同的直线，αβγ，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥； ②若αβ∥，m α⊂，则m β∥； ③若m α⊥，n α∥，则m n ⊥； ④若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②③ C.①②③ D ．②③④10.已知双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，ABO △p 的值为（ ） A ．1 B ．32C.2 D ．3第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.以抛物线216x y =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 ．13.已知直线:30l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A B ，两点，若AB =，则直线l 在x 轴上的截距为 ．14.设12F F ，是双曲线()222102x y a a a-=>的两个焦点，点M 在双曲线上，且满足120MF MF ⋅= ，124MF MF ⋅=，则a 的值等于 ．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与x 轴的正半轴交于点A ，若在第一象限的椭圆上存在一点P ，使得6PAO π∠=（O 为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知圆C 经过点()03A ，和()32B ，且圆心C 在直线y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）求倾斜角为45︒且与圆C 相切的直线l 的方程． 17. （本小题满分12分）如图：在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A 是菱形，四边形11CBB C 是矩形，5AC =，3CB =，4AB =，160A AB ∠=︒．（1）求证：平面1CA B ⊥平面11ABB A ； （2）求直线1A C 与平面ABC 所成角的正切值． 18. （本小题满分12分）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4的点，5AF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）设过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于M N ，两点，O 为坐标原点，求OMN △的面积．19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，AF ⊥平面ABCD ，EF AB ∥，四边形ABCD 为矩形，2AD =，21AB AF EF ===，P 是棱DF 的中点．（1）求证：BF ∥平面ACP ；（2）求异面直线CE 与AP 所成角的余弦值； （3）求二面角D AP C --的余弦值． 20. （本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F ，，且与直线10x y +-=相交于A B ，两点．（1）若椭圆1C 的两焦点分别为双曲线222:12y C x -=的顶点，且以椭圆上任一点P 和左右焦点1F ，2F 为顶点的12PF F △的周长为2，求椭圆1C 的标准方程； （2）在（1）的条件下，求弦AB 的长；（3）当椭圆的离心率e e ≤≤，且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求椭圆长轴长的取值范围．天津市部分区2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试卷参考答案一、选择题1-5:ADCBD 6-10:DABBC二、填空题11.54π 12.()22464x y +-= 13.6- 14.115．1⎫⎪⎪⎭， 三、解答题16.解：（1）解法一：所以圆C 的方程为 22(1)(1)5x y -+-=． …………………………………………6分 解法二：依题意易得线段AB 的中垂线方程为 32y x =-．…………………………………3分联立方程组 32y xy x =⎧⎨=-⎩解得 11x y =⎧⎨=⎩所以圆心 (1,1)C ，所以圆 的方程为 22(1)(1)5x y -+-=．………………………………………6分（2） 直线l 的倾斜角为45∴tan 451k == ………………………………………8分 ∴可设直线l 的方程为y x b =+ 由（Ⅰ）可知圆心C 到直线l 的距离d ………………………………………11分解得b =∴直线l 的方程为y x =± ………………………………………12分 17.解：（1） 5,3,4AC CB AB === ∴222AC BC AB =+ ∴AB BC ⊥………………2分 又 四边形11CBB C 是矩形∴1CB BB ⊥………………3分 又 1AB BB B = ∴BC ⊥平面11ABB A 又 BC ⊂平面1CA B∴平面1CA B ⊥平面11ABB A ………………………………………6分（2）取AB 的中点D ，连结1,A D CD160A AB ∠= ，1AA AB =∴1AA B ∆为正三角形∴1A B D A ⊥ …………………………8分 由（Ⅰ）可知BC ⊥平面11ABB ABC ⊂平面ABC∴平面ABC ⊥平面11ABB A 又 平面ABC 平面11=ABB A AB ∴1A D ⊥平面ABC∴CD 是1AC 在平面ABC 上的投影∴1ACD ∠是直线1AC 与平面ABC 所成的角 …………………………10分在Rt ∆1A CD 中，1A D CD ==∴11tan A D ACD CD ∠==∴直线1AC 与平面ABC …………………………12分 18. 解：（1）抛物线C 的准线方程为：2p x =- 由抛物线的定义可知：542p=- ∴2p =∴抛物线C 的标准方程为24y x =． …………………………………………4分 （2）由已知，(1,0)F ，直线AB 的方程为1y x =-，……………………6分联立214y x y x=-⎧⎨=⎩ 消y 得：2610x x -+=， 所以 126x x += ……………………………8分 所以128AB x x p =++= ， …………………10分又因为O 到直线AB 的距离d ==，所以182OMN S ∆== ． ……………………………………12分 19.解：（1）连接BD 交AC 于O ，连接OP四边形ABCD 为矩形∴O 为BD 的中点，又 P 是DF 中点∴//OP BF ………………………………2分ACP OP ⊂平面，ACP BF ⊄平面∴//BF ACP 平面 ………………………………3分 （2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -,依题意得(000)A ，，，1,0,0B （），(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(,0,1)2E ，(0,0,1)F ，1(0,1,)2P ，………………………………………………4分易得1(0,1,)2AP = ，1(,2,1)2CE =-- …………………5分cos ,||||CE AP CE AP CE AP ⋅<>==⋅………………………6分∴所求异面直线CE 与AP7分 （3）由题意可知：AB PAD ⊥面平面DAP 的一个法向量为(1,0,0)AB =…………………………8分又可解得1(1,2,0),(0,1,)2AC AP ==故设平面APC 的一个法向量为(,,)n x y z =则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令2x =，可得(2,1,2)n =- ……10分 于是2cos ,3||||AB n AB n AB n ⋅<>==⋅所以二面角D AP C --的余弦值为23…………………………12分 20. 解： (1)由题意可知：1c = …………………………1分222a c +=+ …………………………2分∴a∴b ==∴椭圆1C 的方程为：22132x y += ……………………………3分(2) 设点1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组2210132x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得25630x x --= ………………4分求解可得1265x x +=，123-5x x ⋅= ………………………………5分= ………………………………6分（3）由方程组2222101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得222222()2(1)0a b x a x a b +-+-= 设点1122(,),(,)A x y B x y ，222222(2)4()(1)0a a b a b =--+⋅->212222a x x a b +=+，221222(1)a b x x a b-⋅=+ ……………………………7分 以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，∴OA OB ⊥∴121212122()10x x y y x x x x +=-++= ∴22112a b +=① ……………………………8分 又e =∴221223b a ≤≤由①可知22221a b a =- ………………………………10分 ∴21122213a ≤≤-≤≤……………………………12分a≤≤2a。
天津市开发区2016-2017学年高考数学模拟试卷(文科)Word版含解析
天津市开发区2016-2017学年高考模拟试卷（文科数学）一.选择题：（每小题5分，）x＜3}，N={x|x=2n+1，n∈N}，则M∩N=（）1．已知集合M={x|log2A．（0，8）B．{3，5，7} C．{0，1，3，5，7} D．{1，3，5，7}2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5πB．C．D．3．下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4 B．8 C．10 D．125．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5b＞0的概率为（）6．从集合{2，3，4，， }中取两个不同的数a，b，则logaA．B．C．D．7．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m+n=（）A ．B ．C ．D ．18．已知函数f （x ）=，若关于x 的方程f 2（x ）+f （x ）+t=0有三个不同的实根，则t 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．[1，+∞）C ．[﹣2，1]D ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二.填空题：（每题5分，共30分.）9．已知复数z 1=1+i ，z 2=2﹣i ，则= ．10．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0，5.4]内的学生人数是4，则根据图中数据可得样本数据在[3.8，4.2）内的人数是 ．11．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1=1，a k +a 4=0，则k= ．12．如图，AB 切圆O 于点A ，AC 为圆O 的直径，BC 交圆O 于点D ，E 为CD 的中点，若BD=5，AC=6，则AE= ．13．已知点A 是抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线的离心率等于 ．14．函数在区间[0，n]上至少取得2个最大值，则正整数n 的最小值是 ．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h ，若生产一个卫兵可利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元，怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足asinC=ccosA ．（1）求角A 的大小；（2）若c=4，a=5，求cos （2C ﹣A ）的值．17．已知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，AB ∥DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O 为CD 的中点．（1）求证：AO ∥平面BCE ；（2）求证：AO ⊥平面CDE ；（3）求直线BD 与平面BEC 所成角的正弦值．18．设数列数列{b n }满足b n+1=b n +，且b 1=，T n 为{b n }的前n 项和．（1）求证：数列{b n ﹣}是等比数列并求数列{b n }的通项公式；（2）如果对任意n ∈N *，不等式≤n 2+4n+5若恒成立，求实数k 的取值范围．19．如图，已知F（c，0）是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点；圆F：（x﹣c）2+y2=a2与x轴交于D，E两点，其中E是椭圆C的左焦点．（1）求椭圆C的离心率；（2）设圆F与y轴的正半轴的交点为B，点A是点D关于y轴的对称点，试判断直线AB与圆F的位置关系；（3）设直线BF与椭圆C交于另一点G，直线BD与椭圆C交于另一点M，若△BMG的面积为，求椭圆C的标准方程．20．已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）﹣2．天津市开发区2016-2017学年高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，）1．已知集合M={x|log2x＜3}，N={x|x=2n+1，n∈N}，则M∩N=（）A．（0，8）B．{3，5，7} C．{0，1，3，5，7} D．{1，3，5，7}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：log2x＜3=log28，即0＜x＜8，∴M={x|0＜x＜8}，∵N={x|x=2n+1，n∈N}，∴M∩N={1，3，5，7}，故选：D．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5πB．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由两部分组成，上面是一个直径为2的球，下面是底面直径为4，高为3的倒立圆锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由两部分组成，上面是一个直径为2的球，下面是底面直径为4，高为3的倒立圆锥．∴该几何体的体积V=+=，故选：D．3．下列结论错误的是（）A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题B．命题p：∀x∈[0，1]，e x≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则p∨q为真C．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题D．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题【考点】命题的否定；复合命题的真假．【分析】根据命题的知识逐个进行判断，根据逆否命题的特点，知道A正确；根据判断出两个命题的真假，得到B正确；根据不等式的性质得到C不正确，根据复合命题的真假，得到D正确．【解答】解：根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题p是真命题，命题q是假命题，故p∨q为真命题，选项B中的结论正确；当m=0时，a＜b⇒am2=bm2，故选项C中的结论不正确；当p，q有一个真命题时，p或q是真命题，选项D中的结论正确．故选C．4．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4 B．8 C．10 D．12【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6，8．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=2时，S=（1×2）=2，i=2+2=4，k=2；当i=4时，S=（2×4）=4，i=4+2=6，k=3；当i=6时，S=（4×6）=8，i=6+2=8，k=4；当i=8时，不满足i＜8，退出循环，输出S=8．故选B．5．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f （﹣2）的值．【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．b＞0的概率为（）6．从集合{2，3，4，， }中取两个不同的数a，b，则logaA．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．b＞0的事【分析】列举出从集合{2，3，4，， }中取两个不同的数a，b的所有基本事件总数，及loga件个数，代入古典概型概率计算公式可得答案．【解答】解：从集合{2，3，4，， }中取两个不同的数a，b，共有=10种不同情况，b＞0有+=1+3=4种情况，其中满足logab＞0的概率P==，故loga故选：C7．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m+n=（）A．B．C．D．1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据平面向量基本定理及其几何意义，结合条件可得=+2及=，解解方程求得=，由此求得m、n的值，即可求得m+n 的值．【解答】解：由题意可得=2， =2，∵==+=+2，①======，②由①②解方程求得=．再由可得 m=，n=，m+n=．故选C．8．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[1，+∞）C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m＜1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m=1时，t=﹣2，此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，故选：A．二.填空题：（每题5分，共30分.）9．已知复数z 1=1+i ，z 2=2﹣i ，则= 1﹣3i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： ====1﹣3i ，故答案为：1﹣3i ．10．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若在[5.0，5.4]内的学生人数是4，则根据图中数据可得样本数据在[3.8，4.2）内的人数是 12 ．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率直方图中的小长方形的面积即为该范围内的频率，求出视力在[5.0，5.4]内的频率，根据频数=频率×样本容量求出被抽查的学生总数；再由频率和为1求出样本数据在[3.8，4.2）内的频率与频数．【解答】解：由频率直方图得，在[5.0，5.4]内的频率为0.10×0.4=0.04，∴被抽查的学生总数是=100；由频率和为1，得：样本数据在[3.8，4.2）内的频率是：1﹣（0.15×0.4+1.25×0.4+0.7×0.4+0.10×0.4）=0.12；样本数据在[3.8，4.2）内的人数是100×0.12=12．故答案为：1211．