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圆的方程-高考文科数学专题练习

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高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)

高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)

高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号.[答案] 96.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2019泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a=________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，所以的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，所以圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2=2.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

2022届高考文科数学一轮复习：圆的方程练习题

2022届高考文科数学一轮复习：圆的方程练习题

圆 的 方 程一、基础练习1、以椭圆1692x ＋1442y ＝1的右焦点为圆心，且与双曲线92x －162y ＝1的渐近线相切的圆的方程是_____________。

2、长为2的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 中点的轨迹是（） A ：圆 B ：椭圆 C ：双曲线 D ：抛物线3、在平面直角坐标系x O y 中，以点(1，0)为圆心且与直线m x －y －2m －1＝0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________。

4、已知直线x －2＋λ＝0与圆2x ＋2y ＋2－4＝0相切，则实数λ的值是（ ）A ：0B ：10C ：0或5D ：0或105、从原点向圆2x ＋2y －8y ＋12＝0引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的长是（ ） A ：3πB ：32πC ：D ：π6、在圆(x －3)2＋(y －5)2＝2的切线中，满足在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A ：2条 B ：3条 C ：4条 D ：5条7、过定点(1，2)可以作两条与圆2x ＋2y ＋k x ＋2y ＋2k －15＝0相切，则k 的取值范围是___________。

A ：k ＞2B ：－3＜k ＜2C ：k ＜－3或k ＞2D ：以上答案都不对8、若圆上恰好存在两个点P 、Q ，他们到直线：3＋4－12＝0的距离为1，则称该圆为“完美型圆”，下列圆是是“完美型”圆的是（ ）A ：＋2y ＝1B ：2x ＋2y ＝16C ：(x －4)2＋(－4)2＝4D ：(x －4)2＋(－4)2＝169、已知圆＋＋2－4y ＋1＝0关于直线2a x －b y ＋2＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则a 4＋的最小值是（ ）A ：4B ：6C ：8D ：910、若直线x －y ＋m ＝0将圆C ：2x ＋2y －2x －1＝0分成两总分的圆弧之比是1：2，则m ＝（ ） A ：0 B ：－2 C ：0或－2 D ：111、若A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三个点，O 是圆心，且OA ·OB ＝0，存在实数λ、μ使得OCy x y 34πl x y 2x y y 2x 2y x b1＝λOA ＋μOB ，则实数λ、μ满足的关系是（ ） A ：2λ＋2μ＝1 B ：μ1＋λ1＝1 C ：λ×μ＝1 D ：λ＋μ＝1 12、若直线y ＝x ＋与曲线x ＝22y y -有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是__________。

高考文科数学练习题圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

高考文科数学练习题圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

第二节圆与方程[考纲要求]1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F2点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋y 2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化 方程观点Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard .[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝2 2.答案：2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).[小题练通]1.[人教A版教材P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.[课时跟踪检测]1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是()A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为(2＋1)2＋(2＋4)2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋(5－2)2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62 C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)，∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，所截得的最短弦长为222－(2)2＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C. 8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2，a 2＋(0＋1)2＝r 2，a 2＋(0－1)2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.故选C. 9．(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：选C因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，所以OC的中点坐标为E(3,4)，所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选B∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4解析：选A由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∵圆O的半径为1，∴|OP|＝2，∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为2，∴符合条件的点P只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k ＝1”是“|AB|＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d＝11＋k2，则|AB|＝21－d2＝21－11＋k2＝2k21＋k2，当k＝1时，|AB|＝212＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(3－b )2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎨⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝54. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________．解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝(1－1)2＋(－2－3)2＝5. 答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，(a ＋5)2＋(b ＋5)2＝52－r ，(0－a )2＋(－6－b )2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32， ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18。

2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】

2025高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练【含解析】

课时过关检测(四十八)圆的方程【原卷版】1．圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1C．(x－2)2＋(y－1)2＝5D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝52．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．210D．54．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是()A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为()A．23B．13C．23＋1D．13＋16．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝438．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．14．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．15．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列命题正确的是()A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3,0)C ．经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π16．已知曲线T ：F (x ，y )＝0，对坐标平面上任意一点P (x ，y )，定义F [P ]＝F (x ，y )，若两点P ，Q 满足F [P ]·F [Q ]>0，称点P ，Q 在曲线T 同侧；F [P ]·F [Q ]<0，称点P ，Q 在曲线T 两侧．(1)直线过l 原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中A (－1,1)，B (2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F (x ，y )＝(3x ＋4y －5)4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集S ＝{P |F [P ]·F [O ]>0}的面积．课时过关检测(四十八)圆的方程【解析版】1．圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是()A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5解析：A 圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A ．2．设a ∈R ，则“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆，则有D 2＋E 2－4F ＝a 2＋4－8＞0，解得a ＞2或a ＜－2，则“a ＞2”是“a ＞2或a ＜－2”的充分不必要条件，所以“a ＞2”是“方程x 2＋y 2＋ax －2y ＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件．故选A ．3．若x 2＋y 2＝8，则2x ＋y 的最大值为()A ．8B ．4C ．210D ．5解析：C 设2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x ，当直线y ＝t －2x 与x 2＋y 2＝8相切时，t 取到最值，所以|t |5≤22，解得－210≤t ≤210，所以2x ＋y 的最大值为210，故选C ．4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是()A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：D圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心C (3，1)，半径为1，因为圆心C 到O (0,0)的距离为2，所以圆C 上的点到O (0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB ＝90°，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得|PO |＝12|AB |＝t ，所以有1≤t ≤3，故选D ．5．点M 为圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ过定点P ，则|MP |的最大值为()A ．23B ．13C ．23＋1D ．13＋1解析：D 整理直线方程得：(x ＋y －2)＋(3x ＋2y －5)λ＝0＋y －2＝0，x ＋2y －5＝0得＝1，＝1，∴P (1,1)，由圆的方程知圆心C (－2，－1)，半径r ＝1，∴|MP |max ＝|CP |＋r ＝(－2－1)2＋(－1－1)2＋1＝13＋1．故选D ．6．(多选)已知圆x 2＋y 2－4x －1＝0，则下列关于该圆说法正确的有()A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线y ＝0对称C ．关于直线x ＋3y －2＝0对称D ．关于直线x －y ＋2＝0对称解析：ABCx 2＋y 2－4x －1＝0⇒(x －2)2＋y 2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y ＝0过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x ＋3y －2＝0过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x －y ＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确．故选A 、B 、C ．7．(多选)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 可能的方程为()A ．x 2＝43B ．x 2＝43C ．(x －3)2＋y 2＝43D ．(x ＋3)2＋y 2＝43解析：AB由题意知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心C (0，a ),半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C的方程为x 2＝43．8．已知三个点A (0,0)，B (2,0)，C (4，2)，则△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则＝0，＋2D ＋F ＝0，＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得＝－2，＝－6，＝0，所以圆的方程为x 2－2x ＋y 2－6y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝10，所以圆心坐标为(1,3)．答案：(1,3)9．已知点P 为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点，A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点，且|AB |＝2，则△ABP 的面积的取值范围是________．解析：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C (2，1)，半径r ＝2，圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3，设P 到直线AB 的距离为h ，则S △ABP ＝12·|AB |·h＝h ，∵d －r ≤h ≤d ＋r ，∴1≤h ≤5，∴S △ABP ∈[1,5]，即△ABP 的面积的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410．(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)．所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0．(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0．①又直径|CD |＝410，所以|PA |＝210．所以(a ＋1)2＋b 2＝40．②＝－3，＝6＝5，＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40．11．瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知△ABC 的顶点A (－4,0)，B (0,4)，其欧拉线方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标可以是()A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－2,0)D ．(0，－2)解析：D ∵A (－4,0)，B (0,4)，∴AB 的垂直平分线方程为x ＋y ＝0，又外心在欧拉线x－y ＋2＝0＋y ＝0，－y ＋2＝0，解得三角形ABC 的外心为G (－1,1)，又r ＝|GA |＝(－1＋4)2＋(1－0)2＝10，∴△ABC 外接圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝10．设C (x ，y )，则三角形ABC 即x －43－y ＋43＋2＝0．整理得x －y －2＝0．联x ＋1)2＋(y －1)2＝10，－y －2＝0，＝0，＝－2＝2，＝0.∴顶点C 的坐标可以是(0，－2)．故选D ．12．写出一个关于直线x ＋y －1＝0对称的圆的方程____________．解析：设圆心坐标为C (a ，b )，因为圆C 关于x ＋y －1＝0对称，所以C (a ，b )在直线x ＋y －1＝0上，则a ＋b －1＝0，取a ＝1⇒b ＝0，设圆的半径为1，则圆的方程(x －1)2＋y 2＝1．答案：(x －1)2＋y 2＝1(答案不唯一)13．已知A (－2,0)，B (2,0)，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则点M 的轨迹方程是____________________；又若MA ―→·MB ―→＝0，此时△MAB 的面积为________．解析：设M (x ，y )，由|MA |＝2|MB |，得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －2)2＋y 2，整理得3x 2＋3y 2－20x ＋12＝0．以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，x 2＋3y 2－20x ＋12＝0，2＋y 2＝4，解得|y |＝85．即M 点的纵坐标的绝对值为85．此时△MAB 的面积为S ＝12×4×85＝165．答案：3x 2＋3y 2－20x ＋12＝016514．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求点M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：圆C ：x 2＋(y －4)2＝42，故圆心为C (0,4)，半径为4．(1)当C ，M ，P 三点均不重合时，∠CMP ＝90°，所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ，C )，线段PC 中点为(1,3)，12|PC |＝12(2－0)2＋(2－4)2＝2，故M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2(x ≠2，且y ≠2或x ≠0，且y ≠4)．当C ，M ，P 三点中有重合的情形时，易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4)．综上可知，点M 的轨迹是一个圆，轨迹方程为(x －1)2＋(y －3)2＝2．(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．法一(几何法)：由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故直线l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0．又易得|OM|＝|OP|＝22，点O到直线l的距离为812＋32＝4105，|PM|＝＝4105，所以△POM的面积为12×4105×4105＝165．法二(代数法)：设M(x，y)，由|OM|＝|OP|＝22得x2＋y2＝8，2＋y2＝8，①－1)2＋(y－3)2＝2，②①－②得直线l方程为x＋3y－8＝0，将x＝8－3y代入①得5y2－24y＋28＝0，解得y1＝145，y2＝2．从而x1＝－25，x2＝2．所以M－25，|PM|＝＝4105．又点O到l距离d＝812＋32＝4105，所以△POM的面积S＝12|PM|·d＝12×4105×4105＝165．15．(多选)设有一组圆C k：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是()A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B．所有圆C k均不经过点(3,0)C．经过点(2,2)的圆C k有且只有一个D．所有圆的面积均为4π解析：ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆C k有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选A、B、D．16．已知曲线T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点P(x，y)，定义F[P]＝F(x，y)，若两点P，Q满足F[P]·F[Q]>0，称点P，Q在曲线T同侧；F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T 两侧．(1)直线过l原点，线段AB上所有点都在直线l同侧，其中A(－1,1)，B(2,3)，求直线l 的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，y)＝(3x＋4y－5)4－x2－y2＝0，O为坐标原点，求点集S＝{P|F[P]·F[O]>0}的面积．解：(1)由题意，显然直线l斜率存在，设方程为y＝kx，则F(x，y)＝kx－y＝0，因为A(－1,1)，B(2,3)，线段AB上所有点都在直线l同侧，则F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0，解得－1<k<3 2．(2)因为F[O]<0，所以F[P]＝(3x＋4y－5)·4－x2－y2<0，x＋4y－5<0，2＋y2<4，点集S为圆x2＋y2＝4在直线3x＋4y－5＝0下方内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则O到AB的距离为1，故∠AOB＝2π3，因此，所求面积为S＝12·4π3·22＋12·32·22＝8π3＋3．。

