离散随机性动态规划模型求解

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利用MATLAB求解离散动态规划问题

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利用MATLAB求解离散动态规划问题
三、动态规划求解函数-算例1求解过程分析
1. 阶段变量k：将问题按工程分为4个阶段，即k = 1, 2, 3, 4 2. 状态变量sk ：状态变量sk 表示第k个工程至第4个工程可用的投资总额，显然有s1 = 60
穷举所有可能的结果，找出其中最优值及对应的策略
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二、穷举法：算例1-算法与程序
对于上述问题，在穷举求解时应注意投资额不多于60万元的约束。稍加分析便知道60万元必须全部用完没有剩余，否则结果一定不会是最优解。因此可以写出以下程序: 输入利润函数： V 1 = [0, 20, 50, 65, 80, 85, 85]; V 2 = [0, 20, 40, 50, 55, 60, 65]; V 3 = [0, 25, 60, 85, 100, 110, 115]; V 4 = [0, 25, 40, 50, 60, 65, 70];
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二、穷举法：算例2-算法与程序（续）
n = size(R, 1); Path = zeros(50, 5); Path(1 : 50, 1) = 1; Path(1 : 50, 5) = n; D = inf ∗ ones(50, 1); m = 1; for i = 1 : n; if R(1, i) ∼= inf for j = 1 : n if R(i, j) ∼= inf for k = 1 : n if R(j, k) ∼= inf Path(m, 2 : 4) = [i, j, k]; D(m) = 0; D(m) = D(m)+ R(1, i)+ R(i, j)+ R(j, k)+ R(k, n); m = m + 1; end ...

适合解决离散问题的算法

适合解决离散问题的算法
适合解决离散问题的算法有很多种，以下是一些常见的算法：
枚举法：对于一些规模较小的问题，可以通过枚举所有可能的解来找到最优解。

分支限界法：通过设置搜索的优先级和边界条件，可以在搜索过程中剪枝，提高搜索效率。

回溯法：通过递归地搜索所有可能的解，并在搜索过程中进行剪枝，可以找到问题的所有解。

动态规划法：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来求解原问题，可以避免重复计算，提高效率。

贪心算法：通过选择当前状态下的最优解，逐步逼近全局最优解，可以在一些问题上得到较好的近似解。

模拟退火算法：通过模拟物理中的退火过程，在搜索过程中引入随机性，可以在一些问题上找到全局最优解。

以上算法在离散问题中都有广泛的应用，具体选择哪种算法取决于问题的特点和要求。

经济学动态规划

d2(B2,C1)+f3(C1)=4+11=15 d2(B2,C2)+f3(C2)=4+15=19 d2(B2,C3)+f3(C3)=6+8=14
=14
最小费用路线为B2-C3－D2－E
相应的最优决策u2(B2)=C3
f2(B3)=min
d2(B3,C1)+f3(C1)=1+11=12 d2(B3,C3)+f3(C3)=6+8=14
4 3
A
11
3
B1 4
4
4
B2
6
1
6
B3
C1
9
7
8
C2
12
5
C3
D1
5
3
E
D2
A-B1-C2-D1-E A-B2-C1-D2-E
均为策略
第一节动态规划原理和模型
允许策略集合：可供选择策略的范围最优策略：允许策略集合中最优的一个策略在例1中最优策略为： A-B1-C3-D2-E
4 3
A
11
3
B1 4
=12
最小费用路线为B3-C1－D2－E
相应的最优决策u2(B3)=C1
第二节动态规划求解方法
(4) S1={A} f1(A)=min
d1(A,B1)+f2(B1)=4+12=16 d2(A,B2)+f2(B2)=3+14=17 d3(A,B3)+f2(B2)=11+12=22
=16
最小费用路线为A-B1-C3－D2－E 相应的最优决策u1(A)=B1 所以整个问题的最小费用路线为A-B1-C3-D2-E 最优策略为{u1(A)=B1,u2(B1)=C3,u3(C3)=D2,u4(D2)=E}

动态规划算法

动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。

它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。

即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。

动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。

2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。

3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。

5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。

动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。

它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。

总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。

动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。

离散型动态规划问题(举例)

