苏教版高中数学必修二空间直角坐标系

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高中数学必修2：4.3 空间直角坐标系

4.3 空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z之间的关系如图所示，设点M为空间直角坐标系中的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．设点P、Q和R在x轴，y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就和有序实数组（x，y，z）是一一对应的关系，有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M纵坐标，z叫做点M的竖坐标．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z Px y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，||MN = 在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，1||||PH MN == 根据勾股定理，得12||PP ==．因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P （x ，y ，z ），则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |．当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．【名师点睛】空间中点P 坐标的确定方法（1）由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y ，P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD 1|=2，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1，E ，F 的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1．试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12．所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ．方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点．故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22． 2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为( A )A ．B ．C ．D ．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为( C ) A ．B ．C ．D ．【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）；②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）；③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）；④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）；⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）；⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）；⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++．3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求：（1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．当2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．【解析】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD是矩形，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF．【例9】如图，已知正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a . 【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--，当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解．【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ，则=，即2210(1)3()8z z +-=+-，解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2．基础训练1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（ B ）A ．（－1，2，3）B ．（1，－2，－3）C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为（ A ）A ．（－3，4，5）B ．（－3，－4，5）C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为（ D ）A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43） 4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为（ B ）A ．9B ．29C ．5D ．2 65．已知点A （1，a ，－5），B （2a ，－7，－2）（a ∈R ）则|AB |的最小值是（ B ）A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的（ C ）A ．y 轴上B ．xOy 面上C ．xOz 面上D ．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P （1，2，3），过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为（ B ）A ．（0，2，0）B ．（0，2，3）C ．（1，0，3）D ．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO －A 1B 1C 1O 1中，OA ＝1，OC ＝2，OO 1＝3，A 1C 1与B 1O 1交于P ，分别写出A ，B ，C ，O ，A 1，B 1，C 1，O 1，P 的坐标．9．（1）已知A （1，2，－1），B （2，0，2），①在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；②在xOz 平面内的点M 到A 点与到B 点等距离，求M 点轨迹．（2）在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+＝2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P 点坐标为（1，0，0）．②设M （x ，0，z ），则有222(1)(2)(1)x z -+-++＝22(2)(2)x z -+-，整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0．故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线．（2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-＝22(1)51x -+．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）．能力10．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ A ）A ．62B ． 3C ．32D ．6311．已知A 点坐标为（1，1，1），B （3，3，3），点P 在x 轴上，且|PA |＝|PB |，则P 点坐标为（ A ）A ．（6，0，0）B ．（6，0，1）C ．（0，0，6）D ．（0，6，0）12．已知M （5，3，－2），N （1，－1，0），则点M 关于点N 的对称点P 的坐标为（－3，－5，2）．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于_2393_． 14．如图所示，正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a （0<a <2）．（1）求MN 的长度；（2）当a 为何值时，MN 的长度最短？因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点M （22a ，0，1－22a ）．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N （22a ，22a ，0）．（1（2）由（1），得|当a ＝22（满足0<a 即MN 15．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标．16．如图所示，V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1．∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0），同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）．∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz ．（1）若点P 在线段BD 1上，且满足3|BP |＝|BD 1|，试写出点P 的坐标，并写出P 关于y 轴的对称点P ′的坐标；（2）在线段C 1D 上找一点M ，使点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标．（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13，P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13．（2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ），则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12．当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长都为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是（﹣4，3，2）．。

苏教版高中高一数学必修2《空间直角坐标系》评课稿

苏教版高中高一数学必修2《空间直角坐标系》评课稿一、教材概述1.1 教材信息•教材名称：苏教版高中高一数学必修2•课题名称：《空间直角坐标系》1.2 教材内容《空间直角坐标系》是苏教版高中高一数学必修2的一章，主要内容是空间直角坐标系在三维几何中的应用。

本章通过引入直角坐标系的概念和相关的基本知识，让学生初步了解空间中点、直线、平面的坐标表示方法以及相关的计算与判断方法，为后续学习空间几何奠定基础。

二、教学目标2.1 知识目标•理解直角坐标系在空间几何中的概念和基本性质；•掌握点、直线和平面的坐标表示方法；•了解空间点之间的距离和线段的分点公式，并能应用解决相关问题。

2.2 能力目标•能够准确地在空间直角坐标系中表示点、直线和平面；•能够灵活地应用坐标表示法计算点之间的距离和线段的分点；•能够根据题目要求，确定相关点、直线和平面的坐标。

2.3 情感目标•培养学生对数学的兴趣和探索欲望；•提高学生的空间想象能力；•培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

三、教学重点•直角坐标系的概念和基本性质；•点、直线和平面的坐标表示方法；•点之间的距离和线段的分点公式的应用。

四、教学难点•多个平面的交线以及相交关系的确定；•空间几何问题向坐标几何的转化。

五、教学过程5.1 导入与启发本节课的主题是《空间直角坐标系》，为了使学生更好地进入学习状态，我将通过以下问题引发学生对课题的思考：•你在日常生活中见过哪些与空间有关的几何图形？•这些几何图形是否涉及到使用坐标的表示方法？•你对于坐标表示方法有哪些了解？5.2 概念讲解与例题讲解在本节课中，我们要学习空间直角坐标系的概念和基本性质。