圆的方程 习题(含答案)

圆的方程 习题(含答案)

圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x+3)2+y2=1B．(x−3)2+y2=1C．(2x−3)2+4y2=1D．(2x+3)2+4y2=13．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆x2+y2+2√2x=0的半径是（）A．√2B．2C．2√2D．45．已知圆C1:x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2:x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．x+y−3=0B．x+y+3=0C．3x−3y+4=0D．7x+ y−9=06．若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A(−1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值为（）A．2B．2√2C．4D．4√27．已知直线l：x+ay−1=0(a∈R)是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．4√2C．6D．2√108．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a−2)2+（b−2）2的最小值为A．√5B．5C．2√5D．109．若x,a,b均为任意实数，且(a+2)2+(b−3)2=1，则(x−a)2+(lnx−b)2的最小值为（ ）A ． 3√2B ． 18C ． 3√2−1D ． 19−6√2二、填空题10．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为____．11．已知x ,y 满足x 2－4x －4＋y 2＝0, 则x 2+y 2的最大值为____12．若直线l ：2ax −by +2=0(a >0,b >0)与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆x 2+y 2+2x −4y +1=0截得的弦长为4，则|OA|+|OB|(O 为坐标原点)的最小值为______．13．设直线y =x +2a 与圆C:x 2+y 2−2ay −2=0相交于A,B 两点，若|AB |=2√3，则圆C 的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线xy =1（x >0)上，且与直线x +4y +13=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2,−1)的圆C 和直线 x +y =1相切，且圆心在直线 y =−2x 上，则圆C 的标准方程为______．16．已知圆C 的圆心在直线2x −y =0上，且经过A(6,2)，B(4,8)两点，则圆C 的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，则三角形OAB 的外接圆方程是__________．18．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是_______.三、解答题19．设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB| =8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．已知圆C:x 2+y 2+2x −7=0内一点P(−1,2)，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的圆心坐标和面积；（2）若直线l 的斜率为√3，求弦AB 的长；（3）若圆上恰有三点到直线l 的距离等于√2，求直线l 的方程．21．已知点M (x 0,y 0)在圆O:x 2+y 2=4上运动，且存在一定点N (6,0)，点P (x,y )为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过A (0,1)且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点E,F ，是否存在实数k 使得OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OF⃑⃑⃑⃑⃑ =12，并说明理由. 22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线 (1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。

高二数学圆的标准方程试题(有详细解答)

高二数学圆的标准方程试题(有详细解答)