表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
2
0 25 45 57 65 70 73
f2 (600) max{g2 (0) f3(600), g2 (100) f3(500), g2 (200) f3(400), g2 (300) f3(300), g2 (400) f3(200), g2 (500) f3(100) g2 (600) f3(0)}
工厂(i)
4
0 28 47 65 74 80 85
自然问：现在还有多少钱？即 s4 =？ s4 =0，100，200，300，400，500，600都有可能。下面分情况讨论：
s4 0
表1 利润增长额 gi (x j ) （百元）
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂2
状态 s3
投资x3
工厂3
投资x4
状态 s4 工厂4 s5
g1 (x1 )
s2 s1 x1 g 2 (x2 ) s3 s2 x2
s4 s3 x3 g3 (x3 )
g4 (x4 )
状态变量 sk ：可用于第k, k+1,…n个工厂的投资额。
决策变量 xk ：第 k 阶段对第 k 个工厂的投资额。允许决策集 Dk ： Dk {0, 100, , sk }
投资额
(j) 0 100 200 300 400 500 600
工厂(i)
4
0 28 47 65 74 80 85
f4 (s4 )

max {g
0x4 s4

马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法(四)

马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）是用来描述随机决策过程的数学框架，它包括一个状态空间、一个动作空间和一个奖励函数。

MDP可以应用于很多领域，比如人工智能、运筹学和经济学等。

在这篇文章中，我们将讨论马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法。

首先，让我们回顾一下标准的离散时间马尔可夫决策过程。

在离散时间模型中，状态和动作空间是有限的，时间步长是离散的。

然而，在现实世界中，许多决策问题的时间是连续的，比如股票交易、机器人控制等。

因此，我们需要将马尔可夫决策过程扩展到连续时间模型。

在连续时间模型中，状态和动作空间通常是无限的。

为了解决这个问题，我们可以使用随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDE）来建模状态的演化。

SDE是一种描述随机过程的微分方程，它可以用来描述状态在连续时间内的变化。

在连续时间马尔可夫决策过程中，我们可以将SDE和MDP结合起来，得到一个连续时间的马尔可夫决策过程模型。

为了解决连续时间MDP的求解问题，我们可以使用一些数值方法，比如蒙特卡洛方法、动态规划和近似方法等。

蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的求解方法，它可以用来估计价值函数和策略函数。

动态规划是一种递归求解方法，它可以用来求解最优策略和价值函数。

近似方法是一种用来处理大规模问题的方法，它可以用来近似求解连续时间MDP模型。

在实际应用中，连续时间MDP模型可以应用于很多领域。

比如，在金融领域，我们可以使用连续时间MDP模型来建立股票交易策略。

在工程领域，我们可以使用连续时间MDP模型来设计自动控制系统。

在医疗领域，我们可以使用连续时间MDP 模型来制定治疗方案。

总之，连续时间MDP是马尔可夫决策过程的一个重要扩展，它可以应用于很多实际问题，并且可以通过数值方法来求解。

希望本文可以对读者理解马尔可夫决策过程中的连续时间建模方法有所帮助。

第15讲随机型动态规划及软件介绍

态转移方程为
0.6xk
p(sk1 1) 0.6xk p(sk1 0) 1 0.6xk
用C(xk)表示第k阶段的费用，第k阶段的费用包括制造成本和装配费用，故有
C(
xk
)
2 0
xk
xk 0 xk 0
根据状态转移方程以及C(xk)，可得到
f
k
(1)
min xk
{c( xk
)
(1

0.6
xk
Sk∈{500,600,700}
当k=5时
f5(S5)＝S5 S5∈{500,600,700} f5(500)＝500 f5(600)＝600 f5(700)＝700
即在第五周，不论原材料的市场价格如何，都必须
购买。
当k=4时
f4(S4)＝min{S4，X4E} X4E=0.3 f5(500)+0.3 f5(600)+ 0.4f5(700)＝610 f4(500)＝500 f4(600)＝600 f4(700)＝610
)
f k1
(0)
0.6 xk
f k 1 (1)}
min xk
{c(
xk
)
0.6
xk
f k 1 (1)}
如果3个月后没有试制出一件合格品，则要承担 2000元的罚金，因此有f4(1)=20。
当k=3时，计算如下表：
x3
C(x3)+20×0.6x3
s3
0 1 2 3 4 5 6 f3(s3) x3*
0 0— — — — — — 0 0
第6章动态规划
➢ 动态规划的基本理论
（2学时）
➢ 确定型动态规划
（2学时）
➢ 随机型动态规划

