刚体运动力学
理论力学刚体运动
Ek ( t ) Ek ( t0 ) A外
§6.2 作用在刚体上的力系 一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
2、分类： ①共面力系：所有的力位于同一平面内。 a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交 于一点的力系。 b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。 ②异面力系：力的作用线不在一个平面内。
二、力系等效
1、等效力系的定义 如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这 两个力系互为等效力系。
2、力系的等效条件：
F1i F2 j
r1i F1i r1 j F1 j
i j
i
j
3、零力系：力系力的矢量和为零，对固定参考点 的力矩和为零的力系。 说明：①所有的零力系都等效 ②任何力系加上零力系后与原力系等效 ③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系
2
角动量定理： dL dt
M外
2、平衡条件： Fi 0,
i
且 Mi 0
i
(对任一定点成立)
例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a 的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡 时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。
2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶
z -F3 A F1
F F3
O
x
B F2
y
§6.3 刚体的平衡
刚体运动 平动： 直线平动、曲线平动
转动： 定轴转动、一般转动 平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。
转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。
O
刚体的一般运动(n=6)
O
刚体的简单运动—刚体绕定轴的转动(理论力学)
主轴转动两圈后停止 0
2 02 2
0 10π2 2 4π
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
小结
1.刚体绕定轴转动 刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动,这种运动
为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上 的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。
2.角速度
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度
lim
Δt 0
Δ Δt
d
dt
代数量 正负与转角相同
若已知转动方程 f (t)
f (t)
刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +△
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt2
f (t)
表征角速度变化的快慢 单位:rad/s2 (代数量)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴转动
刚体运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动, 这种运动为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为 转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做 圆周运动。
二、转角和转动方程
____ 转角,单位弧度(rad)
=f(t)
转动方程
方向规定: 从Z轴正向看
逆时针为正
f (t) 刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s (代数量)
3.角加速度
f (t)
如果与同号,则转动是加速的;如果与异号,则转动是减
速的。
如果与同号,则转动是加速的; 如果与异号,则转动是减速的。
与同号,转动加速
与异号,转动减速
O
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
力学中的刚体运动