高二数学圆的标准方程试题一．选择题（共16小题）1．（2011重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．811365专题：数形结合．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E 最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2 ，MB= ，ME= = ，所以BD=2BE=2 =2 ，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S= ACoBD= ×2 ×2 =10 ．故选B点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．2．（2009辽宁）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．811365分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．3．（2001江西）过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4考点：圆的标准方程．811365分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．解答：解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．点评：本题解答灵活，符合选择题的解法，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．4．（2012吉安县模拟）若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式x≤y，则θ的取值范围是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域．811365专题：综合题．分析：方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），由此可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得θ的取值范围．解答：解：由题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切），则，∴sin（θ﹣）≥∵0≤θ≤2π，∴∴∴∴θ的取值范围是故选B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角函数知识的运用，解题的关键是将问题转化为方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在x=y的左上方（包括相切）．5．（2010宁德模拟）已知A（3，3），点B是圆x2+y2=1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365分析：通过定比分点坐标公式，把M的坐标转移到B上，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程．解答：解：设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a=3x﹣6，b=3y﹣6，又点B是圆x2+y2=1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即故选A．点评：本题考查线段的定比分点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，是中档题．6．圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）2=2或（x+1）2+（y﹣1）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；数形结合；分类讨论．分析：根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线y=x上点的横纵坐标相等，得到圆心A的坐标，根据勾股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A′在第三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．解答：解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为（1，1），且半径|OA|= ，则圆A的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；当圆心A′在第三象限时，过A′作A′C′⊥x轴，又|OB′|=2，根据垂径定理得到点C′为弦OB′的中点，则|OC′|=1，由点A′在直线y=x上，得到圆心A′的坐标为（﹣1，﹣1），且半径|OA′|= ，则圆A′的标准方程为：（x+1）2+（y+1）2=2，综上，满足题意的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x+1）2+（y+1）2=2．故选C点评：此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中档题．需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏．7．如果圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心在第三象限，那么直线ax+by﹣1=0一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．811365专题：计算题．分析：根据圆的标准方程找出圆心坐标，由圆心在第三象限，得到a与b都小于0，然后把所求直线的方程化为点斜式方程y=kx+m，由a与b都小于0判断得到k与m的正负，即可得出直线一定不经过的象限，得出正确的选项．解答：解：由圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，得到圆心坐标为（a，b），∵圆心在第三象限，∴a＜0，b＜0，∵直线方程可化为y=﹣x+ ，∴﹣＜0，＜0，则直线一定不经过第一象限．故选A点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系，要求学生掌握象限点坐标的特点，其中直线y=kx+b的斜率，截距与图象的关系为：当k＞0，b＞0时，直线不经过第四象限；当k＞0，b＜0时，直线不经过第二象限；当k＜0，b＞0时，直线不经过第三象限；当k＜0，b＜0时，图象不经过第一象限，掌握此规律是解本题的关键．8．圆M的圆心在直线y=﹣2x上，经过点A（2，﹣1），且与直线x+y=1相切，则圆M的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y+2）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据圆心在一条直线上，设出圆心的坐标，根据圆心的坐标看出只有A，C两个选项符合题意，根据圆过一个点，把这个点代入圆的方程，A不合题意，得到结果．解答：解：∵圆M的圆心在直线y=﹣2x上，∴圆心的坐标设成（a，﹣2a）∴在所给的四个选项中只有A，C符合题意，∵经过点A（2，﹣1），∴把（2，﹣1）代入圆的方程方程能够成立，代入A中，32+32≠2，∴A选项不合题意，故选C．点评：本题考查圆的标准方程，本题解题的关键是根据所给的条件设出圆的方程，可以是一般式方程也可以是标准方程，在根据其他的条件解出方程．9．已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0）与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：圆的标准方程；两条直线的交点坐标．811365专题：计算题．分析：由圆C的方程表示出圆心的坐标和半径r，由圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，可得出b大于a，a大于c，a，b及c都大于0，进而确定出b﹣a 与a﹣c都大于0，然后将两方程联立组成方程组，消去x后得到关于y的一元一次方程，求出方程的解表示出y，根据b﹣a与a﹣c都大于0及两数相除同号得正的取符号法则可得y大于0，由y大于0判断出x小于0，可得出交点在第二象限．解答：解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，∵圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限，∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，联立两直线方程得：，由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，整理得：（b﹣a）y=a﹣c，解得：y= ，∵﹣a＞0，a﹣c＞0，∴＞0，即y＞0，∴x=﹣y﹣1＜0，则两直线的交点在第二象限．故选B点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：直线与圆的位置关系，点的坐标，两数相除的取符号法则，以及两直线的交点坐标，其中根据圆C与x轴相交，与y轴相离，圆心C（b，c）在第一象限得到b﹣a＞0，a﹣c＞0是解本题的关键．10．（2012泉州模拟）圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．B．C．D．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，|3a+ +3|=5r，由a＞0，知3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．解答：解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：= |3a+ +3|=r，（圆半径）∴|3a+ +3|=5r，∵a＞0，∴3a+ +3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，∵5r=3a+ +3≥2 +3=15，∴r≥3，当3a= ，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故选A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．11．（2009山东模拟）已知实数x，y满足x2+y2=9（y≥0），则的取值范围是（）A． m≤或m≥ B．≤m≤ C． m≤﹣3或m≥D．﹣3≤m≤考点：圆的标准方程；直线的斜率．811365专题：计算题；数形结合．分析：考查题意，可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可．解答：解：由题意可知的几何意义是：圆上的点与（﹣1，﹣3）连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m = ．或m =﹣．故所求m的范围是：m≤或m≥．故选A．点评：本题是中档题，考查圆的方程与直线的斜率的关系，考查数形结合，注意圆的方程的范围，考查计算能力．12．（2008深圳二模）过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别A，B，O是坐标原点，则△AOB外接圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x+4）2+（y+2）2=20 D．（x+2）2+（y+1）2=5考点：圆的标准方程．811365专题：计算题；转化思想．分析：由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．解答：解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，OP的中点为（2，1），OP=2 ，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，故选B．点评：本题考查圆的标准方程的求法，把求△AOB外接圆方程转化为求四边形AOBP的外接圆方程，体现了转化的数学思想．13．已知P（x，y）为圆（x﹣2）2+y2=1上任意一点，则的最小值为（）A． . B． .﹣ C．）D．）﹣考点：圆的标准方程；斜率的计算公式．811365专题：计算题；数形结合．分析：根据题意画出图形，所求的式子刚好为直线OP的斜率，由P为圆A上任一点，根据图形得出直线OP斜率的取值范围，即可得到斜率的最小值，即为所求式子的最小值．解答：解：根据题意画出图形，连接AP，如图所示：由圆A的方程（x﹣2）2+y2=1，得到A（2，0），半径r=1，∵直线OP为圆A的切线，∴AP⊥OP，即∠APO=90°，又|AP|=1，|OA|=2，∴∠AOP=30°，∵P（x，y）为圆A上任一点，且表示直线OP的斜率，∴﹣≤≤，则的最小值为﹣．故选D点评：此题考查了圆的标准方程，直线斜率的计算，以及直角三角形的性质，利用了转化及数形结合的数学思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．14．过点P（﹣1，0）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程是（）A． x2+（y﹣1）2=2 B． x2+（y﹣1）2=1 C．（x﹣1）2+y2=4 D．（x﹣1）2+y2=1考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：根据切线的性质可知PA垂直于CA，PB垂直于CB，所以过A、B、C三点的圆即为四边形PACB的外接圆，且线段AC为外接圆的直径，所以根据中点坐标公式求出外接圆的圆心，根据两点间的距离公式即可求出圆的半径，根据求出的圆心坐标与圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，得到圆心C（1，2），又P（﹣1，0）则所求圆的圆心坐标为（，）即为（0，1），圆的半径r= = ，所以过A、B、C的圆方程为：x2+（y﹣1）2=2．故选A点评：此题考查学生掌握直线与圆相切的性质，掌握90°的圆周角所对的弦为直径，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．15．（2007上海）圆x2+y2﹣2x﹣1=0关于直线2x﹣y+3=0对称的圆的方程是（）A．B．C．（x+3）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣3）2+（y+2）2=2考点：关于点、直线对称的圆的方程．811365分析：先求圆心和半径，再去求对称点坐标，可得到圆的标准方程．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣1=0?（x﹣1）2+y2=2，圆心（1，0），半径，关于直线2x﹣y+3=0对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线段的中点在直线2x﹣y+3=0上，C中圆（x+3）2+（y﹣2）2=2的圆心为（﹣3，2），验证适合，故选C点评：本题是选择题，采用计算、排除、验证相结合的方法解答，起到事半功倍的效果．16．（理）若圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0关于直线ax+2by﹣4=0对称，则ab的最大值是（）A． 1 B．C． 2 D． 4考点：关于点、直线对称的圆的方程；基本不等式．811365专题：计算题．分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由b表示出a，将表示出的b代入ab中，得到m关于b的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解答：解：圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0 即（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，表示以C（2，1）为圆心，以3为半径的圆．再由此圆关于直线ax+2by﹣4=0对称，可得直线过圆心，即2a+2b﹣4=0，即a+b=2．故a=2﹣b，则ab=（2﹣b）b，故函数ab 是关于b的二次函数，故当b=1时，函数ab 取得最大值等于1．故选A．点评：本题主要考查直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质，根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键，属于中档题．二．填空题（共7小题）17．（2010宁夏）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：压轴题．分析：设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．解答：解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则，解得，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．18．（2010天津）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1，0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．19．（2013江门二模）已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．811365专题：直线与圆．分析：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a的值，即可求得圆C 的方程．解答：解：设圆心坐标为C（a，a），则由题意可得半径r= = ，解得a=1，故圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，属于中档题．20．（2012许昌县一模）圆心在直线x+2y﹣3=0上且与直线x﹣y﹣1=0切于点B（2，3）的圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．考点：圆的标准方程；点到直线的距离公式．811365专题：计算题；直线与圆．分析：设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线x+2y﹣3=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y﹣1=0的距离即半径得出另一个方程．解答：解：设圆心坐标为（a，b），则，解得a=3，b=0，所以r= ，所以要求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．点评：本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，圆的方程的求法，考查计算能力．21．设，，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是[2，4]．考点：圆的标准方程；交集及其运算．811365专题：直线与圆．分析：根据A∩B≠?，可得当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值，由此可得结论．解答：解：由题意，A为以原点O为圆心，a为半径，在x轴上方的半圆，B为以O′（2，）为圆心，以1半径的圆．∵A∩B≠?，∴当圆B和圆A从内切到外切时，a有最大值、最小值当A、B内切时，即|OO'|=a﹣1=3，∴a=4当A、B外切时，即|OO'|=a+1=3，∴a=2所以2≤a≤4故答案为：[2，4]．点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．考点：圆的标准方程；二元一次不等式（组）与平面区域．811365专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．解答：解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．23．设a＞0，b＞0，4a+b=ab，则在以（a，b）为圆心，a+b为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．考点：圆的标准方程．811365专题：计算题．分析：要求面积最小的圆的即要半径最小，就要a+b最小，求出a+b的最小值即可得到圆的半径及a、b的值，写出圆的标准方程即可．解答：解：因为4a+b=ab，当a＞1时得：b= ，所以a+b=a+ =a﹣1+ +5≥4+5=9，当且仅当a﹣1= 即a=3时取等号，所以半径最小值为9，此时a=3，b=6，所以面积最小的圆的标准方程是（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．故答案为（x﹣3）2+（y﹣6）2=81．点评：考查学生会利用基本不等式求最小值的能力，会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．三．解答题（共7小题）24．（2007嘉定区一模）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．考点：圆的标准方程；等比数列的性质；圆方程的综合应用．811365专题：计算题；压轴题．分析：首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．解答：解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，即x2﹣y2=2. =x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．点评：此题主要考查圆的标准方程的求法，以及圆与直线交点问题，属于综合性试题，有一定的计算量，难易中等．25．（2012北京模拟）如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交y轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆的位置关系．811365专题：综合题；直线与圆．分析：（1）先求l1的方程，进而可求l2的方程，即可得到点C的坐标；（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径，分类讨论，确定A、C的坐标，表示出AC，即可求得结论．解答：解：（1）由直线l1经过两点A（0，1），B（1，2），得l1的方程为x﹣y+1=0．由直线l2⊥l1，且直线l2经过点B，得l2的方程为x+y﹣3=0．所以，点C的坐标为（3，0）．（2）因为AB⊥BC，OA⊥OC，所以总存在经过O，A，B，C四点的圆，且该圆以AC为直径．①若l1⊥y轴，则l2∥y轴，此时四边形OABC为矩形，．②若l1与y轴不垂直，则两条直线斜率都存在．不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为．所以直线l1的方程为y﹣2=k（x﹣1），从而A（0，2﹣k）；直线l2的方程为，从而C（2k+1，0）．令解得，注意到k≠0，所以．此时|AC|2=（2﹣k）2+（2k+1）2=5k2+5＞5，，所以半径的最小值为．此时圆的方程为．点评：本题考查确定直线位置的几何要素，直线的倾斜角和斜率，过两点的直线斜率的计算公式，直线方程的点斜式，两条直线平行或垂直的判定，圆的标准方程，属于中档题．26．已知圆心在直线y=2x上的圆C经过点M（﹣1，1），且该圆被x轴截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）是否存在过圆心C的两条互相垂直的直线，使得点M到这两条直线的距离之积为，若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：直线与圆．分析：（1）由圆心在直线y=2x上，设圆心坐标为（a，2a），半径为r，表示出圆的方程，将M坐标代入得到关于a与r的关系式，再有弦长为2，利用垂径定理及勾股定理列出关系式，联立求出a与r的值，即可确定出圆C的方程；（2）由（1）得到圆C的圆心坐标与半径，假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，经检验不合题意；故两直线斜率都存在，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，设一个斜率为k，另一个为﹣，由C坐标表示出直线方程，利用点到直线的距离公式求出M到两直线的距离，根据距离之积列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出满足条件的直线方程．解答：解：（1）∵圆心在直线y=2x上，∴设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2，…①又∵圆C经过点（﹣1，1），∴（﹣1﹣a）2+（1﹣2a）2=r2，…②又∵圆C被x轴截得的弦长为2，∴1+（2a）2=r2，…③由①②③解得a=1，r2=5，则圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；（2）由（1）知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心C（1，2），假设存在互相垂直的两条直线满足条件，当一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0时，点（﹣1，1）到两条垂直直线的距离之积为2≠，不符合题意；当它们的斜率均存在时，分别设为y﹣2=k（x﹣1），y﹣2=﹣（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，x+ky﹣2k﹣1=0，∴o = ，即= ，当= 时，即k2+6k﹣7=0，解得：k=1或k=﹣7；当=﹣时，即7k2+6k﹣1=0，解得：k=﹣1或k= ，则存在互相垂直的两条直线方程分别为x﹣y+1=0，x+y﹣3=0或x﹣7y+13=0，7x+y﹣9=0．点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．27．设直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．（Ⅰ）当k= 时，圆P恰与两直线l1、l2相切，试求圆P的方程；（Ⅱ）设直线l1与圆P交于A、B，l2与圆P交于C、D．（1）当k= 时，求四边形ABDC的面积；（2）当k∈（0，）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．811365专题：综合题．分析：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称．（Ⅰ）设圆心P（a，0），a＞0．利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，列方程求a．（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），（1）等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h，AC，BD，h用x1，y1，x2，y2，表示．代入求解．（2）根据图形的对称性，四边形ABDC的对角线交点在x轴上．能证明此点是定点即可．解答：解：直线l1：y=kx，l2：y=﹣kx 关于x轴对称（Ⅰ）设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=9，利用切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，∴=3，解得a=5∴圆的标准方程为（x﹣5）2+y2=9（Ⅱ）（1）设A （x1，y1）B（x2，y2），则C（x1，﹣y1）D（x2，﹣y2），直线l1：y= x 与圆P方程联立，消去x得5y2﹣20y+16=0，得A（，），B（，）．等腰梯形ABDC的面积= （AC+BD）×h= （2y1+2y2）（x2﹣x1）= ×8×= ．（2）当k∈（0，）时，y=kx与圆P方程联立，并整理得：（1+k2）x2﹣10x+16=0，△=﹣64k2+36＞0．x1= ，x2=y1= ，y2= ，AC的斜率为k= = ．AC的方程为y﹣y1=k（x﹣x1），将x1，y1，k代入并化简整理得：y= ．与x 轴交与定点（，0）与k的值无关．点评：本题考查直线与圆的位置关系：相切，相交．联立方程组是最基本的解题方法，考查圆心到直线的距离公式，考查题目的理解能力计算能力．28．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2﹣6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；（II）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0，圆C与直线x﹣y+a=0的交点于A（x1，y1）、B （x2，y2）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=﹣1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．解答：解：（I）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．在曲线y=x2﹣6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）再令y=0，可得方程x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=﹣6，F=1，代入（*）解出E=﹣2，∴圆C方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=9（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a=0设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组由消去y，得方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，∴△=56﹣16a﹣4a2＞0．利用根与系数的关系，得到x1+x2=4﹣a，x1x2= （a2﹣2a+1）①，若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②联解可得a=﹣1，此时△=56﹣16a﹣4a268＞0．∴a=﹣1，得存在斜率为1的直线x﹣y﹣1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法和函数方程思想，以及直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查解析几何中垂直问题的一般解题思路，属于中档题．29．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；（2）求BC边所在直线方程；（3）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．考点：圆的标准方程；直线的斜率；直线的一般式方程．811365专题：计算题；直线与圆．分析：（1）由经过两点的斜率公式，可算出直线Ab的斜率，从而得出与AB垂直的直线BC的斜率为．由两点间距离公式算出AB= ，进而在Rt△ABC利用相似三角形算出且OC=4，由此可得点C的坐标；（2）根据B、C两点的坐标，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程为y= x﹣2 ；（3）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R= |AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x﹣1）2+y2=9．解答：解：（1）∵A（﹣2，0），B（0，），∴直线Ab的斜率为，又∵AB⊥BC，∴（3分）由两点间距离公式，得，∵△OAB∽△OBC，得，∴，可得，∴Rt△OBC中，BC2=AC×OC，。

