湖南省2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题
(新教材)2020-2021学年下学期高一第一次月考卷 化学(A卷)学生版
（新教材）2020-2021学年下学期高一第一次月考卷化 学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Cl 35.5 Fe 56 Mn 55 Ba 137 一、选择题1．近年来，总有一些不法商贩为了牟取自身利益。
用硫磺(燃烧硫磺)对银耳进行熏制，使银耳增白。
这些不法商贩所制取的银耳是利用了A ．SO 2的氧化性B ．SO 2漂白性C ．SO 2的还原性D ．S 的漂白性 2．下列关于氮气的说法错误的是A ．氮气在通常情况下不燃烧，也不支持燃烧，不能供给呼吸B ．液氮可用于医学和高科技领域，制造低温环境C ．利用氮气的稳定性，工业上用来替代稀有气体作焊接金属的保护气D ．在高温高压、催化剂条件下与氢气反应时，氮气作还原剂 3．化学与生产、生活、科技息息相关，下列叙述错误的是A ．华为首款5G 手机搭载了智能7nm 制程SoC“麒麟980”手机芯片的主要成分是二氧化硅B ．国产飞机C919用到氮化硅陶瓷是新型无机非金属材料C ．小苏打是面包发酵粉的主要成分之一D ．水玻璃可用作制备木材防火剂的原料4．碳纳米材料是近年来人们非常关注的一类新型无机非金属材料，下列关于碳纳米材料的说法中不正确的是A ．C 60是富勒烯的代表物，C 60的摩尔质量为720g/molB ．碳纳米管可用于生产电池和传感器C ．石墨烯与石墨都具有导电性D ．石墨烯的性质稳定，在氧气中不能燃烧 5．对下列事实的解释错误的是A ．在蔗糖中加入浓硫酸后出现发黑现象，说明浓硫酸具有脱水性B ．浓硝酸在光照下颜色变黄，说明浓硝酸不稳定C ．常温下，浓硝酸可以用铝制器皿贮存，说明铝与浓硝酸不反应D ．将SO 2通入BaCl 2溶液至饱和，未见沉淀生成，继续通入另一种气体，有白色沉淀，则通入的气体可能是NH 36．下列物质之间的转化都能一步实现的是 A ．H 2S→S→SO 3→H 2SO 4B ．Si→SiO 2→H 2SiO 3→Na 2SiO 3C ．FeS 2→SO 2→Na 2SO 3→Na 2SO 4D ．N 2→NH 3→NO 2→HNO 3→NO 27．某兴趣小组探究SO 2气体还原Fe 3+，他们使用的药品和装置如下图所示，下列说法不合理的是A ．B 中现象为溶液蓝色褪去B ．装置C 的作用是吸收SO 2尾气，防止污染空气C ．为了验证A 中发生了氧化还原反应，加入KMnO 4溶液，紫红色褪去D ．反应后，A 中溶液的酸性增强8．下列实验用来证明气体SO 2的存在，其中正确的是 ①能使品红溶液褪色②能使沾有酚酞和NaOH 溶液的滤纸褪色 ③通入H 2S 饱和溶液中有浅黄色沉淀生成④通入足量的NaOH 溶液中，再滴入BaCl 2溶液，有白色沉淀生成，该沉淀能溶于盐酸 ⑤通入溴水中，溴水褪色，再滴加BaCl 2溶液有白色沉淀产生，该沉淀难溶于稀硝酸 A ．③⑤能证明 B ．①②④能证明 C ．都不能证明 D ．只有⑤能证明 9．下列实验中金属或氧化物可以完全溶解的是 A ．1mol Cu 与含2mol H 2SO 4的浓硫酸共热 B ．1mol MnO 2与含2mol H 2O 2的溶液共热 C ．常温下1mol Al 投入足量的浓硫酸中D ．常温下1mol Cu 投入含4mol HNO 3的浓硝酸中此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．如图，同温同压下，两个等体积的干燥圆底烧瓶中分别充满①NH3、②NO2，进行喷泉实验。
2022年湖南省常德市望城中学高一数学文月考试卷含解析
2022年湖南省常德市望城中学高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. ．设数列{}，下列判断一定正确的是（）A．若，，则{}为等比数列；B．若，，则{}为等比数列；C．若，，则{}为等比数列；D．若，，则{}为等比数列。
参考答案：C略2. 三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π参考答案：B三棱锥P?ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设，则，解得,.则长方体的对角线的长为.所以球的直径是6￣√,半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选B.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．3. （5分）若向半径为1的圆内随机撒一粒米，则它落到此圆的内接正方形的概率是（）A．B．C．D．参考答案：考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：首先确定正方形的面积在整个圆中占的比例，根据这个比例即可求出豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率．解答：由题意，圆的面积为π，由勾股定理得圆内接正方形的边长，其面积为2，故豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是．故选：B．点评：此题主要考查了几何概率、圆的面积求法以及正方形的特殊性质，求出两图形的面积是解决问题的关键．4. 已知2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，则b2（a2﹣a1）=（）A．﹣8 B．8 C．D．参考答案：B【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等比数列的通项公式，可得公比q，再由等比数列的定义可得a2﹣a1，再由等差数列中项的性质，结合对数的运算性质可得b2，即可得到所求值．【解答】解：设等比数列的公比为q，由2﹣9，2a1，2a2，2﹣1成等比数列，可得：q3==28，即有q=2，即=q=2，可得a2﹣a1=；2，log3b1，log3b2，log3b3，0成等差数列，可得2log3b2=2+0，解得b2=3，则b2（a2﹣a1）=3×=8．故选：B．5. 若关于的不等式内有解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 设集合，则（）A. B. C. D.参考答案：D7. 角的终边过点，则等于（）A B C D参考答案：C略8. 函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“和谐区间”，下列函数中存在“和谐区间”的是▲ .①②③④参考答案：①④9. 已知等比数列{a n}满足，，则（）A. B. －2 C. 或－2 D. 2参考答案：C【分析】由等比数列的性质可知，a5?a8＝a6?a7，然后结合a5+a8，可求a5，a8，由q3可求．【详解】由等比数列的性质可知，，∵，∴，，或，，∴或．故选：C．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题．10. 已知函数f（x）=，则f（﹣2）=（）A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣8参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由x ＜0时，f （x ）=x 2，把x=﹣2直接代入即可求解函数值 【解答】解：∵x＜0时，f （x ）=x 2 ∴f（﹣2）=4 故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x<1，则函数y=2－－x 的最小值为.参考答案：512. 如果满足，，的恰有一个，则实数的取值范围是 .参考答案：13. 若A （-4，2），B （6，-4），C （12，6），D （2，12），则下面四个结论：①AB ∥CD ，②AB ⊥CD ，③AC ∥BD ，④AC ⊥BD 。
2020-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一(下)第一次月考数学试卷 Word版含解析
2022-2021学年湖南省长沙市浏阳一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角2．若点P 在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）A．（1，）B．（，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣1，）3．下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．4．已知sinα﹣cosα=﹣，则sinαcosα=（）A．B．C．D．5．已知（）A．B．C．D．6．将函数y=sin4x 的图象向左平移个单位，得到y=sin（4x+φ）的图象，则φ等于（）A．B．C．D．7．函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（）A．x=﹣B．x=﹣C．x=D．x=8．设，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 9．函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（）A．﹣3，1 B．﹣2，2 C．﹣3，D．﹣2，10．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：（把答案填在答题卡相应题号后的横线上，本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．sin15°+cos15°=．12．若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．13．已知，则sin（2α+β）=．14．函数的最小正周期为．15．下列命题中真命题的序号是．①y=sin|x|与y=sinx的象关于y轴对称．②y=cos（﹣x）与y=cos|x|的图象相同．③y=|sinx|与y=sin（﹣x）的图象关于x轴对称．④y=cosx与y=cos（﹣x）的图象关于y轴对称．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．已知tanα=3，计算：（1）；（2）sinαcosα；（3）（sinα+cosα）2．17．已知函数y=a﹣bcos3x（b＞0）的最大值为，最小值为﹣，求函数y=﹣4asin3bx的单调区间、最大值和最小正周期．18．已知cosα=，cos（α+β）=，且，，求tan及β的值．19．函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．20．已知函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A，ω＞0，﹣＜φ＜）图象上一个最高点为P（2，2），由这个最高点到相邻最低点间的曲线与X轴相交于点Q（6，0）．（1）求这个函数的解析式；（2）写出这个函数的单调区间．21．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．。
湖南省长沙市2020-2021学年高一数学下学期期末试卷【含答案】
长沙市2020-2021学年度高一第二学期期末考试数学时量：120分钟 满分：150分得分__________．一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倾斜角是（）10y +-=A. B. C. D. 3π6π23π56πC【分析】将一般式化成斜截式，再根据即可求解tan θk =【变形可得，则，又，所以10y +-=1y =+tan k θ==[)0,θπ∈，23πθ=故选：C本题考查由直线的一般式求解直线倾斜角，属于基础题2. 如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AC BD 下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A. 与B. 与PD ABPB DAC. 与D. 与PC BDPA CDC【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解.【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面PA ⊥ABCD AB ÌABCD PA AB ⊥为矩形，所以,,平面,所以平面ABCD AB AD ⊥PA AD A ⋂=,AD AP ⊂PAD AB ⊥，平面,所以,即，所以，故A 不正确；PAD PD ⊂PAD AB PD ⊥AB PD ⊥0AB PD =⋅ 对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD ⊥ABCD 形，所以,,平面,所以平面，AB AD ⊥PA AB A = ,AB AP ⊂PAB AD ⊥PAB 平面,所以,即，所以，故B 不正确；PB ⊂PAB PB AD ⊥PB AD ⊥0DA PB =⋅ 对于C ，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所ABCD AC BD PC BD 以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C 正确．PC BD PC BD 对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥ABCD 形，所以,,平面,所以平面，CD AD ⊥PA AD A ⋂=,AD AP ⊂PAD CD ⊥PAD 平面,所以,即，所以，故D 不正确.PA ⊂PAD PA CD ⊥PA CD ⊥ 0PA CD ⋅=故选：C.3. 设复数满足：，则的共轭复数是（）z ()1i i 3z ⋅+=-z z =A. B. C. D. 12i -+12i+12i--12i-C【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数，即可得到其共轭复数；z 【详解】解：，()1i i 3z ⋅+=- ，()()()()2i 31i i 3i i 33i 24i12i1i 1i 1i 22z ----+-+-+∴=====-+++-．12i z ∴=--故选：C ．4. 过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）A. x-2y-1=0B. x-2y+1=0C. 2x+y-2=0D. x+2y-1=0A【分析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得．则所求直线方程为．故A 正确．本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为．5. 根据历年气象统计资料，某市在七月份的某一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为35%，吹南风或下雨的概率为38%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 22%B. 13%C. 24%D. 28%A【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为.25%35%38%22%+-=故选：A.6. 已知一组数据的分位数为4，则的值和其总体方差分别为（）,3,2,6a -50%a A. 2，9 B. 3，10C. D. 175,3195,2D【分析】根据第百分位数的定义及方差计算公式即可求解.p 【详解】因为数据的第数为4，所以，解得，,3,2,6a -50%342a +=5a =所以这组数据的平均数为，()1235634⨯-+++=所以方差为，2222119(23)(33)(53)(63)42⎡⎤⨯--+-+-+-=⎣⎦故选：D.7. 三棱锥P --ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则该三棱锥外接球的2,3,6,3BAC AP BC π∠===表面积为（ ）A. B. C. D. 45π63π57π84πC【分析】将三棱锥P--ABC 中放在圆柱中，由正弦定理得的外接圆的直径，再结合12O O ABC 1O 2r 勾股定理求得外接球的直径，从而求得表面积.【详解】作出的外接圆由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P --ABC 中放在圆柱ABC 1O 中，如图所示：12O O 因为由正弦定理得的外接圆的直径为2,6,3BAC BC π∠==ABC 1O，22sin 3BC r π==∠又,则三棱锥P--ABC 外接球的直径为3AP =，故外接球的表面积为()()2222294857R PA r =+=+=2457S R ππ==方法点睛：求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.8. 已知三个内角，，及其对边，，，其中，角为锐角，且ABC A B C a b cB b =， 则面积的最大值为（）()222tan ac b B +-=ABC ∆C. D. 3432A【分析】由余弦定理求得，且，再由三角形的面积公式和基本不等式可得选项.3Bπ=223ac a c =+-【详解】由得()222tan a c b β+-=222tan 2a c b ac β⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即，而，所以，cos tan ββ=sin B =02B π<<3B π=所以，又因为，1sin 2ABCS ac B == 222221cos 322a c b B ac a c ac +-==⇒=+-所以，所以22323ac a c ac =+-≥-3ac ≤3≤=故选：A.本题考查运用余弦定理解三角形，三角形的面积公式，以及运用基本不等式求最值，属于中档题.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09. 下列说法不正确的是（）A. 抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定0.030.1C. 为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D. 一组数据的中位数和众数都是51255533､､､､､､ACD【分析】对于A,根据随机事件的定义即可求解；对于B ，根据方差的性质及作用即可求解；对于C ，抽样调查和全面调查的定义即可求解；对于D ，根据中位数和众数的定义即可求解.【详解】对于A ，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A 错误；对于B ，因为方差越小越稳定，故B 正确；对于C ，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C 错误；对于D ，数据按从小到大排列后为，则其中位数为3，众数为5，125,5533､､､､､123355,5､､､､､故D 错误，故选: ACD.10. 复数满足，则下列说法正确的是（ ）i z a b =+11iz =+A. 在复平面内点落在第四象限(),a b B.为实数()1i z --1-C.z =D. 复数的虚部为z 1i2-ABC【分析】根据复数的除法法则及复数相等的条件，再利用复数的几何意义及复数的模公式，结合复数的概念即可求解.【详解】由，得，11i z =+()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++-所以，点落在第四象限，故A 正确；11,22a b ==-11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，故B 正确；()()()2111111111i 1i i 1i i i 122222222z ⎛⎫--=---=-⨯+-+=--=-⎪⎝⎭所以，故C正确；z ==由，得复数的虚部为，故D 不正确．11i 22z =-z 12-故选：．ABC 11. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）():1l y kx k =+∈R 22:5C x y +=A. 直线与圆一定相交l C B. 直线一定将圆平分l C C. 当时，被截得的1k =l C D. 被截得的最短弦长为4l C AD【分析】结合直线与圆的知识对选项进行分析，利用弦长公式确定CD 正误，利用直线过定点判断A,利用斜率判断B,从而确定正确选项.【详解】圆C 对于A 选项，直线过定，点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A 选项l ()0,1()0,1C l C 正确；对于B 选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B 选项不正l C l l确；对于C 选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，1k =l 10x y -+=Cl d =所以，直线被截得的弦长为，C 选项错误；lC =对于D 选项，圆心到直线的距离为，Cl 1d =≤所以，直线被截得的弦长为，D 选项正确．lC 4≥故选：AD12. 正方体的棱长为分别为的中点，则下列结论正1111ABCD A B C D -2,E F G ､､11BC CC BB ､､确的是（）A. 直线与直线不垂直1D D AFB. 直线与平面平行1A G AEF C. 平面截正方体所得的截面面积为3AEF D. 点到平面的距离是点到平面的距离的C AEF G AEF 12ABD【分析】对于A ，利用反正法，结合线面垂直的判定定理和性质定理即可判断；对于B,根据三角形的中位线定理及面面平行的判定定理，结合面面平行的性质定理即可求解；对于C ，根据确定平面的条件及三角形的面积公式，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解;对于D ，根据等体积法求出相应椎体的体积即可求解.【详解】对于A 选项，若，因为且，所以平1D D AF ⊥1D D AE ⊥AE AF A ⋂=1D D ⊥面，AEF 所以，所以，此时不成立，所以A 正确；1D D EF ⊥1CC EF ⊥对于B 选项，取的中，点，连接，如图所示11B C Q 1,A Q GQ由条件可知：，且，1,GQ EF A QAE ∥∥1,GQ A Q Q EF AE E ⋂=⋂=所以平面平面，又因为平面，1//A GQ AEF 1A G ⊂1A GQ 所以平面，所以B 正确；1A G AEF 对于C 选项，连接，延长交于点，如图所示11,D F D A 1,D F AE S因为为的中点，所以，所以四点共面，,E F 1BC C C ､1EF AD ∥1A E F D ､､､所以截面即为梯形，又因为，1AEFD 11D S AS AD ====所以，1162AD SS =⨯= 所以梯形，所以C 错误．139642AEFD S =⨯=对于D 选项，记点，与点到平面的距离分别为，C G AEF 12,h h 因为，又因为11111123323C AEF AEF A CEF V S h V --⨯=⋅⋅==⋅⨯=，21122333G AEF AEF A GEF V S h V --=⋅⋅===所以，所以D 正确．1212h h =故选:ABD ．三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 若直线的方向向量为．平面的法向量为，则直线与平面l ()1,0,2a →=α()2,0,4μ→=--l 的关系为________．αl α⊥【分析】利用向量共线定理、线面垂直的判定定理即可判断出.【详解】解：∵，2a μ→→=-∴，//a μ 因此.l α⊥故答案为.l α⊥本题考查空间向量共线定理，线面垂直的向量方法，考查运算能力，是基础题.14. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是3π______ ．