力学中的刚体运动刚体运动是力学中的基础概念之一，涉及物体在空间中的平移和旋转运动。
刚体指的是一个具有无穷多个质点的物体，其内部任意两点之间的相对位置保持不变。
本文将介绍刚体运动的基本原理、刚体运动的类型以及刚体运动的相关公式。
一、刚体运动的基本原理刚体运动的基本原理是“刚体上的任一质点在任意时刻的平面运动状态都完全相同”。
这意味着无论刚体如何运动，刚体上的各个质点之间的相对位置都保持不变。
这种相对位置的不变性使得刚体的运动可以用一个简化的模型来描述。
二、刚体运动的类型刚体运动可以分为平面运动和空间运动两种类型。
1. 平面运动平面运动指的是刚体在一个平面内的运动。
在平面运动中，刚体的质心沿直线或曲线轨迹运动，同时围绕质心进行旋转。
平面运动可以进一步分为平行轴定理和垂直轴定理两种类型。
- 平行轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个平行于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是质心绕着某个轴的转动。
- 垂直轴定理：当刚体的所有质点在一个平面内运动，且对于每个垂直于该平面的轴，刚体质量对该轴的转动惯量都相等，则刚体的转动可以看作是绕着该轴的转动。
2. 空间运动空间运动指的是刚体在三维空间中的运动。
在空间运动中，刚体的质心和各个质点都可以沿直线或曲线轨迹进行平移和旋转。
空间运动需要考虑刚体在三个方向上的运动和转动，其描述较为复杂，常用欧拉角和四元数等方法进行分析和计算。
三、刚体运动的相关公式刚体运动的描述离不开相关的公式和定理。
以下是一些常用的刚体运动公式：1. 质心运动的描述：- 质心速度公式：v = ds/dt，其中v为质心速度，s为质心位移，t为时间。
2. 刚体的平面运动：- 转动惯量公式：I = ∑mi ri²，其中I为转动惯量，mi为每个质点的质量，ri为质点到旋转轴的距离。
- 角动量公式：L = Iω，其中L为角动量，ω为刚体的角速度。
- 动能定理：∑(1/2mi vi²) = (1/2)Iω²，其中vi为每个质点的速度。
理论力学08刚体的基本运动
[例5] 图示仪表机构中，已知各齿轮齿数 z1 = 6、z2 = 24、z3 = 8、 z4 = 32，齿轮 5 的啮合圆半径 R = 4 cm。如齿条 AB 下移1 cm，试 求指针 OC 转过的角度。
解： 轮 5 转过的角度
5
1 4
轮 4 转过的角度
4
5
1 4
轮 3 转过的角度
3
4
i43
z4 z3
aMn
a
n A
π202l
16
cos
2
πt 4
aMt 0
aM
aMn
π202l
16
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转动方
程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索缠绕在鼓
轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时，轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例1] 杆AO 套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运动。 已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平距离 l =
400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆AO 的角速度和角
加速度。
解： 杆AO 的转动方程
arctan
BB0 OB0
第二节 刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程
t
说明：1）转角 为代数量，正负号表示
转向，一般可按右手螺旋法则 确定。
2）转角 的单位：rad（弧度）
z
A A0
二、绕定轴转动刚体的角速度
d
dt 说明：1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数
量，其正负号表示转向，角速度 的正 负号规定与转角 一致。 2）角速度 的单位：rad/s 3）角速度 与转速 n (r/min) 的换算关系
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
§3.1 刚体运动的分析
空间力系的简化 可以简化为空间定点的一个单力F和一个力偶矩M，F称主矢， M称主矩，定点称简化中心。
Note: (1)简化中心可以任意选取（一般取质心）；
(2)主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。
