分数布朗运动
分数阶布朗运动
分数阶布朗运动分数阶布朗运动，又称为分数阶随机游走或分数阶随机过程，是一类重要的随机过程模型。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动在时间上不再是连续的，而是具有非整数阶的时间导数。
这种非整数阶导数的引入使得分数阶布朗运动具有了更广泛的应用领域和更丰富的动力学行为。
分数阶布朗运动的定义是在分数阶微分方程的框架下进行建模和分析的。
分数阶微分方程是一种一般化的微分方程，其导数的阶数可以是任意实数，包括整数和分数。
在分数阶布朗运动中，时间导数的阶数被认为是一个分数，这就使得运动的时间步长变得更加灵活和多样化。
分数阶布朗运动在金融学、物理学、生物学等多个领域都有重要的应用。
在金融学中，分数阶布朗运动被用来描述股票价格、汇率等金融产品的价格变动。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地捕捉到金融市场中的长尾分布和时间相关性。
在物理学中，分数阶布朗运动被用来描述粒子在非平衡系统中的扩散行为。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地描述具有记忆效应和非马尔可夫性质的扩散过程。
在生物学中，分数阶布朗运动被用来描述细胞内分子的运动。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地描述细胞内复杂环境中的扩散行为。
分数阶布朗运动的性质与传统的布朗运动有很大的不同。
首先，分数阶布朗运动的路径是不连续的，即存在无穷多个分割点，使得运动在不同的时间段内具有不同的行为。
其次，分数阶布朗运动的路径可以是非马尔可夫的，即过去的状态不仅仅取决于当前的状态，还取决于过去的状态。
最后，分数阶布朗运动的路径可以是非平稳的，即其统计性质随时间的演化而变化。
分数阶布朗运动的建模和分析是一个相对较新的领域，目前仍存在许多未解决的问题和挑战。
例如，如何求解分数阶微分方程的解析解和数值解，如何计算分数阶布朗运动的统计性质，以及如何利用分数阶布朗运动进行系统建模和控制等。
这些问题的解决将进一步推动分数阶布朗运动的理论发展和应用研究。
分数阶布朗运动是一种重要的随机过程模型，具有广泛的应用领域和丰富的动力学行为。
布朗运动推导
布朗运动推导布朗运动是一种用来描述粒子在一定位置处的空间和时间变动的数学模型。
它由19th世纪的英国物理学家詹姆斯布朗发现，他在1828年完成了它的博士论文。
因此，布朗运动也被称为“布朗模型”。
布朗运动是指当粒子受到外界多个力的共同作用时，它们在某一点上的运动轨迹。
它被描述为每一时刻，它们在X-Y轴上移动的所有路径的总和；X-Y轴是指从一个粒子出发开始，沿X轴和Y轴移动的路径。
这种运动可以用简单的数学语言来描述：$$frac{dx}{dt} = F_{1x}(t) + F_{2x}(t)$$$$frac{dy}{dt} = F_{1y}(t) + F_{2y}(t)$$其中，F1x(t)和F2x(t)分别表示力F1和F2对X轴坐标的作用，而F1y(t)和F2y(t)则是对Y轴坐标的作用。
以上方程描述了在任一时刻，粒子在X-Y轴上移动的速度。
除了普通的直线运动外，布朗运动还可用于描述椭圆和抛物线等更广泛的轨迹。
在椭圆和抛物线的情况下，外力F1和F2的的方向都是相对的，要求粒子沿X轴和Y轴移动的距离是相等的；这样一来，就会产生椭圆和抛物线的轨迹。
布朗运动的用途也非常广泛。
它可以用来描述例如热力学过程中的分子运动轨迹，也可以描述轨道动力学中的天体运动轨迹。
布朗运动在物理和化学领域都有着重要的应用，特别是在研究量子力学中，布朗运动对粒子的相互作用有着重要的解释作用。
此外，布朗运动的研究也促进了数学的发展，例如：19th 世纪的德国数学家高斯用布朗运动来推导出了移动中心定理；贝塞尔在20世纪初就开始使用布朗运动来描述艺术作品中几何图形的变化。
因此，布朗运动一直以来都是物理、数学和艺术众多学科中重要的课题之一，它研究的内容不仅仅是描述粒子在空间及时间上运动的过程，还包括外力如何作用于粒子，以及外力和质量的影响等微观物理现象，也同时涉及到多学科的内容。
总的来说，布朗运动是一种重要的数学模型，用于描述物理过程中粒子在空间及时间上运动的轨迹，这种运动被描述为外力对X-Y轴坐标的作用。
分形布朗运动原理-概述说明以及解释
分形布朗运动原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述分形布朗运动是一种具有分形特征的随机运动模型，它结合了分形几何学和布朗运动理论。
分形几何学是一门研究自相似性和自统一性的几何学，而布朗运动则是描述粒子在液体或气体中的随机运动。
分形布朗运动的研究源于对自然界中许多复杂现象的观察和模拟。
自然界中的很多系统表现出分形的特征，如树枝的分支、云朵的形状、山脉的轮廓等。
而布朗运动则是对微观粒子在液体和气体中的扩散运动进行建模，是统计物理学的重要研究内容之一。
本文旨在介绍分形布朗运动的基本原理和特征，并探讨其在不同领域的应用。
首先，我们将介绍分形的概念与特征，包括分形维度、自相似性和分形集合的构造方式。
接着，我们会详细讲解布朗运动的基本原理，包括随机性、随机步长和随机时间。
最后，我们将针对分形布朗运动给出其定义和特性，并探讨其在金融、医学、图像处理等领域的应用前景。
通过深入了解分形布朗运动的原理和特性，我们可以更好地理解和解释自然界中的复杂现象，并为相关领域的研究和应用提供理论基础。
同时，对于金融市场的预测、医学图像的处理和模拟等问题，分形布朗运动也有着重要的应用价值。
在未来的研究中，我们相信分形布朗运动将继续发挥其重要作用，并推动相关领域的进一步发展。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们首先对分形布朗运动的概念进行了概述，介绍了其在自然界和科学领域中的广泛应用。
接着，我们对本文的结构进行了简要的介绍，概括了各个章节的内容和目的。
最后，我们明确了本文的目的，旨在深入探讨分形布朗运动的原理及其应用前景。
正文部分分为两个章节，分别是分形的概念与特征以及布朗运动的基本原理。
在分形的概念与特征章节中，我们先对分形的基本概念进行了阐述，介绍了分形几何学的起源和发展。
然后，我们详细讨论了分形的主要特征，如自相似性、分形维度等，并且给出了一些实例进行说明。
分数阶布朗运动,正则
分数阶布朗运动,正则分数阶布朗运动是一种奇特的运动形式，它是随机性和长记忆效应的结合体，被广泛应用于许多领域，如金融、统计物理和生物学。
它是标准布朗运动的变体，其分数阶导数引入了长记忆效应。
正则是指分数阶导数的宽广应用，它们的共同点是它们具有分析性解和有限矩；而最重要的不同是它们的分数阶导数有特定的性质。
一、分数阶布朗运动1.1 定义分数阶布朗运动是一类以分数阶随机微分方程为特征的随机过程，由于分数阶序列在微分方程中出现，这会导致当前的变量取决于早期的变量。
确认其随机过程的本质，需要对其分数阶随机微分方程进行定义和讨论。
1.2 特征分数阶布朗运动是实数域上的平稳和高斯随机过程。
特别是在时间t = 0处的值是零。
它是具有长记忆效应的随机运动，旨在模拟实际现象的时间依赖性和高斯随机性质。
二、分数阶导数2.1 实现方式分数阶导数具有在频率上加权的积分形式，通常通过分数阶微积分的欧拉运算符逐步实现，例如：D^a f(t) = 1/ Γ(1-a) (df(t)/dt) integral from 0 to t (τ-t)-a dt其中0 < a ≤ 1为分数阶导数的指数，Γ是欧拉函数。
2.2 特性分数阶微积分支持多种定义和表示方式，但最常见的是将分数阶导数视为与经典整数阶导数直接相关的某种泛函转换，包括：微分、积分和幂函数。
三、正则3.1 概念正则是指分数阶微积分中被广泛应用的性质，为了保证其解具有实用性和良好的数学性质，需要制定一些规则来解决其使用中出现的问题。