ASA共有十一门必修课 (1)

ASA共有十一门必修课：1．微积分和线性代数（100）；2．概率论与数理统计（110）；3．应用统计方法（120）；4．复利数学（140）；5．精算数学（150）；6.风险理论（151）；7．生存模型（160）；8．经济保障计划概论（200）；9．精算实务概论（210）；10．资产管理和公司财务概论（220）；11．资产和负债管理原理（230）。

以上十一门课共255学分，其余45学分要在另外24门选修课（略）中任选三～四门获得。

考生在获得ASA资格证书后方可参加FSA课程考试，通常把FSA考试分为若干方向，如：团体和健康保险、个人寿险和年金、财务、投资等，每个方向下设若干门课程,取得FSA 资格必须通过某一专门方向的所有课程，再选考其它若干门课程，使学分达到150分，连同ASA共450学分即可成为FSA。

考试在每年五月、十一月进行，考生每次报考门数自定，考完为止。

有关考试信息推荐您去{环球网校-精算师}频道查询准精算师部分的考试内容包括：科目名称科目代码科目名称科目代码中国精算师资格考试数学基础Ⅰ 01 生命表基础 06中国精算师资格考试数学基础Ⅱ 02 寿险精算实务 07中国精算师资格考试复利数学 03 非寿险精算数学与实务 08中国精算师资格考试寿险精算数学 04 综合经济基础 09中国精算师资格考试风险理论 05精算师部分的考试内容包括：科目代码课程名称备注中国精算师资格考试011 保险公司财务管理必考中国精算师资格考试012 保险法及相关法规必考中国精算师资格考试013 个人寿险与年金精算实务必考中国精算师资格考试014 社会保障选考中国精算师资格考试015 资产负债管理选考中国精算师资格考试016 高级非寿险精算实务选考中国精算师资格考试017 团体寿险选考中国精算师资格考试018 意外伤害和健康保险选考中国精算师资格考试019 高级投资学选考中国精算师资格考试020 养老金计划选考中国精算师资格考试021 精算职业后续教育（PD）必修，精算师部分要求完成3门必考课程，2门选考课程及精算职业后续教育后，并具有三年以上的精算工作经验，方可具备资格。

第三节离散确定性动态规划模型的求解

8
《运筹学》
9
◆x1*=4，x2*=2，x3*=2，x4*=4。因此该警卫部门派巡逻队数最优策略为：A部门4支，B部门2支， C 部门2支， D部门4支，总预期损失为97单位。
2010年5月
管理工程学院
9
21+34 21+31 21+25
2010年5月
管理工程学院
6
《运筹学》
7
③联合考虑B、C、D三部位派巡逻队
x2 p2(x2)+ f3(s2-x2) 2 38+49 38+47 38+46 3 35+55 35+49 35+47 4 31+58 31+55 31+49 87 84 80 2 3 4 f 2 ( s2 )
表8-4 x2 *
s2
8 9 10
8
2010年5月
管理工程学院
7
《运筹学》
8
④联合考虑A、B、C、D四部位派巡逻队，即k=1
表8-5 s1 x1 p1(x1)+ f2(s1-x1) 2 18+80 3 14+84 4 10+87 f 1 ( s1 ) 97 x1 * 4
12
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
1
• 例4：
2010年5月
管理工程学院
1
《运筹学》
2
解：(表格法)把12支巡逻队往4个部位派遣看作依次分四个阶段(用k表示，k=1,2,3,4)。 (1)状态变量sk表示每个阶段初拥有的可派遣的巡逻队数，是前面阶段决策结果，是本阶段决策依据。 (2)各阶段的决策变量就是对各部位派出的巡逻队数，用xk表示。

