数学八年级上册 期末试卷(提升篇)(Word版 含解析)

数学八年级上册 期末试卷（提升篇）（Word 版 含解析）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .
（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；
（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.
【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；
（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．
【详解】
解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD ，
在△ACF 和△ABD 中，
∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，
∴△ACF ≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF ⊥BD ；
②成立，理由如下：如图2：
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，
∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，
∴△ACF≌△AED(SAS)，
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
【点睛】
本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的
判定和性质进行综合运用.
2．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=︒．
（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；
（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；
（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持
90EDF ∠=︒，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形；
（2）由题意分析可得S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，以此进行分析计算求出四边形AEDF 的面积即可；
（3）根据题意连接AD ，运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形.
【详解】
解：（1）证明：如图①，连接AD.
∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，AD=BD ，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE 和△ADF 中，∠1=∠B ，AD=BD,∠2=∠4，
∴△BDE ≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°，
∴ΔDEF 为等腰直角三角形.
（2）由（1）可知DE=DF ，∠C=∠6=45°，
又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴△ADE ≌△CDF ，
∴S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，
∴ S ∆ABC =2 S 四边形AEDF ,
∴S 四边形AEDF =3.5 .
（3）是.如图②，连接AD.
∵∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，
∴AD ⊥BC,AD=BD ，
∴∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，
∴∠DAF=∠DBE ，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4,
在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE ≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF 为等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
3．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．
（1）填空：ABC ∆的面积等于 ；
（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；
（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．
【答案】（1）
212
；（2）证明见解析；（3）32【解析】
【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；
（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；
（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=
1()2
AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．
【详解】
解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==， ∴112137222
ABC S AC BC =
⨯=⨯⨯=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，
∴∠EMA=∠END=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠MEN=90°，
∴∠MED+∠DEN=90°，
∵△ADE 是等腰直角三角形
∴∠AED=90°，AE=DE
∴∠AEM+∠MED=90°，
∴∠AEM=∠DEN
∴在△AEM 与△DEN 中，
∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE
∴△AEM ≌△DEN （AAS ）
∴ME=NE
∴点E 在∠ACB 的平分线上，
即CE 是ACB ∠的平分线
（3）由（2）可知，点E 在∠ACB 的平分线上，
∴当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，
∵△AEM ≌△DEN
∴AM=DN ，
即AC-CM=CN-CD
在Rt △CME 与Rt △CNE 中，CE=CE ，ME=NE ，
∴Rt △CME ≌Rt △CNE （HL ）
∴CM=CN
∴CN=1()2
AC CD +， 又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°， ∴CE=22()CN AC CD =
+， 当AC=3，CD=CO=1时，
CE=2(31)222
+= 当AC=3，CD=CB=7时， CE=
2(37)522+= ∴点E 的运动路程为：522232-=，
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．
4．如图，在ABC ∆中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 23
BD CD =
，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;
(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点B出发沿射线BC以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q两点同时出发，当点P到达A点时，,P Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，POQ
∆的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围;
(3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点且CF BO
=.是否存在t值，使以点
,,
B O P为顶点的三角形与以点,,
F C Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值; 若不存在，请说明理由.
【答案】（1）5；（2）①当点Q在线段BD上时，24
QD t
=-，t的取值范围是
1
2
t <<；②当点Q在射线DC上时，42
QD t
=-，，t的取值范围是
1
5
2
t<≤；（3）存在，1
t=或
5
3
.
【解析】
【分析】
（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC
上时，DQ=4t-2时；
（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当
OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；
【详解】
解：（1）∵AD是高，∴90
ADC
∠=
∵BE是高，∴90
AEB BEC
∠=∠=
∴90
EAO ACD
∠+∠=，90
EBC ECB
∠+∠=，
∴EAO EBC
∠=∠
在AOE
∆和BCE
∆中，
EAO EBC
AE BE
AEO BEC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴AOE
∆≌BCE
∆
∴5
AO BC
==；
（2）∵23
BD CD =，=5BC ∴=2BD ，=3CD ，
根据题意，OP t =，4BQ t =，
①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，
∴21(24)22S t t t t =
-=-+，t 的取值范围是102
t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-， ∴21(42)22S t t t t =
-=-，t 的取值范围是152
t <≤ （3）存在． ①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．
∴CQ=OP ，
∴5-4t ═t ，
解得t=1，
②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．
∴CQ=OP ，
∴4t-5=t ，
解得t=53
． 综上所述，t=1或
53s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．已知：在ABC
∆中，,90
AB AC BAC
=∠=︒，PQ为过点A的一条直线，分别过
B C
、两点作,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，垂足分别为M N
、.
