2018高考浙江版数学一轮复习： 第7章 第2节 课时分层训练37
2018届高考数学一轮复习 第7章 第37课 课时分层训练37
课时分层训练(三十七)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理________．(填序号)①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确．③[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]2．如图37-3，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是________．图37-3144[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]3．某种树的分枝生长规律如图37-4所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________. 【导学号：62172202】图37-455[因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.]4．给出下面几个推理：①由“6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7，…”得到结论：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为180°”得到结论：等腰三角形内角和为180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2＋b2≥2ab(a，b∈R)”推得：sin 2x≤1.其中是演绎推理的序号是________．②④[演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提、小前提和结论，演绎推理是从一般到特殊的推理，根据以上特点，可以判断②④是演绎推理．易得①是归纳推理，③是类比推理．故答案为②④.]5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③由“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；④由“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．以上结论正确的是________．(填序号)①②[因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，所以④错误．] 6．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝a2＋b22(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝__________.a2＋b2＋c22[由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径为a2＋b2＋c22.]7．(2017·徐州模拟)观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．1＋122＋132＋142＋152＋162<116 [左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.]8．给出以下数对序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；…记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝________.(m ，n －m ＋1) [由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm ＝(m ，n －m ＋1)．]9．(2017·泰州模拟)如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为________________．(1) (2)图37-5VO -P 1Q 1R 1VO -P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2[考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1-OR 1Q 1及三棱锥P 2-OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为VO -P 1Q 1R 1VO -P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.] 10．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________. 【导学号：62172203】丙[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]二、解答题11．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．[解]由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的1 4.12．设f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 【导学号：62172204】[解]f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝3 3，f(－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3 ＝(3x 1＋3)＋(3x 2＋3)(3x 1＋3)(3x 2＋3)＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3(3x 1＋3x 2)＋3＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2)＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233(3x 1＋3x 2＋23)＝33. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·南京模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝bn －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.n －m d nc m[设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m， 所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m .]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3 [法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解](1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.4．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．[解] 类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a2(定值)．。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第3讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1.已知{a n｝，｛b n}都是等比数列，那么（）A.{a n＋b n｝，｛a n·b n｝都一定是等比数列B.{a n＋b n｝一定是等比数列，但{a n·b n｝不一定是等比数列C。
｛a n＋b n｝不一定是等比数列，但｛a n·b n}一定是等比数列D。
｛a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列.答案C2。
在等比数列｛a n｝中,如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12,那么这个数列的公比为（）A.2B.错误!C。
2或错误! D.－2或错误!解析设数列｛a n｝的公比为q，由错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,得q＝2或q＝错误!.故选C.答案C3。
（必修5P67A1(2)改编）一个蜂巢里有1只蜜蜂。
第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ）A。
55 986 B。
46 656 C.216 D。
36解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{a n｝的通项公式a n＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.答案B4.（2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列｛a n}满足a1＝3,a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（）A.21 B。
42 C。
63 D。
84解析设等比数列｛a n｝的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4）＝21，解得q2＝－3(舍去）或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5）＝2×21＝42，故选B.答案B5。
2018版高考数学浙江专用文理通用大一轮复习讲义：第七
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ) A.120B.70C.75D.100解析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.答案 C2.(2017·杭州调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A.9B.8C.17D.16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×＝4×(－50)＝－200. 答案 B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5B.6C.7D.16解析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 答案 C5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( ) A.22 016－1B.3·21 008－3 C.3·21 008－1D.3·21 007－2解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B.答案 B 二、填空题6.(2017·嘉兴一中检测)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________.解析 由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .答案 2n ＋1－2－n7.(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析 由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×12＝6.答案 68.(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n－1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n）1－4＝4n －1.答案 4n－1 三、解答题9.(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1qn －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n （1＋2n －1）2＋1－3n1－3＝n 2＋3n－12. 10.(2017·贵阳一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *).(2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( )A.42B.43C.44D.45解析 a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1＝（n ＋1）n －n n ＋1[（n ＋1）n ＋n n ＋1][（n ＋1）n －n n ＋1] ＝n n －n ＋1n ＋1. 所以S n ＝1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫nn－n ＋1n ＋1＝1－n ＋1n ＋1， 因此S 3，S 8，S 15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n 2－1(n ≥2)， 所以n 2－1≤2 016，且n ≥2，所以2≤n ≤44，所以有理项的项数为43. 答案 B12.(2017·济南模拟)在数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }的前12项和等于( ) A.76B.78C.80D.82解析 因为a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，a 3＋a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5＋a 4＝7，a 6－a 5＝9，a 7＋a 6＝11，…，a 11＋a 10＝19，a 12－a 11＝21，所以a 1＋a 3＝2，a 4＋a 2＝8，…，a 12＋a 10＝40，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝(a 1＋a 3)＋(a 5＋a 7)＋(a 9＋a 11)＋(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋(a 10＋a 12)＝3×2＋8＋24＋40＝78. 答案 B13.(2017·台州调研)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 1a 2a 3…a 15＝________；设b n ＝(－1)na n ，数列{b n }前n 项的和为S n ，则S 2 016＝________.解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝1－31＋3＝－12，a 4＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋131－13＝2.∴a 4n ＋1＝2，a 4n ＋2＝－3，a 4n ＋3＝－12，a 4n ＝13.∴a 4n ＋1·a 4n ＋2·a 4n ＋3·a 4n ＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13＝1.∴a 1a 2a 3…a 15＝a 13a 14a 15＝a 1a 2a 3＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3. ∵b n ＝(－1)na n ，∴b 4n ＋1＝－2，b 4n ＋2＝－3，b 4n ＋3＝12，b 4n ＝13.∴b 4n ＋1＋b 4n ＋2＋b 4n ＋3＋b 4n ＝－2－3＋12＋13＝－256.∴S 2 016＝－256×2 0164＝－2 100.答案 3 －2 10014.(2015·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13， 所以a 1a 2＝3.① 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25， 所以a 2a 3＝15.② 解①②得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n， 所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋ (4)－n ·4n ＋1＝4（1－4n）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19.15.(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n . 所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1，当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3，当n ≥3时，T n ＝3＋9（1－3n －2）1－3－（n ＋7）（n －2）2＝3n－n 2－5n ＋112，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第6讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1。
用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立"时,第一步证明中的起始值n0应取（)A。
2 B.3C.5 D。
6解析∵n＝1时，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立；n＝2时，22＝4，2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立;n＝3时，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立。
∴n的第一个取值n0＝3.答案B2。
某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＊）时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立。
现已知n＝5时该命题成立，那么( )A.n＝4时该命题成立B.n＝4时该命题不成立C。
n≥5，n∈N＊时该命题都成立D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错。
答案C3.利用数学归纳法证明不等式“1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〉错误!（n≥2，n∈N*)”的过程中，由“n＝k"变到“n＝k＋1”时，左边增加了（)A.1项B.k项C.2k－1项D.2k项解析左边增加的项为错误!＋错误!＋…＋错误!共2k项，故选D。
答案D4。
对于不等式错误!<n＋1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下：（1)当n＝1时,错误!<1＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N＊）时,不等式错误!〈k＋1成立，当n＝k＋1时，错误!＝错误!<错误!＝错误!＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立,则上述证法( ）A.过程全部正确B。
n＝1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.答案D5。
用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝错误!，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（)A。
k2＋1B。
(k＋1)2C.错误!D。
(k2＋1）＋(k2＋2）＋…＋（k＋1）2解析当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第1讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1。
数列0，1，0，－1,0，1,0，－1,…的一个通项公式是a n等于（) A。
错误!B。
cos 错误!C.cos 错误!πD.cos 错误!π解析令n＝1，2，3，…,逐一验证四个选项,易得D正确。
答案D2。
数列错误!，－错误!，错误!，－错误!，…的第10项是（)A.－错误!B.－错误!C.－错误!D。
－错误!解析所给数列呈现分数形式,且正负相间，求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子。
很容易归纳出数列｛a n｝的通项公式a n＝(－1)n＋1·错误!,故a10＝－错误!.答案C3。
(2017·绍兴一中检测)在数列｛a n}中，已知a1＝1,a n＋1＝2a n＋1，则其通项公式a n＝( )A.2n－1B.2n－1＋1C.2n－1D.2（n－1)解析法一由a n＋1＝2a n＋1，可求a2＝3，a3＝7,a4＝15，…，验证可知a n＝2n－1。
法二由题意知a n＋1＋1＝2（a n＋1)，∴数列｛a n＋1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1.答案A4.数列{a n｝的前n项积为n2,那么当n≥2时,a n等于（）A。
2n－1 B。
n2C.错误!D。
错误!解析设数列｛a n｝的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝错误!＝错误!。
答案D5。
数列{a n｝满足a n＋1＋a n＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝( ) A.7 B。
6 C.5 D.4解析依题意得(a n＋2＋a n＋1)－(a n＋1＋a n)＝－（2n－3)，即a n＋2－a n ＝2，所以a8－a4＝(a8－a6）＋（a6－a4)＝2＋2＝4。