我将通过以一个个具体的例题来引导学生理解和掌握相关知识点，例如以下例题：例题1：求空间直角坐标系中两点之间的距离已知空间直角坐标系中两点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，求点A和点B之间的距离。

解析：使用三维空间中点的距离公式：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]代入已知点的坐标计算：d = √[(4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²] = √(9 + 9 +9) = √27 = 3√3通过这一例题，学生可以掌握如何计算空间中两个点之间的距离，并了解距离公式的推导过程。

苏教版高中数学必修2课件 2.3.1 空间直角坐标系课件2

解析：如右图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM
＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)．
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，
使AN＝NB，
栏目
链
则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)．
接
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；
A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
中层原子竖坐标都为21，所以这四个钠原子坐标为：21，0，12，
栏目链
接
1，12，12，21，1，12，0，12，21.
上层原子竖坐标都为 1，所以这五个钠原子坐标为：(0,0,1)，
(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)，21，12，1.
栏
角线 AC′与 BD′相交于点
目链
Q.顶点 O 为坐标原点，OA，
接
OC 分别在 x 轴、y 轴正半轴
上，试写出点 Q 的坐标．
变式训练
解析：由立体几何知识容易知道：点 A，B，C′，
D′组成平行四边形，点 Q 是该平行四边形对角线 BD′
和 AC′的交点．过点 Q 作 QQ′⊥平面 OABC，Q′是
《2.3.1 空间直角坐标系及其应用》课件
栏目链接
或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是你一定看过美国作家海明威的著名小说《老人与海》，
其生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤
身一人，与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只
栏目
能拖回一副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，链接
成八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，其中黑点代表钠原子，
如下图(2)所示，建立空间直角坐标系 O—xyz 后，试写出全部钠原子

苏教版高中数学必修2知识归纳：空间直角坐标系

空间直角坐标系
1.空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox，Oy，Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴叫做坐标轴。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

3．在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。

4.空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴，Oy轴，Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M
点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

5.空间中两点间的距离公式：
d=
6．不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。

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高中数学苏教版第二章《空间直角坐标系》word学案

第二章平面解析几何初步听课随笔第三节空间直角坐标系第16课时空间直角坐标系【学习导航】知识网络学习要求2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；3．感受类比思想在探索新知识过程中的作用．【课堂互动】自学评价1．空间直角坐标系从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系xyzO-.点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．2．空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y 轴．y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．3. 空间点的坐标表示对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x 轴与y轴与z轴，它们与x轴与y轴和z轴分别交与RQP,,．点RQP,,在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数对(,,)x y z叫做点A的坐标，记为(,,)A x y z．【精典范例】例1：在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P．分析：可按下列步骤作出点P，541x yO P−−−−−−→−−−−−−→从原点出发沿轴正沿与轴平行的方向方向移动个单位向右移动个单位62zP P−−−−−−→沿与轴平行的方向向上移动个单位【解】所作图如下左图所示：空间直角坐标系坐标轴坐标平面点的坐标坐标原点右手直角坐标系例2：如上右图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为5,8,12='==A A AD AB ．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．【解】因为5,8,12='==A A AD AB ，点A 在坐标原点，即)0,0,0(A ，且A D B ',,分别在x 轴、y 轴、z 轴上，所以它们的坐标分别为)5,0,0(),0,8,0(),0,0,12(A D B '．点D B C '',,分别在xOy 平面、zOx 平面和yOz 平面内，坐标分别为)0,8,12(C ，)5,8,0(),5,0,12(D B ''．点C '在三条坐标轴上的射影分别是点A D B ',,，故点C '的坐标为)5,8,12(．例3：（1）在空间直角坐标系xyz O -中，画出不共线的3个点R Q P ,,，使得这3个点的坐标都满足3=z ，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．(0,0,3),P (4,0,3),Q (0,4,3)R ．【解】（1）取三个点（2）R Q P ,,三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在xOy 平面的同侧，且到xOy 平面的距离相等，所以平面PQR 平行于xOy 平面，而且平面PQR 内的每一个点在z 轴上的射影到原点面上的点的坐标都满足3=z ．的距离都等于3，即该平追踪训练一 1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3)A B答案略2. 已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为6,4,7AB AD AA '===．以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,BA BC BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．答案：(6,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,4,0)C ，(6,4,0)D ，(6,0,7)A '，(0,0,7)B '，(0,4,7)C '，(6,4,7)D '．3．写出坐标平面yOz 内的点的坐标应满足的条件．答案：yOz 平面上的点的x 坐标都为0．【选修延伸】一、对称点例4: 求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点的对称点．【解】(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影为(2,3,0),C -在zOx 平面上的射影为(2,0,1)B -，∴(2,3,1)A --关于xOy 平面的对称点为(2,3,1),C -关于zOx 平面及原点的对称点分别为(2,3,1)B '-、(2,3,1)A '-点评:一般的，点(,,)x y z 关于xOy 平面的对称点为(,,)x y z -，关于yOz 平面的对称点为(,,)x y z -，关于zOx 平面的对称点为(,,)x y z -，关于原点的对称点(,,)x y z ---追踪训练二1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点(,,)A x y z 的坐标所满足的条件．答案：若点A 在x 轴上，则0y z ==；若点A 在y 轴上，则0x z ==；若点A 在z 轴上，则0x y ==；若点A 在xOy 平面上，则0z =；若点A 在yOz 平面上，则0x =；若点A 在zOx 平面上，则0y =．。

