微积分(下)期末复习
微积分(下册)总复习
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(2) 方程组情形
隐函数的个数=方程的个数
隐函数的自变量个数=总自变量个数
方程的个数
* 5. 多元函数微分学的几何应用
(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)
(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)
* 6. 方向导数与梯度
方向导数 f lim f (P) f (P0 ) .
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
其中 I是各D 小f (闭x,区y)域d的直li径m0中i1的f最(大i ,值i ). i
2. 几何意义 当连续函数 z f ( x, y) 0时,
二重积分I表示以D为底, z =f (x, y)为曲顶, 侧面是
以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
f ( x, y)d
D
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
D {( x, y) c y d ,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
微积分(下册)主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx ba ba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2 ).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式 一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件： （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=bab a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π=所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴， 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ） 双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
微积分下册复习要点（共5篇）
微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。
4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。
5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。
6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。
必考。
第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。
2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。
必考。
4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。
第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。
可以参考期中考试卷中最后三个题。
4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。
第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。
2．幂级数的收敛域及和函数的计算。
（利用逐项求导和逐项积分）必考。
3．将函数展成幂级数。
（一般利用间接法）必考。
4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。
大一微积分下期期末知识点
大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。
下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。
微积分下复习题纲要点整理
微积分（I I ）复习要点——C h 6+C h 7两章（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用建议按照提纲罗列顺序进行复习） 第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）*().y z ,00y ,x ∂∂可求出类似配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64复合函数求导之链式法则！P251 Ex8 2) 1) 4), Ex9 3) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex12 1) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex16 1) 4)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分求二元函数的极值和条件最值配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1) 4)该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：第三部分定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P186 Ex5 1), Ex4 1) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1) 3) 4).236P166.,.*即运用了此原理）（式例如实心体积所求体积转化为若干则只能间接利用公式将若考察空心旋转体体积特征的旋转体体积“实心”于求解具有以上两公式只能直接用注意： 配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！ P189 Ex29 3) 5)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分二重积分相关要点配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3) 1)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1) 3) 4) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分其它要点摘录微积分（II）复习要点——Ch8+Ch9两章（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用建议按照提纲罗列顺序进行复习）第一部分函数的幂级数展开配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P291 Ex21 2) 5) 4). 另：以P284例11为练习第二部分常数项级数敛散性的判定配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P288Ex7 2) 3) 1) 5), Ex8 1) 2) 5) 4), Ex10 1) 4) 5) 11)Ex13 2) 9) 3) 4)第三部分求幂级数的和函数——此部分教学要求较简单, 仅掌握提纲所列即可().,,,.1,1x ,x 1x n右边得出相应的和函数级数左边得出题目中的新幂积两边对此公式求导或求基础上在此首项公式熟记几何级数的和函数原理：-∈-=∑∞配套练习）?∑∑∞=+∞=+0n 1n 1n 1-n 1n x 2nx1））求和函数：第四部分 某些一阶微分方程的解法。
微积分期末试卷(考试必做)