答案D二、填空题6.若数列{a n}满足关系a n＋1＝1＋错误!，a8＝错误!,则a5＝________.解析借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝错误!，a6＝错误!,a5＝错误!.答案错误!7.(2017·绍兴月考）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *),则a 1＝________；a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第七章数列、推理与证明第5讲Word版含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A.lg(1＋a2)>0B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab>2b2D.ab<a＋1 b＋1解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案 B2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案 B3.已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是( )A.a>bB.a<bC.a＝bD.a，b大小不定解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m>m＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m<1m＋m－1，即a<b.答案 B4.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac ＜3a”索的因应是( )A.a－b＞0B.a－c＞0C.(a－b)(a－c)＞0D.(a－b)(a－c)＜0解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a 2＋ac ＋c 2＜0⇐2a 2－ac －c 2＞0⇐(a －c )(2a ＋c )＞0⇐(a －c )(a －b )＞0.答案 C5.①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.答案 D二、填空题 6.6＋7与22＋5的大小关系为________.解析 要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋7>22＋ 5. 答案 6＋7>22＋ 5 7.用反证法证明命题“a ，b ∈R ，ab 可以被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.答案 都不能被5整除8.下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________.解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使b a ＋a b≥2成立.答案 ①③④三、解答题9.若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc 成立.上式两边同时取常用对数，得lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .10.设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.(1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列.(2)解 当q ＝1时，S n ＝na 1，故{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾.综上，当q ＝1时，数列{S n }是等差数列；当q ≠1时，数列{S n }不是等差数列.能力提升题组(建议用时：25分钟) 11.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A.A ≤B ≤CB.A ≤C ≤BC.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A 解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b . 答案 A 12.设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D13.如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________.解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a ) ＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b ).∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0.∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b .答案 a ≥0，b ≥0且a ≠b14.设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy . 证明 由于x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ， 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得－＝－＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1).因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立.15.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈，证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34＜f (x )≤32. 证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ， 由于x ∈，有1－x 41＋x ≤1x ＋1， 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32， 所以f (x )≤32. 由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34， 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924＞34， 所以f (x )＞34. 综上，34＜f (x )≤32.。
2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文
1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念【知识拓展】1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．最优解和可行解的关系：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (2)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (4)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(5)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(6)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6<0，x －y ＋2≥0表示的平面区域是( )答案 C解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为C. 3．(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4. 4．(2017·杭州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥0，若z ＝2x ＋y ，则z 的最大值等于________，z 的最小值等于________． 答案 2 0解析 作出可行域(图略)，由y ＝－2x ＋z ，知当z ＝2x ＋y 经过点(1,0)时，z max ＝2； 当z ＝2x ＋y 经过点(0,0)时，z min ＝0.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题点1 不含参数的平面区域问题例1 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34 答案 (1)C (2)C解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意．(2)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A (0，43)，B (1,1)，C (0,4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C.命题点2 含参数的平面区域问题例2 (1)(2015·重庆)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3B ．1C.43D ．3(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k的值是_________________． 答案 (1)B (2)73解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝(m ＋1)23＝43，∴m ＝1或m ＝－3，当m ＝－3时，不满足题意应舍去， ∴m ＝1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.思维升华 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可． (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(0,3] B ．－1,1] C ．(－∞，3]D ．3，＋∞)(2)已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2 答案 (1)D (2)A解析 (1)直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈3，＋∞)．故选D.(2)由于x ＝1与x ＋y －4＝0不可能垂直，所以只可能x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直或x ＝1与kx －y ＝0垂直．①当x ＋y －4＝0与kx －y ＝0垂直时，k ＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求． ②当x ＝1与kx －y ＝0垂直时，k ＝0，检验不符合要求． 题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例3 (1)(2016·全国丙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．(2)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A ．53，5]B ．0,5]C ．0,5)D ．53，5)答案 (1)32(2)C解析 (1)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，则y ＝－x ＋z 过点C ⎝⎛⎭⎫1，12时Z 取得最大值32. (2)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，∴B (13，23)．令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x－u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B (13，23)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53. ∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈0,5)．命题点2 求非线性目标函数的最值 例4 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 解 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1,2)， ∴k OB ＝21＝2，即z min ＝2，∴z 的取值范围是2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0,1)， ∴OA 2＝(02＋12)2＝1，∴z max ＝5，OB 2＝(12＋22)2＝5， ∴z 的取值范围是1,5]． 引申探究1．若z ＝y －1x －1，求z 的取值范围．解 z ＝y －1x －1可以看作过点P (1,1)及(x ，y )两点的直线的斜率．∴z 的取值范围是(－∞，0]．2．若z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3.求z 的最大值、最小值． 解 z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1,1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，(PQ )2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，(PQ )2min ＝(|1－1＋1|12＋(－1)2)2＝12，∴z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.命题点3 求参数值或取值范围例5 (1)(2015·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1)B (2)12解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)． 由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ， ∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.思维升华 (1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离，(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离； ②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． (3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．(1)(2016·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C.32D ．3(2)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)A (2)1，32]解析 (1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.(2)画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1，32]．题型三 线性规划的实际应用问题例6 (2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2100x ＋900y . 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多的)量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．(2016·杭州质检)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a <7，a ，b ∈N ，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x 等于( )A ．10B ．12C ．13D ．16 答案 C解析 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x max ＝a ＋b ＝13.．含参数的线性规划问题典例 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.错解展示解析 (1)如图，直线y ＝k (x －1)－1过点(1，－1)，作出直线y ＝2x ，当k <－1或0<k <2或k >2时，不等式组表示一个三角形区域． (2)由不等式组表示的可行域，可知z ＝ax ＋y 在点A (1,1)处取到最大值4， ∴a ＋1＝4，∴a ＝3.答案 (1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞) (2)3 现场纠错解析 (1)直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得A (1,1)． z ＝ax ＋y 等价于y ＝－ax ＋z ， 因为z 的最大值为4，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距最大为4. 若z ＝ax ＋y 在A (1,1)处取得最大值， 则纵截距必小于2，故只有直线y ＝－ax ＋z 过点(2,0)且－a <0时符合题意， ∴4＝a ×2＋0，即a ＝2. 答案 (1)(－∞，－1) (2)2纠错心得 (1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答． (2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案 B解析 由3×(－3)－2×(－1)－a ]·3×4－2×(－6)－a ]<0， 得(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24.2．(2016·诸暨高三期末)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．2B ．1C.255 D.45答案 A解析 可行域表示的是以(0,0)，(1,0)，(0,2)为顶点的三角形区域(含边界).x 2＋y 2表示可行域内一点(x ，y )到原点的距离，易知(0,2)到原点的最大距离为2，故选A. 3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.4．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则AB 等于( )A ．22B ．4C ．32D ．6 答案 C解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成线段AB ，则AB ＝PQ .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0，解得Q (2，－2)． 所以AB ＝PQ ＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.5．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17 答案 B解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.6．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1800元 B ．2400元 C ．2800元 D ．3100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶， 则根据题意得x 、y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元， 则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2800(元)．故选C.7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 8．(2016·枣庄模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4x ＋3y ≤4，y ≥0，则ω＝y ＋1x的最小值是( ) A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域如图，ω＝y ＋1x的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定点A (0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点D (1,0)时，直线AP 的斜率最小，此时ω＝y ＋1x 的最小值为－1－00－1＝1.故选D.9．若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的平面区域的面积为______． 答案 12或14解析 直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.11．(2017·宜春中学、新余一中联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________． 答案 3,11]解析 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2(y ＋1)x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z ′∈k DA ，k DB ]，即z ′∈1,5]，∴z ＝1＋2·z ′∈3,11]．*12.(2016·嘉兴期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤4，x ≥1表示的平面区域为M ，点P (x ，y )是平面区域内的动点，则z ＝2x －y 的最大值是________，若直线l ：y ＝k (x ＋2)上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是________． 答案 2 13，1]解析 不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形，当z ＝2x －y 经过点(2,2)时取得最大值2.又k ＝y x ＋2经过点(1,1)时取得最小值13，经过点(1,3)时取得最大值1，所以k 的取值范围是13，1]．13.已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解 (1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0. 原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有4×(－1)－3×(－6)－a ]4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18,14)．14．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1600x ＋2400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上的截距z 2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．。
2018版高考数学(浙江文理通用)大一轮复习讲义课件第七章不等式7.4
思维升华
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形， 然后利用基本不等式求解. (2) 条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式 求解. (3) 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立 条件，从而得参数的值或范围.