高中数学 2.3.1空间直角坐标系及其应用课件苏教版必修2

且C(1，2，1)．
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A
与B关于x轴对称且点 B(1，－2，1)．
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∴A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1，2，1)；
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A(1，2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2，1)．
规律总结：对称关系可简记为“关于谁对称谁
栏
不变，其余的均相反”．特别地，关于原点对
点代表钠原子，如下图(2)所示，建立空间直角坐标系
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Oxyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．
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目
链
称，三个坐标符号都要变．
接
►变式训练 2．在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2，3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．
栏目链接
解析：(1)关于xOy平面的对称点坐标为(1，－2，－3)；关于xOz平面的对称点坐标为(1，2，3)；关于yOz平面的对称点坐标为(－1，－2，3)．
(2)关于x轴的对称点坐标为(1，2，－3)；
关于y轴的对称点坐标为(－1，－2，－3)；
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关于z轴的对称点坐标为(－1，2，3)．
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(3)关于原点的对称点坐标为(－1，2，－3)．
空间直角坐标系的应用
晶体的基本单位称为晶胞，下图(1)是食盐晶胞的示意图
(可看成八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)，其中黑
解析：由立体几何知识容易知道：点 A，B，C′，D′组成平行
四边形，点 Q 是该平行四边形对角线 BD′和 AC′的交点．过点 Q 作
QQ′⊥平面 OABC，Q′是垂足(正射影)，由于 Q 是 AC′的中点．故 Q′ 栏

高中数学必修2《第四章：圆与方程.(4.3空间直角坐标系)》

个性化辅导教案学员姓名科目年级授课时间课时授课老师教学课题教学目标重点难点教学内容4.3空间直角坐标系空间直角坐标系的建立及坐标表示[导入新知]1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz.(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．[化解疑难]1．空间直角坐标系的建立建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上，对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴、y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.3．特殊点在空间直角坐标系中的坐标表示如下点的位置 x 轴 y 轴 z 轴 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面坐标表示 (x,0,0)(0，y,0)(0,0，z )(x ，y,0)(0，y ，z )(x,0，z )空间两点间的距离公式[导入新知]1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝x 2＋y 2＋z 2.2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.[化解疑难]1．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 2．空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.空间中点的坐标的确定[例1] 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标． [解] 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为(1，32，0)，点F 的坐标为(1,2,1)．[类题通法]空间中点P 坐标的确定方法(1)由P 点分别作垂直于x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于点P x 、P y 、P z ，这三个点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么点P 的坐标就是(x ，y ，z )．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．[活学活用]1.如图所示，V -ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．空间中点的对称[例2] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点P (2,3，－1)关于坐标平面xOy 的对称点为P 1，点P 1关于坐标平面yOz 的对称点为P 2，点P 2关于z 轴的对称点为P 3，则点P 3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称且C 的坐标为(1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB ，则A 与B 关于x 轴对称且B 的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案](1)(1,2,1)，(1，－2,1)(2)(2，－3,1)[类题通法]1．求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．2．空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．[活学活用]2．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面yOz对称的点的坐标为()A．(－3,1,5)B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)3．点P(－3,2，－1)关于平面xOy的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________．空间中两点间的距离[例3]如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．[解] 由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝⎛⎭⎫a 2，a2，a .因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a . [类题通法]求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．[活学活用]4．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，A 1C的中点E 到AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．a D.12a12.空间直角坐标系的应用误区[典例] 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长都为2，侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．[解析] 取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB 、OC 、OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA ＝OC ＝1，OB ＝3，可得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．[易错防范]1．解答此题不是以OB 、OC 、OO 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，而是以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，进而错误地求出A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)．2．求空间点的坐标的关键是建立正确的空间直角坐标系，这也是正确利用坐标求解此类问题的前提．建立空间直角坐标系时要注意坐标轴必须是共点且两两垂直，且符合右手法则．[成功破障]如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz.(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y 轴的对称点P′的坐标；(2)在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．[随堂即时演练]1．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于xOy平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是()A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)3．已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标是________．4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．5．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．课后作业教师课后赏识。

苏教版高中数学必修二第13讲：空间直角坐标系(学生版)

