常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
偏微分方程数值解法教学大纲
《偏微分方程数值解》课程教学大纲Numerical Solution of Partial Differential Equation课程代码： 课程性质：专业基础理论课/选修适用专业：信息计算开课学期：7总学时数：48总学分数：3编写年月：2003年3月修订年月：2007年7月执笔：王琦一、课程的性质和目的《偏微分方程数值解法》是计算数学专业的一门重要专业基础课。
它不仅对学生今后从事科研具有居高临下的指导作用，而且对于学习其它后继课程和解决一些实际问题都是一门重要的工具，同时对于训练思维能力起着很大作用。
本大纲是根据教育改革发展和面向二十一世纪高等数学专业课程设置和教学内容改革的要求，针对培养目标的需要进行设计的。
二、课程教学内容及学时分配第一章常微分方程初值问题10学时第二章变分原理8学时第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法10学时第四章离散方程的解法8学时第五章抛物型方程和双曲型方程12学时第一章常微分方程初值问题1.1 引论1.2 Euler方法和线形多步方法1.3 稳定性，收敛性和误差估计1.4 预估—校正算法1.5 Runge—Kutta方法第二章常微分方程初值问题2.1 二次函数的极值2.2 二阶椭圆边值问题2.3 Ritz方法第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法3.1 差分逼近的基本概念3.2 一维差分格式，矩形网和三角网差分格式3.3 极值定理3.4 解一维问题的线形元及误差估计3.5 解二维问题的矩形元和三角形元3.6 有限元方程3.7 收敛阶的估计第四章离散方程的解法4.1 离散方程的基本特征4.2 追赶法与迭代法4.3 超松弛法4.4 共轭斜量法第五章抛物型方程和双曲型方程5.1 稳定性与收敛性5.2 分离变量法5.3 差分格式的应用5.4 交替方向隐格式5.5 线形双曲型方程的差分逼近5.6 拟线形双曲型方程组5.7 基本定解问题和特征线法5.8 特征差分格式四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程。
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
《偏微分方程数值解》课程教学大纲《偏微分方程数值解》课程教学大纲课程名称：偏微分方程数值解课程代码：MA309学分 / 学时：4学分 / 64学时适用专业：数学系和与科学计算相关的专业先修课程：偏微分方程，科学计算（I）后续课程：科学计算（II），科学计算选讲开课单位：理学院数学系一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献）课程性质：本课程是理学院数学系的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过理论学习和上机实算，使学生掌握偏微分方程数值解的基本概念，基本方法和基本原理。
教学目标：重点介绍偏微分方程数值解的有限差分法、和有限元方法，培养学生以计算机为工具，通过数学建模、理论分析与数值求解等步骤定量化解决实际问题的能力。
本课程各教学环节对人才培养目标的贡献见下表。
知识能力素质要求各教学环节的贡献度课堂讲授课堂讨论自学小组大作业作业考试课堂整体贡献度知识知识体系完整掌握求解线性偏微分方程的有限差分方法，掌握变分原理和有限元方法的基本知识√√√能力清晰思考和用语言文字准确表达的能力√ √√ √ √√√√√ √√ √√ 发现、分析和解决问题的能力√√ √√ √√ √√√√√ √√ √√ 批判性思考和创造性工作的能力√√ √√√√√ √√√√√ √√ √√ 与不同类型的人合作共事的能力√ √ √√至少一种外语的应用能力√ √ 终生学习的能力√√ √√ √√ 组织管理能力√ √ 获取整理信息的能力* √ √√ √√√√√ √√ √√素质志存高远、意志坚强√ √ √√ √ 刻苦务实、精勤进取√√ √√ √√ √√ √√ √√ √√ 身心和谐、视野开阔√ √ √√ √√ 思维敏捷、乐于创新√√ √√ √ √√√√ √√ √√二、课程教学内容及学时分配（含实践、自学、作业、讨论等的内容及要求）教学内容学时课堂教学讨论作业及要求自学及要求团组大作业及要求第一章总论微分方程数学模型及举例；微分方程数值解的重要意义和基本问题。
常微分方程教学大纲1(数学与应用数学专业)
云南师大数学学院数学与应用数学专业课程教学大纲[课程名称] 常微分方程（Ordinary Differential Equation）[课程编码] 08T103070[课程类别] 学科基础课程[课时] 51[学分] 3[课程性质、目标和要求]《常微分方程》是云南师范大学数学与应用数学专业本科必修课中的一门学科基础课程。
该课程针对云南师范大学数学与应用数学所有专业的本科学生。
本课程是微分方程学科的基础，是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，是一门理论和应用紧密结合的重要课程。