3.2 基本规则(1)实函数f(t)在满足几何条件的前提下允许在其两侧进行纳入处理。
(2)基于本质的5条定理，任何实数a和b，当f(t)在一侧无限制以及收敛时，都允许使用的规则。
(3)洛必达法则允许在lim t→0时解决f(t)和g(t)的极限问题，如果这些函数在某个领域内具有上或下的振荡性，那么无法采用这个方法。
综上所述，分数阶布朗运动和正则在分数阶微积分分析中具有重要的应用。
分数阶布朗运动
分数阶布朗运动
分数阶布朗运动是一种新型的随机过程，它是布朗运动的一种扩展形式。
与传统的布朗运动不同，分数阶布朗运动的随机性不仅仅体现在时间上，还体现在空间上。
它的出现，为我们研究复杂系统的动力学行为提供了新的思路和方法。
分数阶布朗运动的特点是具有非局域性和非马尔可夫性。
非局域性是指它的运动状态不仅受到当前位置的影响，还受到之前的位置和时间的影响。
非马尔可夫性是指它的运动状态不仅受到当前状态的影响，还受到之前状态的影响。
这些特点使得分数阶布朗运动的运动规律更加复杂，也更加符合实际情况。
分数阶布朗运动的数学模型可以用分数阶微分方程来描述。
分数阶微分方程是一种广义的微分方程，它的阶数可以是分数或复数。
分数阶微分方程的解具有非局域性和非马尔可夫性，因此可以用来描述分数阶布朗运动的运动规律。
分数阶布朗运动在物理、化学、生物等领域都有广泛的应用。
在物理学中，分数阶布朗运动可以用来描述粒子在非均匀介质中的扩散行为。
在化学中，分数阶布朗运动可以用来描述分子在溶液中的扩散行为。
在生物学中，分数阶布朗运动可以用来描述细胞内分子的运动行为。
分数阶布朗运动是一种新型的随机过程，它的出现为我们研究复杂
系统的动力学行为提供了新的思路和方法。
它的应用范围广泛，可以用来描述物理、化学、生物等领域中的扩散行为。
未来，我们还需要进一步深入研究分数阶布朗运动的性质和应用，为科学研究和工程应用提供更加精确和有效的方法。
分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究的开题报告
分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究的开题报告题目：分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究一、研究背景及意义在金融领域中，期权的概念被广泛应用。
障碍期权作为其中的一种，具有相对较高的复杂性和灵活性，并且能够充分地体现出市场风险和交易者的风险偏好。
在市场趋势不明朗或市场价格波动较大的情况下，障碍期权逐渐得到越来越多投资者的关注。
然而，在传统的布朗运动下，采用障碍期权的定价方法进行分析并不完全符合市场实际情况，因为传统布朗运动假设价格的涨跌是服从正态分布的。
事实上，市场价格的涨跌往往存在平均回归和厚尾性等非线性特征。
而分数布朗运动是一种能够更好地模拟这些非线性特征的数学模型，因此在障碍期权的定价和风险管理中拥有广泛的应用前景。
基于此，我们将开展“分数布朗运动环境下的障碍期权定价研究”，探索并建立分数布朗运动模型下的障碍期权定价方案，为实现风险控制提供科学依据，推动金融行业发展。
二、研究内容（一）研究基础理论1、传统布朗运动下的障碍期权定价方法与模型；2、分数布朗运动模型的基本理论和性质。
（二）分数布朗运动下的障碍期权定价1、建立分数布朗运动下的障碍期权定价模型；2、分析分数阶障碍期权的定价公式和评价指标等；3、基于 Monte-Carlo 模拟方法和数值分析方法求解分数布朗运动下的障碍期权价格和Greek值。
（三）分数布朗运动下的风险管理1、分析分数布朗运动下的障碍期权风险特征；2、建立基于分数布朗运动的障碍期权风险管理模型；3、使用实际的历史数据对模型进行验证和优化。
三、研究方法本研究采用文献资料法、数值模拟法和分析法相结合的方式进行，具体研究方法包括：1、收集和整理与分数布朗运动和障碍期权定价相关的文献资料，深入了解分数布朗运动的基础理论和性质；2、建立和实现分数布朗运动下的障碍期权定价和风险管理模型，并通过 Monte-Carlo 模拟方法和数值分析法验证和优化模型；3、使用实际数据对研究结果进行检验和分析。
分数布朗运动
分数布朗运动分数布朗运动，又称分数阶布朗运动，是一种具有分数阶微积分的随机过程。
它与经典的布朗运动相比，具有更多的自由度和能够刻画更加复杂的现象。
在实际中，分数布朗运动被广泛应用于金融、物理、生物等领域，成为研究非平稳性现象的重要工具。
首先，我们来介绍一下经典的布朗运动。
布朗运动是一种随机过程，其特点在于其轨迹是随机的、连续的，但具有不可导的性质。
根据中心极限定理，对于布朗运动的任何时刻$t$，其增量 $\Delta B_t$ 满足正态分布，即 $\Delta B_t \sim N(0, \sqrt{t})$。
其中，$N$ 表示正态分布，$\sqrt{t}$ 表示时间步长。
布朗运动在物理、化学、金融等领域广泛应用，例如股票价格波动、大气颗粒的扩散以及分子的随机运动。
然而，经典的布朗运动假设了时间序列的增量是具有零均值和方差的正态分布，这远远不足以刻画很多实际现象的复杂性。
例如，金融市场中的波动往往包含许多长尾，这远远不符合正态分布的假设。
另一方面，物理、生物领域中，很多过程都表现出非稳定性的特点，例如非马尔可夫性和长记忆性，传统的布朗运动无法很好地刻画这些复杂特性。
分数布朗运动的出现，解决了以上问题。
其轨迹可以看作具有随机长程依赖的平稳过程，其增量可以写成如下形式：$\Delta B_t =\frac{1}{\Gamma(\alpha +\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}(B_{t+x}-B_t)\frac{dx}{|x|^{\alpha + \frac{3}{2}}}$。
其中，$\Gamma$ 表示欧拉-伽马函数，$\alpha$ 表示分数阶参数，$B_t$ 表示分数布朗运动的轨迹。
这个式子中的积分，描述了长时刻间的记忆和信号的依赖性。
分数布朗运动的一个重要特点，就是具有长记忆性和非马尔可夫性。
长记忆性表示，过去的状态会对当前的状态产生影响，这是由分数阶微积分导致的。
分数布朗运动
分数布朗运动
分数布朗运动是以早期16世纪英国物理学家布朗提出的物理定律为基础的一种运动方式。
它是一种多物体间的连续系统，会不断发生和改变。
一、定义
分数布朗运动是一种按照布朗定律而进行的多物体运动模型，它涉及两个以上的物理实体之间的运动，实体可以是物理粒子、机械能量或化学能量。
在此系统中，物体会受到相互作用的引力而产生碰撞，这种碰撞可以通过影响运动的速度和方向来改变物体的运动。
二、原理
分数布朗运动的基本原理是关于力的定律，即布朗定律，这是经典力学的基础，定义的是当两个物体受外界力的作用而产生的分数布朗运动，它可以用一些公式来表达。
它描述了一个物体在受到另一个物体的力之后，两者间的相互作用如何发生改变。
三、应用
分数布朗运动主要应用于物理科学中，可以用来描述物体在随机和系
统性碰撞中的运动，例如传热学中的传热运动、化学反应中的化学反应运动、动力学中的动力运动。
最重要的是，它被广泛用于天文学、原子物理学、分子物理学和统计物理学等领域，为研究宇宙形成及运动的过程提供了重要的理论支撑。
分数布朗运动也是天体动力学的重要理论之一。
四、优势
分数布朗运动是一种模拟多物体运动的非常有效的工具，它能够解释多物体运动之间的关系。
它可以更系统地解释物体运动之间的力学联系，而且它也具有容易理解的优点，由于它的节约性，因此可以更精确地模拟物体运动。
五、缺点
分数布朗运动对物体和它们之间的力只能提供统计的模拟，无法有效地考虑实际多物体之间的精确的力平衡情况。
它也忽略了重力及其他实际存在的力的作用，因此可能无法实现准确的模拟。
分数布朗运动下的回望期权定价