例如：作用在A点的力F分别向B、C迁移：
B rBC
迁移到B，需添加：M
z
质点组(n个质点)：自由度= 3n
确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？
B
A
C
至少需要6个独立变6个独立变量？
刚体位置的描述 （1）三点法：
C xC , yC , zC
从9个非独立坐标 中任取6个独立的
A xA, yA, zA B xB , yB , zB
定点转动的自由度：3个
§3.2 角速度矢量
设刚体绕通过定点O的某轴线转动了Δθ角度
角位移： 在转动轴上截取有向线段 n称为角位移
n的方向：与旋转方向成右手螺旋关系
n
n
角位移是不是矢量？
——矢量的合成满足平行四边形法则 满足对易律：A+B=B+A
A B
有限转动 ：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
刚体力学概要
d
dt
r
dr dt
(4.9)
其中： a A —基点A平动加速度；
d r
dt
—P点绕转动瞬轴转动的加速度（沿切向）；
( r ) —P点绕转动瞬轴转动的向轴加速度。
（4.8）和（4.9）式是刚体一般运动时刚体上任意点的速度和加速度 公式，是处理刚体运动学问题的基础。
xc2
•
xc
/
R
mg
s in
•
R
xc
2 3
g sin
(4) 用质心运动定理和对质心的角动量定理求约束力
mxc mg sin F
0 mg cos FN Ic RF
xc R
由以上四式，可得法向约束反力 FN 和切向约束反力 F ：
FN mg cos
F
1 mg s in
·瞬时转轴法
p rop
式中 是刚体（动系）绕瞬时转轴转动角速度，rop 为P点相对于瞬时转轴
的⊥位矢。
[例1]半径为R的轮子在直线轨道上匀速只滚不滑（纯滚动），质心C
的速度为 ，0求轮子边缘上任一点P的速度和加速度。
解：（1）用基点法 求 p
c 0 R, rcp R
由图知，
p 20 cos 20 sin
刚体是个特殊的质点系，因此质点系的动量定理、角动量定理和动
能定理对刚体也适用。刚体的一般运动可视为质心C（基点）的平动与绕
质心的转动的合成。质心的运动服从质心系的质心运动规律
m d c
dt
Fi(e )
i
（4.15）
绕质心的转动由角动量定理决定：
dL dt
ri
i
Fi( e )
（4.16）
理论力学中的刚体运动与力学参数计算
理论力学中的刚体运动与力学参数计算理论力学是力学的基础理论之一，研究物体在力的作用下的运动规律以及相关力学参数的计算。
刚体运动是理论力学研究的重要内容之一，刚体是指在外力作用下，物体内部各部分的相对位置保持不变的物体。
本文将针对理论力学中的刚体运动进行探讨，并介绍相关的力学参数计算方法。
一、刚体运动的类型刚体运动主要包括平动和转动两种类型。
平动是指刚体的质心沿直线轨迹运动，质心速度相等。
而转动是指刚体围绕某一轴旋转，各点角速度相等，且轴上任意两点连线垂直于轴。
根据刚体的运动类型，可以采用不同的方法进行力学参数的计算。
二、平动刚体运动的力学参数计算1. 速度：平动刚体的速度由质心速度来表示，质心速度的计算公式为v = Δx/Δt，其中Δx为质心位置变化的距离，Δt为质心位置变化所经过的时间。
2. 加速度：平动刚体的加速度由质心加速度来表示，质心加速度的计算公式为a = Δv/Δt，其中Δv为质心速度变化的差值，Δt为质心速度变化所经过的时间。
3. 质量：平动刚体的质量常用m来表示，可以通过测量质心处的物体质量来得到，计算公式为m = F/g，其中F为物体所受合力的大小，g为重力加速度。
三、转动刚体运动的力学参数计算1. 角速度：转动刚体的角速度由角位移与时间的比值来表示，角速度的计算公式为ω = Δθ/Δt，其中Δθ为角位移的变化值，Δt为变化所经过的时间。
2. 角加速度：转动刚体的角加速度由角速度变化的差值与时间变化量的比值来表示，角加速度的计算公式为α = Δω/Δt，其中Δω为角速度的变化差值，Δt为角速度变化所经过的时间。
3. 转动惯量：转动刚体的转动惯量常用I来表示，转动惯量决定了物体在旋转运动中的惯性大小。
转动惯量的计算公式为I = ΣmiRi^2，其中mi为物体质点的质量，Ri为质点到转轴的距离。
四、力学参数计算实例以平动刚体为例，假设一个质量为m的物体受到一个水平方向的恒定力F作用，求该物体在t时间后的速度v。
刚体运动的理论力学分析
刚体运动的理论力学分析刚体运动是经典力学研究的重要内容之一，涉及物体在空间中作直线运动、旋转运动以及复杂运动等方面的分析和研究。
本文将针对刚体运动的理论力学进行分析，并探讨刚体运动的力学定律和相关公式。
一、刚体的定义与特性刚体是指物体在受力作用下，各部分的相对位置不会发生变化的物体。
刚体具有以下特性：1. 形状不变性：刚体的形状和大小在运动过程中保持不变。