1【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出半径.3π【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，r l 则由得，2l r ππ=2l r =而22·233S r r r r ππππ=+==故，21r =解得，1r =故答案为.1本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧()1()2面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．15. 一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为，从中不放回地抽取2个1,2,3,4,5,6球，则抽出的2个球的编号和不大5的概率为__________．415【分析】写出所有的基本事件和满足题意的事件，利用古典概型公式求解.【详解】由题意，所有的基本事件为：，()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4，共15个，()()()()()3,5,3,6,4,5,4,6,5,6其中“从中不放回地抽取2个球，2个球的编号和不大于5”有，共4个基本事件，()()()()1,2,1,3,1,4,2,3则抽出的2个球的编号和不大5的概率为．415P =故41516. 已知三条直线，其中123:0,:30,:0l mx ny l nx my m n l ax by c +=-+-=++=为实数，不同时为零，不同时为零，且．设直线交于m n a b c ､､､､m n ､a b c ､､2a c b +=12,l l 点，则点到直线的距离的最大值__________．P P 3l【分析】利用直线恒过定点问题得出直线恒过定点，再根据直线三角形斜边的中线定理得出点的轨迹，进而求出点的轨迹方程，结合圆上的点到直线的距离的最值问题即可求解.P P 【详解】由于，且，12:0,:30l mx ny l nx my m n +=-+-=()0mn n m +⋅-=，易知直线过原点，12l l ∴⊥1l 将直线的方程化为，由解得2l ()()130n x m y ---=10,30,x y -=⎧⎨-=⎩1,3,x y =⎧⎨=⎩所以，直线过定点，所以，2l()1,3M OM =因为，则，直线的方程为，2a c b +=2a c b +=3l 02a c ax y c +++=直线的方程可化为，由解得3l 1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,210,2y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩所以，直线过定点，设线段的中点为点，：则，如图所示3l()1,2N -OM E 13,22E ⎛⎫⎪⎝⎭若点不与或重合，由于，由直角三角形的性质可得；P O M OP PM ⊥EP EO EM==若点与或重合，满足．P O M 12l l ⊥由上可知，点的轨迹是以为直径的圆，该圆圆心为P OM E 13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以点的轨迹方程为P 2135222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设点到直线的距离为，当时，；E 3ld 3EN l ⊥dEN =当不与垂直时，．EN 3ld EN<综上，．d EN ==所以，点到直线的距离的最大值为P 3l2OM EN +=故答案为四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应㝍出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知在某次招考测试中，甲､乙､丙3人各自通过测试的概率分别为．求：231,,543（1）至少有1人通过测试的概率；（2）恰有2人通过测试的概率．（1）910（2）60【分析】（1）设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，事件“丙通过测试”，事A =B =C =件与相互独立，至少有1人通过测试的对立事件为1人也没用过，利用相互,,A B C ,A B C 独立事件的概率乘法公式即可求解.（2）设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则，利2M =2M ABC ABC ABC =++用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件“甲通过测试”，事件乙通过测试”，事件“丙通过测试”，A =B =C =事件与相互独立，由题意有：．,,A B C A B C ()()()231,,543P A P B P C ===设事件“甲､乙､丙3人中至少有1人通过测试”，则的对立事件1M =1M 1M A B C=⋅⋅()()11312911.54310P M P M =-=-⨯⨯=【小问2详解】设事件“甲､乙､丙3人中恰有2人通过测试”，则，2M =2M ABC ABC ABC =++由于事件均相互独立，并且事件两两互斥，,,,A B C A B C ,ABC ABC ABC 因此()2()()()()()()()()()P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅23123123123111.54354354360⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18. 四棱锥，底面为正方形，边为中点，平面P ABCD -ABCD 4,AB E =AB PE ⊥．ABCD （1）若为等边三角形，求三棱锥的体积；PAB △A PEC -（2）若的中点为与平面所成角为，求与所成角的正切值．CD ,F PF ABCD 45︒PC AD（1（2【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及等体积法，再利用棱锥的体积公式即可求解；（2）根据线面角的定义及勾股定理，再利用异面直线所成角的定义及线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理及锐角三角函数的正切函数的定义即可求解.【小问1详解】为等边三角形，且为中点，，PAB △E AB 4AB =，又平面，PE ∴===PE ⊥ABCD三棱锥的体积．∴A PEC -11124332A PEC P AEC AEC V V PE S --==⋅⋅=⨯⨯⨯=【小问2详解】平面，又直线在平面内的射影为,PE ⊥ ABCD PF ABCD EF 为与平面所成角，即，如图所示PFE ∴∠PF ABCD 45PFE ∠=为等腰直角三角形，PEF ∴ 分别为的中点，，E F ､AB CD ､4PE FE ∴==//,PB AD BC ∴== 所以（或其补角）为异面直线与所成的角，PCB ∠PC AD 平面平面，PE ⊥ ,ABCD BC ⊂ABCD PE BC∴⊥又平面，,,BC AB PE AB E PE AB ⊥⋂=⊂､PAB 平面，平面，BC ∴⊥PAB PB ⊂,PAB BC PB ∴⊥在中，Rt PBC tan PB PCB BC ∠===所以与.PC AD 19. 某校农村中学有学生1000人．在假期研学旅行中开展地方劳动技术教育，结束时对某一项劳动技能进行测试，测试结果如下表．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100人数50150300300200（1）估计本次测试的平均成绩并完成频率分布直方图；（2）在90分以上（含90分）男生占60%，在这部分学生中按男女生比例抽取5人担任助教，并在这5人中随机抽3人担任助教长，求助教长中恰好有一名女生的概率．（1）平均成绩分；频率分布直方图见解析；（2）.79.535【分析】（1）利用每组数据的组中值乘以该组数据的频率，然后将所得的结果相加即可得到本次测试的平均成绩，然后分别计算出、的频率除以组距的值即可据此作[)60,70[)70,80出频率分布直方图；（2）先根据分层抽样计算出人中男生、女生的人数，然后根据要求列出人中抽取人对553应的基本事件，再分析恰有一名女生的基本事件数量，由此可求解出概率.【详解】（1）依题意有平均分为（分）；550.05650.15750.3850.3950.279.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=的频率为，对应频率除以组距的值为，[)60,701500.151000=0.150.01510=的频率为，对应频率除以组距的值为；[)70,803000.31000=0.30.0310=故频率分布直方图如下：（2）抽取的人中男生有：人，女生有：人，5560%3⨯=540%2⨯=记男生为，女生为，则从人中抽取人对应的所有基本事件有：123,,A A A 12,B B 53()()()()()123121122131132,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A A B A A B A A B 共种可能，()()()()()112231232212312,,,,,,,,,,,,,,,A B B A A B A A B A B B A B B 10记“助教长中恰好有一名女生”为事件，其对应的基本事件有：M ，共种，()()()()()()121122131132231232,,,,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A B A A B A A B 6所以，()63105P M ==所以助教中恰有一名女生的概率为.3520. 如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且111ABC A B C -ABC D AC ．12AB AA ==（1）证明：平面；1//AB 1BC D （2）求平面与平面夹角的余弦值．11B AC 1BAC （1）证明见解析（2）57【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线的性质可得出，再利用1B C 1BC E DE 1//AB DE 线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角D DB DC 1AAx y z 坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.11B AC 1BAC 【小问1详解】证明：连接交于点，连接，1B C 1BC E DE 在三棱柱中，四边形为平行四边形，111ABC A B C -11BB C C 因为，则为的中点，11B C BC E = E 1B C 又因为为的中点，则，D AC 1//AB DE 平面，平面，因此，平面.1AB ⊄ 1BC D DE ⊂1BC D 1//AB 1BC D 【小问2详解】解：因为为等边三角形，为的中点，则，ABC D AC BD AC ⊥又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、1AA ⊥ABC D DB DC 1AAx y 的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，z则、、、、、，()0,1,0A-)B()0,1,0C ()10,1,2A-)12B ()10,1,2C 设平面的法向量为，，，11B AC ()111,,m x y z = ()10,2,2AC =)111,0C B =- 则，取，可得，11111112200m AC y z m C B y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩11x=(m = 设平面的法向量为，，，1BAC ()222,,n x y z =)AB = ()10,2,2AC =则，取，可得，221220220n AB y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩21x=(1,n = .5cos ,7m n m n m n⋅<>==-⋅因为，平面与平面夹角的余弦值为.11B AC 1BAC 5721. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥，现在正在修建的中国到尼泊尔的穿过珠穆朗玛峰的隧道等．如图为某工程队要在山体的水平面上从到修建一条隧道，测量员测得，因为具体情况不能测出ABC A D 1,4AB AC ==与的长，但发现为中点，设．BD DC D BC ,AB AC θ=（1）用表示；θAB AD ⋅ （2）若，cos BAD ∠=①求的长；AD ②求的面积．ADC （1）12cos 2θ+（2【分析】（1）根据线段中点的向量线性表示及向量的数量积公式及运算律即可求解；（2）①根据线段中点的向量的线性表示两边平方得，再利用向量的夹角公式及（1）AD的结论即可求解；②根据角之间的关系及平方关系，再两角差的正弦公式及三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为为中点，所以，D BC ()12AD AB AC=+ 所以()2111222AB AD AB AB AC AB AB AC⋅=⋅+=+⋅ ．211114cos 114cos 2cos 2222θθθ+=⨯+⨯⨯⨯=+=【小问2详解】由（1）知，()12AD AB AC=+所以()222211()244AD AB AC AB AC AB AC=+=++⋅，()221178cos 14214cos 44θθ+=++⨯⨯⨯=得AD = 所以，cos AB AD BAD AB AD ∠⋅===⋅ 化简可得解得或，2:28cos 8cos 110θθ+-=1cos 2θ=11cos 14θ=-又，所以，代入，得，14cos 0θ+>1cos2θ=AD =所以，sinθ==所以sin BAD ∠==所以()sin sin sin cos sin cos DAC DAB DABDAB ∠θ∠θ∠∠θ=-=-，12=-=所以的面积ADC 11sin 422DAC S AD AC DAC ∠=⋅⋅⋅== 22.如图，已知圆O ∶，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.224x y +=（1）当|AB 时，求直线l 的方程；（2）已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ⊥CD ，求四边形ACBD 面积的最大值.（1）；（2）)1y x =±-【分析】（1）分别考虑斜率存在与不存在时，利用弦心距表示出即可，AB （2）当直线与轴垂直时，，，四边形的面积，当直线ABx AB =4CD =ACBD 与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为AB x AB kx y k 0--=CD ，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，由此利用配方法能20x ky +-=O AB AB CD 求出四边形面积的最大值．ACBD 【详解】解：（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时1ol 1x =，不符合题意；AB ==当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，2o l k l ()1y k x =-所以圆心到直线的距离，Ol d =因为AB=AB ==k =所以直线的方程为．l )1y x=-（2）当直线与轴垂直时，，，AB x AB =4CD =四边形的面积，∴ACBD 1·2S AB CD ==当直线与轴不垂直时，设直线方程为，AB x AB (1)y k x =-即，kx y k 0--=则直线方程为，即，CD 1(2)y x k =--20x ky +-=点到直线，点到直线O AB O CD，，AB ∴==CD ==则四边形面积，ACBD 1122S AB CD === 令（当时，四边形不存在），211k t +=>0k =ACBD ，∴(S ==四边形面积的最大值为．∴ABCDS 本题考查直线方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．。
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．12．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√64．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．25．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣27．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b → B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ）A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．10910．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或1611．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ ．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 ．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z 1z 2，求z 的共轭复数z ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ．22．在①2a cos C+c＝2b，②cos2B−C2−cosBcosC=34，③（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．2020-2021学年湖南省长沙市高一下第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =i1+i ，则|z |＝（ ） A ．√22B ．√2C ．12D ．1【解答】解：∵复数z =i 1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=i−i 21−i 2=1+i 2=12+12i ，∴|z |=√(12)2+(12)2=√22．故选：A ．2．已知向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（ ） A ．（3，9）B ．（5，9）C ．（3，7）D ．（5，7）【解答】解：向量a →=（2，4），b →=（﹣1，1），则2a →−b →=（5，7）． 故选：D ．3．在△ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果B ＝30°，C ＝105°，a ＝4，则b ＝（ ） A ．2√2B ．3√2C ．√6D ．5√6【解答】解：∵B ＝30°，C ＝105°， ∴A ＝45°， 由正弦定理可得：4sin45°=b sin30°，解得b =4×12√22=2√2．故选：A ．4．若△ABC 中，cos A =12，BC ＝2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值是（ ）A ．2√2B ．1+√3C ．√3D ．2【解答】解：∵BA →⋅BC →=|BA →||BC →|cosB ，CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cosC ，|BC →|=|CB →|=2，∴BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|=2cosB +2cosC ，∵cosA =12，A +B +C =π，A 为△ABC 的内角， ∴sinA =√32，A =π3，∴2cos B +2cos C ＝2cos B ﹣2cos （A +B ）＝cos B +√3sinB =2sin(B +π6)， ∵0＜B ＜2π3， ∴0＜sin(B +π6)≤1， ∴0＜2siin(B +π6)≤2，则BA →⋅BC →|AB →|+CA →⋅CB →|AC →|的最大值为2．故选：D ．5．已知复数z 满足|z |﹣z ＝1+i （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．iB ．﹣iC ．1﹣iD ．1+i【解答】解：设z ＝a +bi ，因为|z |﹣z ＝1+i ，所以√a 2+b 2−(a +bi)=1+i ，即√a 2+b 2−a −bi =1+i ，所以{√a 2+b 2−a =1−b =1，解得a ＝0，b ＝﹣1，所以z ＝﹣i ． 故选：B ．6．已知复数z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）（a ∈R ）的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．﹣2【解答】解：z ＝（a ﹣3i ）（3+2i ）＝3a +2ai ﹣9i ﹣6i 2＝3a +6+（2a ﹣9）i ， 所以复数z 的实部与虚部分别为3a +6，2a ﹣9， 则3a +6+2a ﹣9＝7，得a ＝2． 故选：C ．7．已知向量a →=（1，2），b →=（﹣2，1），c →=（5，4），则以向量a →与b →为基底表示向量c →的结果是（ ） A ．135a →−65b →B ．133a →−143b →C ．−72a →−92b →D ．143a →+133b →【解答】解：设c →=x a →+y b →，即（5，4）＝x （1，2）+y （﹣2，1），则{x −2y =52x +y =4，得x =135，y =−65，即c →=135a →−65b →，故选：A ．8．已知在△ABC 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝3，c ＝2．则△ABC 的最大角的正弦值是（ ） A ．−14B ．√152C ．−√154D ．√154【解答】解：最大角是A ，根据余弦定理：cosA =b 2+c 2−a 22bc =9+4−162×3×2=−14，且A ∈（0，π），∴sinA =√1−cos 2A =√1−116=√154． 故选：D ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．若（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ，则n 可以是（ ） A ．104B ．106C ．108D ．109【解答】解：因为（1+i ）2＝1+2i ﹣1＝2i ，（1﹣i ）2＝1﹣2i ﹣1＝﹣2i ， 又（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ， 所以(1+i)n=[(1+i)2]n2=(2i)n2，(1−i)n=[(1−i)2]n2=(−2i)n2，故(2i)n2=(−2i)n 2，即2n 2⋅(i)n2=(−1)n 2⋅2n 2⋅(i)n 2，故当n2为偶数时，（1+i ）n ＝（1﹣i ）n ．故选：AC ．10．已知向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），下列说法正确的有（ ） A ．若a →∥b →，则m =−38B ．若m ＝0，则a →与b →夹角的正弦值为45C ．若a →⊥b →，则m =−32D ．若|a →+b →|＝13，则m ＝﹣8或16 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，向量a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），若a →∥b →，则3m ＝﹣8，则m =−83，A 错误； 对于B ，若m ＝0，则a →=（0，2），则|a →|＝2，|b →|＝5，a →•b →=6，则cos ＜a →，b →＞=610=35，则sin ＜a →，b →＞=45，B 正确，对于C ，若a →⊥b →，则a →•b →=−4m +6＝0，解可得m =32，C 错误，对于D ，a →=（m ，2），b →=（﹣4，3），则a →+b →=（m ﹣4，5），若|a →+b →|＝13，即（m ﹣4）2+25＝169，解可得m ＝﹣8或16，D 正确， 故选：BD ．