5-1时间连续、状态离散的马尔可夫过程
时间连续状态离散的马尔科夫过程
j 1
pij (t ) 1
j 1
M
又因为 即
p j 0,
M M lim lim pij (t ) lim p j 1 M t M j 1 j 1
p
j 1
j
1, j 1, 2,...
dt
lim
pij (t t ) pij (t )
N
t 0
t
ik
lim
p
k 0
N ik
(t ) pkj (t ) pij (t ) t
N
t 0
lim
N
p
k 0
(t ) pkj (t ) pik (t ) kj
k 0
t 0
t
pik (t ) lim
时齐马尔科夫过程的转移概率
pij (s)=pij (t, t s) P{X t s j | X (t ) i}, t 0, s 0
性质
(1) 0 pij (s) 1 , (2)
p (s) 1,
ij j
i, j 1, 2,...(有限或无限)
一般的，规定
t j 1 j 1 t j 1 N N N
满足 即
p j 0,
p
j 1
N
j
1, j 1, 2,...N
p ,
j
j 1, 2,...N 构成一个概率分布
在此称为转移概率的极限分布 有限状态的遍历的马尔科夫过程必存在极限分布
遍历性
说明2： 若马尔科夫过程为无限状态的，则有，
X (t), t (0, )为一马尔科夫过程，其状态空间
通信系统的马尔可夫过程模型
通信系统的马尔可夫过程模型现代通信系统的设计和性能分析越来越依赖于马尔可夫过程模型。
马尔可夫过程是一种数学模型，可以描述系统状态随时间的变化，特别适用于具有随机特性的系统，例如通信系统中的信道状态和数据流量等。
本文将介绍通信系统中常用的马尔可夫过程模型及其应用，旨在帮助读者理解通信系统的性能分析方法和技术。
1. 引言通信系统是信息传输和交换的关键组成部分，其性能直接影响到用户体验和系统效率。
为了有效地分析和优化通信系统的性能，需要建立准确的数学模型。
马尔可夫过程作为一种常用的建模工具，能够描述系统状态的演化规律，是通信系统性能分析的重要手段。
2. 马尔可夫链马尔可夫链是马尔可夫过程的基本模型，用于描述具有马尔可夫性质的随机系统。
马尔可夫链的核心思想是“未来仅取决于当前状态，与过去状态无关”。
在通信系统中，常用的马尔可夫链模型有信道状态和用户行为等。
2.1 信道状态马尔可夫链通信系统中的信道状态常常是不确定的，例如无线通信中的信道衰落和干扰等。
为了描述这种不确定性，可以使用信道状态马尔可夫链模型。
该模型将信道状态定义为一系列离散的状态，通过状态间的转移概率描述信道状态的演化过程。
基于该模型，可以进一步分析通信系统的传输性能和容量等。
2.2 用户行为马尔可夫链在移动通信系统中，用户的行为常常具有随机特性，例如用户的移动模式和通信需求等。
为了更好地理解和满足用户的需求，可以使用用户行为马尔可夫链模型。
该模型将用户的行为抽象为一系列离散的状态，通过状态间的转移概率描述用户行为的演化过程。
基于该模型，可以优化通信资源分配和调度策略，提高用户的通信质量和系统效率。
3. 马尔可夫过程的性能分析通过建立马尔可夫过程模型，可以对通信系统的性能进行量化和分析。
常用的性能指标包括系统吞吐量、平均延迟和丢包率等。
3.1 稳态性能分析马尔可夫过程的稳态分析用于计算系统在长期运行中的平均性能。
通过求解状态转移方程或离散时间平稳分布，可以获得系统的稳态性能指标。
空间马尔可夫链测算-概述说明以及解释
空间马尔可夫链测算-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在空间马尔可夫链的研究中，该模型主要用于描述和分析具有空间特征的随机过程。
与传统的马尔可夫链不同的是，空间马尔可夫链不仅考虑了状态的转移概率，还考虑了状态间的空间依赖关系。
通过将马尔可夫链的状态扩展为空间上的节点，我们可以更好地模拟和分析各种现实世界中的随机过程。
本文将详细介绍空间马尔可夫链的概念和测算方法。
在第二章中，我们将首先给出空间马尔可夫链的定义和基本概念，包括状态空间、状态转移概率和初始概率分布等。
然后，我们将介绍一些经典的空间马尔可夫链模型，如格点模型和连续空间模型，并对它们的特点进行讨论。
在第三章中，我们将重点介绍空间马尔可夫链的测算方法。
这些方法包括参数估计、马尔可夫链融合和模拟仿真等。
我们将详细介绍每种方法的原理和步骤，并给出相应的数学公式和算法。
此外，我们还将讨论测算结果的解释和应用，以及可能存在的限制和改进空间。
总之，本文旨在为读者提供一个全面的关于空间马尔可夫链测算的指南。
通过对该模型的深入理解和应用，我们可以更好地分析和预测各种具有空间特征的随机过程，为实际问题的解决提供科学依据和决策支持。
在未来的研究中，我们也将继续探索空间马尔可夫链的新理论和方法，以适应不断变化的科学和工程需求。
文章结构部分的内容应该是对整篇文章的结构和各个部分的内容进行介绍和说明。
以下是对文章结构部分的内容的一个可能的编写：1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。
每个部分的主要内容如下：引言部分：引言部分包括了概述、文章结构和目的三个小节。
概述部分会对空间马尔可夫链测算的主题进行简要介绍，指出该主题的重要性和研究意义。
文章结构部分则会明确说明整篇文章的结构安排和各个部分的主要内容。
目的部分则会明确表达本文的研究目的和所要解决的问题。
正文部分：正文部分分为空间马尔可夫链的概念和空间马尔可夫链的测算方法两个小节。
空间马尔可夫链的概念部分会系统介绍空间马尔可夫链的基本概念、特点和相关理论背景，为后续的测算方法提供理论基础。
马尔可夫模型名词解释 -回复
马尔可夫模型名词解释-回复
马尔可夫模型是一种描述随机过程的数学模型。
它基于马尔可夫性质，即当前状态只与其前一状态相关，与之前的状态无关。
马尔可夫模型可以用于预测未来状态的概率、计算状态转移概率、估计参数等。
马尔可夫模型包括马尔可夫链和马尔可夫过程两种形式。
1. 马尔可夫链：马尔可夫链是一种状态转移模型，表示在离散时间下一个状态仅取决于当前状态的概率分布。
马尔可夫链可以用有限状态空间或无限状态空间来表示，其动态性质可以通过转移概率矩阵或转移概率函数来描述。
2. 马尔可夫过程：马尔可夫过程是一种连续时间下的随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来状态仅依赖于当前状态的条件概率分布。
马尔可夫过程可以分为离散态马尔可夫过程和连续态马尔可夫过程两种类型。
马尔可夫模型在很多领域中有着广泛的应用，例如自然语言处理、机器学习、信号处理、金融建模等。
它能够帮助建立概率模型、进行状态预测和预测未来状态概率等。
随机过程中的马尔可夫过程
随机过程中的马尔可夫过程在随机过程中的马尔可夫过程马尔可夫过程是在随机过程中常见且重要的一种形式。
它具有一定的数学特性和模型结构，能够描述在离散或连续时间段内状态的转移以及相关的概率。
本文将对马尔可夫过程的基本概念、特性和应用进行详细介绍。
一、概述马尔可夫过程是一种随机过程，其状态转移满足马尔可夫性质。
马尔可夫性质是指在给定当前状态下，未来和过去的转移概率仅与当前状态有关，与过去状态无关。
这种性质使得马尔可夫过程具有简化模型和简单计算的优势，被广泛应用于各个领域。
二、基本概念1. 状态空间：马尔可夫过程的状态空间是指所有可能取值的集合。
例如，一个骰子的状态空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 转移概率：马尔可夫过程中的状态转移概率描述了从一个状态到另一个状态的概率。
用P(Xt+1 = j | Xt = i)表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 转移矩阵：将所有状态之间的转移概率整合到一个矩阵中，称为转移矩阵。
转移矩阵是一个方阵，大小为n×n，其中n是状态空间的数量。
4. 平稳分布：在马尔可夫过程中，如果某个状态的概率分布在经过无限次转移后保持不变，那么该概率分布称为平稳分布。
平稳分布可以通过解线性方程组来计算。
三、特性1. 马尔可夫链：马尔可夫过程可以看作是离散时间的马尔可夫链。
马尔可夫链是指具有无记忆性质的随机序列，即未来状态只依赖于当前状态。
2. 齐次马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的转移概率与时间无关，那么称为齐次马尔可夫过程。
齐次马尔可夫过程的转移概率矩阵在时间上保持不变。
3. 连续时间马尔可夫过程：如果马尔可夫过程的时间是连续的，则称为连续时间马尔可夫过程。
连续时间的马尔可夫过程可以用微分方程来描述。
四、应用领域1. 金融学：马尔可夫过程常用于金融市场的建模和分析，例如股票价格的预测和风险管理。
2. 信号处理：马尔可夫过程可以用于信号和图像的分析与处理，包括语音识别和图像识别等领域。
马尔可夫链
马尔可夫过程一类随机过程。
它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。
该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。
例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。
在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。
关于该过程的研究，1931年 A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。
目录马尔可夫过程离散时间马尔可夫链连续时间马尔可夫链生灭过程一般马尔可夫过程强马尔可夫过程扩散过程编辑本段马尔可夫过程Markov process1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。
1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。
流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。
类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。
人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。
这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。
荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。
青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。
如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。
液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。
第五章 连续时间马尔可夫链
第五章 连续时间的马尔可夫链
P { i s t } P { i s } P { i t },
即有
G ( s t ) G ( s )G ( t ).