2. 组成部分的相对位置不变：刚体各部分相对位置保持不变，即不发生形变。
3. 刚体可以进行平动和转动。
二、刚体运动的描述刚体运动可以通过刚体在空间中的位置和姿态的变化来描述。
刚体可以存在三种运动状态：平动、转动和整体运动。
1. 平动：刚体的各个部分保持平行移动，位置和相对位置不发生变化。
平动运动可以由平动的速度和加速度来描述。
2. 转动：刚体绕固定轴线旋转，各个部分围绕轴线进行圆周运动。
转动运动可以通过角速度和角加速度来描述。
3. 整体运动：刚体在空间中同时进行平动和转动，即平动和转动的叠加。
三、刚体运动的力学定律刚体运动的力学定律主要包括牛顿第二定律和角动量守恒定律。
1. 牛顿第二定律：对于平动的刚体，根据牛顿第二定律可以得出以下公式：$$\sum F = ma$$其中，$\sum F$表示作用在刚体上的合力，m为刚体的质量，a为刚体的加速度。
2. 角动量守恒定律：对于转动的刚体，根据角动量守恒定律可以得出以下公式：$$L = I\omega$$其中，L为刚体的角动量，I为刚体的转动惯量，$\omega$为刚体的角速度。
四、刚体运动的相关公式1. 刚体的质心位置：刚体的质心位置可以通过以下公式计算：$$\bar{r} = \frac{1}{M}\int r dm$$其中，$\bar{r}$为质心的位置矢量，M为刚体的总质量，r为刚体中各个质点的位置矢量，dm为刚体中微小质元的质量。
2. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过以下公式计算：$$I = \int r^2 dm$$其中，I为刚体的转动惯量，r为刚体质点到转轴的距离，dm为刚体中微小质元的质量。
理论力学6刚体的基本运动
当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以 完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点 的运动问题来处理。 这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。
综上所述，可以得出刚体平动的特点： 1、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 2、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。 3、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为 质心)的运动分析。������ ������
因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运 动。
6.1 刚体的平行移动
平动刚体上各点的速度
平动刚体上各点的加速度
6.1 刚体的平行移动
注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持 在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。 如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特 殊情形称为平面平动或直线平动。 由上述定理可见：
即：定轴转动刚体内任一点的速度, 等于该点的转动半径与刚体角速度 的乘积。 式中v与ω两者正负相同。故速度是沿着点M的轨迹圆周的切 线，指向转动前进的一方。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴 线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一 方。
6.1 刚体的平行移动
平动的实例
夹 板 锤 的 锤 头
6.1 刚体的平行移动
2. 平动的特点
定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完 全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点 的加速度也相等。 证明：
rA rB BA
◆速度 刚体平动时，刚体内任一线段AB 的长度和方向都保持不变。 因而 x
6.1 刚体的平行移动
6.1 刚体运动学(大学物理)
1、转动惯量
刚体转动时，刚 体内的各质点作圆周 运动，刚体的动能等 于各质点动能之和。
mn
m1
rn
r1
r2 m2
1 1 1 2 2 2 Ek m1v1 m2v2 mnvn 2 2 2 n n 1 1 2 2 mivi mi (ri ) i 1 2 i 1 2 1 n 2 2 ( miri ) 2 i 1
1 l 1 2 2 J ml m ml 结果与前相同。 3 12 2
t
0
