高等传热学作业

1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。

解：球坐标微元控制体如图所示：

热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：

→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕ

θθϕθsin 11'

' （1-1）

根据能量守恒：st out g in E E E E •

•••=-+

ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r t

T c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 2

2∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：

ϕθθd r rd t T

k q r

r sin ⋅∂∂-= ϕθθθθd r dr T r k q sin ⋅∂∂-= （1-3）

θϕ

θϕ

ϕrd dr T

r k q ⋅∂∂-

=sin

将上述式子代入（1-4-3）可得到

)

51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t

T c d drd r q d rd dr T

r k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：

t

T

c q T r k T r k r T r r r k p r ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2

222222sin )(sin sin )( （1-6）

2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。

解：根据题意画出示意图：

（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00

000212222θθ

λθθθδθθθ

θh y L y y y x x y x

（2-1）

解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分：

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂0

000021222

2I I I

I I I

I h y L y y y x x y x θθ

λθθθδθθθθ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂∏∏∏

∏∏∏∏

∏0000002

222θθ

λθθδθθθθh y L y y y x x y x （2）首先求解温度场I θ

用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即

)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）

将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012

121212=+X dy

Y d Y dx X d ，即2

1''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2

ε。由此得到一个待定常数的两个常微分方程

0012

2

1212

2

12=+=-Y dy

Y d X dx

X d εε （2-3） 解得

)()()(1x Bsh x Ach x X εε+= （2-4） )sin()cos()(1y D y C y Y εε+= （2-5） 把边界条件0,

0=∂∂=y

y I

θ代入（2-3-4）得到A=0，所以有 )()(1x Bsh x X ε= （2-6） 把边界条件0,

=∂∂=y

L y I

θ代入（2-3-5）得到D=0，所以有 )cos()(1y C y Y ε= （2-7） 把边界条件0,=+∂∂=I I

h y

L y θθλ

联立（2-3-7）得到 λ

εε/)cot(hL L

L =

（2-8）

设Bi hL L ==λβε/,，则有i B /)cot(ββ=，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1(Λ=n n β，所以对应无穷多个ε，即)3,2,1(Λ=n n ε，所以有 )cos()(1y C y Y n n ε= （2-9） 联立（2-3-6）可得

∑∞

==

1

)()cos(),(n n n n

I x sh y K

y x εεθ （2-10）

把边界条件2,θθδ==I x 代入上式可得 ⎰⎰

=L

n n n L

n dy y sh K dy y 0

20

2)(cos )()cos(εδεεθ （2-11）

解得

]

)cos())[sin(/()

sin(22n n n n n n L sh K βββδββθ+= （2-12）

其中L n n εβ= )()cos(]

)cos())[sin(/()sin(2),(12x L sh y L L sh y x n

n n n n n n n I βββββδββθθ∑∞

=+=

（2-13） （3）求解温度场∏θ

与解I θ一样用分离变量法，假设所求温度分布),(y x ∏θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积

)()(),(22x Y x X y x =∏θ （2-14）

将该式子代入∏θ的导热微分方程中得到022

222222=+X dy

Y d Y dx X d ，即2

2''22'

'2ε=-=Y Y X X ，由此可得到两个常微分方程

022

2

2=-X dx X d ε （2-15） 022

2

22=+Y dy

Y d ε （2-16） 解式（2-3-15）时根据x 的边界条件可以把解的形式写为

)]([)]([)(2x Bsh x Ach x X -+-=δεδε （2-17） 把边界条件0,==∏θδx 代入上式，得到A=0，所以有