泰勒公式ppt

泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn Rn (x)
2!
n!
其中
上述公式称为f(x)的麦克劳林( Maclaurin)公式 .
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例1:求函数
的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f ' x f '' x f n x ex，
f 4 x sin x,
(n 1)!
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
f
(n1) (
n!
)
(
x
x0
)n1
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二、几个函数的麦克劳林公式
在泰勒公式中取 x0 0 , 则在0与x之间, 因此可令 x (0 1) , 从而泰勒公式变为较简单的形式,即
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
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例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
（如下图）
y ex
y ex
y x
y 1 x
o
y ln(1 x)
o
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误差 Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
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二、 Pn(x)和Rn (x)的确定
分析: 若要f ( x) Pn ( x), 且近似程度要好,
Pn ( x)应满足什么条件?
1.若在 x0 点相交
y
wenku.baidu.com近 似
Pn ( x0 ) f ( x0 )
程 度
2.若有相同的切线
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn ( x) o[( x x0 )n ].
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f (k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
1 k!
f
(k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
由Pn ( x0 ) f ( x0 ), 得
a0 f ( x0 ),
由Pn( x0 ) f ( x0 ), 得 1 a1 f ( x0 ),
由Pn( x0 ) f ( x0 ), 得 2!a2 f ( x0 ), ,
由Pn(n) ( x0 ) f (n) ( x0 ), 得
得
ak
近似表示f (x)且当 x x0 时，f x Pn x 是比 x x0 n
高阶的无穷小.
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一、问题的提出
1.设 f ( x)在 x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x) 在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
一、泰勒公式 二、几个函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式
当一个函数f (x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0 附近的函数值或描绘曲线f (x)在一点P(x0,f(x0))附近
的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 函数 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (
x)
其中 Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1(
在 x0
与x
之间).
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Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
不足之处 1、精确度不高 2、误差不能估计。
问题: 寻找函数P( x),使得 f ( x) P( x) 误差 R( x) f ( x) P( x) 可估计
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b) 内具有直到 (n 1)阶导数,P( x) 为多项式函数 Pn ( x) a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
越 来
Pn( x0 ) f ( x0 )
越 好
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 ) o
x0
y f (x)
x
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Pn ( x) a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n 设 Pn(k ) ( x0 ) f (k ) ( x0 ) k 0,1,2,, n
所以 f 0 f ' 0 f '' 0 f n 0 1.
故
ex
1 x x2
x3
xn
2! 3!
n!
e x
(n 1) !
x n 1
(0 1)
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例2:求函数
的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f ' x cos x, f '' x sin x, f ''' x cos x,
x0 )n ]
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注:
1.当n 0时,泰勒公式变成 拉格朗日中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) (在x0与x之间)
2. 又 x0 ( x x0 ) (0 1)
取 x0 0,
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1