方程与不等式之无理方程经典测试题及答案解析

16．关于 x 的方程 mx 3 2x 5 是无理方程，则 m 的取值范围是_______． 【答案】 m 0
【解析】 【分析】
根据无理方程的概念可得结果. 【详解】 解：由题意可得： ∵无理方程的根号下含有未知数， ∴m≠0. 故答案为：m≠0. 【点睛】 本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键.
【点睛】 本题考查了无理方程的解，解题的关键是对原方程进行变形，转化为一元二次方程．
18．能使（x－5） x 7 ＝0 成立的 x 是____________． 【答案】7 【解析】 【分析】 由无理方程中两个因式的积为 0，则至少一个为 0，并检验求得的未知数的值，从而得到答 案， 【详解】
解：因为： (x 5) x 7 0
7．方程
-x=1 的根是______
【答案】x=3
【解析】
【分析】
先将-x 移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程 x2=9，求出 x 的值，把
不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.
【详解】
解：整理得：
=x+1，
方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1，
移项合并同类项，得：x2=9，
4．方程 x 3 2 x 0 的解是______．
【答案】x=2 【解析】 【分析】
求出 x 的范围，得出方程 2 x 0 ，求出即可．
【详解】
解： x 3 2 x 0 ，
2 x 0， x 2， x 3 0，
2x 0， x 2， 故答案为： x 2．
【点睛】
本题考查了解无理方程和二次根式有意义的条件，能得出方程 2 x 0 是解此题的关
9．方程 x 6 x 的根为 ．
【答案】x=3 【解析】 两边平方得 x+6=x2,解一元二次方程得 x1=3,x2=-2(舍去)，所以方程的根为
10．方程 x 3 x ＝3 的解是_____．
【答案】1 【解析】 【分析】
根据转化的思想，把二次根式方程化成整式方程，先把 x 移项到右边，再两边同时平方 把 x 3 化成整式，进化简得到 x ＝1，再两边进行平方，得 x＝1，从而得解.
故答案为：4． 【点睛】 此题考查了解无理方程，注意二次根式的被开方数必须大于等于 0．
12．将方程 x2 1 2x 0 化为有理方程_______
【答案】3x²+1=0 【解析】 【分析】 先移项，然后方程两边平方即可去根号，转化为有理方程． 【详解】
解：移项： x2 1 2x
两边平方得：x²-1=4x²,即 3x²+1=0wenku.baidu.com 故答案是：3x²+1=0． 【点睛】 本题考查了无理方程的解法，利用平方法是转化为整式方程的基本方法．
方程的两边同时平方，得 6+a=9，解得 a=3； 检验： 将 a=3 代入原方程得，
左边= 2 3 3 3 ，
右边=3， ∴左边=右边， ∴a=3 符合题意， 故填：3.
3．方程
的解为 ．
【答案】3． 【解析】 首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出 x 的值． 解：两边平方得：2x+3=x2 ∴x2﹣2x﹣3=0， 解方程得：x1=3，x2=﹣1， 检验：当 x1=3 时，方程的左边=右边，所以 x1=3 为原方程的解， 当 x2=﹣1 时，原方程的左边≠右边，所以 x2=﹣1 不是原方程的解． 故答案为 3．
6．方程 x 3 2 的解是__________． 【答案】x=7 【解析】 【分析】 将方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】 将方程两边平方得 x-3=4， 移项得：x=7， 代入原方程得 7 3 =2，原方程成立，
故方程 x 3 ＝2 的解是 x=7．
故本题答案为：x=7． 【点睛】 在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程 检验．
【解析】 【分析】 将方程左右两边平方，将方程化为关于 x 的一元二次方程，求出方程的解得到 x 的值，将 x 的值代入原方程检验，即可得到原方程的解． 【详解】 左右两边平方得：2x+3=x2，即 x2-2x-3=0， 因式分解得：（x-3）（x+1）=0， 解得：x=3 或 x=-1， 将 x=3 代入方程检验，不合题意， 则原方程的解为 x=-1． 故答案为 x=-1
11．方程（x+2) x 4 =0 的实数根是______．
【答案】4 【解析】 【分析】
由方程得 x 2 0 或 x 4 0 ，结合 x 4 0 ，求出符合题意的 x 即可．
【详解】
解：∵ x 2 x 4 0 ，
∴ x20或 x40，
解得： x 2 或 x 4 ， 又∵ x 4 0 即 x 4 ， ∴x 4，
解得：x1=3，x2=-3，
经检验，x2=-3 不是原方程的解，
则原方程的根为：x=3.
故答案为：x=3.
【点睛】
本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.