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1=1，a k +a 4=0，则k= 10 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】先根据“等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和”求得公差，再由a k +a 4=0求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和∴9+36d=4+6d∴d=又∵a k +a 4=0∴1+（k ﹣1）d+1+3d=0∴k=10故答案为：1012．如图，AB 切圆O 于点A ，AC 为圆O 的直径，BC 交圆O 于点D ，E 为CD 的中点，若BD=5，AC=6，则AE=2 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OE ，可得OE ⊥CE ，AB 切圆O 于点A ，可得AB ⊥AC ，设CE=DE=a ，运用锐角三角函数的定义，解方程可得a=2，再在△ACE 中，运用余弦定理，计算即可得到所求值．【解答】解：连接OE ，可得OE ⊥CE ，AB 切圆O 于点A ，可得AB ⊥AC ，设CE=DE=a ，在直角三角形ABC 中，cosC==，在直角三角形COE 中，cosC==，由=，即为2a 2+5a ﹣18=0，解得a=2（负的舍去），在△ACE 中，AE 2=CE 2+CA 2﹣2CE•CA•cosC=4+36﹣2×2×6×=24，可得AE=2．故答案为：2．13．已知点A 是抛物线C 1：y 2=2px （p ＞0）与双曲线C 2：的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线的离心率等于 ．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系． 【分析】取双曲线的一条渐近线：，与抛物线方程联立即可得到交点A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为p ，即可得到a ，b 满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线的一条渐近线：，联立解得，故A ．∵点A 到抛物线的准线的距离为p ，∴，化为．∴双曲线C 2的离心率．故答案为．14．函数在区间[0，n]上至少取得2个最大值，则正整数n 的最小值是8 ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】先根据函数的解析式求得函数的最小正周期，进而依据题意可推断出在区间上至少有个周期．进而求得n≥6×，求得n 的最小值．【解答】解：周期T==6在区间[0，n]上至少取得2个最大值，说明在区间上至少有个周期．6×=所以，n≥∴正整数n的最小值是8故答案为8三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h，若生产一个卫兵可利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元，怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用；函数模型的选择与应用．【分析】假设生产卫兵x个，生产骑兵y个，则生产伞兵个，于是利润为z=5x+6y+3=2x+3y+300．利用生产时间和生产个数限制列出约束条件，作出平面区域，根据线性规划知识求出最优解．【解答】解：假设生产卫兵x个，生产骑兵y个，则生产伞兵个．则，即．作出平面区域如图所示：设每天的利润为z，则z=5x+6y+3=2x+3y+300．∴y=﹣﹣100+．由平面区域可知当直线y=﹣﹣100+经过点B时，截距最大，即z最大．联立方程组，解得x=y=50．∴当x=y=50时，z取得最大值2×50+3×50+300=550．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时，利润最大，最大利润为550元．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinC=ccosA．（1）求角A的大小；（2）若c=4，a=5，求cos（2C﹣A）的值．【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由正弦定理及asinC=ccosA，化简求得tanA的值，可求A；（2）先求出cos2C，sin2C，再利用差角的余弦函数公式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵asinC=ccosA，由正弦定理得sinAsinC=sinCcosA，∵sinC≠0∴sinA=cosA，即tanA=，∵0°＜A＜180°，∴A=60°，（2）∵c=4，a=5，∴由正弦定理得，∴sinC=，∵c＜a，∴cosC=，∴sin2C=，cos2C=2cos2C﹣1=，∴cos（2C﹣A）=cos2CcosA+sin2CsinA==．17．已知多面体ABCDE中，DE⊥平面ACD，AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O为CD的中点．（1）求证：AO∥平面BCE；（2）求证：AO⊥平面CDE；（3）求直线BD与平面BEC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用线面平行的判定，先证明AO∥BF，∴AO∥平面BCE；（2）先证明AO⊥CD，AO⊥DE，利用线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面CDE；（3）取CE中点F，连接BF，DF，证明DF⊥平面CBE，可得∠DBF就是求直线BD与平面BEC所成角，从而可得其正弦值．【解答】（1）证明：取CE中点F，连接BF，OF，∵O为CD的中点，∴OF DE，∵AB∥DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，∴OF AB，∴四边形ABFO为平行四边形，∴AO∥BF，BF⊂面BCE，AO⊄面BCE，∴AO ∥平面BCE ；（2）证明：∵AC=AD ，O 为CD 的中点， ∴AO ⊥CD ，∵DE ⊥平面ACD ，AO ⊂平面ACD ， ∴AO ⊥DE ， ∵CD∩DE=D， ∴AO ⊥平面CDE ；（3）解：取CE 中点F ，连接BF ，DF ，则AB ∥DE 且AB=DE ，在△CDE 中，OF ∥DE 且OF=DE ，∴AB ∥OF 且AB=OF ，∴四边形ABFO 是平行四边形， ∴BF ∥AO ，∵AO ⊥平面CDE ， ∴BF ⊥平面CDE ， ∴BF ⊥DF ． ∵CD=DE ， ∴DF ⊥CE ， ∵BF∩CE=F， ∴DF ⊥平面CBE ，∴∠DBF 就是求直线BD 与平面BEC 所成角．在△BDF 中，DF=，BD=， ∴sin ∠DBF=，∴直线BD 与平面BEC 所成角的正弦值．18．设数列数列{b n }满足b n+1=b n +，且b 1=，T n 为{b n }的前n 项和．（1）求证：数列{b n ﹣}是等比数列并求数列{b n }的通项公式；（2）如果对任意n ∈N *，不等式≤n 2+4n+5若恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由b n+1=b n +，两边同时减，运用等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；（2）运用等比数列的求和公式，可得T n ，原不等式即为≤=（n+2）+，运用对勾函数的单调性可得最小值，进而得到k 的范围．【解答】解：（1）证明：由b n+1=b n +，可得b n+1﹣=b n +﹣，即为b n+1﹣=（b n ﹣），由等比数列的定义可得数列{b n ﹣}是首项为﹣=3，公比为的等比数列，可得b n ﹣=3•，即为b n =+3•；（2）T n =+3•=+6（1﹣），不等式≤n 2+4n+5，即为≤n 2+4n+5，即有≤=（n+2）+，由（n+2）+在n ∈N *递增，可得n=1时，取得最小值．即有≤，解得k ＜0或k≥．则实数k 的取值范围是（﹣∞，0）∪[，+∞）．19．如图，已知F （c ，0）是椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点；圆F ：（x ﹣c ）2+y 2=a 2与x 轴交于D ，E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点． （1）求椭圆C 的离心率； （2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与椭圆C 交于另一点G ，直线BD 与椭圆C 交于另一点M ，若△BMG 的面积为，求椭圆C 的标准方程．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】（1）由于圆F过椭圆C的左焦点，把（﹣c，0）代入圆F的方程，得4c2=a2，即可得到椭圆的离心率；（2）在方程（x﹣c）2+y2=a2中，令x=0得y2=a2﹣c2=b2，可知点B为椭圆的上顶点，进而得到B（0， c），在圆F的方程中令y=0可得点D坐标为（3c，0），则点A为（﹣3c，0），利用斜率计算公式可得kAB ，kFD．只要判定kAB •kFD=﹣1，即可得到直线AB与⊙F相切；（3）椭圆的方程可化为3x2+4y2=12c2．由（2）求得BD、BF所在直线方程，联立BD方程与椭圆方程求出M 的坐标，再由点到直线的距离公式求出M到BF的距离，代入三角形面积公式求得c，则椭圆方程可求．【解答】解：（1）∵圆F过椭圆C的左焦点，把（﹣c，0）代入圆F的方程，得4c2=a2，∴2c=a．故椭圆C的离心率e=；（2）在方程（x﹣c）2+y2=a2中，令x=0得y2=a2﹣c2=b2，可知点B为椭圆的上顶点，由（1）知，，∴a=2c，b=，∴B（0， c），在圆F的方程中，令y=0可得点D坐标为（3c，0），则点A为（﹣3c，0），于是可得直线AB的斜率，而直线FB的斜率，∵kAB •kFB=﹣1，∴直线AB与⊙F相切；（3）椭圆的方程可化为3x2+4y2=12c2．由（2）知直线BD的方程为，联立，解得点M的坐标为（﹣，）．而FB所在直线方程为y=，M到直线FB的距离为d==，∴，解得．∴椭圆的标准方程为．20．已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，函数的导数，分别讨论①当a≥0时②当a＜0的情况，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）不等式转化为成立，令，求出h（x）的导数，从而得到h（x）的单调性，进而h（x）＜h（0），从而求出m的范围；（Ⅲ）令φ（x）=g（x）﹣f（x）﹣2，求出φ（x）的导数，得到函数的单调性，从而求出φ（x）的最小值，进而f（x）＜g（x）﹣2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），（x＞0）．①当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．②当a＜0时，若，f′（x）＞0，∴f（x）在上为增函数；若，f′（x）＜0，∴f（x）在上为减函数．综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．当a＜0时，f（x）在上为增函数，在上为减函数．（Ⅱ）∵∃x∈（0，+∞），使得不等式成立，∴∃x∈（0，+∞），使得成立，令，则，当x∈（0，+∞）时，∵e x＞1，，∴，∴h′（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3．（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x）﹣2，则φ（x）=e x﹣lnx﹣2，∴，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数．设φ′（x）=0的根为x=t，则，即t=e﹣t．∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，∴∵φ′（1）=e﹣1＞0，，∴，由于φ（t）=e t+t﹣2在上为增函数，∴，∴f（x）＜g（x）﹣2．。
天津市开发区2017届高考数学模拟试卷(文科)Word版含解析
天津市开发区2017届高考模拟试卷（文科数学）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!）1．复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．02．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．44．在等差数列{an }中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9 B．10 C．11 D．125．“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知向量=（3，﹣2），=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．247．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②8．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．e＞B．1＜e＜C．e＞D．1＜e＜二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）9．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．10．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为．11．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于m．12．如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为．13．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则= ．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．16．已知函数（其中ω＞0）的周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g （x ）的图象．求函数g （x ）在上的单调区间．17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明EF ∥平面PAB ；（Ⅱ）若二面角P ﹣AD ﹣B 为60°，（i ）证明平面PBC ⊥平面ABCD ；（ii ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．18．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n+2+2=4a n+1﹣a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=4．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n =的前项n 和为S n ，求证：S n ＜1．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx+，g（x）=x﹣2m，其中m∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）对∀x∈[，1]，是否存在m∈（，1），使得f（x）＞g（x）+1成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设F（x）=f（x）g（x），当m∈（，1）时，若函数F（x）存在a，b，c三个零点，且a＜b＜c，求证：0＜a＜＜b＜1＜c．天津市开发区2017届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!）1．复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．0【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】两个复数的商的乘方，等于被除数的乘方，除以除数的乘方．【解答】解：由于，所以虚部为﹣1，故选 B．【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．2．设集合A={x|x＞2}，若m=lne e（e为自然对数底），则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m}【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】先求出m的值，从而判断出m属于结合A．【解答】解：∵m=elne=e，∴m∈A，故选：C．【点评】本题考查了集合和运算的关系的判断，是一道基础题．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+2048=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．4．在等差数列{an }中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】设出此等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式化简已知的两等式，得到关于a1与d的方程组，求出方程组的解得到a1与d的值，然后再利用等差数列的通项公式化简所求的式子，将a1与d的值代入即可求出值．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2+a 3=（a 1+d ）+（a 1+2d ）=2a 1+3d=4①，a 4+a 5=（a 1+3d ）+（a 1+4d ）=2a 1+7d=6②，∴②﹣①得：4d=2，解得：d=，把d=代入①，解得：a 1=，则a 9+a 10=（a 1+8d ）+（a 1+9d ）=2a 1+17d=2×+17×=11．故选C【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．5．“a＞3”是“函数f （x ）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据a ＞3判断出：f （﹣1）=﹣a+3＜0、f （2）=2a+3＞0，得到充分性成立；再由函数的零点存在性定理列出不等式求出a 的范围，可得到必要性不成立．【解答】解：①充分性：当a ＞3时，f （﹣1）=﹣a+3＜0、f （2）=2a+3＞0，所以函数f （x ）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”，成立；②因为函数f （x ）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点，所以f （﹣1）f （2）＜0，则（﹣a+3）（2a+3）＜0，即（a ﹣3）（2a+3）＞0，解得a ＞3或a ＜，不成立，综上可得，“a＞3”是“函数f （x ）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”是充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题考查了充要条件的判断，以及函数的零点存在性定理的应用，属于中档题．6．已知向量=（3，﹣2），=（x ，y ﹣1）且∥，若x ，y 均为正数，则+的最小值是（ ）A ．B ．C ．8D ．24【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）=0，化为2x+3y=3，∴+===8，当且仅当2x=3y=时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式，属于中档题．