近年 来 ， 际金 融 衍 生 市 场 除 交 易人 们 中广 国 为熟悉 的欧式 、 美式 期权 之外 ， 还涌 现 了大量 由标 准期 权 变 化 、 合 及 派 生 出 的新 品种 ， 组 即新 型期 权， 它们 是 由金 融 机 构 设计 以 满 足 市 场特 殊 需 求
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中图 分 类 号 ： ２ １６ Ｆ ３ ． Ｏ １． ；８０９ 文 献标 志 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ３５ ６ （ｏ ｏ ｏ ～７ ７０ １０ —ｏ ｏ ２ ｌ ）５０ ９ ４
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分数布朗运动
分数布朗运动金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动与EMH布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征。
其轨迹处处没有切线；粒子移动互不相关。
原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。
1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。
1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。
1923年，诺伯特‧维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener 空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。
维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。
如稳定的Levy分布。
如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
1.2 布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的里程碑，在现代金融数学中占有重要地位。
迄今，普遍的观点仍认为，股票市场大部分力量是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性和最大的力量，是股票市场的常态。
1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。
广义积分的应用——分数布朗运动的数值逼近法
广义积分的应用——分数布朗运动的数值逼近法瞿波【摘要】分数布朗运动(fBm)具有自相似性,它是布朗运动的推广,在很多领域有着重要的应用.就微积分教学中的广义积分,结合分数布朗运动模型(FBM)的建立,以第1类广义积分(无穷限)的形式,用离散逼近的方法,通过对核函数的改变,成功地模拟分数布朗运动.这是基于曼德尔布莱德建立的最初的分数布朗运动模型而改进的简单离散模型,此模型的精确度比原来的模型要高.在微积分教学中可以作为广义积分的应用举例.研究表明,当记忆充分大,计算就更加精确,记忆不小于5倍的时间步长时模拟才比较准确.所用到的广义积分的近似逼近方法,对广义积分教学具有启发性的指导作用,创新了积分理论教学.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2018(038)004【总页数】6页(P45-50)【关键词】微积分;分数布朗运动;广义积分;极限【作者】瞿波【作者单位】南通大学理学院,江苏南通 226019【正文语种】中文【中图分类】O174.1;G642.0具有自相似性质的物体就是分形[1]．自相似则是物体经过放大后的局部和原来整体的形状相似的物体，英国的海岸线就是一例．这种自相似可以无止境地进行下去，这其实是一个典型的极限过程．当在无穷区间上积分时，定积分就变为广义积分，这是第1类的广义积分，而作为分形的重要分支的分数布朗运动则是广义积分的应用．第1类广义积分其实可以分为2步：（1）在有限区间上的定积分；（2）让一个区间端点趋于无穷大，然后求极限．微积分的基本思想就是极限思想，广义积分也是其中的应用之一，而分数布朗运动则是极限在分形上的一个重要应用．分数布朗运动的应用很广泛，它在金融业（期权定价），股市的预测[2]，医学上的心脑医疗仪器，流体上浮标的流动轨迹[3]，流体中污染物的扩散[4]和岩石的裂痕研究等方面都有应用，但分数布朗运动模型本身的改进研究并不多．本文就分数布朗运动作为广义积分的数值模拟简化过程给出一个详细的说明，这是积分学的一个重要的应用．布朗运动是由高斯白噪声的无穷积分得到的，即而高斯白噪声是具有正态分布的随机变量的极限（见图1，时间步长），即布朗运动（见图2，由图1中的高斯白噪声积分而成）就是高斯白噪声的无穷积分．带有记忆的布朗运动就是分数布朗运动．曼德尔布莱德[5]早在1968年就给出了分数布朗运动的模型（FBM）其中：是Gamma 函数；H是豪斯特指数（Hurst exponent）[6]．FBM在时刻的状态和时刻之前的所有历史时刻有关．1968年曼德尔布莱德[5]把式（3）改进为这里满足关系：．下限负无穷大是广义积分的形式，它可以改成极限加定积分的形式．本文采取逼近的方法达到这一目的．记核函数为则式（4）即为显然，当时，核．的核函数为可以把下限的负无穷大用来表示，而是一个很大的记忆值（称为记忆），因此，．所以，可得到新的离散型分数布朗运动模型（9）（10）本文称式（9）和式（10）为FBMINC模型．当时，就是布朗运动．在式（9）中，要求记忆．当然，越大越精确．这一改进也是无穷限广义积分的一个具体应用．当记忆大于时间步长的10倍时，所计算的分数布朗运动的轨迹就很精确．记忆要至少大于时间步长的5倍，才能较为准确地模拟fBm．当然，越大，轨迹就越精确．衡量一个FBM是否精确的标准是看它是否满足（11）其中：是豪斯特指数；是一个扩散粒子云在时间的标准差．2 FBM模型和 FBMINC模型的比较2.1 相同点本文改进的FBMINC模型和原来曼德尔布莱德的FBM模型之间的差别很小．2个模型之间的区别和联系见图3（这里，扩散系数，时间步长）．图3 FBM 和FBMINC模型的比较由图3可以看出，当较小时，2个模型模拟出来的曲线几乎重叠．但当时，差别有点明显．因为的值越大，表明扩散越大．2.2 不同点FBM和FBMINC这２个模型的不同点除了图3中当较大时2个模型有不同处外，通过以下2个方面的验证，2个模型的不同处比较明显，而且，FBMINC模型比FBM模型的精确性更高．2.2.1 的变化理论上讲，应该不随时间变化而变化．但在FBM模型中随时间的增加而增加（见图4a），而在FBMINC模型中是不会随时间的变化而变化（见图4b）．图4 不同记忆条件下FBM模型和FBMINC模型中随时间的变化2.2.2 记忆随时间变化的轨迹在小记忆情形下，2个模型随时间变化的结果见图5，这里粒子数，，扩散系数．图5 不同记忆条件下FBM模型和FBMINC 模型中随时间的变化由图５可以看出，当记忆小于时间步长时，FBM模型的模拟结果不如FBMINC的模拟结果．2.3 记忆M和粒子数及时间步长的关系当粒子数增加时，可以用FBM模型或FBMINC模型模拟粒子云的运动轨迹. 取，，，计算对时间的比值（见图6），这里是粒子云在时刻的标准差．由图6可以看出，当时，直线之间基本重合，说明当记忆是的10倍时，可以很好地模拟fBm了．图6 时不同记忆条件下对时间t的比值计算不同的值（和0.8）及不同的条件下对时间的比值（见图7）．图7 不同的值及不同的记忆条件下对时间t的比值由图7可以看出，当时，和式（12）中的期待值接近，即．一般将会稍许大于期待值（），理论上，可以通过降低扩散系数以达到期待值．