一、填空题（每小题2分，共16分）1、=+⎰-22d )cos e(4ππx x x x 2 .fxe^(x^4)dx =0.5fe^(x^4)d(x^2)=1/(4x^2)*e^(x^4)+sinx+c2、=⎰∞+12d ln x x x. 1 ∫lnx/x ² dx = (-1/x)·lnx - ∫(-1/x)·(lnx)' dx= (-1/x)·lnx + ∫1/x ² dx = (-1/x)·lnx + (-1/x) = (-1/x)(lnx + 1)3、设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 dx+dy . (1,1) zx=y*x^(y-1)+y^x*lny=1 zy=1∴dz=dx+dyD 是由0,1,0,e ====y x x y x 所围成区域，则⎰⎰=Dσd e^x-1 .5、当a 满足 0<=a<0.5 时，∑∞=--121)1(n a nn条件收敛.lim(-1)^n/n^(1-2a)6、幂级数∑∞=⋅-14)1(n nnn x 的收敛域为 [-3,5) . 7、交换积分次序后 =⎰⎰-y yx y x f y d ),(d 10∫1/-1dx ∫x/x^2f(x,y)dy .8、微分方程1d d -=-xyx y 的通解为 y=cx-xlnx . dy/dx=y/x dy/y=dx/x lny=lnx+lnc y=cxc-y/x=-1 y/x=c+1 y=cx+x二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、下列广义积分收敛的是（ b ）. （A ）⎰∞+ 1d ln x x （B ）⎰∞+ 12d 1x x（C ）⎰∞+ 1 d 1x x （D ）⎰∞+ 1 d e x x2、设f 是连续函数，积分区域01:22≥≤+y y x D 且，则⎰⎰+Dy x y x f d d )(22可化为（ a ）.（A ）⎰1d )(r r f r π （B ）⎰1d )(2r r f r π （C ）⎰1d )(2r r f π （D ）⎰1d )(r r f π3、设)s i n (2y x z +=, 则=∂∂22xz（ a ）.（A ）)s i n (2y x +- （B ）)c o s (2y x +- （C ）)s i n (2y x + （D ）)c o s (2y x + Cos(x+y^2)4、极限xt x x c o s 1dt)1ln(lim2sin 0-+⎰→等于（ c ）.（A ）1 （B ）2 （C ）4（D ）8(1+t)ln(1+t)-(1+t) -15、微分方程0=+''y y 的通解是( a ).（A ）x C x C y sin cos 21+= （B ）x x C C y -+=e e 21 （C ）x x C C y e )(21+=（D ）21e C C y x +=三、计算题(一)（每小题5分，共20分）1、已知⎰+=203d )()(x x f x x f , 求)(x f .设⎰=2d )(x x f I ，两边从0到2积分,I I x x I 242d 23+=+=⎰,即4-=I ,所以 4)(3-=x x f .2、设),(y x f z =是由方程0121e 2=-++z xyz z x 确定的隐函数，求yz x z ∂∂∂∂,. 方程两边关于x 求偏导，0221)()e e (=∂∂⋅⋅+∂∂++∂∂+xz z x z xy yz x z z xx ， z xy yzz x z x x +++-=∂∂⇒e e （3分）方程两边关于y 求偏导，0221)(e =∂∂⋅⋅+∂∂++∂∂y zz y z xy xz y z x ，zxy xz y z x ++-=∂∂e3、判断∑∞=+-1)11ln()1(n n n 的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.\ 解： 因为 11)11ln(lim =+∞→n n n ， 而∑∞=11n n发散，故原级数非绝对收敛原级数为交错级数，且)}11{ln(n+单调下降趋向于零，故原级数条件收敛.4、求微分方程 5d d tan =-y xyx的通解. 另tanx dy/dx -y=0 dy/y=dx/tanx=cotxdx lny=ln|sinx|+ln|c| y=csinx tanx dy/dx -y=5 tanx*ccosx-y=5 csinx-y=5 y=csinx-5四、计算题(二)（每小题7分，共28分） 1、求⎰++3d 1ln)1(x x x .令t x =+1，⎰=41d ln 21t t t 原式⎰=412)d(ln 41t t)d 1|ln (41412412⎰⋅-=t tt t t )|214ln 16(41412t -= 8152ln 8-=. 2、计算 ⎰⎰-=110d e d 12xy y x xI .⎰⎰-=2210d 1d ey y x xy 原式⎰-=1d e 22y y y102ey --=.e11-= 3、求幂级数 ∑∞=⋅13n nnn x 的收敛域及和函数.4、求微分方程 x y y y sin 1034=+'-'' 的通解. y ’=dy/dx y ”=五、应用题（每小题8分，共16分）1、设某厂生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元、9万元。
微积分下册学习知识重点
-/微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++=ρ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j uρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a ρρρρ=⋅1）2a a a ρρρ=⋅2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρρ-/2、 向量积：b a c ρρρ⨯=大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρρρ,,符合右手规则1）0ρρρ=⨯a a2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a ρρρρρ=⨯运算律：反交换律 b a a b ρρρρ⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z by a x =+2） 椭球面：1222222=++c zb y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面（马鞍面）：z b ya x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=--/方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
微积分(下)期末复习题完整版
期末复习题一、填空题1、=⎰→xt t xx 020d cos lim.2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰bxx x f x 2d )(d d .3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则⎰>+x x t a t f t)0( d )(1等于 . 4、若2e x -是)(xf 的一个原函数，则='⎰10d )(x x f .5、=++⎰-112d 1||x x x x .6、已知21)(xxx f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 .7、设⎰=+π0),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f .8、设曲线kx y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31，则=k . 9、设yxy y x y x f arcsin)1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .10、设yx z 2e =，则=∂∂∂yx z2 . 11、交换积分次序 =⎰⎰x y y x f x ln 0e 1d ),(d .12、交换积分次序 =⎰⎰---xx y y x f x 11122d ),(d .13、交换积分次序⎰⎰-2210d ),(d y yx y x f y ＝ .二、选择题1、极限xtt x x cos 1d )1ln(lim2sin 0-+⎰→等于（ ） （A ）1（B ）2（C ）4（D ）82、设x x t t f xe d )(d d e 0=⎰-，则=)(xf （ ） (A)21x(B) 21x - (C) x 2e - (D) x2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=⎰)(d )(，则必有（ ）B（A ）)(d )(x F t t f x a =⎰ （B ）)(]d )([x F t t F x a ='⎰ （C ）)(d )(x f t t F x a='⎰（D ）)()(]d )([a f x f t t F xa-=''⎰—4、设)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上的平均值是（ ）（A ）2)()(b f a f + （B ）⎰b a x x f d )(（C ）⎰-b a x x f a b d )(1 （D ）⎰-b a x x f ba d )(15、积分⎰=t sx x t f tI 0d )(与（ ）有关。