7．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．已知F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P ，使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．e ＞B ．1＜e ＜C ．e ＞D ．1＜e ＜【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用对称性，可得MF 1=F 1F 2=2c ，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，得到x 的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，再由a ，b ，c 的关系，及离心率公式，即可得到范围．【解答】解：设点F 2（c ，0），由于F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上，不妨设M 在正半轴上，由对称性可得，MF 1=F 1F 2=2c ，则MO==c ，∠MF 1F 2=60°，∠PF 1F 2=30°，设直线PF 1：y=（x+c ），代入双曲线方程，可得，（3b 2﹣a 2）x 2﹣2ca 2x ﹣a 2c 2﹣3a 2b 2=0，则方程有两个异号实数根，则有3b 2﹣a 2＞0，即有3b 2=3c 2﹣3a 2＞a 2，即c ＞a ，则有e=＞． 故选A ．【点评】本题考查双曲线的性质和方程，考查对称性的运用，考查直线方程和双曲线方程，联立消去y，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题和易错题．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!）9．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由已知中公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，我们可以分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长度，代入几何概型公式可得答案．【解答】解：∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度L=20Ω某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A则L=5A故P（A）=；故答案为．【点评】本题考查的知识点是几何概型，几何概型分长度类，面积类，角度类，体积类，解答的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量10．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为32 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由z=2x•4y得z=2x+2y，设m=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用m的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z=2x•4y得z=2x+2y，设m=x+2y，得y=﹣x+m，平移直线y=﹣x+m由图象可知当直线y=﹣x+m经过点A时，直线y=﹣x+m的截距最大，由，解得，即A（3，1），此时m最大为m=3+2=5，此时z最大为z=2x+2y=25=32，故答案为：32【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行以及指数函数的运算法则，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．11．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于120（﹣1）m．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故答案为：120（﹣1）．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．12．如图，P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2，PC=1，则圆O的面积为．【考点】直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题．【分析】利用切割线定理求出PB，推出BC，求出圆的半径，得到圆的面积．【解答】解：由题意可知PB经过圆的圆心，所以BC 是圆的直径，由切割线定理的可得PC•PB=PA2，所以PB=4，BC=3，所以圆的半径为：，所以圆O的面积为：．故答案为：．【点评】本题考查切割线定理与圆的面积的求法与应用，考查计算能力．13．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设，则= ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题．【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，建立平面直角坐标系，便于计算．【解答】如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m +n=（m， n），∴tan45°==1∴=．故选B【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（0，2）．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，分别作出函数f（x）和y=a|x|的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a=0时，两个函数的交点有3个，不满足条件，当a＜0时，两个函数的交点最多有2个，不满足条件，当a＞时，当x≤0时，两个函数一定有2个交点，要使两个函数有4个交点，则只需要当x＞0时，两个函数有2个交点即可，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，∴要使y=a|x|与f（x）有4个交点，则0＜a＜2，故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）设污损处的数据，∵甲班同学身高平均数为170cm，∴=（158+162+163+168+168+170+171+179+a+182）=170 …解得a=179 所以污损处是9．…（Ⅱ）设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181，173}，{181，176}，{181，178}，{181，179}，{179，173}，{179，176}，{179，178}，{178，173}，{178，176}，{176，173}共10个基本事件，…而事件A含有4个基本事件，…∴P（A）==…【点评】本题考查的知识点是茎叶图，列举出计算基本事件及事件发生的概率，难度不大，属于基础题．16．已知函数（其中ω＞0）的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在上的单调区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为 2sin（2ωx+）+，再根据它的周期为=π，求得ω的值．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（4x﹣）．令2kπ﹣≤4x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，再根据x∈，可得函数的增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数=sin2ωx+2•﹣=2[sin2ωx+cos2ωx]=2sin（2ωx+），（其中ω＞0）的周期为=π，∴ω=1．（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）的图象．再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）=2sin（4x﹣）的图象．令2kπ﹣≤4x﹣≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+．再根据x∈，可得函数的增区间为．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性和周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC 法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点，∴E （，，0），F （，﹣，），∴=（0，，），∴===﹣，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n+2+2=4a n+1﹣a n （n ∈N *），且a 1=1，a 2=4．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n =的前项n 和为S n ，求证：S n ＜1．【考点】数列递推式；等差关系的确定． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过已知条件，利用配方法推出等差数列的等差中项形式，判断数列是等差数列． （Ⅱ）求出数列{a n }的通项公式，然后利用裂项法求解S n ，即可推出所证明的不等式．【解答】解：（Ⅰ）∵且a n ＞0，∴，∴，∴是首项为，公差为的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴…=．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的求和以及数列是等差数列的判定，考查计算能力以及转化思想的应用．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则，∴，所以c=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以．同理，．所以=，∵当且仅当k=±1时取等号∴综合①与②可知，【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．20．已知函数f（x）=lnx+，g（x）=x﹣2m，其中m∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）对∀x∈[，1]，是否存在m∈（，1），使得f（x）＞g（x）+1成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设F（x）=f（x）g（x），当m∈（，1）时，若函数F（x）存在a，b，c三个零点，且a＜b＜c，求证：0＜a＜＜b＜1＜c．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；证明题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）m=1时，f（x）=lnx+，x＞0；从而求导可得f′（x）=﹣=；从而由导数求极小值；（ II）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣1=lnx+﹣x+2m﹣1，x∈[，1]，m∈（，1），则h（x）＞0对x∈[，1]恒成立，求导h′（x）=﹣﹣1=，x∈[，1]，从而可判断h（x）在[，1]上单减．从而化为最值问题．（ III）化简F（x）=f（x）g（x）=（lnx+）（x﹣2m），易知x=2m为函数F（x）的一个零点，从而函数F（x）的最大的零点c＞1，再讨论f（x）lnx+的零点情况即可．【解答】解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=lnx+，x＞0；∴f′（x）=﹣=；由f′（x）＞0，解得x＞；由f′（x）＜0，解得0＜x＜；∴f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增．（x）=f（）=ln+1=1﹣ln2．∴f极小值（ II）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣1=lnx+﹣x+2m﹣1，x∈[，1]，m∈（，1），由题意，h（x）＞0对x∈[，1]恒成立，∵h′（x）=﹣﹣1=，x∈[，1]，∵m∈（，1），∴在二次函数y=﹣2x2+2x﹣m中，△=4﹣8m＜0，∴y=﹣2x2+2x﹣m＜0恒成立；∴h′（x）＜0对x∈[，1]恒成立，∴h（x）在[，1]上单减．∴h（x）=h（1）=m﹣2＞0，min即m＞．故存在m∈（，1），使f（x）＞g（x）+1对∀x∈[，1]恒成立．（ III）证明：F（x）=f（x）g（x）=（lnx+）（x﹣2m），易知x=2m为函数F（x）的一个零点，∵m＞，∴2m＞1，因此据题意知，函数F（x）的最大的零点c＞1，下面讨论f（x）lnx+的零点情况，∵f′（x）=﹣=；易知函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．由题知f（x）必有两个零点，∴f（x）=f（）=ln+1＜0，解得0＜m＜，极小值∴＜m＜，即me∈（，2）．∴f（1）=ln1+=＞0，f（）=﹣1+＜0．又f（e﹣10）=•e10﹣10＞0．∴0＜e﹣10＜a＜＜b＜1＜c．∴0＜a＜＜b＜1＜c．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时利用了构造函数的方法，属于难题．。
天津市武清区2016-2017学年高三一模理数试题Word版含解析
天津市武清区2016-2017学年高三一模理数试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 若i=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．i D ．i - 【答案】D 【解析】i ===-.故选D ．考点：复数的运算．2. 若,x y 满足约束条件03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1B ．43C ．4D ．2 【答案】A3. 已知如图程序框图，则输出的i 是（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15【答案】C【解析】考点：程序框图．4. 设456log 12,log 15,log 18a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >> 【答案】A 【解析】试题分析：由题意4311log 31log 4a =+=+，5311log 31log 5b =+=+，61log 3c =+311log 6=+，显然3330log 4log 5log 6<<<，因此有a b c >>．故选A ． 考点：对数函数的性质，对数的换底公式．5. 已知()()23f x x x R =+∈，若()1f x a -<的必要条件是()1,0x b a b +<>，则,a b 之间的关系是（ ） A ． 2a b <B ．2a b ≥C ．2b a ≤D ．2ba > 【答案】B 【解析】试题分析：()122f x x a -=+<，即12a x +<，按题意112a x x b +<⇒+<，因此2ab ≥．故选B ． 考点：必要条件．6. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F ，若以12,A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为（ ）A．3．D【答案】C 【解析】考点：椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系．7. 已知关于x 的不等式()2101x bx c ab a ++<>的解集为∅，则()()21211a b c T ab ab +=+--的最小值为（ ）A ．． 2 C ．．4 【答案】D 【解析】等号．故选D ．考点：二次函数的性质，基本不等式．【名师点睛】二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系. (1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解. (2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系. (3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.记住三个“二次”之间的关系，在解题时可以做事半功倍，如本题不等式()2101x bx c ab a++<>的解集为∅，说明二次函数21()f x x bx c a=++图象是开口向上的抛物线，在与x 最多相切，也就是二次方程210x bx c a++=无解或有两个相等实根． 8. 如图，4,90,AC BC ACB M ==∠=︒为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM DC⋅的最大值为（ ）A ．8+．8-．4 D ．4【答案】A【解析】试题分析：以CB 为x 轴，CA 为y 轴，建立如图的直角坐标系，则(2,0)M ，(0,4)A ，设(2cos ,22sin )D αα+，因此(2,4)AM =- ，(2cos ,2sin 2)DC αα=---，所以AM DC ⋅ 4cos 8sin 8αα=-++)8αθ=-+，所以AM DC ⋅的最大值为8．故选A ．考点：平面向量的数量积．【名师点睛】求平面向量的数量积，可以选取基底，把平面向量用基底表示后运算，这要求所求向量与基底之间的关系明确，或容易用参数表示．象本题有垂直的直线，可以建立直角坐标系，把向量的数量积用坐标运算表示，化“形”为“数”，这样关系明确，数据清晰，易于求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 若函数()()10cos 02x x f x x x π+<⎧⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则()f x 与x 轴围成封闭图形的面积为 . 【答案】32【解析】试题分析：021(1)cos πS x dx xdx -=++⎰⎰201()sin 212πx x x =++-32=．考点：定积分的几何意义．10. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】2 【解析】试题分析：由三视图知该几何体是四棱锥E ABCD -，11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=．A考点：三视图，体积．【名师点睛】三视图问题，关键是由三视图画出几何体的直观图而且也是难点，有许多几何体可以看作是由正方体（或长方体）切割形成的，因此在画直观图时，我们可以先画出正方体（或长方体），然后在正方体（或长方体）上取点，想投影，连线，得结论（几何体直观图），这样做几何体中线面位置关系与线段长度都能明确显示，易于求解．11. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.求直线l 与圆C 相交所得弦长为 . 【解析】考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与圆相交弦长问题．12. ()()6611x x +-展开式中，6x 的系数为 .【答案】-20 【解析】试题分析：6626(1)(1)(1)x x x +-=-，展开式通项为22166()(1)r r r r rr T C x C x +=-=-，令26r =，3r =，故系数为336(1)20C -=-．