八年级上册全册全套试卷测试卷附答案

八年级上册全册全套试卷测试卷附答案
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．
【答案】80
【解析】
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
2．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为_____．
【答案】30°
【解析】
【分析】
延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，过D点作DG⊥AC于G点，可得出
△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，进而得出CD为∠ACF的平分线，得出∠DCA=53°，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：
延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，∵BD是∠ABC的平分线
在△BDE与△BDF中，
ABD CBD BD BD
AED DFC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°∠BAD+∠EAD＝180°
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，过D点作DG⊥AC于G点，
在Rt△ADE与Rt△ADG中，
AD AD DE DG
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴△ADE≌△ADG（HL），∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
在Rt△CDG与Rt△CDF中，
CD CD DG DF
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），
∴CD为∠ACF的平分线，
∠ACB＝74°，
∴∠DCA＝53°，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．
故答案为：30°
【点睛】
本题考查了多边形的外角和内角，能熟记三角形的外角性质和三角形的内角和定理是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．一个多边形的内角和是外角和的7
2
倍，那么这个多边形的边数为_______.
【答案】9
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个多边形是n 边形，
根据题意得，（n-2）•180°=
72
×360°， 解得：n=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
4．如图，七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线交于点O ，若l ∠，2∠，3∠，4∠的外角和等于210，则BOD ∠的度数为______．
【答案】30
【解析】
【分析】
由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∠BOD ．
【详解】
1∠、2∠、3∠、4∠的外角的角度和为210，
12342104180∠∠∠∠∴++++=⨯，
1234510∠∠∠∠∴+++=，
五边形OAGFE 内角和()52180540=-⨯=，
1234BOD 540∠∠∠∠∠∴++++=，
BOD 54051030∠∴=-=．
故答案为：30
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．
5．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝_____度．
【答案】40．
【解析】
【分析】
利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．
【详解】
∵△ABC沿着DE翻折，
∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，
而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，
∴∠B＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
6．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是_____．
【答案】85°．
【解析】
【分析】
根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．
【详解】
∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，
∴∠C=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=35°，
∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°．
故答案为85°．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（）
A．α-β＋γ=180°B．α＋β－γ=180° C．α＋β＋γ=360° D．α－β－γ=90°【答案】B
【解析】
【分析】
延长CD交AE于点F，利用平行证得β=∠AFD；再利用三角形外角定理及平角定义即可得到答案.
【详解】
如图，延长CD交AE于点F
∵AB∥CD
∴β=∠AFD
∵∠FDE+α=180°
∴∠FDE=180°-α
∵γ+∠FDE=∠ADF
∴γ+180°-α=β
∴α＋β－γ=180°
故选B
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形外角定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
8．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（）
A ．∠AHE ＞∠CHG
B ．∠AHE ＜∠CHG
C ．∠AHE=∠CHG
D ．不一定
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据AD 、BE 、CF 为△ABC 的角平分线可设
∠BAD=∠CAD=x ，∠ABE=∠CBE=y ，∠BCF=∠ACF=z ，由三角形内角和定理可知，
2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°在△AHB 中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z ，在△CHG 中，∠CHG=90°﹣z ，故可得出结论．
【详解】
∵AD 、BE 、CF 为△ABC 的角平分线
∴可设∠BAD=∠CAD=x ，∠ABE=∠CBE=y ，∠BCF=∠ACF=z ，
∴2x+2y+2z=180° 即x+y+z=90°，
∵在△AHB 中，∠AHE=x+y=90°﹣z ，
在△CHG 中，∠CHG=90°﹣z ，
∴∠AHE=∠CHG ，
故选C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
9．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）
A ．30
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
【详解】
∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，
∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠BEF=50︒，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
10．已知三角形的两边长分别为4和9，则此三角形的第三边长可能为（）
A．9 B．4 C．5 D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．
【详解】
设这个三角形的第三边为x．
根据三角形的三边关系定理，得：9-4＜x＜9+4，
解得5＜x＜13．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．
11．如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠的大小为（）
∠=，则1
244
α-
A．14B．16C．90α
-D．44
【解析】
分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．
详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：
∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．
故选A ．
点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
12．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（ ）
A ．75°
B ．135°
C ．120°
D ．105°
【答案】D
【解析】
如图，
根据三角板的特点，可知∠3=45°，∠1=60°，因此可知∠2=45°，再根据三角形的外角的性质，可求得∠α=105°.