11．已知i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足|z |＝0，则z ＝0B ．若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1•z 2＝0C ．若复数z ＝a +ai （a ∈R ），则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足z 2＝3+4i ，则z 对应的点在第一象限或第三象限 【解答】解：对于A ，|z |＝0，则z ＝0，故A 正确；对于B ，设z 1＝a 1+b 1i （a 1，b 1∈R ），z 2＝a 2+b 2i （a 2，b 2∈R ）．由|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，得|z 1+z 2|2＝（a 1+a 2）2+（b 1+b 2）2＝|z 1﹣z 2|2＝（a 1﹣a 2）2+（b 1﹣b 2）2，则a 1a 2+b 1b 2＝0，而z 1•z 2＝（a 1+b 1i ）（a 2+b 2i ）＝a 1a 2﹣b 1b 2＝2a 1a 2不一定等于0，故B 错误；对于C ，z ＝a +ai （a ∈R ），若a ＝0，则z 为实数，若a ≠0，则z 为虚数，z 不可能为纯虚数，故C 错误；对于D ，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1，或{a =−2b =−1． ∴z 对应的点在第一象限或第三象限，故D 正确． 故选：AD ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列各组条件中使得△ABC 有唯一解的是（ ）A ．a =3，c =2√2，cosC =23B ．a =3，c =4，cosC =13C ．a =1，b =2，sinB =23D ．b =1，sinB =13，C =π3【解答】解：对于A ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得8＝9+b 2﹣2×3×b ×23，即b 2﹣6b +1＝0，解得b ＝3±2√2，可得△ABC 有两个解，故错误；对于B ，由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得16＝9+b 2﹣2×3×b ×13，即b 2﹣2b ﹣7＝0，解得b ＝1+2√2，（负值舍去），可得△ABC 有一个解，故正确； 对于C ，由a ＜b ，sin B =23，可得cos B ＝±√53，可得角B 不唯一，故错误； 对于D ，由sin π3=√32＞13，且B ＜2π3，故B 为锐角且有唯一解，可得△ABC 有一个解，故正确； 故选：BD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．复数−1+4i 4+i= i ．【解答】解：−1+4i 4+i=(−1+4i)(4−i)(4+i)(4−i)=−4+i+16i−4i 242+12=−4+17i+417=17i 17=i ．故答案为：i ．14．设a →，b →为单位向量，且|a →−b →|＝1，则|2a →+b →|＝ √7 ． 【解答】解：∵|a →|=|b →|=1，|a →−b →|=1， ∴(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=2−2a →⋅b →=1， ∴2a →⋅b →=1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4a →2+4a →⋅b →+b →2=√4+2+1=√7．故答案为：√7．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2√7，b ＝2，A ＝60°，则c ＝ 6 ．【解答】解：在△ABC 中，a =2√7，b =2，A =60°， 根据正弦定理，2√7sin60°=2sinB，∴sinB =√2114， ∴cosB =5√714，根据余弦定理，5√714=22⋅2√7⋅c，解得c ＝4或6，据题意知，B ＜60°，C ＞60°， ∴c ＞2√7， ∴c ＝6． 故答案为：6．16．已知向量a →=(2sinx ，1)，b →=(1，cosx)，则a →⋅b →的最大值为 √5 ；若a →∥b →且x ∈（﹣π，0），则x 的值为 −3π4． 【解答】解：a →⋅b →=2sin x +cos x =√5sin （x +φ），其中tan φ=12， ∵x ∈R ，∴a →⋅b →的最大值为√5． ∵a →∥b →，∴2sin x cos x ＝1，即sin2x ＝1， ∴2x =π2+2k π，即x =π4+k π，k ∈Z ， ∵x ∈（﹣π，0），∴取k ＝﹣1，x =−3π4． 故答案为：√5；−3π4．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，i 为虚数单位．（1）若复数z 1+az 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若z =z1z 2，求z 的共轭复数z ．【解答】解：（1）复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝3+4i ，所以z 1+az 2＝（1﹣2i ）+a （3+4i ）＝（1+3a ）+（4a ﹣2）i ； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以{1+3a ＞04a −2＜0，解得−13＜a ＜12，所以实数a 的取值范围是（−13，12）；（2）化简z =z 1z 2=1−2i 3+4i =(1−2i)(3−4i)32−(4i)2=−5−10i 25=−15−25i ，z 的共轭复数z =−15+25i ．18．已知向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2）． （1）若a →∥b →，求3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ的值；（2）若θ＝45°，2a →−t b →与√2a →+b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵向量a →=（2cos θ，sin θ），b →=（1，﹣2），a →∥b →， ∴2cosθ1=sinθ−2，∴tan θ＝﹣4， ∴3sinθ−2cosθ2sinθ+cosθ=3tanθ−22tanθ+1=3×(−4)−22×(−4)+1=2．（2）∵θ＝45°，∴a →=（√2，√22）， ∴2a →−t b →=（2√2−t ，√2+2t ），√2a →+b →=（3，﹣1）， ∵2a →−t b →与√2a →+b →垂直，∴（2a →−t b →）•（√2a →+b →）＝（2√2−t ）×3+（√2+2t ）×（﹣1）＝0， 解得t =√2．19．设复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）．（其中i 为虚数单位，且i 2＝﹣1） （1）若|z |2﹣2z =7+4i ，求z ；（2）若z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020，求a ﹣b 的值． 【解答】解：（1）由已知可得，a 2+b 2﹣2a +2bi ＝7+4i ，∴{a 2+b 2−2a =72b =4， 解之得{a =3b =2，或{a =−1b =2，∴z ＝3+2i 或z ＝﹣1+2i（2）由复数相等的性质，可知a =1−3+5−7+9−11+⋯−2019+2021=1+2+2+⋯+2︸505个=1011，b =2−4+6−8+10−12+⋯+2018−2020=−(2+2+⋯+2)︸505个=−1010．∴a ﹣b ＝2021．另解：z ＝1+2i +3i 2+4i 3+5i 4+…+2020i 2019+2021i 2020① ∴zi ＝1i +2i 2+3i 3+4i 4+5i 5+…+2020i 2020+2021i 2021②∴①﹣②得：z （1﹣i ）＝1+i +i 2+i 3+i 4+…+i 2020﹣2021i 2021＝1﹣2020i ∴z =1−2021i 1−i =(1−2021i)(1+i)(1−i)(1+i)=2022−2020i2=1011−1010i ， ∴a ＝1011，b ＝﹣1010， ∴a ﹣b ＝2021．20．已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若b 2−a 2a+c=2R sin C ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√7，c ＝2，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得c sinC=2R ，所以b 2−a 2a+c=c ，整理可得：c 2+a 2﹣b 2＝﹣ac ，所以cos B =a 2+c 2−b 22ac =−ac 2ac =−12， 因为B ∈（0，π）， 可得B =2π3． （2）因为B =2π3，b =√7，c ＝2， 所以由正弦定理b sinB=c sinC，可得sin C =c⋅sinB b=√217， 因为c ＜b ，C 为锐角，可得cos C =√1−sin 2C =2√77，所以sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√32×2√77+（−12）×√217=√2114． 21．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A•sin B sin C ．（1）若b =√3c ，△ABC 的面积为3，求b 与c ； （2）若sin B +sin C ＝√62，求C ． 【解答】解：由sin 2B +sin 2C ＝sin 2A +2√33sin A •sin B sin C 得，b 2+c 2﹣a 2＝2√33bc sin A ＝2bc cos A ， 故√33sinA =cosA ，即tan A =√3， 由A 为三角形内角得A =π3，因为b =√3c ，△ABC 的面积为S ＝3=12bc ×√32=√34×√3c 2，故c ＝2，b ＝2√3； （2）因为A =π3， 故sin B +sin C ＝sin C +sin （2π3−C ）=32sinC +√32cosC =√62， 即√32sinC +12cosC =√22， 所以sin （C +π6）=√22，由C 为三角形内角得，C =π12． 22．在①2a cos C +c ＝2b ，②cos 2B−C 2−cosBcosC =34，③（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 _____． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（1）选①，由正弦定理得2sin A cos C +sin C ＝2sin B ， 所以2sin A cos C +sin C ＝2sin （A +C ）＝2（sin A cos C +cos A sin C ），即sin C （2cos A ﹣1）＝0，又C ∈（0，π），所以sin C ＞0，所以cosA =12， 又A ∈（0，π），从而得A =π3． 选②，因为cos 2B−C2−cosBcosC =1+cos(B−C)2−cosBcosC =1−cosBcosC+sinBsinC2=1−cos(B+C)2=34，所以cos(B +C)=−12，cosA =−cos(B +C)=12，又因为A ∈（0，π），所以A =π3． 选③因为（sin B +sin C ）2＝sin 2A +3sin B sin C ， 所以sin 2B +sin 2C +2sin B sin C ＝sin 2A +3sin B sin C ， 即sin 2B +sin 2C ﹣sin 2A ＝sin B sin C ， 所以由正弦定理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理知cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，因为A∈（0，π），所以A=π3．（2）由（1）得A=π3，又a＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣ab≥2bc﹣bc＝bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取得等号，S¡÷ABC=12bcsinA≤12×4×√32=√3，所以ABC面积的最大值为√3．。
高一数学第一次月考试卷.及答案
大同四中联盟学校2020—2021学年第一学期10月月考试题高一年级数学学科命题人：本试卷共4 页 满分：150分 考试用时：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 .选择题（本题包括12小题、每小题5分、共60分） 1．下列各选项中,不能组成集合的是( )。
A.所有的整数 B.所有大于0的数C.所有的偶数D.高一(1)班所有长得帅的同学2.已知集合M ={x |—3< x ≤ 5},N ={x |x <—5或x > 5},则M ∪N =( )。
A.{x |x <—5或x >—3} B.{x |—5<x < 5} C.{x |—3< x < 5} D.{x |x <—3或x > 5}3.已知3 ∈ {1,a , a -2 },则实数a 的值为( )。
A.3 B.5 C.3或5 D.无解4.“1<x <2”是“x <2”成立的( )。
A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.集合P ={x |x ≥ —1},集合Q ={x |x ≥0 },则P 与Q 的关系是( )。
A.P =QB.P QC.P QD.P ∩Q =⌀6.已知集合M ={x |—3< x ≤ 5 },N ={x | x > 3 },则M N =( )。
A.{x |x >—3}B.{x |—3< x ≤ 5}C.{x |3 < x ≤ 5 }D.{x |x ≤ 5}7.设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x ≥},则∁U A =( )。
A.⌀B.{2}C.{1,4,6}D.{2,3,5}8.设全集U =A ∪B ,定义:A —B ={x |x ∈A 且x ∉B },集合A ,B 分别用圆表示,则图1-3-2-3中阴影部分表示A -B 的是( )。
图1-3-2-39.已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题中必成立的是( )。
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高三(下)月考数学试卷(六)
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高三（下）月考数学试卷（六）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|x2≤4}，N＝{x|2x＜4}，则M∩N＝（）A．{x|x≤﹣2}B．{x|﹣2≤x＜2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）已知复数z满足z（2+i）＝3﹣4i（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）a是的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A．f（x0）的符号不确定B．f（x0）＜0C．f（x0）＝0D．f（x0）＞05．（5分）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）某个周期的图象如图所示，A，B分别是f（x）图象的最高点与最低点，C是f（x）图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（）A．B．C．D．8．（5分）概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A．甲48枚，乙48枚B．甲64枚，乙32枚C．甲72枚，乙24枚D．甲80枚，乙16枚二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥β，m∥β，则m⊥αD．若α∥β，m⊥α，则m⊥β10．（5分）若a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么（）A．ab+bc＝2ac B．ab+bc＝ac C．＝+D．＝﹣11．（5分）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的（）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为12．（5分）关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）的展开式中x3的系数为．14．（5分）已知，则sin2θ＝．15．（5分）如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设∠AOB＝θ．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为．16．（5分）已知两条抛物线C：y2＝2x，E：y2＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO面积的3倍，则p＝四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等比数列{a n}的公比为q（q＞1），前n项和为S n，若，且S3+2＝a4．（1）求a n；（2）设数列的前n项和为T n，求证：．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设b sin A＝a（2+cos B）．（1）求B；（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面P AC⊥底面ABCD，P A＝PC＝2．（1）求证：PB＝PD；（2）点M，N分别在棱P A，PC，PM＝AM，PN＝CN，求直线PB与平面DMN所成角的正弦值．20．已知椭圆的焦距为2，且过点（，1）．（1）求C的方程；（2）若直线l与C有且只有一个公共点，1与圆x2+y2＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2．试判断k1•k2是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．21．某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图触点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于1感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计k的值：，其中x i，y i分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，42，y与x的相关系数r＝0.82．（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r0．试判断r0与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）；（3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布N（μ，σ2）．以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数作为μ的估计值，用样本方差s2作为σ2的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望．附：①回归方程②若ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544．③＝11.222．已知函数f（x）＝lnx﹣x+a．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）存在两个零点x1，x2（x2＜x2），证明：2lnx1+lnx2＜0．。
湖南省邵阳市高一数学第一次月考
湖南省邵阳市高一数学第一次月考姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共60分)1. （5分）(2018·自贡模拟) 已知，，则（）A .B . 或C .D .2. （5分）(2018高一上·武汉月考) 在映射中，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A .B .C .D .3. （5分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 已知函数若对任意的，都有，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .4. （5分） (2016高一上·西湖期中) 已知f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（）A . {x|﹣3＜x＜0或x＞3}B . {x|x＜﹣3或0＜x＜3}C . {x|x＜﹣3或x＞3}D . {x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}5. （5分）下列函数在区间[0，]上是减函数的是（）A . y=sinxB . y=cosxC . y=tanxD . y=26. （5分）(2019·乌鲁木齐模拟) 图象关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是（）A .B .C .D .7. （5分）已知f（x）=lg（x+）•sinx为偶函数，则函数g（x）=bx﹣a（b＞0且b≠1）的图象经过定点（）A . （0，0）B . （0，1）C . （1，0）D . （1，1）8. （5分） (2018高一上·大连期末) 对于每个实数x，设取，两个函数中的较小值．若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x1、x2、x3 ，则x1+x2+x3的取值范围是（）A . （2，）B . （2，）C . （4，）D . （0，）9. （5分）函数y=sin（x﹣）cos（x+ ）+ 是（）A . 最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为π的偶函数C . 最小正周期为的奇函数D . 最小正周期为的偶函数10. （5分）对于函数f（x），使f（x）≤n成立的所有常数n中，我们把n的最小值G叫做函数f（x）的上确界．则函数f（x）= 的上确界是（）A . 0B .C . 1D . 211. （5分） (2016高一上·宁波期中) 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=m，则f（5）的值为（）A . 2﹣mB . 4C . 2mD . ﹣m+412. （5分）已知集合M={(x，y)|y=f(x)}，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“集合”. 给出下列4个集合：①M={(x，y)|y=} ② M={(x，y)|y=ex－2}③M={(x，y)|y=cosx} ④ M={(x，y)|y=lnx}其中所有“集合”的序号是（）A . ②③B . ③④C . ①②④D . ①③④二、填空题 (共4题；共20分)13. （5分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知函数f（x）的值域为R，则a的取值范围为________．14. （5分） (2017高一上·泰州月考) 若函数是偶函数，则 ________．15. （5分） (2017高一上·江苏月考) 函数 ,的值域为________．16. （5分） (2016高一上·嘉兴期中) 函数f（x）=x2﹣2ax+2在（﹣∞，6）内递减，则a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}（Ⅰ）若A∩B=∅，A∪B=R，求实数a的值；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18. （10分）已知二次函数f（x）=x2+2ax+2a+1，若对任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范围．19. （10分）已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R上的单调性；（3）求f（x）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．20. （12分）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＞0时，f（x）＜0．（1）求证：f（x）在R上是奇函数；（2）求证：f（x）在R上是减函数；（3）若f（1）=﹣，求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．21. （14分） (2015高二上·孟津期末) 已知a＞0，a≠1，设p：函数y=loga（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．22. （14分） (2016高一上·平罗期中) 已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．参考答案一、单选题 (共12题；共60分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共20分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