由此可推出G(t)为指数函数, G ( t ) e i t . 设 i的分布函数为F(x), (x 0), 则有
pij ( t s ) P { X ( t s ) j | X (0) i }
P { X ( t s ) j , X ( t ) k | X (0) i } P { X ( t s ) j | X ( t ) k , X (0) i }
P { i t };
(2) 设 G ( t ) P { i t }( t 0). 由于
P { i t } P{ i s t | i s }
可得
P { i s t , i s } P { i s t } , P { i s } P { i s }
分布律
(n) pij 0,
转移方程
( n) ( l ) ( nl ) pij pik pkj k I
j I
(n) pij 1
时间 连续
1 , i j lim pij ( t ) t 0 0 , i j
pij ( t ) 0
p (t ) 1
j I ij
ji
p ( t )
ij
t
qij .
ji
说明 对状态空间无限的齐次马尔可夫过程, 一般只有
qii qij .
ji
随机过程讲义
第五章 连续时间的马尔可夫链
二、柯尔莫哥洛夫方程
马尔可夫决策过程中的状态空间建模技巧(八)
马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种用来描述随机决策问题的数学框架。
在这个框架中，决策者在不确定环境中做出决策，并且这些决策会影响未来的状态和奖励。
在实际问题中，状态空间的建模是至关重要的。
本文将介绍马尔可夫决策过程中的状态空间建模技巧。
## 马尔可夫决策过程简介在马尔可夫决策过程中，我们考虑的是一个有限状态空间、有限动作空间、奖励函数和状态转移概率的随机过程。
在每个时刻，代理根据当前状态和选择的动作会转移到下一个状态，并且会收到一个相应的奖励。
马尔可夫决策过程的目标是找到一个策略，使得长期累积奖励最大化。
## 状态空间建模技巧### 离散状态空间在实际问题中，状态空间可以是离散的，也可以是连续的。
对于离散状态空间，我们可以使用状态-动作值函数（Q函数）来描述状态和动作之间的关系。
Q函数表示在状态s下选择动作a所能获得的长期累积奖励。
通过对Q函数的建模，可以得到最优的策略，使得长期累积奖励最大化。
### 连续状态空间对于连续状态空间，建模更加复杂。
一种常见的方法是使用函数逼近来估计值函数。
例如，可以使用线性函数逼近或者神经网络来估计值函数。
通过函数逼近，可以对状态空间进行更加精细的建模，得到更加准确的策略。
### 非确定性状态空间在一些情况下，状态之间的转移并不是确定的，而是存在一定的不确定性。
这时，我们可以使用概率转移矩阵来描述状态之间的转移概率。
概率转移矩阵可以帮助我们更好地理解状态空间之间的关系，从而找到最优的策略。
## 实际案例为了更好地理解状态空间建模技巧，我们可以以一个实际案例来说明。
假设我们要设计一个自动驾驶汽车的决策系统。
汽车在道路上行驶时，需要根据当前的状态（例如车速、距离前车的距离、道路的曲率等）选择合适的动作（加速、减速、转弯等）。
这时，我们可以将汽车的状态空间建模为一个多维的向量空间，每个维度代表一个状态变量。
通过对状态空间的建模，我们可以使用马尔可夫决策过程来设计自动驾驶汽车的决策系统，并且找到最优的策略，使得汽车能够安全、高效地行驶。
连续时间马尔可夫链的研究和应用
连续时间马尔可夫链的研究和应用马尔可夫链是用于描述随机过程的数学工具，其特点是未来状态的转移仅依赖于当前状态，与过去状态无关。
在时间离散的情况下，马尔可夫链的数学理论已经十分成熟且应用广泛。
然而，在实际问题中，许多系统的状态变化是连续的，如金融市场、生产流程、医疗领域等。
为了更好地描述和分析这类系统，连续时间马尔可夫链成为了研究的焦点之一。
一、连续时间马尔可夫链的基本定义和性质连续时间马尔可夫链是一个连续时间随机过程，其状态在时间上的变化满足马尔可夫性质。
与离散时间马尔可夫链不同的是，在连续时间马尔可夫链中，状态的转移并不是以离散的时刻进行，而是在连续的时间区间内发生。
连续时间马尔可夫链可以用状态转移概率密度函数描述，记为P(t)。
该函数表示在时间t到t+dt之间，状态从i转移到状态j的概率为P(t)dt。
连续时间马尔可夫链的转移概率满足总概率为1的条件，即∫P(t)dt=1。
连续时间马尔可夫链的状态转移矩阵可用生成矩阵(Q)表示。
该矩阵的元素q(i,j)表示在单位时间内，状态从i转移到j的概率。
连续时间马尔可夫链的状态转移矩阵满足非负性和行和为零的条件。
二、连续时间马尔可夫链的稳定性与收敛性连续时间马尔可夫链的稳定性是指在长时间模拟中，系统的状态分布是否趋于稳定。
对于稳定的连续时间马尔可夫链，其状态转移概率在时间的演化中不再发生显著改变。
连续时间马尔可夫链的稳定性与其转移速率矩阵相关。
转移速率矩阵是连续时间马尔可夫链中的关键概念，它描述了系统在各个状态之间转移的速率。
只有当连续时间马尔可夫链的转移速率矩阵满足一定条件时，系统的状态分布才会趋于稳定。
在实际应用中，连续时间马尔可夫链的稳定性常被用来分析系统的可靠性、资源分配方案以及市场行为等。
利用连续时间马尔可夫链模型，可以预测系统在不同状态下的持续时间、发展趋势以及转移概率，为决策提供科学依据。
三、连续时间马尔可夫链的应用案例1. 金融市场预测连续时间马尔可夫链可以应用于金融市场的预测和风险评估。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的,可分为三类: (1) 时间,状态都是离散的马尔可夫过程,称为马尔可夫链.(2) 时间连续,状态离散的马尔可夫过程,称为连续时间的马尔可夫 (3) 时间,状态都连续的马尔可夫过程. 4.1马尔可夫链的概念及转移概率 一,定义假设马尔可夫过程},{T n X n ∈的参数集T 是离散的时间集合,即 T={0,1,2,…},其相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散的状态集,...}.,{21i i I =定义4.1 设有随机过程},{T n X n ∈,若对于任意的整数T n ∈和任意的I i i i i n ∈+.,...,,,1210,条件概率满足n n n n i X i X i X i X P ====++,...,,{110011}=},{11n n n n i X i X P ==++ (4.1) 则称},{T n X n ∈为马尔可夫链,简称.马氏链.(4.1)式是马尔可夫链的马氏性(或无后效性)的数学表达式.由定义知 ],...,,{1100n n i X i X i X P =====}.,...,,{111100--====n n n n i X i X i X i X P },...,,{111100--===n n i X i X i X P =}{11--==n n n n i X i X P .},...,,{111100--===n n i X i X i X P =… =}{11--==n n n n i X i X P }{2211----==n n n n i X i X P …}{0011i X i X P ==}.{00i X P =可见,马尔可夫链的统计特性完全由条件概率}{11n n n n i X i X P ==++所决定. 二,转移概率条件概率}{1i X j X P n n ==+的直观含义为系统在时刻n 处于状态i 的条件下,在时刻n+1系统处于状态j 的概率.它相当于随机游动的质点在时刻n 处于状态i 的条件下,下一步转移到状态j 的概率.记此条件概率为).(n p ij 定义4.2 称条件概率).(n p ij = }{11n n n n i X i X P ==++为马尔可夫链},{T n X n ∈在时刻n 的一步转移概率,其中i,j I ∈,简称为转移概率. 定义4.3 若对任意i,j I ∈,马尔可夫链},{T n X n ∈的转移概率).(n p ij 与n 无关,则称马尔可夫链是齐次的,并记).(n p ij 为.ij p下面我们只讨论齐次马尔可夫链,通常将齐次两字省略.设p 表示一步转移概率.ij p 所组成的矩阵,且状态空间I={1,2,…},则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=...........................2222111211nnp p p p p p p 称为系统的一步转移概率矩阵,它有性质: (1) .,1)2(;,,0∑∈∈=∈≥Ij ij ijI i p I j i p通常称满足上述(1),(2)性质的矩阵为随机矩阵. 定义4.4称条件概率ij n p )(= )1,0,,(},{≥≥∈==+n m I j i i X j X P m n m 为马尔可夫链},{T n X n ∈的n 步转移概率,.并称)()()(n ij n p p =为马尔可夫链的n 步转移矩阵,其中(1) .,1)2(;,,0)(∑∈∈=∈≥Ij ij n ij n I i p I j i p 即也是随机矩阵.