知识拓展
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D f(x)min>A(x∈D) ； 上恒成立⇔______________ 若 f(x) 在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立 ⇔ f(x)max<B(x∈D).
a＋b2 a ＋b (4) ≥________ 2 (a，b∈R).
2 2
a＋b2 (3)ab≤_______ 2 (a，b∈R).
2 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3.算术平均数与几何平均数
a＋b ab ， 2 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为_______ ，几何平均数为 _____
§7.4 基本不等式及其应用
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时训练
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
a＋b 1.基本不等式 ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥
b a 2ab (a，b∈R). (2) ＋ ≥ 2 (a，b 同号). a b
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文
1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 【知识拓展】|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．(×)(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．(×)(3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.(√)(4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.(√)(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|成立．(×)1．(2015·山东)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是()A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)答案 A解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．2．不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－∞，－1) D．(－∞，0)答案 B解析根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于|P A|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是()A．2,4] B．1,2]C．－2,4] D．－4，－2]答案 C解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解， 可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3， ∴－2≤a ≤4.4．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．答案 －1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为－1，12]．题型一 绝对值不等式的解法例1 (2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象可知，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.思维升华 解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．(2)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.答案 (1){x |x ≤－3或x ≥2} (2)1解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． (2)∵32∈A ，且12∉A ，∴|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32， 又∵a ∈N *，∴a ＝1.题型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4(2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 答案 (1)C (2)5 解析 (1)∵x ，y ∈R ， ∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法．(1)关于x 的不等式|2014－x |＋|2015－x |≤d 有解时，d 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1x |≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (1)1，＋∞) (2)1,3]解析 (1)∵|2014－x |＋|2015－x |≥|2014－x －2015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2014－x |＋|2015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞)，∴|x ＋1x |∈2，＋∞)，其最小值为2.又∵sin y 的最大值为1，故不等式|x ＋1x |≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈1,3]． 题型三 绝对值不等式的综合应用命题点1 绝对值不等式和函数的综合例3 (2016·桐乡一模)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c ∈R ，定义域为－1,1]， (1)当a ＝1，|f (x )|≤1时，求证：|1＋c |≤1；(2)当b >2a >0时，是否存在x ∈－1,1]，使得|f (x )|≥b? (1)证明 ∵|f (－1)|＝|1－b ＋c |≤1， |f (1)|＝|1＋b ＋c |≤1，∵|1－b ＋c ＋1＋b ＋c |≤|1－b ＋c |＋|1＋b ＋c |≤2， ∴|2＋2c |≤2，∴|1＋c |≤1. (2)解 由b >2a >0，得－b2a <－1，则f (x )在－1,1]上递增， ∴f (x )∈a －b ＋c ，a ＋b ＋c ]． ①当a ＋c >0时，a ＋b ＋c >b >0，此时有|f (1)|≥b ，即存在x ＝1，使得|f (x )|≥b 成立． ②当a ＋c <0时，a －b ＋c <－b <0，此时有|f (－1)|≥b ，即存在x ＝－1使得|f (x )|≥b 成立． ③当a ＋c ＝0时，f (x )∈－b ，b ]，存在x 使得|f (x )|≥b 成立． 综上，存在x ＝±1使得|f (x )|≥b 成立．思维升华 (1)恒成立问题可转化为函数的最值问题；(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决． 命题点2 绝对值不等式和数列的综合例4 (2016·浙江样卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *)． (1)证明：数列{|a n －12|}为单调递减数列；(2)记S n 为数列{|a n ＋1－a n |}的前n 项和，证明：S n <53(n ∈N *)．证明 (1)由题意知a n >0，故|a n ＋1－12||a n －12|＝|12a n＋1－12||a n －12|＝12a n ＋1<1，∴数列{|a n －12|}为单调递减数列．(2)∵a 1＝1，a 2＝13，∴当n ≥3时，|a n －12|<16，得13<a n <23，故a n ≥13(n ∈N *)．∴|a n ＋1－12||a n －12|＝12a n ＋1≤35.∴|a n ＋1－a n |＝|a n ＋1－12＋12－a n |≤|a n ＋1－12|＋|a n －12|，∴S n ＝|a 2－a 1|＋|a 3－a 2|＋…＋|a n ＋1－a n |≤|a 1－12|＋|a 2－12|＋…＋|a n －12|＋|a 2－12|＋|a 3－12|＋…＋|a n ＋1－12|≤12[1－(35)n ]1－35＋16[1－(35)n ]1－35<121－35＋161－35＝54＋512＝53.思维升华 (1)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩．(2)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含1,2]，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以当a ＝－3时，f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为－3,0]．6．绝对值不等式的解法典例 不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3的解集为_____________________．思想方法指导 对|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的解法，一般可采用三种方法求解：几何法、分区间讨论法和图象法．解析 方法一 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得x ≤－32；当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3，不成立，无解； 当x ≥1时，原不等式可以化为 x ＋1＋x －1≥3，所以x ≥32.综上，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 方法二 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 方法三 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离之和为2，因此区间－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离之和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1，到A ，B 两点的距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3，得x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3. ∴原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 B解析 |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 A解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4， ∴3x 2<3，∴－1<x <1.方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－(x －2)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2，2x －1＋(x －2)<0或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－(2x －1)＋(x －2)<0.不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12.综上可得－1<x <1，∴原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 3．函数y ＝|x －1|＋|x ＋3|的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 y ＝|x －1|＋|x ＋3|＝|1－x |＋|x ＋3|≥|1－x ＋x ＋3|＝4， 当且仅当(1－x )(x ＋3)≥0，即－3≤x ≤1时取“＝”． ∴当－3≤x ≤1时，函数y ＝|x －1|＋|x ＋3|取得最小值4. 4．在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1 (x ∈R )的解集是( ) A ．(0,4) B ．0,2] C ．0,4] D ．(－2,2)答案 C解析 由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x －2|－1≤1， 即0≤|x －2|≤2，∴－2≤x －2≤2，∴0≤x ≤4.5．若不存在实数x 使|x －3|＋|x －1|≤a 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞)答案 B 解析 |x －3|＋|x －1|的几何意义为数轴上表示x 的点到表示3和1的点的距离之和，所以函数y ＝|x －3|＋|x －1|的最小值为2，实数a 的取值范围是(－∞，2)．6．(2016·杭州质检)不等式|x －1|＋|x －2|≤5的解集为________．答案 －1,4]解析 |x －1|＋|x －2|表示数轴上的点到点1和点2的距离之和．如图，点A 和点B 之间的点到点1和点2的距离之和都小于5.∴原不等式的解集为－1,4]．7．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，对f (－2)＝________；若f (x )≤5，则x 的取值范围是__________． 答案 6 －1,1]解析 f (－2)＝|2×(－2)－1|－2＋3＝6；f (x )≤5⇒|2x －1|＋x ＋3≤5⇒|2x －1|≤2－x ⇒x －2≤2x －1≤2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥x －2，2x －1≤2－x ⇒－1≤x ≤1. 8．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.9．已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于数轴上的点到点3和点4的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4.10．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________． 答案 (5,7)解析 由|3x －b |＜4，得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3， ∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⎩⎨⎧ 0≤－4＋b 3＜1，3＜4＋b 3≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7.11．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅；当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2.综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}．(2)由绝对值不等式的性质可得||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5，则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5.若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5，解得－1≤a ≤9.所以a 的取值范围是－1,9]． 12．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2， 解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1， 所以12≤x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.13．设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.(1)求f (x )≤x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，求x 的取值范围． 解 (1)由f (x )≤x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x ≤－1，1－x －x －1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，－1<x <1，1－x ＋x ＋1≤x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x ≥1，x －1＋x ＋1≤x ＋2，解得0≤x ≤2，∴f (x )≤x ＋2的解集为{x |0≤x ≤2}．(2)∵⎪⎪⎪⎪|a ＋1|－|2a －1||a | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪1＋1a＋2－1a ＝3 (当且仅当⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫2－1a ≤0时，取等号)， ∴由不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，可得|x －1|＋|x ＋1|≥3， 解不等式，得x ≤－32或x ≥32.。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第七章数列、推理与证明第4讲含答案
基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1。
等差数列｛a n｝的通项公式为a n＝2n＋1,其前n项和为S n，则数列错误!的前10项的和为（）A.120 B。
70 C.75 D.100解析因为错误!＝n＋2，所以错误!的前10项和为10×3＋错误!＝75.答案C2.（2017·杭州调研)数列{a n}的前n项和为S n,已知S n＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n,则S17＝（)A.9B.8C.17 D。
16解析S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋（－2＋3)＋（－4＋5）＋（－6＋7）＋…＋（－14＋15）＋（－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9。
答案A3。
数列{a n｝的通项公式为a n＝(－1）n－1·（4n－3)，则它的前100项之和S100等于( ）A。
200 B。
－200 C。
400 D。
－400解析S100＝(4×1－3)－（4×2－3)＋（4×3－3)－…－(4×100－3）＝4×＝4×（－50）＝－200.答案B4.(2017·高安中学模拟）已知数列5，6，1，－5,…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于（)A。
5 B。
6 C。
7 D。