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2 2 0
2 ( )
2 2 0 0
匀变速转动
六 角量与线量之间的关系
1、位移与角位移之间的关系 刚体转过 刚体上的一点 位移 s
o
r
s
x
s r
第六章 刚体力学
本章主要内容：
6－1 刚体的运动 6－2 刚体的角动量、转动动能、转动惯量
6－3 力矩
刚体定轴转动定律
6－4 定轴转动的动能定理 6－5 刚体对定轴的角动量守恒定律
6－6 进动*
本章学习要求
2.理解转动惯量、力矩的概念，掌握转动定律。 3.掌握刚体转动的动能定理、角动量定理。
1.掌握刚体定轴转动的特点，理解角坐标、角位移 角速度、角加速度的概念。
1 n 刚体的转动动能 Ek ( miri2 ) 2 2 i 1 1 2 与平动动能比较 Ek mv 2 n 2 miri ：相对于转轴的特征的物理量
i 1
转动惯量的定义：
单位：kg ·m2
J m r
i 1
刚体力学
dω M = Jβ = J dt
ω2
ω1
1 1 2 = J ω2 − J ω12 = Ek 2 − Ek 1 J ω dω 2 2
在定轴转动中，合外力矩作功等于刚体转动动能的增量
三、刚体的重力势能
E p = ∑ mi gzi
Z
mi
C O
i i
∑m z = mg
dω M = Jβ = J dt
ω M ∫0 J dt = ∫0 dω
t
o
F
得
ω = ∫ 50tdt = 25rad/s
0
1
例：已知杆质量 m，长l，绕一端点转动， 1 2 J = ml ，初水平静止，求位于任意 3
N
)θ
n
角θ时，ω、β为多少？
受力：轴支持力 N、重力mg
解 1 用 动 理 M = Jβ 法： 转 定 求
dM = dF⋅ r = µdm ⋅ r g
dr r O R
m 2m dr r dm= 2 ⋅ 2πr ⋅dr = 2 πR R
2
2m gr dr µ dM = R2 2 r2 m µ gr dr 2 M = ∫dM = ∫ = µ gR m 2 0 R 3
dω −M = J dt
2 1 2 dω − µm = m gR R 3 2 dt
重力矩 轴力矩
t
θ
mg
mgl M= cos θ (向内） 2
M =0
d ω d ω dθ ω d ω = = β= dθ dt dθ dt
ω dω = β dθ
积分得
mgl cos θ M 3g 2 β= = = cos θ (与θ 有关） 1 2 J 2l ml 3
理论力学8刚体的基本运动
前面都为数量表达式，只有大小，而未标明方向； 矢量表达既有大小，又有方向。
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
w ， 的方向。
大小:|w ||ddt |
dw dw k k
dt dt
方向如图 w wk
15
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
vRw rsin w |w r|wrsin Rw
小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
各点速度分布图
各点加速度分布图
10
§8-4 绕定轴转动刚体的传动问题
传动比：通常称主动轮与从动轮角速度之比
i12
w1 w2
一.齿轮传动
因为是做纯滚动(即没有相对滑动) 1.内啮合
vF vE vF vE
wF rF wE rE
定义齿轮传动比
iEF
aC n Rw02 0.532 4.5m/s 2
aC (aC )2 (aC n )2 12 4.52 4.61 m/s2
tg
aC aC n
1 4.5
0.222,
12.5
⑤ t=3s 时， aC aA 1m/s2,aCn Rw 2 0.592 40.5m/s2
aC
12 40.52 40.51m/s2,
w 2 w02 2
7
§8-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一. 线速度V和角速度w之间的关系(即角量与线量的关系)
w , 对整个刚体而言(各点都一样)；
v, a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。
v
v
lim
t0
R t
wR
v wR
8
二.角加速度 与an ,a 的关系
力学中的刚体运动学理论
力学中的刚体运动学理论引言力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。
其中，刚体运动学是力学的基础，探讨了刚体在运动中的性质和规律。
本文将介绍力学中的刚体运动学理论，从刚体的定义、刚体的运动以及刚体运动中的相关概念等方面进行阐述。
刚体的定义刚体是指在运动过程中，其内部各点之间的相对位置保持不变的物体。
