辽宁省庄河市高级中学高二人教B版数学课件：选修2-3 2.3.1变量间的相关关系(共17张PPT)

三：回归直线方程
1、回归直线 （1）回归直线的定义：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近， 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线 叫做回归直线 （2）回归直线的特征： 如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那 么我们就可以比较清楚地了解对应两个变量之间的相关性 . 就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直 线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表.
解
(1)先把数据列成表． 序号 1 2 3 xi
yi
4 5
6.5
5 6
7.0
2
2.2
3
3.8
4
5.5
20
25
xiyi
xi2
4.4
4
11.4
9
22.0
16
32.5
25
42.0
36
112.3
90
由表可知 x ＝ 4， y ＝5，由公式可得： 112.3－5× 4× 5 12.3 b＝ ＝ ＝ 1.23， 10 90－5× 42
恒过点（ x ，y ）
2.求线性回归方程 例
假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费 用y(万元)，有如下的统计资料：
使用年限x 2 维修费用y 2..5
^
5 6.5
6 7.0
^ ^
由资料可知 y 与 x 具有相关关系． (1)求线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a，b； (2)估计使用年限为 10 年时维修费用是多少？
某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售 额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：
x y
2 30
4 40
5 60
6 50
8 70
(1)画出散点图； (2)如果 x 与 y 具有线性相关关系， 求回归直线方程， 并说 明b的意义．
^
解
(1)散点图如图所示．
(2)由散点图知 x 与 y 具有线性相关关系． x ＝ 5， y ＝ 50， xiyi＝ 1 380， xi2＝ 145，
【例1】 下列关系中，属于相关关系的是________ 答案 ④ ． ①正方体的棱长与体积之间的关系； ②人的身高与视力的关系； ③自由落体的物体的质量与落地时间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
规律方法 (1)函数关系是一种确定性关系，如匀速直线运动中路程s与时间t
的关系；相关关系是一种非确定性关系，如一块农田的水稻产量与施肥量之
人们经过长期的实践与研究，已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
b
( x x)( y y) x y nxy
i 1 i i
n
n
( x x)
i 1 i
n

2
i 1 n
i
i
x nx
i 1 2 i
2
,
a y bx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。
怀
天
下
，
求
真
知
，
学
做
人
2.3.1-2
庄河高中数学组
讲授新课 一：变量之间的相关关系 1.两变量之间的关系 （1）函数关系： 当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定 正方形面积S与其边长x之间的函数关系S=x2 ， 对自变量边长的每一个确定值，都有唯一确定的面 积的值与之对应。 确定关系 （2）相关关系： 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 的随机性 一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 。 水稻产量并不是由施肥量唯一确定，在取值上带有 不确定关系 随机性
注意：
（1）相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系； 而相关关系是一种非确定关系；
即，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定 是因果关系，也可能是随机关系. （2）函数关系与相关关系之间有着密切联系： 在一定的条件下可以相互转化.而对于具有线性相关关系 的两个变量来说，当求得其回归直线方程后，又可以用一 种确定性的关系对这两个变量间的取值进行估计： (3).相关关系可分为线性相关，非线性相关两类.
间的关系． (2)判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量之间是否具有不确定
性．
【变式】 下列关系中，带有随机性相关关系的是________． ①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量 之间的关系；③人一生的身高与年龄之间的关系；④某餐 点热饮销售的数量与气温的关系．
答案 ②④
二：散点图
练习
注意：
1、散点图的特点形象地体现了各数据的密切程度， 因此我们可以根据散点图来判断两个变量有没有 线性关系.
2、从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某 种关系，这些点会有一个集中的大致趋势. 3、在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关 系有一个大致的了解，人们将变量所对应的点描 出来，这些点就组成了变量之间的一个散点图.
i ＝1 i＝1 5 5 5
∴b＝
^
i＝1
xiyi－5 x y xi2－5 x 2
^ 5
1 380－ 5× 5× 50 ＝ ＝ 6.5， 145－ 5× 52
i＝1 ^
a＝ y －b x ＝ 50－ 6.5× 5＝ 17.5. 所求回归直线方程为y＝ 6.5x＋ 17.5. b表示广告费每增加 100 万元，销售额平均增加 650 万元．
^
a＝ y －b x ＝ 5－ 1.23× 4＝ 0.08. (2)由(1)可知回归直线方程是y＝1.23x＋ 0.08， ∴当 x＝10 时，y＝ 1.23× 10＋ 0.08＝ 12.3＋0.08 ＝12.38(万元)． 故估计使用年限为 10 年时，维修费用是 12.38 万元．
^ ^
^
^
练习
1、散点图：将样本中n个数据点（xi，yi)（i＝1，2，…， n）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个 变量的一组数据的图形叫做散点图.
2、正相关、负相关 正相关：如果散点图的点散布在从左下角到右上角的区域， 即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也近似的由 小变大，对于两个变量的这种相关关系，我们称为正相关 负相关：如果散点图的点散布的位置是从在左上角到右下 角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值 也近似的由大变小，对于两个变量的这种相关关系，我们 称为负相关.
^ ^
小结
1、对于两个变量之间的关系，有函数关系和相 关关系两种，其中函数关系是一种确定性关系，相 关关系是一种非确定性关系. 2、散点图的作法及正、负相关的概念. 3、散点图能直观反映两个相关变量之间的大致 变化趋势，可用来判断两个变量之间的相关关系成 正相关或负相关.