微积分(下册)主要知识点汇总
微积分(下册)主要知识点汇总一、第一换元积分法（凑微分法）：对于形如$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx$的积分，可以令$u=\phi(x)$，则$du=\phi'(x)dx$，将原式转化为$\int g(u)du$的形式，然后进行积分，最后再将$u$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。
二、常用凑微分公式：1.积分类型换元公式：int x^\mu(x^\mu-1)f(x)dx=\int x^\mu d(x^{\mu-1})$$当$\mu\neq 1$时成立。
int x^3f(\ln x)dx=\int x^3d(\ln x)=\int x^3\frac{1}{x}dx$$int e^xf(e^x)dx=\int e^xd(e^x)=e^xf(e^x)$$int_a^b f(x)dx=\int_{\ln a}^{\ln b}f(e^t)e^tdt$$当$a,b>0$时成立。
int \frac{f(\sin x)\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}dx=\int f(\sin x)d(\cos x)$$int \frac{f(\cos x)\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}dx=-\int f(\cos x)d(\sin x)$$int \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)$$int \frac{f(\cot x)}{\sin^2 x}dx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$$int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(t)dt$$int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(t)dt$$三、第二换元法：对于形如$\int f(x)dx=\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\phi(x)]+C$的积分，可以令$\psi(t)=x$，则$\psi'(t)dt=dx$，将原式转化为$\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt$的形式，然后进行积分，最后再将$t$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果。
微积分(下册)主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时,;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式 一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件： （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题.一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法.这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题.选取一个积分变量.例如x 为积分变量.并确定它的变化区间],[b a .任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +.求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值.即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用.本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时.应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性.即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(.即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下.要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事.因此.在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体.但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积.那么.这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV =所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系在平面解析几何中.我们建立了平面直角坐标系.并通过平面直角坐标系.把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样.为了把空间的任一点与有序数组对应起来.我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴. 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）.统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中.如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F .而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程.则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件.建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程.研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示.反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中.我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面.从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕）.通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法.简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集.如果对于D 内的任一点),(y x .按照某种法则f .都有唯一确定的实数z 与之对应.则称f 是D 上的二元函数.它在),(y x 处的函数值记为),(y x f .即),(y x f z =.其中x .y 称为自变量. z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域.数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地.可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义.如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时.函数),(y x f 无限趋于一个常数A .则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则.在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限.我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义.如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续.则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似.二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论.当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时.只要算出函数在该点的函数值即可.特别地.在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如.