本课程是常微分方程稳定性理论、偏微分方程、微分方程数值解法、数学模型等应用数学各后继课程的基础。
要求先修数学分析，高等代数和解析几何三门课程。
《常微分方程》的教学目的是：通过该课程的教学，使学生掌握常微分方程的基本概念，基本理论和求解的基本方法，让学生学习建立和解决微分方程模型的思想方法，从而训练其数学思维、应用意识和分析解决实际问题的能力。
《常微分方程》的教学要求是：重点讲授一阶方程的初等积分法，线性方程和方程组解的基本理论与方法，证明一阶方程初值问题解的存在唯一性的逐次逼近法思想。
[教学时间安排]本课程计 3 学分，51学时，学时分配如下：[教学内容要点]第一章绪论一、学习目的要求初步了解常微分方程的物理背景和其它实际背景，掌握方程建立的基本步骤和基本概念；了解常微分方程课程要讨论的基本问题和任务。
二、主要教学内容1. 微分方程：某些物理过程的数学模型2. 基本概念三、课堂讨论选题无四、课外作业选题1．习题1.2 ： 1—9题2．习题2.5 ： 33题第二章一阶微分方程的初等解法一、学习目的要求掌握一阶微分方程的初等积分法，熟练掌握：分离变量法、常数变易法和积分因子法；掌握特殊的一阶隐式方程的解法；会用已有知识建立常微分方程模型，并利用数学软件解决一些简单的问题。
二、主要教学内容1.变量分离方程与变量变换2.线性方程与常数变易法3.恰当方程与积分因子4.一阶隐方程与参数表示三、课堂讨论选题各种初等积分法之间的联系和区别是什么？四、课外作业选题1．习题2.1: 1—19，21，22题2. 习题2.2: 1—20题，22题3.习题2.3: 1—25题4.习题2.4: 1—6题5.习题2.5: 1—32,34，35，36题6.习题3.4:（一）—（四）题第三章一阶微分方程的解的存在定理一、学习目的要求熟练掌握毕卡逐次逼近法及其运用，理解一阶初值问题解的存在定理中解的存在区间的意义，理解延拓定理的含义；掌握贝尔曼不等式及其简单应用，理解解对初值的连续依赖性和可微性定理的含义，了解奇解的定义。
《偏微分方程》课程教学大纲
《偏微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16002102课程名称：偏微分方程英文名称：Partial Differential Equations课程类别：专业课学时：32学分： 2适用对象: 数学与应用数学、信息与计算科学考核方式：考查先修课程：数学分析、常微分方程、高等代数二、课程简介偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支学科，是现代数学的一个重要分支。
它在微分几何、物理学、计算数学和计算机图形学、金融数学等学科中都有许多重要应用。
本课程主要内容包括：偏微分方程的基本概念，二阶方程的特征理论和分类，分离变量法，双曲型、抛物型及椭圆型方程的求解方法及基本理论。
通过本课程的学习使学生初步认识如何从实际问题出发建立微分方程模型，培养学生分析问题和解决某些实际问题的能力，为日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具。
Partial differential equation is a branch of mathematics that establishes mathematical models, analyzes and interprets objective phenomena and then solves practical problems, is an important branch of modern mathematics. It also has many important applications in differential geometry, physics, computational mathematics and computer graphics, financial mathematics and other disciplines. The main contents of this course include: the basic concept of partial differential equation, the characteristic theory and classification of the second order equations, the method of separation of variables, the methods of solving hyperbolic，parabolic and elliptic equations and the basic theory of them. Through learning of this course makes students to know how to establish a differential equation model starting from the practical problems, to cultivate students' ability to analyze problems and solve some practical problems, lay a solid foundation for future study and work and provide a powerful tool.三、课程性质与教学目的课程性质：专业选修教学目的：偏微分方程是数学专业的一门重要专业课程。