当n=1 时, .)1(ij p =.ij p ,此时一步转移矩阵.)1(p p =此外我们规定 ⎩⎨⎧=≠=.,1,,0)0(j i j i pij定理4.1设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意整数n l n <≤≥0,0和,,I j i ∈n 步转移概率.)(ij n p 具有下列性质:(1)))()()(l n kj Ik l ik n ij p p p -∈∑=; (4.2)(2) ;......112111)(j k Ik k k ik Ik n ij n n p p p p --∑∑∈∈= (4.3)(3);)1()(-=n n PP P (4.4) (4).)(n n P P =(4.5)证明(1) 利用全概率公式及马尔可夫性,有}{)(i X j X P p m n m n ij ===+=}{},{i X P j X i X P m n m m ===+}{},{.},{},,{i X P k X i X P k X i X P j X k X i X P m l m m Ik l m m n m l m m =========+∈+++∑}{}{i X k X P k X j X P m l m l m Ik n m =====++∈+∑=)()()()(m p l m p l ik Ik l n ij +∑∈-=)()(.l n kjIk l ik p p -∈∑. (2)在(1)中令1,1k k l ==得))1()(111-∈∑=n jkIk ik n ij p p p 这是一个递推公式,可递推下下去即得(4.3). (3)在(1).令l=1利用矩阵乘法可得. (4) 由(3),利用归纳法可证.定理4.1中的(1)式称为切普曼---柯尔哥洛夫方程,简称C-K 方程 .定义4.5设},{T n X n ∈为马尔可夫链,称 },{0j X P p j ==)(},{)(I j j X P n p n j ∈==为},{T n X n ∈的初始概率和绝对概率,并分别称}),({},,{I j n p I j p j j ∈∈为},{T n X n ∈的初始分布和绝对分布.简记为}.),({},,{n p p j j 称概率向量 )0(),...),(),(()(21>=n n p n p n P T 为n 时刻的绝对概率向量,而称)0(,...),,(21>=n p p P T为初始向量.定理4.2设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意整数I j n ∈≥,1,绝对概率).(n p j 具有下列性质:(1)))()(n ij Ii i j p p n p ∑∈=; (4.6)(2) ij Ii i j p n p p )1(-=∑∈ (4.7)(3);)0()()(n T T P P n P = (4.8) (4)P n P n P T T )1()(-= (4.9)证明(1) ===}{)(j X P n p n j},{0j X i XP n Ii ==∑∈= }{}{00i X P i X j XP nIi ===∑∈ =)(n ijIi i p p ∑∈ (2)===}{)(j X P n p n j },{1j X i X P n Ii n ==∑∈-=}{}{11i X P i X j X P n n n Ii ===--∈∑==ij Ii i p n p ∑∈-)1((3)与(4)是(1)与(2)的矩阵形式.定理4.3 设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意,1,,...,1≥∈n I i i n 有 },...{11n n i X i X P ===....11n n i i ii i p p p -∑ (4.10) 证明 由全概率公式及马氏性有},...{11n n i X i X P ===},...,,{110n n Ii i X i X i X P ===∈=},...,,{110n n Ii i X i X i X P ===∑∈=}.,{}{0110i X i X P i X P Ii ===∑∈...},...,{110--===n n n n i X i X i X P=}.,{}{0110i X i X P i X P Ii ===∑∈..}{11--==n n n n i X i X P=n n i i ii Ii i p p p 11...-∑∈.三,马尔可夫链的例子例4.1 无限制随机游动设质点在数轴上移动,每次移动一格,向右移动的概率为p,向左移动的概率为 q=1-p,这种运动称为无限制随机游动.以n X 表示时刻n 质点所处的位置,则},{T n X n ∈是一个齐次马尔可夫链,试写出它的一步和k 步转移概率. 解 },{T n X n ∈的状态空间,...},2,1,0{±±=I 其一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=.....................00.........0.....................p q p q P 设在第k 步转移中向右移了x 步向左移动了y 步,且经过k 步转移状态从j 进入j,则⎩⎨⎧-=-=+i j y x k y x ,.2)(,2)(i j k y i j k x --=-+=由于x,y 都只取整数,所以)(i j k -±必须是偶数.又在k 步中哪x 步向右,哪y 步向左是任意的,选取的方法有x k C 种.于是⎩⎨⎧-+-+=是奇数是偶数)(,0)(,i j k i j k q p C p y x x k k ij.例4.2赌徒输光问题.两赌徒甲,乙进行一系列赌博.赌徒甲有a 元,赌注乙有b 元,每赌一局输者给赢者1元,没有和局,直到两人中有一个输光为止.设在每一局中,甲赢的概率为p,输的概率为q=1-p,求甲输光的概率.这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动,其状态空间为I={0,1,2,…,c} c=a+b.故现在的问题是求质点从a 出发到达0状态先于到达c=a+b 状态的概率.解 设i u 表示甲从状态i 出发转移到状态0的概率,要计算的是a u ..由于0和c 是吸收状态,故,10=u .0=c u i u 由全概公式).1,...,2,1(,11-=+=-+c i qu pu u i i i (4.11) 上式的含义是,甲从状态i 出发开始赌到输光的概率等于’他接下去赢了一局(概率为p)处于状态i+1后再输光”;和他接下去输一局(概率为q),处于状态i-1后再输光”这两个事件的概率.由于p+q=1,(4.11)实质上是一个差分方程.1,...,2,1),(11-=-=--+c i u u r u u i i i i (4.12)其中pqr =,其边界条件为.0,10==c u u (4.13) 先讨论r=1,即p=q=1/2的情况,(4.12)成为 .1,...,2,1),(11-=-=--+c i u u r u u i i i i 令,01α+=u u 得,2012αα+=+=u u u …,01ααi u u u i i +=+=- …,01ααc u u u c c +=+=-将,1,00==u u c 代于最后一式,得参数,1c-=α所以.1,...,2,1,1-=-=ci ciu i 令i=a, 求得甲输光的概率为.1ba bc a u a +=-= 由于甲,乙的地位是对称的,故乙输光的概率为.ba a u a +=再讨论1≠r ,即q p ≠的情况.由(4.12)式得到)(11--=-=-∑i c k i i k c u u r u u =)(011u u r c ki i-=∑-=.1)1(1r r r u ck ---= (4.14) 令k=0,由于,0=c u 有rr u c---=11)1(11即,11)1(1crru --=- 代入(4.14)式,得.1,...,2,1,1-=--=c k rr r u cck k 令k=a,得到输光的概率,1cca a rr r u --= 由对称性,乙输光的概率为.,11111q p r r r r u c cb b =--= 由于,1=+b a u u 因此在1≠r 时,即q p ≠时两个人中也总有一个人要输光的. 例4.3 天气预报问题设昨日,今日都下雨,明日有雨的概率为0.7;昨日无雨今日有雨,明日有雨的概率为0.5;昨日有雨,今日无雨明日有雨的概率为0.4;昨日,今日均无雨,明日有雨的概率为0.2.若星期一星期二均下雨,求星期四下雨的概率.解 设昨日,今日连续两天有雨称为状态0(RR),昨日无雨今日有雨称为状态1(NR),昨日有雨今日无雨称为状态2(RN),昨日今日无雨称为状态3(NN),于是天气预报模型可看作一个四状态的马尔可夫链,其中转移概率为 7.0}{}{}{00====今昨明今昨明今连续三天有雨R R R P P R R R R P p , )(0}{01不可能事件今昨明今==R R R N P p ,,3.07.01}{}{02=-===今昨明今昨明今R R N P R R N R P p)(0}{03不可能事件今昨明今==R R N N P p ,其中R 代表有雨,N 代表无雨.