苏教版高中数学空间直角坐系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；通过空间中两点的距离解决问题．一、空间直角坐标系1. 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系.如右图所示.点O 叫做_______，x 、y 和z 三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每两个轴的平面叫做_______，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向. 2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz 、xOz 、xOy ，叫做坐标平面．xOy 平面(通过x 轴和y 轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中x ，y 为任意的实数； xOz 平面(通过x 轴和z 轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中x ，z 为任意的实数； yOz 平面(通过y 轴和z 轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中y ，z 为任意的实数； x 轴是坐标形如_______的点构成的点集，其中x 为任意实数； y 轴是坐标形如_______的点构成的点集，其中y 为任意实数； z 轴是坐标形如________的点构成的点集，其中z 为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法 1.关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOy P x y z -关于坐标平面对称 ()()1,, ,,P x y z yOz P x y z -关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOz P x y z -关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称()()1,, ,,P x y z x P x y z --关于轴对称 ()()1,, ,,y P x y z P x y z --关于轴对称 ()()1,, ,,P x y z z P x y z --关于轴对称三、空间两点间的距离公式一般地，空间中任意两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z 间的距离为_______________________特殊地，任一点(),,P x y z 到原点O 的距离为PO =类型一空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．练习1：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标．练习2：点(2,0,3)位于( )A．y轴上B．x轴上C．xOz平面内D．yOz平面内例2：已知V－ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．练习1：如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O 为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．练习2：(2014·湖北理，5)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②例3：在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)，(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)，(3)关于y轴的对称点是P(－x，y)，那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：(1)关于原点的对称点是P1________；(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________；(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________；(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4________；(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5________；(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6________；(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7________.练习1：求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．练习2：点()1,2,3P -关于坐标平面xOz 对称点的坐标是（）A.()1,2,3B.()1,2,3--C.()1,2,3--D.()1,2,3-- 类型二空间两点间距离公式例4：证明以A (4,3,1)、B (7,1,2)、C (5,2,3)为顶点的△ABC 是等腰三角形．练习1：求下列两点间的距离．(1)A (－1，－2,3)、B (3,0,1)； (2)M (0，－1,0)、N (－3,0,4)．练习2：2．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．|a |B ．|b |C ．|c |D ．以上都不对例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD ＝5m ，河宽BC ＝3m ，另一侧有点A ，AB ＝4m ，求点A 与塔顶D 的距离AD .练习1：已知空间三点A (1,2,4)、B (2,4,8)、C (3,6,12)，求证A 、B 、C 三点在同一条直线上．练习2：以()()()10,1,6,4,1,9,2,4,3A B C -三点为顶点的三角形是（ C ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形例6：求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐标满足的条件．练习1：若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是____________；练习2：若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z满足的关系式是____________；练习3：已知空间两点A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)在Oz轴上有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是____________．1．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．42．在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,4，－5)关于z轴对称的点的坐标是()A．(－3，－4,5) B．(－3，－4，－5)C．(－3,4,5) D．(3,4,5)3．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于()A．10 B.10C.38 D．384．已知三点A(－1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,8,5)，则()A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形5．(2014·福建师大附中高一期末测试)点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是________．6．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)空间直角坐标系中的点A(2,3,5)与B(3,1,4)之间的距离是________．7.在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．点P (－1,2,0)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOy 平面上D ．xOz 平面上 2．点P (－1,2,3)关于xOy 坐标平面对称点的坐标是( )A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(－1,2，－3)D ．(1，－2，－3)3．已知A (1,0,2)、B (1，－3,1)，点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为( )A ．(－3,0,0)B ．(0，－3,0)C ．(0,0，－3)D ．(0,0,3)4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A (－6，－6，－6)、B (8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( )A ．14 3B ．314C ．542D ．42 55.已知一长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA 1＝2，AB ＝6，AD ＝4.求长方体各顶点的坐标．能力提升6．点A (－3,1,5)、B (4,3,1)的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C.()－12，3，5 D.⎝⎛⎭⎫13，43，2 7. 以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 8. 点M (2，－3,5)到x 轴的距离d 等于( )A.38B.34C.13D.299. 如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B 、C 、E 、A 1的坐标．10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．。

苏教版高中数学必修二课件2.3.1空间直角坐标系

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空间直角坐标系
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提问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任意一点的位置都有唯一的坐标来表示.
那空间中任意一点的位置怎样用坐标来表示?
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下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.
墙
墙地面
z
4 3
1
O1
4
x
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有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？
z
经过A点作三个平面
分别垂直于x轴、y轴和z轴，
它们与x轴、y轴和z轴分别
交于三点，三点在a,b,c组成
o
b
a
y
的有序实数对（a,b,c)叫做点Ａ的坐标
x
记为：Ａ（a,b,c)
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例１
3.写出坐标平面yoz内的点的坐标应满足的条件．
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课堂小结：
１．空间直角坐标系的概念．２．空间直角坐标系的画法．３．运用空间直角坐标系表示空间点的坐标．
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课堂练习：
1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：
Ａ(0,0,3), B(1,2,3), C(2,0,4), D(-1,2,-2)
2.已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为 AB=6, AD=4, AA`=7以这个长方体的顶点Ｂ为坐标原点，射线BA,BC,BB`分别为X轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
(4,5,3) 5y
从空间某一个定点０
z
引三条互相垂直且有相
同单位长度的数轴，这