（1）如图①所示，当PQ与BC边有交点时，求证：MN CN BM
=-；
（2）如图②所示，当PQ与BC边不相交时，请写出线段BM CN
、和MN之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）MN BM CN
=+（或BM MN CN
=-或
CN MN BM
=-），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件先证AMB CNA
≌
∆∆，得到,
AM CN BM AN
==，即可证得
MN CN BM
=-；（2）由（1）知AMB CNA
≌
∆∆，得到,
AM CN BM AN
==，即可确定MN BM CN
=+.
【详解】
证明：∵,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，
∴∠AMB=∠CAN=90︒,
∵∠BAC=90︒，
∴∠CAN+∠ACN=90︒，
∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM
∠+∠=∠+∠）
∴BAM ACN
∠=∠，
在AMB
∆和CNA
∆中，
∵
AMB CNA
BAM ACN
AB CA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
AMB CNA AAS
≌
∆∆，
∴,
AM CN BM AN
==，
∵MN AM AN
=-，
∴MN CN BM
=-.
（2）MN BM CN
=+（或BM MN CN
=-或CN MN BM
=-）.
理由：∵,BM PQ CN PQ ⊥⊥，
∴∠AMB=∠CAN=90︒,
∵∠BAC=90︒，
∴∠CAN+∠ACN=90︒，
∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM ∠+∠=∠+∠）,
∴BAM ACN ∠=∠，
在AMB ∆和CNA ∆中，
∵AMB CNA BAM ACN AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()AMB CNA AAS ≌∆∆，
∴,AM CN BM AN ==，
∴MN AN AM BM CN =+=+.
【点睛】
此题考察三角形全等的应用，正确确定全等三角形是解题关键，由此得到对应相等的线段，确定它们之间的和差关系得到BM CN 、和MN 之间的关系式.
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
6．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC 中，∠A=36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，求证：△ABD 和△DBC 都是等腰三角形；
（2）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC 分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°
【解析】
【分析】
（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；
【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；
【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；
△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；
△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；
②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，
此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，
最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.
【点睛】
本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.
7．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线
．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；
（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有
∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出
△ACD≌△BCE同样可以得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．
∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM
1
2
∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．
（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角
形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．
在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）； （3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即
11603022
BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ． 在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．
由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
③当点D 在线段MA 的延长线上时．
∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．
由（1）
得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
8．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE
①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.
(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点
B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE
①求BEC ∠的度数:
②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).
()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点
B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AE
C ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).
【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）
∠AEC =90°+
12n ︒. 【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；
（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.
【详解】
（1）①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形(如图1)，
∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）
∴ BD=CE.
② 由△CAE ≌△BAD ，
∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.
∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.
（2）①∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形(如图2)，
∴ AB=AC ，AD=AE ，∠ADE=∠AED=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°. ∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.
② BE=CE+2AF.
（3）如图3：∠AEC=90°+1
2
n︒，理由如下，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-
180
18090
22
n n
.
∴∠AEC=90°+1
2
n︒.
【点睛】
本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.
9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？
（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形
△AMN？
（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）12
5
；（2）
48
5
；（3）点M、N运动3秒或
12
7
秒或10秒或9秒后，
△AMN为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；
（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】
（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒
则有：2t＝12﹣3t
解得t＝12 5
故点M、N运动12
5
秒后，△AMN是等边三角形；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN
则有：2t﹣12＝36﹣3t
解得t＝48 5
故运动48
5
秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；
（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠AMN＝30°
∴AM＝2AN
则有2t＝2（12﹣3t）
∴t＝3；
②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图
∵∠A＝60°
∴∠ANM＝30°
∴2AM＝AN
∴4t＝12﹣3t
∴t＝12
7
；
③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图
CN＝3t﹣24＝6
解得t＝10；
④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图
此时2t＝12+6
解得t＝9；
综上所述，点M、N运动3秒或12
7
秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
10．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得
∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．
试题解析：
（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
又∵∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEB=∠EAC，
∴AC∥BE．
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE≌△ADC 是解决本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】
试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