2020-2021学年高一下学期数学期末复习卷(一)统计与概率(word版,含答案)
2020-2021学年度高一数学期末复习卷（一）——统计与概率一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ①原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ①()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由①易知，C 不正确．①原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10①8①7，从中随机抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A ．280 B ．320C ．400D ．1000【答案】C 【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果 【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，青年、中年、老年职员的人数之比为1087∶∶，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：10200801087⨯=++每人被抽取的概率为0.2，∴该单位青年职员共有804000.2= 故选C 【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题． 3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A ．至多有1次中靶 B ．2次都中靶 C ．2次都不中靶D ．只有1次中靶【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件． 【详解】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件.再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”.故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”， 故选：C .4．掷一枚骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥C ．互斥且相互独立D ．既不相互独立也不互斥【答案】B 【详解】事件{2,4,6}A =，事件{3,6}B =，事件{6}AB =，基本事件空间{1,2,3,4,5,6}Ω=，所以()3162P A ==，()2163P B ==，()111623P AB ==⨯，即()()()P AB P A P B =，因此，事件A 与B 相互独立．当“出现6点”时，事件A ，B 同时发生，所以A ，B 不是互斥事件．故选B ．5．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为 A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C 【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,列出样本空间，有9个样本点，“齐王的马获胜”包含的样本点有6个，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率. 【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ， 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,Ω={()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c }，9)(=Ωn ，因为每个样本点等可能，所以这是一个古典概型。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题含解析
2024年上学期3月阶段考试高一年级数学试卷（答案在最后）2024年3月时量：120分钟满分150命题：高一数学备课组审定：高一数学备课组一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）1.已知向量(1,2)a =- ，(,1)b λ=.若a b + 与a 平行，则λ=（）A.5-B.52C.7D.12-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算和向量共线的充要条件得到方程，解出即可.【详解】(1,2)(,1)(1,3)a b λλ+=-+=-，由a b + 与a平行，可得132(1)0λ-⨯-⨯-=，解得12λ=-.故选：D.2.在ABC 中，30,2B b ==，c =A 的大小为（）A.45B.135 或45C.15D.105 或15【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理求得角C ，根据三角形内角和，即可求得答案.【详解】由题意知ABC 中，30,2B b == ，c =故sin sin b c B C =，即sin sin30sin 22c B C b === ，由于c b >，故30C B >= ，则45C = 或135 ，故A 的大小为1803045105--= 或1803013515--= ，故选：D3.已知向量,a b ，且2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则下列一定共线的三点是（）A.,,A B CB.,,B C DC.,,A B DD.,,A C D【答案】C 【解析】【分析】利用向量的共线来证明三点共线的．【详解】2,52,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=+，则不存在任何R λ∈，使得AB BC λ=，所以,,A B C 不共线，A 选项错误；则不存在任何R μ∈，使得BC CD μ=，所以,,B C D 不共线，B 选项错误；由向量的加法原理知242BD BC CD a b AB =+=+= ．则有//BD AB ，又BD 与AB有公共点B ，所以,,A B D 三点共线，C 选项正确；44AB BC a b AC ==-++ ，则不存在任何R t ∈，使得AC tCD = ，所以,,A C D 不共线，D 选项错误．故选：C ．4.设集合{}(){}221,ln 1M y x y N x y x ==-==-，则M N ⋂=（）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】对集合,M N 化简，然后利用集合的交集运算求M N ⋂.【详解】由题意得{}{}21212102M y x y y y y y ⎧⎫==-=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，(){}{}{}ln 1101N x y x x x x x ==-=->=<，所以112M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：C.5.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2,=AO AB AC OA AB =+ ，则向量AC 在向量BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC uu u r C.14BC-D.34BC-【答案】B 【解析】【分析】根据条件作图可得ABO 为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为2AO AB AC =+，所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又||||AB AO =，所以ABO 为等边三角形，则30ACB ∠=︒，故||||cos30AC BC =︒，所以向量AC 在向量BC上的投影向量为22cos30cos 3034AC BC BC AC BC BCBCBC BC BCBC BC BC BCBC︒︒⋅⋅=⋅=⋅=．故选：B ．6.已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =(其中12)x x ≠，则12116x x +的最小值（）A.34B.32C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得1216x x =，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为()()()()2222222log log log 1log 3log 4log 328x x f x x x x x =⋅=--=-+，所以由()()12f x f x =可得()()2221212222log 4log 3log 4log 3x x x x -+=-+，化简可得2122log log 4x x +=，即1216x x =，因为1121122111611x x x x x x x x +=+=+，120,0x x >>，所以112111612x x x x +=+≥=，当且仅当111x x =，即121,16x x ==时，等号成立.故选：C7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（）A.()()()()23ff f f > B.()()()()23fg f g <C.()()()()23g g g g > D.()()()()23g f g f <【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负，即可求解.【详解】因为()f x ，()g x 在[)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，对于A 中，由()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，所以A 不正确；对于B 中，因为()g x 是定义在R 上的奇函数，可得()00g =，又因为()g x 在[)0,∞+上单调递减，可得()()023g g >>，因为()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0)-∞上为增函数，所以()()()()23f g f g >，所以B 不正确；对于C 中，由()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()23g g g g <，所以C 不正确；对于D 中，由()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()23g f g f <，所以D 正确.故选：D.8.在ABC 中，()2221sin ,224B A a c b -=+=，则sin C =（）A.23B.32C.12D.1【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理的边角变换得到2cos 2cos a B b A c -=-，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解.【详解】因为22222a c b +=，所以22222a b c -=-，因为2222222cos ,2cos a c b ac B b c a bc A +-=+-=，两式相减，得222222cos 2cos ,2cos 2cos a b ac B bc A c a B b A c -=-=-∴-=-，由正弦定理，得2sin cos 2sin cos sin A B B A C -=-，即()2sin sin B A C --=-，因为()1sin 4B A -=，所以1sin 2C =.故选：C.二､多选题（本题共3个小题，每小题6分．共18分．在每个小题给出的选项中，有多个选项符合题目的要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，a 的值可以为（）A.134B.72C.174D.5【答案】CD 【解析】【分析】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立转换为2230x x a ++->恒成立，然后应用一元二次函数的性质解题即可.【详解】x ∀∈R ，223x x a ++>恒成立，即2230x x a ++->恒成立，所以Δ0<，即()4430a --<，解得4a >，故选：CD ．10.已知函数π()cos()(0,)20,||f x A x A ωωϕϕ>>=+<的部分图象如图所示，则（）A.0.5A =B.2ω=C.π3ϕ=-D.()204f =【答案】AB 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由余弦函数的图象的对称中心坐标求出ϕ的值，可得函数的解析式，【详解】由图可知πππ0.5,2362T A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，则2ππ||T ω==，因为0ω>，所以2ω=．由π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得2ππ2π()32k k ϕ+=+∈Z ，得π2π()6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-，所以ππ3()0.5cos 2,(0)0.5cos 664f x x f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：AB11.如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，23CD =，E 为线段CD 的中点，F 为线段AB 上一动点（包括端点），EF CD BA λμ=+，则下列说法正确的是（）A.4AB =B.若F 为线段AB 的中点，则1λμ+=C.32λ=-D.FC FD ⋅的最小值为6【答案】AC 【解析】【分析】对于选项A ，过B 作AD 的垂直，再根据条件即可求出AB ，从而判断出选项A 的正误；对于选项BCD ，通过建立平面直角从标系，求出各点坐标，逐一对BCD 分析判断即可得出结果.【详解】选项A ，过B 作AD 的垂直，交AD 于G ，所以//BG CD ，又//AD BC ，AD CD ⊥，4=AD ，2BC =，CD =所以4AB =，故选项A 正确；建立如图所示平面直角坐标系，则(4,0)A，(2,B，C，E ，选项B ，因为F 为线段AB的中点，则F ，(3,0)EF =，(0,CD =-(2,BA =-，所以(2,)CD BA λμμ=-+- ，由EF CD BA λμ=+，得到0--=，所以0λμ+=，故选项B 错误；设(01)AF t AB t =≤≤，则(42,)F t -，(42,EF t =--，选项C ，由EF CD BA λμ=+，得到422t μ-=⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得32λ=-，故选项C 正确；选项D，(24,)FC t =-，(24,)FD t =--，所以22(24))162816FC FD t t t ⋅=--=-+，令2162816y t t +=-，对称轴为78t =，又[]0,1t ∈，当78t =时，所以FC FD ⋅ 的最小值为154，故选项D错误；故选：AC.三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）12.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin ,2A B a b c =+=，则cos C =_______________．【答案】1116##0.6875【解析】【分析】由已知结合正弦定理角化边可得2a b =，从而可得三边之间的关系，利用余弦定理化简求值，即得答案.【详解】因为sin 2sin A B =，所以2a b =，又2a b c +=，所以32b c =，则222222294114cos 2416b b b a b c C ab b +-+-===．故答案为：111613.在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ （其中1e ，2e分别为x ，y 轴方向相同的单位向量），则P 的坐标为(),x y ，若P 关于斜坐标系xOy 的坐标为()2,1-，则OP =______【解析】【分析】由斜坐标定义用1e ，2e 表示OP，然后平方转化为数量积求得模．【详解】由题意122OP e e =-，122OP e e =-===14.定义在R 上的两个函数()f x 和()g x ，已知()()13f x g x +-=，()()33g x f x +-=．若()y g x =图象关于点()1,0对称，则()0f =___，()()()()1231000g g g g ++++= ___________．【答案】①.3②.0【解析】【分析】①根据题意，利用方程法得到()()2f x f x =--，通过赋值得到()()02f f =-，根据()y g x =的图象关于点()1,0对称得到()()110g x g x -++=，即可得到()()13f x g x -+=，再利用方程法得到()()26f x f x +-=，令0x =，得到()()026f f +-=，然后求()0f 即可；②利用方程法得到()()2g x g x =--，整理可得()()4g x g x =-，得到4是()g x 的一个周期，然后根据()()2g x g x =--得到()()()()12340g g g g +++=，最后再利用周期求()()()()1231000g g g g ++++ 即可.【详解】由()()33g x f x +-=可得()()123g x f x -+--=，又()()13f x g x +-=，所以()()2f x f x =--，令0x =，所以()()02f f =-；因为()y g x =的图象关于点()1,0对称，所以()()110g x g x -++=，又()()13f x g x +-=，所以()()13f x g x -+=，因为()()33g x f x +-=，所以()()123g x f x ++-=，()()26f x f x +-=，令0x =，所以()()026f f +-=，则()03f =；因为()()13f x g x -+=，所以()()323f x g x ---=，又()()33g x f x +-=，所以()()2g x g x =--，()()24g x g x -=--，则()()4g x g x =-，4是()g x 的一个周期，因为()()31g g =-，()()42g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，因为()g x 周期是4，所以()()()()12310000g g g g ++++= .故答案为：3，0.四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤．）15.已知平面向量,a b满足=4,8,a b a = 与b 的夹角为2π3．（1）求a b -；（2）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-．【答案】（1）（2）32k -=【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；（2）根据条件得()()0a kb ka b +⋅-=，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.【小问1详解】因为=48a b a = ，，与b 的夹角为2π3，所以2π1cos481632a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以a b -===【小问2详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()2221a kb ka b ka k a b kb+⋅-=+-⋅- ()216161640k k k =---=，化为2310k k +-=，解得32k -±=.16.已知函数()25sin cos 2f x x x x =-+；（1）确定函数()f x 的单调增区间；（2）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的集合．【答案】16.()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 17.5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换将原函数化为正弦型函数后结合正弦型函数的单调性计算即可得；（2）借助正弦型函数的性质计算即可得.【小问1详解】55()sin 2(1cos 2)sin 2cos 222222f x x x x x=-++=-1π5sin 225sin 2223x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()ππππ5π2π22πππ2321212k x k k k x k k -≤-≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z ，∴()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】当ππ22π32x k -=+，即5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时，()f x 有最大值5．17.