混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价

（T ）+μW （T ）
軒 =e
（4 ）
軒 t[ 其中 E · ]表示在概率测度 μ 下的拟条件期望 [3，6，8]。
证明 考虑混合分数布朗运动驱动的微分方程 dX （t ）=λX （t ）dBH（t ）+μX （t ）dW （t ）， X （0）=1。 易得
1 1 X（t）=exp σBH（t）+μW（t）- σ2t2H- μ2t 2 2 軒 t[X（T）]=X（t）。 即 并且 E
赞 軒 f （ ξ ） dξ = 1
2π
R
乙
e
iξ （λBH （t ）+μW （t ））- 1 ξ2λ2（T2H-t2H）- 1 ξ2μ2（T-t ） 2 2
1 2π
其中 h 为 e
- 1 ξ2λ2（T2H-t2H）- 1 ξ2μ2（T-t ） 2 2
R
乙
e
1 2 2 2H 2H 1 2 2 iξ （λBH （t ）+μW （t ）） - 2 ξ λ （T -t ）- 2 ξ μ （T-t ）
定理 3
=exp（-θBH（t）-ωW（t）- 1 θ2t2H- 1 ω2t） 2 2 令 f 为一函数 ， 其满足 E[f （θBH（t ）+ωW （t ））]<∞， 则对于 坌0≤t≤T Z（t）=ε（-θχ[0，t]）e 軒 t* [f（θBH（t）+ωW（t））]= 1 E 軒 t[f（θBH（t）+ωW（t））] E Z （t ）
第 ２5 卷第 4 期
苏 州 科 技 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｓｕｚｈｏｕ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ）
２００8 年 12 月
Ｖｏｌ．２5 Ｎｏ．4 Dec． ２００8
混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价
軒
2
軒
（6 ）
θBH*（t）+ωW*（t）=θ（BH（t）+θt2H）+ω（W（t）+ωt）， 0≤t≤T
（7 ）
*
軒t [ 则 Girsanov 定理蕴含存在一个测度 μ*， 使得 θBH*（t ）+ωW*（t ） 在测度 μ* 下为一混合型分数布朗运动 。 记E · ]
为测度 μ* 下的拟条件期望 。 考虑过程
ＭＲ （２０００ ） Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ： 60G15 ；60H05
文章编号 ： １６７２－０６８７ （２００8 ）０4－０００4－０7
假设 （Ω，F，μ） 为一给定的完备概率空间 ， 从回顾分数布朗运动的定义开始讨论 。 设 0<H<1， 具有 Hurst 参数为 H 的分数布朗运动是一连续高斯过程 {BH（t ），t≥0}使得 BH（0）=0，E[BH（t ）]=0 ，并且
ixξ
2[λ （T -t ）+μ （T-t）]
ixξ
姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨
f （ x ） dx
（5 ）
证明
假设 赞 f 为 f 的傅立叶变换 ，则 赞 f （ξ ）=
R
乙e f（x）dx，并且 f（x）= 21π 乙e
R R
赞 f （ξ）dξ，从而获得
f（λBH（T）+μW（T））= 1 2π
坌
第4 期
余
征等 ： 混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价
- 1 θ2T- 1 ω2T 2 2
7
1 e 2π 1 e 2π
- 1 θ2T- 1 ω2T 2 2
R
軒 [e 乙E
t
（iξ-1 ）θBH {T}+ （iξ-1 ）ωW （T ）
f （ξ ）dξ= ]赞
R
乙e
（iξ-1 ）θBH {t}+ （iξ-1 ）ωW （t ）+ （- ξ -iξ+1 ）θ2（T2H-t2H）+ （- ξ -iξ+1 ）ω2（T-t ）
据此 ， 对任意的 λ ，μ， 建立
乙e
i （λBH （T ）+μW （T ））ξ
赞 f （ξ）dξ
軒 t[f（dBH（T）+μW（T））]=E 軒t E
軒
1 2π
R
乙e
i （λBH （T ）+μW （T ））ξ
赞 f （ξ）dξ =
軒
赞 f （ξ）dξ=
1 2π
R
乙
Et 軒 e
i （λBH （T ）+μW （T ））ξ
R
乙e
iξ （θBH （T ）+ωW （T ））
赞 f （ξ ）dξ]=
乙
* H