动态规划与随机控制

动态规划与随机控制1953年，R . Bellman 等人，根据某类多阶段序贯决策问题的特点，提出了著名的“最优性原理”。

在这个原理的指导下，他将此类多阶段决策问题转变为一系列的互相联系的单阶段决策问题，然后，逐个阶段予以解决，最后再形成总体解决。

从而创建了求解优化问题的新方法——动态规划。

1957年，他的名著《动态规划》出版。

1.离散型动态规划离散型确定性动态规划在解决美式期权问题时，我们通常采用倒向递推的方法来比较即时执行价格与继续持有价格。

这是利用动态规划原理的一个典型例子。

Richard Bellman在1953年首次提出动态规划原理.最优化原理：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决策侧所形成的的状态而言，余下的决策序列必然构成最优子策略.求解最短路径问题：来看下面一个具体的例子：我们要求从Q点到T点的最短路径其基本思想是分阶段求出各段到T点的最短路径：•Ⅳ：C1—T 3•Ⅲ --Ⅳ : B1—C1—T 4•Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ：A2—B1—C1—T 7•Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：•Q—A2—B1—C1—T 11•Q--A3—B1—C1—T 11•Q--A3—B2—C2—T 11从以上分析可以看出最短路径不唯一。

最短路径解的特点•1、可以将全过程求解分为若干阶段求解；------多阶段决策问题•2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路径；-----递推性•3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；-----无后效性•3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程最优路径。

-----动态规划离散型不确定性动态规划离散型不确定性动态规划的特点就是每一阶段的决策不是确定的，是一个随机变量，带有一定的随机性，因此处理起来就相对复杂些。

一个动态规划的经典问题：你打算与一个你遇到的最富有的人结婚，你的最优策略是什么？这里做几点基本的假设：1、如果碰到满足你要求的人，他无条件接受；2、有个人供你选择；N 3、每个备选对象的财富值都服从[0, 1].区间上的均匀分布;那么你要找具有最大期望财富值的结婚对象的最优策略是什么?这是一个看似简单但是很难解决的问题.通常的方法是顺序递推法，如果首先考虑碰到第一个人的财富，接着考虑碰到下一个人的财富值与第一个人的财富值进行比较，依次进行下去，但是你期望下一个对象的财富值的确定是一个很复杂的问题，并且很难进行比较.因此这里我们考虑倒向递推的方法进行计算，我们首先逆向考虑一个简单的问题就是假如你只面对2个人的情况，当你只碰到倒数第一个人时，我们认为他的财富期望值为0.5，我们知道，你将选择与倒数第二个对象结婚时只有在他的财富值大于0.5的情况下，否则你将与倒数第一个对象结婚。