如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.（1）若BC =AD =，求ACD 的面积；（2）若2π3D =，求BC AD -的最大值.【答案】（1）4；（2）833.【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中，根据正弦定理求得,AC CAB ∠，再在三角形ADC 中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DAC ∠θ=，在三角形,ADC ABC 中分别用正弦定理表示,BC AD ，从而建立BC AD -关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【小问1详解】因为π6B =，ABC 的外接圆半径为4，所以8sin AC B=，解得4AC =.在ABC 中，BC =428sin sin BC CAB CAB ==∠∠，解得2sin 2CAB ∠=.又π0,2CAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4CAB ∠=；在ACD 中，4AC =，ππ24DAC CAB ∠=-∠=，AD =，所以14422ACDS∆=⨯⨯=.【小问2详解】设DAC∠θ=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又2π3D=，所以π3ACDθ∠=-.因为π2DAB∠=，所以π2CABθ∠=-.在DAC△中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC ADD ACD=∠，πsin32ADθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π1sin sin33322ADθθθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos3θθ=-.在ABC中，4AC=，由正弦定理得sin sinAC BCB CAB=∠，即41πsin22BCθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得π8sin8cos2BCθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以4cos3BC ADθθ⎛⎫-=+⎪⎪⎝⎭πsin33θ⎛⎫=+⎪⎝⎭.又π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin3θ⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1，所以BC AD-的最大值为3.18.对于函数1()f x，2()f x，()h x，如果存在实数a，b，使得12()()()h x a f x b f x=⋅+⋅，那么称函数()h x 为1()f x与2()f x的生成函数．（1）已知1()sinf x x=，2()cosf x x=，π()sin6h x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，是否存在实数a，b，使得()h x为1()f x与2()f x 的生成函数？若不存在，试说明理由；（2）当1a b ==，()e x h x =时，是否存在奇函数1()f x ，偶函数2()f x ，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数？若存在，请求出1()f x 与2()f x 的解析式，若不存在，请说明理由；（3）设函数()21()ln 65f x x x =++，2()ln(2)f x x m =-，1a =，1b =-，生成函数()h x ，若函数()h x 有唯一的零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）102[,)33--【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦化简()h x 后可得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数；（2）根据奇函数和偶函数的性质可求1()f x 与2()f x 的解析式；（3）根据生成函数的定义可求()h x ，利用对数的运算性质可求得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩有且只有一个实数解，结合二次函数的图象可求参数的取值范围.【小问1详解】因为πππ1()sin sin cos cos sin sin cos 66622h x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭()()12122f x f x =-，取1,22a b ==-，故()()()12h x af x bf x =+，故存在实数1,22a b ==-，使得()h x 为1()f x 与2()f x 的生成函数.【小问2详解】若存在，则()()12e x f x f x +=，故()()12e xf x f x -+-=，所以()()12e xf x f x -+=，故()()12e e e e ,22x x x xf x f x ---+==.【小问3详解】依题意可得，2()ln(65)ln(23)h x x x x a =++--，令()0h x =，可得226506523x x x x x a⎧++>⎨++=-⎩，即2453x x a ++=-（5x <-或1x >-），令2()45g x x x =++（5x <-或1x >-），结合图象可知，当2310a <-≤时，()y g x =的图象与直线3y a =-只有一个交点，所以，实数a 的取值范围为102[,33--.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）33-（3）223+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得3xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
2020-2021学年湖南省邵阳市邵东一中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖南省邵阳市邵东一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（）A．∅B．{3}C．{3，4，5，6}D．{4，5，6}2．若a∈R，且复数a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．已知向量＝（9，6），＝（3，x），若∥，则•（﹣）＝（）A．﹣26B．﹣25C．25D．264．已知函数f（x）＝，则f（2021）＝（）A．1B．2C．log36D．35．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α6．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，15），其中x i 和y i分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得＝60，＝1200，则该地区这种野生动物数量的估计值（）（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）A．60B．1200C．12000D．60007．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E为BC中点，点F为A1B1中点，若平面α过点F且与平面AEC1平行，则平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（）A．B．2C．2D．38．函数f的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）的图象关于点成中心对称C．函数f（x）在单调递增D．将函数f（x）的图象向左平移后得到的关于y轴对称二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。
2021年湖南省岳阳市市第十五中学高一数学理月考试题含解析
2021年湖南省岳阳市市第十五中学高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：A试题分析：不等式对一切实数均成立，等价于对一切实数均成立，所以，解得，故选A.考点：函数的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解及一元二次函数的图象与性质的综合应用，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、转化为对一切实数均成立，进行求解，其中正确运用一元二次函数的图形与性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.2. 已知平面向量，，且，则( )A．(﹣5，﹣10) B．(﹣4，﹣8) C．(﹣3，﹣6) D．(﹣2，﹣4)参考答案：B略3. 定义，，若有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：零点与方程试题解析：由题得：因为所以由函数图像得：若有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是：故答案为：D4. 的值是A． B．C． D．参考答案：C5. 已知等比数列{a n}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为S n，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若S k＜5S k﹣4，则正整数k的最大值是（）A．4 B．5 C．14 D．15参考答案：A【分析】运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值．【解答】解：若a1，a4，a3﹣a1成等差数列，可得2a4=a1+a3﹣a1=a3，即有公比q==，由S k＜5S k﹣4，可得＜5?，由a1＜0，化简可得1﹣＞5﹣，即为2k＜，可得正整数k的最大值为k为4．故选：A．6. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的，且样本容量为200，则中间一组的频数为A. 0.2B. 0.25C. 40D. 50参考答案：D【分析】直方图中，所有小长方形面积之和为1，每个小长方形的面积就是相应的频率，由此可列方程求解. 【详解】设中间一组的频率为，则其他8组的频率为，由题意知，得，所以中间一组频数为.选D.【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题型.7. 从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A． A与C互斥 B． B与C互斥C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥参考答案：B考点：互斥事件与对立事件．专题：阅读型．分析：事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，即不全是次品，把事件C同另外的两个事件进行比较，看清两个事件能否同时发生，得到结果．解答：解：由题意知事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件C中不包含B事件，事件C和事件B不能同时发生，∴B与C互斥，故选B．点评：本题考查互斥事件和对立事件，是一个概念辨析问题，注意这种问题一般需要写出事件所包含的所有的结果，把几个事件进行比较，得到结论．8. 已知点P（）在第四象限，则角在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：C9. （5分）已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直平行六面体}，则（）A．A?B?C?DB．C?A?B?DC．A?C?B?DD．它们之间不都存在包含关系参考答案：C考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据这六种几何体的特征，可以知道包含元素最多的是直平行六面体，包含元素最少的是正方体，其次是正四棱柱，得到结果．解答：在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最小的是正方体，其次是正四棱柱，在四个选项中，只有C符合这四个之间的关系，其他的不用再分析，故选C．点评：本题考查四棱柱的结构特征，考查集合之间的包含关系的判断及应用，是一个比较全面的题目．10. 函数f ( x ) = log 2 ( 1 + x ) + a log 2 ( 1 –x )是奇函数，参数a∈R，则f – 1 ( x )的值域是（）（A）( –∞，– 1 ) （B）( –∞，1 ) （C）( – 1，1 ) （D）[ – 1，1 ]参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （6分）已知函数f（x）=+a（a∈R），若a=1，则f（1）=；若f （x ）为奇函数，则a= ．参考答案：；0.考点：函数的零点；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把a=1代入函数f（x）的解析式，再求出f（1）的值；（2）利用奇函数的性质：f（﹣x）=﹣f（x），列出方程化简后，利用分母不为零和恒成立求出a的值．解答：（1）当a=1时，函数f（x）=+1，则f（1）=+1=；（2）因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即+a=﹣（+a），则﹣﹣=2a，化简得2a（x﹣a）（x+a）=2a恒成立，因为x≠±a，所以（x﹣a）（x+a）≠0，即a=0，故答案为：；0．点评：本题考查函数的函数值，函数奇偶性的应用，以及恒成立问题，注意函数的定义域，考查化简能力．12. 已知a=log0.53，b=20.5，c=0.50.3，则a，b，c的大小关系是．参考答案：a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log0.53＜0，b=20.5＞1，c=0.50.3（0，1）．∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．13. 数列{a n}满足，则数列{a n}的前200项和为___参考答案：20200【分析】利用数列的递推公式，写出前几项，即可找出规律。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题含解析
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32．下列说法正确的是（ ） A ．任意三点确定一个平面B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 3．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =，则AB BM ⋅=（ ）A B ．32C ．32-D ．124．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A ．2+B ．8C ．4D ．5．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=，若O B O C ⊥u u u r u u u r 且OC mOA nOB =+，则mn（ ）. A ．5B ．4C ．2D ．16．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中A ．NC 与DE 相交B ．CM 与ED 平行C ．AF 与CN 平行D ．AF 与CM 异面7．如图所示，CD 是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB (高为15)m )与雕像之间的地面上的点M 处(B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 及雕像顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30︒，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A ．20mB ．30mC ．D ．8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误的是（ ）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马” B ．四面体11AC CB 为“鳖臑” C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥二、多选题9．对任意平面向量a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =B ．若a b =，b c =，则a c ＝C ．a b a b -<+D ．a b a b ⋅≤10．已知a ，b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒ B ．,////a a b b αβα=⇒，且b β//C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒11．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（ ）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos AB > B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、单选题12．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ） A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =四、填空题13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是__14．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有_______条．15．在ABC 中，a ､b ､c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，ABC S =△且3b =，则a c +的值等于___________.五、双空题16．如图，在ABC 中，8,12AB BC AC =+= ，分别取三边的中点,,D E F ，将,,BDE ADF CEF 分别沿三条中位线折起，使得,,A B C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为____________，三棱锥P DEF -的体积为____________．六、解答题17．已知复数()1z mi m R =+∈，312z i-+是实数． （1）求复数z ； （2）若复数0112z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，||1OC =，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．（1）若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值； （2）若[0,]2πθ∈，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n θθθ==--，求m n ⋅的最小值及对应的θ值．19．在①sin sin sin sinb A a B A B +=，②2sin cos cos cos b C A C C ，③()sin sin sin a b A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知锐角ABC 中，a ､b ､c 分别为内角A ，B ､C 的对边，2c =，___________. （1）求角C ；（2）求a b +的取值范围.(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，1AB =，设M 、N 分别为PD 、AD 的中点.（1）求证：平面//CMN 平面PAB ； （2）求三棱锥A CMN -的侧面积.21．党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A 村､B 村分别位于某河流的南､北两岸，,5AC BC BC ⊥=公里，30BAC ∠=︒，现需将A 村的农产品运往B 村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a 元/公里，水路运输价格为2a 元/公里.（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A 村通过水路运输到B 村；第二种，先从A 村通过公路运输到与B 村相对的南岸近岸处C ，再通过水路运输到B 村.试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC 上选择一个中转站D ，先将A村的农产品通过公路运往中转站D ，再将农产品通过水路运往B 村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由. 22．已知ABC 的外心为O ，内心为Ⅰ.（1）如图1，若|||1,0AB AC AB AC ==⋅=∣. ①试用,AB AC 表示AO ； ②求()BA BC OI +⋅的值.（2）如图2，若存在实数λ，使OI BC λ=，试求cos cos B C +的值.参考答案：1．B【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.【详解】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i ---=.故选：B. 2．C【分析】由平面的性质及确定平面的条件逐项判断即可得解. 【详解】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错； B 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线， 如没有公共点，则两平面平行，B 错；C 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行， 所以梯形一定是平面图形，C 对；D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D 错. 故选：C. 3．C【分析】由向量的数量积计算． 【详解】1123BM MC BC ==，1BM = AB BM ⋅=13cos(18060)3122AB BM ⎛⎫⋅︒-︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ． 4．B【分析】画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.【详解】直观图中，''''''1,O A C B O B ===中1,OA OB ==3OC AB =，所以原平面图形的周长为32128⨯+⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查斜二测画法的直观图和原图的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 5．C【分析】由a b ⊥，0a b ⋅=，将OC 由mOA nOB +表示，利用0OB OC ⋅=u u u r u u u r，找出m 和n 的关系即可.