8．方程 4 3x =x 的解是______．
【答案】x=1
【解析】 【分析】 将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可． 【详解】 原方程变形为 4-3x=x2， 整理得 x2+3x-4=0， ∴（x+4）（x-1）=0， ∴x+4=0 或 x-1=0， ∴x1=-4（舍去），x2=1． 故答案为 x=1． 【点睛】 本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
数根．
20．方程 3 2x x 0 的解是____. 【答案】 x 3
【解析】 【分析】 根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验． 【详解】
∵ 3 2x x 0 ， ∴ 3 2x= x ，
∴3-2x=x2， ∴x2+2x-3=0， ∴（x+3）（x-1）=0， 解得，x1=-3，x2=1， 经检验，当 x=1 时，原方程无意义，当 x=3 时，原方程有意义， 故原方程的根是 x=-3， 故答案为：x=-3． 【点睛】 本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．
2．如果关于 x 的方程
的一个根为 3，那么 a= ．
【答案】3 【解析】
【分析】 根据方程的解的意义，把 x=3 代入原方程，然后解关于 a 的方程，解答后，一定要验根. 【详解】
∵关于 x 的方程 2x a x 的一个根为 3，
∴x=3 一定满足关于 x 的方程 2x a x ，
∴ 6 a 3，
所以： x 5 0, x 7 0 解得； x 5, x 7
经检验： x 5 不合题意舍去，所以方程的解是： x 7．
故答案为：7． 【点睛】 本题考查无理方程的解法，熟知解法是解题关键，注意检验．
19．关于 x 的方程 x 1 k 1 无实数根，则 k 的取值范围是___________．
13．方程 x 1 1 的解为_____．
【答案】x=2 【解析】 【分析】
将无理方程 x 1 1 两边同时乘方，即可解答.
【详解】 方程两边平方得：x﹣1＝1，
解得：x＝2， 经检验 x＝2 是原方程的解， 故答案为：x＝2 【点睛】 本题考点为无理方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.
14．方程 x 2 x 的解是_____．
键．
5．如果关于 x 的方程 x 2k x 有实数根 2 ，那么 k ________． 【答案】 1
【解析】 【分析】 把 x=2 代入方程中进行求解即可得. 【详解】
由题意得： 2 2k =2，
2-2k=4， 解得：k=-1， 经检验 k=-1 符合题意，所以 k=-1，
故答案为-1. 【点睛】 本题考查了方程的解，熟练掌握方程解的定义是解题的关键.
【详解】
移项得， x 3 ＝3﹣ x ， 两边平方得，x+3＝9+x﹣6 x ， 移项合并得，6 x ＝6， 即： x ＝1，
两边平方得，x＝1， 经检验：x＝1 是原方程的解， 故答案为 1． 【点睛】
本题考查了学生对开方与平方互为逆运算的理解，利用转化的思想把二次根式方程化为一 元一次方程是解题的关键.
【答案】k＜-1 【解析】 【分析】
根据二次根式的非负性即可知，当 k 1 0 时，方程无实数根．
【详解】
解：若关于 x 的方程 x 1 k 1无实数根，则 k 1 0 ，
∴k＜-1, 故答案为：k＜-1 【点睛】
本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当 k 1 0 时，方程无实
【答案】x＝﹣1． 【解析】 【分析】 把方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】 把方程两边平方得 x+2＝x2， 整理得（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x＝2 或﹣1， 经检验，x＝﹣1 是原方程的解． 故本题答案为：x＝﹣1． 【点睛】 本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
15．方程 2x 3 x 的根是 ． 【答案】 x 1
方程与不等式之无理方程经典测试题及答案解析
一、选择题 1．方程 x 1 1 的根是 x ______.
【答案】2． 【解析】 【分析】 方程两边乘方，得整式方程，求解，检验即可. 【详解】
∵ x 1 1
∴x-1=1 ∴x=2， 经检验，x=2 是原方程的根， 所以，原方程的根是 x=2. 故答案为：2. 【点睛】 本题考查了解无理方程，注意别忘记检验哟!
17．若关于 x 的方程 x2 4x 6 k 0在实数范围内有解，则 k 的取值范围是
__________．
【答案】 k 2
【解析】 【分析】
先将方程变形为 x2 4x 6 k 2 0 ，再根据一元二次方程根的判别式列出不等式即可解
答． 【详解】
解：方程 x2 4x 6 k 0可变形为： x2 4x 6 k2 0 则 16 4(6 k 2 ) 0 ，解得： k 2 或 k 2 ∵ x2 4x 6 k 0 ∴ k 2 不符合题意，故舍去， ∴k 2 故答案为： k 2 ．