离散优化问题的求解方法

离散优化问题的求解方法离散优化问题是指在一组离散的决策变量中，寻找最优决策方案的问题。

这类问题广泛存在于社会经济、工程技术和科学研究中。

离散优化问题的求解方法包括贪心算法、动态规划、分支定界和遗传算法等。

本文将主要介绍这几种常用的离散优化问题求解方法。

一、贪心算法贪心算法是一种基于局部最优选择策略来构造全局最优解的算法。

它通过每次只考虑当前状态局部最优选择的策略来寻求全局最优解。

由于其简单易用和高效性质，在许多离散优化问题中得到了广泛应用。

贪心算法的缺点是可能无法得到全局最优解。

例如，在背包问题中，贪心算法的思路是每次选择价值最高的物品放进背包中。

但是，如果物品有一个较大的体积并且它的价值不高，则贪心算法可能会选择这个物品，导致放不下其他更有价值的物品。

因此，贪心算法并不一定能达到全局最优解。

二、动态规划动态规划是一种利用已找到的最优子问题来寻求全局最优解的算法。

动态规划通常用于具有重复子问题和最优子结构的问题。

动态规划的过程是先解决子问题，然后再利用子问题的解来解决更大的问题。

例如，在最长公共子序列问题中，动态规划的思路是先求出两个序列的最长公共子序列的长度，然后根据子问题的解求出更大的问题的解。

动态规划的优点是能够得到全局最优解。

但是，它需要存储大量的中间结果，导致算法开销较大。

三、分支定界分支定界是一种利用问题不等式或者限制条件，将解空间逐步分割成子集，并进一步对子集进行细分，以快速减少搜索解空间的算法。

它通常用于需要枚举所有可能解的问题，并试图在搜索过程中快速排除那些明显无法成为最优解的候选解。

通过剪枝操作，分支定界可以大大缩小搜索空间。

例如，在旅行商问题中，分支定界的思路是不断分割解空间，并剪枝去除那些无法成为最优解的分支。

分支定界的优点是能够快速找到全局最优解，但是对于复杂的问题，搜索空间的规模可能会非常大，导致算法的效率低下。

四、遗传算法遗传算法是一种受到了生物进化思想启发的优化算法。

动态规划算法及其应用

动态规划算法及其应用动态规划是一种重要的求解优化问题的算法，在计算机科学和应用数学领域都有广泛的应用。

它的基本思想是将大问题分解成小问题，通过记录中间结果来降低计算复杂度，从而达到在合理运行时间内求解问题的目的。

本文将介绍动态规划算法的基本概念和面向实际场景的应用。

1. 动态规划算法基本概念动态规划算法简而言之，就是由小问题推导出大问题的解。

通常情况下，我们将一个大问题拆分成若干个小问题，然后对每个小问题进行求解，并进行状态记录，最后将小问题的结果组合起来，得到大问题的最优解。

动态规划算法的核心是状态转移方程。

这个方程的形式通常为：dp[i] = max(dp[i-1], nums[i])其中，dp[i]表示到第i个位置的最优解，nums[i]是输入序列的第i个元素。

对于其他问题，这个状态转移方程可能会有所不同。

2. 动态规划算法的应用2.1 背包问题背包问题是动态规划算法的经典应用之一。

假设有n个物品和一个最大容量为W的背包，每个物品有一个重量wi和一个价值vi。

我们需要选择一些物品放入背包中，使得在满足背包的最大容量限制下，能够得到最大的总价值。

这个问题可以用动态规划来解决。

假设我们用dp[i][j]表示前i 个物品能够放入容量为j的背包中的最大价值。

对于每个物品i，可以考虑两种情况：放入背包和不放入背包。

如果把第i个物品放入背包中，则dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi；如果不把第i个物品放入背包中，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。

状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-wi] + vi, dp[i-1][j])最终的最优解为dp[n][W]。

2.2 编辑距离问题编辑距离应用广泛，它可以度量字符串之间的差异性，用于拼写检查、语音识别、人工智能等领域。

编辑距离问题的目标是，给定两个字符串s和t，通过增加、删除、替换操作，将s转换成t，使得转换的代价最小。

动态离散选择模型贝尔曼公式

动态离散选择模型贝尔曼公式
动态离散选择模型通常指的是使用离散选择模型来处理时间序列数据中的动态选择问题。

这种模型通常用于预测在给定一系列选项（例如，不同产品或服务）中，决策者在不同时间点上的选择行为。

至于贝尔曼公式，它是以理查·贝尔曼（Richard E. Bellman）的名字命名的，是数值最优化方法中的一个必要条件，也被称为动态规划。

贝尔曼公式以一些初始选择的收益以及根据这些初始选择的结果导致的之后的决策问题的“值”，来给出一个决策问题在某一个时间点的“值”。

这样可以把一个动态规划问题离散成一系列的更简单的子问题，这就是贝尔曼优化准则。

因此，动态离散选择模型和贝尔曼公式都涉及到对时间序列数据的分析和预测，但是它们的关注点和应用领域略有不同。

动态离散选择模型主要关注决策者在给定选项下的选择行为，而贝尔曼公式则更侧重于通过一系列的子问题来求解最优解。

中国保险监督管理委员会关于2001年度中国精算师资格考试(准精算师部分)的公告

中国保险监督管理委员会关于2001年度中国精算师资格考试(准精算师部分)的公告文章属性•【制定机关】中国保险监督管理委员会(已撤销)•【公布日期】2001.06.20•【文号】中国保险监督管理委员会公告第29号•【施行日期】2001.06.20•【效力等级】部门规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】保险正文中国保险监督管理委员会关于2001年度中国精算师资格考试(准精算师部分)的公告（中国保险监督管理委员会公告第29号）为进一步促进中国精算事业的发展，中国保险监督管理委员会(以下简称“中国保监会”)决定组织2001年度中国精算师资格考试(准精算师部分)。

现将有关事项公告如下：一、报名条件凡具有大学本科以上学历或同等学历的个人，包括大学本科在校生均可报名参加中国精算师资格考试。

但属于下述情形之一者，不得参加中国精算师资格考试：(一)曾受过刑事处罚；(二)曾因违反金融法规而受过行政处罚；(三)无国籍；(四)中国保监会认定为不符合参加中国精算师资格考试条件的其他情形。