故选
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，ABE △，BCD 均为等边三角形，点A ，B ，C 在同一条直线上，连接AD ，EC ，AD 与EB 相交于点M ，BD 与EC 相交于点N ，连接OB ，下列结论正确的有_________．
①AD EC =；②BM BN =；③MN AC ；④EM MB =；⑤OB 平分AOC ∠
【答案】①②③⑤.
【解析】
【分析】
由题意根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质，对题干结论依次进行分析即可.
【详解】
解：∵△ABE ，△BCD 均为等边三角形，
∴AB=BE ，BC=BD ，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC ，
在△ABD 和△EBC 中，
AB BE ABD EBC BD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），
∴AD=EC ，故①正确；
∴∠DAB=∠BEC ，
又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠EBD=60°，
在△ABM 和△EBN 中，
MAB NEB AB BE
ABE EBN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△ABM ≌△EBN （ASA ），
∴BM=BN ，故②正确；
∴△BMN 为等边三角形，
∴∠NMB=∠ABM=60°，
∴MN ∥AC ，故③正确；
若EM=MB ，则AM 平分∠EAB ，
则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，
故④不正确；
如图作,,BG AD BH EC ⊥⊥
∵由上可知△ABD ≌△EBC ，
∴两个三角形对应边的高相等即BG BH =，
∴OB 是AOC ∠的角平分线，即有OB 平分AOC ∠，故⑤正确.
综上可知：①②③⑤正确.
故答案为：①②③⑤.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质与平行线的判定是解题的关键.
14．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B 的坐标是__________.
【答案】(3，－1)
【解析】
分析：过C 和B 分别作CD ⊥OD 于D ，BE ⊥CD 于E ，利用已知条件可证明△ADC ≌△CEB ，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B 点的坐标．
详解：过C 和B 分别作CD ⊥OD 于D ，BE ⊥CD 于E ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE ，
在△ADC 和△CEB 中，
∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE ，AC=BC ，
∴△ADC ≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE ，AD=CE ，
∵点C 的坐标为(1,2),点A 的坐标为(−2,0)，
∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，
∴则B 点的坐标是(3,−1).
故答案为(3,−1).
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.
15．如图，已知点(,0)A a 在x 轴正半轴上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，ABC ∆为等腰直角三角形，D 为斜边BC 上的中点.若2OD =，则a b +=________.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质，可得AP 与BC 的关系，根据垂线的性质，可得答案
【详解】
如图：作CP ⊥x 轴于点P ，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC ，
在Rt △OBA 和Rt △PAC 中，
OBA PAC AOB CPA BA AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
Rt △OBA ≌Rt △PAC （AAS ），
∴AP=OB=b ，PC=OA=a ．
由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b ，即C 点坐标是（a+b ，a ），
由B （0，b ），C （a+b ，a ），D 是BC 的中点，得D （
2a b +，2a b +）， ∴2a b +（）∴22
a b +（）2， ∴a+b=2.
故答案为2.
【点睛】
本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.
16．已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD 的取值范围是_____.
【答案】3＜AD ＜7
【解析】
【分析】
连接AD 并延长到点E ，使DE=DA ，连接BE ，利用SAS 证得△BDE ≌△CDA ，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE 的取值范围，进而求出AD 的取值范围.
【详解】
如图，连接AD 并延长到点E ，使DE=DA ，连接BE ，
∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线
∴BD=CD
在△BDE 和△CDA 中
BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDE ≌△CDA （SAS ）
∴BE=CA=4
在△ABE 中，AB+BE>AE ，且AB ﹣BE ＜AE
∵AB=10,AC=4,
∴6＜AE ＜14
∴3＜AD ＜7
故答案为3＜AD ＜7
【点睛】
本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
17．如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1、l 2、l 3分别过A 、B 、C 三点，l 1∥l 2∥l 3，若l 1与l 2之间的距离为4，l 2与l 3之间的距离为5，则正方形的边长为
______．
41
【解析】
解：过B 作直线BF ⊥l 3于F ，交直线l 1于点
E ．∵l 1∥l 3，∴∠AEB =∠BFC =90°，∴BE =4，B
F =5．∵ABCD 是正方形，
∴AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠ABE +∠CBF =90°．∵∠ABE +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠CBF ．在
△ABE和△BCF中，
∵∠BAE=∠CBF，∠AEB=∠BFC，AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF=5．在Rt△AEB中，AB=22
AE BE=22
54
=41．故答案为41．
点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解答本题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△ABE≌△BCF，难度适中．
18．如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 o，AC=BC=4，点D是AB的中点，E， F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，∠EDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积为___________.