16解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6,1，－5，－6,－1，5，6,发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列,且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋（－6）＋（－1）＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7。
故选C.答案C5。
已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N＊)，则S2 016＝( ）A.22 016－1 B.3·21 008－3C.3·21 008－1 D。
(浙江专版)2018高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示课时分层训练
课时分层训练(三) 函数及其表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝x2，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－xC[在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．]2．(2017·浙江名校联考)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( )A B C DB[A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应．故选B.]3．(2017·宁波市质检)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( ) A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－1A[设f(x)＝kx＋b，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b ＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f(x)＝x＋1.故选A.] 4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) 【导学号：51062015】A．y＝x B．y＝lg xC．y＝2x D．y＝1 xD[函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．(2017·温州二次质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.【导学号：51062016】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧fa ＜0，f2a ＋f a或⎩⎪⎨⎪⎧f a，－f2a ，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：51062017】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，4分即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.15分10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________.【导学号：51062018】⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.]3．根据如图211所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．图211[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；3分当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；8分当1≤x ＜2时，f (x )＝1.10分所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.15分。
2018高考一轮数学浙江专版练习第2章 第7节 函数的图象 含答案 精品
第七节 函数的图象1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象．(3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象y ＝f (ax )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻转变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象―――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )① ② ③ ④图2-7-1A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④B [设甲骑车速度为V 甲骑，甲跑步速度为V 甲跑，乙骑车速度为V 乙骑，乙跑步速度为V 乙跑，依题意V 甲骑＞V 乙骑＞V 乙跑＞V 甲跑，故选B.]3．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.]4．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )D [∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，故选D.]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062049】(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．](1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象中x ≥0的部分，再作出y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.3分① ②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.7分(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.11分③ ④(4)∵y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.15分[规律方法] 画函数图象的一般方法(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． [变式训练1] 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.[解] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎨⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.8分(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.15分)(1)函数(2)如图2-7-2，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P 沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()图2-7-2A B C D(1)D(2)B[(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－e x，则g′(x)＝4x－e x.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时， 在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ， 在Rt △P AB 中，|P A |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|P A |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ；当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.][规律方法] 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[变式训练2] (1)已知函数f (x )的图象如图2-7-3所示，则f (x )的解析式可以是( )图2-7-3A ．f (x )＝ln|x |x B ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x(2)(2017·绍兴二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图2-7-4所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )图2-7-4(1)A (2)C [(1)由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(2)由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2πb ＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C.]☞角度1 研究函数的性质已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]☞角度2 确定函数零点的个数已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________. 【导学号：51062050】5 [方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.] ☞角度3 求参数的值或取值范围(2017·浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx －1，x ＞0，－ln (－x )，x ＜0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，＋∞)B [根据题意可知，“伙伴点组”的点满足： 都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可．当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，即km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0,1)时两函数图象有两个交点．故选B.] ☞角度4 求不等式的解集函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图2-7-5所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集为________．图2-7-5⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图象知在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2上f (x )cos x ＜0，因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以f (x )cos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.] [规律方法] 函数图象应用的常见题型与求解方法(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．[思想与方法]1．识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．2．用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．[易错与防范]1．图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错．2．明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．课时分层训练(九) 函数的图象A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 的图象上所有的点( ) 【导学号：51062051】A ．向右平行移动2个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动2个单位长度D ．向左平行移动1个单位长度B [因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象，故B 正确．]2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )A B C DC [出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.]3．(2017·浙江嘉兴第一中学能力测试)若函数y ＝a x －b 的图象如图2-7-6所示，则( )图2-7-6A ．a >1，b >1B ．a >1,0<b <1C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1D [由题图易知0<a <1，b >0，而函数y ＝a x －b 的图象是由函数y ＝a x 的图象向下平移b 个单位得到的，且函数y ＝a x 的图象恒过点(0,1)，所以由题图可知0<b <1，故选D.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0,1]D [作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示：由图可知k ∈(0,1]，故选D.]5．(2017·宁波市镇海中学模拟)若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)<0的解集是( )A ．(－1,0)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(1,2)D ．(0,2)D [由{ x ≥0，f (x )<0，得0≤x <1.由f (x )为偶函数．结合图象(略)知f (x )<0的解集为－1<x <1.所以f (x －1)<0⇔－1<x －1<1，即0<x <2.]二、填空题6．已知函数f (x )的图象如图2-7-7所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________. 【导学号：51062052】图2-7-7(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．如图2-7-8，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图2-7-8f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，f(1,4)(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时， 设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，＝1，∴y ＝x ＋1. 当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，f(1,4)(x －2)2－1，x ＞0.] 8．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) [由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，因此f (x )＝f (x＋2)，函数f (x )是周期为2的周期函数．函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a >1，则h (5)＝log a 5<1，即a >5.若0<a <1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤15.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，－3，x ∈(2，5].(1)在如图2-7-9所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；图2-7-9(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． [解] (1)函数f (x )的图象如图所示．6分(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5].10分(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.15分 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.【导学号：51062053】[解] (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，x 2＋4x －3，1＜x ＜3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3]，(1,2]，(3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3]是减区间；[1,2]，[3，＋∞)是增区间.10分(3)由f (x )的图象知，当0＜m ＜1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0＜m ＜1}.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1m x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，og 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ [对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立， 即f (x )max ≤|k －1|.因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，og 13x ，x ＞1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14， 所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.]3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围.【导学号：51062054】[解] (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x＋2，4分∴y＝x＋1x，即f(x)＝x＋1x.7分(2)由题意g(x)＝x＋a＋1 x，且g(x)＝x＋a＋1x≥6，x∈(0,2].10分∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1.12分令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7，故a的取值范围为[7，＋∞).15分。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义第七章数列、推理与证明第3讲Word版含答案