考点：二项式定理的应用．13. 如图：PA 为O 的切线，A 为切点，割线PBC 过圆心O ，10,5PA PB ==，则AC 长为.【答案】【解析】试题分析：由切割线定理得2PA PB PC =⋅，即2105(5)BC =+，15BC =，易得ΔΔPAB PCA ，则PA PB AB PC PA CA ==，所以51102AB CA ==，又222215AB AC BC +==，所以AC = 考点：切割线定理，相似三角形的判断与性质．14. 已知函数()()20,01ln ,42,1x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=的实根个数为 . 【答案】4 【解析】4．考点：函数与方程，函数的零点．【名师点睛】本题考查方程根的个数问题，方程根的个数与函数的零点常常相互转化，也常与函数的图象联系在一起，这样通过数形结合思想得出结论．在函数的图象不能简单表示出时，我们可能研究函数的性质，研究函数的单调性，极值等，以确定函数图象的变化趋势，然后由数形结合思想得出结论．本题方程()()1f x g x +=的实根个数可以转化为函数()()y f x g x =+与两条直线1y =±的交点个数，因此要研究函数()()y f x g x =+的性质，根据其解析式，分类讨论，在01x <≤，12x <≤，2x ≥三个范围讨论()()()h x f x g x =+的性质（这三个范围内都可以化云(),()f x g x 中的绝对值符号，从而可用易得出结论．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知向量)()22,cos ,1,2cos m x x n x =+= ，设函数()f x m n =⋅.（1）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若()4,1f A b ==，ABC ∆a 的值.【答案】（1）()()min max 4,5f x f x ==；（2）a = 【解析】试题分析：（1）要求()f x 的最值，首先要求出其解析式，这可由平面向量的数量积的坐标运算可得，然后利用两角和的正弦公式把函数化为一个三角函数形式：()sin()f x A x k ωϕ=++，最后结合正弦函数的性质可得最值；（2）本小题实质上解三角形问题，分析三角形中的六个元素，由()4f A =结合（1）可求得()()min max 4,5f x f x ∴==；（2）()12sin 234,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1352,2666663A A A ππππππ⎛⎫+∈∴+=∴= ⎪⎝⎭1sin 2ABC S bc A ∆==2c ∴=2222cos 3a b c bc A a ∴=+-=∴=.考点：平面向量的数量积，两角和的正弦公式，正弦函数的性质，三角形面积，余弦定理． 16. （本小题满分13分）一汽车4S 店新进,,A B C 三类轿车，每类轿车的数量如下表：同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（1）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（2）若一次性提取4辆车，其中,,A B C 三种型号的车辆数分别记为,,a b c ，记ξ为,,a b c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）518；（2）分布列见解析，期望为209． 【解析】试题分析：（1）本小题是古典概型问题，总共9国辆车，任取2辆的取法为29C ，而2辆车同型号有选法为222422C C C ++，由古典概型概率公式可得概率；（2）由于只有三种型号,,A B C ，各种型号数量分别为4,2，∴其分布列为数学期望为20 23414631269 Eξ=⨯+⨯+⨯=考点：古典概型，随机变量的概率分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，,22,,,EA PD AD PD EA F G H===分别为,,PB EB PC的中点.（1）求证：FG 平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（3）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60︒？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）4π；（3）存在，且4PM =. 【解析】试题分析：（1）要证明线面平行，只要证线线平行，由中位线定理易得，注意写出线面平行判定定理的所有条件，都能得出结论；（2）求二面角，图形中有交于同一点的两两相互垂直的三条直线，如,,DA DC DP，又FG ⊄平面,PED PE ⊂平面PED 所以FG 平面PED ；（2）因为EA ⊥平面,ABCD EA PD 所以PD ⊥平面ABCD所以,PD AD PD CD ⊥⊥，又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥ 如图，建立空间直角坐标系，因为22AD PD EA ===，所以()()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,2,0,2,0,1D P A C B E 因为,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点，所以()()11,1,1,2,1,0,1,12F G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以111,0,,2,0,22GF GH ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()1111,,n x y z = 为平面FCH 的一个法向量，则1100n GF n GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩依题意可设PM PC λ= ，其中01λ≤≤，由()0,2,2PC =- ，则()0,2,2PM λλ=-又因为(),1,1,1FM FP PM FP =+=-- ，所以()1,21,12FM λλ=---因为直线FM 与直线PA 所成角为60︒，()2,0,2PA =-所以1cos ,2FM PA 〈〉= ，即1528λ==所以550,,,444PM PM ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以在线段PC 上存在一点M ，使直线FM 与直线PA所成角为60︒，此时4PM =. 考点：线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．【名师点睛】求二面角，一种方法是根据定义作出二面角的平面角（必须证明），然后解三角形而得，这对与二面角的棱垂直的直线易知的情况较适用，另一种也是常用的方法是找出图形中两两垂直的交于同一点的三条直线，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角，可先求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角和二面角的关系得解，这是立体几何中求空间角常用方法，主要是计算，减少了推理过程．18. （本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()21,0F ，点H ⎛ ⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作222x y b +=的切线交椭圆于,P Q 两点，问：2PF Q ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是。
2016年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+；• 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年天津，理1，5分】已知集合}{1,2,3,4A =，}{32,B y y x x A ==-∈，则AB =（ ）（A ）}{1 （B ）}{4 （C ）{}1,3 （D ）{}1,4 【答案】D 【解析】把1,2,3,4x =分别代入32y x =-得：1,4,7,10y =，即{}1,4,7,10B =，∵{}1,2,3,4A =，∴{}1,4AB =，故选D ．【点评】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小．一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏．（2）【2016年天津，理2，5分】设变量x ，y 满足约束条件2023603290x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17 【答案】B【解析】作出不等式组2023603290x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线0:250l x y +=，图中的虚线，平移直线0l ，可得经过点()3,0时，25z x y =+取得最小值6，故选B ．【点评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．（3）【2016年天津，理3，5分】在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=，则AC =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】A【解析】在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=，2222cos AB BC AC AC BC C =+-⋅，得：21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去），故选A ．【点评】（1）正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．（2）利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．（4）（4）【2016年天津，理4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】B【解析】第一次判断后：不满足条件，248S =⨯=，2n =，4i >；第二次判断不满足条件3n >；第三次判断满足条件：6S >，此时计算862S =-=，3n =，第四次判断3n >不满足条件， 第五次判断6S >不满足条件，4S =．4n =，第六次判断满足条件3n >，故输出4S =，故选B ．【点评】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．（5）【2016年天津，理5，5分】设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q 则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定 成立，例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，…，此时()2110+-=>，1110244⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<” 的必要而不充分条件，故选C ．【点评】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．（6）【2016年天津，理6，5分】已知双曲线()222104x y b b-=>，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）223144x y -= （B ）224143x y -= （C ）222144x y -= （D ）221412x y -=【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为224x y +=，双曲线两条渐近线方程为2by x =±，设,2b A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则∵四边形ABCD 的面积为2b ，∴22x bx b ⋅=，∴1x =±，将1,2b A ⎛⎫⎪⎝⎭代入224x y +=，可得2144b +=，∴212b =，∴双曲线的方程为221412x y -=，故选D ．【点评】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为()2210Ax By AB =<＋．②若已知渐近线方程为0mx ny +=，则双曲线方程可设为()22220m x n y λλ-=≠．（7）【2016年天津，理7，5分】已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）（A ）58- （B ）18 （C ）14 （D ）118【答案】B【解析】由DD 、E 分别是边AB 、BC 的中点，2DE EF =，()()AF BC AD DF AC AB ⋅=+⋅-()()2213133112224442AB DE AC AB AB AC AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311111144228=-⋅⋅⋅-=，故选B ．【点评】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简． 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．（8）【2016年天津，理8，5分】已知函数2(43)3,0()log (1)1,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩（0a >，且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ （B ）23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ （D ）123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【答案】C【解析】()log 11a y x =++在[)0,+∞递减，则01a <<，函数()f x 在R 上单调递减，则()()234020104303log 011a a a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪+-⋅+≥++⎪⎩；解得，1334a ≤≤；由图象可知，在[)0,+∞上，()2f x x =-有且仅有一个解，故在(),0-∞上，()2f x x =-同样有且仅有一个解，当32a >即23a >时，联立()24332x a a x +-+=-，则()()2424320a a ∆=---=，解得34a =或1（舍去），当132a ≤≤时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，故选C ．【点评】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2016年天津，理9，5分】已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，若()()1i 1i b a +-=，则ab的值为 ． 【答案】2【解析】∵()()()1i 1i 11i b b b a +-=++-=，,R a b ∈，∴110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩，∴2ab =．【点评】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,.)++=-++∈a b c d ac bd ad bc a b c d R ，22i ()()ii +++-=++a b ac bd bc ad c d c d (,,.)∈a b c d R ，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数i(,)+∈a b a b R 的实部为a 、虚部为b 、模为22+a b 、共轭为i -a b ．（10）【2016年天津，理10，5分】821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】56-【解析】()()8216318811r rr r r r r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1637r -=，解得3r =．∴821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为()338156C -=-．【点评】（1）求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n r ≥）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．（11）【2016年天津，理11，5分】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为 3m ． 【答案】2【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积2212m S =⨯=，棱锥的高3m h =，312m 3V Sh ==．【点评】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图 的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．（12）【2016年天津，理12，5分】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22BE AE ==，，则线段CE 的长为 ．【答案】23【解析】过D 作DH AB ⊥于H ，∵22BE AE ==，BD ED =，∴1BH HE ==，2AH =，1BH =， ∴2•2DH AH BH ==，则2DH =，在Rt DHE ∆中，则 22213DE DH HE =+=+=，由相交弦定理得：CE DE AE EB ⋅=⋅，∴233AE EB CE DE ⋅===． 【点评】1、解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相 似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2、应用相交 弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关 的相似三角形等．（13）【2016年天津，理13，5分】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增．若实数a 满足()()122a f f ->-，则a 的取值范围是 ．【答案】13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，∴()f x 在区间()0,+∞上单调递减，则()()122a f f ->-，等价为()()122a f f->，即1222a --<<，则112a -<，即1322a <<．【点评】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助 函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代 数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．（14）【2016年天津，理14，5分】设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数，0p >）的焦点F ，准线为l ．