【高中课件】苏教版必修2高中数学2.3.1空间直角坐标系课件ppt.ppt

AA＝5．以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA分别为x轴、 y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．
A z D
B C
A
D x
B y
C
数学应用
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，写出正方体各顶点的坐标．
A1
z
B1
A1
z
B1
A1
D1
C1
数学应用
例3．(1)在空间直角坐标系O-xyz中，画出不共线的3个点P，Q，R，使得这3 个点的坐标都满足z＝3，并画出图形； (2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．z
y O x
数学应用
如图，已知四棱锥P－ABCD中，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M是PC 的中点，N在PB上，且PN＝3NB，已知AB＝4，AD＝3，PA＝5，建立如图所示坐标系，写出点P，A，B，C，D，M，N的坐标． z
空间内落在坐标轴上或坐标平面内的点的坐标特征.
平面xOy内点的坐标特征为_______z_＝__0______；平面yOz内点的坐标特征为_______x_＝__0______；平面xOz内点的坐标特征为_______y_＝__0______； x轴上点的坐标特征为_______y_＝__0_，__且__z_＝__0___； y轴上点的坐标特征为_______x_＝__0_，__且__z_＝__0___； z轴上点的坐标特征为_______x_＝__0_，__且__y_＝__0___．
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高中数学必修2
问题情境
平面解析几何的基本思想是什么? 借助平面直角坐标系，用代数方法来研究直线、圆等图形的有关性质．建立平面直角坐标系，平面上任意一点与坐标建立一一对应关系．直线、圆等几何图形就与方程f(x，y)＝0建立对应关系，进而利用方程揭示图形的有关性质．

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.3.1 空间直角坐标系》1

空间直角坐标系教材分析这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是以后学习“空间向量”等内容的基础．通过建立空间直角坐标系，可以将空间内任一点用有序数组来表示；反过来，任一有序数组就对应一个点，这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示．这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角、二面角的平面角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用．教学目标1 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．2通过数轴与数，平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性3 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．教学重点和难点重点：空间直角坐标系中点的坐标表示难点：空间直角坐标系中点的坐标表示教学设计一、设问研习问题1：我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数),(yx表示。

那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x,,表示出来呢？问题设计意图：让学生体会到点与数（有序数组）的对应关系师生活动：师：启发学生联想思考，生：感觉可以师：我们不能仅凭感觉，我们要把对它的认识从感性化提升到理性化。

问题2：如何确定一个点在三维空间内的位置？例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．问题设计意图：体会空间直角坐标系的建立过程师生活动：师：在地面上建立直角坐标系O，则地面上任一点的位置只须利用，就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面O上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—，从而确定了空间点的位置．二、合作究疑1 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—，点O叫作坐标原点，轴、轴、轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为O平面，O平面，O平面．教师进一步明确：（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．（2）将空间直角坐标系O—画在纸上时，轴与轴、轴与轴成135°，而轴垂直于轴，轴和轴的单位长度相等，但轴上的单位长度等于轴和轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．2 空间直角坐标系O—中点的坐标．思考：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（，，）有什么样的对应关系？在学生充分讨论思考之后，教师明确：（1）过点A作三个平面分别垂直于轴，轴，轴，它们与轴、轴、轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为，，，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（，，）．（2）反之，对任意一个有序数组（，，），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在轴、轴、轴上的坐标分别是，，，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（，，）之间就建立了一种一一对应关系：A（，，）．教师进一步指出：空间直角坐标系O—中任意点A的坐标的概念对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于轴、轴和轴，它们与轴、轴、轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为，，，我们把有序数组（，，）叫作点A 的坐标，记为A（，，）．（如图26-4）三、点拨深化［例题］1 在空间直角坐标系O—中，作出点P（5，4，6）．注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．2 （1）在空间直角坐标系中，坐标平面O，O，O上点的坐标有什么特点？（2）在空间直角坐标系中，轴、轴、轴上点的坐标有什么特点？解：（1）O平面、O平面、O平面内的点的坐标分别形如（，，0），（，0，），（0，，）．（2）轴、轴、轴上点的坐标分别形如（，0，0），（0，，0），（0，0，）．3 已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为轴、轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．注意：此题可以由学生口答，教师点评．解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）．讨论：若以C点为原点，以射线CB，CD，CC′方向分别为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．［练习］1 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．2 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为轴、轴和轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．3 写出坐标平面O上∠O平分线上的点的坐标满足的条件．四、评价巩固1 分别写出点（1，1，1）关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标．2 设ｚ为任意实数，相应的所有点P（1，2，）的集合是什么图形？3 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去．案例主要采用启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．首先，为了使学生比较顺利地实现从线到平面、再从平面到空间的变化，即从一维到二维、再从二维到三维向量的变化，采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一变化，同时引起了学生的兴趣．在整个教学过程中，内容由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦．这对增强学生的学习信心，起到了很好的作用．在研究过程中，充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养了学生的思想品质．在求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用类比的思想方法，也锻炼了他们的空间思维能力．就整体而言，空间直角坐标系是空间向量的根基，这种课属于典型的起始课教学．这篇案例在体现坐标思想、概念教学等方面做了成功的探究．。