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B.{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C.{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D.{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2B.12C.2或12D.－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1（1＋q 3）a 1（q ＋q 2）＝1＋q 3q ＋q 2＝（1＋q ）（1－q ＋q 2）q （1＋q ）＝1－q ＋q2q＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C3.(必修5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( ) A.55 986B.46 656C.216D.36解析 设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为a n ，根据题意得数列{a n }成等比数列，a 1＝6，q ＝6，所以{a n }的通项公式a n ＝6×6n －1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a 6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B. 答案 B4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21B.42C.63D.84解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150 B.－200 C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A.答案 A 二、填空题6.(2017·乐清市模拟)在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________.解析 两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3.即q ＝3. 答案 37.(2017·宁波调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 3＝________；通项公式a n ＝________.解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n(n ∈N *)，∴a 2＝a 1＋2＝3，a 3＝a 2＋22＝3＋4＝7.n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－12－1＝2n－1(n ＝1时也成立)，∴a n ＝2n－1. 答案 7 2n－18.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________. 解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1（1－q 4）1－q ＝3a 1（1－q 2）1－q，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.答案 8 三、解答题9.在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.10.(2017·宁波十校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A.12B.13C.14D.15解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 答案 C12.(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n－1) C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2017·沈阳模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________. 解析 当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3，当且仅当a 1＝a 3＝1时等号成立.当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1，当且仅当a 1＝a 3＝－1时等号成立.所以，S 3的取值范围是(－∞，－1]∪∪[3，＋∞)14.(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.15.(2017·绍兴模拟)已知正项数列{a n }的奇数项a 1，a 3，a 5，…a 2k －1，…构成首项a 1＝1的等差数列，偶数项构成公比q ＝2的等比数列，且a 1，a 2，a 3成等比数列，a 4，a 5，a 7成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n ＋1a 2n，T n ＝b 1b 2…b n ，求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有T k ≥T n . 解 (1)由题意：⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 1a 3，2a 5＝a 4＋a 7，设a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…的公差为d ，则a 3＝1＋d ，a 5＝1＋2d ，a 7＝1＋3d ，a 4＝2a 2，代入⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝1（1＋d ），1＋d ＝2a 2，又a 2>0，故解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，d ＝3.故数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数，(2)b n ＝3n ＋12n ，显然b n >0，∵b n ＋1b n ＝3n ＋42n ＋13n ＋12n ＝3n ＋46n ＋2<1， ∴{b n }单调递减，又b 1＝2，b 2＝74，b 3＝108，b 4＝136，∴b 1>b 2>b 3>1>b 4>b 5>…，∴k ＝3时，对任意n ∈N *，均有T 3≥T n .。
浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第7章 第1讲数列的概念及简单表示法含解析
第1讲 数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知 识 梳 理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(2017·浙江五校联考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1 B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sinn π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C.答案 C3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15B.16C.49D.64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A4.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1).(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)5.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －46.(2017·金华调考)在数列{x n }中，x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，则数列{x n }的第2项是________，所有项和T ＝________. 解析 ∵x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，∴x 2＝log 2(x 1－2)＝log 28＝3，x 3＝log 2(x 2－2)＝log 21＝0. 数列{x n }所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 13考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n＝2n（2n－1）（2n＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n＝n2 2.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n＝59(10n－1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A.a n＝n－1n＋2(n∈N*) B.a n＝n－12n＋1(n∈N*)C.a n＝2（n－1）2n－1(n∈N*) D.a n＝2n2n＋1(n∈N*)(2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n＝________.解析(1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可.(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n＝(－1)n1n（n＋1）.答案(1)C (2)(－1)n1n（n＋1）考点二由S n与a n的关系求a n(易错警示)【例2】 (1)若数列{a n}的前n项和S n＝3n2－2n＋1，则数列{a n}的通项公式a n ＝________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2. 又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2(2)(－2)n －1规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形. 【训练2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案 (1)－2n －1(2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2考点三 由数列的递推关系求通项公式 【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________.解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n －1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n.(3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列.∴b n＝4·2n－1＝2n＋1，∴a n＝2n＋1－3.答案(1)n（n＋1）2＋1 (2)1n(3)2n＋1－3规律方法(1)形如a n＋1＝a n＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如a n＋1＝a n·f(n)的递推关系式可化为an＋1an＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用a n＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1代入求出通项.(3)形如a n＋1＝pa n＋q的递推关系式可以化为(a n＋1＋x)＝p(a n＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.【训练3】 (1)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a n＋2＋2a n＝3a n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝________.(2)在数列{a n}中，a1＝3，a n＋1＝a n＋1n（n＋1），则通项公式a n＝________.解析(1)由a n＋2＋2a n－3a n＋1＝0，得a n＋2－a n＋1＝2(a n＋1－a n)，∴数列{a n＋1－a n}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1－a n＝3×2n －1，∴n≥2时，a n－a n－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴a n＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足).(2)原递推公式可化为a n＋1＝a n＋1n－1n＋1，则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a 4＝a3＋13－14，…，a n－1＝a n－2＋1n－2－1n－1，a n ＝a n－1＋1n－1－1n，逐项相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n.答案 (1)3×2n －1－2 (2)4－1n[思想方法]1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. [易错防范]1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cosn ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D2.数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A.－1617B.－1819C.－2021D.－2223解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.答案 C3.(2017·绍兴一中检测)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A.2n －1 B.2n －1＋1 C.2n －1D.2(n －1)解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 A4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C.（n ＋1）2n2D.n 2（n －1）2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7B.6C.5D.4解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D二、填空题6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝________.解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 答案857.(2017·绍兴月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a 1＝________；a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 4 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28.(2017·嘉兴七校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________.解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 1 三、解答题9.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍). ∴从第7项起各项都是正数.10.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式.解(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有a n＝S n－S n－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得a n＝n＋1n－1an－1.于是a1＝1，a 2＝31a1，a 3＝42a2，……a n－1＝nn－2an－2，a n ＝n＋1n－1an－1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得a n＝n（n＋1）2.显然，当n＝1时也满足上式.综上可知，{a n}的通项公式a n＝n（n＋1）2. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163B.133C.4D.0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 D12.(2017·石家庄质检)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________.解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝－1. 答案 －113.(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”.不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件：①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列； ②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”. 下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和S n ＝n3(n 2－1)；②数列1，2，3，4，5； ③1，2，3， (11)具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________. 解析 对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2－n ，∴a i ＋i ＝i 2(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”.答案①②14.(2017·瑞安市模拟)已知数列{a n}中，a n＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R且a≠0).(1)若a＝－7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围.解(1)∵a n＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴a n＝1＋12n－9(n∈N*).结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞a n>1(n∈N*).∴数列{a n}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)a n＝1＋1a＋2（n－1）＝1＋12n－2－a2，已知对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，可知5<2－a2<6，即－10<a<－8.即a的取值范围是(－10，－8).15.已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)设c n＝a2n·b n，证明：当且仅当n≥3时，c n＋1＜c n.(1)解当n＝1时，a1＝S1＝4.对于n≥2，有a n＝S n－S n－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.又当n＝1时，a1＝4适合上式，故{a n}的通项公式a n＝4n.将n＝1代入T n＝2－b n，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.(求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为12的等比数列，故b n ＝21－n . (求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)， 2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n . 又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n .(2)证明 (法一)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n， 得c n ＋1c n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43＜2，即c n ＋1＜c n .(法二)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n，得 c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]. 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n ＜0，即c n ＋1＜c n .。