【答案】5
2
或
13
2
【解析】
解：①E在线段AC上．在△ADE和△CDF中，
∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴同理△CDE≌△BDF，∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面积
=1
2
CE•CF=
3
2
，∴△DEF的面积=1
2
×2×2﹣
3
2
=
5
2
．
②E'在AC延长线
上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=22
∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，
∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'（SAS），∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即
∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2×222
2=13，∴S△E'DF'=
1
2
DE'2=
13 2．故答案为
13
2
或
5
2
．
点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADE ≌△CDF 和△CDE ≌△BCF 是解题的关键．
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，在△ABC 中，AB=AC ，高BD ，CE 交于点O ，AO 交BC 于点F ，则图中共有全等三角形（ ）
A ．8对
B ．7对
C ．6对
D ．5对
【答案】B
【解析】
【分析】 易证△ABC 是关于AF 对称的图形，其中的小三角形也关于AF 对称，共可找出7对三角形.
【详解】
全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；
④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB
证明①△AFB≌△AFC
∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC 又∵1122
ABC S AB CE AC BD == ∴CE=BD
∴在Rt△BCE 和Rt△CBD 中
BC BC CE BD =⎧⎨=⎩
∴△BCE≌△CBD
∴BE=CD，∴AE=AD
在Rt△AEO 和Rt△ADO 中
AE AD
AO AO
=
⎧
⎨
=
⎩
∴△AEO≌△ADO
∴∠EOD=∠DOA
在△BAF和△CAF中
AB AC
BAF CAF
AF AF
=
⎧
⎪
∠=
∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BAF≌△CAF，得证
其余全等证明过程类似
故选：B
【点睛】
本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备
20．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是( )
A．②③B．③④C．②③④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
分别在以上四种情况下以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q 点，作出PAQ ∆后可得答案．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，所以PAQ ∆不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以PAQ ∆唯一，所以③正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以④正确．
综上：②③④正确．
【点睛】
本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
21．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；
④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】
试题解析：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，{
C CBF
CD BD
EDC BDF
∠=∠
=
∠=∠
，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正
确；
∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．相似三角形的判定与性质．
22．如图，AOB
∆的外角,
CAB DBA
∠∠的平分线,
AP BP相交于点P，PE OC
⊥于E，PF OD
⊥于F，下列结论：（1）PE PF
=；（2）点P在COD
∠的平分线上；（3）90
APB O
∠=︒-∠，其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】 过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正
确；由12APB EPF ∠=
∠，180EPF O ∠+∠=︒，得到1902
APB O ∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：
∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ，
∴PE PG PF ==；故（1）正确；
∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确；
∵12
APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=
∠， 又180EPF O ∠+∠=︒， ∴11(180)9022
APB O O ∠=
⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；
故选：C ．
【点睛】 本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
23．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结
论:①45ADC ∠=︒;②12
BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D
【解析】
试题解析：如图，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，
∴CE=EQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ，
∴∠QEB=45°=∠CBA，
∴EQ=BQ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE，
∴③正确；
作∠ACN=∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD=
1
2
∠CAB=22.5°=∠BAD，
∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD，
∴∠DBC=∠CAD，
在△ACN和△BCD中，
DBC CAD
AC BC
ACN DCB
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN=CD，AN=BD，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN，
∴AN=CN，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE，
∴CD=AN=EN=
1
2
AE，
∵AN=BD，
∴BD=
1
2
AE，
∴①正确，②正确；
过D作DH⊥AB于H，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，
∴DF=DH，
在△DCF和△DBH中
90
F DHB
FCD DBA
DF DH
∠∠︒
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝＝
＝
＝
，
∴△DCF≌△DBH，
∴BH=CF，
由勾股定理得：AF=AH，
∴
2
,2 AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF
+++++++
====，∴AC+AB=2AF，
AC+AB=2AC+2CF，
AB-AC=2CF，
∵AC=CB，
∴AB-CB=2CF，
∴④正确．
故选D
24．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线
．．AD=4，则△ABC的面积
．．为
（）
A．30B．48C．20D．24
【答案】D
【解析】
延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE ,因为D 为BC 的中点,所以DC =BD ,
在△ADC 和△EDB 中,
AD ED ADC EDB DC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, 所以△ADC ≌△EDB ,
所以BE =AC =10, ∠CAD ＝∠E ,
又因为AE =2AD =8,AB =6,
所以222AB AE BE =+,
所以∠CAD ＝∠E=90°,
则11114646242222
ABC ABD ADC S S S AD BE AD AC =+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=, 所以故选D.