类似地可得到所有状态的一步转移概率,于是它的一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33323130232221201312111003020100p p p p p p p p p p p p p p p p P =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0其中两步转移矩阵为==P P P .)2(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡.64.010.016.010.048..020.012.020.030.015.020.035.018.021.012.049.0 由于星期四下雨意味着过程所处的状态为0或1,因此星期一星期二连续下雨,星期四下雨的概率为.61.012.049.0)2(01)2(00=+=+=p p p例 4.4 设质点在线段[1,4]上作随机游动,假设它只能在时刻T n ∈发生移动,且只能停留在1,2,3,4点上.当质点转移到2,3点时,它以1/3的概率向左或向右移动一格或停留在原处.当质点称动到点1时,它以概率1停留在原处.当质点移动到点4时,它以概率1移动到点3.若以n X 表示质点在时刻n 所处的位置,则},{T n X n ∈ 是一个齐次马尔可夫链,其转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100313131003131310001P 例中的点1称为吸收壁,即质点一旦到达这种状态后就被吸收住了,不再移动;点4称为反射壁,即质点一旦到达这种状态后,必然被反射出去.例4.5生灭链.观察某种生物群体,以n X 表示在时刻n 群体的数目,设为i 个数量单位,如在时刻n+1增生到i+1个单位的概率为i b ,减灭到i 个数量单位的概率为i a ,保持不变的概率为)(1i i i b a r +-=,则}0,{≥n X n 为齐次马尔可夫链,I={0,1,2,…,}.其转移概率为⎪⎩⎪⎨⎧+==+==.1,,,1,i j a j i r i j b p ii i ij称此马尔可夫链为生灭链. 4.2 遍历性设齐次马氏链的状态空间为I,若对于所有,,I a a j i ∈转移概率)(n P ij 存在极限 j ij n n P π=∞→)(lim (不依赖于i)或 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→=................................................)(212121j j jn P n P πππππππππ则称此链具有遍历性.又若∑=jj 1π,则同时称,...),(21πππ=为链的极限分布.齐次马氏链在什么条件下才具有遍历性?如何求出它的极限分布?这问题在理论上已经解决,但是要较多的篇幅.下面对有限链的遍历性给出一个充分条件. 定理4.4设齐次马氏链},{T n X n ∈的状态空间为P a a a I n },,...,,{21=是它的一步转移概率矩阵,如果存在正整数m,使对任意的j i a a ,都有 ,,...,2,1,,0)(N j i m p ij =>则此链具有遍历性,且有极限分布, ),,...,,(21N ππππ=它是方程组 P ππ=或即ij Ni i j p ∑==1ππ的满足条件∑==>Nj j j 11,0ππ的唯一解.在定理条件下马氏链的极限分布又是平稳分布.即若用π作为链的初始分布,即π=)0(p ,则链在任一时刻T n ∈的分布)(n p 永远与π一致,事实上ππππ======-P P P n P p n p n n ...)()0()(1 例4..6 设马尔可夫链的转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9.005.005.01.08.01.02.01.07.0P 解 容易证明满足定理4.4条件.可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++=++=1,9.01.02.0,05.08.01.0,05.01.07.0321321332123211πππππππππππππππ解上述方程组得平稳分布为.5882.0,2353.0,1765.0321===πππ。
第五章马尔可夫过程
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
k为转移步长。显然， 0≤ pij (m,k) ≤ 1 。
5.2 马尔可夫链
5.2.1 பைடு நூலகம்尔可夫链的概念
马尔可夫链的转移概率及其矩阵：
对于有限状态空间E={1,2,…,N},由马尔可夫链 {X(n), n=0,1,2,…}在时刻m的k步转移概率pij (m,k)形成的下列矩阵
p11(m, k)
P(m,
5 马尔可夫过程
马尔可夫过程的概念 离散参数马尔可夫链 连续参数马尔可夫链 生灭过程及应用
5 马尔可夫过程
有限维概率分布(簇) 转移概率 绝对概率 极限分布 平稳分布 状态空间的性质
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
随机过程马尔可夫性：（物理描述）
当随机过程在时刻 ti 所处的状态为已知的条件下，过 程在时刻 t(>ti)所处的状态，与过程在ti时刻以前的状态无 关，而仅与在ti时刻的状态有关。这种已知“现在”状态的 条件下，“将来”状态与“过去”状态无关的性质，称为 马尔可夫性或无后效性。
或 F{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= F{xn; tn| xn-1 ; tn-1} 或 f{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= f{xn; tn| xn-1 ; tn-1}
马尔可夫过程与鞅
马尔可夫过程与鞅引言马尔可夫过程与鞅是随机过程和概率论中的两个重要概念。
马尔可夫过程是描述状态变化具有马尔可夫性质的数学模型，而鞅是一种特殊类型的随机过程，具有无记忆性和无偏性的性质。
本文将深入探讨马尔可夫过程与鞅的定义、性质以及应用。
马尔可夫过程的定义1.马尔可夫性质–在离散时间中，马尔可夫性质表示给定当前状态，未来的状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。
–在连续时间中，马尔可夫性质表示在任意给定的时间点，未来的状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。
2.马尔可夫链–马尔可夫链是一种随机过程，满足马尔可夫性质。
–马尔可夫链的状态空间可以是有限或无限的。
3.马尔可夫过程–马尔可夫过程是马尔可夫链的一个扩展，它可以是连续的或离散的。
–马尔可夫过程可以用转移概率矩阵或转移概率密度函数来描述状态之间的转移。
马尔可夫过程的性质1.马尔可夫链的平稳分布–在马尔可夫链中，存在平稳分布，也称为稳态分布或统计平均分布。
–平稳分布表示在长时间的演化后，状态分布将趋于一个固定的概率分布。
2.马尔可夫链的有限性与周期性–有限性表示在有限步内，马尔可夫链一定会从任何给定的状态转移到其他状态。
–周期性表示在一定步数后，马尔可夫链又回到原状态。
3.马尔可夫决策过程–马尔可夫决策过程是马尔可夫过程的一种扩展，用于描述具有决策的马尔可夫过程。
–马尔可夫决策过程可以应用于许多实际问题，如强化学习和控制论中的决策制定。
鞅的定义与性质1.鞅的定义–鞅是一种数学对象，表示随机变量序列的平均值保持不变的随机过程。
–鞅一般具有无记忆性和无偏性的性质。
2.鞅差–鞅差表示鞅序列之间的差异，刻画了随机过程中的非预测性。
–鞅差在金融学和统计学中有重要应用，用于分析随机序列的波动性和预测性。
3.鞅的停止定理–鞅的停止定理描述了鞅在停止时的性质，即停止后的鞅仍然是鞅。
–鞅的停止定理在金融学、随机控制和信息论中有广泛的应用。
4.鞅收益增长–鞅收益增长是指在无风险利率下，由鞅生成的资产组合的收益率保持稳定增长。
马尔可夫过程模型及其应用研究
马尔可夫过程模型及其应用研究随着人工智能、人工智能驱动的机器学习和数据处理技术的发展，越来越多的领域开始将马尔可夫过程的模型应用到其研究领域中。
马尔可夫过程是一种随机过程，其描述了在某个时刻的状态与在下一时刻的状态之间的条件性概率分布。
本文将重点介绍马尔可夫过程的主要性质、分类及其应用研究。
1. 马尔可夫过程的基本概念1.1 马尔可夫链马尔可夫链是指一个具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质是指，在时间的变化过程中，一个系统只与其先前的状态有关，而与先前的状态历史无关。
1.2 马尔可夫性质马尔可夫性质是指一个过程中，某个状态的发生概率只与其前一个状态有关，而与更早的状态无关。
这种性质称为马尔可夫性质。