高中数学必修2圆的方程练习题

高中数学必修2圆的方程练习题

高中数学必修2圆的方程练习题第四章圆与方程一、选择题1.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()．A。

相交 B。

外切 C。

内切 D。

相离答案：A解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(-1,-4)和(2,-2)，半径分别为√21和√5，两圆相交。

2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0和x2+y2+4x-4y-1=0的公共切线有()．A。

1条 B。

2条 C。

3条 D。

4条答案：B解析：将两个圆的方程化简，得到它们的圆心分别为(2,-1)和(-2,1)，半径分别为√2和√2，两圆相交，故公共切线有两条。

3.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是()．A。

(x-2)2+(y+1)2=1 B。

(x-2)2+(y-1)2=1C。

(x-1)2+(y+2)2=1 D。

(x+1)2+(y-2)2=1答案：B解析：圆C关于原点对称，则圆心必在直线y=x上，设圆C的圆心为(x0,x0)，则(x0+2)2+(x0-1)2=1，解得x0=1或x0=2，但由于圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称，故圆心在第二象限，因此x0=2，圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.4.与直线l:y=2x+3平行，且与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程是()．A。

x-y±5=0 B。

2x-y±5=0C。

2x-y-5=0 D。

2x-y+5=0答案：D解析：将圆的方程化简，得到它的圆心为(1,2)，半径为√2，故直线l与圆的切点为(1+√2,2+2√2)和(1-√2,2-2√2)，l的斜率为2，故l的方程为y=2x+b，将圆心代入该方程得到b=-1，故直线方程为y=2x-1，与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程为2x-y+5=0.5.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于()．A。

圆的方程项训练—— 高三数学一轮复习

圆的方程项训练—— 高三数学一轮复习

高考数学一轮复习-圆的方程-专项训练基 础 巩固练1.已知圆C 的一条直径的两个端点的坐标分别是O (1,1)和A (3,3),则圆的标准方程是( )A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=2D.(x+2)2+(y+2)2=22.“方程x 2+y 2-4x+6y+a=0表示的图形是圆”是“a 2-144≤0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2023扬州月考)若直线2x+y-1=0是圆x 2+(y+a )2=1的一条对称轴,则a=( )A.-1B.1C.12D.-124.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( )A.6B.25C.26D.365.(多选题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的圆的方程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=13C.(x -43)2+(y -73)2=22D.(x -85)2+(y-1)2=95 6.(多选题)已知曲线C :Ax 2+By 2+Dx+Ey+F=0,下列说法正确的是( )A.若A=B=1,则C 是圆B.若A=B ≠0,D 2+E 2-4AF>0,则C 是圆C.若A=B=0,D 2+E 2>0,则C 是直线D.若A ≠0,B=0,则C 是直线7.(2023连云港期中)已知圆C 的圆心在y 轴上,半径长为1,且过点(1,2),则圆C 的标准方程为 .8.点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是 .9.已知圆过P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段长为4√3,求圆的方程.综合提升练10.(多选题)已知点A(-1,0),B(0,2),P是圆(x-1)2+y2=1上任意一点,若△P AB面积的最大值为a,最小值为b,则()A.a=2B.a=2+√52C.b=2-√52D.b=√52-111.过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积为8,则△OAB外接圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-2)2=8B.(x-1)2+(y-2)2=8C.(x+2)2+(y-2)2=8D.(x-1)2+(y+2)2=812.若点C到A(-1,0),B(1,0)的距离之比为√3,则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为()A.2√5−√3B.√5−√3C.2√5D.√313.对任意实数m,圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0过定点,则定点坐标为.14.如图,已知圆O:x2+y2=16,A,B是圆O上的两个动点,点P(2,0),则矩形P ACB的顶点C的轨迹方程是.15.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.创 新 应用练16.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A (-2,0),B (2,0),C (0,4),则△ABC 的最小覆盖圆的半径为( )A.32B.2C.52D.3参考答案1.C2.B3.A4.D5.AB6.BC7.x 2+(y-2)2=1 8.(x-2)2+(y+1)2=19.解 方法一:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),①将P ,Q 的坐标分别代入①,得{4D -2E +F =-20,②D -3E -F =10.③令x=0,由①得y 2+Ey+F=0.④由已知得|y 1-y 2|=4√3,其中y 1,y 2是方程④的两根.∴(y 1-y 2)2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F=48.⑤解②③⑤联立成的方程组,得{D =-2,E =0,F =-12或{D =-10,E =-8,F =4.故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0或x 2+y 2-10x-8y+4=0.方法二:求得PQ 的中垂线方程为x-y-1=0.①∴所求圆的圆心C 在直线x-y-1=0上,∴设其坐标为C (a ,a-1),圆C 的半径r=|CP|=√(a -4)2+(a +1)2.②又圆C 截y 轴所得的线段长为4√3,而圆心C 到y 轴的距离为|a|,∴r 2=a 2+(4√32)2,代入②并将两端平方,并整理得a 2-6a+5=0,解得a 1=1,a 2=5.∴当圆心为(1,0)时,半径r 1=√13;当圆心为(5,4)时,半径r 2=√37.故所求圆的方程为(x-1)2+y 2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.10.BC 11.A 12.A13.(1,1)或(15,75) 14.x 2+y 2=2815.解 由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0.设A (x 1,0),B (x 2,0),可得Δ=m 2-8m>0,则m<0或m>8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m.令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0,所以m=0(舍去)或m=-12.此时C (0,-1),AB 的中点,即圆心为M (-14,0),半径r=|CM|=√174,故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx+Ey+2m=0,将点C (0,2m )代入可得E=-1-2m , 所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx-(1+2m )y+2m=0.整理得x 2+y 2-y-m (x+2y-2)=0.令{x 2+y 2-y =0,x +2y -2=0,可得{x =0,y =1或{x =25,y =45,故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)和(25,45). 16.C。