12．阅读理解：
把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．
（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．
（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．
（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？
【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个
【解析】
分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；
（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413
x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．
详解：（1）123123为六位连接数；
∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；
（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：
设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；
（3）设xyxy 为四位连接数，则
M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴
13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413
x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；
满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个．
点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．
13．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2﹣4x +1）（x 2﹣4x +7）+9进行因式分解的过程． 解：设x 2﹣4x ＝y
原式＝（y +1）（y +7）+9（第一步）
＝y 2+8y +16（第二步）
＝（y +4）2（第三步）
＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A ．提取公因式法
B ．平方差公式法
C ．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结
果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x 2+2x ）（x 2+2x +2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C ；（2）（x ﹣2）4；（3）（x +1）4．
【解析】
【分析】
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】
（1）故选C ；
（2）（x 2﹣4x +1）（x 2﹣4x +7）+9，设x 2﹣4x =y ，则：
原式=（y +1）（y +7）+9=y 2+8y +16=（y +4）2=（x 2﹣4x +4）2=（x ﹣2）4．
故答案为：（x ﹣2）4；
（3）设x 2+2x =y ，原式=y （y +2）+1=y 2+2y +1=（y +1）2=（x 2+2x +1）2=（x +1）4．
【点睛】
本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
14．下面是某同学对多项式()()22676114x x x x -+-++进行因式分解的过程．
解：设2
6x x y -=，
原式(7)(11)4y y =+++（第一步） 21881y y =++（第二步）
2(9)y =+（第三步）
()2
269x x =-+．（第四步） 请你回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______；
A ．提公因式法
B ．平方差公式
C ．两数和的完全平方公式
D ．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______；
（3）仿照以上方法因式分解：()()222221x x x x --++．
【答案】（1）C ；（2）4(3)-x ；（3）4(1)x -
【解析】
【分析】
（1）根据公式法分解因式可得答案；
（2）先将269x x -+分解因式得2(3)x -，由此得到答案；
（3）设22x x y -=，得到原式()21y =+，将22x x y -=代回得到()2
221x x -+，再将括号内根据完全平方公式分解即可得到答案.
【详解】
解：（1）由21881y y ++2(9)y =+是运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C ；
（2）∵269x x -+=2(3)x -，
∴()2
269x x -+=4(3)-x ，
故答案为：4(3)-x ；
（3）设22x x y -=， 原式()21y y =++，
221y y =++，
()2
1y =+， ()2
221x x =-+， 4(1)x =-．
【点睛】
此题考查特殊方法分解因式，完全平方公式分解因式法，分解因式时注意应分解到不能再分解为止.
15．观察：22213-=；2222432110-+-=；22222265432121-+-+-=．
探究：（1）2222222287654321-+-+-+-= ．（直接写出答案）
（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-= ．（直接写出答案）
应用：（3）如图，20个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为20cm ，向里依次为19cm 、18cm 、……1cm ，那么在这个图形中，所有阴影部分的面积和是多少？（结果保留π）
【答案】（1）36；（2）83n -；（3）210π
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，直接结算可得；
（2）根据观察可得规律：结果就是底数和；其实是运用平方差公式得到；
（3）根据题意列出式子，
()()()()()
22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+-，再根据上面规律简便运算．
【详解】
（1）2222222287654321-+-+-+-=15+21=36；
（2）222222(2)(21)(22)(23)21n n n n --+---+-
=
[][][][]()()2(21)2(21)(22)(23)(22)(23)2121n n n n n n n n +-•--+-+-•---++•-2(21)(22)(23)21n n n n =+-+-+-++
=83n -；
（3）由题意可得
阴影面积是：
()()()()()
22222222222019181716154321ππππππππππ-+-+-++-+- =2019181716154321ππππππππππ++++++++++
=
()1202012
π⨯⨯+ =210π
【点睛】 考核知识点：因式分解在运算中的应用．观察并找出规律，利用平方差公式分析问题是关键．
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .
【解析】
【分析】
王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=
2060小时． 【详解】
设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ， 由题意可得：330.50.520360
x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根，
∴315x =
答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h .
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.
17．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a 、m 的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）20ma ，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241
n n n --小时． 【解析】
【分析】
（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意
得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：
20m n +，乙的工作效率为：200.5
m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】
解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨， 根据题意可得：
100100200.8x x +=+ 解得：x ＝4，
检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0，
∴原分式方程的解为x ＝4，
∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨， 根据题意得：
20m m y y a +=+ 解得；y ＝20
ma ， 经检验：y ＝20
ma 是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是:
202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ，2020
ma a +； （3）根据题意得：()20.5202202020.5410.5
n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241
n n n --小时． 【点睛】
本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.
18．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算
的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元
【解析】
试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；
（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．
试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要2
3
x天．
根据题意，得2011
60()1
22
33
x x x
++=
，解得：x=180．
经检验，x=180是原方程的根，∴2
3
x
=
2
3
×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分
别需120天和180天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有11
()1
120180
y+=，解得y=72．
需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．
∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
19．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是a
b
（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得
a m
b m
+
+
，则两个分
数的大小关系是a m
b m
+
+
_____
a
b
.
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？。