1.3 马尔可夫模型马尔可夫模型可以看作是一种将可观察数据与状态之间建立联系的模型。
在马尔可夫模型中，状态是不可观测的，但是其下一时刻的状态则可以通过一个概率转移矩阵来计算。
2. 马尔可夫过程的分类2.1 离散时间马尔可夫过程离散时间马尔可夫过程是指在一定的时刻，系统可以从某个状态转移到另一个状态。
在离散时间马尔可夫过程中，状态的转移只有在离散时间点时才能发生。
2.2 连续时间马尔可夫过程连续时间马尔可夫过程指的是一个系统在任意时刻都能从一个状态转移到另一个状态。
在连续时间马尔可夫过程中，状态的转移是在连续时间内发生的。
3. 马尔可夫过程的应用3.1 金融领域马尔可夫过程被广泛应用于金融领域中的资产定价和风险管理。
在金融领域中，马尔可夫过程可以帮助人们确定一种资产的未来价格走势，进而帮助利用这些信息进行投资和风险管理。
3.2 自然语言处理马尔可夫过程还可以应用在自然语言处理方面。
自然语言处理是人工智能领域的一个重要研究方向，其目的是在计算机上自然地理解和生成人类语言。
3.3 生态学马尔可夫过程还可以在生态学领域中被应用。
在生态学中，马尔可夫过程可以帮助科学家了解某一物种在特定环境下的数量随时间变化的规律，以便进行更好的保护和管理。
马尔可夫过程
马尔可夫过程马尔可夫过程是这样一个过程，假设现在时刻的状态是Xn，而在将来某时刻的状态仅仅与现在的状态有关，而与过去时刻的状态无关，马尔可夫过程也称为无后效过程。
马尔可夫过程根据自变量t和状态x 的取值可以分为离散马尔可夫链，连续马尔可夫链，离散马尔可夫过程，连续马尔可夫过程。
对时间离散取值的马尔可夫链，其联合概率完全由条件概率和初始概率确定。
在这里条件概率通常称为转移概率，如果各个状态之间的转移概率不随时间变化，称该离散马尔可夫链是时间齐次的，或简称齐次，也叫平稳的。
如果离散马尔可夫链的状态仅有有限个取值，或说仅有有限个状态，则它所有的转移概率可以组成一个矩阵，称之为转移概率矩阵，通常，也可以讲有限个状态的马尔可夫链形象地用状态图来表示。
k步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的k次方。
连续参数马尔可夫过程的联合概率密度可由其转移概率密度和初始边缘密度完全确定，显然一个独立的随机序列是马尔可夫过程。
如果有一个随机过程，它在任一个时间间隔上过程状态的改变，步影响未来的任意时间间隔上的状态改变，该过程称为独立增量过程。
独立增量过程是一种特殊的马尔可夫过程，且独立增量过程的有限维分布可由她的初始概率分布和所有增量的概率分布唯一确定。
在电子系统应用中往往需要研究这样一类问题：即在一定的时间间隔内某种事件出现次数的统计规律，例如对散弹噪声和脉冲噪声的研究。
实际上这类问题也在其它技术领域中存在。
例如在一定时间间隔内，电话交换台的呼叫次数，船舶甲板“上浪”的次数，通过交叉路口的汽车数等，所有这些过程都可以用泊松过程来模拟。
泊松过程属于具有可列个阶跃的阶跃型马尔可夫过程（或称作存不连续马尔可夫过程）。
同时它也是一个独立增量过程。
随机过程的连续时间马尔可夫过程与转移概率
随机过程的连续时间马尔可夫过程与转移概率随机过程是概率论中研究的重要课题，它描述了随机事件在时间上的演化规律。
马尔可夫过程是一类常见的随机过程，它具有马尔可夫性质，即在给定当前状态下，未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去的状态无关。
本文将重点讨论随机过程中的连续时间马尔可夫过程以及与之相关的转移概率。
一、连续时间马尔可夫过程的定义连续时间马尔可夫过程是指在时间上呈连续变化的随机过程，它的状态空间和状态转移概率在时间的任意一段内都保持不变。
具体而言，对于一个连续时间马尔可夫过程，其状态空间可以用S表示，状态转移概率可以用P(t)表示，其中t表示时间。
二、连续时间马尔可夫过程的特点1. 马尔可夫性质：连续时间马尔可夫过程具有马尔可夫性质，即在给定当前状态下，未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去的状态无关. 这一性质使得马尔可夫过程具有很好的简化性和计算性.2. 独立增量性质：连续时间马尔可夫过程具有独立增量性质，即在不重叠的时间间隔上的状态变量是相互独立的.3. 示性函数的连续性：连续时间马尔可夫过程中，随机变量状态的转移概率是连续函数，这也是它与离散时间马尔可夫过程的一个重要区别。
三、连续时间马尔可夫链与转移概率对于连续时间马尔可夫过程，其状态转移概率可以由转移概率矩阵来表示。
转移概率矩阵是一个关于时间t的函数，记作P(t)。
它的元素Pij(t)表示在时间t内从状态i转移到状态j的概率。
转移概率矩阵满足以下性质：1. Pij(t) ≥ 0，对于所有的i、j和t都成立。
2. 对于任意固定的i和t，有ΣjPij(t) = 1，即在固定时间t内，从状态i出发转移到所有可能状态j的概率之和为1。
3. 转移概率矩阵P(t)的乘积P(s+t)等于P(s)乘以P(t)，即P(s+t) =P(s)P(t)，其中s和t为任意的正实数。
根据转移概率矩阵P(t)的性质，我们可以得出连续时间马尔可夫过程的转移概率随时间的推移而改变，但在任意一段时间内始终保持一致。
第五章马尔可夫过程
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
高阶马尔可夫过程的定义：
如果马尔可夫过程在tn时刻的状态，只与tn时刻以前的tn-1, tn-2,… tn-k这k个时刻的状态有关，而与更前时刻的状态无关， 即
F(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k , xn-k-1 ,…, x2 , x1 ;tn-1, tn-2,…, tn-k , tn-k-1 ,…, t2 , t1 )= F(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k;tn-1, tn-2,…, tn-k) 或 f(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k , xn-k-1 ,…, x2 , x1 ;tn-1, tn-2,…, tn-k , tn-k-1 ,…, t2 , t1 )= f(xn ; tn | xn-1, xn-2,…, xn-k;tn-1, tn-2,…, tn-k)
P{X(tn) < xn | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
转移概率分布函数和转移概率密度的定义：
把马尔可夫过程{X(t), t∊T}的条件概率分布函数，
F(x2 ; t2 | x1 ; t1}= P{X(t2) < x2 | X(t1) = x1}
称为马尔可夫过程的(状态）转移概率函数。
随机过程-第五章-连续时间的马尔可夫链
第五章 连续时间的马尔可夫链5.1连续时间的马尔可夫链考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有})(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链.由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关.记(5.1)式条件概率一般形式为),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率.定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij =其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程.假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有},{}{t h P s h t s h P i i i >=>+>可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布.由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;(2) 当过程离开状态i 时,接着以概率ij p 进行状态j,1=∑≠ij ij p .上述性质也是我们构造连续时间马尔可夫链的一种方法.当∞=i v 时,称状态i 为瞬时状态,因为过程一旦进入此状态立即就离开.0=i v 时,称状态i 为吸收状态,因为过程一旦进入状态就永远不再离开了.尽管瞬时状态在理论上是可能的,但以后假设对一切i, ∞<≤i v 0.因此,实际上一个连续时间的马尔可夫链是一个这样的随机过程,它按照一个离散时间的马尔可夫链从一个状态转移到另一个状态,但在转移到下一个状态之前,它在各个状态停留的时间服从指数分布.此外在状态i 过程停留的时间与下一个到达的状态必须是相互独立的随机变量.因此下一个到达的状态依赖于i h ,那么过程处于状态i 已有多久的信息与一个状态的预报有关,这与马尔可夫性的假定相矛盾.