二、本次考试科目及考试内容中国精算师资格考试分为两部分，准精算师部分和精算师部分。

其中准精算师部分的考试内容包括：科目名称科目代码科目名称科目代码数学基础Ⅰ 01 生命表基础06数学基础Ⅱ 02 寿险精算实务07复利数学03 非寿险精算数学与实务08寿险精算数学04 综合经济基础09风险理论05 ———本次考试为准精算师部分的全部九门课程，科目及考试内容如下：1. 科目名称：数学基础1、科目代码：012、考试时间： 3小时3、考试形式：标准化试题4、考试内容：(1)微积分(分数比例：45%)函数、极限、连续函数的概念及性质反函数复合函数隐函数分段函数基本初等函数的性质初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左、右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的比较极限的四则运算两个重要极限函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质一元函数微分学导数的概念函数可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则微分在近似计算中的应用罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理及其应用洛必达(L’Hospital)法则函数的单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值和最小值一元函数积分学原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分及导数牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法广义积分的概念及计算定积分的应用多元函数微积分学多元函数的概念二元函数的极限与连续性有界闭区间上二元连续函数的性质偏导数的概念与计算多元复合函数及隐函数的求导法高阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上的简单二重积分的计算曲线的切线方程和法线方程无穷级数常数项级数收敛与发散的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数的收敛性正项级数收敛性的判断任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼茨定理幂级数的概念收敛半径和收敛区间幂级数的和函数幂级数在收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式泰勒级数与马克劳林级数(2)线性代数(分数比例：30%)行列式n级排列行列式的定义行列式的性质行列式按行(列)展开行列式的计算克莱姆法则矩阵矩阵的定义及运算矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩几种特殊矩阵可逆矩阵及矩阵的逆的求法分块矩阵线性方程组求解线性方程组的消元法 n维向量及向量间的线性关系线性方程组解的结构向量空间向量空间和向量子空间向量空间的基与维数向量的内积线性变换及正交变换线性变换的核及映像矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似矩阵一般矩阵相似于对角阵的条件实对称矩阵的特征值及特征向量若当标准形二次型二次型及其矩阵表示线性替换矩阵的合同化二次型为标准形和规范形正定二次型及正定矩阵(3)数值分析(分数比例：10%)插值法拉格朗日插值多项式拉格朗日插值的唯一性及误差分析逐次线性插值(三次样条插值) 差分差商与牛顿插值求解线性方程组的直接法高斯消去法矩阵的三角分解矩阵的范数及条件数迭代法非线性方程组的简单迭代法和牛顿迭代法线性方程组的雅可比迭代法和高斯——塞德尔迭代法数值积分和数值微分数值求积公式及基本数值微分公式(4)运筹学(分数比例：15%)线性规划线性规划问题的标准形线性规划问题的解的概念单纯形法(包括大M法和两阶段法) 单纯形法的矩阵形式对偶理论影子价格对偶单纯形法灵敏度分析整数规划动态规划多阶段决策问题动态规划的基本问题和基本方程动态规划的基本定理离散确定性动态规划模型的求解离散随机性动态规划模型的求解排队论排队论的基本概念输入与输出生死过程单服务台的情形 M/M/I模型多服务台的情形 M/M/C模型决策论风险情况下的决策(最大收益期望值决策准则最小机会损失期望值决策准则信息的价值) 不确定情况下的决策(乐观法悲观法等可能性法后悔值决策方法乐观系数法)决策树法效用效用曲线效用曲线的类型及应用5、参考书：《高等数学讲义》(第二篇数学分析) 樊映川编著高等教育出版社《线性代数》胡显佑四川人民出版社《数值分析》李庆扬、王能超、易大义华中理工大学出版社 1986年12月第3版《运筹学》(修订版) 1990年《运筹学》教材编写组清华大学出版社除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。