苏教版高中数学必修二§2.3 空间直角坐标系.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2.3 空间直角坐标系2.3.1 空间直角坐标系【课时目标】1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．掌握空间中任意一点的表示方法．3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向，以线段OA、OC、OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个______________，其中点O叫做________________，x轴、y轴、z轴叫做________，通过每两个坐标轴的平面叫做________，分别称为__________________，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即______________指向x轴的正方向，________指向y轴的正方向，________指向z轴的正方向．2．空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．一、填空题1．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为__________．2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合表示的轨迹为__________________________．3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．其中实圆•代表钠原子，空间圆代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是____________．4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为______________． 5．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是__________________．6．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是________．7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；②在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )；③在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )；④在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．其中正确说法的序号是________．8．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(1，2，3)，过点P 作yOz 平面的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标是________________________________________________________________________．9．连结平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为________________．二、解答题10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．11．如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E 是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8．BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．①点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x，－y，－z)．②点(x，y，z)在xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)．§2．3空间直角坐标系2．3．1空间直角坐标系答案1．空间直角坐标系O —xyz 坐标原点坐标轴坐标平面 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面右手拇指食指中指作业设计 1．(1，－2,3)解析两点关于x 轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反． 2．垂直于xOz 平面的一条直线3．⎝⎛⎭⎫12，12，1 4．(－3,4,5)解析两点关于平面yOz 对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同． 5．关于坐标原点对称解析三坐标均相反时，两点关于原点对称． 6．|c |7．②③④8．(0，2，3)9．⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22 10．解如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12． 11．解由于已经建立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B (－2,3，－1)，C (2,3，－1)，D (2，－3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．12．解如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)． 13．解因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝62．以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－32，0)、B(32，0,0)、C(－32，0,0)、D(0，－32，8)、E(0,0,8)、F(0,32，0)．。

苏教版高中数学必修2- 2.3.1空间直角坐标系教案

2.3.1 空间直角坐标系教学目标：1．通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性；2．了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程；3．感受类比思想在探究新知识过程中的作用．教材分析及教材内容的定位：该课是在学生学习了平面直角坐标系，利用平面直角坐标系解决平面几何图形问题有了一定的数形结合思想的基础上的进一步推广，有了以上的基础，学生学习空间直角坐标系就有了一定的知识基础，有了平面解析几何知识，学生的知识迁移就有了保障，学生又学习了空间几何知识，学习了空间直角坐标系后，学生经过知识迁移就能利用空间直角坐标系解决空间立体几何知识，把数形结合思想由平面推广到空间，为立体几何问题的解决提供了新的解题途径．教学重点：空间直角坐标系的理解．教学难点：是通过建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标．教学方法：采用启发式教学、合作探究等方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．教学过程：一、问题情境1．情境：通过前面学习直线与圆的方程，了解了解析几何的基本思想是什么？——建立坐标系，用代数方法解决几何问题！建立平面直角坐标系，确立了平面内的点与坐标之间的一一对应关系；2．问题：空间位置如何确定啊，如在日常生活中，如何表示一个房间中电灯的位置？二、学生活动1．根据老师提出的问题分小组进行讨论；2．在老师的引导下认识从感性化提升到理性化；3．在老师的引导下，以正方体为模型，构建空间直角坐标系，并搞清相关概念．4．阅读、动手画图、做例题、习题并总结本节课内容．三、建构数学1．空间直角坐标系．从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空．点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴间直角坐标系O xyz中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．2．空间右手直角坐标系的画法．通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．3．空间点的坐标表示．对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴与z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R．点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数对（x，y，z）叫做点A的坐标，记为A(x，y，z)．4．空间对称的点的特征：点P(x，y，z)是空间内任意一点，则（1）点P关于原点的对称点的坐标为(－x，－y，－z)；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件． 2．练习．（1）在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3)A B答案略．（2）已知长方体ABCD A B C D ''''-的边长为6,4,7AB AD AA '===．以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,BA BC BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．答案：(6,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,4,0)C ，(6,4,0)D ，(6,0,7)A '，(0,0,7)B '，(0,4,7)C '，(6,4,7)D '．（3）写出坐标平面yOz 内的点的坐标应满足的条件．答案： yOz 平面上的点的x 坐标都为0．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容： 1．右手坐标系的建立； 2．坐标轴、坐标面；3．根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标的方法．。