与之相对的是弹性体，弹性体在受力作用下会发生形变，而刚体则保持形状不变。
刚体的定义是力学中的基本概念，也是刚体运动学理论的基础。
刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体的各个点沿着平行于某一方向的直线运动，而转动则是指刚体绕某一轴旋转。
刚体的运动可以是平动和转动的组合，也可以是复杂的非刚体运动。
平动的描述平动的描述主要涉及刚体的质心和线速度。
质心是刚体的一个特殊点，可以看作是刚体的整体重心。
质心的运动轨迹可以用线速度来描述，线速度是质心在单位时间内所走过的路径长度。
刚体的平动可以根据质心的运动轨迹和线速度进行描述。
转动的描述转动的描述主要涉及刚体的转轴和角速度。
转轴是刚体绕其旋转的轴线，可以是任意方向。
角速度是刚体绕转轴旋转的速度，是单位时间内转过的角度。
刚体的转动可以根据转轴和角速度进行描述。
刚体运动中的相关概念在刚体运动中，有一些相关概念需要了解。
1. 位移：位移是指物体从一个位置到另一个位置的变化。
对于刚体的平动，位移可以用质心的位移来描述；对于刚体的转动，位移可以用转轴上某一点的位移来描述。
2. 速度：速度是位移随时间的变化率，是描述物体运动快慢的物理量。
对于刚体的平动，速度可以用质心的线速度来描述；对于刚体的转动，速度可以用转轴上某一点的切线速度来描述。
3. 加速度：加速度是速度随时间的变化率，是描述物体加速或减速的物理量。
对于刚体的平动，加速度可以用质心的线加速度来描述；对于刚体的转动，加速度可以用转轴上某一点的切线加速度来描述。
结论刚体运动学理论是力学中的重要内容，研究了刚体在运动中的性质和规律。
刚体运动的力学分析
刚体运动的力学分析力学是研究物体运动的学科，而刚体运动作为力学中的一个重要分支，旨在研究刚体的运动规律。
刚体是指不受内部力矩影响的物体，即无论外力如何作用，刚体的形状和大小都保持不变。
在力学中，刚体运动可以通过其质心的运动来描述，接下来我们来探讨刚体运动的力学分析。
一、刚体运动的基本概念与假设刚体运动的基本概念涉及质心、位移、速度和加速度等概念。
质心是指刚体的总质量在空间中的一个几何中心，可以看作是刚体的一个集中质量点。
位移是指质心由初始位置到末位位置的有向距离，可以用矢量表示。
速度是指质心的位移对时间的导数，而加速度是指速度对时间的导数。
在刚体运动的分析中，我们常常假设刚体为理想刚体，即无摩擦、无弹性变形和无空气阻力等。
这样的假设可以简化运动分析，使得问题的解决更加简便。
二、刚体平动与刚体转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体沿直线或曲线轨迹运动，质心的速度和加速度相等。
而转动则是指刚体围绕固定轴线旋转，并且质心的速度和加速度为零。
对于平动的刚体，其运动规律可以通过牛顿第二定律来描述。
根据牛顿第二定律，刚体受到的合外力等于质量与加速度的乘积。
因此，我们可以利用牛顿第二定律和动力学方程来求解刚体的运动状态。
对于转动的刚体，其运动规律则需要借助力矩的概念。
力矩是指力对于某一轴线产生的转动效应，它等于力的大小与力臂的乘积。
力臂是指力的作用线到轴线的垂直距离。
三、刚体的旋转惯量与转动定律旋转惯量是刚体对于转动的惯性性质，它表示刚体的质量分布对于其转动的影响。
旋转惯量的计算需要考虑刚体的质量和几何形状。
例如，对于圆盘状的刚体，其旋转惯量与质量和半径的平方成正比。
与旋转惯量相关的是转动定律，它描述了刚体围绕轴线转动时力矩、角加速度和旋转惯量之间的关系。
根据转动定律，力矩等于转动惯量和角加速度的乘积。
这样，我们可以通过转动定律来研究刚体的转动行为。
四、刚体运动的应用与挑战刚体运动的力学分析不仅仅是理论上的研究，它在工程和日常生活中也有着广泛的应用。
理论力学-刚体的简单运动
0 t
0
0t
1t2
2
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1.点的运动方程
s R
2.速度
v s R R
3.加速度
at
dv dt
s
R
an
v2
1 R2
R
R 2
4.速度与加速度分布图
v R
a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
drA dt
vA
ω rA
ωa
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
i jk
v r n r 0.6 0.48 0.64 8 j 6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，若 =a常量
求：da
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
从而
da dt