过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ．设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．若2CF AF =，且ACE ∆的面积为32，则p 的值为 ．【答案】6【解析】抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，0p >）的普通方程为：22y px =焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，如图：过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7,02C p ⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．2CF AF =，3CF p =，32AB AF p ==，(),2A p p ，ACE ∆的面积为32，12AE AB EF CF ==，可得13AFC ACE S S ∆∆=．即：11323232p p ⨯⨯⨯=，解得6p =．【点评】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）若()00,P x y 为抛物线()220y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则弦长为12AB x x p =++，12x x +可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2016年天津，理15，13分】已知函数()4tan sin cos 323f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134sin cos sin 32sin cos 23sin 32x x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()sin 231-cos23sin 23cos2=2sin 23x x x x x π=+-=--．所以， ()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）令23z x π=-，函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦． 所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 【点评】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证． 对于三角函数来说，常常是先化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．（16）【2016年天津，理16，13分】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）由已知，有()1123442101,3C C C P A C +==所以，事件A 发生的概率为13． （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342104015C C C P X C ++===，()111133342107115C C C C P X C +===， ()113424215C C P X C ===．所以，随机变量X 分布列为： X0 1 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=．【点评】求均值、方差的方法（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；（2）已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；（3）如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．（17）【2016年天津，理17，13分】如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==．（1）求证：//EG 平面ADF ；（2）求二面角O EF C --的正弦值；（3）设H 为线段AF 上的点，且23AH HF =，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值． 解：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),A B C ----(11,0),D ，(1,1,2),E --(0,0,2),F (1,0,0)G -．（1）()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-．设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则1100n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩．不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面．（2）易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量．依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-．设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩．不妨设1x =，可得()21,1,1n =-．因此有2226cos ,OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,OA n <>=， 所以，二面角O EF C --的正弦值为3． （3）由23AH HF =，得25AH AF =．因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅．直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为7． 【点评】1、利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．2、利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题．（1）0a ≠，0b ≠，·0a b a b ⊥⇔＝； （2）2a a =；（3）cos ,a ba b a b ⋅=．（18）【2016年天津，理18，13分】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ．对任意的N n *∈，n b 是na和1n a +的等比中项．（1）设221n n n c b b +=-，N n *∈，求证：数列}{n c 是等差数列；（2）设1a d =，221(1)nkn kk T b ==-∑，N n *∈，求证21112nk kT d =<∑． 解：（1）由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列．（2）()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nnnk k k kT d k k d kk d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑． 【点评】分组转化法求和的常见类型（1）若n n n a b c ±＝，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和．（2）通项公式为n a =⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．（19）【2016年天津，理19，14分】设椭圆22213x y a +=()3a >的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF HF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围．解：（1）设(),0F c ，由113cOF OA FA+=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设直线l 的斜率为k ()0k ≠，则直线l 的方程为()2y k x =-．设(),B B B x y ，由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=．解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+．由（1）知，()1,0F ，设()0,H H y ，有()1,H FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭．由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222129404343H ky k k k -+=++，解得29412H k y k-=．因此直线MH 的方程为219412ky x k k -=-+．设(),M M M x y ，由方程组219412(2)k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+．在MAO ∆中，||||MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即()22222M M M M x y x y -+≤+，化简得1M x ≥，即22209112(1)k k +≥+，解得k ≤或k ≥l的斜率的取值范围为6,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【点评】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间 建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本 不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．（20）【2016年天津，理20，14分】设函数()3()1f x x ax b =---，x ∈R ，其中a ，b ∈R ．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=；（3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于．．．14． 解：（1）由()()31f x x ax b =---，可得()()2'31f x x a =--．下面分两种情况讨论：①当0a ≤时，有()()2'310f x x a =--≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞． ②当0a >时，令()'0fx =，解得1x =+1x =-． 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以⎝⎭⎝⎭⎫+∞⎪⎪⎝⎭．（2）因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >，且01x ≠，由题意，得()()200'310f x x a =--=，即()2013a x -=，进而()()300002133a a f x x axb x b =---=---． ()()()()()3000000082322222123333a a a f x x a xb x ax a b x b f x -=----=-+--=---=，且0032x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此1032x x =-，所以1023x x +=．（3）设()g x 在区间[]0,2上的最大值为M ，{}max ,x y 表示,x y 两数的最大值．下面分三种情况同理：①当3a ≥时，1021≤<≤+，由（1）知，()f x 在区间[]0,2上单调递减，所以()f x 在区间 []0,2上的取值范围为()()2,0f f ⎡⎤⎣⎦，因此()(){}{}max 2,0max 12,1M f f a b b ==----{}max 1(),1()a a b a a b =-++--+1(),01(),0a a b a b a a b a b -+++≥⎧=⎨--++<⎩，所以12M a a b =-++≥．②当334a ≤<时，101121≤<-<+<≤+1）和（2）知，()011f f f ⎛⎛≥-= ⎝⎭⎝⎭，()211f f f ⎛⎛≤= ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为1,1f f ⎡⎤⎛⎛+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，max 1,1M f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎪⎪=+- ⎪ ⎨⎬ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭max a b a b ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭()()max a b a b ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭231944a b =+≥⨯．③当304a <<时，0112<<+<，由（1）和（2）知，()011f f f ⎛⎛<= ⎝⎭⎝⎭，()211f f f ⎛⎛>=- ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()0,2f f ⎡⎤⎣⎦，因此 ()(){}{}max 0,2max 1,12M f f b a b ==----()(){}max 1,1a a b a a b =-++--+11||4a ab =-++>． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14． 【评析】1、求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数()f x 的定义域（定义域优先）；（2）求导函数()f x '；（3）在函数()f x 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．（4）由()()()00f x f x >'<'的解集确定函数()f x 的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2、由函数()f x 在(),a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ （或()0f x '≤）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。
2016年天津理数高考试题文档版(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理工类）参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么•如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+. ()()()P AB P A P B =.•圆柱的体积公式V Sh =.•圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆柱的高.h 表示圆锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合}{4,3,2,1=A ，}{A x x y y B ∈-==,23，则=B A （A ）}{1（B ）}{4（C ）}{3,1（D ）}{4,1 （2）设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++-.0923,0632,02y x y x y x 则目标函数y x z 52+=的最小值为 （A ）4-（B ）6（C ）10（D ）17（3）在ABC ∆中，若13=AB ，3=BC ，120=∠C ，则=AC（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 （5）设}{n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则 “0＜q ”是“对任意的正整数n ，0212＜n n a a +-”的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 ≥≥ ≤（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线14222=-byx ）＞（0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为b 2，则双曲线的方程为（A ）143422=-y x （B ）134422=-y x （C ）144222=-y x （D ）112422=-y x （7）已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（A ）85-（B ）81 （C ）41（D ）811 （8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+++-+=0,1)1(log 0,3)34()(2x x x a x a x x f a＜（0＞a ，且1≠a ）在R 上单调递减，且关于x 的方程x x f -=2)(恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（A ）]32,0(（B ）]43,32[ （C ） ]32,31[{43}（D ） )32,31[{43}二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. （9）已知a ，∈b R ，i 是虚数单位，若a b =-+)i 1)(i 1(，则ba的值为_____________. （10）82)1(xx -的展开式中7x 的系数为_____________.（用数字作答）（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积 为_____________3m .（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，22==AE BE ，ED BD =，则线段CE 的长为_____________.（13）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间 ≥ （第4题图）)0,(-∞上单调递增.若实数a 满足)2()2(1--f f a ＞，则a 的取值范围是_____________.（14）设抛物线⎩⎨⎧==pt y pt x 2,22（t 为参数，0＞p ）的焦点F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设)0,27(p C ，AF 与BC 相交于点E .若AF CF 2=，且ACE ∆的面积为23，则p 的值为_____________.三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数3)3cos()2sin(tan 4)(---=ππx x x x f .（Ⅰ）求)(x f 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论)(x f 在区间]4,4[ππ-上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分 别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列 和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面⊥OBEF 平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2==BE AB .