【详解】由OB OC ⊥u u u r u u u r和OC mOA nOB =+， ()2OB OC OB mOA nOB mOB OA nOB ⋅=⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r25cos 1cos36m OB OA AOB n OB m n π=∠+=⨯+⨯ 3302m n =-+=，所以332m n =，2m n=故选：C【点睛】本题主要考查向量垂直的应用和向量的数量积公式，属于基础题. 6．B【详解】根据题意得到立体图如图所示：A NC 与DE 是异面直线，故不相交；BC M 与ED 平行，由立体图知是正确的； C AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；D AF 与CM 是相交的． 故答案为B ． 7．D【分析】由锐角三角函数及正弦定理逐步运算即可得解. 【详解】在Rt ABM 中，sin15ABAM =︒, 在ACM △中，由正弦定理得sin sin AM CMACM CAM =∠∠，sin sin 45sin sin30AM CAM AM CM ACM ∠︒==∠︒；在Rt CDM 中，sin 45sin60sin60sin15sin30AB CD CM ︒︒︒︒︒===故选：D. 8．C【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC , 在选项A 中，因为1AA BC ⊥，AC BC ⊥，且1AA AC A =，则BC ⊥平面11AAC C ，且11AAC C 为矩形，所以四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确； 在选项B 中，由11AC BC ⊥，111AC C C ⊥且1C CBC C =，所以11AC ⊥平面11BB C C ，所以111AC BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形， 由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC ,1CC B 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，所以四面体11AC CB 为“鳖臑”，故B 正确; 在选项C 中，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤， 当且仅当AC BC =时取等号，则1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，所以C 不正确；在选项D 中，由BC ⊥平面11AAC C ，则1,BC AF AF AC ⊥⊥且1ACBC C =， 则AF ⊥平面1A BC ，所以1,AF A B ⊥又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，则1A B EF ⊥，所以D 正确. 故选：C.9．BD【分析】利用反例判断A 的正误；向量相等关系判断B 的正误；向量的模的运算法则判断C 的正误；利用向量的数量积的性质判断D 的正误.【详解】若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =，反例0b =，则a 与c 具有任意性，所以A 不正确；若a b =，b c =，则a c ＝，向量相等的充要条件，所以B 正确；a b a b -<+，如果0b =，则不等式不成立，所以C 不正确； ()|cos ,|a b a b a b a b ⋅=≤v v v vv v v v ，所以D 正确.故选：BD【点睛】本题考查向量数量积概念辨析，属于基础题. 10．ABC【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为a αβ⋂=，b α⊂，则,a b 平行或相交，故错误； B. 因为a αβ⋂=，//a b ，则//b α或 b α⊂，//b β或 b β⊂，故错误； C. 因为//a β，//b β，a α⊂，b α⊂，则,αβ平行或相交，故错误； D. 因为//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，由面面平行的性质定理得//a b ，故正确；故选：ABC 11．ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，可判定B 正确；由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以B 正确； 对于C 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得sin 2sin 2A B =，故22A B =或22A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+， 则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD . 12．B【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论. 【详解】如下图所示：由2BP PC =，可得()2AP AB AC AP -=-， 1233AP AB AC ∴=+， 若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>， 则1AB AM m =，1AC AN n =， 1233AP AM AN m n∴=+， M 、P 、N 三点共线，12133m n ∴+=，123m n∴+=， 故A 正确； 所以12m =，2n =时，也满足123m n +=，则D 选项正确；()122255223333333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭Q ，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立；()1221113333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当n =时，即m n =B 选项错误. 故选：B 13．4∶3或43【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意得2π23r l π=，解得3l r =． 所以2S πr πr 4S πr 3l l +==表侧． 答案：43点睛：（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理． 14．1【分析】在正方体的上、下面，左、右面，前、后面逐一去找出能与1AD 垂直的面对角线，得出结论.【详解】1AD 与面对角线11AC ，11,,BD AB DB 异面，所成的角是60，由于11//AD BC ，又11BC CB ⊥，所以11AD CB ⊥，而1AD 与正方体其它异面的面对角线都不垂直， 所以与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有1条， 故填：1.【点睛】本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题.15．【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得,3B π=再由三角形面积公式可得3ac =，最后结合余弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==. 因为A 为三角形内角，sin 0,(0,)A B π≠∈，所以1cos ,2B =,3B π=又3ABCSb ==11sin 22ac B a c ==⨯⨯=，解得3ac =，由余弦定理得22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=故答案为：16．83【分析】将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，进而可得外接圆的半径和体积. 【详解】由题意得三棱锥P DEF -的对棱分别相等，设2BC a =，则122AC a =-， 将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，则()22222222,6,16x y a y z a x z +=+=-+=， 所以2222626x y z a a ++=-+，则外接球半径r ==当3a =时，半径最小，此时三棱锥P DEF -的外接球的体积最小，此时r =解得1x z y ===，所以三棱锥118141323P DEF V -=-⨯⨯⨯=.，83. 【点睛】方法点睛：将三棱锥P DEF -补充成长方体，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.本题考查了空间想象能力和运算求解能力. 17．（1）14z i =-；（2）4,20b c ==. 【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得32241255z m m i i --+=++，结合312z i-+是实数，列出方程，即可求解；（2）根据024z i =--是方程的根，得到(164)2120b i b c --+-=，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为()1z mi m R =+∈， 可得32(2)(12)2241212(12)(12)55z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-， 又由312z i -+是实数，可得405m +=，解得4m =-，所以14z i =-． （2）因为011242z m z i =+-=--是方程20(,)x bx c b c R ++=∈的根， 所以2(42)(42)0i b i c --+--+=，即(164)2120b i b c --+-=，可得16402120b b c -=⎧⎨-+-=⎩，解得4,20b c ==.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．（1；（2）m n ⋅的最小值为18πθ=.【分析】（1）设出D 点坐标，求得||OC OD +uuu r uuu r的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得m n ⋅的最小值及对应的θ值.【详解】（1）设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知(C ，所以22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭，所以221||2OC OD t ⎛+=+ ⎝⎭，所以当t =时，||OC OD +uuu r uuu r . （2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C m BC θθθθ==+，()1cos ,sin 2cos n θθθ=--， 则m n ⋅＝=1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝124πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以52444πππθ≤+≤，所以当242ππθ+=，即8πθ=时，sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，m n ⋅取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18πθ=.19．条件选择见解析；（1）3C π=；（2）.【分析】（1）选条件①：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件②：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件③：由条件结合正弦定理、余弦定理运算即可得解；（2）确定B的范围，由正弦定理转化条件为2sin sin 3b a B B π⎤⎛⎫+=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）选条件①：由sin sin sin sin b A a B A B +=及正弦定理得sin sin sin sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin sin sin A B C A B =，所以sin C =因为C 为锐角，所以3C π=；选条件②：由2sin cos cos cos b C A C C =及正弦定理得sin sin (sin cos sin cos )B C C C A A C =+，即sin sin sin()B C C A C +，∴sin sin sin B C C B =. ∵02B π<<，∴sin 0B >，可得tan C 02C π<<，∴3C π=；选条件③：由()sin sin sin a b A b B c C -+=及正弦定理得22()a b a b c -+=， 即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，∵02C π<<，∴3C π=.（2）∵ABC 是锐角三角形，∴0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b a c B A C ====，∴21sin sin sin sin 32b a B B B B B π⎫⎤⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin 2B B ⎫+=⎪⎪⎝⎭4sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵62B ππ<<，∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴b a +∈.20．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明//MN 平面PAB ，//CN 平面PAB ；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥A CMN -的三个侧面的面积.【详解】（1）∵M 、N 分别为PD 、AD 的中点，∴//MN PA ， 又MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ， 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠=o ，CN AN =，∴60ACN ∠=， 又60BAC ∠=，∴//CN AB ，∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴//CN 平面PAB ， 又CN MN N ⋂=，∴平面//CMN 平面PAB ，（2）∵PA ⊥平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ，CN ⊂平面ABCD ， 由（1）可知//MN PA ，∴MN AN ⊥、MN CN ⊥，∵90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，2PA =，1AB =， ∴22AC AB ==，24AD AC ==，112MN PA ==， 由（1）可知122CN AN AD ===，在Rt CMN 中，AM CM ===∴11sin 602222ACNS AN CN =⋅⋅=⨯⨯ 又1121122AMNSAN MN =⋅=⨯⨯=，在ACM △中，AM CM =，∴AC 边上的高2h =， ∴1122222ACMSAC h =⋅=⨯⨯=，∴三棱锥A CMN -的侧面积3ACNAMNACMS S SS=++=【点睛】方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.21．（1）第二种方案比第一种方案更优；（2）当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的，理由见解析.【分析】（1）在直角三角形ABC 中求出AB ，AC 的长，从而可求出两种方案的费用，然后比较大小可得答案；（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则表示出BD ，DC ，AD，从而可表示则所需总费用为2cos 5sin W a θθ-⎫=⎪⎭，令2cos sin y θθ-=，然后利用斜率的几何意义求出y 的最小值即可【详解】（1）由于10sin30BCAB ==︒公里，cos30AC AB =︒=. 第一种运输方案所需费用为20a 元；第二种运输方案所需费用为10)a 元；可得2010)a a >， 故第二种方案比第一种方案更优.（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则5sin BD θ=公里，5tan DC θ=公里，5tan AD DC θ==公里，于是，所需总费用为5102cos 5tan sin sin W a a a θθθθ-⎛⎫⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎭， 令2cos sin y θθ-=，则2cos 2cos 10sin sin 0sin 2cos y θθθθθθ--==-=----，表示过单位上一段圆弧上的点(cos ,sin )M θθ[30,90]θ∈︒︒与定点(2,0)N 的直线的斜率k 的负倒数，由图可知当直线过点()cos30,sin30E ︒︒时，斜率最大，直线与圆弧相切时斜率最小，可得sin 300tan150cos302k ︒-︒≤≤︒-，得k ≤≤14k ≤-≤4y ≤≤所以当y =60,AD θ=︒=即当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的. 22．（1）①1122AO AB AC =+（2）cos cos 1B C +=. 【分析】（1）①由直角三角形外接圆的性质可得O 为BC 中点，结合平面向量的加法法则即可得解；②由外接圆及内切圆的性质可得,45,||1OI BA OI <>=︒=-，再由平面向量数量积运算法则即可得解；（2）由三角形内切圆、外接圆的性质可转化条件为cos2sin 2cos sinsin 22A AB C A=，结合三角恒等变换化简即可得解.【详解】（1）由已知得O 为BC 中点，且A ，I ，O 三点共线， ①1122AO AB AC =+； ②由于2,||2OI BC AO ⊥=，ABC内切圆半径r ==,45,||||21OI BA OI AO r <>=︒=-=-， 故()11cos45BA BC OI BA OI ⎛+⋅=⋅=⋅︒=⎝⎭（2）如图，设ABC 的外接圆半径､内切圆半径分别为R，r ， 记BC 中点为M ，ID BC ⊥于D ，由OI BC λ=知OM ID r ==，又2,,2BOC A BOM A BC BD DC BM ∠=∠==+=， 则,,tan tan tan tan 22ID r ID rBD DC B C IBD ICD ====∠∠tan tan BM OM BOM r A =∠=则cos2sin 22tan cos tan tan sinsin 2222A r r Ar A BC B C A+=⇒=， 即cos 4sin sin sin 222A B C A =. 则2sin 2sin sin sin 12222A B C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin sin cos 12222A B C B C +⎛⎫⇔+= ⎪⎝⎭2sin cos122A B C-⇔= 2cos cos 122B C B C +-⇔=22222cos cos sin sin 12222B C B C ⎛⎫⇔-= ⎪⎝⎭1cos 1cos 1cos 1cos 212222B C B C ++--⎛⎫⇔⋅-⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos 1B C +=.。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
2022年湖南省永州市潇湘学园高一数学文月考试题含解析
2021-2022学年湖南省永州市潇湘学园高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={﹣2，1，2}，则A∩B=（）A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{﹣2，0，1，2}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可．【解答】解：由集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={﹣2，1，2}，得A∩B={1，2}故选C．【点评】此题考查了两集合交集的求法，是一道基础题．2. 在△ABC中，，则a等于（）A. 5B. 4C. 3D. 10参考答案：A【分析】根据余弦定理求解.【详解】由余弦定理得：，因此，选A.【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 函数y =的值域是（）（A）[ –, ] （B）[ –, ] （C）[ –, ] （D）[ –, ]参考答案：B4. 若x＜，则等于( )A．3x﹣1 B．1﹣3x C．（1﹣3x）2 D．非以上答案参考答案：B【考点】方根与根式及根式的化简运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用根式的运算性质即可得出．【解答】解：∵x＜，∴1﹣3x＞0．∴==|1﹣3x|=1﹣3x．故选：B．【点评】本题考查了根式的运算性质，属于基础题．5. 已知函数的定义域为，它的反函数为，如果与互为反函数，且（为非零常数），则的值为A. B.0 C.D.参考答案：B6. 以为圆心，为半径的圆的方程为()A． B．C． D．参考答案：C略7. 在等比数列中，若，且则为（）A． B． C． D．或或参考答案：D 解析：，当时，；当时，；当时，；8. 设，则 ( )A f(x)与g(x)都是奇函数B f(x)是奇函数，g(x)是偶函数C f(x)与g(x)都是偶函数D f(x)是偶函数，g(x)是奇函数参考答案：B9. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，若，，则（）A. 63B. 62C. 61D. 60参考答案：A【分析】由等比数列的性质可得S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，代入数据计算可得．【详解】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.【点睛】本题考查等比数列的性质与前项和的计算，考查运算求解能力.10. 圆被直线截得的弦长为（）A． B． C． D ．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则参考答案：略12. 分解因式=____________参考答案：略13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则__________．参考答案：【分析】因为，所以,利用正弦定理即可求解.【详解】因为，所以,由正弦定理可知,所以，故填.【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.14. 在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则的值是．参考答案：【考点】HR ：余弦定理．【分析】利用余弦定理，化简已知等式，整理即可得解．【解答】解：∵，∴=6×，整理可得：3c 2=2（a 2+b 2），∴=．故答案为：．15. 半径为8 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为 ．参考答案：16. 已知，则的取值范围是 。