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD ，以点D 为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB ，AC 于点M ，N ，连接MN ，则△AMN 的周长为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】
延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．证明△BDM ≌△CDE （SAS ），得出MD=ED ，
∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】
延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中，
BM CE
MBD ECD
BD CD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝，
＝
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
MD ED
MDN EDN
DN DN
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝，
＝
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
26．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，
123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三
角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1
,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________
【答案】()8,0-
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.
【详解】
解：设到第n 个三角形顶点的个数为y
则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,
∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,
∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....
∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,
由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,
∴OA 19=9-1=8,
∴19A 的坐标为()8,0-
故答案是()8,0-
【点睛】
本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键
27．如图，△ABC 中，AB =AC =12厘米，BC =9厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以v 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。

若点Q 的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD 与△CQP 全等时，v 的值为_____________
【答案】2.25或3
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，
BP=CP=1
2
BC=
1
2
×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若
△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出
96
3
vt
vt t
⎨
⎩
-
⎧＝
＝
，解得：v=3．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=1
2
BC=
1
2
×9=4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
则有
96
3
vt
vt t
⎨
⎩
-
⎧＝
＝
，
解得：v=3
∴v的值为：2.25或3厘米/秒
故答案为：2.25或3.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则
α＝__________.
【答案】20°或40°
【解析】
【分析】
过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得
∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=1
2
（180°-∠C'PQ）=90°-
1
2
θ，分三种情况讨论，利
用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】
如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，
∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，
∴∠BPQ=1
2
（180°-∠C'PQ）=90°-
1
2
θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，
∴90°-1
2
θ+2×（30°+θ）=180°，
解得θ=20°；
②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，
即90°-1
2
θ=30°+θ，
解得θ=40°；
③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-1
2θ，
又∵∠BQP=30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-1
2
θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），
故答案为：20°或40°．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．
29．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BA C，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．
【答案】8cm.
【解析】
【详解】
解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD 为等边三角形，
∵BE=6cm ，DE=2cm ，
∴DM=4，
∵△BEM 为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN ⊥BC ，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=36°，
∴NM=2，
∴BN=4，
∴BC=8．
30．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.
【答案】1.5
【解析】
【分析】
延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.
【详解】
延长BD 交AC 于点E ，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=900
，
∵CD 平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD
又∵CD=CD
∴△BCD≌△ECD
∴BD=ED,CE=BC=5，
∴AE=AC -CE=8-5=3，
∵A ABD ∠=∠,
∴BE=AE=3，
∴BD=1.5
【点睛】
此题考察等腰三角形的性质，延长BD 构建全等三角形是证明此题的关键.
六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
31．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD ≌△ACD ；②2DE=2DF=AD ；③△ADE ≌△ADF ；④4BE=4CF=AB ．正确的个数是（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 由等边三角形的性质可得BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，利用SAS 可证明△ABD ≌△ACD ，从而可判断①正确；利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ，从而可判断③正确；在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得
2DE=2DF=AD ，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD ，继而可得4BE=4CF=AB ，从而可判断④正确，由此即可得答案.
【详解】
∵等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，
∴BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，
在△ABD 与△ACD 中
90AD AD ADB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△ACD ，故①正确；
在△ADE 与△ADF 中
60EAD FAD AD AD
EDA FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
∴△ADE ≌△ADF ，故③正确； ∵在Rt △ADE 与Rt △ADF 中， ∠EAD=∠FAD=30°，
∴2DE=2DF=AD ，故②正确；
同理2BE=2CF=BD ，
∵AB=2BD ，
∴4BE=4CF=AB ，故④正确，
故选D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
32．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）
A ．90α+
B ．1902α+
C ．180α-
D ．1802α-
【答案】D
【解析】
【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.
【详解】
解：
过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.
此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°
） 所以 x°
=180°-2α 【点睛】
求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.
33．如图钢架中，∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )
A ．15°≤ a <18°
B ．15°< a ≤18°
C ．18°≤ a <22.5°
D ．18° < a ≤ 22.5°
【答案】C
【解析】
【分析】
由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.
【详解】
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴∠P 1P 2A=∠A=a
由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a
同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，
∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，
∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，
在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a
当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，
∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°
又∵等腰三角形底角只能是锐角，
∴4a ＜90°，解得a ＜22.5
∴1822.5οο≤<a
故选C.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.