2024年高考数学一轮复习考点48圆的方程必刷题理含解析

2024年高考数学一轮复习考点48圆的方程必刷题理含解析

考点48 圆的方程1．（广东省2025届高考适应性考试理）若向量a ，b ，c 满意a b ≠，0c ≠，且()()0c a c b -⋅-=，则a b a bc++-的最小值是（ ）A ．3B ．22C ．2D ．32【答案】C 【解析】设向量a OA =，b OB =，c OC =,则由()()0c a c b -⋅-=得0AC BC ⋅=,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2AB ， 因此11||||||(||)||22c OC OM r OA OB AB =≤+=++ 1111(||)(||)(||)(||)2222OA OB OA OB a b a b =++-=++- 从而2a b a bc++-≥，选C.2．（河南省重点中学2025届高三4月联合质量检测数学理）设是圆 上的点，直线与双曲线：的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为8，则（ ）A ．9B ．C ．9或D ．9或【答案】C 【解析】 因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为，所以，解得. 圆的圆心坐标是，半径为，因为圆心到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为，解得或.当时，；当时，.综上，或.故选.3．（广西桂林市、崇左市2025届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选：．4．（福建省龙岩市2025届高三5月月考数学理）已知点A 在圆22(2)1x y -+=上，点B 在抛物线28y x =上，则||AB 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】由题得圆()2221x y -+=的圆心为（2,0），半径为1. 设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆()2221x y -+=的圆心， 由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1, 设点B 的坐标为(x,y),所以|AB|≥x -(-2)-1=x+1,因为x≥0， 所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1. 故选：A5．（新疆2025届高三第三次诊断性测试数学理）若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（ ）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【答案】B 【解析】解：因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，221a b<+，即1<因为点P 1， 所以点P 在圆外，故选B ．6．（河南省焦作市2024-2025学年高三年级第三次模拟考试数学理）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4，l 与圆C 交于A ，B ，圆C 与E 交于M ，N ．若A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点，则E 的方程为（ ）A ．y 2＝xB ．y 2C ．y 2＝2xD ．y 2＝x【答案】C 【解析】 【分析】 如图，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的圆心C （2p，0）是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点， ∵圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的半径为2， ∴|NC|＝2，依据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2． ∵A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点， ∴点A ，N 关于直线x ＝2p 对称，即22N A P x x P +=⨯=，∴32N x p =， ∴|NA|＝322p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝2，∴2p ＝2，则E 的方程为y 2＝2x ． 故选：C ．7．（闽粤赣三省十校2025届高三下学期联考数学理）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，分别过A B 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(2)26x y +++= D ．22(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=即()()()()1211330y y -⨯-+--= ()12121030y y y y ⇒-++= 即101240m -+= 12m ⇒=∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-()()2212135-++-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=本题正确选项：A ．8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省试验中学)2025届高三第一次模拟数学理）Rt ABC ∆中，090ABC ∠=，23AB =，4BC =，ABD ∆中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（ ） A ．[272,272]-+ B ．(4,232]+ C ．[272,232]-+ D ．[232,232]-+【答案】C 【解析】由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立直角坐标系；(0,0);(23,0);(0,4)B A C 设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方； 当点D 可能在直线AB 的上方； 直线BD 的斜率1yk x=；直线AD 的斜率223y k x =-由两直线的夹角公式可得：212123tan12031123y yk k xx y y k k xx ---=⇒-=+⋅+⋅-化简整理的22(3)(1)4x y -++=可得点D 的轨迹是以点(3,1)M -为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分；此时CD 的最短距离为：22(3)(41)2272CM r -=++-=- 当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D 的轨迹方程：22(3)(1)4x y -+-= 此时点D 的轨迹是以点(3,1)N 为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分；此时CD 的最大距离为：22(3)(41)2232CN r +=+-+=+所以CD 的取值范围为272,232⎡⎤-+⎣⎦．9．（湖北省黄冈市2025届高三上学期元月调研理）已知圆关于对称，则的值为A．B．1 C．D．0【答案】A【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A．10．（北京市朝阳区2024-2025学年度高三期末）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A．2 B．C．4 D．【答案】C【解析】依据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.11．（江西省名校学术联盟2025届高三年级教学质量检测考试12月联考)数学理）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为A． B．C ．D ．【答案】D 【解析】 圆心为的中点，半径为，则以线段为直径的圆的方程为.故选D.12．（四川省南充市2024-2025学年上学期高2025届高三年级第一次高考适应性考试）点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A ．B ．C ．1D ．3【答案】D 【解析】圆x 2+y 2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M ，N 在圆x 2+y 2+kx+2y-4=0上，且点M ，N 关于直线l ：x-y+1=0对称， 所以直线l ：x-y+1=0经过圆心， 所以．所以圆的方程为：x 2+y 2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C ．13．（2025届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）在直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在唯一一点M ，使2MA MO =，则圆心C 的非零横坐标是__________． 【答案】125【解析】圆心在l 上,设(),24C a a -,点(),M x y ,因为2MA MO =()222232x y x y +-=+化简得:()2214x y ++=,所以点(),M x y 在以()0,1D -为圆心,以2为半径的圆上,又点(),M x y 在圆C 上,所以圆C 与圆D 有唯一公共点,即两圆相切,211CD =-=,或者213CD =+=,即251280a a -+=或25120a a -=,解得0a =(舍)或125,故填125. 14．（广东省肇庆市2025届中学毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______． 【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ， 过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 15．（宁夏石嘴山市第三中学2025届高三四模考试数学理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又112211b a b a a b a b+++≥⋅=++（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：116．（贵州省贵阳市2024年高三5月适应性考试二理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．【答案】.【解析】 ∵圆的圆心为M （-3，2）， ∴圆关于M （-3，2）中心对称，又曲线，关于（-3，2）中心对称， ∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，不妨设与，与关于（-3，2）中心对称，则，,∴，故答案为.17．（北京市房山区2024年高考第一次模拟测试数学理）已知点A （-2，0），B （0，2），若点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则面积的最小值为______．【答案】4 【解析】∵点A （-2，0），B （0，2），∴AB 的直线方程为=1，即x-y+2=0．圆心C （3，-1）到直线AB 的距离为d=，因为点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，所以点P 到直线AB 距离的最小值为：=，且.则ABP面积的最小值为.故答案为：4．（湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟卷三数学理）已知直线18．过定点，线段是圆的直径，则________.【答案】7.【解析】直线可化为，联立，解得点，∵线段是圆的直径，∴19．（广西桂林市、崇左市2025届高三下学期二模联考数学理）以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．【答案】.【解析】如图：，，，，，，，，解得：，故答案为：．20．（北京市大兴区2025届高三4月一模数学理）在极坐标系下，点π(1,)2P 与曲线2cos ρθ=上的动点Q距离的最小值为_________． 21 【解析】由题得点P 的直角坐标为（0,1），222222cos 2cos +201)1x y x x y ρθρρθ=∴=∴-=∴-+=，，，（，所以曲线是以点（1，0）为圆心，以1为半径的圆， 所以点P 221+1121=.21．21．（江苏省南京市、盐城市2025届高三其次次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()5,0B .若圆()()22:44M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为______. 【答案】21【解析】依据题意，设P 的坐标为(,)a b ，直线PA 的方程为(1)1by x a =++，其在y 轴上的截距为1b a +， 直线PB 的方程为(5)5b y x a =--，其在y 轴上的截距为55b a --，若点P 满意使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有5()()515b b a a ⨯-=+-， 变形可得22(2)9b a +-=，则点P 在圆22(2)9x y -+=上，若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一点P ，则圆M 与22(2)9x y -+=有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为22(42)2m -+，则两圆只能外切， 则有2425m +=， 解可得：21m =±， 故答案为：21±．22．（湖北省十堰市2025届高三年级元月调研考试理）已知圆22:(6)(6)16M x y -+-=，点(8,4)A ，过点A 的动直线与圆M 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，则OMN ∆面积的最大值为______． 【答案】12 【解析】由题可知MN PQ ⊥，所以点N 在以线段AM 为直径的圆上，OMN ∆的边62OM =，故当N 到直线OM 的距离最大时，OMN ∆的面积最大，以线段AM 为直径的圆的圆心为()7,5，半径为2，直线OM的方程为0x y -=，点()7,5到直线OM 的距离为222=，所以N 到直线OM 的距离的最大值为22，故OMN ∆的面积的最大值为16222122⨯⨯=. 故答案为：1223．（江西省名校学术联盟2025届高三年级教学质量检测考试12月联考数学理）已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于点，，且，设点是圆上的动点，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】由题意，可设圆C 的方程为，则，，所以， 则圆C 的方程为，即，可得，设，则===，由题意可知，，所以.故答案为：.24．（江苏省苏州市2025届高三调研测试理）在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】依据题意，设圆C 的圆心为（m ，n ），半径为r ， 则圆C 的标准方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝r 2，则有， 解可得：m ＝1，n ＝﹣2，r，则圆C 的方程为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝225．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省试验中学)2025届高三第一次模拟数学理）已知椭圆1C ：2214xy +=的左、右两个顶点分别为,A B ，点P 为椭圆1C 上异于,A B 的一个动点，设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若动点Q 与,A B 的连线斜率分别为34,k k ，且3412(0)k k k k λλ=≠，记动点Q的轨迹为曲线2C .（1）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（2）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于,E F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1,3]λ∈，求12S S 的取值范围. 【答案】(1) 224(2)x y x +=≠± (2) []5,7 【解析】（1）设()00,P x y ()02x ≠±，则220014x y +=，因为()()2,0,2,0A B -，则2020001222000011422444x y y y k k x x x x -=⋅===-+---(),Q x y 设 ()2x ≠±所以2341222244y y y k k k k x x x λλ=⋅===-+--，整理得 2214x y λ+= ()2x ≠±.所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为 ()2242x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,E x y F x y . 由题意知，直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为：22x y =-+.由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为2214x y λ+= ()2x ≠±，联立 ()2262244x y x x y λλ=-⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()29160y y λλ+-=，得 1691y λλ=+ 联立()2222244x y x x y λλ=-+⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()2120y y λλ+-=，得 221y λλ=+2212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y λλ∠--+=====+∠-- 设()918911g ，λλλλ+==-++ 则()g λ在[]1,3上递增 又()()15,37g g ==，12S S ∴的取值范围为[]5,7 26．（四川省成都市高新区2025届高三上学期“一诊”模拟考试数学理）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为. （Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点； （Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意知可设过点的直线方程为，由消去整理得，又因为直线与抛物线相切， 所以，解得．当时，直线方程为，可得点坐标为，又因为焦点，所以点在轴上的射影为焦点． （Ⅱ）设直线的方程为，由，其中恒成立. 设，，则，所以，．由于圆是以线段为直径的圆过点，则，所以所以，解得或．当时，直线的方程为，圆的方程为；当时，直线的方程为，圆的方程为．27．（江西省抚州市七校2025届高三10月联考数学理）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可知，设圆的方程为，，解得，，所以圆的方程为．（2）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为．又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．由题可知，，．因此，又，同理，所以，当且仅当时取等号．又，所以的取值范围是．。