有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地.函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明.在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数.然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数.补充以下几点说明：（1）对一元函数而言.导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似.对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中.我们知道.如果函数在某点存在导数.则它在该点必定连续. 但对多元函数而言.即使函数的各个偏导数存在.也不能保证函数在该点连续.例如.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =.)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点.过点0M 作平面0y y =.截此曲面得一条曲线.其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见.pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理.yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且.其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
微积分下册期末考试题及答案
微积分下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，则 \( f'(x) \) 等于：A. \( 6x + 2 \)B. \( 3x + 2 \)C. \( 6x^2 + 2 \)D. \( 6x - 5 \)2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx \) 等于：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)4. 函数 \( y = \sin(x) \) 的原函数是：A. \( \cos(x) \)B. \( -\cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \) 等于：A. 0B. 1C. 2D. 36. 函数 \( y = e^x \) 的 \( n \) 阶导数是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( (n+1)e^x \)7. 若 \( \int e^x dx = e^x + C \)，则 \( \int_{0}^{1} e^x dx \) 等于：A. \( e - 1 \)B. \( e \)C. \( e^2 - 1 \)D. \( e^2 \)8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是：A. \( x \geq 0 \)B. \( x > 0 \)C. \( x < 0 \)D. \( x \leq 0 \)9. 函数 \( y = x^2 \) 的拐点是：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = -1 \)D. \( x = 2 \)10. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的关系是：A. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更快B. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更慢C. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 增长速度相同D. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 都是常数答案：1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10. B二、填空题（每题2分，共10分）11. 若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
微积分下学期末试卷及答案
微积分下期末试题一一、填空题每小题3分,共15分1、 已知22(,)y f x y x yx +=-,则=),(y x f ___2(1)1x y y -+__________.2、 已知, π=⎰∞+∞--dx ex 2则=⎰∞+--dx e x x213、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在 点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f __1______.5、以x e x C C y 321)(+=21,C C 为任意常数为通解的微分方程是 ____________________."6'0y y y -+= 二、选择题每小题3分,共15分6知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是 C .A 1p >B 1p <C 12p <<D 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数 B .A 在原点无定义B 在原点二重极限不存在C 在原点有二重极限,但无定义D 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是 A.A 123I I I >> B213I I I >> C123I I I <<D213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解 D .A b ax y +=B xe b ax y 3)(+=C x e bx ax y 32)(+=D x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna D .A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 不定11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x=的函数为23,0x y y =>;且4=x 时,8=y ;于是)6()3(分分24882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim22220-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x 3分2)11(lim 220=+++=→→y x y x 6分13、),(y x z z =由xy e z z=+确定,求y x z∂∂∂2.解：设(,,)zF x y z z e xy =+-,则x F y=-,y F x=- ,1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++, 11y z z z F z x x y F e e ∂-=-=-=∂++ 3分222111(1)1(1)z z z zz z z ze y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===-⎪∂∂∂++++⎝⎭6分14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. 3分故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为326分 15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ 6分 16、计算二重积分22()Dxy dxdy+⎰⎰,其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝1320d r drπθ⎰⎰＝8π6分17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= 3分 ⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ 6分18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：=3分因为lim 11n n →∞==19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , 3分 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n xx x ,33<<-x . 