高中数学第二章第16课时《空间直角坐标系》教案(学生版 ) 苏教版必修2

第二章平面解析几何初步第15课时空间直角坐标系【学习导航】知识网络学习要求2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；3．感受类比思想在探索新知识过程中的作用．自学评价 1．空间直角坐标系从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系xyz O -.点O 叫做， x 轴、y 轴、z 轴叫做，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为平面、平面和平面． 2．空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成，而z 轴垂直于y 轴．y 轴和z 轴的单位长度，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的单位长度的． 3. 空间点的坐标表示对于空间任意一点A ，作点A 在三条坐标轴上的射影，即经过点A 作三个平面分别垂直于x 轴与y 轴与z 轴，它们与x 轴与y 轴和z 轴分别交与R Q P ,,．点R Q P ,,在相应数轴上的坐标依次为x ，y ，z ，我们把有序实数对(,,)x y z 叫做点A 的，记为．【精典范例】例1：在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P ．【解】例2：如上图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为5,8,12='==A A AD AB ．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．【解】例3：（1）在空间直角坐标系xyz O -中，画出不共线的3个点R Q P ,,，使得这3个点的坐标都满足3=z ，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．【解】追踪训练一1.在空间直角坐标系中，画出下列各点： (0,0,3),(1,2,3)A B听课随笔空间直角坐标系坐标轴坐标平面点的坐标坐标原点右手直角坐标系2. 已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为6,4,7AB AD AA '===．以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,BA BC BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．3．写出坐标平面yOz 内的点的坐标应满足的条件．【选修延伸】一、对称点例4: 求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点的对称点．【解】追踪训练二1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点(,,)A x y z 的坐标所满足的条件．。

苏教版数学高一-15-16高中苏教版数学必修2学案 2. 3.1 空间直角坐标系及其应用

2．3空间直角坐标系2．3.1空间直角坐标系及其应用或许你没有看过浩瀚无边的大海，但是你一定看过美国作家海明威的著名小说《老人与海》，其生动地描写了一位老人，在汹涌澎湃的海面上，孤身一人，与鲨鱼搏斗，最后战胜鲨鱼的过程，尽管老人只能拖回一副鱼骨头，但是他告诉我们“一个人可以被毁灭，但不能被打败”．这是强者的精神宣言．然而，你是否思考过：当船航行在茫茫无际的大海上时，四周只见水，不见物，那么，怎样知道船所在的位置呢？怎样知道船离目的地还有多远呢？1．如图，OABCD ′A ′B ′C ′是单位正方体．以O 为原点，分别以射线OA ，OC ，OD ′的方向为正方向，以线段OA ，OC ，OD ′的长为单位长，建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点；x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．如图，设点M 为空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P ，Q 和R .设点P ，Q 和R 在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么点M 就对应唯一确定的有序实数组(x ，y ，z )．有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标，原点O 的坐标为(0，0，0)．3．若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则A 、B 两点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．,一、空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz .点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面．(2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出点M在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影，其相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．(4)xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；yOz平面(通过y 轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数．(5)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．二、空间直角坐标系中与平面直角坐标中重要结论对照表在y轴上(0，y，0)(0，y)在z轴上(0，0，z)P的对称点关于原点(－x，－y，－z)(－x，－y)关于x轴(x，－y，－z)(x，－y)关于y轴(－x，y，－z)(－x，y)关于z轴(－x，－y，z)基础巩固知识点一空间中点的位置的确定1．点A(0，－2，3)在空间直角坐标系的位置是在________平面上．解析：∵xA＝0，∴A在yOz平面上．答案：yOz2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④3．如右图所示，空间直角坐标系中OABCD′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．解析：点的横坐标为0，∴点在平面yOz上，竖坐标为2.∴点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D′C′的中点G.答案：G点知识点二空间中点的坐标的确定4．已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．解析：连接AC 、BD 交于点P ，则P 为AC 与BD 的中点，由点A 、C坐标求得中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B (2，－5，1)求得点D 的坐标为(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)5．点M (－1，2，1)在x 轴上的射影为M ′，则M ′关于原点的对称点是________．解析：M (－1，2，1)在x 轴上的射影M ′的坐标为(－1，0，0)，则M ′关于原点的对称点为(1，0，0)．答案：(1，0，0)6．若x 轴上一点A 到z 轴上一点B 的距离为4，并且AB 的中点到平面xOy 的距离为1，则点A 的坐标为________．解析：设A (a ，0，0)、B (0，0，c )，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫a 2，0，c 2， ∴|c |2＝1. ∴|c |＝2.又a 2＋c 2＝16.∴a 2＝12，a ＝±2 3.答案：(±23，0，0)知识点三空间中点的对称7．点(1，1，1)关于z 轴的对称点为________．解析：由对称知点(x ，y ，z )关于z 轴的对称点为(－x ，－y ，z )．答案：(－1，－1，1)8．点P (3，4，5)关于yOz 平面的对称点的坐标为________．解析：点(a ，b ，c )关于yOz 平面的对称点为(－a ，b ，c )．答案：(－3，4，5)9．点M (2，－3，1)关于点P (1，1，1)的对称点是________．解析：点M (a ，b ，c )关于点P (1，1，1)的对称点是(2－a ，2－b ，2－c )．答案：(0，5，1)能力升级综合点一求空间中点的坐标10．如右图，三棱锥OABC 为一个正方体截下的一角，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，建立如图所示的坐标系，则△ABC 的重心G 的坐标是________．解析：∵A (a ，0，0)、B (0，0，b )、C (0，c ，0)，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 311．已知矩形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝10，将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面BCD ⊥平面ABD .以D 为原点，射线DB 为y 轴的正半轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．解析：如下图，过点C 作CF ⊥BD 于点F ，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，由面BCD ⊥面ABD ，得CF ⊥面ABD ，AE ⊥面BCD .又在Rt △BCD 中，BD ＝（15）2＋（10）2＝5，∴DF ＝CD 2BD ＝3，CF ＝CD ·BC BD＝ 6. 同理可得AE ＝6，DE ＝2，故A (6，2，0)、C (0，3，6)．综合点二空间中的对称问题12．在空间直角坐标系中，已知点P (x ，y ，z )，给出下面命题： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，－y ，－z )；②点P 关于平面yOz 的对称点的坐标是(x ，－y ，－z )；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确命题的序号是________．解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)、(－x，y，z)、(－x，y，－z)、(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．答案：①④13．如图，已知一长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，顶点A的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解析：∵A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2，3，－1)、C(2，3，－1)、D(2，－3，－1)．A1、B1、C1、D1与A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3，1)、B1(－2，3，1)、C1(2，3，1)、D1(2，－3，1)．。