2024届高考数学复习：精选好题专项(圆的方程)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选好题专项(圆的方程)练习(附答案)

2024届高考数学复习：精选好题专项（圆的方程）练习[基础巩固]一、选择题1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝23．已知点A 是直角△ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 外接圆的方程是( )A ．x 2＋(y －3)2＝5B ．x 2＋(y ＋3)2＝5C ．(x －3)2＋y 2＝5D ．(x ＋3)2＋y 2＝54．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－∞，1)5．点P (5a ＋1，12a )在(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．|a |<1B ．a <113C ．|a |<15D ．|a |<1136．直线y ＝kx －2k ＋1恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝25C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝57．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4，则圆M 的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝18．圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－19．(多选)已知点A (－1，0)，B (1，0)，若圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1上存在点M 满足MA → ꞏMB → ＝3，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．2D ．0二、填空题10．若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34 ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为________．11．[2022ꞏ全国甲卷(文)，14]设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________________．12．直线l ：x 4 ＋y 3 ＝1与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．[提升练习]13．已知一个圆的圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则当圆的面积最小时，该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y －1)2＝2514．(多选)设有一组圆C k ：(x －k )2＋(y －k )2＝4(k ∈R )，下列说法正确的是( )A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆C k 均不经过点(3，0)C ．经过点(2，2)的圆C k 有且只有一个D ．所有圆的面积均为415．已知直线l ：x －3 y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．16．已知点P (x ，y )在(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x ＋y 的取值范围是________．参考答案1．D 设所求的直线l 的方程为x －y ＋C ＝0，∵直线l 过圆心(0，3)，∴－3＋C ＝0，C ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋3＝0.2．D 半径r ＝（1－0）2＋（1－0）2 ＝2 ，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.3．D ∵A 为直角，∴AB ⊥AC ，∴2a ＝－4，a ＝－2，∴△ABC 外接圆的圆心(－3，0)，半径r ＝|BC |2 ＝（－4＋2）2＋（－2－2）22＝5 ， ∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.4．C 由题意得D 2＋E 2－4F >0，∴4＋4－4a >0，∴a <2.5．D 由题意得25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1132 ，得|a |<113 .6．B ∵y ＝kx －2k ＋1可化为y ＝k (x －2)＋1，恒过定点(2，1)，则所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.7．C 3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离为d ＝|10－0|32＋（－4）2＝2，显然圆的半径r ＝22 ＝1，与3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离相等的直线为3x －4y ＋5＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，∴圆心(－3，－1)，∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.8．B 由题意得圆心(1，1)在直线y ＝kx ＋3上，∴k ＝－2.9．BD 设点M (x ，y )，则MA → ＝(－x －1，－y )，MB → ＝(－x ＋1，－y )，所以MA → ꞏMB → ＝(－x －1)(－x ＋1)＋y 2＝3，所以点M 的轨迹方程为圆x 2＋y 2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.由此可知圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1与圆x 2＋y 2＝4有公共点．又圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1的圆心为(2a －1，2a ＋2)，半径为1，所以1≤（2a －1）2＋（2a ＋2）2 ≤3，解得－1≤a ≤12 .故选BD.10．1答案解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件是a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23 ，又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34 ，∴仅当a ＝0时该方程表示圆．11．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5答案解析：因为点M 在直线2x ＋y －1＝0上，所以设M (a ，1－2a ).由点(3，0)，(0，1)均在⊙M 上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M 的距离相等且为⊙M 的半径，所以r ＝（a －3）2＋（1－2a ）2 ＝a 2＋（1－2a －1）2 ，解得a ＝1.所以M (1，－1)，r ＝5 ，所以⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.12．(x －1)2＋(y －1)2＝1答案解析：设△AOB 内切圆的圆心为M (m ，m )(m >0)，半径为m ，直线x 4 ＋y 3 ＝1可化为3x ＋4y －12＝0，由题意得|3m ＋4m －12|32＋42＝m ，得m ＝1或m ＝6(舍去).∴△AOB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.13．A 设圆心为⎝⎛⎭⎫x ，2x (x >0)，r ＝⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ＋15 ≥55 ＝5 ，当且仅当x ＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1，2)，半径为5 ，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.14．ABD 对于A 选项，圆心(k ，k )一定在直线y ＝x 上，故A 正确；对于B 选项，将(3，0)代入圆C k 的方程整理得2k 2－6k ＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，故所有圆C k 均不经过点(3，0)，故B 正确；对于C 选项，将(2，2)代入圆C k 的方程整理得k 2－4k ＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2，2)的圆C k 有两个，故C 错误；对于D 选项，所有圆的半径均为2，面积均为4，故D 正确．故选ABD.15．4 答案解析：如图：∵y ＝3 x ＋23，∴k AC ＝－3 ，∴∠ACD ＝60°，过D 作DE ⊥AC 于E ，则|DE |＝|AB |.∵圆心到直线l 的距离d ＝61＋3＝3， ∴⎝⎛⎭⎫|AB |2 2 ＝r 2－d 2＝12－9＝3.∴|AB |2＝12，则|AB |＝23 .在Rt △DEC 中，|CD |＝|AB |sin 60° ＝2332 ＝4. 16．[－2 －1，2 －1]答案解析：设x ＝2＋cos α，y ＝－3＋sin α∴x ＋y ＝sin α＋cos α－1＝2 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 －1∈[－2 －1，2 －1].。

高考数学圆的方程与性质选择题

高考数学圆的方程与性质选择题

高考数学圆的方程与性质选择题1. 题目：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，求圆心坐标和半径。

2. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 4y + 1 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

3. 题目：已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5，求圆心坐标和半径。

4. 题目：若圆的方程为(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 8，求该圆的圆心坐标和半径。

5. 题目：已知圆的方程为x^2 - 2x + y^2 - 2y + 3 = 0，求圆心坐标和半径。

6. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 + 4x - 4y + 3 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

7. 题目：已知圆的方程为(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 3，求圆心坐标和半径。

8. 题目：若圆的方程为(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 4，求该圆的圆心坐标和半径。

9. 题目：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 4y - 5 = 0，求圆心坐标和半径。

10. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 + 4x - 4y - 3 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