计算，，，时，不同的粒子数条件下对时间的比值（见图８），以及与期待值的比值（见图9）．这里记忆，保证了模拟的精确性．图8 不同粒子数条件下对时间t的比值图9 不同粒子数条件下和期待值的比值由图８可以看出，当粒子数增加时（从50增加到20 000），图形会变得越来越精确，直线会越来越直．由图9可以看出，当粒子数时，已经足够大地保证了模拟的精确性．一般必须不小于5倍的时间步长．3 结束语微积分中的广义积分的计算除了结合极限和定积分计算以外，还可以用一个充分大的数来逼近无穷大．而积分过程其实就是求和过程．分数布朗运动模型（FBM）的定义正是通过广义积分实现的．用广义积分定义的曼德尔布莱德的FBM模型有它的缺陷．一是当记忆很小时，模型不能很好地模拟fBm；二是fBm粒子云在时刻的标准差的单位时间跳跃之差会随时间的增加而增加．通过对FBM模型中核函数的改进，本文得到的FBMINC模型可以很好地克服这２个弱点．并对记忆的长度的确定作了研究，当是时间步长的10倍时，可以得到较理想模拟效果．一般必须不小于5倍的时间步长．广义积分的教学在高等数学教学中是一个难点，而无穷限广义积分除了化无穷限积分为定积分，然后赋予极限值来计算外，也可以用本文提供的方法来近似计算．特别对被积函数比较复杂的情形，近似计算是一个较好的方法．这里介绍了把无穷限化为充分大的记忆来计算积分．而积分法本身就是求和再取极限．所以无穷限广义积分可以化为在充分大的记忆下求和来近似．本文的计算方法对广义积分教学有一定的指导意义．而分数布朗运动的模拟本身就是无穷限广义积分，它可以基于由布朗运动所组成的核函数再加记忆来模拟，而这种模拟可以用离散型表示．本文提供的FBM是一个相当精简的方法，化繁变简、以求和代替求积分是近似计算中常用的方法．本文的技巧可以用在更多的积分类计算中，对多重分数布朗运动用多重求和计算还有待于继续研究．参考文献：Application of generalized integral in calculus teaching——Approximation method of fractional Brownian motion modelQU Bo（School of Sciences，Nantong University，Nantong 226019，China）Abstact：Fractional Brownian motion（fBm）has self-similarity，it is the development of Brownian motion，and it has important application in many fields．The generalized integral in calculus teaching combined with the establishment of FBM model，the fBm is successfully simulated by the method of discrete approximation in the form of the first type of generalized integral（with infinite limit），and by the change of kernel function．This is an improved simple discrete model based on the initial fBm model established by Mandelbrod，which is more accurate than the original model．It can be used as an example of generalized integral in calculus teaching．Studies shows that when memory is sufficiently large，the fBm is more accurate，the memory cannot be less than 5 times of the time step．The approximate approximation method of generalized integrals used in this paper is instructive to the generalized integral teaching and innovative integral theory teaching．Key words：calculus；Brownian motion；generalized integral；limit文章编号：1007-9831（2018）04-0045-06中图分类号：O174.1∶G642.0文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.04.012收稿日期：2017-11-30作者简介：瞿波（1962-），女，江苏南通人，教授，博士，从事应用数学研究．E-mail：************.cn本文称式（9）和式（10）为FBMINC模型．当时，就是布朗运动．在式（9）中，要求记忆．当然，越大越精确．这一改进也是无穷限广义积分的一个具体应用．当记忆大于时间步长的10倍时，所计算的分数布朗运动的轨迹就很精确．记忆要至少大于时间步长的5倍，才能较为准确地模拟fBm．当然，越大，轨迹就越精确．衡量一个FBM是否精确的标准是看它是否满足其中：是豪斯特指数；是一个扩散粒子云在时间的标准差．本文改进的FBMINC模型和原来曼德尔布莱德的FBM模型之间的差别很小．2个模型之间的区别和联系见图3（这里，扩散系数，时间步长）．由图3可以看出，当较小时，2个模型模拟出来的曲线几乎重叠．但当时，差别有点明显．因为的值越大，表明扩散越大．FBM和FBMINC这２个模型的不同点除了图3中当较大时2个模型有不同处外，通过以下2个方面的验证，2个模型的不同处比较明显，而且，FBMINC模型比FBM模型的精确性更高．2.2.1 的变化理论上讲，应该不随时间变化而变化．但在FBM模型中随时间的增加而增加（见图4a），而在FBMINC模型中是不会随时间的变化而变化（见图4b）．2.2.2 记忆随时间变化的轨迹在小记忆情形下，2个模型随时间变化的结果见图5，这里粒子数，，扩散系数．由图５可以看出，当记忆小于时间步长时，FBM模型的模拟结果不如FBMINC的模拟结果．当粒子数增加时，可以用FBM模型或FBMINC模型模拟粒子云的运动轨迹.取，，，计算对时间的比值（见图6），这里是粒子云在时刻的标准差．由图6可以看出，当时，直线之间基本重合，说明当记忆是的10倍时，可以很好地模拟fBm了．计算不同的值（和0.8）及不同的条件下对时间的比值（见图7）．由图7可以看出，当时，和式（12）中的期待值接近，即．一般将会稍许大于期待值（），理论上，可以通过降低扩散系数以达到期待值．计算，，，时，不同的粒子数条件下对时间的比值（见图８），以及与期待值的比值（见图9）．这里记忆，保证了模拟的精确性．由图８可以看出，当粒子数增加时（从50增加到20 000），图形会变得越来越精确，直线会越来越直．由图9可以看出，当粒子数时，已经足够大地保证了模拟的精确性．一般必须不小于5倍的时间步长．微积分中的广义积分的计算除了结合极限和定积分计算以外，还可以用一个充分大的数来逼近无穷大．而积分过程其实就是求和过程．分数布朗运动模型（FBM）的定义正是通过广义积分实现的．用广义积分定义的曼德尔布莱德的FBM模型有它的缺陷．一是当记忆很小时，模型不能很好地模拟fBm；二是fBm粒子云在时刻的标准差的单位时间跳跃之差会随时间的增加而增加．通过对FBM模型中核函数的改进，本文得到的FBMINC模型可以很好地克服这２个弱点．并对记忆的长度的确定作了研究，当是时间步长的10倍时，可以得到较理想模拟效果．一般必须不小于5倍的时间步长．