微分方程教学大纲
微分方程教学大纲微分方程教学大纲引言：微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程领域。
为了提高学生对微分方程的理解和应用能力，制定一份全面而系统的微分方程教学大纲至关重要。
本文将探讨微分方程教学大纲的内容和结构，以及如何培养学生的学习兴趣和解决实际问题的能力。
一、基础知识的学习1. 导数和微分的回顾- 重点回顾导数和微分的定义和性质，为后续微分方程的求解做好准备。
- 强调导数和微分的几何意义，帮助学生理解微分方程的几何解释。
2. 常微分方程的分类和基本概念- 介绍常微分方程的定义和基本概念，包括阶数、线性性、初值问题等。
- 分类讲解常微分方程的常见类型，如一阶线性方程、二阶线性方程、常系数齐次方程等。
3. 一阶常微分方程的解法- 详细介绍分离变量法、齐次方程法、恰当方程法等一阶常微分方程的解法。
- 强调解的存在唯一性和初值问题的求解方法。
4. 高阶常微分方程的解法- 讲解高阶常微分方程的特征方程法、常系数齐次方程法等解法。
- 引入待定系数法和常数变易法，解决非齐次方程的特殊情况。
二、应用问题的分析与解决1. 物理问题中的微分方程- 介绍牛顿第二定律、弹簧振动、电路等物理问题的建模过程。
- 将物理问题转化为微分方程，讲解如何求解微分方程得到物理量的变化规律。
2. 生物学问题中的微分方程- 探讨生物学中的人口增长模型、药物代谢模型等微分方程应用。
- 强调微分方程在生物学领域中的重要性，培养学生解决实际问题的能力。
3. 工程问题中的微分方程- 介绍工程领域中的热传导问题、振动问题等微分方程应用。
- 引导学生运用微分方程建立工程问题的数学模型，并求解得到实际结果。
三、计算工具的应用1. 数值方法的介绍与应用- 介绍常用的数值方法，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
- 演示如何利用数值方法求解微分方程近似解，讨论数值误差和收敛性。
2. 计算机软件的使用- 引导学生掌握常用的数学软件，如MATLAB、Mathematica等。
常微分方程教学大纲
《常微分方程》教学大纲课程名称：常微分方程学时：54学分：课程性质：专业必修课考核方式：考试开课对象：一、教学目的常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。
本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。
二、课程内容及学时分配第一章初等积分法（16学时）了解微分方程的背景和基本概念，熟练掌握各类一阶方程(变量分离方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程、隐式微分方程)、高阶方程的基本解法。
第二章基本定理 (12学时)理解并掌握存在唯一性定理及证明方法—逐次逼进法，掌握解的延拓定理和解的存在区间。
理解解对初始值与参数的连续性，了解解对初始值的可微性。
了解奇解概念和会求奇解。
会应用存在唯一性定理。
第三章一阶线性微分方程（12学时）理解并掌握线性方程与方程组的基本理论：齐次和非齐次线性方程解的性质、函数线性关系、Wronsky行列式、基本解组、齐次和非齐次线性方程的通解结构定理、Liouville公式。
方程组基解方阵的性质。
第四章 n阶线性微分方程（14学时）熟练掌握常系数线性方程与方程组的解法（高阶非齐次可只讲待定系数法，算子法，Laplace 变换可不讲）。
高阶方程的特征方程方法，方程组的基解矩阵求法，指数矩阵exp(At)求法，通解。
三、教材及教学参考书教材：东北师范大学微分方程教研室，常微分方程（第二版），北京：高等教育出版社.2005教学参考书：常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
四、说明本课程成绩评定方法：平时成绩30%；期末成绩70%。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上海交通大学致远学院
《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲
一、课程基本信息
课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法
课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial
Differential Equations
课程代码：MA300