第四节离散随机性动态规划模型求解

00
00
1 1500 1350 1117 994 946 948 946 4
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
9
当k=2时，
表8-11
x2 c(x2)+(2/3) ×946
s2
01
2
3
f2(s2) x2* 4
0
0
0
0
1
946 981 870 830 837 830 3
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
《运筹学》
1
第四节离散随机性动态规划模型求解
◆掌握离散随机性动态规划模型的求解
2010年5月
管理工程学院
结构
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
3
二、基本方程
fk sk
max E
xk Dk sk
v
sk , xk
fk1 sk1
(8.14)
其中E{}表示括弧内数量的期望值。
fk 1
xk
min
Dk sk
c
xk
2 xk 3
f
k
1
1
1
2 3
xk
f k 1 0
xk
min
Dk sk
c
xk
2 xk 3
f
k
1
1
(8.16)
2010年5月
管理工程学院
《运筹学》
8
当k=3时，
表8-10
x3 c(x3)+(2/3) ×1500 s3 0 1 2 3
f3(s3) x3* 45
Dk(sk)={0} (当sk =0时)。

数理经济学论文

利用动态规划解决生产计划安排问题摘要动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。

这种方法是基于将困难的多阶段决策问题变换成一系列互相联系比较容易的单阶段问题的考虑，同时由于各段决策间有机的联系着，本段决策的执行将影响到下一段的决策，所以决策者在每段决策时不应仅考虑本阶段最优，还应考虑对最终目标的影响，从而做出对全局来讲是最优的决策。

动态规划是现代企业管理中的一项重要决策方法，可用于解决最优路径问题、资源分配问题、成产计划与库存、投资、装载、排序等问题及生产过程的最优控制等。

由于它有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，比线性规划或非线性规划方法更有效。

动态规划模型的分类：1.离散确定型；2.离散随机型；3.连续确定型；4.连续随机型。

其中离散确定型是最基本的，本次分析是用离散确定型的动态规划模型来进行最优决策的。

近几十年来，动态规划在理论、方法和应用等方面取得了突出的进展，并在工程技术、经济、工业生产与管理、军事工程等领域得到广泛的应用。

利用动态规划对生产计划安排进行决策，可以将长久的生产问题一步步具体化，分步化，使计划更清晰，便于管理层进行决策。

关键词：动态规划生产计划决策一．动态规划法的基本概念与方法使用动态规划方法解决多阶段决策问题，首先要将实际问题写成动态规划模型，此时要用到以下概念：（1）阶段（2）状态（3）决策（4）策略（5）状态转移（6）指标函数 1.阶段用动态规划求解多阶段决策系统问题时，要根据具体情况，将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干互相联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解，描述阶段的变量称为阶段变量，常用字母k 表示。

上例分六个阶段，是一个六阶段的决策过程。

例中由系统的最后阶段向初始阶段求最优解的过程称为动态规划的逆推解法。

2.状态状态表示系统在某一阶段开始时所处的自然状况或客观条件。

上例中第一阶段有一个状态，即{}A 0。

第二阶段有两个状态，即{}A B 11,, ，等。

动态规划方法求解线性规划问题

动态规划方法求解线性规划问题动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将问题分解为子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。

在线性规划问题中，我们希望找到一组变量的最优值，使得满足一组线性约束条件的目标函数达到最大或最小值。

线性规划问题可以用以下标准格式表示：目标函数：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束条件：x₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z是目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数中变量的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件中变量的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ是变量。

动态规划方法可以用来求解线性规划问题的最优解。

下面我们将介绍动态规划方法的步骤：1. 确定子问题：将线性规划问题分解为子问题，每个子问题都是一个小规模的线性规划问题。

2. 定义状态：定义状态变量，表示子问题的解。

3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，确定状态转移方程，用于计算子问题的解。

4. 初始化边界条件：初始化边界条件，即最小规模的子问题的解。

5. 递推计算：根据状态转移方程，递推计算子问题的解。

6. 求解原问题：根据子问题的解，求解原问题的解。

下面我们通过一个具体的例子来演示动态规划方法求解线性规划问题。

假设我们有一个线性规划问题如下：目标函数：max Z = 2x₁ + 3x₂ + 4x₃约束条件：x₁ + x₂ + x₃ ≤ 52x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 10x₁, x₂, x₃ ≥ 0我们将该问题转化为动态规划问题的步骤如下：1. 确定子问题：将线性规划问题分解为子问题，每个子问题都是一个小规模的线性规划问题。