11. 题目：已知圆的方程为(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 2，求圆心坐标和半径。

12. 题目：若圆的方程为(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 3，求该圆的圆心坐标和半径。

13. 题目：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y - 5 = 0，求圆心坐标和半径。

14. 题目：若圆的方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y - 3 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

15. 题目：已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1，求圆心坐标和半径。

16. 题目：若圆的方程为(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 4，求该圆的圆心坐标和半径。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习57 圆的方程

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习57 圆的方程

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题57 圆的方程考点知识1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)教材改编题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．[－2,0]D ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 答案B解析由x 2＋y 2＋2ax －4ay －10a ＝0， 得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝5a 2＋10a ，由该曲线表示圆，可知5a 2＋10a >0，解得a >0或a <－2.3．(多选)下列各点中，在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝25的内部的是() A ．(0,2) B ．(3,3) C ．(－2,2) D ．(4,1) 答案AD解析由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内．题型一圆的方程例1(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案(x －2)2＋(y －3)2＝13或(x －2)2＋(y －1)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925解析依题意设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0. 若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－6，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y ＝0， 即(x －2)2＋(y －3)2＝13； 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 即(x －2)2＋(y －1)2＝5； 若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－83，E ＝－143，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－83x －143y ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659； 若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，则⎩⎨⎧1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝－165，D ＝－165，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－165x －2y －165＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925.(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________． 答案(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析方法一设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a ＋b －1＝0，(3－a )2＋b 2＝r 2，a 2＋(1－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r 2＝5，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.方法二设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－1＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，∴⊙M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 方法三设A (3,0)，B (0,1)，⊙M 的半径为r ， 则k AB ＝1－00－3＝－13，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴AB 的垂直平分线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即3x －y －4＝0.联立⎩⎨⎧3x －y －4＝0，2x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，∴M (1，－1)，∴r 2＝|MA |2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 思维升华求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1(1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是() A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝4 答案A解析根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)若圆C 经过坐标原点，且圆心在直线y ＝－2x ＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________． 答案⎝⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝95解析设圆心坐标为(a ，－2a ＋3)，则圆的半径r ＝(a －0)2＋(－2a ＋3－0)2＝5a 2－12a ＋9＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －652＋95.当a ＝65时，r min ＝355.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝95.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解(1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在， 所以k AC ·k BC ＝－1， 又k AC ＝yx ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． (2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，且M 是线段BC 的中点， 所以由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2(2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝2|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．解(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝2|PM|，所以(x－2)2＋y2＝2·(x－1)2＋y2，整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x A，y A)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，所以AQ →＝2QB →，即(x －x A ，y －y A )＝2(6－x ，－y )， 解得⎩⎨⎧x A ＝3x －12，y A ＝3y ，又点A 在轨迹C 上运动， 由(1)有(3x －12)2＋(3y )2＝2， 化简得(x －4)2＋y 2＝29，即点Q 的轨迹方程为(x －4)2＋y 2＝29.题型三与圆有关的最值问题 命题点1利用几何性质求最值例3(2022·泉州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解(1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k |1＋k2＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆相切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x 轴相交于点B 和C ′(点B 在点C ′左侧)，则(x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.命题点2利用函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA →·PB →的最大值为________． 答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )， 所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1， 故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4 ＝6y －12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|PA→＋PB→|的最大值为________．答案10解析由题意，知PA→＝(－x,2－y)，PB→＝(－x，－2－y)，所以PA→＋PB→＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA→＋PB→|＝4x2＋4y2＝26x－5.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|PA→＋PB→|的值最大，最大值为2×6×5－5＝10.思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y－bx－a，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3(1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6B．25C．26D．36答案D解析(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[(2－5)2＋(0＋4)2＋1]2＝36.(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则yx＋1的最大值为________．答案4 3解析圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，yx＋1表示圆上的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率，设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得|k－1＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝43，所以0≤k≤43，即yx＋1的最大值为43.课时精练1．(2023·六安模拟)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案D解析因为圆心为(1，－2)，半径为3，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为()A．－6<k<12B．k<－6或k>12C．k>－6D．k<1 2答案A解析∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝1－2k.若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足(3－1)2＋(1＋2)2>1－2k，且1－2k>0，即13>1－2k且k<12，即－6<k<12.3．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为()A ．(1，－1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－2,1) 答案C解析由题意得△AOB 是直角三角形，且∠AOB ＝90°. 所以△AOB 的外接圆的圆心就是线段AB 的中点， 设圆心坐标为(x ，y )， 由中点坐标公式得x ＝2＋02＝1，y ＝0－42＝－2. 故所求圆心坐标为(1，－2)．4．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0关于直线l ：y ＝x 对称的圆的方程为() A ．x 2＋y 2－2y －3＝0B ．x 2＋y 2－2y －15＝0 C ．x 2＋y 2＋2y －3＝0D ．x 2＋y 2＋2y －15＝0 答案A解析由题意，得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为(1,0)，半径为2， 故其关于直线l ：y ＝x 对称的圆的圆心为(0,1)，半径为2， 故对称圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4， 即x 2＋y 2－2y －3＝0.5．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于() A.22B.2C ．3D ．9 答案C解析圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝5＋k 24，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1，半径为r ＝5＋k 24，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称， 所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心， 所以－k2＋1＋1＝0，解得k ＝4.所以圆的半径r ＝5＋k 24＝3.6．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P 引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为() A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0 C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0 答案D解析由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图所示．设P (x 0，y 0)，由题意可知|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 20＋y 20＋4＝(x 0－3)2＋(y 0＋4)2，即6x 0－8y 0－21＝0，结合选项知D 符合题意．7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________． 答案(－2，－4)5解析由圆的一般方程的形式知，a ＋2＝a 2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意；当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.8．已知等腰△ABC ，其中顶点A 的坐标为(0,0)，底边的一个端点B 的坐标为(1,1)，则另一个端点C 的轨迹方程为______________________. 答案x 2＋y 2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))解析设C (x ，y )，根据在等腰△ABC 中|AB |＝|AC |，可得(x －0)2＋(y －0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x 2＋y 2＝2.考虑到A ，B ，C 三点要构成三角形，因此点C 不能为(1,1)和(－1，－1)． 所以点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．9．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和点B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎨⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝(－3－1)2＋(－2－1)2＝5， 所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)． 因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎨⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25， 即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 10．已知圆C 1经过点A (1,3)和B (2,4)，圆心在直线2x －y －1＝0上． (1)求圆C 1的方程；(2)若M ，N 分别是圆C 1和圆C 2：(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝9上的点，点P 是直线x ＋y ＝0上的点，求|PM |＋|PN |的最小值，以及此时点P 的坐标． 解(1)由题意知AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72，k AB ＝4－32－1＝1， ∴AB 的垂直平分线为y ＝5－x ，联立⎩⎨⎧y ＝5－x ，y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即圆C 1的圆心坐标为(2,3)，半径r ＝1， 其方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)注意到点C 1(2,3)和点C 2(－3，－4)在直线x ＋y ＝0的两侧， 直线x ＋y ＝0与两圆分别相离，如图所示．∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|－1＋|PC 2|－3≥|C 1C 2|－4＝74－4， 当且仅当M ，N ，P 在线段C 1C 2上时取等号， 此时点P 为直线C 1C 2与x ＋y ＝0的交点， 过C 1，C 2的直线方程为7x －5y ＋1＝0，联立⎩⎨⎧x ＋y ＝0，7x －5y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－112，y ＝112，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，112.11．若直线ax －by －6＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0的周长，则3a ＋3b的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案D解析圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，于是得3a＋3b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝32时取“＝”，所以3a＋3b的最小值为4.12．(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的可能取值为()A．－12B．－8C．6D．－1答案ABD解析由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，圆心为(1,2)，半径为r＝10－a(a<10)，圆心到已知直线的距离为d＝|3－8－15|32＋(－4)2＝4，则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，由题意得3<10－a<5，解得－15<a<1.13．(多选)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是()A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上B．圆M的面积的最大值为50πC．圆M的半径的最小值为1D．满足条件的所有圆M的半径之积为8答案AB解析∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y－2＝0上，故A正确；设M(a，a－2)，∴圆M的半径r＝|AM|＝a2＋(a－2＋2)2＝2|a|，∵圆M被x轴截得的弦长为2，∴2r2－(a－2)2＝2a2＋4a－4＝2，解得a＝－5或a＝1.当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，故B正确；当a＝1时，圆M的半径最小，为2，故C错误；满足条件的所有圆M的半径之积为52×2＝10，故D错误．14．(2022·沧州模拟)阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|＝2，则△PAB面积的最大值是()A.2B．2C．22D．4 答案C解析设以经过点A ，B 的直线为x 轴，AB →的方向为x 轴正方向，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)．设P (x ，y )，∵|PA ||PB |＝2，∴(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝2， 两边平方并整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0，即点P 的轨迹为(x －3)2＋y 2＝8.要使△PAB 的面积最大，只需点P 到AB (x 轴)的距离最大，此时面积为12×2×22＝2 2.。