（Ⅰ）求证：EG ∥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角C EF O --的正弦值； （Ⅲ）设H 为线段AF 上的点，且HF AH 32=， 求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.（18）（本小题满分13分）已知}{n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的*∈N n ，n b 是n a 和1+n a 的等比中项.（Ⅰ）设221n n n b b c -=+，*∈N n ，求证：数列}{n c 是等差数列； （Ⅱ）设d a =1，∑=-=nk kkn b T 212)1(，*∈N n ，求证21211d T nk k＜∑=.（19）（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x )3(＞a 的右焦点为F ，右顶点为A .已知FAeOA OF 311=+， 其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若HF BF ⊥，且MOA ∠≤MAO ∠，求直线l 的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）设函数b ax x x f ---=3)1()(，∈x R ，其中a ，∈b R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：3201=+x x ； （Ⅲ）设0＞a ，函数)()(x f x g =，求证：)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于．．．412016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）一、选择题： （1）【答案】D （2）【答案】B （3）【答案】A （4）【答案】B （5）【答案】C （6）【答案】D （7）【答案】B （8）【答案】C二、填空题： （9）【答案】2 （10）【答案】56- （11）【答案】2（12）（13）【答案】13(,)22(14) 三、解答题 （15）【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性 试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π+-=-.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== ()II 解：令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】（Ⅰ）13（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112344C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为0,1,2.再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望试题解析：解：()I 由已知，有()1123442101,3C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为13. ()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=， ()111133342107115C C C C P X C +===， ()11342104215C C P X C ===. 所以，随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 考点：概率，概率分布与数学期望 【结束】 (17)【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（I ）证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨-+=⎩ .不妨设1z =，可得()10,2,1n =，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=，又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面.（II ）解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量.依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220n EF n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ .不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有222cos ,3OA n OA n OA n ⋅<>==-⋅，于是23sin ,3OA n <>=，所以，二面角O EF C --的正弦值. （III ）解：由23AH HF =，得25AH AF =.因为()1,1,2AF =-，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫=⎪⎝⎭，因此222cos ,21BH n BH n BH n ⋅<>==-⋅所以，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为21.考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论. 试题解析：（I ）证明：由题意得21n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.（II ）证明：()()()2222221234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+()()()22224222212n n n a a d a a a d d n n +=+++=⋅=+所以()222211111111111112121212nn n k k k k T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （19）【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k ky B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】（20）【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -，||,|(|f f 的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331aa +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<aa .试题解析：（Ⅰ）解：由b ax x x f ---=3)1()(，可得a x x f --=2)1(3)('. 下面分两种情况讨论：（1）当0≤a 时，有0)1(3)('2≥--=a x x f 恒成立，所以)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. （2）当0>a 时，令0)('=x f ，解得331ax +=，或331a x -=. 当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a. （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20ax =-，进而b ax a b ax x x f ---=---=332)1()(00300. 又3000008(32)(22)(32)(1)233a f x x a xb x ax a b -=----=-+-- )(33200x f b a x a =---=，且0023x x ≠-，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 )()(01x f x f =，且01x x ≠，因此0123x x -=，所以3201=+x x ；（Ⅲ）证明：设)(x g 在区间]2,0[上的最大值为M ，},max{y x 表示y x ,两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当3≥a 时，33120331aa +≤<≤-，由（Ⅰ）知，)(x f 在区间]2,0[上单调递减，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]0(),2([f f ，因此|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M . （2）当343<≤a 时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(af a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([a f a f -+，因此 |}392||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a ab a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--= 414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a . （3）当430<<a 时，23313310<+<-<aa ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-<，)331()3321()2(af a f f -=+>， 所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]2(),0([f f ，因此|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----== |})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a . 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41. 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【结束】。
天津市开发区2017届高三联考数学试卷(理科)Word版含解析
天津市开发区2017届高三联考试卷（理科数学）一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i 是虚数单位，复数=（ ） A ．2﹣2i B ．﹣2﹣2i C ．﹣2+2i D ．2+2i2．变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+3y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”B ．对于命题p ：∃x 0∈R ，x +x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0C ．若m ，n ∈R ，“lnm＜lnn”是“e m ＜e n ”的充分不必要条件D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题5．在的二项展开式中，含x 2的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线与抛物线y 2=8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x ±2y=0B ．2x ±y=0C ．D ．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．98．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取________名．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．11．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为________．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为________．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C 的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=________．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁B）=________．U三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B 袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和T n ；（Ⅲ）若，P n 为数列的前n 项和，求不超过P 2016的最大的整数k ．19．已知椭圆C ：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ） 设直线l 过椭圆C 的右焦点，并与椭圆相交于E ，F 两点，截得的弦长为，求直线l 的方程； （Ⅲ） 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问：以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．已知函数（m ∈R ），（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x+2y ﹣5=0垂直，求m 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤mx 2+（m ﹣1）x ﹣1恒成立，求整数m 的最小值；（Ⅲ）若m=1，m ∈R 设F （x ）=f （x ）+x ．且正实数x 1，x 2满足F （x 1）=﹣F （x 2），求证：x 1+x 2≥﹣1．天津市开发区2017届高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：D．2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k 值为4，故选：A4．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”B ．对于命题p ：∃x 0∈R ，x +x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0C ．若m ，n ∈R ，“lnm＜lnn”是“e m ＜e n ”的充分不必要条件D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A 利用逆否命题的定义判断即可；B 存在命题，应把存在改为任意，再否定结论；C 根据充分不必要条件的定义判断即可；D 根据且命题的真假判断依据判断即可．【解答】解：对于A ，逆否命题把命题的条件和结论互换，再同时否定，故命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0”，故正确；对于B ，对于存在命题，应把存在改为任意，再否定结论，故命题p ：∃x 0∈R ，x +x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0，故正确；对于C ，若m ，n ∈R ，“lnm＜lnn”，则0＜m ＜n ，可得“e m ＜e n ”，但由“e m ＜e n ”，m ，n 也可能为负值，不一定得出lnm ＜lnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于D ，且命题为假命题，p 和q 不能都是真命题，但也不一定都是假命题，故错误．故选：D ．5．在的二项展开式中，含x 2的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x 2项的系数即可．【解答】解：二项展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣1）r •••，令12﹣=2，解得r=4；所以展开式中含x 2项的系数为：（﹣1）4C 62（）2=． 故选：B ．6．已知双曲线与抛物线y 2=8x 的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x ±2y=0B ．2x ±y=0C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线y 2=8x 上的点P 满足|PF|=5，可得P （3，±2），代入双曲线方程算出m 的值，即可得到双曲线的a 、b 之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵点P 在抛物线y 2=8x 上，|PF|=5，∴P （x 0，y 0）满足x 0+=5，得x 0=5﹣=5﹣2=3因此y 02=8x 0=24，得y 0=±2∴点P （3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C7．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（ ）A ．3B ．C ．6D ．9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．【分析】先以点A 位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A 位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，M 为DC 的中点，故点A （0，0），则B （2，0），C （3，），D （1，），M （2，）．设N （x ，y ），N 为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域．因为=（2，），=（x ，y ），则=2x+y ，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C （3，）时，z=2x+y 取得最大值为9，故选D ．8．定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，f （x ）=，则关于x 的函数F （x ）=f （x ）﹣a （0＜a ＜1）的所有零点之和为（ ）A ．1﹣2aB ．2a ﹣1C ．1﹣2﹣aD ．2﹣a ﹣1【考点】函数的零点．【分析】函数F （x ）=f （x ）﹣a （0＜a ＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f （x ），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f （x ）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x ≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），（1﹣x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2∴中间的一个根满足log（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，2解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取15名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴高一应抽取的学生数为300×=15．