2018高考一轮数学浙江专版练习第7章 第2节 课时分层训
课时分层训练(三十七)空间几何体的表面积与体积A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π(2)2×22＝423π.]2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为() 【导学号：51062223】A.32π3B．4πC．2π D.4π3D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π3R3＝4π3.]3．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()【导学号：51062224】图7-2-8A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD ．1＋26πC [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )图7-2-9A ．2 B.92 C.32 D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12×(1＋2)×2＝3，∴V＝13x·3＝3，解得x＝3.]5．(2017·浙江名校联考)一个四面体的三视图如图7-2-10所示，则该四面体的表面积是()【导学号：51062224】图7-2-10A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2B[四面体的直观图如图所示．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是2的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝2，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，则SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝2，故△SAB与△SBC均是边长为2的正三角形，故该四面体的表面积为2×1 2×2×2＋2×34×(2)2＝2＋ 3.]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．7[设新的底面半径为r，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r2×4＋π×r2×8，∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7-2-11所示，则该几何体的体积为________．图7-2-11136π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.]三、解答题9．如图7-2-12，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，求三棱锥D -ABC 的体积的最大值. 【导学号：51062225】图7-2-12[解] 由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，∵棱AD 与棱BC 相互垂直，设d 为AD 到BC 的距离，4分则V D -ABC＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ， 当d 最大时，V D -ABC 体积最大.8分∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时， d 有最大值42－1＝15. 此时V ＝215.15分10．四面体ABCD 及其三视图如图7-2-13所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图7-2-13① 图7-2-13②(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．[解] (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，4分∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.6分(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，10分∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图7-2-14所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )图7-2-14A ．1B ．2C ．4D ．8B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.]2．(2017·浙江高考冲刺卷(二))一个空间几何体的三视图如图7-2-15所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．图7-2-157π ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋33π [该几何体是由底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为3的圆锥组成的．其表面积为S ＝π×12＋2π×2＋π×22×12＝7π.其体积为V ＝π×12×2＋13π×12×3＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋33π.]3.如图7-2-16，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .图7-2-16(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积. 【导学号：51062226】[解] (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD .因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .4分 因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点.6分 (2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影.8分理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC .又P A ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .10分由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE＝13PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝13×12×2×2×2＝43.15分。
第07章 测试题-2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版
第七章 测试题班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【2017山东，文1】设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则MN =A.()1,1-B. ()1,2-C. ()0,2D. ()1,2 【答案】C 【解析】2．【2017届浙江台州中学高三10月月考】已知:|2|3p x ->，:5q x >，则p ⌝是q ⌝成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A.3．若,,a b c R ∈，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则a c b c ->- B. 若a b >，则11a b< C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则22ac bc >【答案】A【解析】当0a b >>时，B 不正确，当0a b >>时，C 不正确，当0c =时，D 不正确，由不等式的性质一知A 正确，故选A ．4．【2018河南南阳第一中学模拟】若实数x ， y 满足221x y xy ++=，则x y +的范围是（ ）A. ⎫+∞⎪⎭ B. [)6,+∞ C. ⎡⎢⎣ D. 3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】22222211122x y x y x y xy xy x y xy x y ++⎛⎫⎛⎫++=⇔=+-≤∴+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（），，（），令x +y=t，则2244t t t -≤≤≤，即x y ≤+≤∴x +y 的取值范围是⎡⎢⎣.本题选择C 选项.5．已知实数 ,x y 满足{(0)x y ax y a a y a+≥-≤>≤，若22z x y =+的最小值为 2，则a的值为（ ） A.B. 2C.D. 4【答案】B6．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若,a b R ∈，使4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +≥B. 4a ≥C. 2a ≥且2b ≥D. 4b <-【解析】A 中2+24≥，不满足4a b +> ；C 中2222≥≥，，不满足4a b +> ；B 中440a b =≥=，，不满足4a b +> ；D 中由4b <-可得4a b +>，但由4a b +>得不到4b <-，如1,5a b ==．选D.7．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <- B ．2a >- C ．6a >- D ．6a <- 【答案】A8．【2018湖北武汉高三起点调研】某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ） A. 1800元 B. 2100元 C. 2400元 D. 2700元 【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x 桶， y 桶，利润为z 元，则根据题意可得2212{212 ,0,,x y x y x y x y N+≤+≤≥∈ ， 300400z x y =+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y +=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y ==，此时z 最大2400z =，故选C.9．【2018湖北部分重点中学联考】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cosB 的最小值为 （ ）A.12 B. 2C. 34D. 2 【答案】A【解析】2222b a c =+， 2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥= ,当且仅当a c b ==时取等号，因此选A.10．【2018湖南永州第一次模拟】《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形： AB 是半圆O 的直径，点D在半圆周上， CD AB ⊥于点C ，设A C a =， BC b =，直接通过比较线段OD 与线段CD的长度可以完成的“无字证明”为（ ）A.(0,0)b m b b a m a m a +>>>>+)(0,0)a b a b ≥+>>C.20,0)ab a b a b ≤>>+ D. 0,0)2a ba b +≥>> 【答案】D11. 【2018江西南昌三中模拟】在ABC 中，点O 是BC 的三等分点（靠近点B ），过点O 的直线分别交直线AB ， AC 于不同两点M N ，，若A B m A M =， AC nAN =，,m n 均为正数，则11m n+的最小值为（ ）A. 2B. 1+C. 1D. 1+ 【答案】C【解析】由题意作出图形如下：易知()11212333333m n AO AB BC AB AC AB AB AC AM AN =+=+-=+=+ 由于M 、O 、N 三点共线，可知2133m n+=，所以1111221113333m n n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选C12．【2018江西南昌三中模拟】已知函数()12log f x x =，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A. [2，＋∞)B. (2，＋∞)C. [4，＋∞)D. (4，＋∞) 【答案】D∵m ＜n ，且f （m ）=f （n ），由图象可知，0＜m ＜1＜n ， ∴| 12log m |=| 12log n |，即1112221log log log m n n=-= ， ∴m=1n ，∴m +3n=1n+3n ， 令g （n ）=1n +3n （n ＞1），则g'（n ）=﹣21n+3＞0，∴g （n ）在（1，+∞）上递增，∴g （n ）＞g （1）=4，即m +3n 的取值范围是（4，+∞）， 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是 ． 【答案】【解析】用数学归纳法证明（）时，第一步应验证的不等式是.14．【2018山西45校第一次联考】设表示不超过的最大整数，如，，则方程的解集为__________．【答案】[)[)1,02,3-⋃ 【解析】[][][]2201x x x --=⇔=-或[]210x x =⇔-≤<或23x ≤<，故答案为[)[)1,02,3-⋃. 15. 若关于x 的不等式(),ax b a b R x+≤∈的解集为{|012}x x x <≤≤或，则b a 的值为__________． 【答案】816．【2018江苏南京市溧水高级中学模拟】以C 为钝角的ABC ∆中，3,12BC BA BC =⋅=，当角A 最大时， ABC ∆面积为________．【答案】3 【解析】过A 作AD BC⊥，垂足为D ，则cos 312BA BC BA BC B BD BC BD ⋅==⋅==， 4BD ∴=，又3,1BC CD =∴=，设()0AD y y =>，则4133tan 4441y yBAC y y y-∠==≤++，当且仅当4y y =，即2y =时取“=”，由正切函数的单调性可知此时BAC ∠也最大，综上所述， ABC ∆的面积为13232⨯⨯=，故答案为3.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．若函数()log (4)(0,1)a af x x a a x=+->≠且的值域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】(](0,1)1,418．（I ）已知集合{}{}2|60,|04,A x x x B x x a =-->=<+<若AB =∅，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若不等式210-+>mx mx ，对任意实数x 都成立，求m 的取值范围. 【答案】（I ）1≤a ≤2；（II ）{}04≤<m m .【解析】(I) A={x|x<－2或x>3}，B={x|－a<x<4－a}∵A ∩B=φ， ∴ 243a a -≥-⎧⎨-≤⎩ ∴ 1≤a ≤2(Ⅱ)当010时，=>m ，不等式成立，∴ 0=m 当0≠m 时,则有2000()40即>>⎧⎧⎨⎨∆<∆=--<⎩⎩m m m m ⇒04<<m ∴m 的取值范围{}04≤<m m19．已知函数()2(0)f x kx k =+≠的图象分别与x 轴、y 轴交于,A B 两点，且)2,1(=AB ，函数2()6g x x x =--，当x 满足不等式4)()(+≥x g x f ，时，求函数()1()2g x y f x +=+的值域.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈127,23y 【解析】22(,0),(0,2)(,2)A B AB k k-⇒=,又)2,1(=AB ,所以K=2，又4)()(+≥x g x f ，可得[]4,1-∈x ,4252+--=x x x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++521)2(21x x 因为[]6,12∈+x ，所以函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈127,23y20．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值． 【答案】（1）3B π=．（2）3．（2）设AC 边上的中点为E ，由余弦定理得：4)(22222AC BC AB BE -+=422ac c a ++=34)2(164164)(22=+-≥-=-+=c a acac c a ， 当c a =时取到”＝”所以AC 边上中线长的最小值为3． 21.已知,m n R ∈， 2()f x x mnx =-．（1）当1n =时，①解关于x 的不等式2()2f x m >；②若关于x 的不等式()40f x +>在[1,3]x ∈上有解，求m 的取值范围； （2）若0,0,1m n m n >>+=且，证明不等式11()()7f f m n+≥．【答案】（1）①当0m >时，{}|2,0x x m x m m ><-=或时，{}|0x x ≠，0m <时，{}|2x x m x m >-<或；②)(5,∞-（2）见解析.【解析】（1）①不等式2()2f x m >代入整理为()()222020x mx m x m x m -->∴-+>，当0m >时，{}|2,0x x m x m m ><-=或时，{}|0x x ≠，0m <时，{}|2x x m x m >-<或；②()40f x +>整理得2440xmx m x x-+>∴<+有解，当[1,3]x ∈时4x x+最大值为55m ∴<，取值范围是)(5,∞- （2）222111111121f f m n m n mn mn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144m n mn mn +=∴≤∴≥，所以211217mn mn ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11()()7f f m n +≥. 22.【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列中，，（）．（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证： ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时， ，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．。