广义积分的教学在高等数学教学中是一个难点，而无穷限广义积分除了化无穷限积分为定积分，然后赋予极限值来计算外，也可以用本文提供的方法来近似计算．特别对被积函数比较复杂的情形，近似计算是一个较好的方法．这里介绍了把无穷限化为充分大的记忆来计算积分．而积分法本身就是求和再取极限．所以无穷限广义积分可以化为在充分大的记忆下求和来近似．本文的计算方法对广义积分教学有一定的指导意义．而分数布朗运动的模拟本身就是无穷限广义积分，它可以基于由布朗运动所组成的核函数再加记忆来模拟，而这种模拟可以用离散型表示．本文提供的FBM是一个相当精简的方法，化繁变简、以求和代替求积分是近似计算中常用的方法．本文的技巧可以用在更多的积分类计算中，对多重分数布朗运动用多重求和计算还有待于继续研究．【相关文献】[1] Mandelbrot B B．The Fractal Geometry of Nature [M]．New York：W H Freeman and Company，1983[2] 瞿波，欧荣军．中外几大股票市场差异的分形研究[J]．上海师范大学学报：自然科学版，2012，41（5）： 454-465[3] Qu B．Fractal Geometry and Fluids[M]．上海：上海社会科学院出版社，2016[4] Qu B，Addison P S．Development of FBMINC model for particle diffusion influids[J]．International Journal of 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R_S分析的理论基础_分数布朗运动
收稿日期:2003-07-31基金项目:国家教育部博士点基金资助项目(01JB630009);国家自然科学基金资助项目(70373018,70403020)作者简介:徐绪松(1945-),女,教授,博士生导师,现从事复杂科学与管理方面的研究. E -mail:xuxus ong@w 文章编号:1671-8836(2004)05-0547-04R/S 分析的理论基础:分数布朗运动徐绪松1,马莉莉1,陈彦斌2(1.武汉大学商学院技术经济及管理研究所,湖北武汉430072;2.中国人民大学经济学院,北京100872)摘 要:探讨了R/S 分析方法的理论基础.指出稳定的Levy 分布作为R/S 分析的理论基础有重大缺陷,分析了分数布朗运动与R/S 分析在含义和逻辑上的紧密联系,提出了分数布朗运动是R/S 分析的理论基础的观点.最后,对我国上海股票市场进行了实证分析,其检验结果证实了本文提出的观点.关 键 词:非线性;Levy 分布;分数布朗运动;R/S 分析中图分类号:F 224.9 文献标识码:A0 引 言1970年Fam a 提出了有效市场假说(EMH )成为现代资本市场理论的一块基石[1,2].然而,一个开放的系统,往往远离均衡状态并具有时间依赖的反馈机制.一些如一月效应、小厂商效应、周末效应等与EMH 相悖的反常现象陆续被学者们发现[3~5].这些研究表明了线性范式和EMH 的失灵.R/S 分析法是一种行之有效的研究经济周期、股市周期的非线性工具.1991年Peters 从Levy 分布的统计性质出发将R/S 分析法应用于美国资本市场,发现股票受益率具有长期持续性并存在一个4年的非周期性循环[6].国内的许多学者也在此基础上先后对中国的资本市场进行了一些实证研究,得出我国股票市场的波动具有状态持续性,呈现非线性特征的结论[7,8].但不足的是,他们都没有对此方法的理论基础做进一步的探讨,没有分析以Levy 分布的性质作为R/S 分析的理论依据是否合理.本文将论述Levy 分布和分数布朗运动这两大理论体系与R/S 分析的关系,探讨R/S 分析的理论基础,指出用Lev y 分布的性质作为R/S 分析的理论依据存在重大缺陷,分数布朗运动才能作为R/S 分析的理论基础.1 R/S 分析算法Hurst 在一系列的实证研究中发现,大多数的自然现象都遵循 有偏随机游走 ,即一个趋势加上噪声,并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis,简称R/S 分析)[9].具体算法如下:Step 1 设一个时间序列{x t }Mt =1,长度为M ,将其分为MN个长度为N 的相邻子区间;Step 2 对子区间u,设样本均值为:e u =1NNi =1x i+(u-1) N (u =1,2, ,MN);Step 3 对子区间u,取y u,i =x i +(u -1) N -e u(i =1,2, ,N ),令z u,i =Ni =1y u ,i 为子区间u 的累积收益率(u =1,2, ,M N);Step 4 计算R u =max 1 i N z u,i -m in 1 i N z u,i 为子区间u 的极差,S u 为该区间累积收益率的标准差;Step 5 计算各区间的重标极差R u /S u ,MN 个区间可以得到M N 个R u /S u 值(u =1,2, ,MN ),取其均值R N /S N 作为区间长度为N 的重标极差值;Step 6 对式R N /S N =bN H 两端取对数可以得到:log (R N /S N )=H log N +log b ,b 为某一常数,H 为Hurst 指数;Step 7 对于不同区间长度N ,重复Step1至Step6,可得到不同的R N /S N 值,通过回归分析,斜率即为所求H 值.H urst 指数H 用来度量序列相关性和趋势强第50卷第5期 2004年10月武汉大学学报(理学版)J.W uhan U niv.(N at.Sci.Ed.)Vol.50No.5 Oct.2004,547~550度:当H=0.5时,序列是随机游走过程;当0.5<H <1时,序列是趋势增强的,遵循有偏随机游走过程;当0<H<0.5时,序列是反持续性的.将R/S 分析应用于金融市场,可以判断收益率序列是否具有记忆性,记忆性是持续性的还是反持续性的.2 Levy分布作为R/S分析理论基础的缺陷2.1 Levy分布在一些实证分析中,发现资本市场收益率序列具有尖峰胖尾的特点[10].Levy深入研究了这类具有尖峰胖尾特征的分布函数,并推导出其数学性质,因而这类分布函数被称为Levy分布.Mandelbrot于1964年证实了资本市场收益率服从Levy分布[11].下面给出Levy分布的数学定义及主要性质.若随机变量X的特征函数形式为 (t)=ex p(i t- |t| (1+i t|t|tan2)), 1,则称X服从Levy分布,记为X~S( , , , ),其中 , , , 为特征参数: 是均值; 度量偏度, [-1,+ 1],当 =0时,分布对称,当 >0时,分布右偏,当 <0时,分布左偏; 度量偏离均值的程度; 为特征指数,度量分布的峰度和尾部的厚度,且 (0, 1) (1,2],当 从2降为0时,分布的尾部会变得越来越 胖 .值得注意的是,当且仅当均值 为0时,Levy分布才是稳定分布.稳定分布指若与随机变量X同分布的相互独立的随机变量X1、X2以及任意实数b1、b2>0,存在实数b>0,使得b1X1+b2 X2与bX同分布,则称随机变量X具有稳定分布.从定义可以看出,服从稳定分布的随机变量的和仍服从稳定分布.2.2 Levy分布与R/S分析Peters将稳定的Levy分布作为R/S分析的理论基础,方法如下.设股票日对数收益率服从稳定的Lev y分布,即 i~S( , ,0, ),因为服从稳定分布的随机变量之和仍然服从稳定分布,所以n个交易日收益率 = n i i满足 ~S( , ,0,n ),于是 / (n )1/ ~S( , ,0,1),因而 1/ /(n )1/ ~S( , ,0, ),即存在与 i同分布的随机变量 = /n1/ ,则 / =n1/ .采用R/S分析法估计出1/ ,即H= 1/ .