故答案为：15．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A ﹣BCD ，其中底面△BCD 中，CD ⊥BC ，且侧面ABC 与底面ABC 互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A ﹣BCD底面Rt △BCD 中，BC ⊥CD ，且BC=5，CD=4侧面△ABC 中，高AE ⊥BC 于E ，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD 中，AC==5∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC∩平面BCD=BC ，AE ⊥BC∴AE ⊥平面BCD ，结合CD ⊂平面BCD ，得AE ⊥CD∵BC ⊥CD ，AE∩BC=E∴CD ⊥平面ABC ，结合AC ⊂平面ABC ，得CD ⊥AC因此，△ADB 中，AB==2，BD==，AD==，∴cos ∠ADB==，得sin ∠ADB==由三角形面积公式，得S △ADB =×××=6又∵S △ACB =×5×4=10，S △ADC =S △CBD =×4×5=10∴三棱锥的表面积是S 表=S △ADB +S △ADC +S △CBD +S △ACB =30+6故答案为：30+611．在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 2的方程ρ=﹣2cos θ+2sin θ．曲线C 2上任意一点到直线C 1距离的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】直线C 1的参数方程为为参数），消去t 化为普通方程：x ﹣y+6=0．曲线C 2的方程ρ=﹣2cos θ+2sin θ，即ρ2=﹣2ρcos θ+2ρsin θ，把ρ2=x 2+y 2，x=ρcos θ，y=ρsin θ代入即可得出直角坐标方程．求出圆心到直线的距离d ，即可得出曲线C 2上任意一点到直线C 1距离的最小值=d ﹣r ．【解答】解：直线C 1的参数方程为为参数），消去t 化为普通方程：x ﹣y+6=0．曲线C 2的方程ρ=﹣2cos θ+2sin θ，即ρ2=﹣2ρcos θ+2ρsin θ，可得直角坐标方程：x 2+y 2=﹣2x+2y ，配方化为：（x+1）2+（y ﹣1）2=2，可得圆心C 2（﹣1，1），半径r=．圆心到直线的距离d==2曲线C 2上任意一点到直线C 1距离的最小值=2﹣=．故答案为：．12．由不等式组确定的平面区域为A ，曲线xy=1和直线y=x 以及直线x=3围成的封闭区域为B ，在A 中随机取一点，则该点恰好在B 内的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A 、B 的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率．【解答】解：如图所示，由不等式组确定的平面区域A 的面积为S=3×3=9，曲线xy=1和直线y=x 以及直线x=3围成的封闭区域B 的面积为S′=×3×3﹣×1×1﹣∫13dx=4﹣ln3； 根据几何概型的概率公式知，该点落在区域B 内的概率为P=．故答案为：．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得 MC，求得PC=MP﹣MC的值，据PQ•PB=PC2求出结果．【解答】解：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．由切割线定理可得 MC2=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP﹣MC=3﹣2=，由切割线定理可得PQ•PB=PC2=3，故答案为 3．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，B）=．实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁U【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，∴a＞0，且对称轴﹣=，则判别式△=4﹣4ab=0，即ab=1，则==a﹣b+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，则t=a﹣b+≥2=2，即A=[2，+∞），∵|x+1|﹣|x﹣3|≤|3﹣（﹣1）|=4，∴若|x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立，则m2﹣3m≥4，即m2﹣3m﹣4≥0，即m≥4或m≤﹣1，即B={m|m≥4或m≤﹣1}，B═{m|﹣1＜m＜4}，则∁UB）={m|2≤m＜4}，则A∩（∁U故答案为：三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=，再利用三角函数的图象与性质即可得出．（Ⅱ），由于0＜C＜π，可得：＜2C﹣，可得C．因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+2×（sinx﹣cosx）×（sinx+cosx）=cos2x+sin2x﹣cos2x=，∵，4分∴对称轴方程为：，∵x∈[﹣，]，∴∈，f（x）在区间[﹣，]上单调递增，在区间上单调递减，所以，当x=时，f（x）取最大值 1又=﹣＜=，当x=﹣时，f（x）取最小值﹣．（Ⅱ），∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，∴＜2C﹣，∴=，C=，因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，即c2=a2+b2﹣ab=3解得：a=1，b=2．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B 袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，由此利用对立事件概率计算公式能求出两人中所取的球颜色不同的概率．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．甲所取的两球颜色相同的概率为=，乙所取的两球颜色相同的概率为=，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）==，P（X=2）==，0 1EX==．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EF⊥平面PAD；（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，又平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为．（Ⅲ）设，，∴，，∴=，即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M ．18．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和T n ；（Ⅲ）若，P n 为数列的前n 项和，求不超过P 2016的最大的整数k ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式． 【分析】（Ⅰ）由题意知3q 2﹣4q+1=0，从而求出公比，进而求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用错位相减法求其前n 项和T n ；（Ⅲ）化简为c n =2n ﹣1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求其前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴4a 2=a 1+3a 3， ∴3q 2﹣4q+1=0， ∵q ≠1，∴，∴a n =•=；（Ⅱ）由（Ⅰ），∴①，②，①﹣②得，，∴．（Ⅲ）由，得cn=2n﹣1，，=，∴不超过P2016的最大的整数k是2016．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．求得M，N的坐标，由直径式的圆的方程可得MN为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b=1，由，得a2=4，b2=1．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，E（x1，y1），F（x2，y2），由可得，∴，∴，∴；（2）当直线的斜率不存在时，|EF|=1不符合．∴直线方程为和． （Ⅲ）以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），且，即，∵A （﹣2，0），∴直线PA 方程为：，∴，直线QA 方程为：，∴，以MN 为直径的圆为，或通过求得圆心，得到圆的方程．即，∵，∴，令y=0，则x 2﹣1=0，解得x=±1． ∴以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．20．已知函数（m ∈R ），（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在（1，f （1））处的切线与直线x+2y ﹣5=0垂直，求m 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤mx 2+（m ﹣1）x ﹣1恒成立，求整数m 的最小值；（Ⅲ）若m=1，m ∈R 设F （x ）=f （x ）+x ．且正实数x 1，x 2满足F （x 1）=﹣F （x 2），求证：x 1+x 2≥﹣1． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m 的方程，解出即可；（Ⅱ）构造函数，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出m的最小值即可；（Ⅲ）求出F（x）的表达式，得F（x1）+F（x2）=0，令t=x1•x2＞0，得到ϕ（t）=t﹣lnt，根据函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）切线的斜率k=f'（1）=1+m，∴1+m=2，∴m=（Ⅱ）由题意，，设①当m≤0时，因为x＞0，所以G'（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．②当m＞0时，．令G'（x）=0，因为x＞0，得，所以当时，G'（x）＞0；当时，G'（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为，，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．（Ⅲ）m=1时，，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即，整理得，令t=x 1•x 2＞0，则由ϕ（t ）=t ﹣lnt 得，，可知ϕ（t ）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增． 所以ϕ（t ）≥ϕ（1）=1，所以，解得，因为x 1，x 2为正数，所以成立．。
天津市开发区2016-2017学年高三下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
天津市开发区2016-2017学年高三下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共40分）1．已知集合M={x∈R||x|＞2}，N={x∈R|x2﹣4x+3＜0}，则集合（∁M）∩N 等于（）RA．{x|x＜2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|1＜x≤2}2．下列四个命题中正确命题的个数是①“函数y=sin2x的最小正周期为”为真命题；②∃x∈R，e x≤0；③“若，则tana=1”的逆否命题是“若tana≠l，则”；④“∃x∈R，x＞1”的否定是“∀x∈R，x＞1”．（）A．0 B．1 C．2 D．33．运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B． C．D．04．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．6 D．125．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．9π B．C．D．6．已知实数x，y满足则z=2x+4y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．6 D．87．如图，椭圆的左、右焦点为F1，F2，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，若点A到PF1的距离是点F2到PF1距离的2倍，则直线PF1的斜率为（）A． B． C． D．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，若方程f（x）=a有两个根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣3，0）∪（0，3]∪{﹣4，4}C．[﹣3，3]∪{﹣4，4} D．（﹣4，4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上，9．已知i是虚数单位，若复数，则m= ．10．在的二项展开式中，x2的系数为．11．如图所示，在边长为1的正方形f（x）中任取一点f（x），则点[﹣1，1）恰好取自阴影部分的概率为．12．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．13．若直线x﹣y+t=0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为．14．在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，P为BC边上的动点，则的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x+，x∈R（1）求f（x）的最小正周期及单调减区间；（2）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值．16．某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．17．如图，底面为直角梯形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，E 为A 1B 1的中点，且△ABE 为等腰直角三角形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB=2CD=2BC ． （Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；（Ⅱ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出；若不存在，说明理由．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足：（a 为常数，且a ≠0，a ≠1）（1）若a=2，求数列{a n }的通项公式（2）设，若数列{b n }为等比数列，求a 的值．（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列{c n }前n 项和为T n ，求证．19．设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A （0，2），右焦点F 到点的距离为2．（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l 与椭圆相交于不同两点M ，N 满足，试求直线l 的方程．20．已知函数f（x）=x2+2aln（1﹣x）（a∈R），试求：（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在[﹣1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围．天津市开发区2016-2017学年高三下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共40分）M）∩N 等于（）1．已知集合M={x∈R||x|＞2}，N={x∈R|x2﹣4x+3＜0}，则集合（∁RA．{x|x＜2} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|1＜x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M与N不等式的解集确定出M与N，找出M的补集与N的交集即可．【解答】解：由M中的不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即M={x|x＞2或x＜﹣2}，M={x|﹣2≤x≤2}，∴∁R由N中的不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即N={x|1＜x＜3}，M）∩N={x|1＜x≤2}．则（∁R故选：D．2．下列四个命题中正确命题的个数是①“函数y=sin2x的最小正周期为”为真命题；②∃x∈R，e x≤0；③“若，则tana=1”的逆否命题是“若tana≠l，则”；④“∃x∈R，x＞1”的否定是“∀x∈R，x＞1”．（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①中，求出函数y=sin2x的最小正周期，判定命题①是否正确；②中，由命题与命题的否定必一真一假，可以判定命题②是否正确；③中，根据命题与逆否命题的关系，判定命题③是否正确；④中，根据命题与命题的否定之间的关系，判定命题④是否正确．【解答】解：对于①，函数y=sin2x的最小正周期是T=π，∴命题①错误；对于②，∀x∈R，e x＞0是真命题，∴该命题的否定是假命题，∴命题②错误；对于③，根据“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”判定命题③正确；对于④，“∃x∈R，x＞1”的否定是“∀x∈R，x≤1”，∴命题④错误．∴正确的命题的序号是③；故选：B．3．运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B． C．D．0【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算得到本题程序是计算S=sin+sin+sinπ+…+sin+sin的值值，根据等差数列的求和公式，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：本程序是计算S=sin+sin+sinπ+…+sin+sin的值，∵y=sinx的周期是2π，∴sin+sin+sinπ+sin+sin+sin2π=+0﹣+0=0，即一个周期内的6个数值之和为0，则S=sin+sin+sinπ+…+sin+sin=sin+sin+sinπ+sin+335×0=+0=，故选B．4．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．6 D．12【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出角A，然后利用三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AB=3，AC=5，BC=2，∴由余弦定理cosA===∴sinA=，∴△ABC的面积为，故选：C．