2018高考一轮数学浙江专版练习第7章 第3节 课时分层训
课时分层训练(三十八)空间点、直线、平面之间的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件A[若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．] 2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3B[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]3．(2017·台州调考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面D[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]4．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定D [如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直．因此l 1与l 4的位置关系不能确定．]5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.45B.35C.23D.57B [连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角．设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ，∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 22·52a ·52a＝35.] 二、填空题6.如图7-3-7所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：图7-3-7①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]7.(2017·舟山模拟)如图7-3-8所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________.【导学号：51062229】图7-3-860°[取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，AE＝32，故∠AB1E＝60°.]8．如图7-3-9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．图7-3-94[取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]三、解答题9.如图7-3-10所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：图7-3-10(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[解](1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.4分又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.7分(2)直线D 1B 和CC 1是异面直线.9分理由：因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α，所以D 1，B ，C ，C 1∈α，13分这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾，所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线.15分10．如图7-3-11所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：图7-3-11(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．[解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.6分(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).10分在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·绍兴二模)设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥αC ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥αD ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥αB [若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确； 若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故C 错误；若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α或b 与α相交，故D 错误．]2．(2017·浙江名校(绍兴一中)交流卷五)如图7-3-12，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，点E 在侧棱AA 1上，满足∠C 1EB ＝90°，则异面直线BE 与C 1B 1所成的角为________，侧棱AA 1的长的最小值为________.【导学号：51062230】图7-3-1290° 2 [连结BC 1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CB ⊥平面ABB 1A 1，∴∠CBE ＝90°，又C 1B 1∥BC ，∴异面直线BE 与C 1B 1所成的角为90°.设AA 1＝x ，AE＝m (m ≥0)，所以BE 2＝1＋m 2，EC 21＝(x －m )2＋2，BC 21＝1＋x 2，因为∠C 1EB ＝90°，所以BC 21＝EC 21＋BE 2，即1＋x 2＝(x －m )2＋2＋1＋m 2，即m 2－mx ＋1＝0，所以x ＝m ＋1m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m ＝1m ，即m ＝1时“＝”成立.] 3．(2017·广州模拟)已知三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角.【导学号：51062231】[解] 如图，取AC 的中点P .连接PM ，PN ，又点M ，N分别是BC ，AD 的中点，则PM∥AB，且PM＝12AB，PN∥CD，且PN＝12CD，所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．又因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB和MN所成的角为60°.9分②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分。
2018高考一轮数学(浙江专版)(练习)第7章第1节课时分层训练36Word版含答案
课时分层训练(三十六)空间几何体的结构及其三视图和直观图A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列叙述中，正确的个数为()①在棱柱中，各侧面都是平行四边形；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线；③有两个面互相平行，且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．A．0B．1C．2 D．3C[由棱柱的结构特征可知①正确．由圆锥母线的定义可知②正确．棱台的定义是棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，各侧棱延长线相交于一点才行，故③错．]2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()【导学号：51062217】A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱A[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．]3．(2017·嘉兴质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图7-1-7所示，则该三棱锥的侧视图可能为()图7-1-7A B C DD [由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD ⊥平面BCD ，∴该三棱锥的侧视图可能为选项D.]4．一个几何体的三视图如图7-1-8所示，则该几何体的表面积为( )图7-1-8A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4D [由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.]5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7-1-9，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图7-1-9A.18B.17C.16D.15D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.] 二、填空题6．(2017·浙江五校联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图7-1-10所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．图7-1-10 22 [因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.]7．如图7-1-11所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．图7-1-111[三棱锥P-ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.]8．某三棱锥的三视图如图7-1-12所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.【导学号：51062218】图7-1-1222[由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中P A⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC，故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△P AC中，PC＝P A2＋AC2＝22＋22＝2 2.]三、解答题9．某几何体的三视图如图7-1-13所示．图7-1-13(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图. 【导学号：51062219】[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后的几何体.6分(2)直观图如图所示.15分10．如图7-1-14，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．图7-1-14(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A .[解](1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.6分(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.8分由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝6 3 cm.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．在如图7-1-15所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图7-1-15A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②D[如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.]2．(2017·杭州学军中学质检)如图7-1-16是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( ) 【导学号：51062220】图7-1-16A ．4B ．5C ．3 2D ．3 3D [由三视图作出几何体的直观图(如图所示)，计算可知AF 最长，且AF ＝BF 2＋AB 2＝3 3.] 3．某四棱柱的三视图如图7-1-17所示，则该四棱柱的体积为________．图7-1-1732 [由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD -A ′B ′C ′D ′.故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32.]。
浙江省高考数学一轮复习 第七章 数列、数学归纳法 阶段滚动练(二)第1～7章(含解析)-人教版高三全
阶段滚动练(二) 第1～7章(本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟)选择题部分(共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2019·全国Ⅱ卷)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( )A.(－∞，1)B.(－2，1)C.(－3，－1)D.(3，＋∞)解析A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}.答案 A2.(2020·北京朝阳区期末)设复数满足(1－i)z＝2i，则|z|＝( )A.1B. 2C.2D.2 2解析由(1－i)z＝2i，得z＝2i1－i＝2i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝2i（1＋i）2＝－1＋i，∴|z|＝（－1）2＋12＝ 2.答案 B3.(2020·北京西城区练习)设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若3a＞2b，b＞0，则a＞log32b，可得a＞log3b；若a＞log3b，可得3a＞b，无法得到3a＞2b，所以“3a＞2b”是“a＞log3b”的充分而不必要条件.答案 A4.(2020·台州期末评估)已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 23＝a 1a 4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3S 1的值为( ) A.94 B.－94C.32D.－32解析 公差不为零的等差数列{a n }满足a 23＝a 1a 4，设公差为d ，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴S 3S 1＝3a 1＋3×22da 1＝－12d ＋3d －4d ＝94，故选A.答案 A5.在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 解析 由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴－2bc cos A ≤－bc ，cos A ≥12，∴0<A ≤π3.答案 C6.(2019·全国Ⅲ卷)函数y ＝2x32x ＋2－x 在[－6，6]的图象大致为( )解析 因为y ＝f (x )＝2x32x ＋2－x ，x ∈[－6，6]，所以f (－x )＝2（－x ）32－x ＋2x ＝－2x32－x ＋2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，排除C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116∈(7，8)，排除A ，D. 故选B. 答案 B7.(2020·金华十校期末调研)把函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，则m 的最小值是( )A.724π B.1724π C.524π D.1924π 解析 把函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）－π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m －π4，因为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6，则由2m －π4＝－5π6＋2k π，k ∈Z ，得m ＝－7π24＋k π，k ∈Z ，又因为m ＞0，所以当k ＝1时，m 最小，此时m ＝π－7π24＝17π24，故选B. 答案 B8.(2020·杭州二中模拟)设a ，b 为单位向量，向量c 满足|2c ＋a |＝|a ·b |，则|c －b |的最大值为( ) A.2 B.1 C. 3D. 2解析 |2c ＋a |＝|2(c －b )＋(a ＋2b )|＝|a ·b |≥2|c －b |－|a ＋2b |，所以2|c －b |≤|a ·b |＋|a ＋2b |≤1＋3＝4.当且仅当a ，b 同向时取到等号，所以|c －b |≤2，当且仅当a ，b 同向，且c －b 与a ＋2b 反向时取等号，所以|c －b |max ＝2，故选A. 答案 A9.(2020·浙江新高考仿真卷二)若cos α－sin α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则α的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 解析 设f (α)＝cos α－sin α－tan α，则f ′(a )＝－sin α－cos α－1cos 2α，则易得f ′(α)＜0在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，所以f (α)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，又因为f (0)＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－12－33＜0，所以f (α)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上存在零点，即方程cos α－sin α＝tanα⎝⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2的根α∈在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，故选A.