6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R 万元与电台广告费用1x 万元的及报纸广告费用2x 万元之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=,求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--= 令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 3分0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C , 064802>-=-=B AC D ,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0万元,报纸广告费用25.1万元. 6分 四、证明题每小题5分,共10分21、设1133ln()z x y =+,证明：13z z xy x y ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, 3分 并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛; 6分微积分下期末试题二一、填空题每小题3分,共15分1、设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2x z =,则=z ;答案2222x xy y y -++2、计算广义积分⎰+∞13x dx = ;答案12 3、设xye z =,则=)1,1(dz ;答案)(dy dx e +4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解. 答案xe bx ax 22)(+5、设14n n u ∞==∑,则11122n n n u ∞=⎛⎫-=⎪⎝⎭∑_________;答案1二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 A.0 C D.不存在2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 A ;A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 D ;A.d d θπr r r4222-⎰⎰；B.204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰； D.442012d d θπr r r-⎰⎰4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,xe y =2,x e y 23=,则其通解为 C ;A.xx e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C xx x -+-5、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n p 为任意实数 D A 、收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、无法判断三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：00x y →→;解：0x y →→00x y →→= …3分1)112x y →→==+= …6分2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：421d x V xπ=⎰ …4分7.5π= …6分3、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂; 解：方程两边对x 求导得:x z xyyz x z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z x z xy e yz x z z …3分方程两边对y 求导得:y z xy xz y z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z y z xy e xz y z z …6分4、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值;解：322(,)42f x y x x xy y =-+-,则2(,)382x f x y x x y=-+,(,)22y f x y x y=-,(,)68xx f x y x =-,(,)2xy f x y =,(,)2yy f x y =-，求驻点,解方程组23820220x x y x y ⎧-+=⎨-=⎩，，得)0,0(和(2,2). …2分对)0,0(有(0,0)80xx f =-<,(0,0)2xy f =,(0,0)2yy f =-,于是2120B AC -=-<,所以)0,0(是函数的极大值点,且(0,0)0f = …4分对(2,2)有(2,2)4xx f =,(2,2)2xy f =,(2,2)2yy f =-,于是2120B AC -=>, (2,2)不是函数的极值点;6、计算积分⎰⎰D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；解：221x x Dyy d dx dyx x σ=⎰⎰⎰⎰. (4)分213924xdx ==⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足⎰+=xx x xf dt t f 0)(2)(,且0)1(=f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即x x f x x f 21)(21)(-=+' …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：=1)(1-=+-x c c x x…5分又0)1(=f ,即01=-c ,故1=c ,所以11)(-=xx f …6分8、求解微分方程212y y y '-+''=0 ;解：令y p '=,则dp y pdy ''=,于是原方程可化为：221dp p p dy y +=- …3分即201dp p dy y +=-,其通解为22111(1)dy yp c e c y --⎰==- …5分21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12)1(=-故原方程通解为：2111c x c y +-= …6分9、求级数1n n ∞=的收敛区间; 解：令2t x =-,幂级数变形为1n n ∞=1lim 1n t n n n a R a →∞+===. …3分当1-=t 时,级数为0(1)nn ∞=-∑收敛；当1=t 时,级数为1n ∞=.故1n n ∞=)1,1[-=t I , (5)分那么1n n ∞=的收敛区间为[1,3)x I =. …6分10、 判定级数∑∞=⋅1!)2sin(n n n x 是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛;解：因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤ (2)分由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设正项级数1nn u∞=∑收敛,证明级数1n ∞=也收敛;证：)(2111+++≤n n n n u u u u , …3分 而由已知∑++)(211n n u u 收敛,故由比较原则,∑+1n n u u 也收敛; …5分2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂.证明：因为22f f xy xz '-=∂∂, …2分222f f y f y z '+=∂∂ (4)分所以222212211y zyf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=∂∂+∂∂. …5分微积分下期末试题三一、填空题每小题3分,共15分1、设()z x y f y x =++-,且当0x =时,2z y =,则=z ;答案2222x xy x y -++2、计算广义积分21dxx +∞⎰= ;答案13、设)1ln(22y x z ++=,则(1,2)dz=;答案1233dx dy +4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.xe bx ax 323)(+ 5、级数∑∞=+1913n nn 的和为 ;答案58二、选择题每小题3分,共15分1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 BA 、0B 、3C 、2D 、不存在2、),(y x f x 和),(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 BA.