34．如图，△ABC 是等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR ＝PS ，则下
列结论：①AP⊥BC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL证明Rt△APR≌Rt△APS，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，根据三角形外角的性质得到然后得到
∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确，④由③易证△QPC是等边三角形，得到PQ=PC，等量代换得到BP=PQ，用HL证明Rt△BRP≌Rt△QSP，即可得到④正确．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分线上．
∵AB=AC，∴AP⊥BC，故①正确；
∵PA=PA，PR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正确；
由③得：△PQC是等边三角形，∴△PQS≌△PCS，∴PQ=PC．
又∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=PC，∴BP=PQ．
∵PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP，故④也正确．
∵①②③④都正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：根据题意，
∵△PAB 为等腰三角形，
∴可分为：PA=PB ，PA=AB ，PB=AB 三种情况，如图所示：
∴符合条件的点P 共有4个；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．
36．如图，已知AD 为ABC ∆的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE ∆，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED ∆为等腰三角形；⑤BDE ACE S S ∆∆=，其中正确的有( )
A ．①③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 ①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE ＝∠DAE ，再得到△ADE ≌△BCE ；
②根据①结论可得∠AEC ＝∠DEB ，即可求得∠AED ＝∠BEG ，即可解题；
③证明△AEF ≌△BED 即可；
④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ，故可判断；
⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE ＝EF ，S △AEF ＝S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE ＝S △ACE ，所以S △BDE ＝S △ACE ．
【详解】
①∵AD 为△ABC 的高线，
∴CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴∠ABE ＝∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝45°，AE ＝BE ，
∴∠CBE ＋∠BAD ＝45°，
∴∠DAE ＝∠CBE ，故①正确；
在△DAE 和△CBE 中，
AE BE DAE CBE AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；
②∵△ADE ≌△BCE ，
∴∠EDA ＝∠ECB ，
∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，
∴∠EDC ＋∠ECB ＝90°，
∴∠DEC ＝90°，
∴CE ⊥DE ；
故②正确；
③∵∠BDE ＝∠ADB ＋∠ADE ，∠AFE ＝∠ADC ＋∠ECD ，
∴∠BDE ＝∠AFE ，
∵∠BED ＋∠BEF ＝∠AEF ＋∠BEF ＝90°，
∴∠BED ＝∠AEF ，
在△AEF 和△BED 中，
BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴BD ＝AF
故③正确；
∵△AEF ≌△BED
∴DE=EF, 又DE ⊥CF ，
∴△DEF 为等腰直角三角形，故④错误；
④∵AD ＝BC ，BD ＝AF ，
∴CD ＝DF ，
∵AD ⊥BC ，
∴△FDC 是等腰直角三角形，
∵DE ⊥CE ，
∴EF＝CE，
∴S△AEF＝S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF＝S△BED，
∴S△BDE＝S△ACE．
故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△BFE≌△CDE是解题的关键．
七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
37．已知n16
++是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个() 221
-D．9
A．30 B．32 C．18
【答案】B
【解析】
【分析】
分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【详解】
2n是乘积二倍项时，2n+216+1=216+2×28+1=（28+1）2，
此时n=8+1=9，
216是乘积二倍项时，2n+216+1=2n+2×215+1=（215+1）2，
此时n=2×15=30，
1是乘积二倍项时，2n+216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，
此时n=-18，
综上所述，n可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．
故选B．
【点睛】
本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
38．计算，得（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接提取公因式（-3）m-1，进而分解因式即可．
【详解】
（-3）m+2×（-3）m-1
=（-3）m-1（-3+2）
=-（-3）m-1．
故选C ．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
39．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为144，小正方形的面积为4，若分别用x 、y （x y >）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中错误的是（ ）
A ．22100x y +=
B ．2x y -=
C ．12x y +=
D ．35xy =
【答案】A
【解析】
【分析】 由正方形的面积公式可求x +y =12，x ﹣y =2，可求x =7，y =5，即可求解．
【详解】
由题意可得：（x +y ）2=144，（x ﹣y ）2=4，∴x +y =12，x ﹣y =2，故B 、C 选项不符合题意；∴x =7，y =5，∴xy =35，故D 选项不符合题意；∴x 2+y 2=84≠100，故选项A 符合题意． 故选A ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
40．下列变形，是因式分解的是（ ）
A ．2(1)x x x x -=-
B ．21(1)1x x x x -+=-+
C ．2(1)x x x x -=-
D ．2()22a b c ab ac +=+
【答案】C
【解析】
分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 详解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C 、是符合因式分解的定义，故本选项正确；
D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；。