答案 A.10.(一题多解)(2019·浙江卷)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ，n ∈N *，则( ) A.当b ＝12时，a 10>10B.当b ＝14时，a 10>10C.当b ＝－2时，a 10>10D.当b ＝－4时，a 10>10解析 法一 考察选项A ，a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ＝a 2n ＋12，∵⎝⎛⎭⎪⎫a n －122＝a 2n －a n ＋14≥0，∴a 2n ≥a n －14.∵a n ＋1＝a 2n ＋12>0，∴a n ＋1≥a n －14＋12＝a n ＋14>a n ，∴{a n }为递增数列.因此，当a 1＝0时，a 10取到最小值，现对此情况进行估算. 显然，a 1＝0，a 2＝a 21＋12＝12，a 3＝a 22＋12＝34，a 4＝a 23＋12＝1716，当n >1时，a n ＋1>a 2n ， ∴lg a n ＋1>2lg a n ，∴lg a 10>2lg a 9>22·lg a 8>…>26lg a 4＝lg a 644， ∴a 10>a 644＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11664＝C 064＋C 164⎝ ⎛⎭⎪⎫1161＋C 264⎝ ⎛⎭⎪⎫1162＋…＋C 6464⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋64×116＋64×632×1162＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋4＋7.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝12.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664>10， 因此符合题意， 故选A.法二 由已知可得a n ＋1－a n ＝a 2n ＋b －a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －122＋b －14. B.当a ＝12，b ＝14时，a n ＝12，所以排除B ；C.当a ＝2或－1，b ＝－2时，a n ＝2或－1，所以排除C.D.当a ＝1±172，b ＝－4时，a n ＝1±172，所以排除D.故选A. 答案 A非选择题部分(110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.(2020·江西赣州联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地.”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了________公里.解析 根据题意知此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列，设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)，易知a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里.答案 9612.(2020·温州适应性测试)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.解析 因为a ＋b ＝1，所以b a ＋1b ＝b a＋a ＋b b＝b a ＋ab＋1≥2b a ·a b ＋1＝3，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以b a ＋1b的最小值为3.答案 3 1213.(2020·温州适考)在△ABC 中，C ＝45°，AB ＝6，D 为BC 边上的点，且AD ＝5，BD ＝3，则cos B ＝________，AC ＝________.解析 在△ABD 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ＝59，则sin B ＝1－cos 2B ＝2149，则在△ABC 中，由正弦定理得AC ＝AB ·sin B sin C ＝873.答案 59 87314.(2020·浙江新高考仿真卷一)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥1，x ＋y ≤2，x －2y ≤2，则2x ＋y 的最大值为________，x ＋|y ＋x |的最小值为________.解析 由题意作出可行域为图中三角形DEF (及其内部)所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点E (2，0)时，z 取得最大值4.对于x ＋|y ＋x |分两种情况讨论，当x ＋y ≥0时，z 2＝y ＋2x ，在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13处取得最小值13；当x ＋y ＜0时，z 2＝－y ，在B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13处取得最小值13，所以z 2＝x ＋|y ＋x |的最小值为13.答案 4 1315.(2020·合肥质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是________.解析 当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x(x ＋2)，由f ′(x )＞0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0)，由f ′(x )＜0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x ＜－1时，f (x )＜0，f (0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f (x )的图象，如图所示.要使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则方程f (x )－b ＝0，即f (x )＝b 有三个不同的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0，1].答案 (0，1]16.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，若对任意共面的单位向量e ，记|a ·e |＋|b ·e |的最大值为M ，则M 的最小值等于________.解析 记OA →＝a ，OB →＝b ，OE →＝e ，不难发现：如图1，当〈a ，b 〉为锐角时，|a ·e |＋|b ·e |＝|PQ |≤|AB 1|＝M ＝|a ＋b |；如图2，当〈a ，b 〉为钝角时，|a ·e |＋|b ·e |＝|PQ |≤|AB |＝M ＝|a －b |；如图3，当〈a ，b 〉为直角时，|a ·e |＋|b ·e |＝|PQ |≤|AB |＝M ＝|a －b |＝|a＋b |，由上述三种情形可知，M ＝(|a ·e |＋|b ·e |)max ＝max{|a ＋b |，|a －b |}，由平行四边形法则可知，当a ⊥b 时，M min ＝min{max{|a ＋b |，|a －b |}}＝a 2＋b 2＝2 5.答案 2 517.(2020·北京东城区期末)已知函数f (x )为定义域为R ，设F f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），|f （x ）|≤1，1，|f （x ）|＞1.(1)若f (x )＝x 21＋x 2，则F f (1)＝________；(2)若f (x )＝ea －|x |－1，且对任意x ∈R ，F f (x )＝f (x )，则实数a 的取值范围为________.解析 (1)若f (x )＝x 21＋x2，由|f (x )|≤1，可得x 2≤1＋x 2成立，即有F f (x )＝f (x )＝x 21＋x2，则F f (1)＝12；(2)若f (x )＝ea －|x |－1，且对任意x ∈R ，F f (x )＝f (x )，可得|f (x )|≤1恒成立，即为－1≤ea －|x |－1≤1，即有0≤e a －|x |≤2，可得a －|x |≤ln 2，即a ≤|x |＋ln 2，由|x |＋ln 2的最小值为ln 2，则a ≤ln 2. 答案 (1)12(2)(－∞，ln 2]三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分14分)(2018·上海卷)设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin 2x ＋2cos 2x . (1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解. 解 (1)由偶函数可知f (－x )＝f (x )得a ＝0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3＋1⇒a ＝3，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－22，在区间[－π，π]上解得x ＝－1124π，x ＝－524π，x ＝1324π，x ＝1924π.19.(本小题满分15分)(2020·杭州质检)设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 6＝60，且a 6为a 1和a 21的等比中项. (1)求a n 和S n ；(2)设数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n ，若b 1＝3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n (n ∈N *).解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋15d ＝60，a 1（a 1＋20d ）＝（a 1＋5d ）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝5， ∴a n ＝2n ＋3，S n ＝n （8＋2n ）2＝n (n ＋4)＝n 2＋4n .(2)由b n ＋1－b n ＝a n ，得b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *). 当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1 ＝(n －1)(n ＋3)＋3 ＝n (n ＋2)，且b 1＝3也适合上式， ∴b n ＝n (n ＋2)(n ∈N *). ∴1b n＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n4（n ＋1）（n ＋2）. 20.(本小题满分15分)(2020·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin C －3sin B sin A ＋sin B ＝a －bc .(1)求角A 的大小；(2)若2sin A sin B ＝1＋cos C ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ，与△ABC 的外接圆交于点E (异于点A )，AE →＝λAD →，求λ的值. 解 (1)因为sin C －3sin B sin A ＋sin B ＝a －bc ，所以由正弦定理得(c －3b )c ＝(a ＋b )(a －b )， 即a 2＝b 2＋c 2－3bc ， 即cos A ＝32，所以A ＝30°. (2)因为2sin A sin B ＝1＋cos C ＝1－cos(A ＋B )＝1－cos A cos B ＋sinA sinB ，所以cos(A －B )＝1，从而A ＝B ， 所以B ＝30°，C ＝120°.不妨设AC ＝1，O 为△ABC 外接圆圆心， 则AO ＝1，AB ＝3，∠ADC ＝∠EAO ＝45°. 在△ADC 中，由正弦定理得ADsin 120°＝AC sin∠ADC ＝1sin 45°.即AD ＝62； 在△AOE 中，由∠EAO ＝∠OEA ＝45°，OA ＝1， 从而AE ＝ 2.所以λ＝AE AD ＝233.21.(本小题满分15分)已知数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －1a n ＋2a 2n(n ∈N *).证明：当n ∈N *时， (1)a n >a n ＋1>2； (2)a n ＋1a n >78； (3)a 1＋a 2＋…＋a n <2n ＋8.证明 (1)先用数学归纳法证明：a n >2. ①n ＝1时，a 1＝3>2，命题成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即a k >2； 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a k －1a k ＋2a 2k －2＝a k －2＋2－a k a 2k ＝(a k －2)a 2k －1a 2k>0，即a k ＋1>2，故n ＝k ＋1时命题也成立. 所以对所有正整数n ，都有a n >2成立. 所以a n ＋1＝a n －1a n ＋2a 2n ＝a n ＋2－a na 2n<a n .综上所述，a n >a n ＋1>2.(2)因为a n ＋1＝a n －1a n ＋2a 2n ，所以a n ＋1a n ＝1－1a 2n ＋2a 3n，设f (x )＝2x 3－x 2＋1，则f ′(x )＝6x 2－2x ＝2x (3x －1)，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12上单调递增.由已知及(1)知2<a n ≤3，∴1a n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12， ∴a n ＋1a n ＝1－1a 2n ＋2a 3n ≥2627>78. (3)由(2)得a n ＋1＋a n >158a n ， 由a n ＋1＝a n －1a n ＋1a 2n 知a n －2＝a 2n (a n －a n ＋1)<3×815(a n ＋a n ＋1)(a n －a n ＋1) ＝85(a 2n －a 2n ＋1), 所以(a 1－2)＋(a 2－2)＋…＋(a n －2)<85[(a 21－a 22)＋(a 22－a 23)＋…＋(a 2n －a 2n ＋1)] ＝85(a 21－a 2n ＋1)<85(9－4)＝8. 所以a 1＋a 2＋…＋a n <2n ＋8.22.(本小题满分15分)(2020·嘉兴测试)已知函数f (x )＝ln(x ＋a )－b x(a ＜0，b ∈R )，且曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝x －2.(1)求实数a ，b 的值；(2)函数g (x )＝f (x ＋1)－mx (m ∈R )有两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1·x 2＞e 2.(1)解 由曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2－2＝0，f ′（2）＝1， 又f (x )＝ln(x ＋a )－b x ，f ′(x )＝1x ＋a ＋b x 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln （2＋a ）－b 2＝0，12＋a ＋b 4＝1，解得a ＝－1，b ＝0.(2)证明 由(1)知f (x )＝ln(x －1)，故f (x ＋1)＝ln x ，所以g (x )＝ln x －mx (m ∈R )，g (x )＝ln x －mx 的两个不同的零点为x 1，x 2，不妨设x 1＞x 2＞0，因为g (x 1)＝g (x 2)＝0，所以ln x 1＝mx 1，ln x 2＝mx 2，要证明x 1·x 2＞e 2，即证明ln(x 1x 2)＞ln e 2＝2，而ln(x 1x 2)＝m (x 1＋x 2)，故只需证明m (x 1＋x 2)＞2即可，又ln x 1－ln x 2＝mx 1－mx 2，所以m ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2， 故只需证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2. 即需证ln x 1－ln x 2＞2（x 1－x 2）x 1＋x 2， 即证ln x 1x 2＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1， 即只需证ln x 1x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1＞0即可， 令t ＝x 1x 2，由于x 1＞x 2＞0，故t ＞1，设F (t )＝ln t －2（t －1）t ＋1(t ＞1)， F ′(t )＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2(t ＞1)， 显然F ′(t )＞0，故F (t )＝ln t －2（t －1）t ＋1(t ＞1)是增函数， 所以F (t )＞F (1)，又F (1)＝0，所以F (t )＞0恒成立，即ln t ＞2（t －1）t ＋1(t ＞1)恒成立，因此x 1·x 2＞e 2.。
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课时分层训练(三十七)
空间几何体的表面积与体积
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()
A.22π
3 B.
42π
3
C．22πD．42π
B[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成
的组合体，则其体积V＝1
3π(2)
2×22＝
42
3π.]
2．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为() 【导学号：51062223】
A.32π
3B．4π
C．2π D.4π3
D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，
则2R＝12＋12＋(2)2＝2，解得R＝1，所以V＝4π
3R
3＝
4π
3.]
3．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图7-2-8所示，则该几何体的体积为()
【导学号：51062224】
图7-2-8
A.13＋23
π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π
C [由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫223＝13＋26π.故选C.]
4．某几何体的三视图如图7-2-9所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )
图7-2-9
A ．2
B.92
C.32
D ．3
D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S
底＝12×(1＋。