采用稳定的Levy分布作为R/S分析的基础存在如下重大缺陷:一方面,Levy分布的特征参数 与Hurst指数H含义不同.特征参数 所表达的含义为序列是否服从正态分布:当 =2时,序列服从正态分布;当 <2时,序列服从尖峰胖尾的Levy分布;当 >2时,序列服从低峰窄尾的Levy分布.而Hurst指数H则是用来度量序列的趋势强度和噪声水平以及长期记忆性的:当H=0.5时,序列为标准的随机游走过程,相互独立;当0.5<H<1时,序列是持续性或趋势增强的,过去的收益率与未来的收益率之间存在正相关;当0<H<0.5时,序列是反持久性的,过去的收益率与未来的收益率之间存在负相关.由此 和H是截然不同的两个概念,它们的含义完全没有关联,因此建立 和H的等式是没有意义的.另一方面,使用稳定分布来处理和理解R/S分析要求收益率序列是相互独立的,这样才能保证多日收益率之和与每日收益率存在幂的关系.但是, Hurst指数H恰恰是用来度量收益率序列的长期相关性的.因此以稳定的Levy分布为基础进行R/S 分析得到Hurst指数H是自相矛盾的.3 R/S分析的理论基础:分数布朗运动本节将介绍分数布朗运动的性质及其与R/S 分析在逻辑和含义上的联系,并提出分数布朗运动才是R/S分析的理论基础.3.1 分数布朗运动称随机过程B F(t)是分数布朗运动,若其连续且满足P(B F(0)=0)=1,B F(t)-B F(s)~N(0,| t-s|2F),其中t,s为两个不同时点,F为参数,且F (0,1).B H(t)的分布可以表示为P(B F(t)x)=12 t2Fx- e-u22t2F d u.当F=0.5,即为普通的布朗运动.分数布朗运动以长期相关和统计自相似为特点,具有循环和趋势双重特征.布朗运动与分数布朗运动之间的区别为布朗运动中的增量是独立的,而分数布朗运动中的增量是不独立的.考虑零时刻过去增量{B F(0)-B F(-t)}和未来增量{B F(t)-B F(0)}的相关系数C(t),有: C(t)=E{[B F(0)-B F(-t)][B F(t)-B F(0)]}E[B F(t)-B F(0)]2=-E[B F(-t)B F(t)]E[B F(t)]2=-12E{[B F(-t)]2+[BF(t)]2-[B F(-t)-B F(t)]2}E[B F(t)]2=-12(-t)2F+t2F-(-2t)2Ft2F=22F-1-1F的不同取值范围对应于相关系数C(t)的不同取值,同时也给出了序列的3种运动形式: 当F=0.5时,相关系数为0,序列独立; 当0<F<548武汉大学学报(理学版)第50卷0.5时,相关系数为负,序列为负相关; 当0.5<F <1时,相关系数为正,序列为正相关.由此可见,分数布朗运动的参数F 是度量序列相关性的.3.2 分数布朗运动与R/S 分析由第1节和3.1小节可知Hurst 指数H 和分数布朗运动参数F 在含义上都是度量序列相关性的,说明它们在含义上是一致的.下面建立它们的逻辑联系.对R/S 分析,有R N /S N N H,则(R N /S N )2N 2H ,其中R N 和S N 定义见第1节,H 为Hurst 指数.取某一分数布朗运动B F (t ),满足E (B F (t )-0)2 (t -0)2F ,其中E 表示期望算子, 为正比记号.由于股票收益率序列为离散型的,因此有E (B F (N ))2 N 2F .再令F =H ,则有E (B H (N ))2 N2H.由于R N /S N 可以看作是对某种偏差的度量,因此不妨设E (B H (N ))2=(R N /S N )2,则我们建立了R/S 分析与分数布朗运动的逻辑联系,分数布朗运动参数F 和Hurst 指数H 取得了一致性.综上所述,分数布朗运动在含义和逻辑上都可以为R/S 分析提供理论依据.4 检 验本文采用我国上证综合指数从1990年12月19日至2002年11月18日的周收盘价共606个有效数据作为研究对象.作者采用对数收益率进行分析,即y t =log p t +1-log p t ,其中p 为周收盘价,y 为周对数收益率.4.1 正态性检验首先,表1给出了上海股票市场周收益率的描述性统计量,其中偏度值大于零、峰度值大于3说明股票收益率序列具有右偏和尖峰胖尾的特点,显著偏离正态分布.其次,对周收益序列进行Bera -Jarque 正态性检验,假设收益率序列服从正态分布,得到P 值为0.0001小于显著性水平0.01,说明拒绝原假设,证实了收益率序列的分布偏离正态分布的结论.正态性检验的结果说明,收益率序列具有尖峰胖尾特点,序列服从Levy 分布,特征参数 <2.表1 上海股市周收益率的基本统计量分析样本个数均值标准差偏度峰度6060.00440.07285.237558.40474.2 R/S 分析检验由于短期相关性会导致R/S 分析发生偏差,因此应消除序列的自相关的影响,通过对周收益率序列进行一阶自回归,得到残差序列x t :x t =y t -(a +by t -1),其中a 和b 为自回归方程的系数.再对x t 按照R/S 分析算法进行.通过做出log (R N /S N )关于log N 的图像,可以观察出斜率在何处发生突变,从而可以估计出周期长度,然后在周期长度内对H 指数进行估计.为了使周期估计的更加准确,作者还采用统计量V N =(R N /S N )/N ,最初由Hurst [9]提出并用于检验R/S 分析的稳定性,后来被Peters 用来测量时间序列的周期长度.观察V N 关于log N 的曲线,若序列为独立的随机过程则对应于平坦的曲线;当序列为持续状态时,曲线向上倾斜;当序列为反持续状态时,曲线向下倾斜.因此当曲线状态发生改变时,就发生突变,长期记忆消失.图1分别给出log (R N /S N )和V N 关于log N 的曲线,可看出V N 持续上升并在N =63时达到最大,然后骤然下降,因此63周是一个转折点,可大致判断上海股市的周期为63周.当N 63时,对方程log (R N /S N )=H log N +log b 进行回归,估计结果如表2.Hurst 指数H 为0.672,并且较高的R 2值、F 值和t 统计量值表明说明回归的拟合效果相当好.图1 R/S 分析表2 估计结果H 截距R 2FC (t )0.672(-13.886)-0.168(83.192)0.9926920.9740.2693表中括号中数据为t 统计量4.3 检验结论通过实证分析,对上海股票市场进行了正态性检验和R/S 分析,得到如下结论:正态性检验说明我国上海股市收益率序列不服从正态分布,而呈现胖尾特征,特征参数 <2. H urst 指数H =0.672>0.5,表明我国上海股票市场的波动具有较强的持续性和趋势增强性,即如果在前一时期价格趋势表现为正的走向,则下一时期将维持正的走势的概率要大于维持负的走势的概率.此外关联系数C (t)=0.2693>0说明股票549第5期徐绪松等:R/S 分析的理论基础:分数布朗运动收益率序列是正相关的,过去和现在的信息将会对未来的趋势有强烈的影响,序列具有长期记忆性.可以看到H urst指数H与特征参数 的含义不同,而与分数布朗运动的关联系数有着相同的含义都是度量序列相关性的.并且H>0.5说明上海股市收益率序列不是独立的,因而不能够用稳定分布来分析序列.因此R/S分析的理论基础不是Lev y分布而是分数布朗运动.5 小 结本文从R/S分析的理论基础出发,分别探讨了Lev y分布和分数布朗运动与R/S分析的关系.以Peters为代表的学者们从Levy分布的统计性质出发,建立了Hurst指数和分布特征参数的关系,但这种方法从含义和处理上都存在重大缺陷.而分数布朗运动与Hurst指数具有相同的含义,都用来度量序列的相关性,并且作者建立了它们之间的逻辑联系,因此分数布朗运动可以作为R/S分析的理论基础.最后作者对我国上海市场进行实证检验,分析结果也说明了Levy分布作为R/S分析的理论基础不合适,R/S分析的理论基础是分数布朗运动.参考文献:[1] Peters E E.Chaos and Or der in the Cap ital M arkets[M].N ew Yor k:John W ielySons Inc,1991.1-8. 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标度对称性分数维布朗运动