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空间直角坐标系本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ）其中正确的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．02．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为（） A ．43 B ．23 C ．42D ．323．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则（）A ．||AB >||CDB ．||AB <||CDC ．||AB ≤||CDD ．||AB ≥||CD4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则||CM （）A ．534B ．532C ．532D ．1325．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1， CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（）A ．2B ．3C ．2D ．56．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（）A ．14B ．13C ．32D ．117．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（）A ．（27，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3） 8．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（）A ．22b a +B ．cC ．cD ．b a +9．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是（）A ．21，4 B ．1，8C ．21-，－4 D ．－1，－810．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（） A ．26B ．3C ．23D ．36第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．如右图，棱长为3a 正方体OABC －''''D A B C ，点M 在|''|B C 上，且|'|C M =2|'|MB ，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点 M 的坐标为．12．如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ， ||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求△ABC 的重心G 的坐标 _ _．13．若O （0，0，0），P （x ，y ，z ），且||1OP =，则2221x y z ++=表示的图形是 _ _．14．已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点 B 的坐标为；AB 的长为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，长方体''''ABCD A B C D -中，||3AD =，||5AB =，|'|3AA =，设E 为'DB 的中点，F 为'BC 的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，'A ，'B ，'C ，'D ，E ，F 各点的坐标．16．（12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，PD =2b ，取各侧棱的中点E ，F ，G ，H ，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．17．（12分）如图，已知矩形ABCD 中，||3AD =，||4AB =．将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得面BCD ⊥面ABD ．现以D 为原点，DB 作为y 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．18．（12分）已知)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ，)4,1,6(-C ，求证其为直角三角形．19．（14分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．20．（14分）在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，－3），试问（1）在y 轴上是否存在点M ，满足||||MA MB =？（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．参考答案一、CADCB BDCCA二、11．（2a ，3a ，3a ）； 12．G （3,3,3b c a ）； 13．以原点O 为球心，以1为半径的球面；14．（3，－1，－4）； 226；三、15．解：设原点为O ，因为A ，B ，C ，D 这4个点都在坐标平面 xOy 内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用||3AD =，||5AB =写出，所以 A （3，0，0），B （3，5，0），C （0，5，0），D （0，0，0）；因为平面''''A B C D 与坐标平面xOy 平行，且|'|3AA =，所以A '，B '，'C ，D '的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A ，B ，C ，D 的相同，所以'A （3，0，3），'B （3，5，3），'C （0，5，3），'D （0，0，3）；由于E 分别是'DB 中点，所以它在坐标平面xOy 上的射影为DB 的中点，从而E 的横坐标和纵坐标分别是'B 的12，同理E 的竖坐标也是'B 的竖坐标的12，所以E （353,,222）；由F 为'BC 中点可知，F 在坐标平面xOy 的射影为BC 中点，横坐标和纵坐标分别为32和5，同理点F 在z 轴上的投影是AA '中点，故其竖坐标为32，所以F （32，5，32）． 16．解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ，由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ），同理G （0，a ，b ）； F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．17．解：由于面BCD ⊥面ABD ，从面BCD 引棱DB 的垂线CF 即为面ABD 的垂线，同理可得AE 即为面BCD 的垂线，故只需求得DF DE CF AE ,,,的长度即可。

最后得A （129,,055），C （0,1612,55） 18．略解：利用两点间距离公式，由89=AB ，75=AC ，14=BC ，从而222ABBC AC =+，结论得证.19．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得||MN ==．20．解：（1）假设在在y 轴上存在点M ，满足||||MA MB =．因Ｍ在y 轴上，可设M （0，y ，0），由||||MA MB =，可得，显然，此式对任意y R ∈恒成立．这就是说y 轴上所有点都满足关系||||MA MB =．（2）假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由（1）可知，y 轴上任一点都有||||MA MB =，所以只要||||MA AB =就可以使得△MAB 是等边三角形．因为||MA||AB ==解得y =故y 轴上存在点M 使△MAB 等边，M 坐标为（00），或（0，0）．。