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件; 3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面224x y +=所围的体积是 BA. 240d rπθ⎰⎰；B.2204d rπθ⎰⎰；C、20d rπθ⎰⎰；D.204d rπθ⎰⎰4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =,x e y =2,x e y 23=,则其通解为 D A 、22212()()x x x C e e C e x -+-； B 、22123x xC x C e C e ++；C 、2212x xx C e C e ++； D 、)()(22212xx x e x C e e C x -+-+ 5、无穷级数121(1)n pn n -∞=-∑p 为任意实数 A A 、无法判断 B 、绝对收敛 C 、收敛 D 、发散 三、计算题每小题6分,共60分1、求下列极限：00x y →→;解：0000x x y y →→→→=…3分0011224x y →→-===-+ …6分2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线2π=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积;解：220sin d x V x xππ=⎰ …4分214π= …6分3、求由xy xyz z=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂;解：一令=),,(z y x F xy xyz z--e 则 y yz x F --=∂∂, x xz y F --=∂∂, xy z F z -=∂∂e利用公式,得xy y yz xy y yz z F x Fx z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …3分 xy x xz xy x xz z F y Fy z zz -+=----=∂∂∂∂-=∂∂e e …6分二在方程两边同时对x 求导,得解出xy y yz x z z-+=∂∂e , …3分同理解出xy x xz y z z-+=∂∂e …6分4、求函数33812),(y xy x y x f +-=的极值;解：33812),(y xy x y x f +-=,则yx y x f x 123),(2-=,xy y x f y 1224),(2-=,x y x f xx 6),(=,12),(-=y x f xy ,，y y x f yy 48),(=求驻点,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，01224012322x y y x 得)0,0(和)1,2(. …2分对)0,0(有0)0,0(=xx f ,12)0,0(-=xy f ,0)0,0(=yy f ,于是01442>=-AC B ,所以)0,0(点不是函数的极值点. …4分对)1,2(有12)1,2(=xx f ,12)1,2(-=xy f ,48)1,2(=yy f ,于是048121442<⨯-=-AC B ,且012>=A ,所以函数在)1,2(点取得极小值,33(2,1)21221818f =-⨯⨯+⨯=- …6分 …5分6、计算二重积分⎰⎰+D d y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：211(2)(2)yyDx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰ …4分2221119(21)6y dy y =--=⎰ …6分7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0=++⎰xx x f dt t f ,求)(x f ;解：关系式两端关于x 求导得：01)(2)(=+'+x f x f 即21)(21)(-=+'x f x f …2分这是关于f )(x 的一阶线性微分方程,其通解为：2221)(x x xce c e e --+-=+-= …5分又0)0(=f ,即c +-=10,故1=c ,所以1)(2-=-xex f …6分8、求微分方程02)1(2='-''+y x y x 的通解;解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程作变换 令 dyp dx =,则22d y dp dx dx =,于是原方程降阶为2(1)20dpx px dx +-=…3分, 分离变量221dp xdx p x =+,积分得21ln ln(1)ln p x C =++即 21(1)p C x =+,从而 21(1)dyC x dx =+ …5分再积分一次得原方程的通解y ＝312()3x C x C ++ …6分9、求级数∑∞=-1)3(n nn x 的收敛区间; 解：令3-=x t ,幂级数变形为∑∞=1n n n t ,11lim 1n tn n n a n R a n →∞++===. …3分当1-=t 时,级数为∑∞=-01)1(n nn 收敛；当1=t 时,级数为∑∞=11n n 发散.故∑∞=1n nn t 的收敛区间是)1,1[-=t I , (5)分那么∑∞=-1)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I . …6分 10、 判定级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑是否收敛,如果是收敛级数,指出其是绝对收敛还是条件收敛：解：因为cos()1!!n x n n ⋅≤ …2分 由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛1(1)!lim 01!n n n →∞+=, …4分从而由比较判别法知1cos()!n n x n ∞=⋅∑收敛,所以级数1cos()!n n x n ∞=⋅∑绝对收敛. …6分四、证明题每小题5分,共10分1、设级数21nn a∞=∑收敛,证明1(0)nn n a a n ∞=>∑也收敛;证：由于)1(21||22n a n a n n +≤, …3分 而∑2na ,∑21n 都收敛,故∑+)1(2122n a n 收敛,由比较原则知 n a n ∑收敛.;…5分 2、设)2(cos 22tx z -=,证明:02222=∂∂∂+∂∂t x z t z ;证明： 因为)2sin()21()2sin()2cos(22t x t x t x t z -=-⋅--⋅-=∂∂, …2分)2cos(22t x t z --=∂∂,22222)2cos(2t zt x x t z t x z ∂∂-=-=∂∂∂=∂∂∂, …4分所以02222=∂∂∂+∂∂t x z t z (5)分微积分下期末试题及答案四一、选择题每题2分1、设x ƒ()定义域为1,2,则lg x ƒ()的定义域为 A 、0,lg2 B 、0,lg2] C 、10,100 D 、1,22、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求0x →A 、-14 B 、0 C 、1 D 、∞4、若1y xx y +=,求y '等于A 、22x y y x --B 、22y x y x --C 、22y x x y-- D 、22x y x y +-5、曲线221xy x=-的渐近线条数为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中,那个不是映射A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈B 、221y x =-+C 、2y x =D 、ln y x = (0)x > 二、填空题每题2分1、__________ 2、、2(1))lim ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题每题2分1、221x y x=+函数是有界函数 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小4、可导函数的极值点未必是它的驻点5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 四、计算题每题6分 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin lim sin x x xx x→-求 5、计算6、210lim(cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100Rx x x =-（,总成本函数为2()20050C x x x =++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大8分2、描绘函数21y x x=+的图形12分六、证明题每题6分1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x+→+∞→==则2、证明方程10,1xxe =在区间（）内有且仅有一个实数 试题四答案 一、 选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、 2、 3、 解： 4、解： 5、 解：6、解： 五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x2、 解：图象六、证明题1、证明：2、证明：。