（T ）+ωW （T ）-θ2T2H-ω2T ）
*
赞 軒 t* [eiξ（θB f （ξ ）dξ]= 1 [ E 2π R
*
乙
* H
（T ）+ωW （T ））
*
]e
iξ （-θ2T2H-ω2T ）
赞 f （ξ ）dξ=
1 [ e 2π R 1 [ e 2π R 1 2π
σB 軒t 軒 E e
H
2
2
（T ）+μW （T ）- 1 σ2T2H- 1 μ2T
2
2
=e 軒
σBH （t ）+μW （t ）- 1 σ2T2H- 1 μ2t 2 2
也即
λB 軒t 軒 E e
H
（T ）+μW （T ）
軒 =e
λBH （t ）+μW （t ）+ λ （T2H-t2H）+ μ （T-t ） 2 2
2
2
dξ=
2
-
x2 2[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t ）]
R
乙e
பைடு நூலகம்
ix ） - 1 [λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t ）] （ξ2 λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t ）
dξ=
1 e 2 2H 2H 姨2π[λ （T -t ）-μ2（T-t）]
由傅立叶变换的性质知 · h（λBH（t）+μW（t））=nt，T（t） f （t ） =
e
赞 f （ξ）dξ=h（λBH（t）+μW（t））
- 1 ξ2λ2（T2H-t2H）- 1 ξ2μ2（T-t ） 2 2
与赞 f （ξ）乘积的傅立叶逆变换 。 但是 e
为 nt，T（x） 的傅立叶变换 ， 即
6
苏州科技学院学报 （ 自然科学版 ）
- 1 ξ2λ2（T2H-t2H）- 1 ξ2μ2（T-t ） 2 2
-
x2 2[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t ）]
R
乙n
t，T
（（λBH（t ）+μW （t ））-y）f （y）dy=
2
R
乙姨2π[λ （T
2
2H
1 e -t2H）-μ2（T-t）]
-
[x- （λBH （t ）+μW （t ））]
2 2H 2H 2
2[λ （T -t ）-μ （T-t ）]
f（x）dx
X （ t ，s ）= σ B H （ t ） + ε B H （ s ）
1 2 1 2
s ，t ≥ 0
BH ，BH 分别是参数为 H1 与 H2 的两个独立的分数布朗运动 。 文中仅考虑一个特殊的类型 ，即一个分数布朗运 动 BH与一个独立的布朗运动 W 的线性组合 Z（t）=BH （t）+εW（t）
dX（t）=μX（t）dt+σX（t）dBH（t）+εX（t）dW（t）
t
（2 ）
其中积分
0
乙X（s）dB （s）为 Wich-Ito赞 型随机积分，其定义及其性质见文献[3]、[6]、[7]。 易证明方程（2）存在唯一
H
强解 ，并且其解可以写成 —— —— —— —— —— —— —— —— —— —
乙
iξ （θBH （t ）+ωW （t ）- 1 ξ2θ2（T2H-t2H）- 1 ξ2ω2（T-t ） 2 2
*
]e
iξ （-θ2T2H-ω2T ）
赞 f （ξ ）dξ=
乙
iξ （θBH （t ）+ωW （t ）+θ2T2H+ω2t- 1 ξ2θ2（T2H-t2H）- 1 ξ2ω2（T-t ） 2 2
1
t≥0
（1 ）
ε 为任意实数 。 关于这类混合分数布朗运动的详细讨论见文献 [1]、[2]。 当 H= 1 时 ，Z 等价于 姨σ2+ε2W ； 当 2
H H≠ 1 时 ， 此过程为一个高斯过程 ； 当 0<H≤ 3 时 ，σBt +εWt 不是半鞅 ； 特别值得注意的是 ， 当 H> 3 且 ε>0 2 4 4
时这种混合分数布朗运动 Z 等价于 εWt。 此外 ，Bender 等人 [3]已经证明 ： 这个过程在正则策略集中是无套利 的 ，并说明欧式期权均存在这样一个正则策略集将其进行套期保值 [4]，因此 ，市场在此策略集下是完全的 。 这 也使得混合型分数布朗运动为驱动的金融市场更加具有实际意义 。 关于混合分数布朗运动的进一步问题及 性质见文献 [5] 。 文中主要考虑由混合分数布朗运动 （1） 驱动的随机微分方程
]e
iξ （-θ2T2H-ω2T ）
赞 （ξ ）dξ= f
R
乙
e
iξ （θBH （t ）+ωW （t ）+ （- 1 ξ2-iξ ）θ2H（T2H-t2H）+ （- 1 ξ2-iξ ）ω2（T-t ） 2 2
赞 f （ξ ）dξ
（11 ）