定理5.1 齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质:;0)1(≥ij p (2);1=∑∈ij Ij p(3) ∑∈=+Ik kj ik ij s p t p s t p )()()(.其中(3)式即为连续时间齐次马尔可夫链的切普曼—柯尔哥洛夫方程. 证明 只证(3).由全概率公式及马尔可夫性可得 ===+=+)})0()({)(i X j s t X P s t p ij =∑∈===+Ik i X k t X j s t X P })0()(,)({=})()({})0()({k t X j s t X P i X k t X P Ik ==+==∑∈∑∈=Ik kj ik s p t p )()(.对于转移概率)(t p ij ,一般还假定它满足:⎩⎨⎧≠==→.,0,1)(lim 0j i ji t p ij t(5.3)称(5.3)式为正则条件.正则条件说明,过程刚进入某状态不可能立即又跳跃到另一状态.这正好说明一个物理系统要在有限时间内发生限多次跳跃,从而消耗无穷多的能量这是不可能的.定义5.3 对于任 一0≥t 记 },)({)(j t X P t p j ==,},)0({)0(I j j X P p p j j ∈===分别称}{},),({,I j p I j t p j j ∈∈ 齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概率分布.定理5.2齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质: (1) ,0)(≥t p j (2),1)(=∑∈t p j Ij(3) )()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=;(4) );()()(h p t p h t p ij Ii i j ∑∈=+(5)).()...(})(,...,)({112111211-∈--====-∑n n i i i i ii Ii i n n t t p t t p p p i t X i t X p n n例5.1试证明泊松过程}0),({≥t t X 为连续时间齐次马尔可夫链. 证明 先证泊松过程具有马尔可夫性,再证明齐次性.由泊松过程的定义 它是独立增量过程,且X(0)=0.11,...0+<<<n n t t t ,有})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++= ,.)0()()()({1111i X t X i i t X t X P n n n n =--==-++ =,111212)()(,...)()(---=--=-n n n n i i t X t X i i t X t X } = })()({11n n n n i i t X t X P -=-++ . 另一方面,因为})()({11n n n n i t X i t X P ==++=})0()()()({11n n n n n n i X t X i i t X t X P =--=-++ =})()({11n n n n i i t X t X P -=-++所以})(,...,)()({1111n n n n i t X i t X i t X P ===++=})()({11n n n n i t X i t X P ==++. 即泊松过程是一个连续时间马尔可夫过程.以下证明齐次性. 当i j ≥ 时,由泊松过程的定义})()({i s X j t s X P ==+= })()({i j s X t s X P -=-+=)!()(i j t eij t---λλ j<i.时,由于过程的增量只取非负整数,故,0),(=t s p ij 所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥-==--i j ij i j t e t p t s p i j t ij ij ,0,)!()()(),(λλ, 即转移概率只与t 有关,泊松过程具有齐次性.5.2柯尔莫哥洛夫微分方程对于连续时间齐次马尔可夫链转移概率)(t p ij 的求解一般比较复杂.下面首先讨论)(t p ij 的可微性及)(t p ij 满足的柯尔莫哥洛夫微分程.引理5.1 设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3),则对于任意固定的)(,,t p I j i ij ∈是t 的一致连续函数.证明 设h>0,由定理5.1得)()()()()(t p t p h p t p h t p ij rj Ir ir ij ij -=-+∑∈)()()()()(t p t p h p t p h p ij ij ii rj ir ir -+=∑≠=)()](1[)()(t p h p t p h p ij ii rj ir ir --=∑≠故有)],(1[)()](1[)()(h p t p h p t p h t p ii ij ii ij ij --≥--=-+ ),(1)()()()()(h p h p t p h p t p h t p ii ir ir rj ir ir ij ij -=≤≤-+∑∑≠≠因此).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+对于h<0,同样有).(1)()(h p t p h t p ii ij ij --≤-+ 综上所述得到).(1)()(h p t p h t p ii ij ij -≤-+ 由正则性条件知,0)()(lim 0=-+→t p h t p ij ij h 即)(t p ij 关于t 是一致连续的.以下我们恒设齐次马尔可夫过程满足正则性条件(5.3)式.定理5.3 设)(t p ij 是齐次马尔可夫过程的转移概率,则下列极限存在 (1);)(1lim 0∞≤==∆∆-→∆ii i ii t q v t t p (2).,)(lim 0j i q tt p ij ij t ≠∞<=∆∆→∆我们称ij q 为齐次马尔可夫过程从状态i 到状态j 的转移概率或跳跃强度.定理中的极限的概率意义为:在长为t ∆的时间区间内,过程从状态i 转移到另一其他状态的转移概率为)(1t p ii ∆-等于t q ii ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量,而过程从状态i 转移到状态j 的转移概率为)(t p ij ∆等于t q ij ∆加一个比t ∆高阶的无穷小量. 推论 对有限齐次马尔可夫过程,有 ∞<=∑≠ij ij ii q q证明 由定理5.1 ,有)()(1,1)(t p t p t pij ij ii Ij ij∆=∆-=∆∑∑≠∈由于求和是在有限集中进行,故有.)(lim )(1lim 00∑∑≠≠→∆→∆=∆∆=∆∆-=ij ij ij i j t ii t ii q t t p t t p q (5.4)对于状态空间无限的齐次马尔可夫过程,一般只有 ∑≠≥ij ij ii q q .若连续时间齐次马尔可夫是具有有限状态空间I={0,1,2,…,n},则其转移速率构成以下形式的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=nn n n n n q q q q q qq q q Q .....................11111000100 (5.5) 由(5.4)式知,Q 矩阵的每一行元素之和为0,对角线元素为负或0,其余.0,≥ij q 利用Q 矩阵可以推出任意时间间隔t 的转移概率所满足的方法组,从而可以求解转移概率.由切普曼---柯尔莫哥洛夫方程有 ),()()(t p h p h t p Ik kj ik ij ∑∈=+或等价地)()](1[)()()()(t p h p t p h p t p h t p ij ii kj ik ik ij ij --=-+∑≠两边除以h 后令0→h 取极限,应用定理5.3得到 )()()(lim )()(lim 00t p q t p hh p ht p h t p ij ii kj ik ik h ij ij h -=-+∑≠→→ (5.6) 假定在(5.6)式的右边可交换极限与求和,再运用定理5.3,于是得到以下结论: 定理5.4 (柯尔莫哥洛夫向后方程)假设,ii ik ik q q =∑≠则对一切i,j 及0≥t ,有,)()(ij ii ik kj ik ijp q t p q t p -='∑≠ (5.7) 证明 只要证明(5.6)式右边极限与求和可交换次序.