湖南省张家界一中高一数学第一次月考试题湘教版
张家界一中高一第一次月考数学试卷（必修1第一章）(满分:150分 时量:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合{1,0M =-，集合{0,1N =，则M N等于【 】A.{0,1}B.{1,0,1}-C.{0,1,2}D.{1,0,1,2}-2.集合{1,0,1}A =-的子集中，含有元素0的子集共有 【 】A.2个B.4个C.6个D.8个 3.下列各组函数是同一函数的是【 】①()f x =()g x =； ②()f x x =与2()g x =；③0()f x x =与01()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
A.①②B.①③C.③④D.①④4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为【 】A.1y x =+B.2y x =- C.1y x=D.||y x x =5.已知函数84)(2--=kx x x h 在[5，20]上是单调函数，则k 的取值范围是 【 】A.]40,(-∞B.),160[+∞C. (,40][160,)-∞+∞D.φ6.已知集合A ＝{x|x ＜a }，B ＝{x|1＜x ＜2}，且()R A C B R =，则实数a 的取值范围【 】a ≤2 a ＜1 C.a ≥D.a ＞27.已知1)(35++=bx ax x f 且,7)5(=f 则)5(-f 的值是【 】A.5-B.7-C.5D.78.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是 【 】A.[]052， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37，9.若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是【 】A.(2,2)-B.(2,2]-C.(,2)(2,)-∞-+∞D.(,2)-∞10.已知函数是R 上的增函数，则a 的取值范围是【 】A.3-≤a ＜0B.3-≤a ≤2-C.a ≤2-D.a ＜0二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷中的相应横线上)11.y =的定义域为12.若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是13.若21,,{0,,}b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20172017a b +的值为14.已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是15.设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k －1∉A ，且k ＋1∉A ，则称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__ __个．三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)设{|||6}A x Z x =∈<，{1,2,3},{3,4,5}B C ==，求： (Ⅰ)()A B C ；(Ⅱ)()A A C B C17.(12分)设集合{}|14A x x =-<<，3|52B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|122C x a x a =-<<. (Ⅰ)若C φ=，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若C φ≠且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.18.(12分)已知函数1()f x x x=+(Ⅰ)判断函数的奇偶性，并加以证明； (Ⅱ)用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；(Ⅲ)函数()f x 在(1,0)-上是单调增函数还是单调减函数？（直接写出答案，不要求写证明过程）．19.(13分)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+．(Ⅰ)现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数()f x 的图象，并根据图象写出函数()f x 的增区间； (Ⅱ)求出函数()f x 的解析式和值域．20.(13分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图(1)；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(2).（注：收益与投资额单位：万元）(Ⅰ)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；(Ⅱ)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？21.(13分) 已知函数(),(0)y f x x =≠对于任意的,x y R ∈且,0x y ≠满足()()()f xy f x f y =+．张家界一中高一第一次月考数学试卷 (2014.09.24)(满分:150分 时量:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合{1,0M =-，集合{0,1N =，则M N等于【 D 】A.{0,1}B.{1,0,1}-C.{0,1,2}D.{1,0,1,2}-2.集合{1,0,1}A =-的子集中，含有元素0的子集共有 【 B 】A.2个B.4个C.6个D.8个 3.下列各组函数是同一函数的是【 C 】①()f x =()g x =； ②()f x x =与2()g x =；③0()f x x =与01()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣43．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．510．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则tan2α＝．14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为．15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g （x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD ＝PA＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣4解：2﹣3x﹣＝2﹣（3x+），x＞0，3x+≥＝4．当且仅当3x2＝4，即x ＝是取等号．∴2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）≤2﹣4．故选：D．3．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10解：∵，∴，解得x＝2，∵，∴﹣4﹣2y＝0，解得y＝﹣2，∴，，∴．故选：A．4．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，∴b＜a＜c．故选：C．5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变解：将函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos x的图象．故选：A．6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%﹣25.3%＝36.3%＞36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k＝＝1+m2，又由m∈R，则k＝1+m2≥1，则有tanα＝k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．5解：∵三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y＝0和x﹣y＝0交于原点，无论a为何值，直线x+ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay＝3与另两条直线不平行，所以，a≠±1，故选：CD．10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确；选项B：当x＜1时，函数f（x）为增函数，当x≥1时，函数为增函数，且41﹣3＝1＞ln1＝0，所以函数在R上不单调，故B错误；选项C：当x＜1时，﹣3＜f（x）＜1，当x≥1时，f（x）≥0，所以函数的值域为（﹣3，+∞），故C正确；选项D：当x＜1时，令4x﹣3＝0，解得x＝log43，当x≥1时，令lnx＝0，解得x＝1，故函数有两个零点，故D错误，故选：AC．11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，解：对于A，当z为纯虚数时，设z＝bi（b∈R且b≠0），则P（0，b），O（0，0），Q（0，﹣b），三点共线，故A正确；对于B，当z＝1+i时，，则P（1，1），Q（1，﹣1），|OP|＝|OQ|，且，则△POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，取z＝1，则，有，故C错误；对于D，当z为实数时，，则，故D正确．故选：ABD．12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN＝AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则tan2α＝．解：∵，，∴cosα＝﹣，∴tanα＝．则tan2α＝＝．故答案为：﹣．14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为2x+y﹣5＝0．解：经过两点A（1，﹣2），B（5，0）的直线的斜率为＝，中点为（3，﹣1），则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，故线段AB的垂直平分线方程为y+1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣5＝0，故答案为：2x+y﹣5＝0．15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况．甲胜第二局概率为：，乙胜第二局甲胜第三局概率为：＝，∴甲获胜概率为：＝．间接法：乙获胜概率为＝，所以甲获胜概率为：1﹣＝．故答案为：．16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．解：如图，取AB中点G，则G为三角形SAB的外心，取等边三角形ABC的外心O，则OG⊥平面SAB，又二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，即平面SAB⊥平面ABC，且平面SAB∩平面ABC＝AB，∴OG⊥平面SAB，则OC＝OA＝OB＝OS，故O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，则外接球的半径R＝OC＝，则该三棱锥外接球的表面积为4π×＝．故答案为：．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g （x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．18．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．解：（I）f（x）＝，＝﹣cos x，＝sin（x﹣），故函数的最大值为1；（II）由f（A）＝sin（A﹣）＝且A为三角形内角，则A＝，因为a＝，b＝2c，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，即3＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝1．19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，解得a＝0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．解：（1）∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝2，∴；（2）∵，∴＝12+12+0＝2，∴，∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝6，∴，∴＝﹣2．∴＝．∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，联立，解得，∴直线恒过定点（，）；（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，当a＝2时，x＝，满足题意，当a≠2时，∴y＝x﹣，∵直线不经过第二象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）；（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．∴S△＝•|•|＝||，对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD ＝PA＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【解答】（1）证明：取PB的中点E，PA的中点F，连接DF，EF，EC，所以EF∥AB，AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，则EF∥CD，且EF＝CD，故四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为平面PDA⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，又因为AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又DF⊂平面PAD，所以AB⊥DF，因为PD＝PA，F为PA的中点，所以DF⊥AP，因为CE∥DF，所以CE⊥AB，CE⊥AP，又AP∩AB＝A，AB⊂平面PAB，所以CE⊥平面PAB，又因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．（2）解：取AD的中点O，取BC的中点G，以点O为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O（0，0，0），，所以，，设平面PCB的法向量为，则，即，令，则x＝1，y＝﹣1，故，设平面PCD的法向量为，则，即，令，则x＝3，故，设二面角D﹣PC﹣B的大小为θ，所以|cosθ|＝＝，则，故二面角D﹣PC﹣B的正弦值为．。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024年下学期10月份考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表示集合6N N A x x ++⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭和(){}22536B x x x=+=关系的Venn 图中正确的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可求得集合,A B ，根据集合中的元素可判断两集合之间的关系.【详解】根据题意由6N ,N x x++∈∈可得1,2,3,6x =，即{}1,2,3,6A =；解方程()22536x x+=可得256x x +=或256x x +=-，解得1x =或6x =-或2x =-或3x =-，即可得{}1,2,3,6B =---；因此可得集合,A B 有交集，但没有包含关系.故选：A2.如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]π3=，[]0.60=，[]1.62-=-，那么“1x y -<”是“[][]x y =”的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到充分性不成立，再设[][]x y k ==，得到1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，得到答案.【详解】不妨设 1.6, 2.5x y ==，满足1x y -<，但[][]1,21.6 2.5==，不满足[][]x y =，充分性不成立，若[][]x y =，不妨设[][]x y k ==，则1k x k ≤<+，1k y k ≤<+，故1x y -<，必要性成立，故“1x y -<”是“[][]x y =”的必要条件.故选：B3.已知命题p ：x ∀∈R ，01xx >-，则p ⌝为（）.A.x ∀∈R ，01xx ≤- B.x ∃∈R ，01xx ≤-C.x ∀∈R ，01xx ≤-或10x -= D.x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定求解即可.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为x ∃∈R ，01xx ≤-或10x -=.故选：D4.若正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则t xy =的取值范围为（）A.{|04}t t <≤B.{|2}t t ≥C.{|4}t t ≥D.{|16}t t ≥【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式得到4x y +≥，求出答案.【详解】正实数x ，y 满足40x y xy +-=，则4x y +≥，当且仅当x y =时取等号，所以t xy =，即xy ≥，即t ≥，两边平方,结合0t >，解的16t ≥.故选：D.5.已知命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.1|02a a ⎧⎫<≤⎨⎩⎭B.1|03a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C.1|3a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D.1|3a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】问题转化为不等式2230ax x ++>的解集为R ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.【详解】因为命题2:,230p x ax x ∀∈++>R 为真命题，所以不等式2230ax x ++>的解集为R .所以：若0a =，则不等式2230ax x ++>可化为230x +>⇒32x >-，不等式解集不是R ；若0a ≠，则根据一元二次不等式解集的形式可知：20Δ2120a a >⎧⎨=-<⎩⇒13a >.综上可知：13a >故选：D6.若实数αβ，满足1312αβ-<<<-，则αβ-的取值范围是（）A.1312αβ-<-<-B.250αβ-<-<C.10αβ-<-<D.11αβ-<-<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质及题中条件即可得到结果.【详解】因为αβ<，所以0αβ-<，又1312α-<<-，1312β-<<-，所以1213β<-<所以11αβ-<-<，故10αβ-<-<，故选：C7.关于x 的一元二次不等式()()()2120x a x a --+->⎡⎤⎣⎦，当01a <<时，该不等式的解集为（）A.2|21a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭或 B.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭C.2|21a x x x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭或 D.2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】由01a <<，知10a -<，原不等式等价于()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集.【详解】由01a <<，则10a -<，原不等式等价于不等式()2201a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭的解集，又由01a <<，则方程()2201a x x a -⎛⎫--= ⎪-⎝⎭的两根分别为1222,1a x x a -==-，当01a <<时，221a a -<-，故原不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知长为a ，宽为b 的长方形，如果该长方形的面积与边长为1k 的正方形面积相等；该长方形周长与边长为2k 的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为3k 的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为4k 的正方形面积和周长的比相等，那么1k 、2k 、3k 、4k 大小关系为（）A.1423k k k k ≤≤≤B.3124k k k k ≤≤≤C.4132k k k k ≤≤≤D.4123k k k k ≤≤≤【答案】D 【解析】【分析】先求出21ab k =，22a b k +=3=，2442k aba b k =+，然后利用基本不等式比较大小即可.【详解】由题意可得，21ab k=①，22a b k +=3=③，2442k aba b k =+④，且,0a b >，由基本不等式的关系可知，a b +≥a b =时等号成立，由①②得，2122k k ≥，所以21k k ≥⑤，因为()22222()22+=++≤+a b a b ab a b，所以222()2a b a b ++≥，当且仅当a b =时等号成立，由②③得，2223422k k ≥，所以32k k ≥⑥，又2ab aba b ≤=+，当且仅当a b =时等号成立，由①④得，241422k kk ≤，所以41k k ≤⑦，综合⑤⑥⑦可得，4123k k k k ≤≤≤.故选：D .二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.下列说法不正确的是（）A.“a b <”是“11a b>”的必要不充分条件B.若1x y +=，则xy 的最大值为2C.若不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，则230a b c ++<D.命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∉，使得210x +≠．”【答案】ABD 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断A ，消元，根据二次函数性质判断B ，根据一元二次不等式的解集与二次方程的关系求,,a b c 的关系，由此判断23a b c ++的正负，判断C ，根据含量词的命题的否定方法判断D.