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案（正文开始）第一部分：选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，求 f'(x)。
2. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。
3. 将函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上进行定积分，求结果。
4. 设函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。
5. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的定积分，其中积分区间为 [-1, 2]。
6. 设函数f(x) = √(x^2 + 1)，求 f'(x)。
7. 求函数 f(x) = 3x^2 - 6 的不定积分。
8. 计算定积分∫(0 to π/2) cos(x) dx 的值。
9. 设函数 f(x) = e^(2x)，求 f'(x)。
10. 求函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 的不定积分。
11. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值。
12. 设函数 f(x) = (sinx + cosx)^2，求 f'(x)。
13. 求函数 f(x) = 2e^x 的不定积分。
14. 计算定积分∫(1 to e) ln(x) dx 的值。
15. 设函数 f(x) = x^2e^x，求 f'(x)。
16. 求函数 f(x) = ln(2x + 1) 的不定积分。
17. 求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
18. 设函数 f(x) = e^(3x)，求 f'(x)。
19. 求函数f(x) = ∫(1 to x) t^2 dt 的不定积分。
20. 计算定积分∫(0 to π) sin^2(x) dx 的值。
第二部分：计算题（共4题，每题25分，共100分）1. 计算函数f(x) = ∫(0 to x^2) (2t + 1) dt 在区间 [-1, 1] 上的定积分。
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案一、选择题1.微积分的概念是由谁提出的？A.牛顿B.莱布尼茨C.高斯D.欧拉答案：B2.一个物体在 t 秒后的位移函数为 s(t) = 4t^3 - 2t^2 + 5t + 1。
求该物体在 t = 2 秒时的速度。
A.10B.23C.35D.49答案：C3.定义在[a,b]上的函数 f(x) 满足f(x) ≥ 0，对于任意 x ∈ [a,b] 都有∫[a,b] f(x) dx = 0，则 f(x) =A.常数函数B.0C.连续函数D.不满足条件，不存在这样的函数答案：B4.若函数 f 在区间 [a,b] 上连续，则在区间内至少存在一个数 c，使得A.∫[a,b] f(x) dx = 0B.∫[a,b] f(x) dx = f(c)C.∫[a,b] f'(x) dx = f(b) - f(a)D.∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)，其中 F 为 f 的不定积分答案：D5.已知函数 f(x) = x^2，求在点 x = 2 处的切线方程。
A.y = 2x - 2B.y = 2x + 2C.y = -2x + 2D.y = -2x - 2答案：A二、计算题1.计算∫(2x - 1) dx。
解：∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C。
2.计算极限lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2)。
解：lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2) = ∞。
3.计算导数 dy/dx，其中 y = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1。
解：dy/dx = 15x^2 - 4x + 7。
4.计算函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的驻点。
解：驻点为 f'(x) = 0 的解。
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 = 0，解得 x = -1 或 x = 5/3。
5.计算定积分∫[0,π/2] sin(x) dx。
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f y (1,0)
x2 xe y (1,0)
2
f
gradf (1,0) 5
l max
3.设L为椭圆 x2 y2 1,其周长为a，则 43
Ñ（L 2xy 3x2 4 y2 )ds 12a
4.交换二次积分的次序
1
dy
y
f ( x, y)dx
0
1
y
0
x
dx f ( x, y)dy
注意: (1)坐标系选择不当,不仅会增加计算难度,而且还可 能导致积不出来； (2)直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加 计算难度,甚至积不出来；
三重积分的计算
一、三重积分在直角坐标系下的计算 二、三重积分在柱面坐标系下的计算 三、三重积分在球面坐标系下的计算
三重积分在直角坐标系下的计算：
(注意:曲面S要封闭!)
方法二：总投影法（定义法）; 方法三：分别投影法.
注意：
1. 线、面积分的被积表达式中的(x,y,z) 满足积分曲线或曲面的方程。 故可由曲线(曲面)方程进行等值代换 来化简被积表达式化简!!
（但二重积分与三重积分没有此特性！）
2. 利用对称性可简化积分的运算.
(但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积 函数及积分区域有关而且还与积分区域的方 向有关！)
选取路径为折线：OA AB ,
L
OA
AB
OA : y 0, x : 0 ;
2
AB : x , y : 0 1;
2
B
故
L
OA
AB
oA
2 0dx
0
1
(1 2 y
0
3 2 y2 )dy
4
2
4
八.(10分)计算曲面积分 (z xy2 )dydz ( yz2 xz)dzdx ( x2z x3 )dxdy, S
1
zz2
z
2 y
dxdy
S2
Dxy
1 4x2 4 y2 dxdy
2
d
1
1 r2 rdr 4 (2 2 1)
Dxy
0
0
3
S S1 S2 2 4 (2 2 1).
3
十.(7分)设un 为单调增加有界的正项数列, 证明 :
5、计算二重积分、三重积分、第一类曲面积分、 第二类曲面积分．
６、用格林公式计算第二类曲线积分； 用高斯公式计算第二类曲面积分． 或二型线积分与路径无关.
７、求幂级数的收敛域及其和函数; 将函数f(x)展开为幂级数、傅立叶级数．
证明题常考内容：
主要是关于常数项级数的收敛性证明； （仅2003,2008年没有考）
z1 ( r , )
(2) “先二后一法”(截面
c2 dz f (法r c)os , r sin , z)rdrd
c1
Dz
实质： 将直角坐标系中的“先一后二”法或
“先二后一”法中的“二”在极坐标系中计算.
三重积分在球面坐标下的计算：
球坐标最佳适用情况： 被积函数为f(x2+y2 +z2 )； 区域V的边界面为球面、圆锥面等.
Dz
三重积分在柱坐标下的计算：
若 (1)被积函数为f(x2+y2) ；
(2)区域V的边界面的方程含x2+y2 ；
（如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等）
则可选用柱坐标系.
方法： (1) “先一后二法”(投影法
rdrd )z2(r, ) f (r cos , r sin , z)dz.