高中数学圆的方程经典类型训练

高中数学圆的方程经典类型训练

高中数学圆的方程经典训练题类型1：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型2：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 .类型3：弦长、弧问题例8、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型4：直线与圆的位置关系例11、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系. 例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.例13 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？练习1：直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .3、 圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）． （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4、 过点()43--，P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()42122=++-y x C ：有公共点，如图所示．类型5：圆与圆的位置关系例14、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系， 练习1：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .2：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.类型6：圆中的对称问题例16、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是例17 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．类型7：圆中的最值问题例18：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．例20：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 . 练习：1：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 2 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求12+-=x y u 的取值范围．3、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.类型8：轨迹问题例21、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程. 例22、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.例23 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．例24 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程． 练习：1、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.2、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于4、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且AM 31=，问点M 的轨迹是什么？例5、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .类型9：圆的综合应用例25、 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．例26、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．例27 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．。

圆的方程-高考数学练习

圆的方程-高考数学练习
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7.已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则实数a的取值范
围为__2_，__94___.
解析 因为点 A(a，2)在圆外，
所以（ a2＋－42－a）2a2＋ 2－（3×－23＋）a2－ 2＋4a（>0a，2＋a）>0，
a>2， 所以a<94，即
是( B )
A.x＋y－3＝0
B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0
D.2x＋y－6＝0
解析 过点 M 的最长弦所在的直线应为过点 M 的直径所在的直线.易得圆 的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为0y－－11＝3x－－44，即 x－y－3＝0.
Байду номын сангаас
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4.(多选)若圆 x2＋y2－2x－4y＝0 的圆心到直线 x－y＋a＝0 的距离为 22，则实数
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9.若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝
___2_____.
解析
a2＝1， 根据题意，得－b2＝2，
14（a2＋b2－4c）＝1，
a＝2， 解得b＝－4，
c＝4.
∴a＋b＋c＝2.
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2<a<94，
所以 a 的取值范围是2，94.
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8.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且PA＝1，则P点的轨迹方程 是_(_x_－__1_)2_＋__y_2_＝__2_. 解析 设P(x，y)，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，则PA2＋1＝PB2， 所以(x－1)2＋y2＝2.

高三复习数学72_圆的方程(有答案)

高三复习数学72_圆的方程(有答案)

7.2 圆的方程一、解答题。

1. 圆的定义在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．2. 确定一个圆最基本的要素是________和________．3. 圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，其中________为圆心，________为半径．4. 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是________，其中圆心为(−D2,−E2)，半径r=√D2+E2−4F2．5. 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x−a)2+(y−b)2=r2，点M(x0,y0)（1）点M在圆上：________；（2）点M在圆外：________；（3）点M在圆内：________．6. 根据下列条件，求圆的方程经过坐标原点O和P(1,1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；已知一圆过P(4,−2)，Q(−1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4√3．7. 已知圆C:(x−1)2+(y−2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4= 0,(m∈R)．证明：不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；求直线l被圆C截得的弦的最小值，并求此时直线l的方程．8. 已知两圆x2+y2−2x−6y−1=0和x2+y2−10x−12y+m=0，m<61．m取何值时，两圆外切；m 取何值时，两圆内切；求m =45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．9. 由直线l:y =x +1上的一点向圆(x −3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为（ ） A.1 B.2√2 C.√7 D.310. 已知圆C:x 2+y 2−2x +4y −11=0，在区间[−4,6]上任取实数m ，则直线l:x +y +m =0与圆C 相交所得△ABC 为钝角三角形（其中A ，B 为交点，C 为圆心）的概率为（ ） A.25B.45C.811D.91111. 直线x +y +t =0与圆x 2+y 2=2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM →+ON →|≤|MN →|，则实数t 的取值范围是（ ） A.(−∞,−√2)∪[√2,+∞) B.[√2,2]C.[−2,−√2]∪[√2,2]D.[−√2,√2]12. （理）如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB|=2．圆C 的标⋅准⋅方程为___________________________________；过点A 任作一条直线与圆O:x 2+y 2=1相交于M ，N 两点．求证：y 轴平分∠MBN ．13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2−12x −14y +60=0及其上一点A(2,4)．设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ，求直线l 的方程；设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →+TP →=TQ →，求实数t 的取值范围．14. 小结与反思______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________15. 与圆x 2+(y −2)2=1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ） A.2条 B.3条 C.4条 D.6条16. 若圆(x −3)2+(y +5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x −3y −2=0的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A.(4,6) B.[4,6） C.(4,6] D.[4,6]17. 已知圆C:(x −4)2+(y −3)2=1和点A(−1,0)，B(0,1)，点P 在圆上，则△PAB 面积的最大值和最小值分别为（ ） A.√2+1，√2−1 B.4，2 C.3，1 D.2+√22，2−√2218. 一条光线从点(−2,−3)射出，经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y −2)2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A.−53或−35 B.−32或−23C.−54或−45D.−43或−3419. 在圆x 2+y 2−2x −6y =0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A.5√2 B.10√2 C.15√2 D.20√220. Rt △ABC 中，斜边BC =6，以BC 的中点O 为圆心，作半径为2的圆，分别交BC 于P ，Q 两点，令t =|AP|2+|AQ|2+|PQ|2，那么（ ） A.t =21 B.t =32C.t =42D.t 的值与点A 的位置有关21. 若直线y =x +b 与曲线x =√1−y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是________．22. 如果圆C:x 2+y 2−2ax −2ay +2a 2−4=0与圆O:x 2+y 2=4总相交，那么实数a 的取值范围是________．23. 已知圆x 2+y 2=4，过点P (0,1)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最大值是________．24. 求和圆x 2+y 2=4相外切于点P(−1,√3)，且半径为4的圆M 的方程．25. 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0． 求yx 的最大值和最小值；求y −x 的最大值和最小值．26. 已知圆C 经过点A (−2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y =x 上，又直线l:y =kx +1与圆C 相交于P 、Q 两点． 求圆C 的方程；若OP →⋅OQ →=−2，求实数k 的值；过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．参考答案与试题解析7.2 圆的方程一、解答题。

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一、填空题
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．
解析：解法一(直接法) 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
解法二(数形结合法) 作图，根据点(1,2)到y 轴的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
答案：x 2＋(y －2)2＝1
2．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 等于________． 解析：由a 2＝a ＋2得a ＝－1或2，
又当a ＝2时，
4x 2＋4y 2＋4x ＋2＝0不表示任何图形，
故a ＝－1.
答案：－1
3．已知点A (4,9)，B (6,3)，则以AB 为直径的圆的标准方程为________． 解析：由题意可知圆心为(5,6)，
半径r ＝12|AB |＝1
2(6－4)2＋(3－9)2＝10，
故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.
答案：(x －5)2＋(y －6)2＝10
4．已知圆的方程为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25.
(1)若该圆过原点，则m 的值为________；
(2)若点P (m,0)在圆内，则m 的取值范围为________．
解析：(1)由题意可知点(0,0)满足(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25，
即5m 2＝25，解得m ＝±5.
(2)由题意可知(m －2m )2＋(0＋m )2<25，
即2m 2<25， 解得－522<m <52
2.
答案：(1)±5 (2)－522<m <522
5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．
解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝
|3|2＝32
， ∴AB 边上的高的最小值为32－1， ∴S △min ＝12×22×(32－1)＝3－ 2. 答案：3－ 2
6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为
__________________________________________________________________. 解析：由题意得C 1(－1,1)，圆心C 2与C 1关于直线x －y －1＝0对称，且半径相等，则C 2(2，－2)，所以圆C 2的方程为
(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.
答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
7．圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为________．
解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2.
答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2
8．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．
解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，
圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.
答案：π
9．以点A (－3,0)，B (0，－3)，C (157，247) 为顶点的三角形与圆x 2＋y 2＝R 2(R >0)
没有公共点，则圆半径R 的取值范围是________．
解析：如图，若圆与△ABC 没有公共点，需考虑两种情况：
①圆在三角形内部；②圆在三角形外部．当圆在三角形内部
时，圆与BC 边相切时，半径最大为31010；当圆在三角形外
部时，圆过点C 时半径最小为3897.
答案：(0，31010)∪(3897，＋∞)
二、解答题
10．若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．
解析：∵方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，
∴a ≠0.
∴方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0可以写成
x 2＋y 2－4(a －1)a x ＋4a y ＝0.
∵D 2＋E 2－4F ＝16(a 2－2a ＋2)a 2
>0恒成立， ∴a ≠0时，方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆．
设圆的半径为r ，则
r 2＝4(a 2－2a ＋2)a 2＝2[4(1a －12)2＋1]，
∴当1a ＝12，即a ＝2时，圆的半径最小，
半径最小的圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .
(1)求圆C 的方程；
(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，
知OC 的斜率k OC ＝b a ＝－1，故b ＝－a ，
则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，
可解得⎩⎨⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝2b ＝－2
， 结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩
⎨⎧
a ＝－2
b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.
(2)假设存在Q (m ，n )符合题意， 则⎩⎨⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，
(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45，n ＝125.
故圆C 上存在异于原点的点Q (45，125)符合题意．
12．已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
解析：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
根据题意得： ⎩⎨⎧ (1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，
a ＋
b －2＝0
解得：a ＝b ＝1，r ＝2， 故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4.
(2)由题知，四边形P AMB 的面积为
S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋12|BM ||PB |.
又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，
所以S ＝2|P A |，
而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S＝2|PM|2－4.
因此要求S的最小值，只需要|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42
＝3，
所以四边形P AMB面积的最小值为S＝2|PM|2min－4＝232－4＝2 5.。

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