【详解】对于A ，取1a =-，1b =，则a b <，但11a b<，取1a =，1b =-，则11a b>，但a b >，所以“a b <”是“11a b>”的既不充分也不必要条件，A 错误；对于B ，因为1x y +=，所以()2211124xy x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以xy 的最大值为14，B 错误；因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|13}x x <<，所以0a <，且1,3为方程20ax bx c ++=的根，所以13b a +=-，13c a⨯=，所以4b a =-，3c a =，所以238920a b c a a a a ++=-+=<，C 正确；命题“R x ∃∈，使得210x +=．”的否定为“R x ∀∈，使得210x +≠．”D 错误；故选：ABD.10.已知正数a ，b 满足238a b +=，则下列说法正确的是（）A.83ab ≤ B.227a b +>C.224932a b +≥ D.11126436a b a b +≥++【答案】ACD 【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论检验选项A,C,D ，举出反例检验选项B ，即可判断.【详解】对于A ，因为823a b =+≥，故83ab ≤，当且仅当23,238a b a b =+=,即42,3a b ==时等号成立，故A 正确;对于B ，当2,1b a ==时,2267a b +=<，B 显然错误;对于C ，因为22249(23)12641232a b a b ab ab +=+-=-≥，当且仅当42,3a b ==时等号成立，故C 正确;对于D ，由238a b +=可得()6932324a b a b +=+=,即()264324a b a b +++=,所以111264326432643242643a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++⎛⎫+=+ ⎪++++⎝⎭143261122242643246a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥+= ⎪ ++⎝⎭⎝当且仅当2643a b a b +=+，即42,3a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD.11.对于一个非空集合B ，如果满足以下四个条件：①(){},,B a b a A b A ⊆∈∈，②(),,a A a a B ∀∈∈，③,a b A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b a B ∈，则a b =，④,,a b c A ∀∈，若(),a b B ∈且(),b c B ∈，则(),a c B ∈，就称集合B 为集合A 的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（）A.设{}1,2A =，则满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个B.设{}1,2,3A =，则集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =是集合A 的一个“偏序关系”C.设{}1,2,3A =，则含有四个元素且是集合A 的“偏序关系”的集合B 共有6个D.(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系”【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，分析出()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，从而得到足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个；B 选项，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，B 错误；C 选项，分析出()()()1,1,2,2,3,3B ∈，再添加一个元素即可，从而得到答案；D 选项，通过分析均满足四个条件，D 正确.【详解】A 选项，{}1,2A =，则(){}()()()(){},,1,1,1,2,2,1,2,2a b a A b A ∈∈=，通过分析②可知，()()1,1,2,2B ∈，分析③可知，()1,2和()2,1只能二选一，或两者均不能在B 中，取()(){}1,1,2,2B =，或()()(){}1,1,2,2,1,2B =，或()()(){}1,1,2,2,2,1B =，故满足是集合A 的一个“偏序关系”的集合B 共有3个，A 正确；B 选项，集合()()()()(){}1,1,1,2,2,1,2,2,3,3B =，()1,2B ∈且()2,1B ∈，但12≠，故②不成立，故BC 选项，{}1,2,3A =，通过分析②可知，()()()1,1,2,2,3,3B ∈，结合③和④，可再添加一个元素，即()()()()()()1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2中任选一个，即取()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,2B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,1,3B =，或()()()(){}1,1,2,2,3,3,2,3B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,2B =，或()()()(){}11,1,2,2,3,3,,3B =，或()()()(){}21,1,2,2,3,3,,3B =，共6个，C 正确；D 选项，(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是R 的子集，满足①，且当a b =时，()R,,a a a R '∀∈∈，满足②，当a b =时，满足③，,,R a b c ∀∈，若(),a b R '∈且(),b c R '∈，则,a b b c ≤≤，所以a c ≤，则(),a c R ∈'，满足④，故(){},R,R,R a b a b a b =∈'∈≤是实数集R 的一个“偏序关系，D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b +=______【答案】0【解析】【分析】根据ba可知0a ≠，故0a b +=.【详解】由ba可知0a ≠，又{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，故0a b +=.故答案为：013.已知条件:30p x ⌝-<<，条件:q x a ⌝>，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_________.【答案】(],3-∞-.【分析】根据充分、必要条件的定义及命题的否定形式计算参数范围即可.【详解】由题设得:0p x ≥或3x ≤-，设P ={0x x ≥或3x ≤-}，同理可得:q x a £，设{}Q x x a =≤，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ⊆，因此3a ≤-.故答案为：(],3-∞-.14.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC b =，()BC a b a =≥，AB c =，图中两个阴影三角形的周长分别为1l ，2l ，则12l l a b++的最小值为________.【答案】12+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12l l +，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDE V ∽ACB △，且BD CD BC b a =-=-，所以1l BD b a AC b a b c -==++，所以()1b al a b c b-=⨯++；如图2，易知GFH ∽ACB △，且FG a =，所以2l FG a AC b a b c ==++，所以()2al a b c b=⨯++，所以22221222112l l a b c a b a b a b a b a b a b ab+++++==+=++++++221121ab a b =+++,又因为222a b ab +≥，所以2221ab a b +≤，当且仅当a b =时取等号，所以121211112l l a b +≥+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知{|23}A x x =-≤≤，{|53}B x a x a =-<<，全集R U =．（1）若12a =，求A B ，A B ⋂；（2）若()U B A B =ðI ；求实数a 的取值范围．【答案】（1）9|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，3|22A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭，（2）283a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）由条件根据集合运算法则求A B ，A B ⋂即可；（2）由条件可得U B A ⊆ð，根据集合包含关系列不等式可求a 的取值范围．【小问1详解】因为12a =，所以93{|53}|22B x a x a x x ⎧⎫=-<<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{|23}A x x =-≤≤，所以9|32A x x B ⎧⎫-<≤=⎨⎬⎩⎭ ，3|22A B x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭ ，【小问2详解】因为()U B A B =ðI ，所以U B A ⊆ð，因为{|23}A x x =-≤≤，所以{2U A x x =<-ð或}3x >，又{|53}B x a x a =-<<，当B =∅时，U B A ⊆ð，此时35a a ≤-，接的52a ≤-，当B ≠∅时，由U B A ⊆ð，可得3532a a a >-⎧⎨≤-⎩或3553a a a >-⎧⎨-≥⎩，所以5223a -<≤-或8a ≥，综上23a ≤-或8a ≥.所以a 的取值范围23a a ⎧≤-⎨⎩或}8a ≥.16.（1）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：若ab cd >>（2）已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：222111a b c a b c ++≤++.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对（2）利用基本不等式结合1abc =可证得结论【详解】（1）因为222a b c d =++=++又因为,0a b c d ab cd +=+>>,,,a b c d >为正数，所以22>，>（2）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，当且仅当a b c ==时，取等号，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c ++≤++，当且仅当1a b c ===时取等号.17.已知p ：2280x x +-≤，q ：()22210x m x m m -+++≤.（1）若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（2）若q 是p 的既不充分也不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）41m -≤≤（2）1m >或4m <-【解析】【分析】（1）解不等式化简命题,p q ，由充分不必要条件列出不等式求解；（2）根据命题,p q 的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解.【小问1详解】由2280x x +-≤，可得42x -≤≤，则p ：42x -≤≤，又由()22210x m x m m -+++≤，可得1m x m +≤≤，则q ：1m x m +≤≤，若q 是p 的充分不必要条件，可得[],1m m +是[]4,2-的真子集，有412m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解可得41m -≤≤；【小问2详解】若q 是p 的既不充分也不必要条件，则[],1m m +和[]4,2-互不包含，可得12m +>或4m <-，解得1m >或4m <-.18.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单位为y 元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为1S ;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为2S ．（其中4,4y x b a >>>>）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a ，b ，x ，y 同时满足关系4224y x b a a =-=+-，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：差值S =花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到214((4S S x a a -=-⋅+-，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为1S ax by =+（元）；方案二的总费用为2S bx ay =+（元），由21()()()()()S S bx ay ax by a y x b x y y x a b -=+-+=-+-=--，因为4,4y x b a >>>>，可得0,0y x a b ->-<，所以()()0y x a b --<，即210S S -<，所以21S S <，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知()()(1244S S y x b a x a a ⎛⎫-=--=-⋅+⎪-⎝⎭，令t =，则24x t =+，所以2224(1)33x t t t -=-+=-+≥，当1t =时，即5x =时，等号成立，又因为4a >，可得40a ->，所以44(4)44844a a a a +=-++≥=--，当且仅当444a a -=-时，即6,14a b ==时，等号成立，所以差S 的最小值为2483=⨯，当且仅当5,8,6,14x y a b ====时，等号成立，所以两种方案花费的差值S 最小为24元.19.已知集合{}()*1,2,3,,2N ,4n S n n n =∈≥ ，对于集合n S 的非空子集A ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于A ，则称集合A 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}{}123,4,5,3,5,7A A ==是否为集合4S 的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）（2）如果一个集合中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数.那么称该集合具有性质P .对于集合n S 的非空子集A ，证明：集合A 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合A 具有性质P .【答案】（1）1A 是集合4S 的“期待子集”，2A 不是集合4S 的“期待子集”（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质P 的定义证明即可；【小问1详解】因为{}41,2,3,4,5,6,7,8S =，对于集合{}13,4,5A =，令345a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，显然41S ∈，42S ∈，43S ∈所以1A 是集合4S 的“期待子集”；对于集合2{3,5,7}A =，令111111357a b b c c a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111152a b c ++=，因为4111,,a b c S ∈，即111N *a b c ++∈，故矛盾，所以2A 不是集合4S 的“期待子集”【小问2详解】先证明必要性：当集合A 是集合n S 的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的,,n a b c S ∈，使得,,a b b c c a A +++∈，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即条件P 中的①成立；又()()()20x y z a b c a b c a +-=+++-+=>，所以x y z +>，即条件P 中的②成立；因为()()()()2x y z a b c a b c a b c ++=+++++=++，所以x y z ++为偶数，即条件P 中的③成立；所以集合A 满足条件P .再证明充分性：当集合A 满足条件P 时，有存在A ∈x,y,z ，满足①x y z <<，②x y z +>，③x y z ++为偶数，记2x y z a z ++=-，2x y z b y ++=-，2x y z c x ++=-，由③得,,Z a b c ∈，由①得a b c z <<<，由②得02x y z a z ++=->，所以,,n a b c S ∈，因为a b x +=，a c y +=，b c z +=，所以a b +，b c +，c a +均属于A ，即集合A 是集合n S 的“期待子集”【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
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湖南省临澧一中2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知角α终边上一点(4,3)P -，则sin α的值为 ( )
A ．35
B ．35
-
C ．45
D ．45
-
2．下列函数中，在区间(0,)2
π上为增函数且以π为周期的函数是 ( )
A ．sin 2
x y =
B ．sin y x =
C ．tan y x =-
D ．cos2y x =-
3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点(,0)8π对称，则ϕ可能是
( )
A ．2π
B ．4
π-
C ．4π
D ．2
π-
4．
化
简
后
等
于
( )
A ．sin3cos3--
B ．sin3cos3+
C ．sin3cos3-
D ．sin3cos3-+
5．若0x π
<<，则函数
1lg(sin )2
y x =-的定义域是
( )
A ．2[,)33ππ
B ．2(,]63
ππ
C ．5[,)36
ππ
D ．25(,)[,)6236
ππππ
6．要得到函数sin 2y x =的图象，可由函数cos(2)4y x π=-的图象
( )
A ．向右平移8π个长度单位
B ．向左平移8π个长度单位
C ．向右平移4π个长度单位
D ．向左平移4
π个长度单位
7
．
已
知
7sin cos ,(0,)
13
αααπ+=∈，
则
tan α=
( )
A ．512
B ．512-
C ．34
D ．125-
8
．
函
数
2()sin 2cos 1
f x x x =-+的
最
小
值
为
( )
A ．2
B ．3
C ．0
D ．1-
9．已知02πα<<，02πβ-<<，5cos()13αβ-=-，4sin 5
α=，则sin β= ( )
A ．725
B ．725
-
C ．5665
D ．5665
-
10．函数1,30
82sin(),03
kx x y x x π
ωφ+-≤<⎧⎪
=⎨
+≤≤⎪⎩
的图像如右图，则
( )
A ．11,,326k πωφ===
B ．11,,323k πωφ===
C ．1,2,36k πωφ=-==
D ．3,2,3
k πωφ=-==
11．把函数()sin f x x =的图象向右平移m (0)m >个单位后得到的函数的对称轴与函数
()cos ()
3
g x x π=+的对称轴完全相同，则m 可能的值为
( ) A ．32
π
B ．76π
C ．3π
D ．4
π
12．已知函数()sin (2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()|()|6
f x f π≤对x R ∈恒成立，且
()()2
f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是
( )
A ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈
B ．[,]()2k k k Z πππ+∈
C ．2[,]()63
k k k Z ππππ++∈ D ．[,]()2
k k k Z πππ-∈
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是___________．
14．将函数()y f x =的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然
后把所得的图象上的所有点沿x 轴向左平移2π个单位，这样得到的曲线和函数2sin y x
=的图象相同，则函数()y f x =的解析式为___________．
15．已知函数()cos 2|cos |,[0,2]f x x x x π=+∈，若直线y k =与函数()y f x =的图象有四个
不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．
16．函数()2(1)sin 1f x x x π=-⋅+在区间[2,4]-上所有零点之和为___________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 已知sin()cos(2)tan()
()tan()sin()
f παπααπαπαπα---+=
+-- ．
（1）化简()f α； （2）若α是第三象限角，且31cos()23
πα-=，求()f α的值．
18．(本小题满分12分) 已知2sin cos 13sin cos αααα
+=-．
（1）求tan α的值； （2）求222sin cos sin cos 1αααα-+-的值．
19．(本小题满分12分) 已知函数()2cos ()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π.
（1）求()f x 的单调增区间和对称轴； （2）若x ∈[,]63ππ-,求()f x 的最大值和最小值.
20．(本小题满分12分) 已知02πα<<βπ<<，1tan 22
α=，2cos()10βα-=．
（1）求sin α的值； （2）求β的值．
21．(本小题满分12分) 已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,]2π上的最大值和最小值；
（2）若06()5f x =，0x ∈[,]42ππ，求0cos 2x 的值．
22．(本小题满分12分) 已知函数()sin ()(0,0,||)2
f x A x A πωϕωϕ=+>>≤部分图象
如图所示，且()()0f a f b ==，2
b a π-=,对不同的12[,]x x a b ∈，，若12()()f x f x =，有
12()3f x x +=. （1）求()f x 的解析式.
（2）若2()()2()g x f x f x =+,对于任意的[,]33
x ππ∈-，
不等式|()|6g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．。