现在对于任意固定的N,有≥∑≠→)()(inflim 0t p hh p kj ik ik h )()()(inf lim ,,0t p q t p h h p kj Nk i k ik kj Nk i k ik h ∑∑<≠<≠→= 因为上式对一切N 成立,所以)()()(inflim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≥ (5.8) 为了倒转不等式,注意对于N>i,由于,1)(≤t p kj 所以 ≤∑≠→)()(sup lim ,0t p hh p kj i k ik h ≤+≤∑∑≥<≠→])()()(sup[lim ,0Nk ik kj Nk i k ik h h h p t p h h p ≤--+≤∑∑<≠<≠→])()(1)()(sup[lim ,,0Nk i k ik ii kj Nk i k ik h h h p h h p t p h h p ,)(,,∑∑<≠<≠-+≤Nk i k ikii kj Nk i k ikqq t p q令∞→N ,由定理5.3和条件得)()()(sup lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→≤. 上式连同(5.8)可得 )()()(lim ,,0t p q t p h h p kj i k ik kj i k ik h ∑∑≠≠→=.定理5.4中)(t p ij 满足的微分方程组以柯尔莫可洛夫向后方程著称.称它们为向后方程,是因为在计算时刻t+h 的状态的概率分布时我们对退后到时刻h 的状态取条件,即我们从)()(})0()({..})(,)0()({)(h p t p i X k h X P k h X i X j h t X P h t p ik Ik kj Ik ij ∑∑∈∈======+=+开始计算.对时刻t 的状态取条件,我们可以导出另一组方程,称为柯尔莫哥洛夫向前方程.可得),()()(h p t p h t p kj Ik ik ij ∑∈=+)()()()()(t p h p t p t p h t p ij kj Ik ik ij ij -=-+∑∈=)()](1[)()(t p h p h p t p ij jj kj jk ik --=∑≠,所以 )}.()(1)()({lim )()(lim 00t p h h p h h p t p ht p h t p ij jj kj jk ik h ij ij h --=-+∑≠→→假定我们能交换极限与求和,则由定理5.3便得到),()()(t p q q t p t p ij ii jk kj ik ij-='∑≠ 令人遗憾的是上述极限与求和的交换不是恒成立,所以上式并非总是成立.然而在大多数模型中----包括全部生灭过程与全部有限状态的模型,它们是成立的. 定理5.5(柯尔莫哥洛夫向前方程) 在适当的正则条件下,,)()()(jj ij kj ik ik ijq t p q t p t p -='∑≠ (5.9) 利用方程组(5.7)或(5.9)及初始条件 .,0)0(,1)0(j i p p ij ii ≠==我们可以解得)(t p ij .柯尔莫哥洛夫向后和向前方程虽然形式不同,但是可以证明它们所求得的解)(t p ij 是相同的.在实际应用中,当固定最后所处状态j,研究)(t p ij 时(i=0,1,2,…,n),采用向后方程比较方便;当固定状态i,研究)(t p ij 时(j=0,1,2,…,),则采用向前方程较方便.向后方程和向前方程可以写成矩阵形式),()(t QP t P =' (5.10) ,)()(Q t P t P =' (5.11) 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---= (222120121110)020100q q q q q qq q q Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=............ (222120121110)020100p p p p p pp p p P 这样,连续时间马尔可夫链的转移概率的求解问题就是矩阵微分方程的求解问题,其转移概率由其转移速率矩阵Q 决定.特别地,若Q 是一个有限维矩阵,则(5.10)和(5.11)的解为 .!)()(0∑∞===j jQtj Qt et P定理5.6 .齐次马尔可夫过程在t 时刻处于状态I j ∈的绝对概率)(t p j 满足下列方程:.)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' (5.12)证明 由定理5.2,有)()(t p p t p ij Ii i j ∑∈=t将向前方程(5.9)式两边乘以,i p 并对i 求和得.)())(()(kj jk ikiIi jj ijiIi ijIi iq t pp q t pp t p p ∑∑∑∑≠∈∈∈+-='故 .)()()(kj jk k jj j j q t p q t p t p ∑≠+-=' .与离散马尔可夫链类似,我们讨论转移概率 )(t p ij 当 ∞→t 时的极限分布与平稳分布的有限性质.定义5.4 设)(t p ij 为连续时间马尔可夫链的转移概率,若存在时刻 21,t t ,使得 ,0)(1>t p ij ,0)(2>t p ij则称状态i 和j 是互通的.若所有状态都是互通的,则称此马尔可夫链为不可约的.定理5.7 设连续时间的马尔可夫是不可约的,则有下列性质:(1) 若它是正常返的,则极限)(lim t p ij t ∞→存在且等于.,0I j j ∈>π这里.,0I j j ∈>π是方程组1,==∑∑∈≠Ij j kj jk k jj j q q πππ (5.13)的唯一非负解.此时称.,0{I j j ∈>π是该过程的平稳分布,并且有 .)(lim j j t t p π=∞→ (2) 若它是零常返的或非常返的,则.,,0)(lim )(lim I j i t p t p j t ij t ∈==∞→∞→在实际问题中,有些问题可以用柯尔莫哥洛夫方程直接求解,有些问题虽然不能求解但是可以用方程(5.13)求解.例5.2 考虑两个状态的连续时间马尔可夫链,在转移到状态1之前链在状态0停留的时间是参数为λ的指数变量,而在回到状态0之前它停留在状态1的时间是参数为μ的指数变量,显然该链是一个齐次马尔可夫过程,其状态转移概率为 ),()(01h o h h p +=λ),()(10h o h h p +=μ由定理5.3知由柯尔莫哥洛夫向前方程得到)()()(000100t p t p t p λμ-='=,)()(00μμλ++-t p 其中最后一个等式来自).(1)(0001t p t p -=因为,1)0(00=p 由常数变易法得 ,)()(00t e t p μλμλλμλμ+-+++=若记,,00μλμμμλλλ+=+=则,)()(0000t e t p μλλμ+-+=类似地由向前方程)()()(010001t p t p t p μλ-=' ,)()(lim )(1lim 1001010011011q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→μ,)()(lim )(1lim 0100101000000q h p dhdhh p h h p q h h h ====-==→→λ可解得 ,)()(0001t e t p μλλλ+--= 由对称性知,)()(0011t e t p μλμλ+-+= ,)()(0010t e t p μλμμ+--= 转移概率的极限为),(lim )(lim 10000t p t p t t ∞→∞→==μ),(lim )(lim 11001t p t p t t ∞→∞→==λ 由此可见,当∞→t 时, )(t p ij 的极限存在且与i 无关.定理5.6知,平稳分布为 0100,λπμπ== 若取初始分布为平稳分布,即,}0)0({00μ===p X P ,}1)0({01λ===p X P 则过程在时刻t 的绝对概率分布为 )()()(1010000t p p t p p t p +==0)(000)(00]1[][μμλμλμμλμλ=-+++-+-t t e e=0)(000)(00][]1[λμλλλμμλμλ=++-+-+-t t e e .例5.3 机器维修问题.设例5.2中状态0代表某机器正常工作状态1代表机器出故障.状态转移概率与例5.2相同,即在h 时间内,机器从正常工作变为出故障的概率为),()(01h o h h p +=λ在h 时间内,机器从有故障变为经修复后正常工作的概率为),()(10h o h h p +=μ试求在t=0时正常工作的机器,在t=5时为正常工作的概率. 解 由例5.2已求得该过程的Q 矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=μμλλQ .根据题意,要求机器最后所处的状态为正常工作,只需计算)(00t p 即可. 由例5.2知,)()(0000t e t p μλλμ+-+=,,00μλμμμλλλ+=+=故 ,)5(5)(0000μλλμ+-+=e p 因为P{X(0)=0}=1=,0p 所以)()()(1010101t p p t p p t p +=====)5()5(}0)5({0000p p p X P .)5(5)(0000μλλμ+-+=e p5.3 生灭过程连续时间马尔可夫链的一类重要特殊情形是生灭过程,它的特征是在很短的时间内,系统的状态只能从状态i 转移到状态i-1或i+1或保持不变,确切定义如下. 