标度对称性：分数维布朗运动•标度对称性是分形体重要的性质，它反映了分形结构的多尺度性和自相似性。
通过一些熟悉的物理过程还可分析此标度对称性。
•从随机布朗运动开始。
分子平均位移方差和自相关系数：•R(τ)是指数函数，T为特征时间。
R(τ)的傅立叶变换就是布朗运动的功率谱S(f)：•S(f)属于噪声宽带谱，所以布朗运动也是褐色噪声。
•如果有一噪声信号x(t)，其傅立叶变换为，则：•功率谱S(f)就是其变换系数模的平方：•对布朗运动，指数 =2。
上式微分一次得：•对应的功率谱S(f)满足：•对另外一类布朗运动，S(f)~f 0，即白噪声，它可以产生于布朗运动微分。
一般噪声的功率谱指数 [0, 2]。
•如果我们将布朗运动普遍化，这就是分数维布朗运动：•标度指数 =1/2对应普通布朗运动。
注意到量纲等价条件：•任意随机信号也可以表示为：•上式证明很简单，但是表示了将原有信号的自变量t改变λ倍，则对应的振幅也要改变λ-α倍，则信号彼此在统计上没有差别。
这就是标度不变性和自相似性。
•以普通布朗运动为例说明其分维：因为x(t) 和x(2t)/2α自相似，对t∈[0,1]区间，用尺度r 去测量得到N 个单元(N=1/r)。
•现在用尺度r/2去测量t∈[0,1/2]区间内单元个数。
因为指数标度的缘故，t∈[0,1/2]区间内单元数变成t∈[0,1]区间内单元数的1/2α倍，再用r/2的尺度去测量，就会测得2N/2α个单元。
•对t∈[1/2,1]区间也是一样，总共在t∈[0,1]区间测得22-αN个单元。
•依此类推，用尺度r/2k测量，得到(22-α)k N个单元，维数D是：标度对称性：物理学实例•临界现象中的标度不变性：•湍流体系中，相距为r 的两点速度差 v(r) 是随机信号，Kolmogorov证明：•对于湍流，标度不变性也是成立的：•对于双变量体系，幂指数标度不变性也成立。
以布朗运动为例，x(t)的概率分布满足：•作变换后得到：•上式说明标度变换能够保持体系许多本征性质不变。
分数布朗运动与分数高斯噪声
分数布朗运动与分数高斯噪声
本文旨在介绍分数布朗运动和分数高斯噪声的概念，讨论它们的特征以及两者之间的区别。
分数布朗运动（Fractional Brownian Motion，FBM）是一种随机过程，它可以模拟不同粒子的移动。
它表示某个实体在时间t的位置，它的形式是一个随机过程，可以用以下的公式表示：
X(t)=∑(t)B(t)
其中B(t)表示运动中的噪声，称为布朗噪声，也称作增量噪声。
它的特点在于，当t > 0时，它的偏好超过相应的t-1，即，有趋势性，当t < 0时，它的偏好低于t - 1，即，有反趋势性。
分数高斯噪声（Fractional Gaussian Noise），也称作FGN，是一种随机过程，它可以模拟不同的噪声信号。
它的表达式是：
X(t)=∑(t)G(t)
其中G(t)表示运动中的噪声，称为高斯噪声，也称作增量噪声。
它的特点在于，它的偏好没有趋势性，只是随着时间的变化而变化。
二者的共同点是，都是随机过程，都可用于建立一定模型来模拟不同的粒子移动。
的不同点在于，FBM有明显的趋势性，而FGN没有明显的趋势性，也就是说，FBM有反趋势性，而FGN没有反趋势性。
此外，FBM是基于布朗噪声，FGN是基于高斯噪声。
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分子布朗运动
分子布朗运动
分子布朗运动（Brownian Motion）是一种随机的粒子运动现象，
它是关于悬浮粒子在液体或气体中受到随机驱动而产生的运动。
这种
运动承载着包括微观物质传输、胶体组装和细胞差异化在内的相当重
要的生物学过程。
1827年，罗伯特·布朗（Robert Brown）在用显微
镜观测牛奶蛋白悬浮液时，发现了悬浮小粒子会因外力的干扰而发生
随机运动。
这种运动使得他获得了今天的命名——布朗运动
（Brownian Motion）。
布朗运动的原理是促使悬浮粒子受到随机的外力而产生振动和微
小运动的力学现象。
其根本原因在于由于水分子（或其他溶剂分子）
的电荷不均匀分布，水分子会受到其他水分子交互作用的影响，然后
将外力传递给悬浮粒子，从而产生运动。
这种运动是随机的，因为悬
浮粒子在液体中的空间分布是随机的，因此悬浮粒子的外力传导也是
随机的。
布朗运动对于生物学研究十分重要，它可以帮助研究人员更好地
理解纳米结构的特征，从而提高传感器的性能和准确性。
在微观尺度上，布朗运动也可以帮助我们更好地理解细胞的运动规律和细胞表面
受力的分布。
此外，还可以用布朗运动来解释水分子在溶质中表现出
来的行为，对于研究水分子的相关物理、化学和生物过程也很有帮助。
总之，布朗运动是一种随机运动现象，它是悬浮粒子在液体或气
体中受到随机驱动而产生的运动，是研究纳米结构特征、细胞的运动
规律以及水分子行为等方面的重要工具。
分子间的布朗运动
分子间的布朗运动
布朗运动是指微小颗粒在液体或气体中的无规则运动。
这种运动是由于分子间的碰撞和相互作用引起的。
布朗运动是分子间的一种重要现象，它对于物理、化学、生物等领域都有着重要的意义。
分子是物质的基本单位，它们在空气、水、液体等介质中不断地运动着。
这种运动是由于分子间的相互作用和碰撞引起的。
在液体或气体中，分子的运动是无规则的，它们在不断地碰撞和交换能量。
这种无规则的运动就是布朗运动。
布朗运动是分子间的一种热运动，它与温度有关。
温度越高，分子的运动越剧烈，布朗运动也就越明显。
在常温下，分子的布朗运动是微弱的，我们无法直接观察到它。
但是，如果我们将一些微小颗粒放入液体或气体中，就可以观察到它们的布朗运动。
布朗运动对于物理、化学、生物等领域都有着重要的意义。
在物理学中，布朗运动是研究分子运动和热力学性质的重要手段。
在化学中，布朗运动是研究分子反应和扩散的基础。
在生物学中，布朗运动是研究细胞内分子运动和生物分子相互作用的重要手段。
布朗运动是分子间的一种重要现象，它是由于分子间的相互作用和碰撞引起的。
布朗运动对于物理、化学、生物等领域都有着重要的意义。
我们可以通过观察微小颗粒的布朗运动来研究分子的运动和相互作用，从而深入了解物质的本质。
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分数布朗运动金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动与EMH布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征。
其轨迹处处没有切线；粒子移动互不相关。
原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。
1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。
1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。
1923年，诺伯特‧维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener 空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。
维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。
如稳定的Levy分布。
如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