学分 / 学时：4学分 / 68学时
适用专业：致远学院与数学系相关专业
先修课程：偏微分方程，数值分析
后续课程：相关课程
开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室
Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204
二、课程性质和任务
本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。
在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。
将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。
在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。
将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。
本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。
三、教学内容和基本要求
第一部分：常微分方程数值解法
1 引论
1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
1.2 Euler方法：显/隐Euler方法，改进的Euler方法
1.3 单步法和多步方法的定义、局部截断误差、整体截断误差，零-稳定性
1.4 Euler方法稳定与收敛性分析
2 单步法和Runge-Kutta方法的构造与分析
2.1 Taylor展开法
2.2 单步法的稳性与收敛性分析
2.3显式Runge-Kutta方法与绝对稳定性
2.4 隐式Runge-Kutta方法
3 线性多步法的构造与分析
3.1 待定系数法
3.2 数值积分法（Adams方法）
3.3 多步方法的实际使用技巧
3.4 线性多步法的稳性与收敛性分析
4 常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法简介
4.1 刚性常微分方程组
4.2 高阶方程化为一阶方程组
第二部分：偏微分方程数值解法
1 椭圆型方程的差分方法
1.1 从一个简单例子谈起
1.2 矩形域上Poisson方程的五点差分格式与快速求解
1.3 离散极值原理和最大模估计与误差分析
1.4 求解矩形域上Poisson方程的九点差分格式
2 发展方程有限差分方法的基本概念和理论
2.1 区域的离散和微分方程的离散
2.2 差分格式的相容性、收敛性及稳定性
2.3 Fourier稳定性判别准则
2.4 Von-Neumann稳定性判别准则及性质
2.5 多层差分格式稳定性判别方法
2.6 构造差分方法和分析稳定性的其它方法
3 双曲型方程的差分方法
3.1 一阶双曲型方程的差分方法
3.2 CFL条件
3.3 利用特征线构造差分方法
3.4 差分格式的余项效应分析
3.5 变系数方程的差分方法与能量积分稳性分析3.6 一维守恒型方程守恒律与计算（*）
3.7 二阶双曲型方程的差分方法
4 抛物型方程差分方法
4.1 常系数抛物型方程初值问题的差分方法
4.2 初边值问题的处理
4.3 对流扩散方程的差分方法
4.4 Richardson外推法
4.5 变系数方程的差分方法
4.6 高维抛物型方程初值问题的基本差分方法
4.7 分数步方法
5 变分原理
5.1 变分问题与典型示例
5.2 变分问题的Euler-Langrange方程及守恒律
5.3 二次函数极值问题
5.4 一维变分问题
5.5 高维变分问题
5.6 变分问题的近似计算
6 有限元方法
6.1 一维椭圆问题的线性有限元方法
6.2 一维线性有限元方法的理论分析
6.3 二维椭圆问题的线性有限元方法
6.4 形成有限元线性代数方程组的子结构方法
四、考核及成绩评定方式
最终成绩由平时作业、课堂表现、大作业、期中期末成绩综合而得。
各部分所占比例如下：
●平时作业和上课参与程度：20分。
●大作业：10分。
●期中考试：30分。
●期末考试：40分。
为了强化学风与纪律，在试听期间后上课过程中任课老师将随机点名，如无故缺席者每缺一次扣1分，直至扣满10分，扣分归类在平时作业和上课参与程度栏目。
如果某一同学缺课率超过学校的规定，将取消其该们课程成绩。
五、教材及参考书目
课程教材：
【1】李立康、於崇华、朱政华，微分方程数值解法，复旦大学出版社，上海，1999。
【2】偏微分方程数值解法(第二版)，陆金甫、关治，清华大学出版社，北京，2004。
参考书目：
【1】李荣华，冯果忱，微分方程数值解(第三版)，高等教育出版社，北京，1996。
【2】李治平，偏微分方程数值解讲义，北京大学出版社，北京，2010。
【3】有限元方法讲义，应隆安，北京大学出版社，1988。
【4】 S.C. Brenner and L.R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Third Edition), Springer, New York, 2008.。