行星的运动及万有引力定律

内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面
相切，如图所示，已知挖去小球的质量为m，在球
心和空穴中心连线上，距球心d＝6r处有一质量为
m2的质点，求： （1）被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大？
F1
G
mm2 (d r)2
G
mm2 (5r ) 2
G
mm2 25r 2
二、万有引力定律
（2）剩余部分对m2的万有引力为多大？
V
求解
中
h
心R
天
体
（球体体积公式为V 4 R3 ）
3
二、万有引力定律
例题：已知地球绕太阳公转周期为T，公转半径为r，万
有引力常量为G，则由此可求出（ B ）
解析：将挖去的小球填入空穴中，
由 M V , V 4 R3 可知，大球的质量为8m
3
则大球对m2的万有引力为
F2
G
8mm2 (6r)2
剩余部分对m2的万有引力为 F F2 F1
F
F2
F1
G
41mm2 225r 2
二、万有引力定律
资料
（二）万有引力与重力的关系
万有引力F引
向心力
F =m r2
r——两物体间距离，单位 m G——叫作引力常量
二、万有引力定律
3.引力常量: 亨利·卡文迪许 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
资料
资料
二、万有引力定律
4.公式适用条件： （1）理想情况：两个质点间
m1
r
m2
（2）实际情况：r>>R，两物体也可以看成是质点
二、万有引力定律
4.公式适用条件： （3）质量分布均匀的两个球体，可视为质量集中于球心
圆周运动，若已知地球公转周期为T，公转半径为r， 万有引力常量为G，求太阳质量。
由万有引力提供匀速圆周运动的向心力
资料
Mm 4 2r
G m
r2
T2
可知：
4 2r3
M GT 2
二、万有引力定律
（四）应用万有引力定律求解天体质量与密度
1.求解天体质量
注意：只能求解中心天体质量
2. 求解天体密度：由
M
力加速度 g ' ，则 g' 为(
g
D
)
Mm
G
mg
(R h)2
A. 1
1
B.ຫໍສະໝຸດ Baidu9
C.
1 4
D. 1
16
二、万有引力定律
（三）应用万有引力定律解决问题的两条基本思路：
1.地面或某星球表面的物体的万有引力近似等于重力 （忽略星球自转的影响） G Mm mg
R2
2.环绕天体所需的向心力由中心天体对环绕天体的万有引力提供 （环绕天体运动可近似看成做匀速圆周运动）
定律
内容、公式
所有行星轨道的半长轴的三次
方跟它的公转周期的二次方的
开普勒第三定律 （周期定律）
比值都相等，即：__Ta_32___k
k是一个与行星无关的常量，只
与中心天体质量有关
图示
需要注意：
一、开普勒定律
（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理（中学阶段）
（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体 （3）开普勒第三定律 a3 k ，k值只与中心天体的质量
一、开普勒定律
例题：为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P， 其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道 半径约为地球半径的 4 倍。P 与 Q 的周期之比约为（ C ）
A．2∶1 C．8∶1
B．4∶1 D．16∶1
TP2 TQ2
RP3 RQ3
TP : TQ 8 :1
G
Mm r2
m
v2 r
G
Mm r2
m 2 r
G
Mm r2
m
4 2
T2
r
二、万有引力定律
例题：已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，
万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响，求地
球的质量M。
资料
由于不考虑地球自转的影响
Mm G R2 mg
可知：
gR2 M
G
二、万有引力定律
例题：已知地球绕太阳公转的运动可近似看成匀速
Fn
n
重力 G = mg
二、万有引力定律
（二）万有引力与重力的关系
1.重力、重力加速度与纬度的关系
（1）在赤道上：
G
Mm R2
mg
m 2 R
（2）在两极：
F向 =0，G
Mm R2
mg
Mm
（3）在一般位置：重力是万有引力一个分力 G R2 mg 越靠近两极g越大
二、万有引力定律
（二）万有引力与重力的关系
例题：如图所示，两球间的距离为r0 ，两球的 质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别 为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（ D ）
A.Gmr10m2 2 C. Gm1m2
r1＋r22
B.Gmr112m2 D. Gm1m2
r1＋r2＋r02
二、万有引力定律
例题：一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其
r
此时r为两球心间的距离
（4）一个均匀球体与球外一个质点之间
苹
r果
地球
此时r为质点到球心间的距离
二、万有引力定律
5.对万有引力的理解： （1）普适性：任何两个物体间都存在引力
（2）相互性：万有引力具有相互性
（3）宏观性：万有引力的存在只有在质量巨大的天体间 或天体与物体间才有物理意义
二、万有引力定律
二、万有引力定律
资料
资料
v
行
太阳
星
二、万有引力定律
（一）万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在 它们的连线上，引力的大小F与物体的质量 m1和 m2的乘积 成正比，与它们的距离 r 的二次方成反比。 2.公式：F＝_G___m_r1_m2_2_____
m1、m2——两物体质量，单位 kg
行星的运动及万有引力定律
高三年级 物理
资料
一、开普勒定律
定律
内容、公式
图示
所有行星绕太阳运动的轨道都 开普勒第一定律
是__椭__圆__，太阳处在椭圆的一 （椭圆轨道定律）
个__焦__点__上
对任意一个行星来说，它与太 开普勒第二定律
阳的连线在相等的时间内扫过 （面积定律）
的面积__相__等__
一、开普勒定律
2.重力、重力加速度与高度的关系
（1）地球表面（F向很小，可忽略）
G
Mm R2
mg
地表的重力加速度
M g G R2
（2）地球上空距地表h高度
G
Mm (R h)2
mg
此高度处重力加速度 g G M
(R h)2
二、万有引力定律
例题：设地球表面的重力加速度为g，物体在距地表3R
（R是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重
T2
有关，不同的中心天体 k值不同
一、开普勒定律
例题：火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运 动定律可知（ C ） A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫 过的面积