1.2 布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的里程碑，在现代金融数学中占有重要地位。
迄今，普遍的观点仍认为，股票市场大部分力量是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性和最大的力量，是股票市场的常态。
1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。
第一次给予布朗运动以严格的数学描述。
但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。
Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定价理论(APT)。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。
现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。
这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。
同时不会出现惊人相似的反复。
股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。
假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
2 分数布朗运动与分形资本市场2.1 分数布朗运动世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。
有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿，而现实宇宙充满了分形。
在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律。
因此被称为1/f族随机过程。
Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。
分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。
其定义如下：设0<H<1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程，且，协方差为。
H=1/2时，即为标准布朗运动。
分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。
分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。
分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的，分数布朗运动（分形噪声）的分维值alpha 等于1/H，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。
Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。
设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:R/S=(aN)H通过对上式取对数，可得：log(R/S)=H(logN十loga)只要找出R/S关于N的log/log图的斜率，就可以来估计H的值。
Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。
当0.5<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0<H<0.5时，序列是反持续性的。
可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。
所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。
2.1 分形资本市场自然界不是一个重复模式的序列，它的特点是局部的随机性和全局的秩序。
每一个存在于实际生活中的分形都是在细节上不同而在整体概念上类似的。
现实世界中的分形与全局由统计结构所控制，同时又保持局部的随机性。
而实际上，大多数人在接到信息时并不马上做出决策，他们会等着确认信息，且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。
这样，因证实一个趋势所需的确认信息的时间不同，对于学习的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游动。
曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动。
这也就是说，金融市场服从分数布朗运动，有效市场理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形。
分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似。
彼得斯(Peters)就利用上述方法，在《资本市场的混沌与秩序》中证明了资本市场是分形市场。
事实上，证券市场中收益率明显存在自相似性：日、周和月收益率图形根本难以区分。
另外，他还用相关维方法分析了美国、英国和日本的股票市场指数的分形特征，发现美、英、德的股票市场指数分形维都在2与3之间，这意味着对于经济学系统的股票系统可以用三个变量来建立动力学模型。
最后他得出结论：大多数资本市场价格走势实际上是一个分形时间序列，分形时间序列是以长期记忆过程为特征的，它们有循环和趋势双重特征。
信息并没有像EMH 所描述的那样会立即被反映在价格中。
所以将趋势和随机运动两者联系起来会使我们进入一个全新的领域。
Edgar E·Peters(1996)提出了分形市场假说（Fractal Market Hypothesis , FMH）。
分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。
Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环(Nonpelriodic Cycles)，证明资本市场是非线性系统。
徐龙炳、陆蓉(1999)对沪深两市进行了R/S分析，其Hurst指数分别为0.661和0.643，周期为195天；徐绪松等 (2004) 指出稳定的Levy分布作为R/S分析的理论基础有重大缺陷，分析了分数布朗运动与R/S分析在含义和逻辑上的紧密联系，提出了分数布朗运动是R/S分析的理论基础的观点。
分形理论藉助定量参数分维数来描述系统的分形特征，揭示隐藏在复杂现象背后的规律，以及局部与整体之间的本质联系。
静态分维数在计算中没有引入时间因素，如Hausdrff维数、合维数、信息维数等，均为系统中某一常数。
动态分维数（都兴富，1994）则是在考虑随时间而变化的基础上计算普通函数和迭代函数的分维数。
运用动态分维数可以对股票期货价格行为的临界点（转捩点）进行辨识且效果较好。
如侯晓鸿和李一智等(1999) 首次应用分形理论的动态分维数研究期货价格行为，对期货价格曲线上峰和谷点进行了辨识，进而判别期价的走势和预测反转。
我们应用动态分维数建立了不动点（转捩点）的非线性动态规划模型（见本专题文章“基于鞅与不动点的非线性动态规划投机原理”）。
结语广义的布朗运动是研究和发展数理金融学的基石。
布朗运动的理论构筑了金融经济学（数理金融学）的完整体系，而分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机，使金融经济学研究向一个崭新的领域——分形维数理金融学拓展。