5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）A．9π B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的上部为球，且球的直径为2；下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为2，高为3，再根据体积V=V球+V圆柱﹣V圆锥计算．【解答】解：由三视图知几何体的上部为一球体，且球的直径为2；下部是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆柱的底面圆的直径为2，高为3，∴几何体的体积V=V球+V圆柱﹣V圆锥=π+π×12×3﹣×π×3=π．故选C．6．已知实数x，y满足则z=2x+4y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．6 D．8【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优解，代入目标函数计算出最大值即可．【解答】解：由已知不等式组得到平面区域如图：z=2x+4y变形为y=，此直线经过图中D（0，2）时，在y轴截距最大即z最大，所以z 的最大值为2×0+4×2=8；故选D．7．如图，椭圆的左、右焦点为F1，F2，上顶点为A，点P为第一象限内椭圆上的一点，若点A到PF1的距离是点F2到PF1距离的2倍，则直线PF1的斜率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的应用．【分析】设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y=k（x+1），利用点A到PF1的距离是点F 2到PF1距离的2倍，建立方程，即可求直线PF1的斜率．【解答】解：设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0，∵A（0，），F2（1，0），点A到PF1的距离是点F2到PF1距离的2倍，∴，∵点P为第一象限内椭圆上的一点，∴k=．故选C．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，若方程f（x）=a有两个根，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，4] B．[﹣3，0）∪（0，3]∪{﹣4，4}C．[﹣3，3]∪{﹣4，4} D．（﹣4，4）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，然后根据函数的图象利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，∴f（﹣x）=x2+2x﹣3=﹣f（x），∴x＜0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3，则f（x）=，作出函数f（x）的图象如图：要使f（x）=a有两个根，则a=4或a=﹣4，0＜a≤3或﹣3≤a＜0，即实数a的取值范围是[﹣3，0）∪（0，3]∪{﹣4，4}，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上，9．已知i是虚数单位，若复数，则m= 1 ．【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用虚数单位i的运算性质化简，再由复数的除法运算把等式左边化为a+bi（a，b ∈R）的形式，最后由复数相等的条件求得m的值．【解答】解：由，得=1+i，∴m=1．故答案为：1．10．在的二项展开式中，x 2的系数为 1120 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为2求出展开式中x 2项的系数．【解答】解：根据二项式定理，的通项为T r+1=C 8r •2r •（﹣1）8﹣r •，当=2时，即r=4时，可得T 5=1120x 2．即x 2项的系数为1120， 故答案为：1120．11．如图所示，在边长为1的正方形f （x ）中任取一点f （x ），则点[﹣1，1）恰好取自阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【分析】求出正方形OABC 的面积，阴影部分由函数y=x 与y=围成，由定积分公式计算阴影部分的面积，由几何概型公式计算即可．【解答】解：根据题意，该题是几何概型的应用问题， 正方形OABC 的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x 与y=围成，其面积为（﹣x ）dx=（﹣x 2）=；则所求的概率为P=．故答案为：．12．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出b的值，进而得到该双曲线的离心率与渐近线方程，从而可求该双曲线的焦点到其渐近线的距离．．【解答】解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∵双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，∴4+b2=9，∴b2=5∴双曲线的渐近线方程为y=，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离为=．13．若直线x﹣y+t=0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为﹣2或6 ．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】化圆的参数方程为直角坐标方程，求出圆的圆心坐标和半径，利用直线被圆截得的弦长求出圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式可求t的值．【解答】解：由，得，①2+②2得，（x﹣1）2+（y﹣3）2=16．所以曲线表示以（1，3）为圆心，以4为半径的圆．因为直线x﹣y+t=0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则半弦长为．所以圆心（1，3）到直线x﹣y+t=0的距离d=．解得t=﹣2或t=6．故答案为﹣2或6．14．在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，P为BC边上的动点，则的值为10 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形用、表示出向量，求即可．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC=3，BC=4，P为BC边上的动点，∴=+=+λ=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ，∴=（1﹣λ）+λ+•=（1﹣λ）×32+λ×32+3×3×=10．故答案为：10．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x+，x∈R（1）求f（x）的最小正周期及单调减区间；（2）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，求得f（x）的最小正周期及单调减区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在闭区间，上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期T==π；令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得f（x）的减区间为，．（2）在闭区间，上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，函数f（x）取得最大值为，当2x﹣=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣．16．某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；（Ⅱ）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为： =，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列：和数学期望EX=1×=2．17．如图，底面为直角梯形的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为A1B1的中点，且△ABE为等腰直角三角形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明AB⊥平面EOD，即可证明AB⊥DE；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）根据线面平行的判定定理，结合空间直角坐标系即可得到结论．【解答】证明：（Ⅰ）取AB的中点O，连结EO，DO，∵EB=EA，∴EO⊥AB，∵四边形ABCD是直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，∴四边形OBCD为正方形，∴AB⊥OD，又EO，OD为平面EOD内的两条相交直线，∴AB⊥平面EOD，由ED⊂平面EOD，∴AB⊥DE（Ⅱ）∵平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥OD，由OD，OA，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∵△EAB为等腰直角三角形，∴OA=0B=0D=0E，设OB=1，则O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，﹣1，0），C（1，﹣1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），∴，平面ABE的一个法向量为，设直线EC与平面ABE所成角为θ，则sin=，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值是．（Ⅲ）存在F，且=时，有EC∥平面FBD，证明如下：由，F（0，），∴，，设平面FBD的法向量为，则，即，令a=1，则，∵，即，∵EC⊄平面FBD，∴EC∥平面FBD．即当F满足=时，有EC∥平面FBD．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足：（a 为常数，且a ≠0，a ≠1）（1）若a=2，求数列{a n }的通项公式（2）设，若数列{b n }为等比数列，求a 的值．（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列{c n }前n 项和为T n ，求证．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列递推式．【分析】（1）当a=2时，S n =2a n ﹣2，当n ≥2时，S n =2a n ﹣2S n ﹣1=2a n ﹣1′﹣2，两式相减得到递推公式，再求解．（2）由（1）知，，利用特殊项，必有，求出a ，再回代验证，确定a 的值．（3）由（2）知，可得==，直接求和不易化简计算，先进行放缩得出，求和及证明可行．【解答】解：（1）当a=2时，S n =2a n ﹣2 当n=1时，S 1=2a 1﹣2⇒a 1=2…当n ≥2时，S n =2a n ﹣2S n ﹣1=2a n ﹣1′﹣2…两式相减得到a n =2a n ﹣2a n ﹣1，（a n ﹣1≠0）得到……（2）由（1）知，，}为等比数列，若{bn则有，而，故，解得，再将代入得成立，所以．…（3）证明：由（2）知，所以==， (11)由得，所以， (13)从而==．即． (14)19．设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点（0，﹣3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，由右焦点F到点的距离为2列式求出c的值，结合b=2和求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点M、N的坐标和，从而求出线段MN的中点P的坐标，由，知点A在线段MN的垂直平分线上，由两点式写出AP的斜率，利用MN和AP垂直，斜率之积等于﹣1求直线l的斜率，则方程可求．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由|FB|=2，得，即，故．又∵b=2，∴a2==12，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y=kx﹣3（k≠0），由，知点A在线段MN的垂直平分线上，由得x2+3（kx﹣3）2=12即（1+3k2）x2﹣18kx+15=0①△=（﹣18k）2﹣4（1+3k2）×15=144k2﹣60＞0即时方程①有两个不相等的实数根设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点P（x，y）则x1，x2是方程①的两个不等的实根，故有从而有，于是，可得线段MN的中点P的坐标为又由于k≠0，因此直线AP的斜率为由AP⊥MN，得即5+6k2=9，解得，∴，∴所求直线l的方程为：．20．已知函数f（x）=x2+2aln（1﹣x）（a∈R），试求：（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在[﹣1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）若f（x）在[﹣1，1）上是单调函数，则[﹣1，1）必为函数某一单调区间的子区间，先带着参数a求函数的单调区间，再比较[﹣1，1）区间端点与函数的几个单调区间的端点大小，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣4ln（1﹣x）+x2，定义域为（﹣∞，1），f′（x）=2x+=，令f'（x）＞0，解得：得x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，故f（x）在（﹣1，1）递增，在（﹣∞，﹣1）递减，=f（﹣1）=1﹣4ln2．f（x）极小值（2）f′（x）=2x﹣，若f'（x）≥0，a≤﹣2，即2x﹣≥0⇒a≤[x（1﹣x）]min⇒a≥，若f'（x）≤0，即2x﹣≤0⇒a≥[x（1﹣x）]max⇒所以a≤﹣2或a≥．。
2016天津高考理科数学(答案及解析)
m3
【答案】：2 【考点】：四棱锥体积计算
爱智康高中数学研发部
第 6 页 共 16 页
【解析】：底面是以 2 为边长，1 为高的平行四边形，四棱锥高为 3，故V 2 1 3 1 2 。 3
本题考查四棱锥体积计算。
------------------------------本题解析由王可君老师提供
0， 3 2
，C
1 2
，0
,故可得
AF
2， 3 2
,
BC
1 ， 2
3 2
所以，
AF
BC
=
1 8
------------------------------本题解析由田雨龙老师提供
爱智康高中数学研发部
第 4a 3x 3a, x
loga (x 1) 1, x 0
x y 2 0 2. 设变量 x, y 满足约束条件 2x 3y 6 0 ，则目标函数 z 2x 5 y 的最小值为
3x 2 y 9 0 （）
A. 4 B.6 C.10 D.17 【答案】：B 【考点】：线性规划 【解析】：如图，故最小值为 6.
------------------------------本题解析由张晓东老师提供
1a 3
3
4
接 下 来 ， 又 因 为 方 程 f (x) 2 x 恰 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 ， 可 以 看 出 是
y f x与y 2 x 有两个交点。这条直线 y 2 x 与右边对数函数 loga x 11 必
有交点，所以只需要满足直线 y 2 x 与左边抛物线 y x2 4a 3x 3a 有一个交点
于 AED ，可求 BD 3 ，根据 AE BE CE DE ,可求 CE 2 3 3
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天津市开发区2016-2017学年高考模拟试卷（理科数学）一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．204．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件[来源:学科网]7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）[来源:Z&xx&]A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分．）9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是．10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x2项的系数是．11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna，对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．）15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若4S n=（2n﹣1）a n+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．天津市开发区2016-2017学年高考模拟试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，∴==2+2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1}C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．解答：解：全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，∴∁U A={y|y≤1}B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|}，则（∁U A）∩B={x|＜x≤1}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．20考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时，z取得最小值为4；故选B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选D．点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=3，a+b=2的最大值为（）A．2 B．C．1 D．[来源:学科网ZXXK]考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值解答：解：∵a x=b y=3，∴x=log a3=，y=log b3=，∴当且仅当a=b时取等号故选项为C点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力6．（5分）设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．分析：由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b[来源:]∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，[来源:Z+xx+] 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A． B． C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），[来源:Z。