Dr
y x
1 x2 1 y2
0 0
,
解得驻点(1,1);
2 zxx x3 ,
A 2, zxy 1, B 1 ,
2 zyy y3 ,
C 2,
A B AC B2 3 0, A 0, BC
故有极小值z(1,1) 3,
五.(12分) 1.求微分方程y 2 y y e x满足初值条件 y(0) 0, y(0) 0的特解
2、 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处可微是 f 在该点的两个偏
导数 fx , f y 都存的（ B ）
( A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)即非充分又非必要条件；
二重积分的计算步骤
1、作积分区域图. 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系； 3、化二重积分为二次积分； (1)直角坐标系中，需确定是先对y后对x积分还是先 对x后对y积分; (2)极坐标系中，一般是先对r后对积分(8分)计算曲线积分 (2xy3 - y2 cos x)dx (1 - 2 y sin x 3 x2 y2 )dy, L
其中L为抛物线2x y2从点(0,0)到点( ,1)的一段弧.
2
解：Q P y
6xy2 2 y cos x
Q , 积分与路径无关 x
电子科技大学期末微积分（下）试题
一.填空题(15分, 每题3分)
1.设z (1 xy)y ,则 z y2 (1 xy) y1
x
若求：z ?
y
2.函数f (x, y) x2 y xe y在(1,0)处方向导数的最大值等于___.
fx
(1,0)
2 xy
ey r
1, r (1,0)
gradf (1,0) i 2 j
其中S为下半球面x2 y2 z2 1(z 0)下侧.
解：补S1 : z 0,(上侧) , Ò ;
S
S S1
S1
由高斯公式 Ò ( y2 z2 x2 )dV
S S1
V
2
d
0
d
2
1 2 2 sind 2 .
0
5
x3dxdy 0
S1
Ò
Dxy
2 0 2
方法二、格林公式: Pdx Qdy ( Q P )dxdy.
L
x y
D
(注意:(1)积分曲线 L 要封闭;
(2)P,Q函数要在区域D内有连续偏导.)
方法三、(直接法) 化为定积分。
第二类曲面积分的计算
方法一：高斯公式法;
Ò Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
V
(P Q R )dV x y z
x
1 ln(1 2
x2 )
1 1 x2
x 1 x2
( x2）n x ( x2 )n , | x | 1
n0
n0
(1)n x2n (1)n x2n1, | x | 1
n0
n0
(1)n ( x2n x2n1 ), | x | 1
n0
f
( x)
(1)n
n0
x2n1 2n 1
解：令F ( x,
y, z)
x2
y2
z2
yf
z y
Fx
2x,
Fy
2y
f
z y
yf
z z
y
y
2
,
Fz
2z
f
z
y
z Fx , x Fz
z Fy x Fz
四.(8分)求函数z f ( x, y) xy 1 1 ( xy 0)的极值. xy
解： z x
z
y
3
21
1
x0
, 2
y0
1 2
,
代入曲面方程得 :
z0
5 4
,
切平面方程为 :
3( x
1 )
2( y
1 )
(z
5 )
0
2
2
4
即12x 8 y 4z - 5 0
六.(7分)将函数f ( x) arctan x ln 1 x2 展开为x的幂级数,
并说明展开式成立的区间.
解：f
( x)
arctan
解：r2 2r 1 0, r1,2 1, Y (C1 C2 x)e x
设非齐次特解为: y* Ax2e x
y* A(2x x2 )e x , y*n A(2 4 x x2 )e x ,
代入原方程得A 1 , y* 1 x2e x ,
2
2
故通解为: y Y y*
(C1
务必掌握的计算：
1、二阶线性常系数非齐次微分方程 y’’+ay’+by=f(x) 的求解.
2、求多元函数的偏导数. 尤其是抽象函数的偏导数. 如: z=f(xy , x-y); 方程所确定的隐函数的偏导数.如: f ( x mz, y nz) 0
3、求多元函数的(无条件、条件）极值．
4、求空间曲线的切线与法平面； 求空间曲面的切平面与法线；
1
0
y x
1
x
5.设函数f ( x)以4为周期,在(-2,
2]上函数f
(
x)
0,-2
e
x
,
0
x x
0 2
,
则f ( x)的傅里叶级数在[-2, 2]上的和函数表达式S( x) .
0, 2 x 0
e
x
,
0
x
2
解：S( x)
1
,
x
0
.
2
e2
,
x
2
2
2
2
二.选择题(15分, 每题3分, 只有一个正确)
法1: “先一后二法”(投影法)
dxdy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
Dxy
z1 ( x , y )
法2: “先二后一法”(截面法)
c2 dz f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
注: 当 截面D z容易确定、容易表达；
而 f ( x, y, z)dxd容y 易积分时,才考虑“先二后一法”