定义5.5 设齐次马尔可夫过程}0),({≥t t X 的状态空间为I={0,1,2,…},转移概率为)(t p ij ,如果,0),()(1,>+=+i i i i h o h h p λλ,0,0),()(01,=>+=-μμμi i i i h o h h p),()(1)(,h o h h p i i i i ++-=μλ则称 }0),({≥t t X 为生灭过程,i λ为出生率, i μ为死亡率.若,λλi i =μλμμ,(,i i =是正常数),则称}0),({≥t t X 为线性生灭过程. 若0≡i μ,则称}0),({≥t t X 为纯生过程. 若0≡i λ,则称}0),({≥t t X 为纯灭过程. 生灭过程可作如下概率解释:若以X(t)表示一个生物群体在t 时刻的大小,则在很短的时间h 内(不计高阶无穷小),群体变化有三种可能,状态由i 变到i+1,即增加一个个体,其概率为h i λ;.状态由i 变到i-1,即减少一个个体,.其概率为h i μ;群体大小保持不变,其概率为.)(1h i i μλ+-由定理5.3得到,0,)()(,0≥+=-==i h p dhd t q i i h ii ii μλ ⎩⎨⎧≥-=≥+====,1,1,,0,1,)()(0i i j i i j h p dh d t q ii h ij ij μλ ,2,0≥-=j i q ij故柯尔莫哥洛夫向前方程为.,),()()()()(1,11,1I j i t p t p t p t p j i j ij j j j i j ij∈++-='++--μμλλ 故柯尔莫哥洛夫向后方程为.,),()()()()(,11,I j i t p t p t p t p j i i ij j j j i i ij∈++-='+-λμλμ 因为上述方程组的求解较为困难,我们讨论其平稳分布.由(5.13)式,有 ,2),()(,≥-=j i h o h p j i,1100πμπλ=.1,)(1111≥+=+++--j j j j j j j j πμπλπμλ逐步递推得,0101πμλπ=…, ,11--=j jj j πμλπ 再利用11=∑∞=j j π,得平稳分布,11211100)......1(-∞=-∑+=j j j μμμλλλπ, 112111021110)......1(......-∞=--∑+=j jj j j j μμμλλλμμμλλλπ 例5.4 生灭过程例子M/M/S 排队系统.假设顾客按照参数为λ的泊松过程来到一个有s 个服务员的服务站,即相继来到之间的时间是均值为λ1的独立指数随机变量,每一个顾客一来到,如果有服务员空闲,则直接进行服务,否则此顾客加入排队系列.当一个服务员结束对一位顾客的服务时顾客就离开服务系统,排队中的下一顾客进入服务. 假定相继的服务时间是独立的指数随机变量,均值为μ1.如果我们以X(t)记时刻t 系统中的人数,则}0),({≥t t X 是生灭过程⎩⎨⎧>≤≤=,,,1,s n s s n n n μμμ .0,≥=n n λλM/M/s 排队系统中M 表示马尔可夫过程,s 代表s 个服务员.特别在M/M/1排队系统中,μμλλ==n n ,,若1<μλ,则由(5.14)可得 .0),1()()(1)(1≥-=+=∑∞=n n n nnn μλμλμλμλπ。
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P{X (s t ) j | X (s) i, X ( ) k ( ),0 s}
P{X (s t ) j | X (s) i}
则称X(t)为时间连续的马尔可夫链。记
pij (s, t ) P{X (s t ) j | X (s) i} 如果 pij (s, t ) 与s无关，记为 pij (t )
（2） Ti与Tj独立 ( i j )；
vi t F ( t ) 1 e （3） Ti服从参数为vi指数分布 i
当vi 时，称状态i为瞬时状态； 当vi 0时，称状态i为吸收状态。
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证 （1） Ti与进入状态i的时刻无关；
P(Ti t | X (t0 ) i) P{X ( ) i, t0 t0 t | X (t0 ) i}
Gi (t s) Gi (s)Gi (t )
Gi (t ) e
vi t
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定理1 证明泊松过程是一个时间连续的马氏 链。求泊松过程的转移概率。 已证
P{X (tn ) kn X (t1 ) k1 , X (t2 ) k2 ,
X (t2 ) X (t1 ) k2 k1 ,
kE
pik t pkj
kE
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记：Ti为在状态i停留的时间。即： X ( ) i, 0 Ti , X (Ti ) j; X ( ) j, Ti Ti T j , X (Ti T j ) k （1） Ti与进入状态i的时刻无关； 引理：
P{X ( ) i,0 t | X (0) i}
P(Ti t | X Tj独立 (i j )；
P{Tj s | Ti t} P{Tj s | X ( ) i,0 t, X (t ) j}
P{Tj s | X (t ) j}
P{X ( ) j, t s t | X (t ) j}
P{Tj s | X (0) j}
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证： （3） Ti服从指数分布 根据马氏性和齐次性易证
P(Ti s t | Ti s)
第五章 时间连续马尔可夫链
• • • 时间连续马尔可夫链的性质 柯尔莫哥洛夫方程 特例 1.两状态链 2.生灭过程 • 生灭过程在排队论中的应用
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定义
定义 设随机过程{X(t),t>=0}状态空间E={0，1，2，….}
如果对于任何的s,t>=0及 i, j, k ( ) I , 0 s 均有
X (tn1 ) kn1}
P{ X (tn ) X (tn1 ) kn kn1 X (t1 ) X (0) k1 , X (tn1 ) X (tn2 ) kn1 kn2 }
P{ X (tn ) X (tn1 ) kn kn1}
因X (tn ) X (tn1 ) 与X (tn1 ) X (tn1 ) X (0) 相互独立
P{X (tn ) X (tn1 ) kn kn1 X (tn1 ) kn1}
P{X (tn ) kn X (tn1 ) kn1}
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此时称为时间连续的齐次马尔可夫链
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C-K方程
1 转移概率 pij (t ) 满足下列关系式
0 pij t 1, i, j E 及
p t 1, i E
jE ij
2. C—K方程成立
pij t pik t pkj
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泊松过程的转移概率为
j i 1 t o t , j i 1 pij t t o t , j i 1 o t ,
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定理2 p j (t ) P( X (t ) j)称为绝对概率；
p j P( X (0) j)称为初始概率；则
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P(Ti s t | Ti s) P(Ti t )
P(Ti s t )
P(Ti s t , Ti s) P(Ti s t | Ti s)P(Ti s) P(Ti t ) P(Ti s)
Gi (t ) P(Ti t ).
P{X (t ) j，X (t ) k X (0) i}
kE
P{X (t ) j X (t ) k}P{X (t ) k X (0) i}
kE
P{X ( ) j X (0) k}P{X (t ) k X (0) i}
P( X ( ) i,0 s t | X ( z ) i,0 z s) P( X ( ) i, s s t | X ( z ) i,0 z s) P( X ( ) i, s s t | X (s) i) P( X ( ) i,0 t | X (0) i) P(Ti t )
kE
3. 连续性条件假设
1, lim pij t t 0 0,
i j i j
C-K方程
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停留的时间
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证： pij t pik t pkj
kE
pij t P{X (t ) j X (0) i}