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
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课堂练习
圆轮绕固定轴O转动，某瞬时轮缘上一点的速度v和加 速度a如图所示，试问那些情况是不可能的？ （1）（a）（b）的运动是不可能的； （2）（a）（c）的运动是不可能的； （3）（b）（c）的运动是不可能的； （4）均不可能。
an 10 rad s
oA
vA
an A
O 600 a αA
a oA
a 10 3 rad s2
oA
课堂练习
刚体绕O轴作定轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A，B两
点，已知OA=2OB，某瞬时aA=10m/s2，方向如图所示。则此
时B点加速度的大小为（
）.（方向要在图上表示出来）。
转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体 角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方 向与速度轴转动刚体上各点的速度和加速度的大小均与该点到转 轴的垂直距离成正比。
在任一瞬时，刚体上所有各点的加速度a与该点轨迹半径的 夹角θ都具有相同值而与该点位置无关。
长为a、宽为b的矩形平板ABCD悬挂在两根长为L，且相互平行的 直杆上，如图示，板与杆之间用铰链A、B连接，二杆又分别用铰 链O1、O2与固定的水平平面连接。已知杆O1A的角速度与角加速 度分别为ω和α，试求板中心点C的运动轨迹、速度和加速度。
第十二章 刚体运动力学
陀螺的实验告诉我们：
高速旋转的东西有一个特性，就是它能保持 转轴的方向不变，陀螺的这个倔脾气就叫陀螺的 稳定性。陀螺转起来以后总是保持着转轴向上， 虽然它脚下很尖却也不倒
刚体是由无数点组成的，在点的运动学的基 础上可研究刚体的运动，研究刚体整体的运 动及其与刚体上各点运动之间的关系。
一：刚体的平行移动
定义
在刚体内任取一直线，在运动过程中，这条 直线始终与它的最初位置平行。
二 刚体绕定轴的转动
刚体的定轴转动
1、刚体的转动方程
2、角速度
3、角加速度
刚体的转动方程
4、刚体上点的速度和加速度
转动刚体内各点的速度和加速度
o
s R
ds R d
b
杆作定轴转动,板做平动
O1 A E
O2
vA vC L
O
ac aA L
B
acn aAn L2
a
C
aC L2 2L 2
b
D
L 2 4
课堂练习
在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的
初始位置，这种刚体的运动就是平动。 任意一条直线
本章将研究刚体的两种简单运动——平动和 定轴转动。
这是工程中最常见的运动，也是研究复杂运 动的基础。
刚体运动
刚体的简单运动
刚体的复杂运动
刚体的平 行移动
刚体的定 轴转动
刚体的平面运动
主要内容
刚体的简单运动 刚体简单运动的动力学方程 刚体简单运动动力学方程的应用
第一节
刚体的简单运动
αA
aBn OB 2 2.5 m s2
600
A
2 aA cos 600 aA
OA 4OB
O
aB
OB
53 2
aBn B
aA 5 3
OA 2OB
aB
a
2 B
a
2 Bn
5m s2
课本P162
例12-1 例12-2
课堂练习
圆轮绕定轴O转动，已知OA=0.5m，某瞬时vA，aA的方向如 图示，且aA=10m/s2，则该瞬时ω＝（ ）；α=（ ） （角速度、角加速度的转向要在图上表明）。
an aA cos 600 5m / s2
aA sin 600 5 3m / s 2
an oA 2
a
v
v
v
a
a
O
O
O
(a)
(b)
(c)
课堂练习
已知直角T字杆某瞬时以角速度ω、角加速度α在图平 面内绕O转动，则C点的速度为（ ）；加速度为 （ ）（方向均应在图上表示）。
v a2 b2
a a 2 b2
a
C
b
an α
an a2 b2 2
α
ω
O
a a2 b2 a2 4
M dt dt
s
v R
转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体 的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的 方向沿圆周的切线而指向转动的一方。
o
at
d 2s dt 2
R
d 2
dt 2
at R
M
v2 (R)2
s
an R
an R 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体 的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向 由角加速度的符号确定。